Skip to main content

Full text of "Ceuvres Dr Henri Poincare La Section De Geometrie Tome VII"

See other formats 


CAEUKGIE  INSTITUTE 
0*  TECHNOtOGY 


THE 


(EUVRES 


HENRI   POINCARE 


PAKIS.  -  IMPRIMERIE  GAUTHIER-V1LLARS 

Quai  des  Grands- August  ins,  55 

138265 


(EUVRES 

DK 

HENRI    POINCARE 

PUBLIEES 

SOUS  LES  AUSPICES   DE   L'ACADEMIE   DES  SCIENCES 

PAK 

LA    SECTION    DE   GEOMETRIE 


TOME    VII 


PUBLIC    AVEC    LA    COLLABORATION 

DK 
JACQUES    LEVY 

ASTRONOME     A     I/OBSBRVATOIRE     DB     PARIS 


PARIS 

GAUTHIER-YILLARS,   EDITEUR 

LIBRAIRE    DU    BUREAU    DES   LONGITUDES,    DE   L'ECOLE  POLYTECHNIQUE 
Quai  des  Grands-Augustins,  55 


l»«OPEflTV  Or 

CARNEfilE  INSTITUTE  OF  TECHNOinfit 


Copyright  by  Gauthier-Villars,  1962. 
Tons  drolls  do  tradnction,  de  reproduction  et  d'adaptation  reserves  pour  tows  pays. 


MECANIQUE  CELESTE 


ET 


ASTRONOMIE 


AVANT-PROPOS 


JLa  quatrieme  Section  des  OEuvres  de  Henri  Poincare,  qui  comprend 
les  Tomes  VII  et  VIII,  groupe  ceux  des  Memoires  qui  traitent  princi- 
palernent  de  Mecanique  analytique,  de  Mecanique  celeste  et  d'Astro- 
nomie.  II  est  fait  constamment  appel  dans  ces  Memoires  a  des  travaux 
d'Algebre  et  d' Analyse  figurant  dans  les  Sections  precedentes,  notam- 
ment  sur  les  courbes  definies  par  les  equations  differentielles  et  sur  les 
series  trigonometriques,  qu'on  trouvera  dans  les  Tomes  I  et  IV  des 
OEuvj-e$.  Inversement,  le  present  Tome  contient,  entre  autres?  les 
theories  des  coefficients  de  stabilite,  des  formes  de  bifurcation,  des 
equations  aux  variations^  des  invariants  integraux,  des  proprietes  des 
solutions  de  1'equation  de  Mathieu.  Le  caractere  d'unite  qu'offre 
1'oeuvre  de  Henri  Poincare,  qui  se  traduit  par  exemple  par  la  resolution 
d'un  probleme  du  Galcul  des  variations  au  moyen  de  considerations 
empruntees  a  Tfilectrostatique,  ainsi  qu'on  le  verra  plus  loin,  rendait 
impossible  une  nette  delimitation  des  differentes  Sections. 

J.   L. 


ANALYSE 

DE    SES 

TRAVAUX    SCIENTIFIQUES 

FAITE  PAR  HENRI  POINCARfi  ('). 


Acta  Mathematica^  t.  38,  p.  io4-n4  (1921). 


MECANIQTJE    CELESTE. 

XVII.  —  G-eneralites  sur  les  equations  de  la  I>ynamiq;ue 
et  de  la  Mecanique  celeste  [164,  1,66,  183,  187,  278,  280]. 

Les  equations  de  la  Dyaaraique  presentent  des  proprietes  remarquables  qui 
oat  et6  aiises  en  eVideace  par  Jacobi  daas  ses  Vorlesungen. 

Quelles  soat  les  coas^queaces  plus  ou  aioias  immediates  de  ces  proprietes? 
Quel  parti  peut-oa  ea  tirer  pour  la  mise  ea  equaiioa  des  problemes  de  Dyaa- 
mique et  ea  particulier  des  problemes  de  Mecaaique  celeste?  Telie  est  la 
premiere  questioa  doat  je  veux  parler  ici. 

J'ai  et^  amea^  a  passer  ea  revue  les  priacipales  proprietes  des  equatioas 
caaoaiques  [183,  278],  Les  proprietes  soat  classiques;  et  je  ajai  eu  qu'a  perfec- 
tioaaer  certaias  details;  ea  me  servaat  surtout  du  caractere  biea  conau  qui 


(!)  On  n'a  reproduit  ici  que  les  extraits  de  cette  Analyse  qui  concernent  les  matieres  trait6es 
dans  le  pr6sent  Volume.  Les  Memoires  figurent  sous  les  num6ros  qu'ils  portent  dans  la  biblio- 
graphic qui  suit  1'Analyse.  ( J.  L.) 
H.  F,  —  VII. 


2  ANALYSE  DE   SES  TRAVAUX  SCIENTIFIQUES. 

permet  de  reconnaitre  si  un  changement  de  variables  conserve  la  forme 
canonique  des  Equations. 

Ge  genre  de  transformations  facilile  la  rnise  en  equation  (hi  probleme  des 
trois  corps;  c'esl  ce  que  j'ai  montnS  [104,  187],  On  sait  que  dans  le  proc<kl6 
classique  on  rapporte  toutes  les  planetes  a  des  axes  mobiles  passant  par  le  Soleil 
U  inconvenient  est  que  la  fonction  perlurbalrice  n'csl  pas  la  mejnie  pour  loutes 
les  planetes.  Un  autre  procede  consiste  a  rapporier  chaque  planele  au  centre 
de  gravity  du  sysleme  forme  par  le  Soleil  et  toutes  les  planetes  infth'ieures  u  cello 
que  Fon  considere.  L'inconvinicnt  est  evite,  mats  la  function  perturbatrice  ost 
un  peu  plus  compliqude.  J'ai  propose'*  un  troisieme  procdde,  dans  leqnol  les 
coordonnees  de  chaque  planele  sonl  rapporUtes  au  Soleil,  et  sa  vilosse  a  des 
axes  fixes. 

Malgr6  les  travaux  dont  les  cSquations  cnnoniques  out  tk($  Pobjel  tlepuis 
Jacobi,  toutes  leurs  propri^t(5s  ne  sont  pas  connues,  ou  plutot  on  n'a  pnsinsisU11 
sur  toutes  les  formes  que  peuvent  revetir  ces  propridt<Ss  et  qu'il  pent  cHre  utile 
de  connaitro.  Si  par  cxemple  on  (Hudie  les  equations  aux  varialions  des  6<|ua- 
tions  de  la  Dynamique,  c'est-i\-dire  les  Equations  qui  d^fmissenl  une  solution 
infmiment  peu  diff^rente  d?une  solution  donnie,  on  rencontre  des  propositions 
importantes  sur  lesquelles  j'ai  attir<5  1'attention  [183,  278]. 

D'un  autre  c6t6,  j'ai  <it6  amen^  a  introduire  une  notion  nouvclle,  celle  des 
invariants  int^graux  [183,  280].  Ce  sont  cerlaines  inldgrales  definies  simples  ou 
multiples  qui  demeurent  constanles,  quand  le  champ  d'inUigration  varieconfor- 
m^ment  &  une  certaine  loi  d6finie  par  une  Equation  diiFdrentielle.  Si  par 
exemple  on  envisage  les  Equations  difl^rentielles  relatives  an  mouvemonl  d'un 
fluide  incompressible,  le  volume  est  un  invariant  integral. 

Les  Equations  canoniques  de  la  Dynamique  posscclent  des  invariants  int<5* 
graux  remarquables  et  Fexistence  de  ces  invariants  jelte  une  grandelumicre  sur 
leurs  propri6t(is. 

Pour  en  fmir  avec  ces  g<kitedit£s  sur  les  6quations  de  la  Djnamique  et  le 
probleme  des  trois  corps;  je  signalerai  un  dernier  travail  [1C6],  On  sait  que 
Bruns  a  d6montr6  que  le  probldme  des  trois  corps  ne  saurait  admellre  d'autre 
integrate  alg^brique  que  les  integrates  classiques.  Malheureusement  dans  sa 
demonstration  subsistait  une  lacune  grave  et  particuli&rerjoent  delicate  ^ 
combler.  J'ai  <H6  assez  heureux  pour  mettre  la  belle  eting^nieuse  demonstration 
de  M.  Bruns  a  Fabri  de  toute  objection. 


ANALYSE  DE  SES   TRAVAUX  SCIENT1FIQUES.  3 

XVIII.  —  Probleme  des  trois  corps;  proprietes  qualitatives 
[38,  92,  163,  167,  183.  204,  278,  280]. 

Ge  qui  va  suivre  est  le  d6veloppement  naturel  des  m^thodes  dont  il  a  6t6 
question  plus  haul  au  paragraphs  V  et  leur  application  a  la  M6canique  celeste. 

J'ai  montr£  de  diverses  manieres  [183,  278]  qu'en  dehors  des  integrates 
classiques  le  probleme  des  trois  corps  n'admet  pas  d'int^grale  analytique  et 
uniforme,  et  il  en  r^sulterait  que  la  plupart  des  series  proposes  jusqu'ici  pour 
I'mtdgration  de  ce  probleme,  de  m6aie  que  celles  dont  il  sera  question  dans  le 
paragraphs  suivant  ne  sont  pas  convergentes  et  ne  peuvent  £tre  utilisees  que 
dans  un  calcul  approche. 

D'apres  ce  qui.  precede,  il  semble  qu'il  soit  impossible  en  g^n^ral  d'exprimer 
les  distances  mutuelles  des  aslres  par  des  series  purement  trigonom^triques 
convergentes.  Mais  il  est  des  cas  particuliers  ou  les  series  auxquelles  on  est 
conduit  ne  contiennent  qu'un  seal  argument  et  ou  leur  convergence  est  6vi- 
dente.  En  effet,  j'ai  d£montr6  [38,  92]  que,  dans  le  probleme  des  Irois  corps. 
on  peut  choisir  les  elements  initiaux  du  mouvement  de  telle  fagon  que  les 
distances  mutuelles  des  trois  masses  soient  des  fonctions  p^riodiques  du  temps. 
On  est  atnsi  atnen^  a  une  solution  particuliere  du  probleme,  que  Ton  peut 


Ges  solutions  p^riodiques  sonl  de  trois  sortes  :  dans  les  unes,les  inclinaisons 
sont  nulles  et  les  excenlricit^s  tres  petites;  dans  d'autres,  les  inclinaisons  sont 
nulles  et  les  excentricit^s  finies;  dans  d'autres,  enjEin.  les  inclinaisons  sontfinies 
et  les  excentricit^s  tres  petites. 

Je  suis  revenu  [183,  278]  sur  ces  solutions  p^riodiques  et  je  les  ai  6tudi6es 
en  detail.  Les  proc^d^s  dont  je  me  suis  servi  pour  demontrer  leur  existence 
sont  tres  simples  et  se  ramenent  au  calcul  des  limites. 

Mais  on  peut  arriver  a  cetle  demonstration  par  une  voie  toute  difF6rente, 
qu'il  pourra  ^tre  souvent  utile  d'adopter,  mais  dont  je  n'ai  pas  encore  tir£  tout 
le  parti  possible.  Supposons  par  exemple  que  Ton  recherche  les  gdtfd^siques 
d?une  surface  ind^finie  pr^sentant  la  meme  forme  g6n6rale  qu'un  hyperboloi'de 
&  une  nappe.  On  sera  certain  alors  qu'il  doit  y  avoir  une  g^od^sique  ferm^e 
(correspondant  it  une  solution  p^riodique)  parce  que.,  parmi  toutes  les  courbes 
ferm^es  que  Ton  peut  tracer  sur  la  surface  et  qui  en  font  le  tour,  il  doit  y  en, 
avoir  une  qui  est  plus  c<^urte  que  toutes  les  autres. 


4  ANALYSE   DE  SES  TRAVAUX   SCIENTIFIQUES. 

Les  monies  principes  soni  suseeptibles  dYire  appliques  a  divers  problemes 
de  Mdcanique,  grace  au  principe  do  moindre  action  que  I'on  pout  employer  soil 
sous  la  forme  quo  lui  a  donnde  Hamilton,  soil  sous  colic  quo  lui  a  donnde 
Mauperluis.  Je  n'ai  fail  qu'esquisser  cello  melhode  donl  il  y  a  sans  doute 
encore  beaucoup  «\  tirer. 

Outre  les  solutions  pdriodiqucs,  les  equations  dn  problems  des  Irois  corps 
admettent  aussi  d'aulres  solutions  remarquables  quo  j'appelle  asympto- 
tiques  [183,  £78].  Ge  qui  characterise  ces  solutions  nVst  qu'elles  se  rapproelienl 
ind^fimment  d'une  solution  p<5riodique,  ou  bien  qu'elles  s'^loignent  sans  ee.sst^ 
d'une  solution  piiriodique  donl  elles  sonl  infiniment  rapproch^es  pour  I  ^  —  cc. 

D'aulres  soluuons  remarquables  sont  plus  difiiciles  encore  aaperouvoir  |t!80]. 
Je  citerai  d'abord  les  solutions  ptfriodiques  de  d<juxiem<^  espece,  caraeltf»ristVs 
par  ce  fait  que  deux  ties  corps  so  rapproclit»nl  periodiqueinenl  de  larou  a 
presque  se  chequer. 

Nous  avons  encore  les  solutions  pcVriodiques  de  deuxienie  genre;  si  Ton  fait 
varier  d'une  maniere  continue  un  des  pararneires  dont  d<Spcn<l  le  probUine}  par 
example  Tune  des  inasseSj  on  voit  une  solution  p^riodique  du  premier  genre  se 
ddformer  d'une  fa^on  continue,  sa  p^riode  re.stanl  <*»gale  A  T.  A  un  certain 
moment,  cette  solution  se  dddouble  pour  ainsi  dire,  ou  plulAt  se  d^triple,  je 
veux  dire  qu?^  un  certain  moment  on  a  trois  solutions  p^riodiques  ires  pen 
diff^rentcs ;  Tune  d'elles  a  encore  pour  p6riode  T,  les  deux  autres  out  pour 
p<$rtode  un  multiple  de  T,  Ce  sont  les  solutions  p<Sriodiques  du  dtixixiewiegonro. 

Je  parlerai  eniin  des  solutions  doublemenl  asjmptotiques.  Four  /r,:  -co, 
elles  sont  infimmeat  voisiues  d'une  solution  ptf*riodique,  puis  elles  s^en  ('*loignent 
beaucoup,  ensuite  elles  sjen  rapprocbent  de  nouveau,  de  telle  sorte  (jtie  pour 
£  =  -)-  oo,  elles  en  sont  encore  mfimment  voisines. 

Pour  (kudier  les  propriit^s  et  les  rapports  de  ces  difiVrcnics  solutions,  je  me 
suis  scrvi  des  invariants  intdgraux*  Ces  rapports  sont  triis  compliqu^s,  de  sorte 
que  ccttc  (^.tude  est  6miiiemmout  pro  pro  a  laeitrc  en  cividence  la  difficult^  du 
probldme  des  trois  corps, 

Je  n*ai  pu  r^soudre  rigoureusement  et  cornpkHement  le  probl^me  de  la  stabi- 
Iit6  du  syst&me  solaire,  en  entendant  ce  mot  dans  un  sens  strictement  malhd* 
matique.  LJemploi  des  invariants  int^graux  m*a  ccpendant  pcrmis  [183,  280] 
d'atteindre  certains  r^sultats  partiels,  s'appliquant  surtout  au  probUme  dit 
restraint,  ou  les  deux  corps  principaux  circulent  dans  des  orbites  sans  excen- 
tricit^,  pendant  que  le  corps  trouble  a  une  masse  ntfgligeable.  Dans  ce  cas,  si 


ANALYSE  DE  SES   TRAVAUX  SCIENTIFIQUES.  5 

on  laisse  de  cote  cerlaines  trajectoires  exceptionnelles,  dont  la  r&ilisation  est 
infmiment  peu  probable,  on  peut  d6montrer  que  le  systeme  repassera  une 
infinite  de  fois  aussi  pres  que  1'on  voudra  de  sa  situation  initiate.  C'est  ce  que 
j'ai  appe!6  la  stability  a  la  Poisson. 

XIX.  —  Probleme  des  trois  corps;  developpements  approclies 
et  applications  [47,  97,  115,  133,  149,  15S,  159,  183,  208,  210,  214, 

215,216,279]. 

Tous  les  th^oremes  donl  il  a  &t&  question  dans  le  paragraphe  prudent  ont 
un  caractere  commun,  ils  sont  rigoureux.  Ceux  dont  je  vais  parler  mainlenant 
ne  seront  en  g&a&ral  qu'approchds  et  auront  par  consequent  avant  tout  un 
inl^rgt  pratique.  Ce  sont  cependant  les  seuls  dont  les  aslronomes  fassent  et 
puissent  faire  effectivement  usage. 

Dans  quelles  conditions  ces  s6ries  divergenles  peuvent-elles  £tre  utilises 
avec  succes?  C'est  cequej'ai  cherch6  a  ^claircir  ([279],  ChapitreintituU  Calcul 
formeV).  J'ai  monir6  dans  quelles  limites  cet  emploi  estl^gitime,  comme  Test, 
pour  citer  un  exemple  c^lebre,  celui  de  la  s^rie  de  Stirling,  et  j'ai  fait  voir  que 
les  regies  dti  calcul  de  ces  series  sont  les  monies  que  celles  de  series  ordinaires. 

J'ai  justify  ainsi  1'emploi  que  font  les  astronomes  de  ce  genre  de  d^veloppe- 
ments;  et  en  particulier  des  d^veloppemenls  trigonometriques.  J'ai  cherch^  en 
outre  a  perfectionner  les  m^thodes  qui  permettent  de  les  former. 

Rappelons  en  quelques  mots  comment  le  probleme  se  pose. 

On  ne  peut  r^soudre  le  probleme  des  n  corps  que  par  approximations  succes- 
sives,  et  la  premiere  id6e  qui  s'esi  pr^sent^e  a  consist^  a  d<3velopper  les  coor- 
donn^es  des  astres  en  series  ordonn^es  suivantles  puissances  des  masses.  C'est 
sur  cette  id6e  qu'est  fondle  toute  la  Mecanique  celeste  ancienne.  Mais  quels  que 
soientles  services  qu'aient  rendus  autrefois  ces  anciensproc6d^setqujilssoient 
capables  de  rendre  encore,  on  n'a  pas  tard<§  ^  s'apercevoir  de  leur  insuffisance 
et  de  leur  impuissance  a  donner  une  approximation  ind^finie.  Dans  les  d^velop- 
pements  auxquels  ils  conduisent?  on  voit  en  effet  le  temps  entrer  non  seulement 
sous  les  signes  sinus  et  cosinus,  mais  en  dehors  de  tout  signe  trigonom^trique. 
Ce  fait  suffit  pour  d^montrer  que  le  champ  ou  les  anciennes  rn£thode$ 
conservent  leur  efficacit^;  quelque  ^tendu  qu'il  puisse  ^tre,  est  certainement 
limit^. 

C'est  ce  qui  explique  les  efforts  qu'ont  faits  les  g^ometres  pour  remplacer 


6  ANALYSE   DE   SES   TRAVAUX   SCIENTIFIQUES. 

les  scries  aneiennes  par  des  drtveloppoimMits  puremonl  iri^onomtflriques.  Dans 
ces  derniers  temps,  on  a  proposed  deux  nuUhodes  romarquables  qui  puraLssont 
atteindre  complctemonl  ce  but.  La  premiere  esl  cello  do  IV  L  CUIden,  (jui  «»M 
fond6e  sur  Femploi  des  fonclions  elliptiques;  la  seconde  esl  eolte  do 
M.  Lindsledt,  dent je  me  suis  s  art  out  oocup<5. 

Dans  eelle  derniore  mcHhode,  un  artifice  ingenious  pcrinet  a  ehaque  approxi- 
mation do  fairc  disparaitre  les  tonnes  stfculaires  qui  peuvent  s'et.re  iutroduits. 
II  esl  ais6  de  voir  que  col  artifice  n'wssira  toujours  s'il  n'v  a  qu'im  lenne  a  Cairo 
disparaitre;  mais  il  n'en  sorait  plus  <Io  momo  s'il  s'tfilait  introduit  a  la  fois  deux 
tonnes  stfculaires.  II  esl  facile  do  verifier  d^aillours  quo,  dans  les  premieres 
approximalioiiSj  on  n'a  a  so  <lobarrasser  que  (Tun  seul  tonne;  mais  on  pent  so 
demander  s'il  doit  en  <Hre  toujours  ainsi.  (In  exaiucn  .suporliciel  pourrait  fain? 
croire  le  conlraire,  ot  mtune,  M.  Lindstodt  otait  dispos6  a  pcnserquesa  melhodo 
no  nhissirail  que  s'il  n'j  avail  outre  les  arguments  aunmo  relation  lini^aire, 

Je  suis  parvenu  A  dthnonlror  (jue  It*,  tt»rme  stumlnire  qui  peut  apparaitre  A 
chaquo  approximation  est  toujours  unique  el  que?  par  eonseqtienl,  In  methods 
de  M.  Lindstedt  est  toujours  applicable  [97].  Pour  coin,  j'ai  eu  rocours  ft  un 
tlxdoreme  qui  semblait  ne  se  rapporlor  en  auoune  fa<;on  j\  la  question,  c'est- 
iVdire  au  th6or^me  de  Green. 

J7anrais  pu  ^galemont,  comme  je  I'ai  fait  ensuite  [U?>,  133],  employer  les 
invariants  intdgraux  ou  bien  me  servir  cles  thdoromos  do  Jacobi  sur  les  Equations 
de  la  Dynamique, 

La  m^thodc  de  M.  Newcomb  est  foiuleo  sur  les  monies  priacipes;  mais  olle 
s'applique  plus  naturellernent  aux  cas  les  plus  gon^raux  du  problerin^  des  trois 
corps.  JJj  ai  apportd  de  notables  perfoctioimemenls  [183,  279,  208).  La  nn'me 
question  se  posait  que  pour  la  methode  <Ie  M.  Lindsiedl.  On  pouvait  disposer 
de  certaines  arbitrages  pour  fairo  disparaitre  les  lormes  s(k;ulairo«;  mais  il  y 
avait  deux  fois  plus  de  termes  i\  faire  disparaftre  que  d'arbiiraires*  Heureusement 
chaque  fois  que  Ton  fait  disparaitre  Tun  de  cos  termes,  un  a ul.ro  disparaftspon- 
tan^ment.  Je  me  suis  servi  de  la  m^ihode  de  Jacobi  [279]  %pour  d^montrer  cette 
disparifcion  spontan^e  et  la  possibility  clu  ddveloppement.  Une  fois  cette  possi- 
bilit^  ^tablie,  jjai  donn6  ([279],  Chapitre  XIV)  le  mojeu  do  former  efioctive- 
ment  et  directement  les  series. 

II  y  avait  1&  toutefois  un  grave  inconvenient,  puisqu'il  fallait  dans  deux 
analyses  enti&rement  s6par6es  d^inontrer  la  possibility  du  d^veloppement  et  en 
calculer  les  coefficients,  Ayant  remarquc^  qu?une  cerlaine  expression  devait 


ANALYSE   DE  SES   TRAVAUX  SCIENTIFIQUES.  7 

differentielle  exacle,j'en  ai  profile  pour  modifier  la  methode  ([279],  Chap.  XV). 
Certain.es  integrations  peuvent  6tre  6vit£es  etremplac6espar  des  differentiations 
on  des  operations  algebriques;  il  en  r^sulte  d'abord  quo  la  possibilite  du  deve- 
loppement  devient  presque  evidente.  De  plus  les  calculs  sont  simplifies.  La 
partie  la  plus  pinible  du  calcul,  bien  qu'elle  ne  pr^sente  aucune  difficult^  theo- 
rique,  est  en  efTet  la  substitution  des  valeurs  approchees  des  variables  dans 
les  deux  me  tab  res  des  equations  differentielles.  La  methode  nouvelle  permetde 
diminuer  de  pres  do  moili6  le  nombre  de  ces  substitutions. 

Mais  on  pent  aller  plus  loin  encore  dans  cette  voie.  C'est  ce  que  j'ai  montre 
plus  tard  [208].  Je  me  suis  servi  d'une  expression  differentielleexacte  analogue 
a  celle  dont  je  viens  de  parler  et j'ai  pu  diminuer  encore  le  nombre  des  substi- 
tutions et  des  integrations.  On  remarquera  que  le  theoreme  de  Poisson  (inva- 
riabilite  des  grands  axes  en  tenant  compte  du  carre  des  masses)  devient 
presque  intuitif. 

Tous  ces  precedes  se  trouvent  en  difaut  quand  les  moyens  mouvements  sont 
pres  d'etre  commensurables.  11  faut  alors  employer  une  methode  derivee  de  celle 
de  Delaunay.  Dans  1'invention  premiere  de  cette  methode,  j'ai  6t6  devance  de 
quelques  jours  par  M.  Bohlin,  mais  j?y  ai  apporte  divers  perfectionnements  en 
me  servant  toujours  des  m£mes  principes.  Je  me  bornerai  a  dire  que  cette 
m6thode  permet  de  discuter  les  cas  singuliers  dits  «  de  libration  »  ou  il  y  a 
commensurabilite  exacte  entre  certains  mouvements  moyens. 

Quelie  relation  y  a-t-il  entre  toutes  ces  methodes  et  avecles  anciens  procedes? 
Telle  est  la  question  que  je  me  suis  pos6e  [210],  et  j'ai  montre  qu'on  pouvait 
envisager  certaines  series  qui  embrassent  pour  ainsi  dire  toutes  ces  methodes. 
En  groupant  les  termes  d'une  certaine  mani&re,  on  retornbera  sur  les  anciennes 
methodes.  Avec  d'autres  modes  de  groupement,  on  tombera  sur  la  methode  de 
Newcomb,  ou  bien  encore  sur  celle  de  Bohlin. 

Tous  ces  procedes  s'appliquent  naturellement  a  la  Lune.  Dans  la  theorie 
de  cet  astre,  ils  sont  m£me  plus  necessaires  que  partout  ailleurs.  C'est  dans  les 
theories  lunaires  les  plus  recentes,  comme  celles  de  Hill  et  de  Brown,  que  Ton 
voit  le  mieux  Pimportance  des  solutions  periodiques  dont  j'ai  parie  plus  haut. 
J'ai  donne  [214]  une  methode  pour  determiner  le  mouvement  du  perigee  de  la 
Lune  qui  differe  de  celle  de  Hill.  Mais  j'attirerai  plutdt  Fattention  sur  un 
autre  Mernoire  [216]  ou  j'applique  a  notre  satellite  les  procedes  du 
Memoire  [208].  Ces  procedes  seraient  surtout  utiles  pour  obtenir  un  develop- 


8  ANALYSE  DE  SES  TRAVAUX   SCIENTIFIQUES, 

penient  purement  littcral  des  coorclonntfcs  de  la  Lime.  JTui  signalo  <»n  passant 
diverses  circonstances  curiouses  et  prosquo  paradoxalcs, 

Toutes  les  series  dont  je  viens  dc  parlor  ne  peuvent  rtre  employees  qu'au 
point  dc  vue  du  calcul  formel  cl  par  consequent  du  oalcul  approehe.  J'ai 
insiste  a  diverses  reprises  sur  ce  point  important  [  1 83,  278?  270,  I; 58,  1 50], 

Toutes  ces  mtUhodes  si  diverses  peuvent  clre  employees  pour  se  servir 
muluellement  do  verification,  sans  Irop  de  calouLs  suppienientahvs,  Jo  cnterai 
surtout  un  procede  de  verification  foudei  sur  Pemploi  des  invariants  int6- 
graux  [149]. 


XXL  —  iSqinlibre  d"un  fluide  en  rotation  et  figure  des  planetes 

[54,  56,  63,  72,  91,  155,  96,  108,  111,  203,  1>12|. 

Je  me  suis  occupd  4galement  d'ime  autre  question  de  M*5canique  celeste  <juo 
Ton  peut  6noncer  ainsi  : 

Une  masse  fluide  homogine  ou  h^t^rogdno  osl  anim<Se  d'un  niouvenient  do 
rotation  autour  d'nn.  certain  axe.  De  plus,  ses  molecules  s'atlirenl  d'apros  In 
loi  de  Newton.  Quelles  sont  les  formes  d'&jmlibre  qu'olle  peut  aHecier? 

C'est  Ik  un  probldme  qui  a  boaucoup  occup6  les  g^ometres  depuis  plus  d'un 
si^cle  et  demi,  et  dont  I'importance  se  comprend  sans  peine. 

Dans  le  cas  de  I7homog6n6it6,  auquel  nous  nous  reslreindrons,  deux  solutions 
<Staient  depuis  longtemps  connues  :  PoIIipsoide  do  revolution  ot  I'ellipso'ide  a 
trois  axes  in^gaux  de  Jacobt*  Mais  les  conditions  do  stability  dc  IVquilibre 
n*avaient  pas  6t6  Studt^es. 

On  ignorait  s'il  y  avail  d'autres  formes  possibles  quand  M.  Mathiessen  et5 
apresltii,  Sir  W.  Thomson,  annoncdrentPexistence  <le  figures  annulairos  d^qui- 
libre.  Mais  la  demonstration  donndc  par  ees  deux  savants  n'<Hatl  pas  parfaite- 
ment  rigoureuse;  d'ailleurs,  M.  Mathiessen  supposait  a  priori  que  la  section 
diff(Jrait  trds  peu  d'unc, ellipse.  J'ai  montr<§  [63]  quo  colic  hypoth^sc,  l^gitime 
quand  la  section  de  1'anneau  est  tr^s  petite,  esl  erron^e  dans  le  cas  gin^ral,  ee 
qui  rend  tr&s  doutense  ^existence  de  certains  annenux  tr^s  aplatis  que  le  savant 
de  Rostock  avait  appalls  anneaux  (3, 

J'ai  done  cru  n^cessaire  de  faire  une  dludo  plus  approfondie  de  ces  figures 
[54,  94,  95].  J'ai  mis  &  1'abri  de  toute  objection  la  demonstration  de  leur 
existence  et  montrd  comment  on  peut  en  determiner  les  principatax 
avec  une  approximation  indeiinie. 


ANALYSE   DE   SES   TRAVAUX   SCIENTIF1QUES.  9 

Pour  la  determination  de  ces  6l6ments,  j'ai  fait  usage  d'une  m6thode  que 
Mmo  Kowalevski  avait  d^ja  employee  dans  son  M^moire  sur  Panneau  de  Saturne 
et  qui  est  fondle  sur  le  d^veloppement  des  p6riodes  d'une  fonction  elliptique 
en  series  ordonnees  suivant  les  puissances  croissantes  du  module. 

II  convient  d'observer  que  ces  anneaux  sont  des  figures  d?6quilibre  instable. 

Dans  un  Memoire  plus  <Hendu  [72],  j'ai  repris  la  meme  question,  en  d£ve- 
loppant  les  r^suhats  obienus  dans  deux  Notes  anterieures  [86].  Une  premiere 
difficult^  se  pr^sentait  sur  ma  route.  Quand  il  s'agit  d'int^grer  de  simples  Equa- 
tions diff£renlielles,  la  m<Hhode  des  approximations  successives  est  parfai tern enl 
justifi^e,  parce  que  1'existence  de  1'integrale  a  £tc  tout  d'abord  rigourement 
demontroe.  Tl  n'en  est  plus  de  mSme  dans  le  probleme  acluel  qui  est  beaucoup 
plus  complique;  il  peut  rester  au  sujet  de  la  I6gilimile  de  cetle  m(§thode 
quelques  doutes  qu'il  s'agissait  d'abord  de  dissiper.  Pour  d6monlrer  rigoureu- 
sement  1'existence  des  diverses  solutions  du  probleme,  j'ai  employ6  un  proc6d£ 
tout  a  fait  analogue  a  celui  dont  j'avais  fait  usage  dans  mes  recherches  sur  les 
solutions  pdriodiques  du  probleme  des  trois  corps  et  ou  je  prends  pour  point 
de  depart  un  th6oreme  de  M.  Kronecker. 

On  reconnait  d'abord  que  les  diverses  figures  d'equilibre  d'une  masse  fluide 
forroent  des  series  lin&ures;  dans  une  m^me  serie,  ces  figures  dependent  d'un 
parametre  variable.  Telles  sont  la  s4rie  des  ellipsoides  de  revolution  etcelledes 
ellipsoides  de  Jacobi,  Mais  il  peut  arriver  qu'une  m^me  figure  appartienne  a  la 
fois  a  deux  series  diff6rentes,  G'est  alors  une  figure  d^guilibre  de  bifurcation. 

A  chaque  figure  est  aLtach^e  une  suite  infinie  de  coefficients,  que  j'appelle 
coefficients  de  stabilite,  parce  que  la  condition  de  la  stabilit^  est  qu'ils 
soient  tous  posilifs.  Quand  un  de  ces  coefficients  s'annule,  c'est  que  la  figure 
correspondante  est  de  bifurcation. 

Ainsi,  si  en  suivant  une  s^rie  de  figures  d'equilibre  on  voit  s'annuler  un  des 
coefficients  de  stability  on  saura  qu'il  exisle  une  autre  s6rie  de  formes  d'6qui- 
libre  a  laquelle  apparlient  la  figure  de  bifurcation. 

Un  aulre  rdsultat,  c'est  que  les  deux  series  lin^aires  dont  cette  figure  fait 
partie  6changent  leur  stability.  Si,  en  suivant  Tune  des  series,  on  ne  rencontre 
que  des  ^quilibres  stables  jusqu'a,  la  figure  de  bifurcation,  on  n'y  trouvera 
plus  ensuite  que  des  figures  instables.  Les  figures  stables  appartiendront  a 

Pautre  sdrie, 

Ces  principes,  appliques  a  divers  problemes  dej^.  traites  par  Laplace,  m'ont 
permis  d'en  computer  la  solution. 

H.  P.  —  VII.  2 


10  ANALYSE   DE  SES  TRAVAUX  SCIENTIFIQUKS. 

Pour  Irouver  los  formes  d'eqnilibre  d'uno  masse  tluido  on  rotation  <jui 
different  pen  d'un  oilipso'ide,  il  faul  rochorehor  si,  parmi  los  ellip.soide>  do 
revolution  et  eeux  do  Jacobi,  il  y  a  des  figures  de  bifurcation.  Pour  cola  il  faut 
calculcr  les  coefficients  de  stability  do  res  ellipsoides,  On  trouvo  quo  res  coeffi- 
cients dependent  ties  fonclions  do  Lainrt. 

J'ai  done  du  fa  ire  de  cos  functions  une  oludt1,  appioion<li<u  J'ai  domonln* 
d'unc  maniere  nouvello  quci  cos  polynonios  out  toutos  leurh  rarities  roollcs  et 
j'ai  Studio  la  inaiiiere  dont  ccs  raciiu^s  so  r/'pnrlis.sonl. 

En  rigalant  a  z^ro  los  divers  oooflicionls  d(?  slabilite,  on  ohuont  dos  oquatioiiN 
qni  sonl  transcendantcs,  inais  cjui  pouvenl  noaninoius  sc*  disouter  cFuno  nuinioro 
complete*  Gcttc  discussion  montre  qtie,  parini  los  ellipsoides  do  revolution, 
commo  parini  les  ellipsouies  d<^  Jacobi,  il  v  a  uno  infiniU'*  do  Hguros  <h» 
bifurcation. 

II  r^sullo  do  la  qu'il  y  a  d^utros  formes  dY'quilihro  quo  lo.s  ellipsoides  et  les 
anneaux,.  Ces  figures  nouvellos  sonl  on  nombre  infini;  olios  sont  convoxon  ol  on! 
Loutes  xm  plan  de  symotrie,  Quol<ju<js-unes  n\?n  out  qu^un;  <I7antros  son!  do 
revolution;  d'autros  on  fin  ont  phisiours  plans  de  synuUrie  passant  par  I'n&c. 

11  restait  a  etndior  les  conditions  de  slabilite  de  rcujnilibro.  J'ni  distingue,  a 
Fexemple  do  Sir  W.  Thomson,  la  suibilito  seoulairc,  qui  subMMe  lorsqn'on 
tient  compte  de  la  viscosiu's  et  la  stabiliie  ordinaire,  qui  n'n  Hoti  quo  lorsqu'on 
neglige  eollo  resistance.  En  co  qm  concerne  la  premiere*  de  cos  stalnlite.sT  j'«i 
montr6  qti'ollo  appartient  aui  cllipsoi'dos  dt^  revolution,  moins  aplatis  qtio  colui 
qui  osi  en  mdme  temps  urx  ellipsoTde  do  Jaoobi,  el  quo  los  ollipsoidos  <ie  Jncobi, 
qui  satisfont  ft  tme  certaine  condition)  en  jouissonl  egalemcnt.  Los  autres  ollip- 
soidcs  sont  instables  et  il  on  est  do  mtfme  ties  figures  annulaires.  Quant  aux 
autres  figures  nouvellos  <juo  j?ai  decouvoru^,  olios  sont  totitos  instables,  & 
1'exception  d'une  d'ontro  olios  qui  est  pour  ainsi  diro  piriforme* 

J'ai  doaue  aussi  uno  miUhode  pour  determiner  les  conditions  de  la  stabilite 
ordinaire,  xnais  je  n'en  ai  fait  qu'une  application  partielle  qui  permci,  loutofois, 
de  reconnaitre  quo  cotte  siabilite  pout  subsisler  quand  la  stabilite  s£culairc% 
a  cesse. 

Je  ne  puis  d'aillcurs  mioux  rrtsumor  tous  ccs  resultats  qu'en  fnisant  Fhypo- 
th^se  suivante  : 


Imaginons  uue  masse  fluide  so  contractant  par  refroidissement,  mais 
lentement  pour  roster  homogdne  et  pour  que  la  rotation  soit  la  m&tne  dans 


ANALYSE   DE  SES   TRAVAUX   SCIENTIFIQUES.  II 

Louies  scs  parlies.  D'abord  Ires  voisine  cPune  sphere,  la  figure  de  cetle  masse 
deviendra  un  ellipso'ide  de  revolution  qui  s'aplatira  de  plus  en  plus;  puis,  a  un 
certain  moment,  se  -trans forrnera  en  un  ellipsoi'de  a  trois  axes  in^gaux.  Plus 
tard,  la  figure  cessera  d'etre  ellipsoi'dale  et  deviendra  piriforme,  jusqu'a  ce 
qu'eufin  In  masse,  se  crensant  de  plus  en  plus  dans  sa  partie  m£diane,  se  scinde 
en  deux  corps  disliiicts  et  in^gaux. 

L'hypolhese  qui  precede  ne  peut  certainement  s'appliquer  au  sysleme 
sola  ire.  Quelques  astronomes  ont  pens6  qu'elle  pourrait  £tre  vraie  pour 
ceriaines  6loiles  doubles,  el  que  des  6toiles  doubles  du  type  de  (3  de  la  Lyre 
pr6senleraienl  des  formes  de  Iransition  analogues  a  celles  donl  nous  venons  de 
parler. 

Dans  un  de  ces  M6moires  [9*4],  j'ai  montr^  qu'aucune  forme  d'^quilibre 
stable  n'est  possible  si  la  vitesse  de  rotation  d^passe  une  cerlaine  limite. 

On  peut  faire  de  ce  principe  une  application  aux  anneaux  de  Saturne. 
Clerk  Maxwell  a  ddmontr6  que  ces  anneaux  ne  peuvent  £tre  solides  et  que,  s'ils 
sont  fluideSj  leur  densise  ne  peut  d^passer  les  3/ioo  de  celle  de  la  planete. 
D'aulre  part  [96],  je  d6montre  que,  si  les  anneaux  sont  Guides,  ils  ne  peuvent 
cHre  stables  que  si  leur  densit^  est  sup^rieure  au  1/16  de  celle  de  Saturne. 
L'analyse  semble  done  confirmer  Thypothese  de  M.  Trouvelot,  qui  considere 
les  anneaux  comme  formes  d'une  multitude  de  satellites  extr^mement  petils  et 
ne  croit  pas  pouvoir  expliquer  autrement  certaines  apparences  observ6es. 

J'ai  donne  [108]  une  demonstration  plus  simple  d'un  th6oreme  de 
M.  Liapounoff,  en  vertu  duquel  la  sphere  correspond  au  maximum  de  la 
fonction  potentielle,  et  je  suis  encore  revenu  a  diverses  reprises  sur  des  ques- 
tions analogues  [HI,  212]  en  donnant  quelques  ^galit^s  etin^galit^s  curieuses. 

M.  Radau  avait  remarqu^  qu'aucune  hypoth£se  ne  peut  rendre  comple  a 
la  fois  de  Faplatissement  adopt6  et  la  valeur  observ^e  de  la  precession.  Dans 
deux  articles  consacres  a  la  figure  de  la  Terre  [203],  j'ai  confirm^  la  conclusion 
de  M.  Radau. 


It?.  ANALYSE   DE  SES  TRAVAUX  SCIENTIFIQUES. 


BIBLIOGRAPHIK  DES  TRAVAUX  DE  AIKCANIQI'H;  CKLKSTE 

RKLATIVK   A 
I/ANALYSE  HK  SKS  TRAVAUX  PAR  HKNRI  I'OINC.AKfi. 


XVII.   -  GBN&RAUTKS  sou  LES  EQUATIONS  OK  LA  DYNAMIQUB 

ET   DK   LA    MtiCANIQOK   CELKSTH. 

[104]  »$«/•  *«/?/?  forme   tmuvelle  des  equations   dtt  />/W»/r/;><"  des  trois  corps  ((\   It, 

Acad.  *Sfe,,  t.  123,  1896,  p.  io3*-io3f>). 

[106]  Sur  la  method?  de  Brrtns  (Ibid.,  t.  1W2:5,  1896,  p.  r,>i».'ri?2H). 
[18H]  Sur  les  problbtn?$  dcs   frois   rnr/ts   t*t  Irs  equntious  de  la  Dynttrmtj[uc  (A eta 

Math*y  t.  13,  1890,  p.  1-270). 
[  187  ]  Sur  une  forme  nottvellc  des  Equations  du  probttmc  d<rs  trots  rnrps  ( //////,  ttstron^ 

t.  14,  1897,  p.  53-67). 
[578,  280]  Les  mdthodes  nouvelfas  dc  l<r  Mticanique  celeste,  t,  I  (1%?.)  et  t.  Ill  (i^tnOi 

Paris. 

XVIII.  —  PROBLEMK  DBS  TROIS  CORPS;    PROPIUET^S  QUALITATJVKH* 

[38]  Sur  certttines  solutions  pttrticulibrvs  du  problem®  dcs  trots  cftrjps  ((\  IL  Acttd. 

Sc.y  t.  97,  iS83,  p.  tt5i-i*5a)" 
[912]  Sur  certctines  solutions particulivres  da  pro blunw  dcs  (roi$corjm(/iulf»  a$trv/tn 

t.  1,  i88{5  p.  r>5-74). 
[1G3]  Sur  les  solutions  pdriodtques  et  le  pn/iet/w  /A?  moindre  ant  ion  (C,  Jtt*  Aeatl.  A>M 

t.  12»,  1896,  p.  915-918). 
[1C7]  Les  solutions  p^riodigucs  et  le  prinvipc  d<'  ntoindrc  ttction  (Ibid*,  t,  114,  1897, 

p.  713-716). 
[183]  Gf.  supra, 

[204]  Sur  le  problkmo  dcs  train  corps  (Bull,  astr.,  t.  8,  1891,  p.  i  •>!*,{}• 
[278,  280]  Cf.  supra. 

XIX.  —  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS;  DRVKLOPPBMKNTS  APPROCH^S  RT  APPLICATIONS. 

[47]  Sur  une  Equation  differentielle  (C.  tt.  Acad.  Sc.t  t.  1)8,  i8B,{,  p.  70-^"79rO* 
[97]  Sur  une  tndthode  de  M*  Lindstedt  (null,  astron.,  t.  3,  i88(>,  p.  D7-Ui)» 
[115]  ^wr  ^^  5cVt>s  rfe  Af,  Lindstedt  (€.  JL  Acad.  Sc.,  t»  108,  1889,  p.  ai-st*}). 
[133]  iSwr  ^application  de  la  method®  de  M.  Lindstedt  au  problems  de$  trots  corps 

(fbid>,  t.  114,  i8ga,  p.  iSoS-iSog). 
[149]  *Swr  un  proc£d$  de  verification ^  applicable  au  calculates  series  de  la  Mdcanique 

celeste  (Ibid.,  t.  ISO,  i8g5,  p.  67-^9)* 

[158]  Sur   la   divergence  des  series  de  la  Mecanique  cdfaste  (Ibid.)   t.   1S2> 
p.  497-499)' 


ANALYSE   DE  SES   TRAVAUX  SCIENTIFIQUES.  1 3 

[ISO]  Sur  la  divergence  des  series  trigonometriques  (Ibid.)  t.  122,  1896,  p.  567-569). 

[183]  Gf.  supra. 

[208]  Sur   Vintegration  des  equations  du  probleme  des  trois  corps  (Bull,  astron. .> 

t,  14,  1897,  p.  241-270). 
[210]  Sur  la  f aeon  de  grouper  les  termes  des  series  trigonometriques  qu' on  rencontre 

en  Mecanique  celeste  (Ibid.,  t.  15,  1898,  p,  289-810). 

[214]  Sur  le  mouvement  du  perigee  de  la  Lune  (Bull,  astron.,  t.  17,  1940?  p-  87-104). 
|  215]  Sur  le  determinant  de  Hill  (Ibicf.,  t.  17,  1900,  p.  i34-i43). 
[216]  Sur  les  equations  du  mowement  de  la  Lune  (Ibid.)  t.  17,  1900,  p.  167-204). 
[279]  Les  Methodes  Nouvelles  de  la  Mecanique  celeste,  t.  II,  Paris,  1898. 

XXI.  —  EQUILIBRE  D'UN  FLUIDS  EJNT  ROTATION  ET  FIGURES  DES  PIANETES. 

[54]  Sur  Vequilibre  d^une  masse  fluide  animee  d'un  mouvement  de  rotation  (C.  R. 

Acad.  Sc.)  t.  100,  1886,  p.  846-848). 

[50]  Id.,  (Ibid.,  t.  100,  i885,  p.  1068-1070  et  t.  101,  i885,  p.  807-809). 
[63]  Sur  Vequilibre  d'une  ?nasse  fluide  en  rotation  (Ibid.)  t.  102,  1886,  p,  970-972). 
[72]  Sur   Vequilibre   d^une    masse  fluide   animee   d^un    miuvement   de  rotation 

(Acta  Math.)  t.  7,  i885,  p.  259-880). 
[94]  Id.,  (Bull,  astron.)  t,  2,  1886,  p.  109-118). 
[95]  Id.,  (Ibid.)  t.  2,  i885,  p.  4o5-4i3). 

[96]  Note  sur  la  stabilite  de  Vanneau  de  Saturne  (Ibid.,  t.  11,  i885,  p.  607-608). 
[108  j  Sur  un  theorems  de  M.  Liapounojf)  relatif  a  Vequilibre  d'une  masse  fluide 

(C.  R.  Acad.  Sc.,  t,  104,  1887,  p.  622-626). 
[Ill]  Sur    Vequilibre   dhme    masse    heterogene    en    rotation    (Ibid.)    t.    106,    1886, 

p.  1671-1674). 

[203]  Sur  la  figure  de  la  Terre  (Bull,  astron.)  t.  6,  1889,  p.  5-n  et  49-Go). 
[212]  Sur  Vequilibre  d^un  fluide  en  rotation  (Ibid.)  t.  16,  1899,  p.  161-169). 

Le  present  Volume  contienl  tous  les  Memoires  mentionnes  ici,  a  Texception  de 
ceux  portant  les  nos  96,  203,  214,  215,  216,  qu'on  trouvera  dans  le  Tome  VIII  des 
OEuvres.  II  contient  aussi  ceux  que  H.  Poincare  a  publics  depuis  1901,  epoque  a 
laquelle  remonte  son  Analyse.  L'ordre  que  nous  avons  adopte  pour  la  publication 
est  tres  sensiblement  celui  que  E.  Lebon  a  fixe  dans  la  bibliographic  se  trouvant 
dans  son  Volume  :  Savants  du  jour  ;  Henri  Poincare,  2e  edition,  Paris,  1912; 
toutefois,  les  Memoires  qui  figurent  a  cette  bibliographic  dans  la  Section  Series 
de  la  division  Mecanique  celeste  sous  les  nos  10,  13,  11,  12  ont  paru  anterieure- 
rnent  dans  les  OEuvres  :  les  deux  premiers  dans  le  Tome  I,  pages  162  et  i64,  les 
deux  autres  dans  le  Tome  IV.  Us  n'ont  pas  e*le  reproduits,  pages  585  et  588,  (J.  L.) 


SUK 

L'fiQUlLIBRE  D'UNE  MASSE  FUJIDE 
ANIMEE   D'UN   MOUVEMENT   I)E    ROTATION 

rend  MS  th*  r  (cadcrnit*  ties  *SVfVwr.s\  t.   100,  p.  IJ^i-'i'jS  (t\  JY*vri<T  iNS,r)). 


Dans  la  dcuxieme  edition  de  lour  7Vv«V/;  <lc  Miiloxop/ite  natur&ltti, 
MM.  Tail  el  Thomson  enoneent  suns  demonstration  le  rnsuhat  suivaut,  an 
sujel  de  la  figure  d'6quilibro  d'une  inas.se  lluid^  hoino^n(»,  (lout  Unites  le& 
molecules  s'alliront  suivaut  la  loi  nevvtonienne  ol.  ({ui  tjst,  anioiee  (Fun  inonve- 
uient  de  rotation,  uulour  d'ua  axe.  Outre  le.s  figures  ellipsoulales  hion  connuos, 
tl  y  a,  d^apres  Ics  ^dottuUros  anglais,  uuo  antre  fonkUMlT^(|tiiIihra9  (jui  oousi.sK* 
eu  une  surface  aixnulniro  de  revolution  analogue  a  tin  tor<!. 

Je  suis  parvenu  a  rcironver  la  d^iuousiratiou  du  nlsullat  do  MM.  Tail  et 
Thomson  on  m'appuyaut  sur  le  prin<;ipo  snivuut,  <ju'il  e.sl  ais<5  d*<HabIir 
rigoureusomcnl  : 

Si  un  sjstemc  qnelcoaque,  on  equilibre  stable  sous  Faction  de  ccrtaines 
forces,  vient  4  ^tre  soumis  4  des  forces  p(^rturbatricos  infmimcnl  petites,  il  y 
aura,  pour  ce  nouvel  6tai  de  forces,  une  nouvelle  position  d'6quilibre$  stable 
infiniment  voisine  de  la  premiere. 

J7ai  elierch6  ensuite  A  ddtermincr  les  prineipaui  61$menls  de  la  surface 
aunulaire  d'^quilibre.  A  cet  effet^  j'ai  choisi  les  unilds  de  masse  et  de  temps  de 
telle  fagon  que  la  densit^  de  notre  masse  lluide  soit  ^gale  a  i  et  qua  runit^  de 
force  soil  Fattraction  newtonienne  de  deux  limits  dc  masse  ft  Funitd  de 
distance,  C^est  ce  qui  est  le  plus  convenable  dans  une  dludo  thioriquo* 

J'appelle  R  la  distance  du  centre  de  gravild  de  la  section  miridicnne  ^  1'axe 


SUR  L'E*QUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  i5 

de  revolution.  La  section  meridienne  admet  un  axe  de  sym^trie  qui  est  la 
perpendiculaire  abaiss^e  de  son  centre  de  gravite  sur  Paxe  de  revolution. 
J'ecrirai  1'equation  de  cette  section  meridienne,  en  prenant  pour  pole  le  centre 
de  gravit6;  et  pour  axe  polaire  Faxe  de  sym^trie.  Liquation  s'ecrira  alors 

p  =  r  -+-  (3  cos  2  CD  -f-  y  cos  3  <p  H-  .  .  .  , 

r,  P  et  y  etant  des  constantes  telles  que  les  rapports  ~?  L,  1,  ...  soient 
tres  pelits. 

Cela  pose,  j'ai  neglige  d'abord  (3;  y,  ...  de  fagon  que  la  surface  se  reduise  a 
un  tore  de  rayons  R  el  r,  et  j'ai  cherche  a  exprimer  le  potentiel  V  en  un  point 
quelconque.de  la  surface  du  tore.  J'y  suis  arrive  a  Faide  des  series  qui  donnent 
les  periodes  K  et  K/  d?une  fonction  elliptique,  developpees  selon  les  puissances 
de  /c2  et  de  log/r.  On  trouve  que  V?  qui  ne  depend  evidemment  que  de  Tangle  <p, 

peut  se  developper  suivant  les  puissances  de  7*;  de  ^5  de  log  -  et  de  cos<p.  Les 

coefficients  de  cette  s6rie  s'expriment  par  des  iategrales  definies. 

Si  Ton  tient  compte  des  quantit6s  appel6es  plus  haul  {3,  y,  .  ..,  on  devra 
ajouter  a  V  certains  termes  correctifs.  II  faudra  enfin  disposer  de  la  vilesse 
angulaire  co  et  des  coefficients  (3  et  y,  de  fagon  que  Fexpvession 


soit  independante  de  cp.  On  trouve  ainsi  (d) 

SR 


en  negiigeant  des  termes  de  I'ordre  de  ^  log  -  - 


On  obtient  de 

5    r»   .      8R 


K  etant  une  constante  numeriqae  qui  s'exprime  par  une  integrate  definie. 

Les  autres  coefficients  y,  5,  .  .  .  sont  infiniment  petits  par  rapport  a  p,  de 
sorte  que  la  section  ine>idienne  peut  ^tre  assiraiiee  a  une  ellipse  dont  Faplatis- 

. 
sement  serait 


(l)  Cette  formule  et  les  suivantes  ont  6t6  16g6remeiit  modifiees  par  H.  Poincar^.  Voir  ci-aprds? 
p.  28,  et  aux  Notes,  Figures  annulaires.  (J.  L.) 


l6  SUR  L'tQUILIBRE  D'UNE  MASSE   FLUIDE   EN   ROTATION. 

Le  moment  dc  la  quantile  de  rnouvemenl  est  approximativeinenl 


M  ddisignant  la  masse  du  fluide. 

La  incline  mtUhode  pourrail  s'appHcjuer  a  uno  aulre  solution  clu  inline 
probleniC;  (Snoiicee  (5galeinent  sans  demonstration  par  MM,  Tail  el  Thomson  ei 
ou  la  masse  fluide  se  riparlit  en  phisieurs  anneaux  conconlriqnt's. 

Je  n'ai  pu  encore  approfondir  la  quoslfon  do  la  slabiliu'^  do  ces  masses 
annulaires.  J'ai  fait  seulement,  en  passant,  une  n»mar<jue  cjuo  j«  crois  nouvelh*. 

Si  la  Vitesse  angulaire  M  est  supcrieure  a  y  in:  (avec  Ics  tinilcs  adoptees),  i! 
n^j  a  plus  pour  la  masse  iluide  aueune  figure  dYMjutlibre  slable  possible. 


SUR 

L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE 

ANIMEE  DrUN  MOUVEMENT  DE  ROTATION  ( 


Bulletin  aslronomique,  I.  2,  p.  109-118  (mars  1885). 


(  hi  s'cst  preoceupc  depuis  loagtemps  de  determiner  les  figures  d'^quilibre 
d'une  masse  fluide  homogene  donl  loutes  les  molecules  s'attirent  d'npres  la  loi 
newtonienne  et  qui  esl  animee  d'un  mouvement  de  rotation  autour  d'un  axe. 
On  est  m6me  arrive  assez  prompteraent  a  deux  solutions  du  probleme,  les 
ellipsoVdes  de  revolution  et  les  ellipsoi'des  de  Jacobi;  mais  on  ignorait  jusqu'a 
ces  derniers  temps  s'il  existait  d'autrcs  iGgures  d'^quillbre  possible.  Dans  la 
derniere  Edition  de  leur  Trait&  de  Philosophic  naturelle  (ier  vol.,  IP  Part., 
p.  33s),  MM.  Tail  et  Thomson  ont  enonc6  sans  demonstration  un  certain 
nombre  de  r<5sultals  fort  int^ressants.  Us  annoncent,  par  exemple;  trois  classes 
nouvelles  de  figures  d'6quilibre?  a  savoir  : 

iu  Un  systeme  de  deux  ou  plusieurs  masses  sph^roidales,  anime  d'un  mou- 
vement de  rotation  commun  autour  d'un  certain  axe  dans  Pespace. 
a°  Une  surface  annulaire  de  revolution,  analogue  a  un  tore. 


(*)  Je  viens  de  recevoir  communication  djua  M6moire  de  Mme  de  Kowalewski  dont  je  n'avais 
pas  connaissance  an  moment  ou  j'ai  r6dig6  le  present  travail.  Ge  Memoire,  intitule  Zusatze  und 
Bemerkungen  zu  Laplace's  Untersuchung  fiber  die  Gestalt  der  Saturnsringe,  a  et6  6crit  en 
187/1  et  envoy^  a  cette  epoque  ^  l'Universit6  de  Gottingen;  mais  il  -vient  seulement  d'etre 
imprim6  dans  le  n°  2643  des  Astronomisrhe  Nachrichten.  Bien  que  le  probleme  trait6  par  la 
savante  math6maticienne  ne  soit  pas  tout  a  fait  le  m^me  que  celui  dont  je  me  suis  occup6,  son 
analyse  se  rapproche  beaucoup  de  la  mienne  et  je  n'ai  ajoute  que  pen  de  chose  nux  resultats 
qu'on  pourrait  facilernent  d<^duirc  de  son  Mdmoire. 

H.  P.  —  VII.  3 


18  SUR   L'EQUILIBRE   D^UNE  MASSE   FLUIDE  EN    ROTATION. 

,'V*  Un  sysicuie  do  plusieurs  anneaux  ooncenlriques,  animus  d'mie  meim> 
vitessn  de  rotation  aulour  do  lour  axe  commun. 

Jo  n'ai  ricn  a  ajoutcr  sur  la  premiere  solution,  qui  esl  cello  a  laqnellc  on  e.sl 
conduit  on  envisageanl  le  sjsteme  d'une  planele  et  <Tim  satellite  donl  Poxeen- 
tricit/i  serait  nullo  el  dont  les  deux  vilesses  de  rotation  soraienl  rfgales  outre 
elies  et  ft  celle  de  revolution;  ou  hien  encore  le  svslftino  de  plusieurs  masses  .s<» 
mouvanl  en  restant  en  ligiie  droile,  conform&nonl  a«  princip«»  do  (Ihapilre  V  I 
du  livre  X  de  la  Mvcanique  celeste  de  Laplace. 

Mais  je  (^rois  ulilo  de  revenir  sur  la  deuxieme  solution,  en  donnani  nno 
demonstration  du  rosullal  de  MM.  Tint  ol  Thomson  el  en  chorchaiU  a  dolor- 
minor  approximalivomcnt  les  principaux  61<iments  do  la  figure  annulairc 

d*(5quilibre. 

Dans  des  questions  de  celle  aaluro,  on  ne  peal  com]>lor  sur  les  mcthodes 
<rapproximalion  successive  pour  dimontrer  riffuurow«c»ment  la  possibility 
(fune  solution.  II  faut  au  conlraire  faire  usage  de  (Considerations  do  continuing 
ainsi  que  je  Tai  fail  dans  ma  Note  sur  ceriaines  inl^grales  pnrlienltftres  du 
problfimedes  trois  corps  (J).  I^existenccde  la  solution  une  fois  rigouronsoment 
tUablio,  on  se  sort  ensuile  des  mdihodes  hahiluelles  pour  la  cnlculer  npproxi- 
mativement. 

Je  choisirai  les  trois  unites  fondamonlalos  d«  longueur,  du  temps  el  de 
massse  de  lelle  fa^on  quo  la  densild  do  la  masse  fluide  que  je  ccmsidiro  soil 
6gale  a  i  ct  que  Tunite  do  force  soil  1'altraclion  newlonioxme  de  deux  «nit(Ss 
dc  masses  A  I'unitide  dislance.  J'envJsagerai  une  figure  amiulairode  revolution 
tr6s  peu  dill<Srente  d'uii  tore.  J'appellerai  il  la  d£slanc<?  du  centre  de  gravid  de 
la  section  m6ridiennc  ft  1'axo  de  revolution.  Je  supposerai  de  plus  quo  k 
perpendiculaire  abaissde  sur  1'axe  de  revolution  de  ce  centre  de  gravild  soil  un 
axe  de  symitric  de  cette  section  mdridienue* 

II  resie  A  icrire  1'dquation  de  la  section  m<kidienne*  Pour  cela  je  prendrai 
pour  p6le  le  centre  de  graviu*  et  pour  axe  polaire  l*axe  cle  synuUric  de  cette 
section,  ct  j'aurai  pour  cello  Equation,  en  appelant  p  el  9  les  coordonnties 

polaires,  (a) 

p  sss  r  H-  fJa  cos  2  9  -4-  (ia  cos  3  tp  H- . . .  -f-  (i»  cos  n  tp  -4  ... 


(lj  OEuvres  de  M.  Poincar^  ce  Tome,  p.  :*53. 
(3)  Voir  aux  Notes,  Figures  annulaircs* 


SUR  L^QUILIBRE  D^UNE  MASSE  FLUIDE  EN   ROTATION.  19 

Je  supposerai  que  les  rapports  ,-?  —  sont  Ires  petils,  ainsi  que  la   vitesse 

angulaire  de  rotation  co. 
J'envisagerai  le  potentiel  V  et  l^nergie  potentielle  W  : 

,r        ("dm          ^T        Cdrndni' 
y  —   I  _. ,         W  =   / 3 

J      &  Jo, 

dm  eldm!  designant  deux  elements  de  masse  de  noire  iluide,  A  etantla  distance 
de  F6l6ment  dm  au  point  P  dont  les  coordonn^es  sont  x^  y  et  z^  et  d  etant  la 
distance  des  deux  elements  dm  et  dmr.  Le  potentiel  V  est  une  fonction  de  #,  y 
et  3,  tandis  que  W  est  une  constante  qui  ne  depend  que  de  la  forme  de  la 
surface. 

Pour  que  la  surface  soil  une  figure  d'6quilibre,  il  suffit  que  i'expression 


ou  I  est  le  moment  d'inerlie  de  la  surface  par  rapport  a  son  axe  de  revolution, 
voie  s'annuler  toutes  ses  derivees  premieres  par  rapport  a  R  et  aux  (3. 

Etudions  done  les  variations  de  cette  expression  quand  on  fait  varier  w,  r,  R, 
et  les  (Sfl,  et  montrons  que  ces  d6riv6es  devront  s'annuler  pour  des  valeurs  de 
ces  quantites  variables  satisfaisant  aux  conditions  de  grandeur  relative  que 
nous  nous  sommes  imposees. 

Soient  dS  et  dSf  deux  elements  de  1'aire  de  la  section  meridienne,  y  ety'  les 
distances  de  ces  elements  a  1'axe  de  revolution.  Ges  elements  engendreront  par 
leur  revolution  deux  anneaux  infinitesimaux  dont  les  masses  seront 

et       arc 

Soient  a  et  b  la  plus  petite  et  la  plus  grande  distance  de  ces  deux  anneaux 
infinitesimaux,  M(a,  6)  la  moyenne  arithmetico-geom£trique  de  Gauss  de  ces 
deux  distances.  L'energie  potentielle  provenant  de  Fattraction  mutuelle  de  ces 
deux  anneaux  s'ecrira 

jJLjj/  __    fJLfJL'  J 

M(a,  6)  ""  ~  ^s— a^' 
ou 

dz _       a> 

,~r.    ..;,•,-.„,-.-.•  i  'T'..-  .  J  X  •—    -r-  •—  • 


La  th^orie  des  fonctions  elliptiques  nous  enseigne  que,  lorsque  x  est  tres 
petit,  J  peut  se  mettre  sous  la  forme 


20  SUR  L^QUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 

9  et,  '|f  <Hap.t  des  series  ordonnees  suivant  les  puissances  do  ,r  <»t  dont  il  est  ais<« 
de  calculer  les  coefficients.  Le  tonne  de  de^re  le  moins  Alcvr  dans  c«tte  expres- 
sion est  —log  --, •  Nous  auroixs 


W 


-.//  rv/pZT^     .V        '*' 

Si  Fon  reduissait  \/yy*  u  sa  valour  approclu'e  H»  of  J  a  sa  valcur  approclu»e 
g  T  *  ou  encore  2  log  — -1  ?  on  trouvarail 


\V- 
Mous  pourrons  done  poser 

w  ^  IK 


le  rapport  ^  tUaul  dc  memo  ordre  dc  grandeur  <{ue  j  • 


On  irouvc,  d'autre  part,  sans  irop  dc  difficull^s, 

fi>i      KK    ..,.,,      RVUtA      8U       i\       s2r«Hvr.,/r         \      w,r 
K  log  ~  rfS  ,/S'  *  -—-  (lofr—  H-  ,  J  H-  -.-^p-  Ife  (  fi  -  i  j  -H  W  , 


Wv  contenant  en  factcurs  des  puissances  supirieuros  des  (3. 
Pour  le  moment  d'inertie  I  on  trouve 


n-H;   H  r 


l;  s'annulant  avec  les  (3. 
Nous  poserons,  pour  nbr^ger 

VV 


Pour  qu'il  y  ail  ^quilibre,  il  suflit  que,  pour  toute  deformation  virtucllc 
infinmient  petite  de  notre  surface,  la  variation  5U  soit  nullc.  Or  loute  defor- 

mation virtuelle  pout  $tre  consid<Sr(Se  commo  la  somme  dedeax  autres  quo  non.s 
pourrons  ^tudier  sdpar^raent. 

Dans  la  premiere  deformation,  Jti  reste  constant.  La  variation  <JU  depend 
alors  des  variations  des  quantiteb  |3.  Si,  d'autre  part,  nous  appelons  M  la  masse 
to  tale  de  notre  fluide,  aous  aurons 


SUR  L'gQUILIBRE  D'UNE   MASSE  FLUIDE  EN   ROTATION. 

II  suit  de  la  que,  si  R  est  constant,  il  devra  en  £tre  de  m£me  de 


On  pent  done  ecrire 

«2rjH1      XR       ^no^rgR/i  i      BR\       o>2  Y 

„»__£_  log—  H.  spj  _J-  (-_,_  tog  —  ).H-TI,H-  IT. 

Dans  cette  formula  on  a  pose 


et  le  rapport  -=j  est  infiniment  petit. 

Soil  U0  la  valeur  de  U  quand  on  y  annule  tous  les  (3;  soil  Ui  la  valeur  de  U 
quand  on  donne  aux  (3  des  valeurs  telles  que 


K  etant  une  quantity  tres  petite,  mais  d'ordre  moindre  que  •=,-•  On  trouve  alors 

Ui—  U0=  AKH-U'i  —  U'0, 

A  etant  un  coefficient  n6gatif  dependant  de  R  et  de  r0.  On  en  d^duit,  en  tenant 
compte  des  hypotheses  faites  sur  les  grandeurs  relatives  des  quantit^s  K  et  U7  : 


D'oii  cette  consequence,  que,  si  Pon  fait  varier  les  (3  d'une  maniere  continue, 
la  quantity  S(3^  ne  pourra  devenir  plus  grande  que  K/*Q,  sans  que  U  passe  par 
une  valeur  inf&ieure  a  U0;  ce  qui  prouve  que  la  fonction  U  doit  admettre  un 
maximum  pour  des  valeurs  des  (3  iuferieures  a  r0  \/K  et  par  consequent  tres 
petites.  Ce  maximum  qne  j'appelle  u  est  fonction  de  R,  r0  et  co.  - 

II  reste  a  6tudier  la  deuxieme  espece  de  deformation  de  la  surface  annulaire, 
pour  laquelle  R  et  par  consequent  r0  varieraient  pendant  que  la  section  m£ri- 
dienne  resterait  semblable  a  elle-m^me.  II  faut  montrer  qu'on  peut  trouver  des 
valeurs  de  R  et  des  (3,  telles  que  la  variation  3U  soit  ^galement  nulle  pour  les 
deux  especes  de  deformations,  c'est-^-dire  que  Ton  ait  a  la  fois 


Or  il  est  aise  de  verifier  1'egalite 

^  __  .M-i  JL  IQ~?/R 
<s?R  8  Tft  R2          /* 


22  SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDS  EN  ROTATION, 

II  repr^sentant  un  ensemble  do  lerinos  ntigligeables  devant  les  deux  lerines 

conserves  et  X  une  conslante  facile  a  determiner. 

Supposons  quo,  R  restanl  constant,  on  fasse  varier  w;  //,  sera  alors  une 
fonction  de  w,  mais  pour  des  valeurs  suffisammcnL  grandos  de  M  (lesquelles 
satisfont  pourtant  aux  conditions  do  grandeur  relative  que  nous  nous  somines 

imposes)  ~  sera  certainemenl  positif,  et  pour  des  valeurs  assez  pelites  de  w, 
-JK  sera  certainemeiit  n^gatif.  Done,  a  chaque  valour  cle  R  correspond  une 
valeur  de  o)  telle  que  Ton  ait  a  la  fois 

V  =  U,  t—   5-  o.  C.    Q,    F,    I), 

fls\ 

L'existence  de  la  forme  annulaire  d'^quilibre  <Hant  ainsi  rigoureusi'inenl 
^tablie,  il  nous  resie  a  en  determiner  approximativement  les  ^I6ments.  A  cot 
eflfet,  nous  abandonnerons  la  fonction  W  dont  nous  nous  somines  scrvis 
jusqu'ici  pour  consid^rer  le  potential  V. 

Je  consid^re  d'abord  le  tore  et  j'titudie  1'cxpression  du  potential  V  en  tin 
point  de  sa  surface;  ce  polentiel  est  £videmmenl  une  fonction  de  Fangle  9  qui 
ddfinitla  position  du  point  de  la  surface  sur  la  section  m^ridienne.  En  partaat 
de  Fexpression  que  j'ai  donate  plus  haul  pour  Piixl6grale  J,  jc  suis  arriv4  a 
montrer  que  V  pouvait  se  me  tire  sous  la  forme  (d ) 


PO  et  vi  6tant  des  series  ordonncSes  suivantles  puissances  de  -'•  el  de 

Les  coefficients  de  ces  series  s'expriment  par  des  int^grales  d^fmies  et  les 
premiers  termes  sont 

v  .,      8R       DK  r:i  «  r'J  T      8K 

V  =  ?rr2  log  —  H-  ~  -g  cos?  —  -  -g  0039  log—  -4- . , , 

II  faut  ensuite  introduire  dans  celte  expression  les  termes  correctifs  qni 
proviennent  des  coefficients  que  noius  avons  appolds  (3,  c7est-^-dire  que  nous 
devons  maintenant  tenir  compte  de  ce  fait  que  noire  figure  annulaire  n'est  pas 
exactement  un  tore.  Comme  on  voit  sans  peine  que  les  coefficients  f3;1?  (3,,,  ... 
sont  tr£s  petits  par  rapport  a  (32?  nous  ndgligerons  ces  coefficients  ainsi  que  le 
de  (32. 


Voir  aux  Notes,  Figures  annulaires. 


SUR   L'^QUILIBRE  D'UNE   MASSE   FLUIDE   EN   ROTATION  23 

Les  termes  correctifs  que  nous  nous  proposions  de  calculer  se  r^duisent 
alors  a 

—  iHL.  cos  2  9. 

2 

L'expression  du  potential  V  <Hant  ainsi  corrig^e,  nous  pouvons  6crire  les 
conditions  d'^quilibrc.  La  condition  n^cessairc  et  suffisante  est,  en  effet,  que 

1'expression 

}- 
V  H ( R  H-  r  cos  cp  -4-  [3S  cos  2  cp  cos  9  -4-  (3;j  cos  3  cp  cos  cp  -h . . . ) 

2 

soit  ind^pendante  de  Tangle  9.  Dans  Texpression  pr6c6dente  nous  nd'gligerons 
tous  les  termes  qui  contiennent  en  facteur  ^-  ou  {33,  (3^,  .  .  . ,  ou  (3-,  ou  o)2j32. 
Elle  ne  contiendra  plus  alors  que  des  termes  en  cos 9  ou  cosacp.  Egalons  a  zero 
les  coefficients  de  cos^  et  cos2<p.  Nous  obtiendrons  les  deux  Equations 

suivantes  : 

TU  rj  ,      8R        Q^  rj 


r'-         Src  r'-  .      8R 


a  P       76  Ri 

6tant  exprim^  par  une  integrate  d^finte. 

On  tire  de  la  les  valeurs  approximalives  de  co2  et  de  (32 

0         5    rs 


A  ^tant  une  constante  num<irique  exprim^e  par  une  integrale  d6finie. 

Onvoit  ainsi  que  la  section  m&ridienne  pent  etre  assimil6e  a  une  ellipse  dont 

Paplaiissement  est  approximativement  -  —  *  Quant  au  moment  de  la  quantity  de 
mouvement,  il  a  pour  valeur  asymptotique 


ce  qui  montre  que  ce  moment  croit  ind^finiment  quand  R  croit  lui-meme, 
tandis  que  la  vitesse  angulaire  tend  au  contraire  vers  z6ro. 

Les  m£mes  m^thodes  sont  applicables  a  la  troisieme  solution  de  MM.  Tait  et 
Thomson,  qui  est  celle  ou  la  figure  d'^quilibre  esl  forrn^e  de  plusieurs  anneaux 
concentriques.  L'existence  de  la  solution  se  d6monlrerait  comme  plus  haut. 
Nous  allons  chercher  &  en  determiner  les  61<5ments. 

Nous  prendrons  seulement  deux  anneaux  que  nous  assimilerons  a  des  tores 


de  rayons  rf  ollV,  r  et  R,  en  negligeant  leb  aplatissemcnis  des  sections 
diennes.  Cos  deux  Lores  devronl  avoir  un  plan  dc  symcStrio  coininuii,  perpendi- 
culaire  a  1'axe.  Nous  appellerons  9  Tangle  quo  fait  avcc  co  plan  de  syim'trie  le 
rayon  qui  joint  un  point  M  de  la  surface  du  tore  au  centre  <lc  la  section 
miridienne  correspondanle;  nous  appellerons  de  m£me  </  Fangle  analogue 
pour  le  second  tore.  Nous  supposerons  H  >•  IV.  Nous  appellerons  V«  1<^ 
potentiel  en  un  point  de  la  surface  du  premier  tore  et  V'0  la  valour  du  potential 
en  un  point  de  la  surface  du  second  tore.  Nous  irouverons,  on  nous  bornant 
aux  premiers  termes  : 


/,i      «R'        «  '*'''          . 
V;  »  «^  log  ^  -  ^   -ff,  (.,089' 


H       H' 


Solent  oo  et  co;  les  vitesses  de  rotation  des  deux  tores  ;  il  iaudra  pour  I'^quilihre 
que  les  deux  expressions 

V0-h^(aH-rcos«),     V'OH-  '^(H'^r'cosa') 
JL  v> 

soient  ind^pendantes  de  <p  et  cp;,  ce  qui  nous  donne  les  deux  equations 

.  Y>  trcr3  .       XH         xr'-r 

u>-Rr-_loff—  --        -= 

„„,   ,       Jt;-'s  .       XIV 
' 


____r.___, 

Si  Ton  veut  que  0)=  o>;,  il  faut  done  que  Ton  ait 

r'         AH'        UV 


.,         0 

M  »  ^  ~~  _         _  -  — 


M  6tantla  masse  totale  du  iluide.  Cette  Equation  montre  que  H  —IV  doit  6tre 
tres  petit  par  rapport  ^  R,  ou  bien  que  Ton  doit  avoir  approximativement 


SienefleiR—  R'n'est  pastres  petit  par  rapport  a  K,  le  produil7rarr'(U—  IV) 
est  de  m6me  ordre  de  grandeur  que  r3R,  /^R',  oii  M,  et  par  consequent  le 
dernier  facteur  du  second  membre,  doit  £tre  finL 

Je  reserve  pour  un  article  ultcSrieur  la  discussion  de  la  stabilil^  de  ces  figures 
d'6quilibre.  Je  me  bornerai,  pour  terminer,  4  faire  la  remarque  suivante  qui, 
malgr6  sa  simplicity,  nja  pas  6t6  faite  encore  &  ma  connaissance. 


SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  a5 

Si  la  vitesse  angulaire  03  depasse  une  certaine  limite,  il  n'y  a  aucune  figure 
d^quilibre  stable  possible  (*). 

En  effet,  pour  que  P^quilibre  soil  stable,  une  condition  necessaire,  mais  non 
suffisante,  c'est  que  la  resultante  de  1'altraction  et  de  la  force  centrifuge,  qui 
doit  dtre  normale  a  la  surface  d'^quilibre,  soil  dirig^e  vers  Fint^rieur  de  la 
masse. 

Soient  V  le  potentiel  du  &  Fattraction,  w  la  vitesse  angulaire,  r  la  distance  a 
Taxe,  et  posons 

TT  ,,  0)'2/'~ 

U  =  V  H 

2 

r  j     i     r  dU     dU    dV       ,     *  .      ,          .  , 

Les  composantes  de  la  force  seroiit  -y-,  -^t  -=-  et  la  force  estimee  suivant  la 

normale  -=—•  On  aura  djailleurs 
an 


Le  th6oreme  de  Green  donnera  done 

rdU  _,        ,_,      „      ,    x 
J^o  =  M(2to--^), 

l'int£grale  6tant  dtendue  a  tous  les  elements  de  la  surface  d^quilibre.  Si 
done  co>y/27r,  Fint^grale  sera  positive;  il  sera  clone  impossible  que  -^-  soit 
toujours  negatif,  ce  quiestn^cessaire  pour  que  la  r^sultante  de  toutes  les  forces 
soit  toujours  dirigee  vers  Fint^rieur  de  la  masse.  L'6quilibre  stable  est  done 
impossible.  c.  Q.  F.  D. 

(l)   Voir  aux  Notes,  Masses  fluides  en  rotation  (resultats  divers]. 


H.  p.  —  VII. 


sim 

L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDK 
ANIMfiE    D'UN    MOUVEMENT    I)E   ROTATION 


tfji  ffxlrojtnmffjtie,  l.  !?,  p.  /jo5-/jiB  (fteptombni  i«SH5j. 


Dans  le  travail  que  j'ai  rcicemmcnt  public  sur  le  inline  sujel  (l),  je  rx'ai 
pas  donn6  les  details  des  calculs,  Bien  cjuc  mou  analyse  diflfere  pen  de  celle 
qu'a  employee  Mmo  de  Kowalewski  dans  sos  recherches  sur  Panneau  <le 
Saturne,  il  ne  sera  peut-dtre  pas  inutile  de  revenir  sur  ces  details,  no  fut-ce 
que  pour  faire  voir  quelles  sont  les  simplifications  qni  peuvent  ^tre  dues  aux 
hypotheses  que  Pon  a  droil  de  faire  sur  I'extrdinc  petitesse  de  cerlaines 
quantit^s. 

II  s'agit  d'abord  de  calculer  le  poteniiol  du  tore-  Soicnt  O  le  centre  du  tore, 
C  le  centre  d'un  cercle  mcridien,  M  un  point  cjuelconque  du  plan  de  ce  cercle, 
B.  la  distance  OG,  co  Tangle  du  plan  OGM  avec  un  plan  mdridien  fixe,  .r  ct  r 
les  coordonn^es  rectangulaires  du  point  M  rapport6  4  deux  axes  passant  par  le 
point  C,  le  second  parallele  a  Paxe  du  tore.  Les  coordonn^es  de  Mrapport^esa 


Nous  poserons  de  plus 

;/?  =  p  cos  9,        y  =  p  sin  9 

et  nous  appellerons  r  le  rayon  du  cercle  mgridien,  du  tore,  de  telle  sorte  que 
liquation  du   tore,    dans  ce  systenae  particulier  de  coordonn^esj  se  r^duira 

a  p  =  i\ 

(l)  Bulletin  astronomtque,  t.  2,  p.  109  (CEuvres  de  H.  Poiticar^  ce  Tome,  p.  17). 


SUR  L'£QUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  27 

Pour  evaluer  le  potential  du  tore  par  rapport  au  point  M,  nous  d6compo- 
serous  la  surface  du  cercle  meridian  en  une  infinit^  d'616naents  infiniment 
petits  dur.  Chacun  de  ces  Elements  engendrera,  par  sa  revolution  autour  de 
Paxe,  un  anneau  £l£mentaire.  Soient  xf  et  yf  les  coordonn^es  de  Foment  cfco' 
rapport^  aux  deux  axes  rectangulaires  d£fmis  plus  haut,  dp  la  masse  de 
1'anneau  6l6mentaire  correspondant,  dV  le  potentiel  de  cet  anneau,  V  le 
potentiel  du  tore  complet.  Soienl  enfin 


a  =  v/O'  —  ocf  Y  -h  (y  —  y'  )-,          b  —  \f(  2  R  -h  x  -+•  x'  )2  -h  (y  —  yf  )'2 


la  plus  petite  et  la  plus  grande  distance  du  point  M  a  Fanneau 

et  M(#,  b]  la  mojenne  arithm^tico-g^om^trique  de  ces  deux  distances.  On 

trouvera,  en  conservant  les  m£mes  unites  que  dans  le  M^moire  citd, 


La  th^orie  des  foactions  elliptiques  nous  apprend  que  Ton  a 


S0  et  Si   6tant  des  series  ordonn^es  suivant  les  puissances  de  ^*  La 

th<5orie  nous  donnerait  egalement  les  coefficients  de  ces  series;  mais  je  vais 
indiquer  un  autre  moyen  de  les  calculer. 

Soil 

Aifl-,      a       BO 


---    1-    —    ... 

Remplagons  dans  cette  identity  a  par  ^ab  et  b  par  ^  —  ?  il  viendra 

i  Ao  ,      CL       A.\a,      a       B'0 


Mais  on  a 

a  -+-  b 


2 

Les  deux  series  doivent  done  6tre  identiques;  ce  qui  conduit  aux  identit6s 

Bo  =  A0log4  -j-2B0, 

o  =  —  A0H-  4^!, 

o  =  —  2A0—  A0log4  -+-4Ailog4  —  2B0-l-  8Bi. 


28  SUR   L'^QUILIBRE  D'UNE   MASSE   FLUIDE   EN   ROTATION, 

On  a  done 


\ 

en  n^gligeant  les  termes  de  1'ordre  de  ^  log  g- 

11  reste  £  determiner  A0.  Pour  cela  nous  appHquerons  un  cas  particulier  du 
iheoreme  de  Green,  c'est-iWUre  le  thtforeme  du  flux  de  force.  Consid6rons  un 
cercie  de  rayon  tres  petit  d^cril  autour  de  l'gl£mcnl  rfw'.  Ce  cercle  engendrera 
par  sa  revolution  un  tore  enveloppant  Fanneau  ^Umenlaire  eonsidere.  En  un 
point  de  ee  tore,  a  sera  tres  petit  et  peu  different  du  rayon  du  cercle  m^ridicu. 
b  diflf^rera  pen  de  2  (R  -+-,?/).  La  surface  du  tore  sera  done  4rca#(R-HaO; 
I'attraclion  exercc5e  par  1'anneau  dp.  sur  un  point  du  tore  diiF<5rera  peu  de 


ah  2a(H  H-  ./;') 

ce  qui  fait  pour  le  flux,  do  force  —  arc3  A0  rftu.  Or  ce  ilux  doit  (Ure  6gaL  d'apres 
le  theoreme  de  Green,  a  4^r  dp.  On  a  done 


Nous  poserons,  pour  abr^ger 


et  nous  trouverons  ais^ment  les  d6veloppernents  suivants 

1  -  JL     _L    JL    .....^ 

/J  ""  2  R  """  4  R2  "  "" 


3- 


— 


En  tenant  compte  de  ces  d4veloppements?  on  trouve  avec  le  m€me  degri 
d'approximation  que  plus  haut 


i 

""  g 


SUR  L^QUILIBRE  D'UNE   MASSE   FLWDE  EN  ROTATION.  29 

On  trouve  ensuite 


On  en  d^duit,  tou  jours  avec  le  m£me  degr£  d'approximation, 


a        a-  .      a 
-a  +  -4  Io^. 


j'ai  ocrit  cetie  derniere  formule,  pour  abr^ger,  en  prenant  2R  pour  unit6  de 
longueur,  quilte  a  retablir  plus  tard  rhomog6n^it4. 

Pour  obtenir  la  valeur  de  V  lui-m£me,  il  reste  a  calculer  un  certain  nombre 
d7int6grales  doubles  de  la  forme  suivante  : 


j  9(j';/»  y)Hr^^w' 


6tendue  H  tous  les  ^l^ments  dd  de  la  beelion  m6ridienne  du  tore.  Une  pareille 
int^grale  n'est  autre  chose  que  le  potenlicl  logarithmique  du  cercle  m^ridien 
par  rapport  au  point  M  supposed  attir6  en  raison  inverse  de  la  distance,  et  de 
telle  sorte  que  la  densit^  de  la  matiere  attirante  soifc  egale  a  <p(#'3  yf).  Si  cette 
densit6  est  uniforme  en  tous  les  points  ^galement  dislanls  de  C,  le  polentiel 
est  le  m£me  que  si  toute  la  masse  6tait  concentr6e  au  centre  C  du  cercle 
m£ridien.  On  a  done 


^co'=log|  Cf(xr* 


Si/estnulsurlacirconf6renceducerclem6ridien5CJest-a-direpouro;/24-y-===r-, 
Tintegration  par  parties  donne 


On  trouve  de  meme 


pourvu     que    /    soit    nul    ainsi    que    ses    m,-\-n  —  i     premieres    deiriv^es 
pour 


3o  SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 

Ces  formules  donuenl 

r*     a  i  i         01      P 
J  loga</o>  .-;:  r-log^ 

/*     >         r»         (t<  j  i      ~ /%(        f 

r,   „        ,,       .,.,     /<  7  ,          «r*       p 
/  ( #  a  ^  j-  a  —  rO  log    //o>  -  —  -^  log-  ? 

,/  u  ' 

J  *  a  i>.         e  # 

J'appliquerai  maintenant  la  formule  (i)  en  diiKrflutianl  la  troisiAme  des 
integrates  pr^c^denles  par  rapport  &  #',  ou  par  rapport  a  trr,  et  la  quatrieme 
deux  fois  par  rapport  a  yf\  j'obtien.drai  ainsi 

/  (t         ,__         ~/'1    <M)SO  4      /*>y  .    (f<t          r^         ££'«     SU^Q 

X    lOg--  ((M    —          —^  -        >  ^    I   t'l     *(^,,.  ^  o  *"    "™;"""*"'"':J°*  * 

a  ^  ,  /  3C  [ 

2  /  (JB'»H-  r's—  ^'2)  Iogr'  (^t«/-h  .{    /  ,//'•!  logr/  //(./«  —  ~;i-  Lillil ; 
J  X  J  *  ^        p- 

d'ou  je  lire 

/r.  #  / 

C* 


- 

4        ^a         i:>,       p- 

r'1'.      ?        7r/itt  cos-o 
log^  —  _-,-. 


Si  nous  supposons  quo  le  point  M  est  sur  la  surface  du  lore  do  tolle  l 
que  p  =  r,  ces  formules  se  siniplifieronl  im  pen,  do  sorle  qu'ou  aura 


/"*  ,        a   lt  .,  .      r       x  r3  eoscp 

/  $log  —  ^/w  =  r/'"  cos  9  log-  —  -  ;  -  •  i 
J  &  a  4 

/>..,  i        ^     7     ^         •       .  i 
S»]og-rfW'c3^]o 

/««  ,      <*>    r  ,  ., 

Ploff;  dtf-  -•'• 

/a2  log  -  d&'  =  -  rc  rA  log  - 
ot  i>.  oc 


//v  ,      a    7  ,       jcr*  .      r        T?/^  /  i         5 
*  5  log-  ,/W  =  T  log-  -  -_^  +  - 

Toutes  ces  int^grales  sent  des  fonclions  Iin6aires  de  0059  et  cos*>,cp;  si  nous 
les  substituons  dans  ^'expression  de  V,  nous  trouveroiis 

V  «=  V  H-  G  cos  9  -H  II  cos  29. 
F,  G  el  H  6tant  ind^pendanls  de  9;  on  a,  en  r^lablissant  r 


r  i^          _,    -''  ,, 

G  «  —  logj^  H-  ^  ,        11  = 


SUR   L^QUILIBRE  D'UNE   MASSE  FLUIDE   EN   ROTATION.  3 1 

tu  elant  une  constanle  facile  a  calculer  d'apr&s  ce  qui  precede,  Quant  a  F,  il 
n'intervient  pas  dans  la  suite  et  nous  n'ecrirons  que  son  terme  principal  qui 

est  27rr2log  — -• 

Supposons  maintenant  que  la  masse  considcr^e,  au  lieu  d'affecler  la  forme 
du  tore  dont  liquation  etait  p  =  r,  prenne  la  forme  d'une  surface  de 
revolution  S,  pen  differente  de  ce  tore,  ct  ayant  pour  Equation 

P  ==  r  H-  p2  cos  a  9  H-  ps  cos  3  9  4- . .  .  -h  pf  cos  z  9  H- . .    . 

Nous  pourrons  alors  regarder  1'attraction  de  cette  masse  comme  la  somme  de 
1'attraction  du  tore  et  de  la  difference  entre  la  surface  S  et  le  tore.  Nous 
appellerons  <5V  le  potentiel  du  a  cette  difference,  V  le  potentiel  du  tore  par 
rapport  a  un  point  de  sa  propre  surface,  et  V  -j-  AV  le  potentiel  du  tore  par 
rapport  &  un  point  de  la  surface  S,  de  sorte  que  le  potentiel  total  par  rapport  a 
un  point  de  la  surface  S  sera 


VH-AV  + 


_      rdv 

8V  =  /  ~~r-, 
J   d<*> 


1'integrale  du  second  rnembre  etant  etendue  a  tous  les  elements  dd  de  la 
section  meridienne  de  la  surface  S.  Mais,  les  (3  6tant  tres  petits,  nous 
pourrons,  dans  le  calcul  de  AV  et  de  SV,  ne  tenir  comple  que  du  terme 

principal  de  -7—,  qui  est  —  2  logFp"  Nous  trouverons  ainsi 


—, 

p  T>  Q  T> 

AV  =  2rcr2  log  --  2%7'2log  — 


en    negligeant   les    carr^s    de    |3.    On    trouve    encore   avec    le  m£me  degre 
d'approximation 


sv 


r 

=  —  2r  /      log 

«^o 


r     .9  —  9 


•  sin 


2 


si  Ton  observe  que,  pour  les  elements  de  la  difference  entre  la  surface  S  et 
le  tore,  on  peut  ecrire 

>  —  <D' 


2  r  sin  — 


r  =  /'  dy'  S  fa  cos  i  9'. 


On  peut  ecrire  egalement 


'  =  —27'    /          log 


sm- 


(S[i/cosz8  cos/ 9  ~\-  Spf  siniO  sin  i 9)  d0. 


32  SUR  L^QUILIBRE  D^UNE  MASSE   FLWDE  EN   ROTATION. 

Gotte  integrate  peut  s'dvaluer  sans  peino.  (  )n  a,  on  eilel, 


ou,  en  egalanl  les  parties  r^elles 


On  en  d£duit 


C' 
/ 


-    f)       -ft         ~ 
bin  •-  cos^.  0  =  -  —  . 


II  reste  done 

V  -:~  AV  -;-  5V  =  1^  •+-  G  cos  9  -h  H  <»os  u  9  n-  2  T:  r  *1  ji/  cos  *'?(•; 

D'autre  part,  le  potcntiol  du  a  la  force  centrifuge  a  pour  valour,  en  appclant  n 
la  vitesse  de  rotation  el  en  n^gligeant  n~  J3 

-*-  (H  -4-  ./,')-  =  —  (  H-  H-  '  "  )  -H  /?,-  H  r  c(^  9   ;   7'  r2  <»os  2  s. 
a  v  '        i>,  V          a  /  /i 

Pour  que  F6quilibre  ail  lieu,  II  fout  que  1'expression 


soil  ind^pendante  de  <p.  cc  qui  monlre  d'abord  que?  nv(}«  le  degr^  d  'appro- 
ximation adopte,  tons  les  (3  sont  n^gligeablcs,  sauf  |32,  cjcsl-a-dire  quo  la 
section  m^ridienne  peut  etrc  regard(5e  coxnme  nne  ellipse*  dont  1'aplatisseineni 


En  egalant  ^  o  les  coefficients  de  cos<p  et  cos  2  9,  on  obtiont  les  deux  Equations 


L  Ton  tire 


et  approximativement 


_  „-,„„?, 


Ges  r6sultats  ne  sont  pas  tout  a  fait  les  m^mesS  que  ceux  de  mon  premier 
travail,  par  suite  d'une  faute  de  calcul  que  j'y  avais  commise. 


SUR  L'£QUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  33 

Oecupons-nous  maintenant  du  cas  ou  la  ma-sse  fluide  est  r^partie  en  deux 
volumes  armulaires  separ^s,  peu  diflferents  de  deux  tores.  J'appellerai  R  el  r 
les  deux  rayons  du  plus  grand  de  ces  deux  tores,  R/  et  r1  les  deux  rayons  du 
plus  petit.  Le  potentiel,  en  un  point  de  la  surface  du  premier  tore,  sera  £gal  au 

potentiel  du  a  son  attraction  propre,  c'est-a-dire  a  F  -j-  Gcoscp  (  en  n^gligeant 
H  et  les  termes  du  m£me  ordre,  c'est-&-dire  de  meme  ordre  que  g^log  -  j  »  plus 
le  potentiel  du  a  ^attraction  du  second  Lore,  que  je  puis  r^duire  a  son  terme 
principal,  si  ^_  Ry  est  assez  petit.  Si  Fon  observe  que  la  distance  d'un  point 

du  premier  tore  au  second  est  a  fort  peu  pres  R  —  R7-}-  rcoscp,  on  verraquece 
terme  principal  peut  s'^crire 

„.  8R'  „  .         8R'  27cr'2rcos9 

2^^1ogH^R/^rcos?^2^Mogl—  -  -,-,    R_R/      . 

II  faut  pour  Pequilibre  que  ce  potentiel  augment^  de  —  (R  +  ^?)2  soit 
pendant  de  9;  on  doit  done  avoir 

2  TU  r/2  r 


Si  Ton  appelle  Gf  et  n!  les  quantit^s  qui  sont  au  second  tore  ce  que  G  et  n  sont 
au  premier,  on  trouvera  de  rneme 


On  a  d'ailleurs 

r  „,       2  rc  r's , 


v  dtanl  une  constante  facile  a  calculer.  Si  done  on  veut  que  les  deux  vitesses  de 
rotation  n  et  nf  soient  les  memes,  il  faut  que  Ton  ait 

r2  r          r'2  rf    __        i        /  r[*        r^\ 

R5JO&7R""  R7*     S?F"  R  —  R'VR  "^  R'  / 
En  appelant 


la  masse  totale  du  fluide,  nous  pouvons  6crire 


ce  qui  est  la  formule  que  j'avais  donn^e  ^  la  fin  du  travail  cit6. 


H.  p  —  vii. 


SUR 

L'EOUILIBRE   D'UNE  MASSE  FLUIDE 
ANIMEE   D'UN   MOUVEMENT   DE   ROTATION 


Coinptes  rendus  de  CAcaddtnie  des  Sciuwvs,  t.   100,  p.  io<>iS-m7o  (no  avril  i ««,"»). 


Une  masse  fluide  homogene  dont  totites  les  molecules  s'aiiirent  d'apr&s  la  loi 
de  Newton,  et  qui  est  anim<§e  d'tm  mouvement  de  rotation  uniforme  autour 
d'un  axe,  est  susceptible  d'une  infinil6  de  figures  d'^quilibre.  Les  seules  qui 
aient  (k£  signaldes  jusqu'ici  sont  rellipsoidc  de  revolution,  I'ellipsoi'do  de 
Jacobi  et  les.  figures  annulaires  de  MM.  Tait  et  Thomson,  que  j'ai  6lu<)i6c$  en 
detail  dans  une  Note  r^cente,  ins6r6e  au  Bulletin  astronomique  (d).  Mais  le 
probleme  adrnet  une  infinite^  d'autres  solutions. 

Je  considdrerai  des  series  Hn6aires  de  figures  dj<kjuilibre,  c'est-&-dirc  des 
series  telles,  qu7^  chaque  valeur  de  la  vitesse  de  rotation  corresponde  une 
figure,  et  une  seule,  on  un  nombre  fini  de  figures,  et  que  cos  figures  d^quilibre 
varient  d'une  fa<?on  continue  quand  on  fait  varier  cette  vitesse.  Ainsi  les 
ellipsoides  de  revolution  forment  une  s6rie  Iin6aire,  les  ellipsoides  de  Jacobi  en 
forment  une  autre.  II  peut  arriver  qu'unc  m6me  figure  appartienne  &  la  fois  ^ 
deux  series  lin^aires.  Ainsi  il  y  a  un  ellipso'ide  de  revolution  qui  est  eix  mdme 
temps  un  ellipsoi'de  de  Jacobi, 

Je  me  suis  alors  propos<§  de  rechercher  s'il  existe.des  series  llnc^aires  de 
figures  d^quilibre  parmi  lesquelles  il  y  en  ait  une  qui  se  r^duise  «i  un  ellipso'xde. 

(:)  QEuvres  de  JJ,  Poincard,  ce  Tome,  p.  17- 


SUR  L'tfQUILIBRE  D^UNE  MASSE   FLUIDE  EN  ROTATION.  35 

On  arrive  ais^menl  au  resultat  suivant  :  Soient  p,  \/p'2  —  62,  \/p2  —  c2  les  trois 
axes  de  Vellipsoide,  et  soil  R  une  fonction  de  Lame  quelconque.  On  devra 
avoir 


Reciproquement,  on  arrive  a  demontrer  que,  si,  pour  une  des  foncttons 
de  Lame,  les  axes  d'un  ellipsoide  de  revolution  ou  d'un  ellipsoide  de  Jacobi 
satisfont  a  liquation  (i),  cet  ellipsoide  appartiendra  non  seulement  &  la  serie 
des  ellipsoides  d'equilibre,  mais  encore  a  une  autre  serie  lineaire  de  figures 
d'equilibre  non  ellipsoidales. 

J'ai  discute  les  equations  (i)  dans  le  cas  des  ellipsoides  dc  re  volution  aplatis. 
Posons 

£  =  0,  C  =  I,  p  =  \//C-H-lj 

(l"=0,    I,   2,    ...,    71). 


Nous  n'aurons  a  consid^rer  que  les  valeurs  de  n  au  moins  £gales  a  2.  Nous 
trouverons  que  liquation  (  i  )  n'a  pas  de  racine  quand  i  -f~  n  est  impair  et  en  a 
une,  et  une  seule,  quand  i+n  est  pair.  Ainsi  a  tout  systeme  de  nombres 
entiers  i  et  71,  tels  que 

n  >  2,         i^tt,         ^o         [z'ss  n  (mod  2)] 

correspond  une  s^rie  lin^aire  de  figures  d'equilibre.  II  faut  faire  exception 
pour  le  cas  de  **  =  o,  n  =  2;  la  racine  de  liquation  (i)  correspondante  ne 
donne  pas  de  s6rie  nouvelle  de  figures  d'6quilibre.  Elle  correspond  a  Tellip- 
soide  de  revolution  dont  la  vitesse  de  rotation  est  maximum.  Dans  le  cas 
de  i  =  n  =  2,  on  retrouve  les  ellipsoides  de  Jacobi. 

Si  j*=:o7  les  figures  d^quilibre  correspondanles  seront  de  revolution. 
Elles  ne  le  seront  pas  dans  le  cas  contraire. 

Le  m£me  proc6d£  peut  servir  pour  determiner  les  conditions  de  stability 
de  Fellipsoide  de  revolution.  MM.  Tait  et  Thomson  ont  annonce  que  les 
ellipsoides  de  revolution  que  Ton  rencontre,  en  partant  de  la  sphere  et  en 
allant  jusqu'a  celui  qui  est  en  meme  temps  un  ellipsoide  de  Jacobi,  sont  tous 
stables,  et  que  les  autres  sont  seculairement  instables. 

Pour    etablir    ce    resultat,    il    suffit    de    montror    que,   parmi    toutes   les 


36  SUR  L'^QUIUBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 

Equations  (i),  celle  qui  a  la  plus  granule  racine  est  cclle  qui  correspond  au  oas 
de  i  =  n  =  a,  ou  bien  encore  que  tons  les  rapports 


vont  constamment  en  croissant  quand  A*  croit  de  zdro  a  1'infini.  Or  cela  est 

&  verifier. 

II  est  possible  que  les  series  liniaires  de  figures  d'c^quilibre  quo  j'ai  signalizes 
plus  haut  coriliennent  des  figures  stables;  inais  il  est  certain  au  moins  que 
celles  de  ces  figures  qui  different  peu  de  Pellipsoide,  et  qui  sont  les  seules  que 
nous  connaissions  un  peu,  sont  toutes  se,culaireinent  instables  (a  rexreplion, 
bien  entendu,  des  ellipsoi'des  de  Jacobi). 

II  y  aurait  int^r^t  a  ripeter,  pour  les  ellipsoi'des  dc  Jacobi,  la  discussion  que 
je  vieus  de  faire  pour  les  ellipsoi'des  de  revolution,  d'nutant  plus  que,  panui 
les  figures  d'6quilibre  que  Ton  d^couvrirait  ainsi,  il  y  en  a  qui  sont  slablos* 
C'est  ce  que  je  chereherai  i\  faire  dans  tint1  Communication  ulttfrieure,  si 
FAcad^mie  veut  bien  le  permeltre. 


SUR 

L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE 
ANIMEE  D'UN   MOU YEMENI   DE  ROTATION 


Comptes  rendus  de  VAcademie  des  Sciences,  t.  101,  p.  807-809  (27  juillct  i885). 


Dans  une  Communication  faite  a  FAcad6mie  le  20  avril  i885  (*),  j'ai 
montr£  qu'une  masse  fluide  homogene,  soumise  a  Fattraction  newtonienne  et 
anim6e  d'un  mouvement  de  rotation,  £tait  susceptible  d'une  infinite  de 
figures  d^quilibre,  outre  celles  qui  sont  ddja  connues.  J'en  ai  d^fini  un  certain 
nombre  qui,  sans  £tre  ellipsoi'dales,  different  infinimentpeu  d'un  ellipsoide  de 
revolution,  J'ai  montr6  que  ces  figures  nouvelles  6taient  instables. 

J?ai  reconnu  depuis  qu'il  existe  ^galement  des  ellipsoi'des  de  Jacobi  apparte- 
nant  en  m£me  temps  a  une  s6rie  lineaire  de  figures  d'^qnilibre  non 
ellipsoidales. 

Soient  p;  \/p2 —  62,  \/p~ —  c2  les  trois  axes  de  I'ellipsoide;  soitR  une  fonction 
de  Lam6  quelconque  de  p;  soit 


la  fonction  S  conjugu^e  de  R  d'apres  la  notation  de  Liouville,  Nous  distin- 
guerons  les  fonctions 

ainsi   que   les   fonctions  RD?   R/,,    .  ..,   Rrt)    ...    d^finies  comme  il  suit  :  la 
(*)  Q&uvres  de  H*  Poincare,  ce  Tome,  p.  34- 


38  SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN   ROTATION. 

fonction  Rn  sera  une  fonction  de  Lame  d'ordro  n  ne  eontenant  en  facteur 
n{  y/p2_  C25  nj  ^/pa_^2  eL  nc  stimulant  quo  pour  des  valours  de  pa  comprises 
entre  z&ro  eL  62.  Pour  toute  valour  /i,  il  y  en  a  ton  jours  une  el  une  seule; 
S^  S2,  S3,  .  .  .,  Sw  seronl  alors  les  fonclions  conjuguees  de  I\l5  1\2,  •  *  *  ?  ^w 
Cela  pos6,  tout  ellipsoi'de  de  Jacobi  salisfera  a  la  condition 

K,Si  _  Ha  SB 

_  _; 

s'il  satisfait  en  outre  a  la  condition 


il  appartiendra  a  la  ibis  a  deux  series  lintSaires  de  figures  d'^quilibrc  :  n  savoir, 
la  s6rie  des  ellipsoidcs  de  Jacobi,  eL  une  serie  de  figures  S«  non  ellipsoidales. 
Quel  qne  soil  n,  il  y  aura  lonjours  un  cllipso'ide  de  Jacobi  salisfaisant  a  la 
condition  (i).  Nous  a^ons  done  d^montrd  Fexislence  d'une  infinite  de  iigures 
dV-quilibre  nouvelles  2S,  3,^  .  .  .,  S/t. 

La  figure  2rt  a  mdmes  plans  de  syrmHrie  que  1'ellipsoide  si  n  osl  pair;  si  n  esl 
impair,  elle  est  sjm^trique  par  rapport  aux  plans  des  xy  ei  des  .rs,  mais  non 
par  rapport  au  plan  des  ys. 

Les  figures  2:J  sont  stables,  loutes  les  auires  sont  insiableH. 

Les  ellipsoi'des  de  revolution  sont  stablos,  s'ils  sont  moms  aplatis  que  colui 
qui  est  en  mfime  temps  un  ellipsoi'de  de  Jacobi  (c'cst  ce  que  sir  W.  Tliomson 
avait  d^ji  d<Smontr6  en  supposant  qu'on  imposait  a  la  masse  lluide  c.onnnc 
liaison  la  condition  de  rester  ellipsoulale;  ceiie  condition  n'ost  pas  n^ccssnire). 
Les  ellipsoi'des  de  Jacobi  sont  stables  s'ils  sont  moms  allonges  (suivaut  le 
grand  axe)  que  celui  qui  appartient  en  mfime  temps  a  la  s^ris  des  figures  2a. 

Pour  r^sumer  les  r6sultats  obtenus/faisons  Phypothfise  suivante  : 

Supposons  une  masse  fluide  homogfine,  se  conlractant  par  un  refroidisse- 
ment,  et  imaginons  que  ce  refroidissement  soil  assess  lent  pour  qu'ellc  conserve 
un  mouvement  de  rotation  uniform  e  dans  toules  ses  parties  et  que  ?homog£n(Ml(li 
subsiste  constamment. 

II  arrivera  alors  que  cette  masse,  d'abord  presque  sph^rique,  affeclera  In 
forme  d'un  ellipsoi'de  de  revolution  dont  Pcxccntricitd  ira  sans  cesse  en 
croissant,  jusqu'd.  ce  qu'elle  atteigne  la  valeur  0,8  1  ;  la  masse  deviendraensuile 
un  elUpsoide  de  Jacobi,  puis  une  figure  £9.  Pour  expliquer  grossierement  la 
deformation  'qu'elle  subit  alors,  imaginons  que  I'ellipso'ide  soit  coup<5  en  deux 


SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE   MASSE  FLUIDE  EN   ROTATION,  3g 

moiti^s  par  un  plan  perpendiculaire  au  grand  axe.  En  devenant  une  figure  23, 
Pune  des  moiti^s  de  Tellipsoide  s'aplatira  et  se  rapprochera  de  la  forme  h6mi- 
sph^rique,  Tautre  moiti6  s'allongera  au  contraire  de  plus  en  plus.  II  est  difficile 
de  dire  ce  qui  arrivera  ensuite  si  le  refroidissement  continue,  mais  Fexamen 
des  figures  23  porte  a  croire  que  la  masse  ira  en  s'^tranglant  dans  sa  petite 
moyenne  pour  se  partager  ensuite  en  deux  masses  isolees  et  in^gales. 


SUR 

L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE 
ANIMEE  D'UN  MOUVEMENT  HE  ROTATION  <•"> 


Actff  Matfiematiaa,  t.  7,  p.  25;)-38o  (if>  neptcmbrc  ?8S5) 


TABLE  DES  MATIERES. 


J.  Introduction. 4 1 

II.  Kquilibre  de  bifurcation * l\\ 

III.  ^change  des  stabilit,6s fx> 

IV.  Gas  d'un  nombre  infini  de  variables /)f> 

V.  Premiere  application  :  figures  annulaircs ...,...» <>yi 

VI.  Exemplcs  d^tjuilibres  de  bifurcation. , Gy 

VII.  Stabilite  de  r6(juilibre  relalif 70 

VIIL  Fonctioris  de  Lam^ 76 

IX.  Determination  des  coefficients  de  stability 86 

X.  Discussion  de  liquation  fondamentale t>3 

XL  Ellipso'ides  de  revolution 98 

XII.  Ellipsoi'des  de  Jacobi 107 

XIII.  Petits  mouvements  d'un  ellipsoide 1 13 

XIV.  Stabiliid  des  ellipsoi'des 127 

XV.  Conclusions , 189 


(l)  Manuscrit  remis  le  16  juiDet  i885. 


SUR   L'EQUILIBRE   D'UNE   MASSE   FLUIDE   EN    ROTATION.  4l 


I.  —  Introduction. 

Quelles  sont  les  figures  d'equilibre  relatif  que  pent  affecter  une  masse  fluide 
homogene  dont  toutes  les  molecules  s'attirent  conformement  a  la  loide  Newton 
el  qui  esL  animee  autour  d'un  certain  axe  d'un  mouvement  de  rotation  uni- 
form e  ? 

Quelles  sont  les  conditions  de  stabilile  de  cet  equilibre? 

Tels  sont  les  deux  problemes  qui  forment  1'objeL  de  ce  Memoire. 

On  en  connait  depuis  longtemps  deux  solution  :  Fellipsoide  de  revolution  et 
1'ellipsoide  a  trois  axes  inegaux  de  JacobL  Je  me  propose  d'etablir  qu'il  y  en  a 
une  infinite  d'autres, 

Mais  je  vais  avant  d'aller  plus  loin  signaler  un  certain  nombre  de  r^sultats 
que  Ton  trouve  dans  le  Treatise  on  Natural  Philosophy  de  MM.  Tait  et 
Thomsou,  2°  Edition,  §778-  Sir  William  Thomson  enonce  la  plupart  de  ccs 
propositions  sans  aucune  demonstration;  pour  quelques-unes  d'entre  elles,  il 
renvoie  a  des  Memoires  plus  etendus  ins6r^s  au  Philosophical  Transactions. 

Voici  ces  r^sultats,  qui  doivent  nous  servir  de  point  de  depart. 

a.  L'ellipsoVde  de  revolution  aplati  est  une  figure  d'equilibre  toujours  stable, 
si  Ton  impose  a  la  masse  fluide  la  condition  d'affecter  la  forme  d'un  ellipsoide 
de  revolution. 

b.  Si  nous  imposons  a  notre  masse  la  condition  d'etre  de  revolution,  mais 
non  plus  celle  d'etre  ellipsoidale,  on  trouve,  si  le  moment  de  la  quantite  de 
mouvement  est  assez  grand,  deux  figures  d'equilibre  :  une  figure  annulaire  qui 
est  stable  et  une  figure  ellipsoi'dale  qui  est  instable.  (Nous  verrons  dans  la  suite 
de  ce  Memoire  qu'il  y  en  a  une  infinite  d'autres  parmi  lesquelles  il  j  en  a  de 
stables  grace  a  la  condition  imposee  a  la  masse  de  rester  de  revolution.) 

c.  II  existe  egalement  des  figures  d'^quilibre,  probablement  instables,  ou  la 
masse  se  subdivise  en  plusieurs  anneaux  concenlriques. 

d.  La  figure  annulaire  d'equilibre  est  stable  si  Ton  impose  a  la  masse  la 
condition  de  rester  de  revolution,  et  probablement  instable  si  Ton  supprime 
cette  liaison. 

e.  Si  Ton  impose  a  la  masse  la  condition  d'etre  ellipsoidale,  mais  non  d^tre 
de  revolution,  rellipsoi'de  de  revolution  est  stable,  si  Fexcentricite  estinferieure 
a  0,8127  et  instable  dans  le  cas  contraire.  (Nous  verrons  dans  la  suite  de  ce 

H.  p.  —  vii.  6 


42  SUR   L^QUILIBRE   D'tJNE   MASSE   FLUIDS    EN    ROTATION. 

M6moire  que  les  conditions  de  stability  roslent  les  mcmes  si  Pon  nt1.  s'impose 
aucune  liaison.) 

L'ellispoi'de  de  Jacobi  est  loujours  stable,  si  Pon  impose  a  la  masse  la 
condition  d'etre  ellipsoid  ale. 

/  et  g.  L'ellipsoi'de  de  Jacobi,  si  Ton  ne  s'impose  aucune  condition  ost 
certainement  instable  dans  corlains  cas,  biou  qu'il  soil  probablement  stable 
dans  d'aulres.  (Nous  dcSmontrerons  dans  la  suite  do  ce  Memoiro  qu'H  v  a 
effectivement  des  ellipsoides  de  Jacobi  qui  sont  stables.) 

Une  autre  forme  d'£quilibre  stable,  si  le  moment  de  la  quantity  de  mou- 
vetnent  est  assez  grand,  sera  celle  ou  la  masse  se  subdivide  on  <leux  corps 
isoles,  comparables  a  one  plancto  et  un  satellite  d«nl  los  vi tosses  de  rotation 
seraient  6gales  entre  elles  et  a  cellos  de  revolution. 

h.  II  existe  6galoment  des  configurations  on  le  iluide  se  subdivide  en  plus  de 
deux  masses  d4tach(5es,  mais  elles  sont  Jnslables. 

L  II  snbsiste  une  importante  lacune  entre  le  plus  grand  moment  de  la 
quantit^  de  mouvement  qui  correspond  a  un  ellipsoi'de  de  Jacobi  stable  ot  le 
plus  petit  moment  qui  correspond  a  IVupilibre  stable  de  deux  masses  Isoldes. 
II  y  aurait  int^ret  u  combler  cetle  lacune  par  cles  figures  mtcrm^diaires.  (J?ai 
fait  £  la  fin  de  ce  M<5moire  une  tentative  dans  ce  sens,  mais  je  n'ai  r^ussi  pour 
ainsi  dire  qu'a  amorcer  le  probleme  et  &  indiquer  la  voie  a  suivre.) 

j.  Si  P<£nergie  avec  un  moment  donnt's  est  un  minimum  on  un  maximum, 
l^quilibre  est  stable,  pourvu  que  le  liquido  soil  parfnitemenl  drtpourvu  de 
viscosit6.  II  est  probable  qu'il  est  inst{)]>le  si  l'6nergie  est  tin  «  minimax  »  mais 
cela  n'a  pas  encore  ^t^  d^montreS.  (Nous  verrons  dans  la  suite  de  ce  Mfanoire 
un  exemple  oil  l'(5quilibre  esl  stable  &  ia  condition  que  lefluidc  smlabsolument 
d^pourvu  de  viscosit6  et  bien  que  I'^nergie  soit  un  «  uiinimax»). 

k*  Si  le  liquide  est  visqueux,  et  si  peu  qu'il  le  soit,  l^quilibre  sera 
certainement  instable  si  P<5nergie  est  un  maximum  ou  un  minima*,  et  certaine- 
ment stable  si  elle  est  Tin  minimum. 

Je  donnerai  dans  la  suite  de  ce  travail  la  demonstration  de  quelqxies-unes 
des  propositions  que  sir  William  Thomson  avait  senlemenl  ^nonc^es,  et  je  les 
compUterai  m^me  sur  divers  points,  comme  je  Pai  d6j^  iadiqu^  dans  les 
parentheses  que  j'ai  int*erca!6es  dans  le  pr6c6dent  expos^. 

Je  d^montrerai  aussi  Pexistence  de  figures  d'^quilibre  tout  ^  fait  diffdrentes 
de  celles  dont  parlent  MM.  Tait  et  Thomson. 


SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  43 

J'ai  d6ja  donne  dans  le  Bulletin  Astronomique  (d)  une  courte  Note  ou 
j'cHudie  plus  en  detail  1'anneau  simple  ou  multiple  dont  il  est  question  dans  le 
passage  cit6  plus  haut  (6,  c  et  d). 

Dans  cetle  6lude,  je  me  suis  rencontr£  avec  Mme  Kowalevski  qui  avail  d£ja 
employ^  les  m£mes  proc^d^s  d'analyse  dans  un  Memoire  sur  1'anneau  de 
Saturne,  qui  avail  <H6  communiqu^  en  1874  a  l'Universil6  de  Goltingen  eL  qui 
nja  6l6  imprimd  qu'en  i885  dans  les  Astronomische  Nachrichten* 

II.  —  fiquilibre   de  bifurcation. 

Consid6rons  d'abord  le  cas  ou  il  s'agit  d'un  ^quilibre  absolu  et  d'un  sysleme 
donl  la  posilion  esl  d^finie  par  n  quanlit6s  x*,  #2.  .  .  .  ,  xn*  Supposons  qu'il  y 
ait  une  fonclion  des  forces  F(#i,  ^r2?  «•  •  -  ?  &n)  &e  fagon  que  T^quilibre  ait  lieu 
quand  loules  les  d6riv6es  de  cette  fonction  s'annulent  et  qu'il  soit  stable  quand 
cetle  fonclion  est  maximum.  Je  supposerai  qu'outreles  quantil6s#l5  x<^  ...,  Xn, 
il  enlre  dans  la  fonction  F  un  parametre  variable  y,  de  telle  sorle  que  les 
valeurs  des  x  qui  correspondent  a  1'^quilibre  dependent  de  ce  parametre  JK- 

Supposons  que  y  ail  une  valeur  d6terrnin6e;  les  Equations  d'6quilibre  : 

dF_  _  _^F  __       _  dF  __ 
^  '  *  "  ~ 


auront  un  certain  nombre  de  racines;  quand  on  fera  varier  y,  (si  F  est  une 
fonclion  holomorphe  des  x  et  des  y,  ce  que  nous  supposerons  d'abord),  ces 
racines  varieront  d'une  maniere  continue.  Nous  aurons  ainsi  un  certain 
nombre  de  series  lin^aires  de  racines  : 

#1—911  00,        #2=9i200>         •••»        ^=9i«(y); 


Dans  chacune  de  ces  sdries  lin^aires,  ^1}  x^  ...,xn  sont  des  fonctions 
continues  du  parametre  y.  Pour  cerlaines  valeurs  de  y,  deux  ou  plusieurs 
racines  peuvent  se  confondre.  Quelle  est  la  condition  pour  qu'il  en  soit  ainsi? 

Soit  A  le  determinant  fonctionnel  des  n  d6riv£es  —  >  -^3  •'•'•jg-  Par 
rapporl  aux  n  variables  xi,  x^  .  . . ,  xn,  ou>  en  d'autres  termes,  le  hessien  de 

0)  CEuvres  de  H.  Poincare^  ce  Tome,  p.  17. 


44  SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN   ROTATION. 

la  fonction  F  par  rapport  a  ces  n  variables.  La  condition  nicessaire  el  suffisanto 
pour  que  deux  ou  plusieurs  racines  se  confondoul,  eVst  que  A  soil  mil. 

Supposons  que  pour  une  certaine  valour  a  do^v,  pour  laquollo  A  s'annule, 
p  racines  des  equations  (i)  vionnenl  a  se  eoiifondre,  ou  on  d'autres  tonnes, 
qu'une  meme  racine  appartienne  a  la  fois  a  /;  series  lindaircs.  Parmi  les 
p  racines  qui  appartiennent  a  cos/?  series  lintaircs,  il  Y  on  aura  luy  qui  seronl 
imaginaires  et  p  —  %q  qui  soronl  rdolles  pour;)'  <  a;  il  y  en  aura  d'aulre  part 
27'  qui  seronl.  imaginaires  et/>  —  2/'  qui  seronl  reelles  pour  j"  >>  a. 

Si  p  =  2,  q  =  /'  =  o,  les  racines  des  deux  series  lineaires  sonl  reelles,  el  Ton 
a  ainsi  une  racino  qui  apparlienl  &  la  fois  a  deux  series  niellos. 

Si  p  =  2,  q  =  o?  r  =  i ,  les  racines  sonl  toules  deux  reelles  pour  j-  <C  cc?  el 
toutes  deux  imaginaires  pourjr  >•  «•  Quand  j-  en  croissant  alleinl  ot  dopassela 
valeur  a,  deux  racines  reelles  se  confondenl,  puis  deviennent  imaginairos. 

Si  p  =  3?  q  =  /"  •»=  i ,  il  y  a  pour  %r  <  a  ol  pour  y  >>  a,  une  racine  roelle  el 
deux  iinaginaires,  de  sorte  que  la  racine  qui  correspond  i\y^a  n'appartient 
qu'A.  une  seule  s6rie  rdelle.  Mais  il  est  ais<5  de  voir  dans  ce  cas  que  A  s''anntile 
sans  changer  de  signe. 

II  est  inutile  do  citer  d'autres  cas  parliculiers,  j'arrivc  tout  de  suite  au 
r6sultat  g6n6ral  que  j'ai  en  vue.  Soil 

une  s^rie  lin^aire  de  racines;  91,  93,  .  .  .,  9^  olant  des  fonclions  continues  ct 
uniformes  dej".  Supposons  de  plus  que  pour  les  valours  de  ;r  voisincs  de  a, 
qu'elles  soient  inf^rieures  ou  sup6rieurcs  u  cette  quauliu^  les  fonclions  9^, 
9s*  •  *  •  *  ?«'  resient  reelles.  Si  Ton  substiluo  dans  A(,ri,  ^a,  . .  .,.r/ij  t>'),  o-j, 
92,  . . . ,  9/1  a  la  place  de  a?<2  x^  .  .  .,  &n,,  celte  fonction  A  no  d^pendra  plus 
que  de  y.  Je  suppose  que  pour  jr=a,  la  fonction  A(/)  change  do  signe, 
Je  dis  alors  que  la  racine  91  (a),  9a(#),  .  •  .^  9«(«)  nppnrliondra  non  sotilentcnt 
c\  la  s6ric  (2)  mais  &  une  aulre  s6rie  Iin6aire  de  racines  rcielles. 
Avant  de  d6montrer  ce  rdsultat  gcSniral,  donnons  quelques  exemples*  Soil 

F  =  A#f  H~  -xxl 
II  vienl  pour  les  Equations  d'iquilibre  : 

&l  5=5    0, 


SUR   L'EQUILIBRE   D'UNE  MASSE   FLUIDE   EN  ROTATION.  45 

Pour  les  valours  de  y  comprises  entre  z£ro  et  —  -  a  les  valeurs  de  #2  sont 
imaginaires;  elles  sont  reelles  pour  les  autres  valeurs  de  y.  Pour  y~o,  et 
pour  y  =  —  a,  les  racines  passent  du  r£el  a  Fimaginaire  ou  r^ciproquement; 
cjest  aussi  pour  ces  m£mes  valeurs  que  A  s'annule. 

Faisons  en  particulier  :  a  =  o;  il  j  aura  deux  series  lin^aires  de  positions 
d^quilibre  : 

(2)  #1=0,         #2  =  7 

et 

(3)  #i=o3      #2  =  —  r- 

Consid^rons  la  premiere  de  ces  series;  pour  chacune  des  positions  qui  lui 
appartiennent  on  aura 

A 


Quand  y  variera  depuis  —  oo  jusqu'a  -(-co,  les  valeurs  de  x{  et  de  #2  resteront 
reelles,  mais  quand  y  passera  par  z6ro,  A  changera  de  signe.  Done  en  verlu  du 
principe  que  je  viens  d'^noncer,  la  position  d'^quilibre  qui  correspond  ^L  la 
valeurjK  —  o,  c'est-a-dire 

X\_  =  O,  #2=  O, 

appartiendra  non  seulemenL  a  la  s^rie  (2),  mais  encore  a  une  autre  s^rie 
Iin6aire   de   positions   d'^quilibre.    II  est  aise  en  effet   de   constater  qu'elle 
appartient  ^galement  a  la  s£rie  (3). 
Soit  maintenant 


F  = 
Les  Equations  d'^quilibre  deviennent 


II  n'y  a  qu'une  s^rie  de  positions  d'equilibre  reelles,  ci  savoir  : 

#1  =  0,       ^2  =  y7 

et  Ton  voit  que  ces  positions  restent  reelles  quand  y  varie  de  —  oo  &  -+-co. 
A.ucune  de  ces  positions  ne  peut  done  appartenir  &  plusieurs  series  de  positions 
d;6quilibre  r6elle$  comme  cela  avait  lieu  tout  &  Pheure.  Cependant 


syannule  pour  y  =  o,  mais  sans  changer  de  signe. 

Pour  dchnontrer  ce  principe  que  je  viens  d^noncer  et  d'illustrer  par  quel- 
ques  exemples,  je  supposerai  que  n  =  i:  de  telle  facon  que  je  n'aie  plus  que 


46  SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 

deux  variables  :  x  qui  defmit  la  position  da  systemc  et  le  paramtHre  y.  ( )n  aura 

_  /AF 

et  liquation  d'^quilibre  sera 


Liquation  F'f^j)  =  o  pourra  £trc  considiirec  eomme  represenlant  une 
courbe  plane  C.  Soil  a?  =  <p(y)  une  function  uniforms,  reelle,  lime  ot  continue 
satisfasse  &  liquation 


Liquation  #  =  op(y)  reprdsentera  alors  une  des  branches  li  do  la  courbe  C. 
Soit  M(#  =  a,  y  =  (3)  tin  des  points  de  cello  branche  de  courbe.  Supposons 
que  lorsqu'on  suit  cetle  branche  de  courbe,  on  vote  A  changer  de  signe  au 
moment  ou  Fon  franchit  le  point  M.  Je  dis  qu'il  passera  par  le  point,  M  une 
autre  branche  de  la  courbe  C. 

Soient  en  eflfet  P  le  point  de  la  branche  B  qui  a  pour  ordonutf  e  y  =  ^  —  e  <»i  Q 
le  point  qui  a  pour  ordonnee  y  =  p-+-e(e  (Hunt  ires  petit),  Cos  deux  points 
sont  niels,  puisque  par  hypothese  cp(jr)  csi  une  fonclion  r<Sello  de  y.  Jo  suppo.se 


par  exemple  qu'au  point  P,  -j-^  =  A  soit  posilif,  et  n^galif  au  point  Q, 

Par  les  points  P  et  Q,  je  mene  des  paralleles  a  Faze  des  #  el  jtj  prends  sur 
ces  paralleles  deux  points  l>f  et  Q;  a  gauche  de  P  et  de  Q.  Au  point  P,  -^  est 


nul  et-^-v  positif;  done  si  le  point  P'  est  assex  voisin  de  P,  la  d<!riv6e  premiere 

CtHC" 
//P 

-T-  y  sera  negative.  On  verra  de  la  meme  fac;,on  que  si  le  point  Q'  est  assc/* 

voisin  de  Q,  -r-  y  sera  positive.  Allons  du  point  P/  au  point  Q'  eu  suivant  une 
courbe  qui  s'^loigne  tres  peu  de  la  branche  13,  uiais  qui  ne  coupe  pas  cette 
branche;  cela  est  toujours  possible.  Nous  verrons  ~  chaixgor  de  signe;  il  faut 
done  qu'^i  ua  certain  moment  -r-  s'annuie  et  par  consequent  que  nous  traver- 

sions  une  branche  de  la  courbe  G.  II  y  a  done  une  seconde  branche  de  cette 
courbe  qui  vient  passer  par  le  point  M. 

En  d'aulres  termes,  ce  point  M  est  au  moins  un  point  double  dela  courbe  C; 
je  puis  m&me  affirmer  que  c'est  un  point  multiple  d'ordre  pair. 

II  est  a  remarquer  que  dans  la  demonstration  pr6c6dente,  nous  a'avons  pas 
^t^  obliges  de  supposer  que  la  fonction  F  est  holomorphe,  mais  seulement 


SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  47 

qu'elle  est  finie  et  continue  ainsi  que  ses  d6riv6es  des  deux  premiers  ordres. 
11  y  a  ua  cas  particulier  sur  lequel  il  est  necessaire  d'attirer  1'aitention.  Soit 


Nous  avons  une  premiere  s6rie  de  positions  d^quilibre  r6elles  qui  nous  sont 
donn6es  par  liquation  #  =  o.  Comme  A  s'annule  avecy,  il  doit  passer  par  le 
point  x=y  =  o  une  seconde  branche  de  la  courbe  G  et  en  se  reporlant  a  la 

<^P 
valeur  de  -T-?  on  voit  que  cette  seconde  branche  n'est  auLre  chose  que  la  droite 

y  —  o.  Gette  droite  ne  repr^sente  pas  une  s6rie  lin^aire  de  positions  d'^quilibre 
analogue  a  celles  que  nous  avons  rencontr^es  jusqu'ici.  C'est  une  s&rie  de 
positions  d'equilibre  indifferent;  car  si  y  s?annule,  l^quilibre  subsiste  quel 
que  soit  x. 

Supposons  maintenant  que  la  fonction  F  ne  contenant  toujours  qu'une  seule 
variable  a?,  d^pende  non  plus  d'un.  seul  parametrej^,  mais  de  deux  param^tres 
y±  et  JK2'  Nous  pourrons  regarder  x,  y±  et  y2  comme  les  coordonn^es  d'un 
point  dans  Fespace;  alors  liquation 


repr^sentera  une  surface  S  dont  chacun  des  points  correspondra  a  uue  position 
d'equilibre. 

Liquation 

d^ 

A=  -r-r   =  O 

dx^ 

repr^sentera  une  seconde  surface  S'.  Supposons  que  Ton  considere  une  nappe  N 
de  la  surface  S  repr6sent6e  par  une  Equation 


ou  9  est  une  fonction  finie,  continue  et  r£elle  deyi  et  dejKa-  Supposons  que 
cette  nappe  soit  couple  par  la  surface  S'  et  de  telle  sorte  que  A  change  de  signe 
quand  on  traverse  la  surface  S'  en  suivant  la  nappe  N.  Alors  la  courbe  d'inter- 
section  de  N  et  de  S'  est  une  courbe  double  (on  multiple  d'ordre  sup&rieur, 
mais  pair)  de  la  surface  S,  par  laquelle  vient  passer  une  autre  nappe  N7  de  cette 
surface  S. 

11  suffit  en  effet  pour  etre  ramen6  au  cas  d'un  seul  param<Hre,  de  supposer 
une  relation  lin^aire 


48  SUR  L'£QUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION* 

ou  en  d'a  utres  termes,  de  coupor  les  surfaces  S  el  S'  pur  un  plan  quelccmque 

parallele  u  1'axe  des  x. 

On  arriverait  (Svidemment  a  un-  nisullal  analogue  dans  Ic  cas  ou  I'on  aurait 
p  paramelres  y* ,  73,  .  .  . ,  yf>. 

Supposons  maintenant  71  =  2;  de  tclle  far. on  quo  nous  ajons  deux  variables 
os\  et  #2  dcifinissant  la  position  du  sysleme,  ct  un  soul  pnram<>tro  y.  Jo  regar- 
derai  alors  #1,  x^  et  v  commc  les  coordonn<$es  d'tm  point  dans  I'ospace.  Les 
Equations  d'^quilibre  : 

—  =  o  —  =  o 

f/JTi  ~~  )?         fte'l  *""" 

repr^senteront  alors  deux  surfaces  Si  el  Sa  dent  1'intersection  sera  tmc  courbe 
gauche  C.  Soicni 

(4)  ^i  =  ?iO'),       .^=9fl(.r) 

deux  fonctions  finles,  continuos  el  rcScllcs  dcM'  ot  snppo.sous  (jue  cos  Equations 
(4)  repr6sentent  une  brancho  B  de  la  cotirbo  C.  Soit  M  un  point  de  cello 
branchc  B;  snpposons  <fuo  si  Ton  suit  la  brancho  B  dans  Ic  scn.s  dcs  y 
croissants,  on  voie  A  changer  de  signc  au  inoinenl  ou  Ton  fraiiclut  lo  point  M. 
Soient  P  et  Q  deux  points  do  B  ajant  pour  orcl ounces  y^^fj  --  e;  %r  ~(3  +•£; 
(lyordonn(§e  du  point  M  etant  y^r-(3).  Au  point  P,  A  sera  par  cxmnplc  posi(if9 
et  ncSgatif  au  point  Q. 

S'il  en  est  ainsi,  je  dis  qu'il  passcra  par  le  point  M  une  seconde  braucho  de 
la  courbe  C. 

En  effet,  par  les  divers  points  dc  I'arc  do  courbo  P(j(  falsons  passordos  plans 
parallelcs  au  plan  des  &iX%  et  dans  chacun  de  ces  plans  d^crivons  ime  circon- 
f(5rcnce  dc  rayoa  r  ayant  son  centre  au  point  correspoiulant  do  I'arc  PQ.  (les 
diverses  circonf6rences  engendrcront  une  cortamo  surface  i  qui  sera  donble- 
ment  connexe  et  Iimit6e  par  lea  deux  circonferenccs  \\  et  K'  qui  ont  pour 
centres  les  points  P  et  Q.  De  plus,  d'apr&s  ce  mode  de  generation  aucun  point 
de  la  branche  B  ne  pent  se  trouver  sur  la  surface  i. 

l^ur  trouver  le  nombre  des  points  d;intcrsection  do  coltc  surface  51  avoc  la 
courbe  C,  il  faut  maintenant  chcrchcr  ce  que  M.  KLrouocker  appellc  (Berliner 
Monatsberichte,  mars  t86g)  la  caracteristique  du  systeme  des  surfaces  2,  S 
et  Si.  Le  nombre  des  points  d'intersection  de  ces  trois  surfaces  (ou  si  Font 
veut  de  la  surface  2  et  de  la  courbe  G)  qui  satisfont  &  cerlaiaes  conditions, 
diminu6  du  nombre  des  points  d'intersection  qui  ne  satisfont  pas  i\  ces  m&mes 
conditions,  est  cSgal  d'apr^s  le  Mimoiro  cil6  de  M.  Kronccker  ^  uae  ccrtaine 


SUR   L'^QUIUBRE   D'UNE   MASSE   FLUIDE   EN  ROTATION.  49 

inlegrale.  GeLle  integrate  est  prise  le  long  des  limites  du  domaine  2,  c'est- 
a~dire  le  long  des  deux  circonf^rences  K  et  K/. 

L'espace  pourra  £tre  regard^  comme  partag£  en  quatre  regions  a,  6,  c,  d 
suivant  le  signe  des  deux  fonctions  -r—  et  ^—  Dans  la  region  a,  par  exemple, 

Ct  00  i  CtOC  2 

les  deux  fonctions  seront  positives;  dans  la  region  6,  -^—  sera  positif  et  — 

n&gatif,  etc.  A  £tant  positif  au  point  P,  on  rencontrera  en  suivant  la  circon- 
ference  K  les  quaere  regions  dans  Pordre  circulaire  abed,  pourvu  loute- 
fois  que  /*  soit  suffisamment  petit.  Nous  supposons  qu'on  ail  parcouru  K  de 
fagon  a  laisser  a  sa  gauche  le  domaine  2.  L'int^grale  de  M.  Kronecker  le  long 
de  K  cst  alors  ^gale  &  i  .  A  6tant  n^gatif  au  point  Q,  on  rencontrera  en  suivant 
K'  les  quatre  regions  dans  Pordre  circulaire  adcb,  si  Pon  d6crit  cette  circon- 
f6rence  dans  le  m£me  sens  que  K.  Mais  si  Pon  veut  laisser  le  domaine  5  a  sa 
gauche,  il  faut  d6crire  K;  en  sens  contraire  et  alors  les  quatre  regions  se 
succedent  dans  Pordre  abed.  L'int^grale  est  done  encore  ^gale  a  i  etPint^grale 
to  tale  est  ^gale  a  2. 

Le  nombre  des  points  d'inlersection  de  2  et  de  C  est  done  au  moins  egal  a  2  ; 
et  aucun  de  ces  points  ne  peut  nppartenir  a  B.  Tl  faut  done  que  par  Ic  point  M 
passe  une  seconde  branche  de  la  courbe  C.  c.  Q.  F.  D. 

(Dans  le  cas  ou  le  lh<§oreme  de  M.  Kronecker  s'applique  a  une  multiplicity 


a  deux  dimensions  et  a  deux  fonctions  X  et  Y,  et  ou  par  consequent  son  i 
grale  doit  etre  prise  le  long  d'une  courbe  ferm^e,  on  voit  ais^ment  que  cette 

Y 
int^grale  est  ^gale  a  la  demi-diflf^rence  du  nombre  de  fois  que  =  saute  de  —  oo 

Y 

a  -+•  oo  et  du  nombre  de  fois  que  ^  saute  de  -j-  oo  a  —  oo  . 

Le  r6sultat  s'6tcndrait  sans  peine  au  cas  ou  nous  aurions  un  plus  grand 
nombre  de  variables.  Le  th^oreme  de  M.  Kronecker  serait  en  effet  encore 
applicable. 

R6sumons  les  r^sultats  de  ce  paragraphe. 

Les  formes  dy<5quilibre  du  systeme  consid^re  sontdonn^esparles  /liquations 

dF_  ___  ^F  _       _  j^F_  __ 
ct&\        dx%       '  *  *      dxn 

Ges  n  equations  auront  un  certain  nombre  de  solutions  r^elles  et  quand  y 

variera  d'une  fagon  continue,  ces  solutions  varieront  elles-memes  d'une  fagon 

continue  de  maniere  a  former  diverscs  series  lin&aires  de  formes  d'&quilibre. 

H.  p  —  vn.  7 


5o  SUR  L'^QUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 

11  pourra  d'ailleurs  arriver  qu'une  memo  forme  dVquilibre  nppartieniie  n  la 
fois  a  deux  ou  plusieurs  scries  lindaires.  Nous  dirons  alors  <[ue  c'cst  \in*f  or  we 
de  bifurcation.  On  pcul,  en  eflet,  pour  une  valour  de  y  infiniment  voisino  de 
celle  qui  correspond  a  cette  forme,  irouver  deu.e  formes  dYupilibre  qui  dif- 
ferent infiniment  pen  de  la  forme  de  bifurcation. 

II  pent  arriver  igalemenl  quo  deux  series  lin&iiros  de  formes  dYquilibre 
rielles  viennent,  quand  on  fait  varior  y,  a  se  confondro,  puis  a  disparallre, 
parce  quo  les  racines  des  Equations  d'dquilibre  dcviunnenl  imaginaires.  La 
formo  d'fiquilibre  correspondanle  s'appellera  alors  forme,  limit?.* 

Une  forme  d'equilibre  ne  pout  6tre  une  forme  de  bifurcation  ou  une  forme 
limite  qu'a  la  condition  que  A  soil  mil.  tl  n'\suHe  de  la  quo  si  h»s  Equations 
d^quilibre  admettonl  pour  une  cerlaine  valeur  de  r  une  solution  pour  laquell^ 
A  ne  soit  pas  nul,  olios  en  admeitront  encore  une  el  infiniment  pen  diflrrente 
de  la  premiere,  pour  les  valeurs  do  y  sufiisammeiil  voisincs  de  cello  que  Ton 
avail  consid^rde  d'abord.  En  effet  s'il  n?on  dlail  pas  ainsi,  la  forme  d'equilibre 
qui  correspond  a  la  premiere  solution  serail  une  forme  limite,  ce  qui  exigerail 
que  A  fut  mil. 

Si  Fon  suit  une  serielin^aire  de  formes  dYquilibre  rdolles  en  faisant  varior  y 
et  que  Ton  voie  A  s'annuler  el  changer  de  signe,  la  forme  d'6(iuilibre  corres- 
pondanle ne  pcul  elre  une  forme  limite  puisquo  Itis  formes  d'6quilibrc  ires 
voisines  qui  appartiennenl  a  la  s6rie  lindaire  sent  suppost^es  roolles.  11  r6sullo 
de  ce  qui  prdc6de  que  c'est  to  uj  ours  \w\&  forme  de  bifuTwttion. 

Si,  enfin,  en  suivant  unesdrie  lindaire  de  formes  rrtelles,  on  voit  A  s'aunulor, 
mats  sans  changer  de  signe,  on  esl  s\lr,  pour  La  rmison  quo  jo  vions  do  dire,  que 
la  forme  correspondante  n'est  pas  une  forme  limite.  Elle  peut  <Mre  une  forme 
de  bifurcation,  mais  il  n'en  est  pas  loujours  ainsi. 

III.  —  ^change  des  stabilit^s. 
Consid^rons  la  forme  quadratique 


contenant  les  n  ind<5termin4es  Xi,  X2,    .  ,  ,,  X,/,.  Cette  forme  aura  pour  dis- 
criminant A. 

Pour  que  Teq-uilibre  soit  siable,  il  faut  et  il  suffil  (puisqu3il  s'agil  d'un  dqui- 


SUR  L'£QUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION,  5i 

libre  absolu)  que  la  fonction  des  forces  F  soit  maximum,  c'est-a-dire  que  la 
forme  <S>  soil  d&Snie  negative. 

Imaginons  qu'on  ait  d6compos6  la  forme  &  en  une  somme  de  n  carres  : 


ou  Yf  est  une  fonction  lineaire  des  X.  Supposons  que  parmi  les  coefficients  a, 
que  j'appellerai  coefficients  de  stabilil^,  il  y  en  ait  v  positifs  et  n  —  v  n^gatifs. 
A  sera  positif  si  n  —  v  est  pair,  et  n^gatif  si  n  —  v  est  impair.  A  sera  nul  quand 
an  des  coefficients  a  s'annulera.  Enfin  il  j  aura  stability  si  tous  les  coefficients 
de  stabilite  sont  n6gatifs.  II  est  inutile  de  faire  observer  que  le  nombre  v  est 
iudependant  de  la  maniere  dont  la  forme  <D  a  6l£  decompos^e  en  carres. 

Supposons  que  pour  o?i  =  #2^,  .  .  —  #n  =  o:  y-^  o,  on  ait  une  forme  d'^qui- 

libre  de  bifurcation,  c'est-a-dire  que  les  n  d^rivees  partielles  -r—  s'annulent 
ainsi  que  A.  Je  dis  qiie  nous  pourrons  toujours  supposer  que  Ton  a  aussi 


Eneffet,  cela  revient  a  dire  que  la  forme  <J>ne  contient  pas  de  termes  rectangles; 
or,  s'il  n'en  6tait  pas  ainsi,  on  pourrait  toujours  decomposer  la  forme  $  en 
carr£s,  comme  on  Fa  dit  plus  haut,  c'est~£hdire  qu'on  pourrait,  par  une  trans- 
formation  lin^aire,  faire  disparaitre  les  termes  rectangles.  Les  coefficients  de 

stability  sont  alors  -r— ?*'  TTT'  •  *  * '  "TTT*  Pour  que  A  s'annule,  il  faut  et  il  suffit 
qu'un  ou  plusieurs  de  ces  coefficients  s'annulent.  Supposons  par  exemple  que 
-r^-  s'annule  et  que  les  a-utres  coefficients  ne  s'annulent  pas.  Supposons  enfin 

que  la  fonction  F  soit  holomorphe  et  puisse  se  d<5velopper  suivant  les  puissances 
de  x  et  de  y. 

De  liquation  -7—  =  o  nous   tirerons   x*   en  fonction  holomorphe  de  a?*, 

^  a,z?2 

^3,  . .  . ,  Xn  ety.  Pour  que  cela  soit  possible,  il  suffit  que  -T-T  ne  so^  Pas  nul? 
ce  qui  a  lieu  en  effet.  Substituoris  ensuite  partout  a  la  place  de  #2  la  yaleur 
ainsi  trouv^e.  De  liquation  -7—  =  o,  nous  tirerons  ensuite  #3  ea  fonction 

*  airs 

/T^2  T7 

holomorphe  de  3?i,  ^A,  . . . ,  xn  ety,  Cela  est  encore  possible  parce  que  -^  n'est 
pas  nul.  On  continuera  de  la  sorte  jusqu'a  ce  qu'il  ne  reste  plus  que  deux 
variables  x\,  et  y  et  une  seule  Equation  d'^quilibre  -r—  =  o.  Quant  a  #2) 


52  SUE  1/liQUlLlBtfE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN   ROTATION, 

,r,»,  ....  #/i,  les  autres  equalions  d76quilibre,  r<Jsolues  eomme  on  vieixt 
dire,  les  fournissent  sous  la  forme 

(.0  •>*.!  =  9a(^i,y),          •£;:=  =  s(  ."i,  .)'  J:  .....  ''//  -  ?n(.'*i,  .>  ,K 

les  cp  etant  holomorphes. 

Quanta  liquation  -TT-  =  o?  elle  s'dcrira,  loutes  reductions  fakes, 

~~  f<  iff  | 


(  2  )  o  =  n  x\  -\  -  a  b  ,/;, 

0  represenLant  un  ensemble  de  termes  de  degr6  sup6rieur  au  second  en  x{  ot  j". 
On  voit  que  si  #,.  et  y  sont  les  coordonn^es  d'un  point  dans  un  plan,  eetle 
Equation  repr^sente  une  courbe  a  point  double,  ce  qui  montre  de  nouveau  que 
la  forme  d'^quilibre  consid^rio  esl  une  forme  de  bifurcation.  Nous  sup- 
poserons  (  '  ) 

/;•  —  nc  ^>  o. 

Nous  tirerons  alors,  de  1'riquation  (2),  .r4  eu  ibnclion  dej-  de  deux  inauieros 
dijff^rentes 


les  cjj  6tant  holomorphes,  Les  deux  Equations  (3)  joinles  aux  equations  (  i  )  noms 
donnent  les  deux  series  lin<Saires  de  forme  d'tfquilibre. 

Formons  A  el  consid^ronsle  d'abord  comme  fonction  de  #<,  %.2 x,,  et  >\ 

En  remplagant  #2 #n  par  lein^s  valeurs  tiroes  des  Equations  (i),  A  no  sera 

plus  fonction  que  do  #4  et  de  y  et  Ton  recorxnaitra  ais&neut  que 

A  =  a  M  ( ^^i  4-  ^r )  -H  At , 

M  Slant  le  produit  des  n  —  i  d6riv^es  —,,  —,,  * .  • ,  ~  ot  At  <Uant  un  ensemble 
de  termes  de  degrti  suptkieur  au  premier. 

Liquation  A  =  o  repr^sentera  alors  une  couj*b(j  A  passant  pur  1'origine  dans 
le  plan  des  x,  y  et  liquation  (a)  veprcisentera  une  courbo  C  formic  de  deux 
branches  B  etBr.  Les  Equations  de  ces  deux  branches  de  courbc  qui  nc  soul 
autres  que  les  Equations  (3)  pourront  s?(5crire 

'  b  •  *  \Jb*  -     «c  \    ,   \ 

-t-  1  21 


(*)  Si  £3—  ac  est  nul,  la  forme  d'equilibre  est  on  general  une  forme  iimite;  cepondanl   «ll«t 
est  de  bifurcation  dans  certains  cas  exceptionnels.  (J.  L,). 


SUR  L^QUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN   ROTATION.  53 

Y^  et  Y2  <itanldes  termes  de  degre  sup^rieurau  premier.  Si  dans  P  expression  A 
on  remplace  x\  par  ^  (y)  ou  par  fy*(y),  on  trouve 


A  =  zfc  2  M  \ 

A2  repr^sentant  un  ensemble  de  termes  de  degr6  sup6rieur  au  premier.  Le 
signe  -+-  se  rapporte  &  la  substitution  de  <|/,,  c'est-a-dire  a  la  branche  B  el  le 
signe  —  H  la  substitution  de  d»2,  c'est-a-dire  a  la  branche  B'. 

Ainsi;  que  Ton  suive  la  branche  B  ou  la  branche  B',  on  verra  A  changer  de 
signe  en  meme  temps  que  y.  De  plus  pour  toutes  les  valeurs  de  y,  voisines  de 
z&ro,  A  a  des  valeurs  de  signe  contraire,  selon  qu'on  suit  la  branche  B  ou  la 
branche  B'.  Par  exemple,  pour  y  positif,  A  sera  positif  sur  la  branche  B  et 
n^gatif  surla  branche  B';  pour  y  n^gatif,  ce  sera  le  conlraire,  A  sera  n6gatif 
sur  la  branche  B  et  positif  sur  la  branche  B', 

Supposons  qu'a  Porigine,  un  des  coefficients  de  stability  soil  nul  (ce  qui  est 
conformeaPhypothesefaiteplus  haut),  que  v  de  ces  coefficients  soient  n^gatifs 
et  n  —  v  —  i  positifs.  Dans  le  voisinage  de  Porigine,  il  y  aura  toujours  (par 
raison  de  continuity)  v  ou  v  -4-  i  coefficients  de  stability  n^gatifs.  Si  v  est  pair, 
il  y  en  aura  v  loutes  les  fois  que  A  sera  positif  et  v  4-  i  toutes  les  fois  que  A  sera 
n^gatif.  Ce  sera  le  contraire  si  v  est  impair. 

II  r^sulte  de  14  que,  si  pour  y  positif,  on  a  v  coefficients  n6gatifs  sur  la 
branche  B  et  v  +  i  coefficients  n^gatifs  sur  la  branche  B',  ce  sera  1'inverse 
poury  n6gatif  et  Ton  aura  alors  v  -j~  i  coefficients  n6gatifs  sur  la  branche  B  el  v 
sur  la  branche  B'.  Si  au  contraire  on  a  pour  y  positif,  v-f-i  coefficients  n£gatifs 
sur  la  branche  B  et  v  sur  la  branche  B(,  on  aura  inversernenl,  pour  y  n^galif, 
v  coefficients  n^gatifs  sur  la  branche  B  et  v  +  i  sur  la  branche  B'. 

Pour  qu'il  y  ait  stability  il  faut  et  il  suffit  que  tous  les  coefficients  de  stabi- 
Iit6  soient  n^gatifs.  Si  done  pour  y  positif  il  y  a  stability  sur  la  branche  B  et 
instability  sur  la  branche  B';  ce  sera  1'inverse  pour  y  n^gatif.  De  m&me  si  pour 
y  positif  il  y  a  instability  sur  la  branche  B  et  stability  sur  B;,  ce  sera  encore 
1'inverse  poury  n^gatif.  En  d'autres  termes,  il  y  a  ^change  des  stabilit&s  entre 
les  deux  branches  B  et  B;  au  moment  ou  elles  se  croisent. 

Pour  £tablir  ce  r^sultat,  j'ai  suppos^,  non  seulement  que  F  ^tait  continue 
ainsi  que  ses  ddriv^es  des  deux  premiers  ordres,  mais  encore  que  cette  fonction 
6tait  holomorphe.  Cette  hypothese  n'est  nullement  n^cessaire.  Pour  le  faire 
voir,  je  vais  reprendre  le  raisonnement  en  supposant  n  —  i  . 

Dans  ce  cas,  la  courbe  C  se  rdduit  a  une  courbe  plane  el  A  a  •^5-'  Soil  O  le 


54  SUR  L'EQWLIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 

point  du  plan  qui  correspond  a  la  forme  d'iSquilibiT  do  bifurealiou.  Du  point  (  ) 
comme  centre,  dticrivons  un  ccrclc  K  de  rayon  Uvs  petii,  He  cerclo  Iv  reneon- 
trera  la  courbe  C  en  un  certain  nombro  de  poinls.  II  rfisullc  An  raisonm'inenl 
du  paragraphe  pr<5c6dent,  quo  si  un  arc  de  courbe  joint  deux  points  do  C  cm  h 
signe  de  A/  ne  soil  pas  le  infimo,  col  arc  devra  couper  la  courbe  C  en  un  nomhre 
impair  de  poinls;  el  qua  si  an  contrairc  Ay  a  xn^mc  signe  aux  deux  extremes, 
Fare  de  courbe  consider6  devra  couper  G  on  un  nombre  pair  do  poinls.  Done  si 
1'on  envisage  lesdiflferenis  points  d'inlerseciion  de  C  otde  K  dans  I'ordreou  i'on 
rencontre  en  suivani  le  corcle  K,  on  verra  quo  Ar  y  sera  aliernntivommitposilii 
et  nfigatif.  Le  nombre  total  des  points  d'inUsrsociion  «st  done  pair.  Si  nous 
snpposons  en  particulier  quo  deux  branches  do  eourbu  soulomenl  vicntumi 
passer  au  poinl  O,  nous  aurons  alors  deux  points  d'inlorseotion  a,  el  a*  ou  y 
sera  nigalif  et  deux  points  d'inlerboction  (3,  oi  (3a  ou  y  sera  posit  if.  La  Immehe 
O(3i  devra  alors  dire  regarded  commc  le  prolongeauont  tie  la  brandies  x^O,  de 
m^me  que  O(32  comme  le  prolongemeni  de  oca(),  J«  suppose,  pour  fixer  les 
id6es,  quyeii'a,,?  A  soil  posilif,  Alors  (Papresla  jvgle  qui  precede,  A  sera  nrtgatif 
en  ocii?  n^gatif  encore  en  (3,  et  positif  en  (32?  co  qui  coufirmo  le  rtlstillat  pr^c^- 
deinoient  obtenu.  Tl  serait  aisA,  d'aprfis  les  considerations  que  je  viens  d'oxposer, 
de  voir  ce  qui  se  passeraii  si  plus  de  deux  branches  de  courbes  venaient  passer 

enO. 

Nous  avons  dit  plus  haul  que  si  ea  suivant  uae  s^rie  r<Selle  de  formes  dVtfjui- 
libre,  oa  voyait  A  s'aanuler  sans  changer  de  signe,  on  ne  pouvait  affircnor  qu« 
la  forme  correspondante  fCit  une  forme  de  bifurcation.  Nous  pouvons  rein  a  r- 
quer  que  A  peut  de  deux  manures  s'annuler  sans  changer  de  signe.  11  pout 
arriver  ou  bien  que  plusieurs  coefficients  de  stability  s'annulcnt  sans  changer 
de  signe;  ou  bien  que  deux  (ou  un  nombre  pair)  de  ces  coefficients  chaugeni 
de  signe.  Dans  le  premier  cas,  nous  ne  pouvons  en.  effet  rien  a  f  firm  or  j  voyons 
ce  qui  se  passe  dans  le  second. 

Nous  supposerons  pour  fixer  les  id^es  que 


F 


II  arrivera  alors  que  des  n  —  a  Equations  d'6quilibre 


SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  55 


on  pourra  tirer  a?tj,  x$}    .  .  .,  xn  en  fonctions  holoniorphes  de  #1,  #2  etjp.  Si 
dans  les  deux  autres  equations  d'equilibre 


on  substitue  ces  valeurs  de  a?3,  a?,,  .  .  .  ,  xtlj  ces  equations  deviennent 

(4)  <E>jH-  <I>,=  O,  $',  -f-$i  =  05 

ou  <£|  el  O'j  repr^sentent  un  ensemble  de  termes  du  deuxieme  degr£  en 
x\)  .#2,  y  et  <3>2  et  4X2  un  ensemble  de  termes  de  degr6  sup^rieur  an  second; 
(si  1'on  suppose  conime  plus  haul  que  la  position  d'^quilibre  envisagee  soit 


Regardons  o?1?  ^2  etj^  comme  les  coordonnees  d'un  point  dans  I'espace.  Les 
deux  Equations  (4)  repr6senteront  deux  surfaces  ajant  chacune  a  Forigine  un 
point  conique  du  deuxieme  ordre.  L'intersection  de  ces  deux  surfaces  sera  la 
courbe  C.  On  voit  que  par  Porigine  passeront  quatre  branches  de  la  courbe  C, 
r^elles  ou  imaginaires.  Mais  une  de  ces  quatre  branches  est  certainement  r6elle, 
puisque  j'ai  suppos6au  d^but  qu'ona  pu  suivre,  danslevoisinage  de  la  position 
d'^quilibre  envisagee,  une  s^rie  de  formes  d'6quilibre  r6elles.  II  faut  done  qu'il 
v  ait  une  autre  des  quatre  branches  qui  soit  r^elle.  La  forme  d'^quilibre  envi- 
sag^e  est  done  de  bifurcation. 

D'ou  la  conclusion  suivante  : 

Pour  qu'une  forme  d'equilibre  appartenant  a  une  s6rie  Iin6aire  r^elle  soit  de 
bifurcation,  il  suffit,  non  seulement  que  A  change  de  signe,  mais  que  Fun 
quelconque  des  coefficients  de  stability  change  de  signe. 

IV.  —  Gas  (Tun  nombre  infini  de  variables. 

Les  problemes  trails  dans  les  deux  paragraphes  pr^c^dents  ne  pr^sentent 
aucune  espece  de  difficult^.  Malheureusemcnt,  lorsqu'on  recherche  la  figure 
d'^quilibre  d'une  masse  fluide  soumise  a  diverses  forces/  la  question  est  beau- 
coup  plus  compliqn^e.  En  effet,  la  ligur.e  d'une  pareille  masse  depend,  non  pas 
d'un  nombre  fini  de  variables  #<,  x^  ----  xn,  noiais  d'un  nombre  infini  de 
variables. 

Supposons  par  exemple  une  aire  plane  A  peu  diflferente  d'un  cercle  ;  liquation 


56  SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FUJIDE  EN  ROTATION. 

de  la    eourbe   qui  limite   cette   aire   plane   pourra    s'eerirt\    en   coor 

polaires  (p  et  <p)  : 


to  =  r  -h  pi  cos  9  -f-  | 
h  7 1  sin  9  •+• ' 

les  (3  et  les  y  (Hani  tres  petits  par  rapport  a  r,  el  la  figure  do  Paire  piano 
d^pendra  des  coefficients  r,  (3  et  y  qui  .sent  eu  nomhre  miini. 

Supposons  que  tous  les  dements  de  Paire  A  s'allireul  on  raison  inxer.se  des 
distances  et  en  raison  direelc  de  leurs  surfaces.  II  rt'isuliera  de  cello  attraction 
une  <inergie  potentielle  W  qui  sera  represented  par  Pintegrale  suivanio  : 

\\r  = 

dte  et  dtof  6tant  deux  dloments  quelcouques  de  Paire  A  el  A  la  distance  de  cos 
deux  elements.  On  reconnait  alors  que  \V  est  une  fonction  holoniorpke  de  /% 
des  (3  et  des  y.  Jc  veux  dire  que  si  L'on  fait  varier  seuleiuont  un  nombre  thii  n 
de  ces  coefficients,  les  autres  reslant  oonstanis^  W  «era  une  fonclioii  holo- 
inorphe  des  n  coefficients  variables. 

Supposons  que  les   p   el  y   6lanl  regard6s  comme  tres  petits,  on 
Pintdsgrale  W  en  n<^gligeant  les  cubes  des  (3  et  des  y.  On  trouvera 


On  pourra  tirer  de  la,  la  conclusion  suivaute  : 

Si  Ton  suppose  que  Paire  A  soU  assujeuie  a  ^trc  t^quivalenie  a  uno  a  ire 
donn^e  Trrjj  de  telle  sorte  que 


et  qu'en  m^me  temps  (3<  et  y,,  soient  assujettis  <\  ^tre  nuls,  le  cercle  dent  le 
rayon  est  r0  sera  une  forme  d\^quilibre  de  Paire  A. 
On  d^duit  de  (i)  que 


2 

et  en  n^gligeant  toujours  les  cubes  des  (3  et  des  y 


II  est  d'ailleurs  ais^  de  voir  que  si  Poix  regarde  W  comme  une  fonction  (Pun 


SUR   L'EQUILIBRE   D'UNE   MASSE   FLUIDE   EN   ROTATION.  £7 

nombre  iini  des  coefficients  (3  el  y,  les  autres  coefficieats  restanl  constants,  on 


aura 


(    :   }* 


II  r6sulte  de  la  que  la  s6rie  infinie 

(n  =  2,  3,  ...) 


joue  le  meme  role  que  jouait  la  forme  quadratique  4>  dans  le  paragraphs 
c^dent,  avec  cette  difference,  qu'au  lieu  d'un  nombre  fini  de  variables  X*, 

X2.  .  .  .  ,  Xn,  il  y  entre  un  nombre  infini  de  variables  (37Z  et  y;i. 

Les  coefficients  de  stability  sont  alors  les  quantit^s  nr\(~  —  ij.  On  voit 

que  tons  ces  coefficients  sont  n^gatifs,  de  telle  fagon  que  P^quilibre  est  stable. 

Get  exemple  permet  de  voir  comment  la  notion  des  coefficients  de  stability 
peut  s'etendre  au  cas  ou  1'^quilibre  depend  djun  nombre  infini  de  conditions. 

On  peut  de  m£me  ^tendre  a  ce  cas  la  notion  des  formes  d'dquilibre  de  bifur- 
cation et  des  formes  d'^quilibre  limite.  Supposons  en  effet  que  les  forces  aux- 
quelles  sont  soumis  les  6l6ments  de  Taire  A  dependent  d'un  param^tre^.  Pour 
chaque  valeur  de  y  nous  aurons  un  certain  nombre  de  formes  d'equilibre. 
Lorsque  y  variera,  ces  formes  varieront  aussi,  en  g^n^ral  d'une  maniere 
continue.  On  aura  ainsi  un  certain  nombre  de  series  lin^aires  de  formes 
d'6quilibre.  Pour  chacune  de  ces  series,  les  coefficients  (3  et  y  seront  des  fonc- 
tions  finies,  continues,  uniformes  et  reelles  de  y.  II  pourra  arriver  alors  que 
quand  y  tendra  vers  une  certaine  valeur  a,  deux  formes  d'^quilibre  reelles, 
appartenant  a  deux  de  ces  series  lin^aires,  tendront,^  se  confondre.  Lorsque  y 
aura  d^passe  cette  valeur  a,  il  arrivera,  ou  bien  que  les  deux  formes  d^quilibre 
envisages  disparaitront  et  cesserqnt  d'etre  reelles,  ou  bien  qu'elles  resteront 
r6elles  et  cesseront  de  se  confondre.  Dans  le  premier  cas,  on  aura  une  forme 
d'6quilibre  limite.  Dans  le  second  cas,  une  forme  d'^quilibre  de  bifurcation. 
Rien  n'est  done  change  a  ces  definitions  quirestent  lesmemes  que  dans  les  cas 
pr6c6demment  examines. 

II  reste  a  ^tendre  les  resultats  du  paragraphe  precedent  au  cas  qui  nous 
occupe  actuellement.  II  faut  montrer  que  : 

i°  Pour  une  forme  d'^Cjuilibre  limite,  Fun  des  coefficients  doit  s'annuler. 
H.  p.  —  VII.  8 


58  SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 

2°  Si  Ton  suit  une  serie  lineaire  de  formes  d'6quilibre  el  si  Ton  vuil  un 
coefficients  de  slabilil<$  changer  de  signe,  la  forme  qxri  correspond  a  la  valour 
de  y  pour  laquelle  se  fait  le  changement,  do  signe  esl  unu  forme  de  hi  furcation. 

3"  La  loi  de  I'^change  des  stabilises  sVlend  an  cas  qui  nous  oecupe. 

Nous  demontrerons  ces  trois  propositions  <>n  partant  de  I'hypo  these  sui- 
vante  : 

Le  nombre  des  variables  elant  infmi}  celui  des  coefficients  de  stability  devra 
6galement  etre  infini;  mats  je  supposerai  quv  parmi  /tf.v  coafficf^nts^  f!  n\r  en 
a  qu^un  nombre  fini  de  positifs. 

J'appellerai  #tj  ^?a,  ,  .  .  ,  %„,,  .  .  .  les  variables  qui  d<5finissent  la  forme  du 
systeme  et  y  un  para  me  ire  dont  dependronl  les  forces  qui  agissent  sur  ce  sys- 
teme.  Je  supposorai  que  ces  variables  out  <il/i  choisie.s  de  l<dl(^  sorte  quo  pour 
la  forme  d^quilibre  envisagee  el  que  nous  appellerons  /V,  on  nil 


Si  dans  la  fonclion  des  forces  F(^r,  jr)  on  fail  j'=:o,  nous  pouvons  encoro 
supposer  que  les  variables  &  aient  6lt^  choisies  de  telle  sorle  quo  I'tm  pxus.se 
6crire,  en  n6gligeantles  cubes  des  quantiicVs-^  supposees  tr^s  petites  : 

F(#,  o)  =  A  -H  atiffjH-  a!sa?|"H  .  .  .  -f-  a,,#;;H-  a/,.^1./:)}  ,  t  -i   .  .  .  -f-  a  /„/•;,•*-  ---- 


Nous  supposerons,  conformdment  il  Phypothose  faite  plus  haul,  que  parmi 
les  7t  coefficients  a1?  a^,  .  .  .  ,  &.n  il  pent  y  en  ovoir  de  positifs  ou  de  nuls,  inais 
que  tous  les  coefficients  suivants  «/H  4>  <xtl+.>,  ...,«,,,  ...  sont  n<5gatifs. 

Avant  dialler  plus  loin,  je  dois  faire  unc  uutre  rcmarquc.  Quaud  nous 
n'avions  qu'un  nombre  fini  de  variables,  nons  regardions  la  fonciion  P  comme 
d6fmie  pour  toutes  les  valours  de  #;  ou  du  moms  pour  toutes  les  valeurs  stifii- 
sarnment  petites  de  ces  variables.  II  n'etx  pout  plus  £tre  de  m^mcici.  La 
tion  F  ne  sera  d^finie  que  quand  une  certaine  sdrie  a  termes  positifs 


sera  convergente.  Le  cboix  des  variables  ^?  <5umt  encore  arbitral  re  dans  une 
cerlaine  mesure,  nous  ponvons  supposer  qu'on  les  ait  choisies  de  fa$on  que 
lous  les  A  soi^nt  ^gaux  ^.  i  . 

Cela  posd,  nous  pouvons  passer  4  la  demonstration  des  irois  propositions 
ci-dessus, 


ia  Je  dis  d'abord  que  si  aucun  des  coefficients  &  n'est  mil,  la  forme  A  ne 


SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION  69 

pourra  etre  une  forme  limite,  c'est-a-dire  que  pour  des  valeurs  de  y  tres  peliles 
(mais  d'ailleurs  positives  ou  negatives),  le  sysleme  sera  susceptible  d'une 
forme  d'^quilibre  tres  voisine  de  cette  forme  A. 

Pour  le  demontrer,  je  vais  introduire  dans  le  systeme  des  liaisons  exprimdes 
par  les  Equations  suivanles  : 


**.  •  •  •;  yn  <5tant  des  constantes  que  nous  regarderons  com  me  donnees. 
Les  conditions  de  Pequilibre  du  systeme,  assujetli  a  ces  liaisons,  d^pendront 
naturellement  du  choix  des  n  -+•  i  parametres  y,  }'i,  y<±,  .  .  .  ,  yn  et  elles  seront 
exprim^es  par  les  Equations  en  nombre  infini  : 

dF  dF  <W 


Dans  le  cas  particulier  ou 

y  =  ri  =  J2  =  .  .  .  =  y,i  =  o, 
1'^quilibre  aura  lieu  pour 

O  =  #/H-i  =  ^n+o  =  .  .  .  =  Xp  =  .  .  -  , 

c'est-a-dire  en  meme  temps  que  l^quilibre  du  systeme  suppose  libre.  Mais  il  y 
a  une  difference  importante  entre  les  deux  cas.  L'6quilibre  du  systeme  llbre  est 
instable  parce  que  parmi  les  coefficients  a1?  a2,  .  ,  .  ,  a/l?  il  y  en  a  de  positifs. 
L'^quilibre  du  systeme  a  liaisons  sera  stable  parce  que  tous  les  coefficients  a/l+1  , 
anH_2,  .  .  .  ,  a^,  ...  sont  negatifs. 

Je  dis  que  pour  les  valeurs  des  n  -h  i  parametres  y  suffisamment  voisines 
de  z&ro,  le  systeme  a  liaisons  sera  susceptible  d?une  forme  d'^quilibre  stable 
tres  voisine  de  la  forme  A.  En  d'autrcs  termes;  si  Ton  fait 

(3)  y  =  p,      ri=pi,      ...,      yn=*$*> 

on  pourra  prendre  les  (3  assez  petits  pour  que  la  fonction  F  soit  susceptible 
d;un  maximum  (en  tenant  compte  des  liaisons)  et  pour  que  ce  maximum  ait 
lieu  pour  des  valeurs  des  x  aussi  petites  que  Ton  veut. 

Appelons  en  effet  D  le  domaine  comprenant  tous  les  systemes  de  valeurs  des 
variables  xn+\  ,  ^n+a?  -  •  *  ;  #>?  -  -  *  qui  sont  telles  que  la  s^rie 


(4)  ~ 

soit  convergente  et  ait  une  somme  plus  petite  que  e.  La  limite  du  domaine  D 


(Jo  SUR   1/EQU1LIBRE  D'UNE   MASSE   FLIIIDE   F.N   ROTATION. 

se  composera  d'un  domaine  3  compreuaul  tons  les  systemes  do.s  valours  des  ,r 
tels  que  la  s6rie  (4)  soil  convergenle  el  ail  une  somme  (igale  a  s. 

Quand  Ics  y  sont  nuls,  la  fonction  F  esl  6gale  i\  A.  (juand  les  .7;  soul  mils,  et, 
a  A  —  £  ~h  C  quand  les  #  appartiennenl  au  domaine  3  (£  6iaul  un  infimmeut 
petit  d'ordre  superieur  a  celui  do  £).  Donnons  maintenanl  aux  r  les  valeurs  (,'>). 
La  fonction  F  (Slant  continue,  nous  pourrons  prendre  les  ;5  asses  polils  pour 
que  F  difl&re  aussi  pen  que  nous  voudrons  de  A  (juand  les  w  sont  nuls,  ct  aussi 
peu  que  nous  voudrons  de  A  —  e  •+  £  quand  les  x  appartiennent  au  domaine  o. 
On  pourra  done  prendre  les  (3  assez  petits  pour  que  F  soil  plus  grand  quand 
les  x  sont  nuls  qu'en  auoun  point  du  domaine  o, 

11  en  r6sulle  que  la  fonction  F  prendra  en  certains  points  du  domaine  I)  dos 
valours  plus  grandes  qu'en  aucun  des  points  de  la  limite  de  ce  domaiue.  11  faut 
done  conclure  qu'en  un  certain  point  du  domaine  D,  la  fonction  F  attaint  un 
maximum.  II  est  ndcessaire  toutefois,  pour  que  cette  conclusion  s'impose,  <juo 
1'on  admeite  que  la  fonction  F  ne  va  pas  en  augmentant  indtMiniment  a  mesurc 
que  la  s6rie  (a)  devient  de  moins  eu  moius  convergenle.  11  j  aurait  bien  des 
objections  a  faire,  mais  on  ne  saurait  exiger  en  M6cani(|ue  la  mdm<%  rigueur 
qu'en  Analyse  pure  pour  ce  qui  concerne  1'inlini. 

Le  principe  auquel  nous  sommes  ainsi  conduits  pout  s?<£noncer  ainst  : 

Si  un  syst^me  m6canique  quelconque,  el  en  particulier  une  masse  iluido, 
est  en  ^quilibre  stable  sous  Faction  de  ccrtaines  forces,  et  si  Ton  vicnt  ^ 
appliquer  en  outre  des  forces  perturbatrices  infiniment  petites,  ce  syst<unc 
prendra  sous  Faction  de  ces  forces  uixe  figure  d'6quilibro  stable  infinimont  pen 
diff^rente  de  sa  figure  primitive. 

Je  ne  crois  pas  qu'on  puisse  le  mettre  s^rieusement  en  doute,  malgr6  les 
objections  dont  je  viens  de  parler  et  qui  sont  de  naluro  a  int/^resser  plut6t 
Fanalyste  que  le  m^canicien. 

Cela  posd,  la  forme  d'^quilibre  stable  du  systeme  4  liaisons  doit  6treregard6e 
comme  d^finie;  elle  le  sera,  par  example,  par  les  Equations 
(5)       ^+]  =  9/i^](p7  ^,  [32,  ...,  p;i);        ^^2 


Les  fonctions  9  seront  des  fonctions  continues  des  (3  etelles  s'annulcrontavec(3 
quelles  que  soient  les  valeurs  de  (34,  pa,  .  .  .  ,  |3/t. 

Si  nous  substituons  dans  F  ces  valeurs  des  #,H.I,  xn+^  •  .  •  ,  #>,  .  .  .  ?  cette 
fonction  ne  d^pendra  plus  que  de  (3,  (34,  |32,  .  .  ,  ,  (3n. 

II  faut  maintenant  chercher  quelles  valeurs  on  doit  donner  a  (34;  (3a,  .  ,  .  ,  pn 


SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  61 

pour  que  1'equilibre  subsiste  (sans  toutefois  resler  stable)  quand  on  supprime 
les  liaisons.  11  faut  pour  cela  que  Ton  ait 


En  d'autres  termes,  il  faut  considerer  que,  les  x  £tant  d^finis  par  les  Equa- 
tions (5),  la  figure  du  systeme  ne  depend  plus  que  des  n  variables  j31?  (32.  ...,  {3,,, 
et  il  faut  chercher  les  conditions  d'6quilibre  du  systeme  ainsi  d^fini. 

Je  veux  faire  voir  que  pour  les  vale  UTS  de  (3  voisines  de  zero,  ce  systeme 
admet  une  forme  d'6quilibre.  Pour  cela  il  me  suffit,  puisque  ce  systeme  ne 
depend  plus  que  d'un  nombre  fini  de  variables,  de  chercher  les  coefficients  de 
stabilite  pour  (3  =  o. 

Or  pour  (3  =  o,  puisque  les  fonctions  9  s'annulent,  on  a 

F  =  A  -4-  a,  >?  H-  «2  pi  -H  .  .  -  ~i~  «„  ^  -f-  7; 

Z  etanl  un  ensemble  de  termes  d'ordre  superieur  an  second  par  rapport  aux  ft. 
Les  coefficients  de  stability  sont  done  a1?  ~s,*7  .  .  .  ,  xrl  et,  comme  aucun  d'eux. 
n'est  nul,  la  forme  d'^quilibre  considdr6e  ne  pent  etre  une  forme  limite,  el 
l'6quilibre  sera  encore  possible  pour  les  valeurs  de  (3  voisines  de  z£ro. 

Ainsi,  m£me  lorsque  la  forme  du  systeme  depend  d'un  nombre  infini  de 
variables,  une  figure  d'^quilibre  ne  peut^tre  une  figure  limite  a  moins  que  Fun 
des  coefficients  de  stabilite  ne  s'annule. 

2°  et  3°  II  resterait  a  6tablir  les  deux  autres  propositions  6nonc6es  plus  haul. 
On  les  dernontrerait  par  une  m^thode  absolument  identique.  On  introduirait 
dans  le  systeme  les  liaisons 

(6)  #l=pj,  ^2=H2,  .-.,  #n=P;i, 

de  fagon  que  la  forme  dJ6quilibre  A  devienne  stable.  On  trouverait  alors  que 
pour 

y=p,  dSi=pl,  -  ..,  %n~$n 

le  systeme  a  liaisons  est  susceptible  d'uue  position  d'^quilibre  stable  d6finie 
par  les  Equations 

(5)  57/M  1  ^   ?7i-hl(p5    Pi?    '  *  ">    l^i)?  •'•• 

Si  Ton  suppose  maintenant  les  x  assujettis  a  ces  Equations  (5),  rnais  que 
Ton  supprime  les  liaisons  (6),  la  fonclion  F  ne  depend  plus  que  des  (3;  la  figure 
du  systeme  ne  depend  plus  que  de  n  variables.  On  est  done  ramen£  au  cas 


62  SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 

d'un  nombre  iini  de  variables,  auquel  les  propositions  ononrees  s'appliqiieut 
d'elles-memes. 

En  r&3um£,  il  r<5sulte  des  considerations  exposes  dans  co  paragraphs  quo 
les  rcSsultals  des  paragraphes  II  et  HI  s'elendent  an  cas  djun  sysiAine  dont  la 
figure  depend  d'une  infinite^  de  variables,  et  on  parliculier  au  cas  d'ime  inat.se 
fluide  souinise  &  dill(5  rentes  forces. 

V.  —  Premiere  application. 

MM.  Tail  el  Thomson  onlnnnouccsans  demonstration  quo,  parmi  le^  figures 
d'ciquilibre  dont  est  susceptible  une  masse  fluide  anim&s  d'un  mouvcment  de 
rotation,  il  y  a  une  figure  aniiulaire  de  revolution. 

On  peut  ddmontrer  ce  rdsultat  en  appliquanl  les  principes  exposes  dans  los 
trois  paragraphes  prdcddents. 

Je  considere  une  masse  fluide  liomogone  6gale  a  M  et  anim<5e  d'une  vitcssc 
de  rotation  G>  autour  d?un  axe  quclconque  que  je  prendrai  pour  axe  des  G.  Jc» 
suppose  que  toutes  les  molecules  de  cette  masse  s'attirent  conform6ment  ^  la 
loi  de  Newton.  Je  choisirai  IQB  unites  de  telie  fa^ou  que  la  densit^  du  flui'4p 
soil  (Sgale  &  i,  et  que  1'atlraction  de  deux  unitds  de  masse  a  I'unild  de  distance 
soil  6gale  &  I'unit6  de  force, 

Je  puis  assujettir  la  masse  lluide  a  :aflecter  la  forme  d'une  figure  de  Evolu- 
tion. Si  l'6quilibre  a  lieu  en  tenant  compto  de  cetle  liaison,  il  arrivera,  en  verlu 
de  la  nature  mfime  du  probleme,  quo  l'(5quilibre  subsistcra  encore  quand  elle 
sera  supprim6e.  Cette  liaison  ne  change  pas  les  conditions  d'6quilibre:  elle 
n'influe  que  sur  les  conditions  de  stability  dont  nous  ne  nous  occuperons  pns 
pour  le  moment, 

Soit  R  la  distance  a  Faxe  du  cenlre  de  gravit6  de  la  section  m^ridienno  et 
ur^  Faire  de  cette  section.  On  aura 

(i)  M  =  '>.*Sr8K. 

Le  plan  des  xy  sera  le  plan  pcrpendiculaire  a  1'axe  et  passant  par  ce  centre 
de  gravittf.  J'assujcttirai  encore,  pour  simplifier  un  pen  les  calculs  qui  vont 
suivre,  la  figure  de  la  masse  fluide  a  rester  synxHrique  par  rapport  au  plan 
des  xy.  II  est  clair  que  si  Pdquilibre  a  lieu  avec  cette  liaison,  il  subsistera 
encore  sans  cette  liaison. 

Pour  d6finir  la  section  tn^ridienne,  je  me  servirai  des  coordonnees  polairos  p 


SUR  L'^QUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  63 

et  cp,  en  prenant  le  p6le  au  centre  de  gravite  et  I'axe  polaire  dans  le  plan  des  xy. 
Soit 

P  =  /'  -!-  fj  i  cos  9  •+•  |3o  cos  2  9  ~  .  .  .  -h  p,i  cos  /i  o  H-  .  .  . 

1'^quation  de  la  section  meridienne. 

Ecrivons  que  1'aire  de  cette  section  est  6gale  a  TTT^,  il  viendra 

- 

(2)  , 


Ecrivons  que  le  centre  de  gravite  de  cette  section  est  au  pole,  il  viendra 

(3)  rspi  -+-  r(pi  [d£-t-  papsH--  -  --H  P«  fWi-f-  -  ..)-*-  S  =  o, 

S  6lant  une  s6rie  convergente  dont  les  termes  sont  homogenes  et  du  troisieme 
degr6  par  rapport  aux  (3. 

Pal  £  rechercher  s'il  existe  une  figure  d7equilibre  peu  differente  d'un  tore. 
Je  dois  done  supposer  que  les  (3  sont  ires  petits  par  rapport  a  /*. 

Je  supposerai  de  plus  que  les  rapports  ^  et  par  consequent  ^  sonttres  petits, 
ainsi  que  co. 

Cela  pos6,  soil  I  le  moment  d'inertie  de  la  masse  fluide  par  rapport  ^.  Taxe. 
Soit 


W 


-j 


'"*  dm  dm' 


1'^nergie  potentielle  due  a  Fattraction  newtonienne  (oii  dm  et  dm!  sont  deux 
elements  quelconques  de  la  masse  et  A  la  distance  de  ces  deux  ^I^ments). 

Soit  ~"  I  T&nergie  potentielle  due  a  la  force  centrifuge.  L'6quilibre  aura  lieu 
quand  la  variation  premiere  de  ^expression 


sera  nulle. 

Nous  allons  encore  introduire  une  liaison  nouvelle.  Nous  supposerons  que  r0 
et  par  consequent  R  sont  assujettis  a  conserver  des  valeurs  donn£es.  Cette 
liaison,  a  la  difference  des  pr^cedentes,  change  les  conditions  d'£quilibre. 
Posons 

(-1)  P. 


64  SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE   EN   ROTATION. 

II  viendra  ('),  en  tenant  compte  de  (2^, 


Dans  cette  equation,  A  dSsigne  une  constant  numerique  qu'il  est  inutile  de 
determiner  davanlage;  B  est  un  ensemble  de  lermes  coiilcnaul  r;|  en  fnotcnr: 
G  est  un  ensemble  de  lermes  de  degre  superieur  au  second  par  rapport  uux  ,b; 
enfin  D  est  un  ensemble  de  termes  stimulant  avec  Ics  [3. 

Nous  donnerons  a  A  la  meme  valour  dans  les  donations  (4)  ot  (T)).  11  viendra 
alors 

T  v     «/  I  \  1>  ^  ^^  /".K-  ">\  ">-'1>  I. 

v=s  4  "••  MK«  ^l)  +  ^TK  -*-  ATTu  +  TT  (TT  ^  ,  )  *  :v7rii  -  -  »- 
On  trouve  aisement 

I   =  ft    I  R:tp-  C/9  -4-  1>  "    /          IV-p:{  COS  9  f/S>  4-       7T    /  K  p*  COS-  9  ('/Y  -h  -~-     /          ^'M'.OS3  tp  f/i. 

•^o  *MI  :>'     ^»  J    *  « 

Mais  les  Equations  (2)  ot  (3)  peuvent  s?6crirr, 

/  p-  c/o  =  ^w/'ii?        /  ?1'  ('°';>?  '/?  =  <>, 
de  sorte  qu'il  resle  simplement 

I)  =  1  T.  R  /  (  p'«  —  r{  )  c 
Nous  prendrons 


cos:- 


de  sorte  que  V  sera  ddsormais  d6termin(5. 

Comme  r0  et  R  sont  provisoirement  regardis  comma  des  constantes,  le 
maximum  de  TJ  aura  lieu  en  meme  temps  que  celui  de  V,  de  sorte  que  1'oqm- 
libre  de  notre  systeme  a  liaisons  aura  lieu  clans  les  mfinies  conditions  que  si  V 
etait  la  fonction  des  forces. 

Supposons  que  dans  V,  on  fasse  7*0=  o;  il  viendra 


tumulairux. 


SUR   L'^QUILIBRE   DJUNE   MASSE   FLUIDE  EN   ROTATION.  65 

Si  nous  faisons  encore  co  =  o,  il  viendra 

_,       i       _,   ,  /  i         \  G 


Si  Ton  tient  compte  de  liquation  (3),  il  vient 


E  £tant  un  ensemble  determes  du  second  degre  aii  moins  par  rapport  a  y2,  y3,  — 
On  peut  done  £crire 


F  etant  un   ensemble  de  termes   du   troisieme  degre  au  moins  par  rapport 

&  Ya,  Is?  ---- 

Cette  Equation  prouve  que  si  Ton  fait  co  ~  r0=r=  o,  la  fonction  V  est  suscep- 
tible d'un  maximum  qui  esL  atteint  quand  tous  les  y  s'annulent.  Les  coefficients 
de  stability  sont 


Gomme  aucun  de  ces  coefficients  n'est  nul,  la  forme  d'6quilibre  correspon- 
dante  ne  pourra  £tre  une  forme  limite,  c'est-a-dire  que  pour  les  valeurs  tres 
petites  de  r0  et  de  co,  le  systeme  a  liaisons  consid6r6  sera  susceptible  d'une 
forme  d'^quilibre,  pour  laquelle  les  y  auront  des  valeurs  tres  petiles. 
On  aura  alors  pour  cette  forme  d'equilibre 

(6)  Yo=9"(ro,  w), 

Qn,  6lant  une  fonction  continue  de  r0  et  de  co  s'annulant  avec  ces  variables. 

II  reste  a  chercher  quelle  valeur  il  faut  donner  a  r0  pour  que  P^quilibre  sub- 
sis  le  encore  quaad  on  supprime  la  liaison  que  nous  avions  provisoirement 
introduite,  et  quand  on  n'assujettit  plus  7*0  et  R  a  avoir  des  valeurs  donn^es. 

Supposons  qu'on  remplace  dans  U  les  y  par  leurs  valeurs  (6)  et  R  par  sa 
valeur  tir6e  de  liquation  (i).  Alors  U  ne  sera  plus  fonction  que  de  r0  et  de  CD, 
et  Pon  aura  la  condition  pour  que  I76quiiibre  subsiste  apr£s  la  suppression  de 
la  liaison,  en  ^crivant 


Je  dis  que  pour  les  valeurs  tres  petites  de  co,  il  y  aura  toujours  une  valeur 
H.  p.  —  vii.  9 


66  SUR  L'^QUILIBRE   D'UNE  MASSE  FLUIDE   EN   ROTATION. 

tres  polite  de  r0  pour  laquelle  ceite  condition  (7)  sera  remplie.  Nous  pourrons 
dcrire 

»    „ ,      ft       Bto:j      ^ 

(8)  U  =  Ar-5' 


o 


Les  lettres  A,  a  et  B  d4signcnt  des  consumes  ne  dependant  que  de  M  el  C  un 
ensemble  de  termes  tres  petits  par  rapport  aux  deux  premiers  quand  r0  el  o> 
sont  Ires  petits.  Inutile  d'ajouter  que  les  letlres  AL,  B  oi  C  u'ont  plus  la  mchne 
signification  que  dans  la  premiere  partio  de  cette  demonstration. 

Soit^  une  quantil6  ires  petite  que  uous  regarderons  connne  constaiile  et  (jni 
sera  telle  que 


AT  1    A 

:>. A .?  log  —  —  3  A  s —  =  o. 


Nous  allons  faire  varier  r0  depuis  zs  jusqu'a  z6ro.  Pour  /*0~  %s,  les  <l«ux  pre- 
miers termes  de  Pexpression  (8)  se  r6duisont  a 


2  -       A,«-         ^  log      -,-  S, 


Pour  r0  ==^5  ces  deux  m£mes  lermes  se  r^duisenl  £ 

.    B  .       a        i  .    _  .       a       3  ,    n       4^   «  i       ^       o 
A^log-H~  -  A^logj-—  7^'^=  £J*'loe^  -hb2. 

EnGn  pour  7'c:^  o,  on  a  U  =  -hoo.  Dans  ces  dgaliltfs,  Si  el  Sjj  ddsignenl  des 


termes  tres  pelits  par  rapport  a  s*  log     • 

S' 

On  a  done  : 
pour  7*0  =  25  : 

U-,  _.*..vb_.  _      ^ 

pour  r0  =  £  : 

pour  r0  =;  o  : 


0 ,      a 
-=      _,» log  3 


2A  et2*j  sont  des  ensembles  de  termes  Ir&s  petits  par  rapport  &  ^2log  ^?  et  qui 
n'influent  pas  sur  le  sigixe  de  Texpression 


TT       ioo   _  ,       a 
U  _--.,» log-. 


SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  67 

Cetle  expression  est  done  positive  pour  r0~  as,  negative  pour  r0  =  ,s  et  posi- 
tive pour  r0  =  o.  Elle  s'annule  done  deux  fois  quand  rfl  varie  de  25  a  zero;  sa 

deriv^e  -:—  doit  done  s'annuler  une  fois  dans  le  rn£me  intervalle. 
ar0 

C.    Q.    F.    D. 

Ainsi  pour  une  valeur  donn^e  tres  petite  de  <o,  on  peut  trouver  un  systeme 
de  valeurs  de  ;^0  et  des  y  qui  satisfasse  aui  conditions  d^quilibre,  et  cela  apres 
suppression  de  la  liaison  que  j'avais  d'abord  provisoirement  introduite. 

11  en  r^sulte  qu'une  masse  fluide  animde  d'un  mouvement  de  rotation  est 
susceptible  d'une  forme  annulaire  dj£quilibre;  qui  d'ailleurs  est  probablement 
ins  table. 

J'ai  donn£  une  esquisse  de  la  pr^sente  demonstration  dans  le  Tome  2  du 
Bulletin  Astronomique  (1).  J'ai  donn^  ^galement  dans  ce  meme  Volume  une 
fagon  de  calculer  approiinaativement  les  4l6ments  de  celte  figure  annulaire. 
L'analyse  que  j'ai  employee  pour  determiner  ces  ^ments  presente  les  plus 
grandes  analogies  avec  celle  dont  Mme  Kowalevski  a  fait  usage  dans  ses  recherches 
sur  1'anneau  de  Saturne. 

VI.  —  Exemples  d^quilibres  de  bifurcation. 

Dans  les  nos  27  et  28  du  Livre  III  de  la  M£canique  celeste,  Laplace  traite  le 
probleme  suivant  :  Une  sphere  solide  de  densil^  p  et  de  rayon  c  est  recouverte 
d'une  couche  fluide  homogene  de  densit4  F.  Quelle  est  la  figure  d'iquilibre  de 
cette  couche  fluide?  Quelle  sera  a  1'etat  d'^quilibre  la  forme  de  la  surface 
libre  de  cette  couche  ? 

Une  des  formes  d'dquilibre  est  £videmment  une  sphere  concentrique  a  Is 
sphere  solide,  auquel  cas  I'epaisseur  de  la  couche  fluide  est  uniforme. 

On  peut  se  demander  s'il  y  en  a  d'autres.  Pour  cela  appelons 

r  =  a(i-h  ay) 

la  distance  au  centre  d'un  point  quelconque  de  la  surface  libre.  On  develop 
pera  y  en  s£rie  de  fonctions  sph^riques 


QEuvres  de  H.  Poincare,  ce  Tome,  p.  17. 


68  SUR  l^QUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN   ROTATION. 

et  Fequation  d^quilibre,  coimne  Pindique  Laplace,  page  87  (edition  du  1878), 
s'ecrira 

(i) 

pourvu  toutefois  que  Ton  neglige  le  carr^  de  a. 

Quant  a  P&ifergie  potentielle,  elle  a  pour  expression 

W  =  . 

en  n^gligeant  le  cube  de  a.  A  esl  une  constante  et  1'inuSgrale  est  cHendue  a  tons 
les   elements   Jw   de  la  surface   sph£rique   (Cf.  lifts  A.L,   Mecanique.  celeste, 
ire,  Edition,  p.  238). 
J'ai  pos6  pour  abr^ger 

Gette  expression  de  W  montre  qu'on  a  une  forme  d'dquilibre  quand  tous  les  Y* 
s'annulent,  c7est-£-dire  quand  Pdpuisseur  de  la  couche  fluide  est  umforme.  Le« 
coefficients  de  stability  sont 

i  — x        l~^,     ...  3 

L'un  d'eux  s'annulera  si  Fon  a 

= 3 

v  <*tant  un  entier  positif.  A  chaque  valeur  de  p4  correspond  une  forme  d'£qui- 
libre  parfaitement  d6finie  qui  est  la  sphere.  Ces  spheres  ferment,  une  s<Srie 
lin^aire  de  figures  d'dquilibre  rfiolles.  Si  done  Fun  des  coefficients  de  slabilit6 
s'annule,  c'est  que  la  sphere  correspondante  est  une  forme  d^quilibre  dc 
bifurcation. 

Etudions  d'un  peu  plus  pres  ce  qui  se  passe.  Dans  le  n°  27,  Laplace  suppose 
que  la  couche  fluide  consid^r<ie  est  assujettie  i\  conserver  une  figure  de  Evo- 
lution autour  de  Taxe  des  z.  Dans  cette  hypothese,  la  fonction  spKirique  Yv  se 
rtduit  au  vi6mo  polynotne  de  Legendre,  de  sorte  qu'il  n'y  a  qu'un  seul  coeffi- 
cient de  stability  qui  soit  4gal  &  Pl_  ~1_,  On  est  ainsi  ramen<5  an  cas  le  plus 
simple,  celui  ou  un  seul  coefficient  de  stabililite  s'annule  et  oft  la  forme  de 
bifurcation  appartient  a  deux  series  lin(5aires  de  forme  d^quilibre  rdelles. 


SUR   L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE   EN   ROTATION.  69 

Laplace  semble  dire  qu'il  ne  peut  y  avoir  en  g6n6ral  qu'une  seule  forme 
d'equilibre  lorsque  Ton  n'a  pas 


et  que  lorsque  cette  relation  a  lieu,  il  y  a  deux  formes  d^quilibre,  puisque  ay 
est  susceptible  de  deux  valeurs,  dont  1'une  est  donn^e  par  la  supposition 
dey  =  o,  et  dont  Pautre  est  donn^e  par  la  supposition  dejy  £gal  au  v16mc  poly- 
nome  de  Legendre. 

Ce  passage  a  du  paraitre  obscur  a  plus  d'un  lecteur.  En  effet  Laplace  ayant 
n4glig£  les  puissances  sup^rieures  de  a,  ce  coefficient  n'intervient  plus  dans 
liquation  d^quilibre  (i);  il  semble  done  qu'on  puisse  le  choisir  arbitrai- 
rement,  et  alors  on  n'aurait  plus  deux  figures  d'6quilibre;  mais  une  infinite, 
qui  seraient  comprises  dans  liquation  generate 

7  =  XYV, 

A  £tant  une  constante  arbitraire  et  Yv  le  vi&me  polynome  de  Legendre. 

3 
II  semblerait  done  que  pour  les  valeurs  de  pi  diflferentes  de  -  ?  la  sphere 

serait  la  seule  figure  d'6quilibre  possible,  et  que  pour  les  valeurs  de  p1  de  la 

q 

forme  -  ,  il  y  aurait  une  infinite  de  figures  d'dquilibre  indifferent.  Mais  les 

2V  H-i          J  °  * 

termes  de  degrd  sup6rieur  en  a  emp^chent  qu'il  en  soit  ainsi. 

Pour  les  valeurs  de  p<  tres  voisines  de  -  >  il  y  a  deux  figures  d'6quilibre  : 

1'une  est  une  sphere,  et  1'autre  est  tres  peu  diflferente  d'une  sphere.  Toutes 
deux  se  confondent  pour 


II  y  a  cependant  une  exception;  pour  v  =  i ,  on  trouve  p\  =  i .  La  densit^  de  la 
sphere  solide  etant  alors  la  meme  que  celle  de  la  couche  fluide,  le  sph^ro'ide 
est  homogene,  et  l'6quilibre  subsistera  quand  la  surface  libre,  an  lieu  d'etre 
une  sphere  concentrique  a  la  sphere  solide,  sera  une  sphere  dont  le  centre  sera 
quelconque  (pourvu  toutefois  que  les  deux  spheres  ne  se  coupent  pas). 

L'6quilibre  est  done  indifferent.  Pour  pi=i,  la  figure  formee  paries  deux 
spheres  concentriques  est  done  encore  une  figure  de  bifurcation,  mais  on  se 
trouve  dans  un  de  ces  cas  exceptionnels  que  j'ai  signals  au  paragraphe  II. 
Cette  figure  appartient  bien  encore  a  deux  series  Im&aires  de  formes  d^qui- 
libre.  Mais  il  n'arrive  plus,  comme  cela  a  lieu  djordinaire,  que  pour  chaque 


70  SUR  L?£QUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 

valour  pi  voisine  de  i,  on  irouvc  dans  chacunc  des  deux  series  unc  figure 
d'^quilibre  el  une  seule.  Uno  seule  des  deux  scirics  prfoeulc  ce  carartero; 
1'autre  est  une  s<hie  de  formes  d'&juilibre  iadillorenl  qui  correspondent  loutes 
au  cas  de  pi  =  i . 

Dans   le   n°  28,   Laplace  passe  au    cas  oil  la   figure  d'equilibro  n'osi,  plus 
assujeltie  a  etre  de  revolution.  Dans  cc  cas  il  y  a  av  +  i  fonctions  spheriques  \  ^ 

liiidairemeut  indcpendantes.  Done  quand  pt  devient  tSgal  a  - — : — ?  il  y  a  av-f- 1 
coefficients  de  stability  qui  s'annulont  a  la  fois.  Done  pour  les  valeurs  de  pi  livs 

o 

voisincs  de.- 3  il  y  a  non  pas  deux  figures  dYquilibre  pen  diflV'routcs  A' imp, 

sphere,  mais  im  plus  grand  nombre.  II  y  en  a  rngme  une  infinite,  si  I'on  tient 
compte  de  ce  fait  que  si  I'on  a  une  figure  d'equilibre  non  sphcrique,  lYquilibrc 
subsisle  quand  on  oriente  celle  figure  d'unc  inaniore  quelconquo. 

Je  pense  que  ces  remarques  suffironl  pour  oclaircir  ce  qti'il  pouvait  y  avoir 
d'obscur  dans  le  texle  de  Laplace. 


VI  L  —  Stability  de  !'<§qiiilibre  relatif- 

II  est  tres  facile  de  trouver  les  conditions  de  stability  de  riquilibrc  absolu 
d^un  systeme  materiel  rapport^  ^  des  axes  fixes;  pour  qu'un  tel  e<iuilibre  soil 
stable,  il  faut  et  il  suffit  que  la  fonction  des  forces  soil  maximum.  Mais  lo 
probleme  de  la  stability  de  Tiquilibre  relalif  d'un  systrmo  materiel  rapport^  n 
des  axes  mobiles  est  infiniment  plus  compliqud.  Cctto  th<5oric  u'n  jamais,  a  m{i 
connaissance,  <5t6  convenablernent  Lraittie  que  clans  le  Treatise  on  Natures 
Philosophy  de  MM.  Tail  et  Thomson.  Ellc  repose  sur  la  distinclion  de  la  sta- 
bilitd  s^culaire  et  de  la  stability  ordinaire;  j'en  vais  rnj>peler  les  prinoipato 
r^sultats,  en  donnant  sur  un  point  des  complements  qui  me  seronl  utilos  dans 
la  suite. 

Supposons  que  la  position  du  systeme  envisag6  par  rapport  aux.  axes  mobiles 
soit  d^finie  par  n  variables  #*,  ^2)  .  .  ,?  ^Al,  choisics  de  telle  sorte  que  I'^qui- 
libre  ait  lieu  pour 


Si  Ton  derange  tres  peu  lesyst(5ime  de  sa  position  d'6quilibx*e,  les  valeurs 

#3?  •  •  •  ?  #*  seront  tres  petites  et,  si  Ton  neglige  les  carrds  de  ces  quantitds,  les 

Equations  diff^renlielles  qui  en  df^finiront  les  variatioxxs  seront  Iin6aires. 


SUR  L'^QUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  71 

On  Irouvera  done 

m[i,  m]  ek™t        (i  =  i,  2,  . . .,  n\  m  ~i,  2,  . .  ,3  2/1). 

Dans  cette  formule  les  Am  sont  des  constantes  d'int£gration,  les  [z,  m]  et  les  Am 
sont  des  constantes  qu'il  est  ais6  de  d^duire  des  Equations  diff^rentielles  du 
probleme. 

Si  tous  les  "km  sont  purement  imaginaires,  il  y  a  stabilite.  Si  tous  les  Am  ont 
leur  partie  r^elle  nulle  ou  negative,  il  y  a  encore  stability  (et  ce  cas  peut  se 
presenter  si  Ton  tient  compte  des  resistances  passives,  telles  que  la  viscosil6  des 
liquides).  Si  en.fi  n  un  des  Am  a  sa  partie  r^elle  positive,  il  y  a  instability. 

Les  Am  sont  donnas  par  une  Equation  alg^brique  de  degr£  271,  de  sorte  que 
pour  trouver  les  conditions  de  stabilite,  il  suffit  de  discuter  cette  Equation  en  A. 

Nous  supposerons  que  toutes  les  forces  r^elles  auxquelles  le  systeme  est 
soumis  sont  les  actions  mutuelles  de  ses  parties,  de  telle  sorte  que  le  moment 
de  la  quantity  demouvement  du  systeme  soit  constant.  Parmices  forces  reelles, 
nous  distinguerons  les  forces  independantes  de  lavitesse  qui  devront  admettre 
une  fonction  des  forces  d^pendantes  de  la  vitesse,  cjest-a-dire  les  resistances 
passives  dues  a  la  viscosit^.  Le  travail  de  ces  dernteres  forces  doit  toujours  ^tre 
negatif. 

Outre  les  forces  r^elles,  le  systeme  sera  soumis  a  deux  sortes  de  forces 
apparentes  :  la  force  centrifuge  ordinaire,  ind^pendante  de  la  vitesse,  et  la 
force  centrifuge  compos^e,  ddpendante  de  la  vitesse;  le  travail  de  cette derniere 
est  toujours  nul. 

Soit  T  la  demi-force  vive  et  U  P&nergie  potentielle  due  a  toutes  les  forces 
independantes  de  la  vitesse,  y  compris  la  force  centrifuge  ordinaire.  Si  nous 
n^gligeons,  comme  il  convient  de  le  faire,  les  puissances  sup6rieures  des  x  et 
si  nous  supposons  que  U  soit  nul  dans  la  position  d'^quilibre,  T  sera  une  forme 

quadratique  par  rapport  aux  x\  =  -~  et  U  une  forme  quadratique  par  rapport 
aux  Xi- 

Nous  poserons  selon  Fusage 

dT 
Pt~dZi' 

de  sorte  que  les  Equations  diff^rentielles  s'^criront 

dpi  __       d\3 
~      ~~~ 


72  SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDS  EN  ROTATION. 

Dans  ces  Equations  les  Vj  represented  Fensemble  des  lermcs  provennnl  des 
forces  dependanles  de  la  yilessc.  Si  Ton  neglige  les  puissances  sup6rieures 
des  a?,  les  V  seront  Iin6aires  par  rapport  aux  />.  Les  Equations  difftfrenlielhvs 
seront  done  Jiniaires. 

Dans  le  cas  de  l'£quilibre  absolu,  c'cst-a-diro  si  le  mouvement  de  rotation  est 
nul,  il  faut  et  il  suffit  pour  la  stability  qne  la  fonction  des  forces  soil  mi 
maximum,  c'est-a-dire  quo  la  forme  quadratique  U  soil  dc^fime  positive. 

Cette  condition  est  encore  suffisante,  ma  is  elle  n'est  plus  ntfcessaire,  s'il  y  a 
un  mouvement  de  rotation.  Atnsi,  pour  parler  le  langage  des  paragraph's  priS- 
c6dents,  si  tous  les  coefficients  de  stability  sont  n^gatifs,  il  y  aura  ccrlaincmcut 
stability,  m£me  dans  le  cas  d'un  mouvement  de  rotation. 

Dans  un  ires  grand  nombre  de  problemes,  on  pout  ncSgliger  la  viscosile;  si 
dans  cette  hypothese  Fiquilibre  relalif  est  slable,  il  y  aura  stability  ordinaire; 
si  1'^quilibre  reste  stable  quand  on  tient  compte  de  la  viscosit<5,  il  y  aura 
stability  s^culaire. 

II  pent  y  avoir  stability  ordinaire  sans  qu'il  y  ait  stabilitd  s(Sculaire;  il  arrive 
alors,  si  la  viscosit^  est  tr£s  faible?  ce  qui  est  souvcnl  le  cas,  que  la  figure  dn 
systeme  se  maintiendra  pendant  fort  longlemps,  mais  fmira  loujours  par  dtrt*. 
bouleverscSe. 

Pour  qu'il  y  ait  stabilitd  s^culaire,  il  faut  et  il  suffit  que  la  forme  U  soil 
d^finie  positive,  c'est-£-dire  que  tous  les  coefficients  de  stability  soient 
n6gatifs. 

Les  conditions  de  la  stabilit6  ordinaire  sont  beaucoup  plus  compliqu^es. 
Bornons-nous  5.  dire  que  cette  stability  no  pourra  jainais  avoir  lieu  si  le  nombre 
des  coefficients  de  stability  qui  sont  positifs  est  impair. 

Tels  sont  les  r^sultats  tres  precis  que  Ton  trouve  d6montr6s  dans  I'Ouvrage 
de  MM.  Tait  et  Thomson.  II  y  a  toutefois  uno  importanlo  restriction  &  faire  et 
sur  laquelle  je  d^sii^erais  attirer  Fattention,  L'argumentation  de  MM.  Tait 
et  Thomson  repose  tout  entiere  sur 'cette  hypothese  que  le  travail  de  la  visco- 
sit6  est  toujours  n^gatif  (et  non  pas  nul)  pour  tous  les  mouvements  possibles. 
II  n'en  est  pas  toujours  ainsi. 

Supposons  par  exemple  une  masse  fluide  isolcie  dans  Fespace.  Si  cette  masse 
se  d^place  sans  se  ddformer,  ce  mouvement  ne  sera  contrari6  par  aucune  r^sis- 
tance  passive  analogue  ^  la  viscosit4.  Le  travail  de  la  viscosil^  sera  alors  nul  et 
non  pas  n^gatif.  Nous  devons  done,  si  nous  Voulons  appliquer  le  th6or<^me 
de  MM.  Tait  el  Thomson,  supposer  qu'on  a  introduit  dans  le  systeme  des 


SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  y3 

liaisons  telles  que  la  masse  fluide  ne  puisse  se  deplacer  sans  se  deformer.  Si 
Fon  fait  cette  hypoth^se.  la  proposition  est  applicable,  et  Fon  peut  dire  que  les 
conditions  de  stability  sont  les  mSmes  si  Ton  tient  compte  a  la  fois  de  la 
viscosit^  et  de  la  force  centrifuge  'compos^e,  ou  bien  si  Ton  neglige  a  la  fois 
ces  deux  forces* 

Avant  de  terminer  ce  qui  concerne  cette  stabilite  deFequilibre  relatif,  jedois 
examiner  un  cas  particulier.  Supposons  qu'a  Fetat  de  F6quilibre  relatif,  le 
systeme  envisage  afFecte  une  figure  de  revolution  autour  de  Faxe  des  z.  Pour 
simplifier  Fexposition,  nous  supposerons  qu'a  Fetat  d'equilibre,  toute  la 
matiere  du  systeme  soit  uniform^ment  repartie  sur  n  circonferences  paralleles 
dont  les  rayons  seront  TI,  ra,  .  .  .,  rn.  Soit  m  une  molecule  appartenant  au 
parallele  de  rayon  r/.  Supposons  que  Ton  d£place  cette  molecule  de  telle  fagon 
que  sa  distance  au  plan  des  xy  augmente  de  z^  sa  distance  a  Faxe  des  z 
augmente  de  HI  et  qu'eniln  le  diedre  du  plan  mQz  avec  le  plan  xQz  augmente 
de  —  -  Si  les  quantit^s  M£,  ^  et  t>t  sont  les  memes  pour  toutes  les  molecules 
d'une  meme  parallele,  le  systeme  affectera  encore^  apres  cette  deformation,  une 
figure  de  revolution.  Si  Fon  suppose  de  m£me  que  ~--p  =  urt  ,  —~~  =  v't  ,  -~  =  z't 

sont  les  memes  pour  toutes  les  molecules  d'un  meme  parallele,  la  demi-force 
vive  totale  du  systeme  a  pour  valour 


Ai,  A2,  ,..,  An  6tant  n  constantes  que  nous  regarderons  comme  donn^es. 
Enfin  F^nergie  potentielle  U  ne  dependra  que  des  u  et  des  z,  tant  que  les 
quantit6s  W£,  vi  et  zi  conserveront  la  meme  valeur  tout  le  long  d'un  parallele. 
Les  Equations  du  mouvement  seront  alors,  en  supprimant  toute  viscosite  : 


a)  designant  la  vitesse  angulaire  de  rotation  due  au  mouvement  d'entrainement. 
Ces  equations  sont  lineaires  en  u^  9i  et  zi*  On  y  satisfera  en  posant 

Ui  =  at  cos  X  £5         zt  =  bi  cos  X  £,         9i  =  2  a/  r~  sin  X  t 


/  r~ 
A 


et  une  condition  necessaire  pour  qu'il  y  ait  stability,  c'est  que  les  valeurs  de  A 
qui  permettent  de  satisfaire  de  la  sorte  a  nos  Equations  differentielles  soient 
toutes  reelles.  On  voit  par  ces  equations  que  si  les  conditions  initiales  du  mou- 

H.  P.  —  VII.  ro 


74  SUR  L'^QUILIBRE  D'UNE   MASSE  FLUIDE   EN   ROTATION. 

vement  sonl  tellos  que  MJ,  PJ,  s^  u'-L  ,  9\ ,  sj  soicnt  les  memes  tout  lo  long  d'un 
parallele,  il  en  sera  encore  dc  memo  au  bout  d'un  temps  quelconque  ct  le 
sy steme  restera  de  revolution. 

On  pourra  trouver  pour  A  un  certain  nombre  de  valours  distinctes  que 
j'appellerai  ±  A1?  ±:A2?  ...  et  I'intigrale  gim'rale  des  Equations  proposes  en 
supposant  que  le  systerne  reste  de  revolution  sera 


(0 


il>   cos  ( ^/'  ^  ~h  £/J )' 


les  B^  et  les  e/t  6tant  zp  constantes  d'intcigration. 
Mais  on  doit  avoir 

T  -t-  U  =  G, 

C  6tant  une  constante.  II  est  facile  de  voir  que  si  U  n'cst  pas  une  forme 
positive,  on  peut  choisir  les  conditions  initiales  du  mouvement  de  telle  sorte 
que  la  constante  G  ait  le  signe  que  Ton  veuL  On  trouve 

T  =  Do  ~h  S  D;,  cos  a ( )v,  t  +  £,, )  +  2  Vptf  cos [( X,,  +  \t/)t  +  e,,  -I-  ey  J 

-h   S  DJ;/y    COS(Xy,  J?  X,^  H-  S;;— -  £,;), 

U  =  EO-+-  S  E,,  C032(X,^  -4-  £;,)  4-  23(1^  ou  KJ,y )  cos [()VH~  Xf/)if  -H  e/,r±:  £,,]. 

On  a  done 

Do  -h  E0  =  G3        D;>  -4»  Ep  =  o,        D/;(7  -h  E,,,;  =  o,        D/v  4  -  E^v  =  o. 

On  trouve  d'ailleurs  en  faisant  attention  a  la  nature  des  formes  T  et  U  ct  i  la 
forme  des  Equations  (i)  : 

Do  = 


aE0  « 


SUR   L'^QUILIBRE   D'UNE   MASSE  FLUIDE   EN   ROTATION.  76 

On  tire  de  la 

(2)  DO+  Eo-  SB^D^-h  E,)  =  SB*  AAJO£>-t-  £;>)> 

et  d'autre  part 

D  o  H-  E  o  —  S  B  *  (  D  p  H-  E^ )  =  C . 

Lcs  coefficients  Aj  sont  essentiellement  positifs.  Si  done  les  ^  sont  tous 
reels,  le  second  membre  de  (2)  est  essentiellement  positif.  Mais  nous  avons  vu 
que  C  peuL  devenir  ndgatif  a  moins  que  la  forme  U  ne  soil  definie  positive.  Si 
done  cette  forme  n'esl  pas  definie  positive  (au  moins  tant  que  le  systeme  est 
assujetti  a  rester  de  revolution)  il  ne  peut  y  avoir  stability. 

Cette  demonstration  se  trouve,  sauf  la  forme  et  les  notations,  dans  la  Meca- 
nique  celeste  de  Laplace  (Livre  IV,  Chap.  IT,  n°  14). 

On  doit  done  conclure  que  si  un  systeme  affecte,  a  1'etat  d'equilibre  relatif, 
une  figure  de  revolution,  cet  equilibre  ne  jouira  pas  meme  de  la  stabilite 
ordinaire,  si  l'6quilibre  du  systeme  n'estpas  stable  quand  onsupprime  la  force 
.centrifuge  composee  et  qu'on  introduit  des  liaisons  assujettissant  le  systeme  a 
rester  de  revolution  autour  de  Vaxe  des  z.  II  faut  toutefois  observer  a  quelle 
condition  ce  theoreme  de  Laplace  est  applicable.  II  pourrait  se  faire  que  Tun 
des  A  fut  nul  et  alors  Je  raisonnement  precedent  tomberait  de  lui-m£me.  11 
pourrait  y  avoir  encore  stabilite  en  ce  sens  que  la  figure  exterieure  du  systeme 
demeurerait  toujours  tres  peu  diflerente  de  la  figure  primitive;  mais  les  divers 
paralleles  tendraient  a  tourner  avec  des  vitesses  diflferentes. 

II  reste  a  examiner  si  les  theoremes  etablis  dans  les  paragraphes  precedents 
subsistent  encore  dans  le  cas  de  Fequilibre  relatif.  Le  premier  d'entre  eux, 
d'apres  lequel,  si  un  des  coefficients  de  stabilite  change  de  signe  quand  on 
suit  une  serie  lineaire  de  figures  oVequilibre,  la  forme  correspondante  est  de 
bifurcation,  subsiste  evidemment,  car  le  mouvement  de  rotation  et  la  force 
centrifuge  composee  ne  changent  pas  les  conditions  d'equilibre  et  n'orxt 
d'influence  que  sur  les  conditions  de  stabilite. 

Quant  au  second  theoreme,  c'est-£-dire  au  principe  de  Fechange  des  stabi- 
lites,  il  subsiste  encore  en  ce  qui  concerne  la  stabilite  seculaire  dont  les  condi- 
tions ne  sont  pas  non  plus  changes  par  la  force  centrifuge  composee. 

II  subsiste  m<§me  en  ce  qui  concerne  la  stabilite  ordinaire,  mais  seulement  a 
la  condition  qu'un  seul  des  coefficients  de  stabilite  s'annule  k  la  fois.  Nous 
avons  vu  en  effet  qu'il  ne  peut  y  avoir  m^me  stabilite  ordinaire  quand  un  seul 
coefficient  de  stabilite  (on  plus  generalement  un  nombre  impair  de  ces  coeffi- 
cients) est  positif  et  les  autres  negatifs. 


76  SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 

VIII.  —  Fonctions  de  Lam6. 

Apres  ces  longs  prolegoiuenes,  j'arrive  a  Fobjet  principal  do  ce  travail. 

Nous  nous  occupons  de  determiner  la  forme  d'equilibre  d'une  masse  lluido 
homogene  dont  toutes  les  molecules  s'allirent  d'apres  la  loi  dc  Newlon  et  qui 
est  animee  d'un  mouvement  de  rotation  uniforiuo  autour  de  Faxe  des  z.  Si  nous 
ne  noas  occupons  que  des  conditions  d'equilibre  on  laissant  de  cote  la  question 
de  stability,  nous  n'avons  pas  a  tenir  conipie  de  la  force  centrifuge  composee, 
et  nous  pouvons  traitor  le  probleme  conime  s'il  s'agissait  de  I'tiquilibre  absolu 
d'une  masse  (luide  soumise  seulement  a  {'attraction  newtonienne  et  &  la  forco 
centrifuge  ordinaire. 

Nous  connnissons  deja  plusieurs  series  lin&iiros  r<VlIes  de  figures  dY»qui- 
libre,  ce  sont  les  ellipsoi'des  de  revolution  et  los  ellipsoidcs  de  Jacobi.  La  figure 
de  ces  ellipsoi'des  depend  de  la  vitcsso  angulaire  de  rotation  w  qui  jouora  ici  le 
m£me  rdle  quo  jouait  le  paranietre^  dans  les  paragraphos  II,  III  el  IV. 

Nous  pouvons,  sans  restreindre  la  g<^n6ralit(^  iinposcr  a  notre  masse  tluido 
certaines  liaisons,  L'axe  de  revolution  que  nous  avons  pris  pour  axe  des  ^,  pent 
^tre  regard^  comme  fixe.  Nous  regarderons  <5galement  comme  lixe  le  centre  de 
gravit6  de  la  masse.  Cela  ne  suffit  pas  encore  pour  notre  objet;  si  Ton  se 
bornait  Ici  en  effel,  on  pourrait  faire  tourner  Pellipsoi'do  de  Jacobi  d'uu  angle 
quelconque  autourde  Faxe  des  s  sans  que  lj<iquilibrecesse.  On  aurait  done  pour 
chaque  valeur  de  w  une  infinite  d^ellipsoi'des  a  trois  axes  intSgaux  qui  satisfe- 
raient  i  la  question.  Afin  d?eviter  cette  circonstanco,  qui  sans  pouvoir  causer 
de  veritables  diflicultes,  nous  g^nerait  dans  rexposilion,  nous  assujettirons 
notre  syst6mc  5.  une  liaison  de  plus,  en  supposant  que  le  plan  des  %z  soit  im 
des  irois  plans  principaux  d'inertie.  II  resultera  de  cetle  hypothose  tjue  si  tin 
ellipsoi'de  &  trois  axes  inegaux  satisfait  a  la  question,  ses  trois  axes  d'inertie 
seront  les  trois  axes  de  coordonnees,  et  de  plus  le  m<?me  ollipsoido  satisfera 
encore  £  la  question  quand  on  Faura  fait  tourner  de  90°  autour  do  Faxe  des  z. 

Dans  ces  conditions,  voici  les  resultats  bten  connus  de  la  discussion  des 
equations  d'equilibre. 

Quand  co2  croit  depuis  zero  jusqu'a  4^Xo?ocj3,  il  y  a  quatre  cllipsoidcs  qui 
satisfont  a  la  question,  a  savoir  deux  ellipsoides  de  revolution  et  deux 
ellipsoides  de  Jacobi.  Ges  deux  derniers  ne  different  Fun  de  Fautre  que  par 
leur  position,  etFon  passe  de  Fun  &  Fautre  par  une  rotation  de  90°  autour  de 
Faxe  des  £. 


SUR   L'^QUILIBRE   D7UNE  MASSE  FLUIDE  EN   ROTATION.  77 

Pour  co2  =  4rc  x  0,098,  les  deux  ellipsoi'des  de  Jacob!  se  confondent  entre  eux 
et  avec  un  des  deux  ellipsoides  de  revolution  que  nous  appellerons  1'ellipsoide  E. 

Quand  co2  croit  de  4^  x  0,0098  a  4^  X  0,1 12,  il  y  a  deux  ellipsoi'des  de 
revolution  qui  satisfont  a  la  question. 

Pour  002  =  4^x0,112  les  deux  ellipsoi'des  de  revolution  se  confondent  en 
un  seul  E;. 

Pour  co2  >  4^  X  0,1 12,  il  n'y  a  plus  d'ellipsoide  satisfaisant  a  la  question. 

Pour  parler  le  langage  des  premiers  paragraphes,  il  y  a  quatre  series 
Iin6aires  de  figures  r^elles  d'equilibre  depuis  o)2  =  o,  jusqu'a  co2  =  4^x  0,09; 
il  n'y  en  a  plus  quc  deux  depuis  o>2  =  471  x  0,09  jusqu'a.  co2=  4^  X  o;oi  i?  et 
il  n'y  en  a  plus  du  tout  a  partir  de  cette  derniere  valeur. 

L'ellipsoi'de  E7  est  une  forme  liinite  puisque,  en  faisant  croitre  w2,  on  voit  les 
deux  ellipsoides  reels  de  revolution  se  confondre  avec  E'  pour  devenir  ensuite 
imaginaires. 

L'ellipsoide  E  est  a  la  fois  une  foraie  de  bifurcation,  (puisqujil  appariient  a 
la  fois  a  la  s^rie  des  ellipsoi'des  de  revolution  et  a  la  s^rie  des  ellipsoi'des  de 
Jacobi  et  une  forme  limite,  (puisque,  en  faisant  croitre  co2,  on  voit  les  deux 
ellipsoides  reels  de  Jacobi  se.  confondre  avec  E  pour  devenir  ensuite 
imaginaires). 

Outre  les  ellipsoides,  on  sait  qu'il  existe  des  figures  annulaires  d'equiiibre, 
dont  nous  avons  parie  dans  le  paragraphe  V,  Nous  nous  proposons  de 
rechercher  s'il  existe  en  outre  des  series  lineaires  de  figures  convexes  d'equi- 
libre  non  ellipsoidales.  Pour  cela  nous  chercherons  a  reconnaitre  si  parmi  les 
ellipsoides  de  revolution  et  ceux  de  Jacobi,  il  y  a  des  formes  de  bifurcation. 

Pour  arriver  a  ce  resultat,  il  faut  calculer  les  coefficients  de  stabilite  de  ces 
ellipsoides  et  rechercher  dans  quels  cas  ils  s'annulent.  On  verra  plus  loin  que 
ces  coefficients  dependent  des  fonctions  de  Lame,  mais  nous  allons  d'abord 
rappeler  les  r£sultats  si  remarquables  des  travaux  de  Lame  et  de  Liouville  au 
sujet  de  ces  fonclions. 

Nous  emploierons  dans  ce  qui  va  suivre  les  notations  de  Liouville  dans  ses 
lettres  a  Brachet  (/.  Math,  pur es  et  appL,  irc  serie,  t.  11,  1846).  Rappelons 
ces  notations, 

On  donne  a  Fequation  de  rellipsoide  considere  la  forme 


78  SUR  L'£QUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 

el  Ton  deSftml  la  position  d'un  point  sur  cet  ellipsoide  par  les  deux  autres  coor- 

donates  elliptiques  /*  el  v. 

Clue  fonction  de  Lam6  d'ordre  n  est  unc  fonclion  II  de  I'une  des  quatre 
formes 


R  =  p,0          R  =  ^pa  — 

(ou  P7l  d^signe  un  poljnome  de  degrc    /i  en  p)  el  satisfaisaat  a  liquation 
diff6rentielle 


(B  <5tanl  ime  constante  convenablemeul  choisic). 

Avant  d'aller  plus  loin,  indiquons  quelles  sent  les  divcrses  formes  qu'il  poul 

ulile  de  dormer  a  1'dsquation  (i). 
Nous  poserons 

pi=  v/pa-~^S      p2=  \/pa—  ca; 

H  =  pT0==  piTi=  p3T2=  pipaUoss  pp2Ui=  ppj  Us. 

L7  Equation  peut  alors  se  me  lire  sous  la  forme 

(ft  V 


(I') 

Dans  celle  equation  g<Jii<Sralc,  a  repr^sente  Time  des  variables  p,  pi  ou  pa? 
et  V  Tune  des  sept  fonc  lions  R,  T  ou  U.  On  a  d'ailleurs 


a  =  «,         il  =  /i(/n-i)  si     V  =  U; 

a  =  4,         II  as  A(rt-f-i)—  -»         si     V==T; 
a  =  G,         H  =  //(/i-t-0—  •  a         si     V  =  U. 


D'aulre  part 


Si  par  exemple  a  =  p,  on  oblieni  : 

p=/>,  si     V  =  R, 

PSB^  —  2C«.  Si      V=Ti, 

p  =  %p>  si    V  =  U, 

Enfin  on  trouve 

K=—  B,  si     V==E, 

K=~(B-c2)5  si     V=T13 

K»-(B-fir),  si     V  =  U0, 
K«  —  [B-Hn(n4-i)^J,        si     V  =  R, 


si     c-^pi; 

Si      <T  =s  pa. 


SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  79 

Pour  achever  de  d^finir  la  fonction  R,  nous  supposerons 

r      R 

lim  —  =i         pour     p  =  03. 

Qn 

A  chaque  fonction  R  correspondent  deux  fonctions  M  et  N  que  Ton  obtient 
en  changeant  dans  R,  p,  y^p2  —  b*  et  yp2  —  c1  en  p,  y^  —  fe2  et  y/c2  —  JJL^",  en 
ce  qui  concerne  M,  et  en  v,  y62  —  v2,  y  c2  —  v2  en  ce  qui  concerne  N. 

A  chaque  fonction  R  correspondra  en  outre  une  fonction  S  de  p  d^finie  par 
liquation 


r 

J 


R2  ^(pi  — 


et  satisfaisant  comme  R  &  liquation  (i) 
Liouville  pose  de  plus 

P  h 


1  = 


P  est  la  distance  du  centre  de  I'ellipsoide  au  plan  tangent. 
Liouville  trouve  ainsi  les  Equations  suivantes  : 

M'N'  da'       47TRSMN 


,    , 
(2) 


2/1-4-1 


Dans  cette  Equation  (2)  on  considere  deux  points  de  1'ellipsoifde  ayant  pour 
coordonn^es  elliptiques  p,  p}  v  et  p,  f/  et  vr;  M,  N  et  I  sont  les  fonctions  d^fimes 
plus  haul  de  p.  et  de  v;  M',  N'  et  V  sont  des  fonctions  correspondantes  de  p!  et 
de  vr;  A  est  la  distance  des  deux  points  JJL;  v  et  p.A,  v(;  dc^r  est  un  6I6ment  de  la 
surface  de  Fellipsoide  ayant  pour  centre  le  point  p/,  v'  et  i'intggrale  est  6tendue 
a  tous  les  ^I^ments  d^  de  I'ellipsoide. 

Liouville  trouve  encore 
(3) 

ou  du  est  un  £l£ment  de  1'ellipsoi'de;  Z,  M,  N,  Mi  et  Nd  les  fonctions  d^finies 
plus  haut  des  coordonn^es  p.  et  v  du  centre  de  cet*4l£ment.  M  et  N  sont  deux 
fonctions  de  Lam£  conjugu<ies;  M!  et  N4  sont  deux  autres  fonctions  de  Lam6 
^galement  conjugu^es,  mais  qui  doivent  etre  diff6rentes  des  premieres. 

Liouville  d6montre  de  plus  que  la  fonction  R  est  constamment  positive  et 
croissante  quand  p  varie  depuis  +c  jusqu'a  -f-oo.  Pour  les  valeurs  p  =  o, 


p  =±  &,  p  =  ±  c,  une  des  deux  fonctions  R  ou  ~7~V/(P2  — 
s'annuler. 


So  SUR   L'frjUILIBRE   D^UNE   MASSE   FLUIDE   EN   ROTATION. 

II  me  reste  a  parler  des  Equations  qui  cl6ierinineni  la  constanle  B. 
Cherchons  quelle  est  la  condition  pour  que  liquation  (if)  soit  satisfaite  par 
un  polynome  de  degre  A,  (ou  A  =  ;a,  si  V=  R;  on  n  —  i  si  V  =  T;  ou  n  —  2 

Posons  a  cet  effet 

Nous  prendrons  A  =  2*  si  A  est  pair  et  A  =  ir/c  -f- 1  si  X  est  impair.  Nous 
trouverons  alors  en  substiiuant  cepolynorne  a  la  place  de  V  dans  F  Equation  (i;) 
et  identifiant  les  deux  membres 

<I>  -  (X  —  su  —  a)  (X  —  a«  -h  a  —  ,'0  —  II 

/  .  p  \  (/=  o,  I,  •>,.,.,  x). 


L'dquation  (4)  est  une  sorte  de  relation  de  recurrence  qui  pernuit  de  calculor 
de  proche  en  proche  les  coefficients  y,  en  partant  des  valeurs  initiales  y<)~  i, 
y_d  =  o.  On  trouve  ainsi  yi  sous  la  forme  d'un  polynome  de  (Iegr6  i  en  A*. 
Comme  on  doit  avoir  yXH  =  o3  la  valour  de  A  (et  par  consequent  celle  de  B)  se 
trouve  donn6e  par  une  Equation  algebrique  dc  degr^  x  -f-  K 

Nous  avons  vu  plus  haul  que  la  fonction  R  pent  prendre  Pune  des  quatre 

formes 

H  =  P/i5        H  =  \/p2—  6MI>w-i, 
H  = 


A  ces  quatre  formes  correspondront  quatre  Equations  en  B  qui  seront  respecti- 
vement  de  degr<§ 


n  n       n  n 

H-I,        ?  et     - 

7 


si  n  est  pair,  et  de  deg*r6 


si  n  est  impair,  et  que  j'appellerai  pour  abrdger  (E4),  (Ea),  (Ea)  et  (E4). 
Pour  former  Tune  de  ces  quatre  Equations,  on  formera  liquation  (i')  de  fagon 
que  la  fonction  V  doive  ^tre  un  polynome  entier  et  Ton  en  d^duira  les  Equa- 
tions (4)  correspondantes.  II  est  £  remarquer  que  chacuae  de  ces  qualre 
Equations  peut  £tre  ainsi  construite  de  trois  mani6res  diff^rentes.  En  effet, 


SUR   I/EQUILIBRE   D3UNE  MASSE   FLUIDE   EN   ROTATION.  8  1 

pour  chacime  de  ces  quatre  formes  de  la  fonction  Ron  pent  ecrire  Inequation  (i) 
de  trois  manieres  diff^rentes,  selon  que  Fon  choisit  pour  variable  ind£pen- 
danle  p,  pi  ou  p2. 

Lame  a  d4montr$  que  ces  quatre  equations  (E)  ont  toutes  leurs  racines 
reelles.  Liouville,  en  rappelant  ce  resultai,  ajoute  que  la  methode  de  Sturm  y 
aurail  conduit  plus  rapldemeni.  Gomme  il  ne  donne  pas  d'autre  detail,  il  ne 
sera  peut-<Hre  pas  inutile  d'6claircir  sa  pens^e  par  quelques  explications. 

Si  Ton  revient  aux  Equations  (4)?  on  verra  que  le  coefficient  <D  y  est  toujours 
negatif  el  le  coefficient  0  toujours  positif.  Si  done  on  suppose  que  q  soit 
negatif,  les  fonctions  yj  qui  sont,  comme  on  Pa  vu,  des  polynomes  entiers  de 
degre  i  en  B,  jouissent  de  la  propri6t6  caract6ristique  des  fonctions  de  Sturm, 
c'est-a-dire  que,  quand  yz-  s'annule,  yz-+d  et  yr-_i  sont  de  signes  contraires.  On 
voit  de  plus  que  si  le  coefficient  de  kl  dans  y$  est  positif,  le  coefficient  de  kl+i 
dans  yj+.i  sera  negatif  et  r^ciproquement.  On  peut  done  appliquer  le  raison- 
nement  de  Sturm  a  la  suite  y^+ij  yxj  •  •  *?  ya?  Y1'  To*  ^ais  on  peut  toujours 
supposer  que  q  est  negatif;  il  suffit  pour  cela  de  prendre  pi  pour  variable  ind£- 
pendante.  G7est  ainsi  que  la  methode  de  Sturm  est  applicable  aux  Equations  qui 
nous  occupent. 

D'ailleurSj  si  q  est  ii^gatif,  et  si  Ton  6limine  les  y  entre  les  Equations  (4)  par 
le  moyen  d'un  determinant,  Fequation  (E)  ainsi  obtenue  aura  la  m£me  forme 
que  «  liquation  en  S  »  que  Ton  rencontre  quand  on  recherche  les  axes 
principaux  d'une  surface  du  deuxieme  ordre. 

Voici  une  autre  demonstration  du  merne  theoreme,  que  je  crois  nouvelle  et 
qui  p.ourra  nous  etre  utile. 

Dans  le  cas  de  62=  c2,  on  a  ainsi  que  Liouville  1'a  rnontr^  : 


_  _ 

2/1(2/1  —  i)...(n  —  tn-i) 
Dans  le  cas  de  b~  =  o,  on  a 


==s  0?    I?  2,   ...,   71 
t 


Ainsi  pour  62=  c2  les  racines  des  Equations  (Ei)  et  (E4)  sont 


H.  p,  —  - 


82  SUR   L'EQUILIBRE   D'tWE  MASSE   FLUIDE   EN   ROTATION. 

el  cellos  des  equations  (Ea)  el  (E;{)  soul 

!„(„  -4-!)    -tjc-5,     [/f(/n-  i)  --()(«"  .....     |  //(  /i  -H  i)  -  (/>./'  4-  n"  |r-         (/'/-4-r       ;n. 

Ainsi  si  Toil  envisage  seuleiueul  les  equations  (Ei)  el  (E2)  par  exempli*  ,  les 
racines  de  ces  deux  equa  lions  seront  Louies  reelles  o,t  so  separeronl  muluel- 
lemenl. 

Kaisons  varier  6-  d'une  inauiere  continue  depuis  sa  limile  superienre  r- 
jusqu'a  sa  liinitc  mferieure  zero,  Les  raeines  dos  deux  equations  (H*)  t-t  (&>) 
varieront  d'une  maniere  continue.  Pour  qifelles  eessassent  d'elre  touicsr^elles, 
il  faudrait  que  deux  racino.s  do  (Ei  )  oti  deux  racines  dc  (E2)  dcvinssent  c^ales. 
Mais  pour  que  eela  ful  possibl<1,  il  iaudrail  (Pabord  que  les  racines  des  deux 
equations  cessassent  de  se  stiparer  inultielleineiil.  I>our  (ju'olles  cessassent,  de  sc 
s^parer,  il  faudrail  que  Tune  des  raeines  cle  (Ef)  devint  eyale  a  une  des  racines 

de(Ea). 

Or  je  dis  que  cola  esl  impossible.  Soil  en  eilel  H  une  racing  que  nous 
supposons  appartenir  a  la  fois  a  (E,  )  el  a  (Ea)  el  onvisagoous  r<'u[uatJon  (i) 
correspondante. 

Celte  Equation  admeltra  deux  in(<f|gralos,  1'une  de  hi  forme  P,,,  Paulre  do  la 
forme  \/pB—  ca  P/^I.  Soienl  JK  el  IM  c(^s  deux  integrales.  On  pout  former  une 
6qualion  lineaire  du  troisicmc  ordre,  a  coeflicienls  ralioimels  el  admellant  pour 
int6grales  les  Carre's  des  inlegralcs  de  (i).  Un  svsleme  fondamenlal  d'inlegrales 
sera  R-,  RRi  el  11^.  Celte  (iquatioii  admeltrail  done  comme  integrates  deux 
poljnomes  entiers  11-  et  RJ  essentiellem.ent  distinct  s. 

Mais  liquation  (i)  admot^  oulro  I'iuL^gralo  1^,  Pinlegrale  S  dcfinio  plus  haul 

el  qui  esl  tolle  que 

pour     o  •=  x. 


Liquation  du  Iroisicme  ordro  donl  nous  venous  d(^  parlor  admoltra  done 
comme  systeme  fondamenlal  d'iut<5grolos  IV,  HS,  S-.  Si  nous  convenors  de 
dire  qu'une  fonction  F  de  p  est  de  degre"  />  en  p  -si  le  rapport  de  F  a  p/1  tend  vors 
uiie  limite  finie  qoand  p  croJt  inddfinimont,  il  resalie  de  ce  qni  pr6c^de  quo  les 
irois  integrales  lla,  RS  el  S'J  sont  respectivemeni  de  degr<£  an,  ~  i  et 
—  (2/1  +  2).  Une  inteyrale  quelconque  de  liquation  du  iroisieme  ordre  sera 
une  combinaison  lineaire  de  It3,  RS  et  S2;  elle  sera  done,  a  moins  d'dlro  identi- 
quement  nulle,  de  Fan  des  irois  degrt^s  an,  •-  i  et  —  (2  /&•+•:>,). 

Or  R-^-rRj  qui  est  une  de  ces  integrates,  rie  peut  dire  ni  de  degre  —  i  r  ni  de 
degr6  —  (2/1  +  2)  puisque  c^esl  un  polyaome  entier;  ni  de  degr6  2/z,  puis<[ue 


SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  83 

le  premier  terme  de  R~  est  p~n  de  meme  que  le  premier  lerme  cle  R.I,  de  sorte 
que  les  lermes  de  degr^  2,71  disparaissent  dans  R*  —  R^,  II  faul  done  que 

R2—  R|=o         ou         R  =  Ki, 

ce  qui  est  impossible  et  contraire  aux  hypotheses  faites  plus  haut.  Nous  devons 
done  conclure  que  les  racines  des  equations  (E,)  et  (E2)  sont  toutes  reelles  el 
se  separent  mutuellement,  quelle  que  soil  la  valeur  de  b~  . 

Cela  va  nous  permettre  de  distinguer  les  unes  des  aulres  les  diverses 
fonc  lions  R. 

Nous  ecrirons  R^J-  L'lndice  sup6rieur  A1  sera  £gal  a  i  ,  2,  3  ou  4  selon  que  R 
sera  de  la  forme 


ou     v/p—  £*P,,_,,     ou     vP2—  £a/i-i 


L'indice  n  indiquera  le  degr£  de  la  fonclion  R,  enlin  Findice  i  devra  etre  choisi 
de  telle  sorte  que  R/^j  se  r^duise  a 

i 

A(p2  —  ca)2D  *-»-"(  p2  —  c2)«         pour     62=  c-, 

A  d^signant  un  coefficient  constant  dont  on  trouvera  plus  haut  la  valeur,  et  le 
signe  D*"+/1  exprimant  qu'on  doit  effectuer  i  4-  n  differentiations  par  rapport  a  p. 
On  voit  aisement  d'apres  ce  qui  precede  que  la  fonction  RC7£]  est  parfaitement 
d^terminee.  Pour  62==  o  on  trouve 


ouy  a  une  valeur  que  nous  allons  determiner. 

On  voit  aisement  que  i  est  pair  si  k  =  i  ou  4  61  impair  si  k  =  2  ou  3  ;  tandis 
que  j  est  de  meme  parit^  ,que  71,  si  k  =  i  ou  2  et  de  parit^  difKrente  si  A*  =  3 
ou  4-  De  plus,  pour  une  me*me  valeur  de  A*,  les  valeurs  de  j  devronl  croitre 
quand  celles  de  i  d^croitront.  On  a  done  i 

si  k  ==  i   ou  3  :     i-\-j*=m\ 
si  k  =  2  ou  4  •     i  -hj  =  n  -*~i* 

Nous  pouvons  d^duire  de  la.  quelques  propri6tes  des  fonctions  R.  Combien 
Fequation 

(5)          ,  R^/=o 

[ou  le   premier  membre  est  suppos6  d^barrasse  du  facteur  radical  ^py  •  —  b*j 
\/p-  —  c'1  et  \/(p2  —  &2)  (p2  —  c2),  qu'il  pourrait  contenir,  ainsi  que  du  facteur  p 


84  SUR  L'EQUIUBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 

s'il  y  a  Ueu]  aura-t-elle  de  racines  reelios  et  comment  ces  racines  seronl-ellos 
distribu6es?  Nous  prendrons  pour  inconnues  p-  el  uon  pas  p,  Kaisous  d'abonl 
#2— c~.  On  verra  que  liquation  admettra  I  racines  egales  a  c'2  el  "n  racines 
comprises  entre  z4ro  el  c1. 

Si  nous  faisons  ensuite  i-^o,  on  verra  que  liquation  admeUra  £'  racines 
egales  a  z6ro  et  t)1  comprises  entre  z^ro  el  c1. 

Les  valeurs  des  nombres  £,  yj,  %  el  r/  nous  seronl  donnces  par  le  tableau 
suivant,  ou  la  pi^emiere  colonne  donne  la  valeur  de  /.',  la  seeonde  le  r<isle  de  n 
a  2  et  les  <[uatre  autres  les  valeurs  des  quatre  nombres  :  /  -  -  :>,;?  n —  /  —  -  :ro, 


I  ,  O.  C),  O,  O,  O 

I ,  I ,  O,  I ,  I ,  O 

<J. ,  o,  I ,  i  ,  •> ,  o 

«,  I,  I,  O,  I,  O 

'i ,  o ,  i ,  i ,  i ,  i 

3,  i,  f;  o,  o,  i 
•I?  l>>  '>:  <>j  1-  I 

4,  i,  •>.?  i,  •>,  i- 


Ge  tableau  monlre  que  Ton  a  toujours 


Quyarrive-L-il  maintenant  pour  les  valeurs  d<^  b*  comprises  entre  ztfro  ot  r2  ? 
Pour  une  pareille  valeur,  liquation  ne  peut  avoir  de  racine  mulliplo,  car  si 

pour  une  certaine  valeur  de  p,  1\  et  -^-  s'annuluient  u  la  fois,  le  coefficient 


^  dans  liquation  (r)  devrait  dtre  nul  ('jgalcment,  ce  qui  cutrainorail 


2  =s      "       OU 


D'autre  part  aucune  des  racines  de  liquation  ne  peut  £tre  <Jgale  a  zero,  a  />a  ou 
a  c2;  car  si  Ton  forme  liquation  d<5terminante  de  liquation  (i)  pour  les 
points  p=±6,  p=H^c,  on  trouve  que  les  racines  de  cette  6quation  ddtermi- 

nante  sont  z4ro  et  r-  D'ailleurs,  comma  on  a  suppos^  qu'on  enlevait  dans 

liquation  (5)  le  facleur  p  s'il  s;y  trouvait,  il  ne  pourrait  arriver  qu'H  y  res  tat 
ensuite,  que  s'il  y  entrait  au  carre  avunt  qu'on  ne  Teut  enlev6.  Or  nous  venons 
de  voir  que  cela  ne  peut  etre. 

On  doit  done  conclure  que  lorsque  b'2  ddcroit  depuis  c2  jusqu^  a<Sro, 
liquation  (5)  aura  g4  racines  r^elles  entre  z£ro  et  62  etTii  racines  rcielles  entre 
62  et  c2  et  que  ces  deux  nombres  £t  et  y]4  demeureront  invariables. 


SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  85 

Pour  62  =  c2,  il  arrivera  que  les  YH  racines  comprises  entre  b~  etc-  devien- 
dront  egales  a  c'-;  on  pourrait  supposer  aussi  qu'un  certain  nombre  de  racines 
d'abord  imaginaires,  ou  non  comprises  entre  b-  et  c-  tendent  aussi  vers  c2 
quand  b-  lend  vers  c-,  de  sorte  qu'on  aura 


Quant  aux  £<  racines  comprises  entre  zero  et  62,  elles  resteront  comprises 
enLre  z6ro  et  c2;  on  pourrait  supposer  toutefois  que  quelques-unes  d'entre  elles 
se  r^duisent  a  c2  ;  on  aura  done 

?i^-n. 

Supposons  maintenant  que  b-  tende  vers  zero;  il  arrivera  que  les  \\  racines  et 
peut-£tre  d'autres  tendront  vers  zero,  et  que  les  vji  racines  resteront  comprises 
entre  zero  et  c2,  quelques-unes  d'entre  elles  pouvant  se  r£duire  a  zero.  On 
aura  done 


Mais  si  d'autre  part  on  observe  que  Ton  a 

C  —  ,J  f  —  .r 

•B  —   rl  ;  ^   —  ri5 

on  verra  qu'on  doit  avoir  constamment 

II  en  resulto  que  liquation  (5)  a  toujours  toutes  ses  racines  r^elles  et  comprises 
entre  z6ro  et  c- ;  quant  au  nombre  de  racines  comprises  entre  z£ro  et  6~,  ou 
entre  62  et  c-,  il  est  donn6  par  le  tableau  pr^c^dent. 

Si  par  exemple  n  est  pair,  liquation  R^j=o  aura     ~    racines  comprises 

entre  zero  et  b-  et  f  comprises  entre  b-  et  c-  (1). 

Je  ne  veux  pas,  pour  le  moment  du  moms,  m'^tendre  plus  longtemps  sur  les 
propri^tes  generates  des  fonctions  de  Lame;  je  me  bornerai  a  rappeler  les  deux 
rosultats  suivants  qui  sont  bien  connus. 

En  premier  lieu;  B  est  toujours  compris  entre  zero  et  n(n  -j-  i)c-. 

En  second  lieu,  une  fonction  quelconque  de  /jt  et  de  v,  pour  les  valeurs  de  v 
comprises  entre  zero  et  b-  et  pour  celles  de  p.  comprises  entre  b-  et  c-,  pent 


(l)  Ges  resuhats  ont  cte  clonnes  par  M.  Klein,  qui  y  a  ct6  conduit  par  des  considerations  un 
peu  differentes. 


8(>  SUR   I/EQUIUBRE   D'UNE   MASSE  FLUIDE   EN   ROTATION. 

ou  jours  otrc  d^veloppee  en  une  sme  de  la  forme  iA/M/Nn  ou  A,  Msigiio  tin 
coefficient  constant,  pendant  quo  M,  el  iN,-  ddsignenl  deux  functions  de  Lame 
conjugates  de  \j.  et  de  v. 

IX.  —  Determination  des  coefficients  de  stability.     . 

Considdrons  un  ellipsoYdc  ilaide  el  homogone  en  tiquilibre  sous  raclion  de 
raltraclion  ncwloniennc  et  de  la  force  centrifuge.  Supposous  (\\i\\  subisse  une 
deformation  inlinimonl  petite,  sans  que  son  volume  change,  el  cherchons  a 
6valuer  le  travail  des  forces  qui  agissenl  sur  Ie  corps  pendant  celle  deformation 
infiniment  petite.  Soil 


1'ellipsoide  onvisagci  el  soienl,  p.  (M,v  les  coordonnee.s  olliptiques  qui 
la  position  d'un  point  sur  celle  surface.  Soil  £  la  dislanco  de  rollipsimle-  \\  la 
surface  d6formee  compile  sur  la  norniah1  a  l'elli|)soide;  soil  <f  In  resullanle  de 
1'altractiun  et  <le  la  force  centrifuge  en  un  point  de  la  surface  de  1'ellipsoTdo  a 
1'tHal  d'(>quilil)re;  cetu^  r^sullanlo  esl  comme  on  sail  normal**  a  rellipsoidt*. 
Soil  enfin  d*f>  un  Element  quelcoatjut^  de  la  surface  de  1'ellipsoide.  Pendant  la 
d6formation,  une  molecule  queJooncpie  [>eul  etre  regard  Ac  ooinine  souiuise  a 
Lrois  forces  :  a  Tallraclion  de  1'ellipsoide  suppose  lixe,  a  I'nllractioxi  du  hourreK»l 
infinitesimal  foraui  par  la  diir^ronco  en  Ire  la  surface  d6fornHuv  el  rollipsoide,  <»l 
^  la  force  centrifuge-  Si  nous  considerons  un  point  mal/kriel  (|uelconqu(l  de 
masse  i  et  que  nous  appelions  A  sa  distance  a  im  (Element  c[uelcon([ue  dm1  de  la 
masse  de  Pellipsoi'de  et  r  vsa  distance  a  Taxe  des  5;  si  nous  posons  (!) 

.. r  (fni       <oa /-- 

v==j   _^H.   „_, 

la  variation  de  V  mesurera  pr^cis6ment  le  travail  des  forces  agissaut  sur  co 
point  materiel  ^l  dues  a  Fattraction  de  I'ellipso'ide  et  a  la  force  centrifuge,  en 
laissani  de  c6tc5 1'atlraction  du  bourrelel  dont  nous  venons  dc  parlor. 

11  r^sulle  des  hypotheses  faites,  (pie  sur  toute  la  surface  de  Pellipsoide,  la 
fonction  V  a  une  valeur  constante  que  nous  appellerons  V0.  Si  an  lieu  d'un 

(:)  On  rcrnarquera  que  je  dosigne  pur  w  la  vitess^  de  rotation  et  par  dw  un  clement  de 
I'cllfpsol'dc;  par  jx  une  des  coordounees  elliptiqucs  ct  par  dy<  un  £l('kn)ftiit  <lu  hourrelct.  Tl  n'cn 
peut  risulter  aucunc  confusion,  puisijue  lea  difTercntielles  fie  co  et  d<k  jx  nVntrcnt  pus  <lanH  l<i 


SUR   L'gQUILIBRE   D?UNE   MASSE   FLUIDE   EN   ROTATION.  87 

point  situ6  sur  Fellipsoide,  nous  envLageons  un  point  M  infiniment  voisin  de 
cette  surface?  nous  abaisserons  du  point  M  sur  Fellipsoide  une  normale  MM'  de 
longueur  infiniment  petite  ^.  La  valeur  de  la  fonction  g  au  point  M  sera  pr^ci- 
s6ment  aussi  la  valeur  de  la  d6riv6e  de  la  fonction  V,  estim^e  suivant  la 
normale.  On  aura  done  au  point  M,  en  n^gligeant  les  tnfiniment  petits  du 
deuxieme  ordre 

V   =  V0-*A. 

Quelle  est  maintenant  Fenergie  potenlielle  Lolale  de  la  masse  fluide  deforni6e  ? 
L'^nergie  due  a  Fattraction  seule  aura  pour  expression  -  f  m  m  <>  dm  et  dm1 
<Hant  deux  £l£ments  quelconques  de  la  masse  fluide  et  A  la  dislan.ce  deces  deux 
£l£menls.  L'^nergie  due  a  la  force  centrifuge  sera  /  —  r2dm,  r  etant  la 

«y      2 

distance  de  T^ldment  dm  a  Taxe  des  3.  Le  double  de  F^nergie  potentielle  totale 

sera  done 

---       rrdmrfm'       r   „  ,  , 

2  W  =  // ^  /   to2  r*-  rim . 

J'appellerai  W0  la  valeur  de  W  dans  Ffiial  d'equilibre,  cjest-a-dire  quand  la 
figure  de  la  masse  fluide  se  r^duit  a  Fellipsoide. 

Mais  nous  devons  distinguer  parmi  les  616ments  de  la  masse  fluide,  les 
^l^ments  de  Fellipsoide  que  j'appellerai  dm  et  dm1,  et  les  6l6ments  du  bourrelet 
que  j'appellerai  dp  et  dp',  Parmi  ces  elements,  il  y  en  aura  den£gatifs>  puisque, 
le  volume  ne  changeani  pas  pendant  la  deformation,  on  doit  avoir 


On  a  done 


/dm  dm!        r 
—±-^J 

ce  qui  peut  s^crire 


ou  puisque 

CO2  r9- 


•-/" 


on  aura 

1  dp  dy! 

~A~~ 


88  SUR    L^QUILIBRE  D'UNE   MASSE   FLUIDK    EN    ROTATION. 

Considerons  un  6l<*menl  queleonque  rfr,»  de  la  surface  de  FeUipsoide.  Mcnons 
par  les  divers  points  de  cet  element  des  normales  a  IVItipsoide.  Nous  aurons 
ainsi  determine  une  sortc  de  cjlindre  inliniiuenl  dciliti  el,  dans  lequel  nous 
dticouperons  une  tranche  infmimenl  mince  on  le  coupunt  par  deux  plans  situ&s 
a  des  distances  X  et  X  +  rfX  du  centre  do  l'61<Smenl  rfw  et  parallels  au  plan  de 
cet  element.  Si  A  est  compris  enlre  zoro  et  £,  la  tranche  ainsi  clocoupoe  dans  ce 
cylindre  appartiendra  a  notre  bourrelel;  ce  sera  un  do  nos  elements  dp.,  do 
sorte  que  nous  pourrons  ecrire 

Nous  6crirons  de  mSme 

Nous  aurons  done  pour  irouver  Fexpression  do  VV  a  calculer  les  deuxinl^gralos 

/V  tO\  ^f>    ct      //   • -T ~  * 
,//              A 

Mais  A  e"lant  tres  petit,  on  a  rommc  on  a  vu 
ce  qui  donne  pour  la  premiere  inl6grale 

/r 
w-j  &<**>. 

Le  premier  terme  est  mil;  le  second  peut  s'o'crire 

.»/•*»  /*    ?*'- 

—  /  ^'<:Ao   /     A  r//,         on  bitiii  /  A''      ^/<o. 

H  reste  i\  calculer  la  seconde  inlegrale.  Nous  remarquerous  quo  X  et  X;  (itant 
tres  petits,  on  peut  considdrer  A  comrne  rcpresentanl  non  pas  la  distance  des 
elements  dp  et  dp!t  iuais  celle  des  (Ucments  d<*  et  r/a>;  qui  on  dill'dro  tres  peu* 
A  est  alors  ind<Spendant  de  X  ot  de  A'  et  Ton  peut  ecrire 


'^L  ,  ff*»£L  fa  C  rfx--  ff'<'»<wy 


11  reste  done  fmalement 


Avant  d'aller  plus  loin,  il  faut  calculer  ^,  La  force  g  peut  dtre  d^coinposie 
en  trois  composantes  dirig6es  suivant  les  trois  axes  des  #,  des  y  et  des  z*  La 
composante  parall^le  ^.  1'axe  des  x  par  exemple,  est  parallfelo  i\  la  coordonnde  x 
du  point  d'application.  De  mfime  pour  les  denx  autres  composantes. 


SUR   L'EQUILIBRE   D^UNE  MASSE   FLUIDE   EN    ROTATION,  89 

Si  done  on  appelle  a,  (3,  y  les  cosinus  directeurs  de  la  normale  et  £,  kf  ,  kff 
trois  constanleSj  on  aura 


Mais  liquation  de  I'ellipsoi'de  est 

— 

"P  "*"  ps 

ce  qui  donne 


=  -  P         S  =       v      p 
2r'        H-8r, 


/  '•- 

V/^^cp2-^)2 


On  a  done 


Si  nous  reprenons  les  nolations  du  paragraphs  pr6c6dent  el  que  nous  ecrivions 

p 


il  viendra 


K.  4lanl  une  nouvelle  constante  ne  dependant  que  de  p,  b  et  c. 

II  resle  a  determiner  cette  constante.  Pour  cela  il  suffit  de  calculer  Fexpressioii 
de  g  a  I'extrthnile  de  Taxe  des  z\  dans  ce  cas,  g  se  r^duit  a  ^attraction  de 
Pellipsoide  et  peut  s'6crire 

W2  du 


f     h 

J*     l/[pa— c2- 


2 — 62)w2](p2 — ea-h< 

D'ailleurs  on  trouve  ais^ment 

/ f 

11  vient  donc;  par  une  transformation  simple  de  I'intigrale. 


La  fonction  \/pa —  c2  est  une  fonciion  de  Lame  que  nous  appellerons  Rt ;  c'est 

d'ailleurs  la  fonction  que  nous  avions  d£sign6e  dans  le  paragraphe  pr^c^dent 

par  la  notation  plus  compliquee  :  R^i-  Nous  chercherons  &  ^viler  les  triples 

H.  p.  —  VII.  ,12 


()o  SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDS  EN  ROTATION, 

indices  toutes  les  fois  qu'il  ne  seront  pas  neeessaires  el  nous  raugwous  los 
fonclions  de  Lam6  dans  un  ordre  quelconqne;  nous  les  appellerous  l\\, 
RS,  .  .  . ,  R/,  ....  Nous  poserons  done 

It,   =  y'^  --  -    C'1'. 

Si  d'aulre  part,  nous  envisageons  la  fonction  SA  conjugu^e  de  Hl7  nous  aurons 


(It 


^"-    r"  ^  \  t  ''-•-  ^-  ^<  /:>    *  ^''^ 
On  a  done  a  rextromii^  de  I'axe  des  z  : 


et  comine  nous  avons  vu  plus  haul  quo  ffl  esl  une  coruslantc>t  nous 
conclure  que  gl  conserve  cette  valour  sur  toulo  la  surface  de  Pellipsoide. 

r 

DtSveloppons  maintenant  J  qui  esL  une  fonction  de  /JL  ot  de  v  on  tuie  serit* 

convergenle  de  la  forme  suivante  :  J£Ar-M,-N<-,  A/  <Hant  des  conslantes  et  M/,  \/ 
des  fonctions  de  Lame.  Cela  est  lonjours  possible,  eonune  nous  Tavotis  dit  a  la 
fin  du  paragraphc  prScddeni.  Nous  aurons  done 


et  de  mdme 
On  tire  de  1& 


Oil 

^     " 


1'1  rfw  M  *  N* 

ou 

yh^?rfo)=2^wHiSi/'/M'sN^ci>"!'2A/A 

Si  Pon  observe  que 

AM/NfMjfcN/:rfo>=so, 
il  reste 

=  |»RiSi21A*  fmfWftto. 


SUR   L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE   FLUIDE  EN   ROTATION. 

On  troave  cPautre  part 


f'(£  ,/ 


_ 

-  -  A, 


les  deux  indices  /  et  A1  pouvanl  etre  4gaux  ou  diflerents.  Mais  on  a 

ri'wkwkdur  ^  ^I^SAM^, 

J  &  •_>  n  -h  i 

On  a  done 


Si  i  esl  different  de  k,  on  aura 


II  i*este  done 

^^'  AM,Nf 

A  L  J  L       l 


2  /I  -h  I 

On  arrive  done  finalement  a  1'expression  suivanle  pour  W  : 


72,  est  bien  entendu  le  degre  de  la  fonclion  de  Lame  R/. 

Nous  pouvons  consid^rer  la  forme  de  la  surfaee  deformee  comme  d6finie  par 
les  coefficients  Aj.  Les  coefficients  de  stability  seront  alors 


Pour  qu'un  des  ellipsoides  puisse  ^tre  une  forme  de  bifurcation,  il  faut  quo 
Fun  de  ces  coefficients  s'annule,  c'est-a-dire  que  Fon  ait 


3  2  n  •+-  1 

pour  1'une  des  fonctions  R/. 

D'apres  cela,  il  y  a  un  des  coefficients  qui  est  toujours  nul,  c'est  celui  qui 
correspond  a  i  =  i.  Cela  etait  aisd  a  prdvoir.  En  efFet  on  peut  d^placer  Fellip- 
so'ide  parallelement  a  lui-m^me  et  parallelement  a  Faxe  de  revolution  sans 
changer  F^fcat  d'6quilibre.  Si  Fon  imprime  ainsia  Fellipsoide  un  mouvement  de 
translation  infiniment  petit  et  parallele  a  Faxe  des  ^,  et  si  Fon  appelle  ?  la 
distance  des  deux  ellipsoides  infiniment  voisins  co*npt6e  suivant  la  normale, 
on  a  en  n<3gligeant  les  infiniment  petits  da  deuxieme  ordre  : 


i<>2  SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDK  EN  ROTATION. 

\.i  etanl  uiie  eonslante.  Commo  les  deux  ellipsoidos  .soul  des  surfaces  dYiqui- 
libro,  il  faul  done  hien  que  le  coefficient  do  stability  qui  correspond  a  /-  i 
s'annule.  V  a-t-il  des  cas  ou  d'atilres  coefficients  do  slabilile  s'annulent  ?  rVst 
ce  que  nous  cxaminerons  dans  Ics  paragraphes  suivanls. 

On  pent  arriver  a  liquation  (i)  par  mie  aulre  voio  nn  pen  plus  simple  el 
que  j'aurnls  meme  pr<StVkree  si  j<»  no  mi;  n'^(krvais  d'oxaminor  plus  loin  la  (juesl  ion 
de  stability. 

Supposons  que  Ton  ajoulc  a  I'aUraclion  nfiwLonicune  el  a  la  force  contrifngo 
qui  agissent  sur  la  masse  iluide,  des  forces  perlurlmlrices  quelcouquos,  inais 
tres  petiles.  La  masse  iluide  prcrxdra  alors  nnc  forme  d't^quilibre  ires  pen  diiV^- 
renie  de  I'ellipsoi'de.  (lello  forme  sera  unique  si  aucim  d<»s  cocfiicii^nts  do 
stabilite  ne  s'unnule;  elle  sera  inal  deU»nnin(r'tj  en  general,  si  Tun  do  cos  coeffi- 
cients est  nul. 

Nous  reprondrons  Jes  monies  notations  que  plus  haul  el  nous  definirons  la 
surface  d'equilibrc  defonnee  par  la  valour  de  t  que  nous  dov(»lopperons  en 
serie  coinme  prec^demmenL  : 


les  A/  (ilanl  clos  coefficienls  inHiitajenl  pelil-s  qu'il  s'agit  de  determiner  pour 
definir  la  nouvelle  forme  d'equilibrc.  Soil  coinnio  plus  haul  V  le  potenliel  du 
a  I'aUraclion  de  Pellipsoide  cl  a  la  force  <%enlrifu^e,  r  le  potonliel  du  a  1'atlrac- 
llon  du  bourrelet,  vf  le  polentiel  du  aux  forces  perturbalrices.  On  devra  avoir 
sur  toulc  la  nouvelle  surface  d'equilibrc  : 


1  -+•  /=  const. 


Mais  on  a,  puisquo  Z.  cst  infiniment  pelit, 

V  =  V« 
et  de  plus 


A  eUnt  la  distance  d'un  point  quelconque  du  bourrelet  uu  point  envisage  de  la 
nouvelle  surface  libre;  mais  comme  £  est  infmimenl  petit,  on  pent  remplacer 
ces  deux  points  par  leurs  projections  sur  rellipsoide.  ^  est  alors  la  distance  de 
deux  points  de  Pellipsoide  el  Pon  a 

-s- 


A         -""^      .,„  +  , 


SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  93 

Nous  pouvons  6crire  d'ailleurs 


les  B,  £tant  des  coefficients  tres  petits  que  Ton.  peul  regarder  conime  donnes. 
L'equation  (2)  pourra  alors  s'6crire,  et  remplagant  g  et  £  par  leurs  valeurs, 

-  T  R'  s^2  A*M'N<+  ^Z  ^^^^2BzM^^const- 

Nous  identifierons  dans  les  deux  membres  les  coefficients  de  M$N,  et  il  viendra 


Ces  equations  ditermmeroiit  completement  les  coefficients  Az  et  par  conse- 
quent la  nouvelle  forme  d'^quilibre,  a  moins  qu'on  n'ait 


C;est  done  la  aussi  la  condition  pour  que  Tun  des  coefficients  de  stabilite 
s'annule. 

X.  —  Discussion  de  Fequation  fondamentale. 

Nous  avons  maintenant  a  rechercher  si  liquation 

«>  Hr-^-"' 

ou  p2  est  1'inconnue  admet  des  racines  comprises  entre  +  c/2  et  +00. 
Parlons  d'abord  de  liquation  plus  generate 


p  - 


n  et  m  6tant  les  degres  des  fonctions  B./  et  R^.  Le  premier  membre  F  tend  vers 
z^ro  quand  p  croit  ind^finiment,  car  les  fonctions  R#S/f  et  RiS^  sont  de  degr6 
—  i   en  p,  comme  on  Fa  vu  dans  le  paragraphe  pr^c^dent.  Si  R^  et  R,-  con- 
tiennent  en  facteur  \/p2  —  r2,  F  s'annule  encore  pour  p2  =  c2. 
On  a  d'ailleurs 


_ 
R|       R/£  2/n-hi        RJ 

Les  racines  de  liquation 

(3)  =o 


94  SUE   L'fiQUILIBRE   D'UNE   MASSE   FLUIDE    EN   ROTATION. 

qui  soul  superieures  a  c~  sent  les  mouios  quo  cellos  dc  rcqualion  (:><);  on  ellel 
R/t-  pent  s'ammler  pour  p-  =  c~,  mais  jamais  pour  p- 1>  r- . 

Si  nous  voulons  soparer  les  racinos  de  IMqualion  (3),  il  sufiil  d'appliquor  lo 
theoreme  de  Rolle  el  d'ecrire  quo  la  derivee  du  |>roini<»r  inembre  do  (3)  ost 
nulle.  On  oblienl  ainsi  ['equation 

r/p    ('.>.//A  H- 1  )Ii/.          Ujr.    c/^    ( '* //  H~  I  )  H/         <•'//•  I-   1  )  U,    //;^     l\'/. 

Mais  on-a,  d'apres  la  deiinilion  memo  des  fonclions  S  : 

//  S/;  -  -i  ,/          s/  -  -i 


II  reste  done 


ee  qui  exprime  quo  le  rapport  ^  passe  par  uu  iiiaxinuini  ou  miuiauini,  car  S 
ne  peut  s'annuler. 

Nous  pouvons  done  ononeer  le  resultat  suivuul  : 

Les  racinos  de  liquation  (2)  siip^riewres  &  r-,  en  l«iss«nl  dc  col6  la  racmoru 
si  elle  exisle,  soal  s^par^es  par  les  racines  de  IVjqualiou 


ee  qui  peut  encore  s'ecriro 

(4) 
ou 


Clierchoiis  mamlonanl  a  separer  les  racines  de  liquation  (4)  ellc-nuhno, 
pour  cela  annuloas  la  dfirivio  du  premier  membre  par  rapport  a  e.  11  viendra 


ou 


Mais  liquation  (i)  du  paragraphe  V11I  peut  s'cScrire 

R; 
en  ee  qui  concerne  K/  ct 


SUR  L'^QUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  96 

en  ce  qui  concerne  R/f.  Liquation  (5)  devient  ainsi,  en  supprimant  le  facteur 
RI-RA  qui  ne  peut  s'annuler  pour  les  valeurs  superieures  a  c-  : 

(<>)  [fl(fl  -HI)  —  ni(m  -f-i)]p2—  13, -j-  B/w  =  o. 

II  est  clair  qu'une  pareiile  Equation  ne  peut  avoir  qu'une  racine  sup^rieure 
a  c1.  Liquation  (4)  aura  done  au  plus  deux  racines  egales  on  superieures  a  cj, 
et  liquation  (2)  aura  au  plus  irois  racines  superieures  a  c-  (sans  y  compreiidre 
la  racine  c1  si  elle  existe,  mais  en  y  eomprenant  la  racine  co ). 

Si  liquation  (4)  n'a  aucune  racine  sup^rieure  a  c~}  le  rapport  ^  estloujourb 
croissant  ou  toujours  d^croissant  quand  pa  croit  de  c-  a  Finfini. 

Supposons  par  exemple  qu'il  soit  toujours  croissant.  On  aura  alors 

d    R*  „  ,  d    F 

^•R|>OJ       dou       ,7pR|<0' 
tj< 
Fexpression  ^  est  done  toujours  d^croissante  etcomme  elle  tend  vers  z^ro  pour 

p  =  oo ,  elle  doit  toujours  etre  positive.  On  a  done  F  >  o. 
Revenons  en  particulier  a  1'equation  ( \ )  et  supposons 

H/,  =  K,  =  vV—  c«, 


Supposons    d'abord  que  Rt   contienno  en    facteur  y/p2  —  c-,    nous    pourrons 
derive 


cp  etant  un  facteur  qui  pourra  etre  p,  p  \p2  —  ^"  ou  VPa  —  *a  et  ^i  ^tant  un 
polynome  entier  en  p'J.  Liquation  P/=o  n'est  autre  que  Fequation  (5)  du 
paragraphe  VIII,  d£barrass£e  des  facteurs  que  nous  so  mines  convenus  de  lui 
enlever.  Nous  avons  vu  que  cette  6quation  a  toutes  ses  racines  reelles  et 

qu'elles  sont  comprises  entre  z4ro  et  c2.  Liquation  -^  g2    =  o  aura  done  aussi 

Loutes  ses  racines  reelles  et  comprises  entre  z£ro  et  c2;  d'ou  il  r^sulte  que,  p- 
croissant  de  ca  a  +co,  P;  sera  constamment  croissant.  II  en  est  de  m£ine  de  p 

_  r> 

et  de  \/p2  —  62  et  par  consequent  de  9  et  de  -^  =  9  P*  .  II  en  r^sulte  que  si  R/ 

contient  y/pa  —  c2  en  facteur,  1'^quation  (i)  n'a  aucune  racine  sup^rieure  a  c- 
et  que  son  premier  membre  est  toujours  positif. 

Supposons  maintenant  que  R;  ne  contienne  pas  yp2  —  c2  en  facteur.  Quand 

p  est  tres  grand,  on  peut  regarder  -  eomme  un  infiniment  petit  du  premier 
ordre. 


>  SUR  L'EQUILIBRE  D?UNE  MASSE  FLUIDE   EN   ROTATION. 

On  a  alors  en  n<%ligeant  les  infiniiuenl  petits  du  douxieme  ordre  : 
i  ,,   ,          RiSi          K/S, 


Lc  premier  membre  do  (i)  esl  done  loujours  positif,  a  moms  quo  //-  no  soil 
6gal  a  i  * 

Pour  pa=c'-',  UtS,  s'aimulc  el  par  hypotheso  Il,-S£-  no  s'anuulo  pas;  le 
premier  membro  <jsl  done  nrtgalif.  /Vinsi  la  substitution  d(»  r/2-—r-  el  d'une 
valour  de  p-  positive  et  Ires  grando  domic  dos  resultais  d(^  signc  ronirairo;  lo 
nombre  dos  racino.s  d<>  I'iquation  (  i  )  suporicures  a  r-  el  finios  sora  done 
impair. 

Or  nous  avous  vu  que  le  nombro  dcs  racine.s  suporiourtis  n  r-  olaii  au  plus 
tigal  a  3,  en  j  comprcnaal  la  racine  p-^.-co;  si  Ton  ne  ticnl  pas  compte  do 
celtc  racine,  le  nombre  des  racincs  sera  au  plus  tfgal  a  2;  (vl  corn  me  il  doit  etni 
impair;  il  fautqu'il  soit  6gal  4  i  . 

Nous  avons  laiss^  cle  cdtti  le  cas  ou  /*  =  i  auquel  correspondent  deux  fouc- 
tions  l\ij  a  savoir 


II  esL  ais6  de  voir  quo  quand  p2  croil  depuis  r3  jusqu'u  +oo7   les  rapporls 

••  .      ......  -  fit  -•  ""..'  .....  r^-rrr^  vnni.  loniours  en  d(ioroissanl.  On  doil  done  conclure  crue 

^/p2_c,    ^2_c>:!         •»  i 

liquation  (  i  )  n'a  aucune  racine  finie  et  plus  grnnde  quo  r'J,  et  quo  son  premier 
inembre  est  ton  jours  n^gaiif. 

Voici  done  en  resum<£  cpiel  est  le  nombre  des  racinos  de  liquation  (  i  )  finios 
et  sup^rieures  a  ca  : 

KZ  divisible  par  \f  p-  —  e'2;  pas  de  racine;  premier  rnembre  positif; 
R*  ^o/i  divisible  par  \/p3  —  c2;  n  >  i  ;  zm#  racine; 

R.i  non  divisible  par  \/p*  —  c2;  n  =  i;  /?a^  «fe  racine;  premier  rnembre 
nggatif. 

Revenons  maintenant  au  cas  gehi^ral,  et.  cessons  de  supposer  que  R*-.  =  HI  ; 
qu'arrive-t-il  alors  de  liquation  (2)  ? 

Soit  d'abord  7z>m,  et  supposons  qne  11/  soit  divisible  par  y^'-—  'r^  ot  que 
R/c  ne  le  soit  pas,  On  voit  alors  tout  de  suite  que  F  est  positif  pour  p'J=  #a  el 
pour  p2  tres  grand  etposilif.  Liquation  (a)  nja  done  pas  de  racine  finie  et 


SUR   L'EQUILIBRE   D*UNE   MASSE   FLUIDE   EN   ROTATION.  97 

r> 

sup^rieure  a  c2,  ou  bien  elle  en  a  deux.  Quanl  au  rapporl  ~?  il  est  nul  pour 

p2  =  c2  et  infiai  pour  p2  =  oo  ;  il  est  done  croissant  pour  les  valeurs  de  p2  tres 
peu  superieures  a  c2  et  pour  les  valeurs  tres  grandes.  Done  dans  les  cas  ou 
F^quatioii  (2)  a  deux  racines,  il  doit  en  £tre  de  meme  de  liquation  (4)  et  le 

rapport  ^  doit  presenter  un  maximum  et  un  minimum. 

Supposons  maintenant  que  R/c  soit  divisible  par  y/p2  —  c2  sans  que  R,  le  soit. 
Alors  pour  p2  =  c3,  on  a 

F<o; 

pour  p2  positif  et  tres  grand, 

F>o; 

il  j  a  done  un  nombre  impair  de  racines,  et  comme  ce  nombre  ne  peut 
d^passer  2,  il  faut  qu'il  soit  £gal  a  r. 

Supposons  maintenant  que  R<  et  R/t  soienl  tous  deux  divisibles  par  \/pa  —  c- 
ou  ne  le  soient  ni  Fun  ni  Fautre;  on  aura  alors  pour  p2  =  c2  : 


II  est  possible  que  cette  mdrne  Equation  (4)  puisse  avoir  une  autre  racine  sup£- 
rieure  a  c2,  mais  elle  n'en  peut  avoir  qujune.  Pour  qu'elle  en  ait  une,  il  faut 
d'abord  que  liquation  (6)  en  ait  une,  c'est-a-dire  que 

(7)  B*—  Bji>  [n(n-Hi)  —  m(m  +  i)}c*. 

Gette  condition  est  d'ailleurs  suffisante.  Si  celte  condition  est  remplie  liqua- 
tion (2)  pourra  avoir  une  racine.  Dans  le  cas  contraire  elle  n'en  aura  aucune. 
D'ailleurs  il  en  est  encore  de  mdme  si,  la  condition  (7)  n'^tant  pas  remplie,  R? 
est  divisible  par  y/p2  —  c-  sans  que  RA-  le  soit. 

Dans  le  cas  de  n=m^  qu'il  nous  reste  a  examiner,  liquation  (6)  qui  se 

r6duit  a 

Bz—  B^=o 

ne  peut  avoir  aucune  racine.  Liquation  (4^  ne  peut  done  en  avoir  qu'une  et 
liquation  (2)  en  aura  ^galement  une  au  plus. 

Si  de  plus  R/  et  R#  sont  tous  deux  divisibles  par  y/p2  —  c2,  ou  ne  le  sont  ni 
Fun  ni  Fautre,  le  premier  membre  de  (4)  s'annule  pour  p2=c2  et  ne  peut 
avoir  d'autre  racine.  Liquation  (2)  n'en  a  done  aucune. 

Si  Rf  est  divisible  par  \/p2  —  c2  et  que  R*  ne  le  soit  pas,  il  peut  y  avoir  z^ro 

T> 

ou  une  racine.  II  n'y  en  a  pas  si  ~  est  plus  petit  que  i  pour  p  positif  et  tres 
H.  P,  —  VII.  i3 


gS  SUR  L'£QWLIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 

grand.  II  y  en  a  une  dans  le  cas  conlraire;  car  alors  pour  les  valours   ires 
grandes  de  p,  F  est  nigatif,  et  pour  p3  =  c~,  on  voit  ais^meut  quo  F  est  positif. 
En  r6sum£  on  a 


s   n  >  m 


si  n  >  m 
si  n  >•  m 

si  /i  >  m 
si  n  =  w 
si  /i  =  /7i 
si  72.  =  /n 


si  n  =  m 


R^  div.  R*  non  div.  o  ou  2  racines; 

Rf  non  div.  R*  div.  i  racine; 

Rf  div.  R*  div.  o  ou  i  raciue; 

R^  non  div.  R*  non, div.  o  ou  i  racine; 

R/  div.  FU-  non  div.  o  cm  i  raciue; 

R;  non  div,  R*  div.  o  ou  i  racine; 

Rj  div.  R^  div.  o  racine; 

Rt  non  div.  R^  non  div.  o  racine. 


XL  —  Ellipsoxdes  de  revolution, 

Parmi  les  ellipsoides  aplatis  de  revolution  qui  soni  des  figures  d'6quilibre 
de  notrc  masse  fluide,  y  en  a~t-il  qui  sont  des  figures  de  bifurcalion  ? 

Pour  6tudier  ces  ellipsoides  nous  prendrons  pour  variable  ind^pendante 
\/e'-*  —  ca  que  nous  appellerons  k  &  1'exemple  de  Liouville  el  non  plus  pa?  afin 
d?6viter  Findice  2,  Nous  prendrons  c  pour  unit<5  de  longueur,  de  telle  sorte  que 

c2  =  i  ,  On  aura  alors 

L 

/+w(Aa-4-i«,        ou        i+=an    ou    TI-+-I, 


A  6tant  une  constante  et  D  un  indice  de  d6rivation  par  rapport  A  A\ 
A  une  m^me  fonclion 


(i) 

correspondent  en  g<5n£ral  deux  fonctions  de  Lam6  distincies,  4  savoir  : 

R«-;,n     et     RJU.s_;iB        si    /w-4-  n  est  pair 

et 

R;l_;)n    et    RJ^i-/|n        si    /  -H  n  est  impair. 

A  chaque  fonction  (i)  correspondent  done  deux  coefficienls  de  stabilitd  que 
j'appellerai  pour  abr^ger  By,rt  et  Gjtn.  II  y  a  exception  quand  /~o.  Daxxs 
ce  cas  en  effet,  ^  une  fonction  (i)  ne  correspond  qu'une  seule  fonction  de 
Lam6  R^  si  n  est  pair  et  R^  si  n  est  impair,  et  par  consequent  ne  correspond 
qu'un  seul  coefficient  de  stability 

Quand  on  fait  croilre  w  depuis  z6ro  jusqu^  une   certaine  valeur  o>0,   on 
trouve  comme  figures  d76quilibre  deux  ellipsoides  de  revolution  qui  sc  con- 


SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATIDN.  99 

fondent  pour  w  =  co0  et  disparaissent  pour  o>  >  &30.  A  chaque  valeur  de  co  <  co0 
correspondent  done  deux  valeurs  de  k  et  il  est  ais6  de  voir  que  pour  co  =  o,  ces 
deux  valeurs  sont  A*  =  o  et  A1  =00.  Pour  &>  =  oo0,  ces  deux  valeurs  se  confondent 
en  une  seule,  k&.  II  y  a  done  deux  series  lin^aires  2  et  27  de  formes  dj£quilibre 
reelles,  la  s^rie  S  comprenant  les  ellipsoides  tels  que  k<^ko,  et  la  s6rie  2', 
les  ellipsoides  tels  que  k  >  AV 

L'ellipsoide  k  =  kQ  est  une  forme  limite. 

Si  Fon  fait  varier  A"  depuis  z6ro  jusqu'a  +00,  on  voit  1'ellipsoide,  d'abord 
infiniment  aplati,  se  rapprocher  ensuite  ind^finiment  de  la  sphere.  En  m£me 
temps  <*>  croit  d'abord  de  z4ro  a  oo0  et  ddcroit  ensuite  de  oo0  a  z^ro. 

Si  en  suivant  la  s^rie  2  ou  la  s6rie  2',  on  voit  un  des  coefficients  de  stability 
changer  de  signe;  Fellipsoi'de  correspondant  sera  une  forme  de  bifurcation. 
Les  deux  coefficients  de  stability  By)7l  et  Cjtn  que  je  viens  de  d^finir  sont 
loujours  ^gaux  entre  eux.  Quelle  est  la  condition  pour  que  ces  coefficients 
s'annulent  ?  Liquation  By)7l=  o  n'est  autre  que  liquation  (i )  du  paragraphe 
pr^c^dent.  D'apres  la  discussion  de  ce  paragraphe,  on  voit  que  le  coefficient 
Bjtn  s'annulera  pour  une  certaine  valeur  de  k:  sij  +  n  est  pair  et  si  n  est  plus 
grand  que  i,  et  ne  s'annulera  jamais  si  cette  condition  n'est  pas  remplie.  Cette 
m£me  discussion  montre  que  ce  coefficient  change  de  signe  en  s'annulant. 
Done  Pellipsoide  correspondant  est  de  bifurcation. 

Ainsi  a  tout  syst&me  de  nombres/  et  n  tels  que 
(2)  j==n    (mod2);        /i  >  i 

correspond  une  valeur  de  k  qui  annule  deux  coefficients  de  stabilit^  et  par 
consequent  un  ellipsoide  de  bifurcation. 

II  y  a  exception  pour  le  systeme 

/  =  o,        n  =  2. 

L'ellipsoide  correspondant  est  Pellipsoide  co  =  cooj   k  =  k$    dont  nous  ayons 
parU  plus  haut.  G'est  une  forme  limite  et  non  une  forme  de  bifurcation. 
Un  autre  systeme  int&ressant  est  le  suivant  : 

j  =  2,        n  ==  2. 

L'ellipsoi'de  correspondant  est  celui  qui  appartient  a  la  fois  a  la  s6rie  des  ellip- 
soides de  revolution  et  a  cclle  des  ellipsoides  de  Jacobi. 

Soient  deux  nombres  j  et  n  quelconques,  satisfaisant  aux  conditions  (2); 
soit  K^n  la  valeur  de  k  qui  annule  le  coefficient  B7>  et  fi/>;i  la  valeur  de  w  cor- 
respondante. 


loo  SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 

Faisons  mainienanl 

0)  5=  il/\fl  -H  6, 

£  ckant  une  quantil6  infinimoni  petite;  a  colic  valour  do  o>  correspomlronl  dour 
formes  d'cquilibre,  uu  ellipsoido  de  revolution  E  el  une  figure  <I>  Iros  pun  diUVi- 
rente.  Eludions  de  plus  pres  cciie  figure  *.  Nous  dMinirons  cello  figure  do  la 
fagon  suivante  :  menons  a  1'ollipsoi'de  E  une  norinale  quolconque.  Nous  deii- 
nirons  le  point  de  i'ellipsoide  t[ui  osl  le  pied  do  cello  normale  par  doux  coor- 
donn6es  9  et  /jt;  9  sera  Fangle  formed  par  le  plan  qui  passe  parlo  point,  considtfre 
et  I'axe  des  s  avec  le  plan  des  xz,  et  f*.  sera  la  deuxieme  coordonn^e  elliplique 
comprise  enlre  i2  =  o  el  rta=  i.  Je  prendrai  sur  celle  norinale  une  longueur  ^. 
La  position  d'un  point  dans  1'ospace  sera  ainsi  dclinio  par  les  irois  coordonneos 
^,  fx  el  cp,  et  c'est  dans  ce  sysleme  de  coordonn<Ses  cjue  je  vais  c^crire  Fdqualion 
de  la  figure  <!>»  Au  systeme  de  nouibres  /  et  n  correspondent  doux  fonctions  do 
Lame§  ainsi  qu'on  1'a  vu  : 


on  .1 
-jtn 


auxquelles  il  faul  adjoindre  leurs  conjugudes  : 


«'*        ^-t        M»   OH 

,«       et      M  /,+  !-. 

3       AJ       |V  a  on   4 


Les  deux,  fonciions  M  sonl  (igales  entre  elles  et  s'obiionnent  on  reinpln^aut 
dans  la  fonclion  R  correspondanle  k  par  \j  \  —  p.'J?  et  les  deux  fonctions  N  sont 
igales,  Fune  k  cosycp,  Pautre  a  sin/cp. 

Liquation  de  la  figure  <&pourra  alors  sj(5crire 


en  n^gligeant  les  infiniment  pelits    du  dcuxicme  ordro  (e  (Hont  du  prouner 
ordre).  Dans  celle  Equation  I  a  le  mfimo  sens  que  dans  le  paragraphe  VIII; 
MI,  N-i,  M2  et  N2  sont  les  fonctions  (3);  A^  et  Aa  sonl  doux  coiistnntes  infmi- 
raent  pelites  du  premier  ordre  el  donl  le  rapport  esl  arbilrairc. 
Posons 


6  6tant  une  constaate  infiniment  petile  d^pendanle  do  e,  el  A  (Stanluneconstanle 
arbilraire;  il  viendra,  en.  remplaganl  M4  ,  Ni3  Ma  et  N*2  par  leurs  valours  : 

(4)  C 


Ja  fonclion  M  subtenant  cornrne  je  1'ai  dit  plus  haul, 


SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  101 

Si  Pequation  (4)  ^tait  liquation  exacte  de  la  figure  <t>,  cette  Equation  prou- 
verait  que  la  figure  $  jouirait  des  symetries  suivantes  : 

i°  Siy  m:  o,  la  figure  &  serait  de  revolution  autour  de  Paxe  des  z* 

2°  Si  j  n'est  pas  nul,  la  figure  <£  ne  changerait  pas  quand  on  la  ferait  tourner 

autour  de  Paxe  des  z  d'un  angle  ~;  elle  admettrait  y  plans  de  sym^trie  passant 
par  Paxe  des  xr,  de  fagon  que  Pangle  di&dre  de  deux  de  ces  plans  de  sym6trie 
cons^cutifs  soil  ~* 

3°  Commey  +  /2-  est  toujours  pair,  le  plan  des  xy  serait  aussi  un  plan  de 
sym^trie. 

4°  Enfin  si  j  est  pair,  Paxe  des  z  serait  un  axe  de  sym<krie,  et  Porigine  un 
centre  de  sym^trie. 

Mais  Pdquation  (4)  n'est  qu'une  Equation  approximative  de  la  figure  <£.  Pour 
P^tablir,  nous  avons  neglig6  les  infiniment  petits  du  deuxieme  ordre;  de  sorte 
qu'on  peut  se  demander  si  ces  diverses  symetries  subsisteront  encore  quand  on 
£tudiera  liquation  exacte  de  la  figure  $  et  qu'on  tiendra  compte  des  termes 
d'ordre  superieur.  La  r^ponse  a  cette  question  doit  elre  affirmative. 

Pour  s'en  assurer,  voici  quel  artifice  on  doit  employer,  Supposons  qu'on 
introduise  dans  le  systeme  des  liaisons  auxiliaires  et  qu'on  assujettisse  la  masse 
fluide  £  presenter  les  symetries  que  nous  venons  d'enum6rer.  Je  dis  que,  meme 
avec  ces  liaisons  suppldmentaires,  Pellipsoide  qui  correspond  a  la  valeur  K/57l 
de  k  et  a  la  valeur  Qjtfl  de  co  sera  encore  une  forme  de  bifurcation. 

En  effet  nous  avons  vu  au  paragraphe  IX  qu'une  surface  tres  peu  diffSrente 
de  cet  ellipsoide  peut  etre  d^finie  par  la  distance  £  d'un  point  de  cette  surface 
a  rellipsoid^  (comptee  sur  la  normale  a  Pellipsoide)  et  que  cette  distance  £ 
elle-meme  est  donn6e  en  fonction  des  coordonn^es  elliptiques  sous  la  forme 

d'une  s^rie  convergente 

C  =  ^SA^M/,N^) 

Mp  et  Np  6tant  des  fonctions  de  Lame,  de  telle  sorte  que  la  surface  en  question 
sera  determine  par  la  connaissance  des  coefficients  A^.  Nons  avons  vu  ensuite 
dans  le  m^me  paragraphe  que  P^nergie  potentielle  totale  W  pouvait  s'^crire, 
en  n^gligeant  les  cubes  des  coefficients  Ap  : 

(5)  W=WO-*-SA*B/,, 

les  Bp  ^tant  les  coefficients  de  stabilite;  de  plus,  avons-nous  dit,  pour  que 


I02  SUR  L'£QUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 

rellipsoide  soil  une  figure  de  bifurcation,  il  fiuil  el  il  suflit  quo  l'im  cles  B7, 

s'annule, 

Qu'arrive-t-il  maintenanl  quand  on  inlroduil  des  liaisons  clans  lo  sjsicme? 

Supposons  d'abord  qu'oa  assujeuisso  la  masse  fluide  &  dire  do  Evolution 
autour  de  1'axe  des  js  et  symdlriquo  par  rapporl  au  plan  dcs  xy.  Comment  ccs 
conditions  s'exprimeront-elles  analytiquement?  Elles  significronl  quo  Urns  Ics 
coefficients  A,  sont  assujettis  a  elre  nuls,  sauf  ceux  qui  correspondent  a  une 
fonction  Mp  donl  les  nombres  caractdristiques  j\  et  «,  salisfassent  a  la 

condition 

(  mod  2  ). 


Que  faui-il  maintenant  pour  quo  I'ellipsoi'de  soit  dc  bifurcation  quand  on 
envisage  Wquilibre  d'une  masse  iluide  assujetlie  a  ccs  liaisons?  II  suffit  quo 
dans  1'exprossion  (5),  le  coefficient  B,,  do  Fun  des  termes  A*  qui  ne  soat  pas 
assujettis  a  ^tre  nuls,  change  de  signe. 

Nous  avons  supposd  que  pour  1'cllipsoi'de  k  =Ky>,  le  coefficient  de  stability 
d^fini  par  les  deux  nombres  j  el  n  s*aunulaii;  si  nous  avons 

j  s=s  o,        n  22  o        (  mod  2  ) 

ce  coefficient  de  stability  est  im  de  ceux  qui  multiplient  un  terme  A^;  non 
assujetti  par  les  liaisons  £  <Hre  nul. 

Si  done  on  envisage  I'gquilibre  du  systfeme  soumis  aux  liaisons  que  nous 
venons  d'&aum6rer,  PellipsoMe  A*=  K0,n  sera  encore  une  figure  de  bifurcation. 
Pour  la  valeur  de 


oa  aura  done  deux  formes  d'£quilibre  du  systftme  ^  liaisons,  a  savoir  un 
ellipsoide  et  une  figure  $'  tr^s  peu  diffdrente. 

La  figure*',  ^  cause  des  liaisons  mfimes  auxqucllos  elle  est  suppos6e  assu- 
jettie,  sera  de  revolution,  et  sym6trique  par  rapport  au  plan  cles  xy.  Mais  par 
suite  de  la  nature  mdme  de  ces  liaisons,  la  figure  *r  qui  est  en  dquilibre  en 
tenant  compte  des  liaisons,  restera  en  ^quilibre  quand  on  les  supprimera,  Ge 
ne  peut  done  6tre  que  la  figure  $  elle-mfime  qui  se  trouve  ainsi  6tre  de  r6volu- 
tion  quand  j  est  nul. 

Supposoas  raaintenaat  quey  ne  soit  pas  nul. 

Assujettissons  le  syst&me  aux  liaisons  suivaates;  la  masse  devra  admettre 
pour  plans  de  synitoie  le  plaa  des  oyet  les  j  plaas  : 

X  =tg  (A«o,  i,  a,  ..-,/  —  i), 


SUR  L'^QUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  io3 

Ces  conditions  traduites  analytiquement  signifient  que  tous  les  coefficients  Ap 
sont  assujeLtis  a  etre  nuls,  sauf  ceux  qui  correspondent  a  une  fonction  Mp  dont 
les  nombres  caract^ristiquesy'i  et  n±  sadsfont  a  la  condition 

/i  ==o     (mody),        jt-t-rii^o    (mod  2). 


De  plus  nous  avons  vu  que  parmi  les  fonctions  N,  les  unes  sont  de  la  forme 
cosy  9  et  les  autres  de  la  forme  sinycp;  les  coefficients  de  ces  dernieres  seront 
tous  assujettis  a  etre  nuls. 

Pour  que  Fellipsoide  soil  de  bifurcation  qnand  on  considere  F6quilibre  d'une 
masse  soumise  a  ces  liaisons,  il  faut  et  il  suffit  qu'on  voie  s'annuler  Fun  des 
coefficients  de  stabilitc  Ep  qui  raultiplie  un  terme  A*  que  les  liaisons  n'assu- 
jeltissent  pas  a  elre  nul. 

Pour  Pellipsoide  k  =  Kyj/z,  les  deux  coefficients  de  stabilite  d^finis  par  les 
deux  nombres  y  et  n  s'annulent;  or  1'un  d'entre  eux  multiplie  un  terme  A^  que 
les  liaisons  n'obligent  pas  a  s'annuler. 

Done,  m£me  dans  le  systeme  a  liaisons,  Fellipsoide  Kj>n  sera  une  forme  de 
bifurcation.  Si  Ton  fait 


on  aura  deux  formes  d'^quilibre  du  systeme  £  liaisons,  a  savoir  un  ellipsoide  et 
une  figure  <&'  tres  peu  diff^rente. 

La  figure  <&',  en  vertu  de  ses  liaisons  memes,  aura  j  +  r  plans  de  sym6trie. 
Mais  ces  liaisons  sont  de  telle  nature  que  1'equilibre  de  la  figure  *'  subsistera 
quand  on  les  supprimera.  La  figure  *'  n'est  done  autre  chose  que  la  figure  & 
elle-meme  qui  doit  ainsi  avoir  y  H-  i  plans  de  sym^trie. 

Je  vais  maintenant  expliquer  pourquoi  les  liaisons,  dont  il  vient  dyetre 
question,  sont  telles  que  si  une  masse  fluide  est  en  dquilibre  en  tenant  comple 
de  ces  liaisons,  l'6quilibre  subsist  era  encore  quand  on  les  supprimera. 

Pour  simplifier  Imposition,  je  supposerai  un  seul  plan  de  sym^trie  P  qui 
pourra  £tre,  soit  le  plan  des  xy^  soil  un  plan  passant  par  Taxe  des  z. 

La  condition  d'^quilibre  de  la  masse  fluide  suppos^e  libre,  c'est  que  le 
potentiel  V,  du  a  Faction  de  toutes  les  forces  qui  agissent  sur  une  molecule  du 
fluide,  soit  constant  sur  toute  la  surface  libre. 

Si  Ton  assujettit  la  masse  fluide  a  £tre  symetrique  par  rapport  au  plan  P, 
cette  condition  se  trouve  un  peu  modifi^e.  Soient  V  le  potentiel  en  un  point 
quelconque  de  la  surface  libre,  V7  le  potentiel  en  un  autre  point  de  cette 


io4  SUE  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 

surface,  symetriquc  du  premier  par  rapport  au  plan  P;  la  nouvdle  condition 

d'dquilibre  sera 

V-4-V'=coiist. 

Supposons  que  celte  condition  soit  remplie  et  que  la  masse  fluido  so  tronve 
en  equilibre  sous  Faction  des  forces  exlcSrieures  ot  des  liaisons,  ol  soil  par 
consequent  symcHrique  par  rapport  au  plan  P.  Si  les  forces  exterieure.s  se 
reduisent  a  1'allraction  cl  a  la  force  centrifuge,  elles  serout  elles-mtfnies  symtf- 
triques  par  rapport  au  plan  P  ot  Ton  aura  par  consequent  V  =  V,  dVm  Ton 
deduit  V  =  coast.  Gette  condition  montre  que  Fequilibre  subsistoni  encore 
quand  on  supprimera  les  liaisons*  c.  Q  F.  i>. 

II  rdsulte  de  cette  discussion,  que  les  sjmetries  que  nous  avions  616  conduit 
a  attribuer  a  la  surface  *,  en  partant  de  I*  equation  (4)  qui  n'otait  qu'approxi- 
mative,  lui  appartiennent  rigoureusement,  mcme  quaud  on  tient  compte  des 
termes  d'ordre  superieur  qui  entrent  dans  son  equation  exacte. 

Nous  allons  nous  occuper  maintenant  de  deinontrer  mi  r6sultat  qui  nous 
sera  utile  dans  la  suite. 

Si  k  est  positif  et  tr&s  grand,  Pellipsoi'de  est  tres  voisin  do  la  sphore  et  tons 
les  coefficients  de  stabilise  sonl  nigalifs.  Si  i'on  fait  d^croitre  A*,  il  arrivera  un 
moment  oia  un  ou  deux  de  ces  coefficients  s'annuleronl.  Quel  sera  le  premier 
de  ces  coefficients  qui  changera  ainsi  de  signe?  Je  dis  que  ce  sera  celui  qui 
correspond  aux  nombres 


n  « 


Appeloixs  en  effet  Rala  fonction  deLam^  correspondante  et  S2  sa  coujugu^e. 
Nous  aurons 


Soit  maintenant  Rt-  une  autre  fonclion  de  Lame  et  S$  sa  conjuguee.  Nous  aurons 


A  6  tan  t  une  constante.   Nous  supposerons  quey+n  est  pair,  sans  qiioi   le 
coefficient  correspondant  4  R/  ne  s'annulerait  jamais. 
II  s'agit  de  demontrer  que  la  racine  Ka,a  de  liquation 


__       __  _ 

est  plus  grande  que  la  racine  K/,n  de  1'  Equation 

RiSt        R/Sf    ^^ 
3  a  n  -+-  1 


SUR    L'EQUILIBRE   D'UNE   MASSE   FLUIDE   EN   ROTATION.  IO5 

i?    c  T>    c 

Pour  cela  il  suffit  de  demonlrer  que  Pexpression  -4~=  --  l—L-  est  Loujours 

T> 

positive,  ou  bien  encore  quc  le  quotient  ~  est  toujours  croissant. 

Nous  distinguerons  trois  cas. 
i°  Supposons  d'abord  j  >  i  . 
II  Yient  alors 


A  est  une  constante  posiiive;  (A"2+  i)  '2  se  r^duit  a  i  ou  est  loujours  croissant; 
enfin  le  dernier  facteur  D^/l(^c2-H  i)n  est  un  polynome  entier  en  A-  dont  tous 
les  coefficients  sont  posilifs  et  est  par  consequent  toujours  croissant. 

c.  Q.  F.  D. 

2°  Supposons  maintenant/  —  o;  n  =  2/>. 

II  vient  alors 


La  d^riv^e  logarithmique  du  premier  membre  est  done 


Je  veux  d^montrer  qu'elle  est  positive,  c'est-a-dire  que 

F  =  (yc2- 


ou  D2^  et  D2^+1  designent  les  deriv^es  d'ordre  zp  elzp  +  i  de  (&2+  2)^.  On 
trouve 


d'ou 

D2/^=V—  n  -  2/?>ay  •  - 
j^gl(2p  —  q)l(2q  —  27?)  ! 

Nous  e"crirons  pour  abr^ger 


et  il  viendra 

F  s= 


Le  coefficient  de  ^2^-2^+1  dans  F  sera  done 

—  %p  —  •  2)  A^-h  (2  £  —  2/?  -+-  2 


Pour  que  F  soit  toujours  positif,  il  suffit  que  tous  ces  coefficients   soient 
H.  P.  —  VIL  i4 


I06  SUR   L'^QUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLU1DE  EN   ROTATION. 

positifs.  Or  cornme  tons  les  A7  sont  positifs,  il  nc  peat  y  avoir  de  douto  quo 
s;  2^  —  2jt?  —  2  esl  n^gatif,  c'ost-u-'diro  pour  q  -  ~  p.  Le  coefficient  de  F  devienf. 
alors 

2A/M,i—  14  A,,. 

SI  nous  ocrivons  qu'il  est  posilif,  il  viendra 

A/H.l    >    A;, 

ou  bien 

:>./>!  (?/>  4-  a)  !       ^    »/j>  1  a^gj 
(^H.i)!(/>-.i)!2!  ^    >  !/! 
ou  bien  encore 

ou  en  (in 


ce  qui  est  Evident;  done  F  esl  loujours  positif.  c.  (v>. 

3°  On  pent  supposer  enfin 


II  viendra 

!L*  —  A 

"" 


on  en  ddsignant  simplement  par  D;<r  Lx  A-16mo  ddnv^e  de 


dont  la  d^riv^e  logarithmique  est 

Da/'-** 


pour  qu'eile  soil  positive,  il  faut  quo 

F  =  (A-^-H  i)  D^-w—  /c  D«/"^»  >  <>. 
Or  on  a 

d'ou 

D^  -5  A,A-^^  «  V  —  -  f^H-QI^!  _ 
^  -6J^!(2jt?^i—  gr)i(a^  —  2jy  —  2)! 

(?  ^j*  •+•!>?  H-2>   •-,  2J04-I). 

II  vient  done 

F  sas  (  A"2  ~h  i  )  S  A^(  2  q  —  a/>  —  2  )  A:*'/-*/'-'  —  A-  S  A^  **?-*/>-*. 


SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  107 

Le  coefficient  de  A2?-2''-1  dans  F  sera  done 

Ap(  2  #  —  2/>  —  3  )  -f-  A^-K  (  2  £  —  2/>  ). 

Ce  coefficient  ne  pourrait  e"tre  negatif  que  si  1'on  avait 

2—  •  2>—  3 


ce  qui  ne  pent  avoir  lieu  que  pour  q  =  p~{-  i. 
Le  coefficient  de  F  devient  alors 

2  A.^p-j_2        $  •"•/?-*-  1  • 

Ecrivons  que  ce  coefficient  est  positif,  il  viendra 

o  (2/>  -f-l)!(2jPH-2)!  (2JP-J-1)!  (2JPH-4)  1 

^ 


ou 


OU 


_3 


qui  est  v6rifiee  m£me  pour  p  =  i. 

Done  F  est  encore  positif.  c.   Q.  F.  D. 

Nous  devons  concluro  de  celte  discussion  que  si  1'on  fait  d^croitre  A"  depuis 
-)—oo  jusqu'a  zero,  de  fagon  que  1'ellipsoide  d'abord  Ires  voisin  d'une  sphere 
s'aplatisse  de  plus  en  plus,  on  rencontrera  une  infinite  d'ellipsoldes  qui  appar- 
tiendront  a  d'autres  series  lineaires  de  figures  d^quilibre.  Le  premier  que  Pon 
rencontrera  ainsi  sera  celui  qui  appartient  a  la  s6rie  des  ellipsoides  de  Jacobi 
et  qui  correspond  au  cas  de/  =  n  =  2, 

XII.  —  Ellipsoides  de  Jacobi. 

Nous  allons  rechercher  maintenant  si  parmi  les  ellipsoides  de  Jacobi  il  y  a 
des  formes  d'equilibre  de  bifurcation. 

Nous  poserons  comme  dans  le  paragraphe  precedent 

p2=A-2-hc2,         c2=i 

et  nous  ferons  varier  62  depuis  z^ro  jusqu*a  c2=  i  . 

A  chaque  valeur  de  &3  correspondra  une  valeur  de  A:,  que  j'appellerai  H  et 


I0s  SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUJDE  EN  ROTATION. 

qui  sera  tclle  quo  Pellipsoide  dont  les  axes  sont  A*,  yk*+  c-  -~  />-  el 

soil  ini  ellipsoi'dc  do  Jacobi. 

Voyons  quello  relation  lie  6~  a  II. 

Parmi  les  f  one  lions  do  Lame  du  deuxieme  ordre,  je  eilerai  la  suivanle  : 
p  ^/p2  —  £?,  Nous  1'appellcrons  Ru;  en  ellet  si  Pon  fail  //-rr^o,  clle  »se  ivduit 
&  £3-f-i  ;  c'est  done  bieu  uno  des  deux  fond  ions  quo  nous  avons  appelres  Ho 
dans  le  paragraphs  precedent  el  qui  so  reduisaient  loules  deux  a  A*-  -I-  i  pour 
6a  =  o;  nous  r&serverons  la  nolalion  Ro  a  la  seule  fonction  p\  p-  -—/>-,  a 
laquelle  correspondronluno  fonction  Sn  el  deux  functions 

Mt>  =  [x  vV8  —  ^2»        ^r'-i  —  v  V^"  --  v2. 

Si  Ton  fail  lourner  1'ellipsoide  E  d'un  angle  infiiiiiucnl  petit  autour  de  1'axc 
dcs  XT,  de  fagon  a  lui  fairo  occuper  la  position  E';  puis  quc  Ton  appelle  ?  la 
distance  des  deux  ellipsoides  E  et  K;  compile  normaleineul  a  1'uu  d'oux,  on 

trouvera  aisdmenl 

£  =  Aa/iMaNa, 

Aa  (Slant  une  constante  infmiment  petite. 

Mais  si  1'ellipsoide  E  est  un  ollipsoide  de  Jacobi,  son  cSquilibre  sera  indif- 
fdrent  et  ne  sera  pas  alt6r6  quand  on  fera  lourner  la  figure  <Fuu  angle 
quelconque  autour  de  1'axe  des  z.  L'<Squilibrc  subsislera  quand  on  fera  varior  A«j 
d'une  maniere  quelconque.  Done  le  coefficient  de  slal)ilil6  corrcspondanl  dovra 
nul,  cyest-c\-dirc  que  Ton  devra  avoir 


(„ 


Telle  est  liquation  qui  lie  II  &  b~  et  qui  exprime  que  1'ellipsoide  E  esl  un 
ellipsoi'de  de  Jacobi. 

Gela  montre  qu'a  chaquo  valeur  de  #2  correspond  une  valour  de  II  et  une 
seule.  Lorsque  6'J  tend  vers  c2,  cetle  valeur  de  II  lend  vers  zcko.  On  sail  en 
eflel  que  quand  co  tend  vers  z6ro,  le  rapport  du  petit  axe  au  moyen,  dans 
Fellipsoide  de  Jacobi,  tend  vers  -Funitfi  et  que  le  rapport  du  petit  axe  au  grand 
lend  vers  ziro. 

Pour  qu'un  ellipsoi'de  de  Jacobi  soit  de  bifurcation,  il  faut  qu'un  autre  de  ses 
coefficients  de  stability  s?annule;  ce  qui  exige  que  1'on  ait 

/9N  Hi  S* 

(2)  _».. 

n  ^taut  1'ordre  de  la  fonction  R,-. 


SUR  L^QUILIBRE  D^UNE  MASSE  FLUIDE   EN  ROTATION.  log 

Liquation 


3  271  -f-  I 

aura  une  racine  que  j'appellerai  K,:,  pourvu  que  Rj  ne  soit  pas  divisible  par 
yp2  —  c2. 

Les  Equations  (2)  se  reduiront  done  a  H~K^.  Pour  &2— o,  on  revient  au 
cas  du  paragraphe  precedent,  et  Ton  a  vu  a  la  fin  de  ce  paragraphe  que  H>K^ 
car  la  plus  grande  des  valeurs  de  k  pour  lesquelles  un  coefficient  de  stability 
s'annulait  etait  pr6cis6ment  K2,2  c'est-a-dire  H. 

Voyons  maintenant  ce  qui  se  passe  pour  62  =  c2  =  i . 

La  fonction  Rt*  se  reduit  a  A(p2 — i)'-DA+"(p2 — i);i,  h  etant  un  entier  plus 

l 
petit  que  n.  En  particulier  RI  se  reduit  a  (p2 — i)~.  II  r4sulte  de  la  que  si  A 

n'est  pas  mil,  liquation  (3)  est  satisfaite  pour  p2  =  i.  Par  consequent  pour 
b*—  c2,  K?:  devient  nul  et  6gal  a  H. 

Au  contraire  si  h  =  o,  Rj  se  reduit  a  AD7l(p2 — i)71  et  Kj  est  positif  et  par 
consequent  plus  grand  que  H. 

Si  done  h  est  nul,  liquation  H  =  Kj  est  satisfaite  au  moms  une  fois,  et 
certainement  un  nombre  impair  de  fois. 

Nous  pouvons  discuter  egalement  1'equation 


(4) 


-t-i 


T> 

Nous  devons  rechercher  d'abord  dans  quels  cas  le  rapport  ~  est  toujours 

croissant, 

Si  nous  laissons  de  cdte  comme  il  convient  les  fonctions  Rj  divisibles  par 
\/p2  —  c2,  la  fonction  R*  peut  aflfecter  quatre  formes  difF^rentes,  a  savoir 


si  n  =  2p,  et 


si  7i  =  2/>  +  i.  Les  a  sont  des  quantit^s  positives  comprises  entre  z&ro  et  c2  et 
que  je  suppose  rang^es  dans  Fordre  d£eroissant. 

Tous  les  a  4tant  plus  petits  que  c2,  tous  les  facteurs  p2  —  a  seront  croissants 
quand  p2  croitra  de  c2  a  +  oo.  De  m6me  tous  les  a  <kant  positifs,  le  rapport 


—  —  *  sera  coastammcnt  croissant.  Enfin  le  rapport  ~==  sera  croissant  si  a 

P  r          v/P2—  b* 

est  plus  grand  que  62. 

Dans  les  qualre  cas  possibles,  nous  pourrons  6crire 


HS 


Tt  -.0 

1\  /  P a  I    /       «  \  /„  \ 

75-=- (P™  *0---(PS— a/0' 

Ho  p 

Tous  ces  facleurs  seront  croissants  si  a1  est  plus  grand  que  &u,  ou  bieu  encore 

.  j> 

si  R,  est  divisible  par  y/p- —  &-.  Dans  ces  deux  cas  le  rapport  r^  sera  to uj ours 

croissant. 

II  suit  de  la  que  1'^quntion  (4)  ne  pourra  avoir  de  racine  que  si  R/  n'est 
pas  divisible  par  yp'2 — b*  et  a  tous  ses  z6ros  inf^rieurs  a  i2.  Les  seulos  fonc- 
tionsRt-qui  satisfassent  a  ces  conditions,  sont  celles  que  nous  avons  repr<5sent<Ses 
par  la  notation  RJW  et  qui  pour  62  =  c-=i  se  rekluisent  a  ADAi(p- — i);l.  Les 
6quations  (a)  ne  peuvent  done  Stre  satisfaites  si  R,-  n'est  pas  6gal  ft  RJ  w,  et 
si  R,-r=RJ  nJ  nous  avons  vu  qu'elle  peuvent  loujours  l'6tre. 

II  resterait  u  6tablir  qu'elles  ne  peuvent  Ffitre  quo  d'une  senile  maniere. 

Bien  que  diverscs  raisons  me  fnssent  penser  qu7il  on  est  probableinent  ainsi, 
je  n'ai  pu  encore  le  d6montrer  rigoureusement.  II  y  aurait  surtout  int<Sr6t  i 
6tablir  cette  proposition  en  ce  qui  concerne  la  plus  simple  de  Unites  les  fonc- 
tions  RJ  rtJ  c'est-i-dire  en  ce  qui  concerne 


II  faudrait  pour  cola  des  calculs  qui  seraienl  sans  doute  fort  longs,  mais  qui  ne 
seraient  pas  inextricables. 

Soit  GJI  le  coefficient  de  stability  qui  s'annule  quand  les  Equations 

i S 
3 
sont  satisfaites. 

Supposons  que  b-  croisse  depuis  z<5ro  jusqu'i   i ;  nous  verrons   tous  les 
coefficients  Gns'annuler  successivement. 


SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  in 

On  peut  se  demander  quel  est  celui  qui  s'annule  le  premier.  Je  vais  d^montrer 
que  c'est  Cs- 

r>  i 

II  suffira  pour  montrer  qu'il  en  est  ainsi,  d'^tablir  que  le  rapport  -^r^  (ou  n^>p) 

**-o  ,/? 
est  toujours  croissant  quand  p2  croit  de  c2  a  Pinfini. 

On  le  v^rifie  ais^ment  quand  62  =  o  et  quand  #2  =  c2. 

Supposons  maintenant  que  62  soit  quelconque.  Soient  B^  et  B^  les  valeurs 

R1 

de  B  qui  correspondent  aux  fonctions  R10  n  et  R*    .  Pour  que  le  rapport  -r-^  ne 

1  •  o,jy 

fut  pas  constamment  croissant,  il  faudrait,  comme  -on  1'a  vu  au  paragraphe  X, 
que  1'^quation  en  p2 


eut  une  racine  superieure  a  c2.  Je  dis  que  cela  est  impossible. 
En  efTel  P  expression  suivante  : 


s'annule  pour  p2=  62  et  pour  p2  =  c2;  car  ces  valeurs  annulent  a  la  fois       0> 

et^£« 
de 

II  faut  done  que  dans  Pintervalle  compris  entre  62  et  c2,  Peipression 


s'annule  au  moms  une  fois.  Or  RJ  „  et  RJ)/7  ne  peuvent  s'annuler  puisque  tous 
leurs  z6ros  sont  inf6rieurs  a  &2.  Done  fy  devra  s'annuler  pour  une  valeur  de  p2 
comprise  entre  62  et  c2;  cette  expression,  qui  est  du  premier  degr£  en  p2  ne 
pourra  done  pas  s'annuler  pour  une  valeur  p2  plus  grande  que  c2. 

c.  Q.  F.  D. 

Nous  devons  done  conclure  que  C3  est  le  premier  coefficient  qui  s'annule. 

Les  ellipsoides  de  Jacobi  pour  lesquels  un  des  coefficients  G^  s'annule  sont 
des  ellipsoides  de  bifurcation.  A  chacun  de  ces  coefficients  correspond  done 
une  nouvelle  s^rie  lin^aire  de  formes  d^quilibre.  Que  savons-nous  sur  les 
figures  qui  font  partie  de  ces  diflferentes  series  lindaires? 

Soit  o)n  la  valeur  de   la  vitesse  angulaire  pour   laquelle   le   coefficient  Cn 
s'annule;  soit  e  une  quantity  infiniment  petite.  Pour  la  vitesse  angulaire  oon  +  £, 
il  y  aura  deux  figures   d'^quilibre   possibles,  a  savoir  un  ellipsoi'de   et  une 
surface  S  qui  en  differe  infiniment  peu  et  qui  a  pour  Equation 
(5)  ? 


U2  SUR   L'^QUILIBRE  D^UNE  MASSE   FLUIDE   EN   ROTATION. 

Dans  cette  Equation,  £,  0  ct  I  ont  la  m£me  signification  que  dans  le  paragraphc 
precedent,  et  MJ>/17  NJjre  sont  les  fonciions  conjugates  de  ,RJ)W.  La  fonc- 
tionMJjW  ne  contient  en  facleur  ni  \/c-—^-  ni  \J^—b^\  de  mume  la  fonc- 
tion  NJ  a  ne  contient  en  facleur  ni  y/ca  —  v'J  ni  y/6'J  —  v3'.  Done  £  no  change  pas 
quand  un  de  ces  quatre  radicaux  change  do  signe,  c'est-a-dire  quand  y  sc 
change  en  —  y,  ou  bien  z  en  —  z. 

Cela  veut  dire  que  les  plans  des  xs  et  des  xy  sont  des  plans  de  sym6trie  de 
la  surface  S. 

Si  maintenant  n  est  pair,  MJ?,£,  N^,  et  par  consequent  £  ne  cliangcnt  pas 
quand  on  change  fi  en  —  f*  ou  v  en  —  v;  cela  revient  a  dire  que  £  no  change  pas 
quand  on  change  x  en  —  x  ou  que  la  surface  S  est  symetrique  par  rapport  an 
plan  desk's. 

Cette  symetrie  n'a  pas  lieu  si  n  est  impair;  £  se  change  alors  en  —  £  quand  a? 
se  change  en  —  x, 

Ainsi  la  surface  S  adtnel,  si  n  est  pair,  les  mcmes  plans  de  synuHrie  que 
Fellipsoide  dont  elle  derive,  et  si  n  est  impair,  elle  n'est  symcitrique  que  par 
rapport  aux  plans  qui  sont  perpendiculaires  au  petit  axe  et  a  l?axe  moyen,  Dans 
tous  les  cas.  elle  est  sym^trique  par  rapport  au  grand  axe. 

Ce  grand  axe  n'est  pas  Faxe  de  rotation  et  si  n  est  impair,  la  surface  S  n'est 
pas  syni(§trique  par  rapport  a  Faxe  de  rotation.  II  est  vrai  que  F(iquation  (5) 
sur  laquelle  nous  venons  de  nous  appuyer  pour  6lablir  ces  rdsultals  n'est 
qu'approximative  et  qu'on  y  a  n6glig6  les  quantitcSs  de  Fordre  de  0'J.  Mais  on 
montrerait  par  un  raisbnnement,  de  lout  point  semblable  a  celui  du  paragrapho 
pr<5c6dent,  que  les  sym6tries  auxquelles  nous  conduit  F6quation  approxima- 
tive (5)  subsisteraient  encore  si  on  la  remplagait  par  Fequation  exacte  de  la 
surface  S. 

Cette  surface  a  done  rigoureusement  deux  plans  de  symcHrie  si  n  est  impair, 
et  trois  si  n  est  pair. 

Parmi  les  surfaces  S,  nous  distinguerons  la  surface  2&  qui  correspond  au 
coefficient  de  stability  C;j.  Quelle  est  son  intersection  avec  Fellipsoide  dont  elle 
derive?  Pour  avoir  cette  courbe,  il  suffit  d'^crire  que  £  est  nul,  ou  que 


ce  qui  donne 


SUR   L^QUILIBRE   D*UNE   MASSE   FLlflDE   EN   ROTATION.  Il3 

Cetle  intersection  se  compose  done  de  Tellipse  principals,  section  deTellipsoide 

par  le  plan  des  yz9  et  de  deux  lignes  de  courbure  de  cet  ellipsoide. 

Gela  n'est  vrai,  bien  entendu,  qu'approximativement  et  en  n^gligeant  le  carre 

de6. 

La  figure  repr^sente  en  projection  sur  Tun  des  deux  plans  de  sym^trie  la 
surface  23  et  Pellipsoide  dont  elle  derive. 

Le  contour  apparent  de  1'ellipsoide  est  represent^  en  trait  pointille,  le  contour 
apparent  de  23  et  1'intersection  des  deux  surfaces  en  trait  plain.  On  a  couvert 
de  hachures  la  portion  de  la  surface  23  qui  est  vue  a  travers  Fellipsoide. 


On  voit  d'apres  cette  figure  comment  on  passe  de  1'ellipsoide  de  Jacobi  a  la 
surface  2^.  La  plus  grande  portion  de  la  matiere  semble  se  rapprocher  de  la 
forme  sph^rique,  tandis  que  la  plus  petite  portion  de  cette  in£me  matiere  sort 
de  Fellipsoide  par  I'extr^mit^  du  grand  axe,  comme  si  elle  voulait  se  separer  de 
la  masse  principale.  Qu'on  me  pardonne  d'employer  un  langage  aussi  d^pourvu 
de  precision  mathematique. 


XIII.  —  Petits  mouvements  d'un  ellipsoide. 

Imaginons  d'abord  une  masse  fluide  homogene  rapport^e  £  des  axes  fixes;  et 
supposons  que  ses  molecules  s'attirent  suivant  la  loi  de  Newton  et  que  chacune 
d'elles  soit  soumise  en  outre  a  une  force  dont  les  composantes  suivant  les  trois 
axes  soient  a cc,  $y  et  yjs.  Les  coefficients  a,  (3  et  y  devront  ^tre  choisis  de  telle 
sorte  que  la  masse  soit  en  6quilibre  absolu  sous  la  forme  de  1'ellipsoide 


=  I. 


Supposons  maintenant  que  la  masse  soit  d6rang6e  de  cette  position  d'^quilibre, 
H.  P.  —  vir.  15 


Il4  SUR   L^QUILIBRE  D'UNE  MASSE   FLUIDE   EN   ROTATION. 

de  telle  fagon  que  los  coordonmies  de  la  mo!6cule  (#,  y,  s)  devierment 
y  .]_  <5y?  -  _j-  <3~,  Nous  imaginerons  que  3#,  Sr,  <5s  sont  tels  que 


soit  une  diiftkentielle  exacte  et  que 


Pour  liquation  de  continuil6;  nous  devons  avoir 

t/-  9       rf*  9       ('/-  9  _ 

"" 


de  sorte  que  nous  pourrons 

9  =  SgRMN, 

les  ^  (5tanL  divers  coefficients  constants  et  II,  M,  N  etant  les  fonctions  de  Lain  6. 
Les  composantes  de  la  vitesse  de  la  molecule  (x»,  y,  z]  sont 

r/-  9  dl  9  f/2  9 

//  —-    .  _  .......    T     .  t)  cs;    ...  ..............  ...I....  ,  <xi  ss   .........     I     „ 


La  demi-force  vive  T  aura  alors  pour  expression 

i     /  ( 
''  »/ 


Finl6graie  6tant  cHendue  a  tous  les  £lc5tnents  du  volume  de  Fellipsoi'de.  Mais  en 
vertu  du  th^ordme  de  Green,  cette  inl6gralo  peut  <Hrc  remplacee  par  la  sul- 

vante  : 

i    f*  d® 

-    I    -p-  (  u  d-Y  d.z  4-  9  <L$  dz  -H  w  dx,  <ly ) 

a  J    dt  ^      J  J  ' 

en  tenant  compte  de  liquation  de  continuity,,  ou  bien  encore 

2  J   dt  dt  dn 
Dans  cette  expression  du>  d^signe  un  (5l6ment  quelconque  de  la  superficie  de 

Fellipsoi'de  et  -^  J dn  est  Faccroissement  de  la  fonction  -^  quand  Ic  point  coi*- 

respondant  subit  un  d6placement  dn,  dans  une  direction  normale  £  Fellipsoi'de, 

Cherchons  ^  &  valuer  4r4-*  Nous  trouverons 
dt  dn 

ct 


S0R   L^QUILIBRE   D*UNE   MASSE  FLUIDE  EN   ROTATION.  Il5 

Or  on  a 


I  ayant  la  meme  signification  que  dans  les  puragraphes  pr^c^dents. 
On  en  conclut 


la  fonction  de  Lame  MI  pouvant  etreidentiqueon  non  identiquea  lafonctionM 
et  la  sommation  indiqu^e  par  le  signe  2  attendant  a  tons  les  systemes  de  fonc- 
tions  de  Lam6  M  et  M^ 

Mais  si  1'on  tient  compte  de  liquation 


il  viendra  simplement 


r 


Soit  maintenant  U  1'energie  potentielle  de  la  masse  fluide  dans  une  position 
quelconque  et  U0  la  valeur  de  celte  6nergie  dans  la  position  d^quilibre.  Nous 
avons  vu  au  paragraphe  IX  que  Ton  a 


Ici  n  designe  Fo*dre  de  la  fonction  R,  g  est  la  force  normale  qui  agit  en  un 
point  quelconque  de  la  surface  de  Fellipsoide.  Enfin  on  suppose  que  le  depla- 
cement  d'une  molecule  quelconque  de  cette  surface,  eslim£  normalement  a 
Pellipsoide  a  pour  expression  iA^MN.  Dans  le  cas  qui  nous  occupe,  ce  d^pla- 

cement  est  6gal  a  -~-  ou  a 


d'ou 


el 


Les  Equations  du  mouvemenl  seront 


Il6  SUR  L^QUIUBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN   ROTATION. 

ce  qui  donne 


Cette  Equation  montre,  co  que  nous  savions  d<ija,  quo  lYjquilibre  esl  stable 
pourvu  que  tous  les  coefficients  gl  —  -  —  -  —  soient  positifs,  cicllo  nous  apprend 

en  m£me  temps  a  calculer  les  periodes  des  oscillations  inlinimenl  petites  de 
noire  masse  fluide. 

Avant  dialler  plus  loin,  nous  allons  calculer  en  restant  dans  IMiypolhese  pre- 
cedente  le  moment  de  la  quanlltti  de  mouvomenl  par  rapport  a  Paxe  des  z. 
Nous  repr^senterons  ce  moment  par  la  lettre  3TI. 
Nous  aurons 


oil 


=  C  I  (,»•-+•  8  r)i^ 


—(.*•->-  8^) 


dxdydz, 


ou 


dydt 


r/<tv    ^29         dy    ^9  \ 

2=  /      .-t  •  ......  ;  .....  Tyj  —  -7l   ......  ••  ':•  } 

J    \dy  dxdt       dx  dy  dt  J 


Le  premier  terme  OTli  peut  se  calculer  imm<5diatement.  Le  th^orcme  de  Green 
donne  en  efFet 

-- 


j  =  /    --^  tfto  (  j'  cos  a  —  x  cos  fj  ), 


dte  d^signant  toujours  un  <5l6ment  de  la  surface  de  1'ellipsoide,  el  cosoc,  cos(3, 
cosy  6tant  les  cosinus  direcleurs  de  la  norm  ale. 

On  trouye  alors 

y  cos  ex  —  x  cos  p  ss  A*^  Ma  N«2, 

ou  Ma  el  N2  ddsignent  conime  dans  le  parographe  pr6c6dent  deux  fonclions  de 
Lam6  conjugu^es  :  ^  \J\L*  —  62  el  v  \/62  —  v2  el  A*  un  coefficient  dependant  seu- 
leraent  de  p  et  ^gal  a  —  c  \/c*  —  b'2  \/p*  —  c2. 

Si  Ton  appelle  |2  le  coefficient  de  R2M2Na  dans  Texpression  de  cp?  il  rosie 
simplement 

01li  =  —  Ar^R2  r^ 


Galculons  maintenanl 


thdoreme  de  Green  nous  donnera  encore 


SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  117 

Nous  allons  nous  occuper  de  calculer  le  facteur 

_       d®  d®       f^ 

F  =  -^  cosa  --  y-T  cos  p. 
dy  dx       l 

Nous  remarquerons  pour  cela  que  si  Ton  pose  avec  Liouville 

P  =    /        /2—  £2  y/'2__c2 


on  a 


P#  0         Pr 

=~^,          cosp=    0    '       ? 

-  2  —      2 


0  , 

p-  p2  —  62  p2—  C2 

ce  qui  donne 


Nous  pouvons  encore  exprimer  F  d'une  autre  maniere.  Donnons  a  x^  y  et  z 
des  accroissements 


il  en  rdsultera  pour  la  fonction  cp  un  accroissement  69  et  Ton  aura 


II  imports  de  remarquer  que  si  le  point  (x,  y,  z*)  est  sur  Fellipsoi'de,  il  en  esl 
de  meme  du  point  infiniment  voisin  (#•+-&#,  y-\-$y<>  £  +  S^). 

Nous  allons  maintenant  utiliser  une  remarque  de  Liouville,  grace  a  laquelle 
les  fonctions  de  Lam6  peuvent  etre  ramen^es  aux  fonctions  sph^riques. 

Soit  <p  =  RMN  le  produit  de  trois  fonctions  de  Lain6  conjugu^es  d'ordre  n. 
Changeons  de  variables  en  posant 


-,         Y=        y 

P'  V/P*  — 


Si  le  point  (5?,  y.  5)  se  trouve  sur  1'ellipso'ide 

^ 


le  point  correspondant  (X,  Y,  Z)  se  trouvera  sur  la  sphere 

X2-4-  Y2H-Z2=I 

et  pour  Lous  les  points  de  cetle  sphere,  la  fonction  9  sera  £gale  a  une  constante 
multiple  par  une  fonction  sph^rique  de  degr6  n.  Nous  pourrons  ^crire  9  =  s^p, 
4»  etant  un  poljnome  homogene  de  degr^  n  en  X>  Y  et  Z  et  satisfaisanta  liqua- 
tion 


ii8  SUR  I/E"QUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 

et  e  <Hant  une  f one  lion  de  X,  Y  ct  X  qui  est  conslanlo  en  tons  les  points  do  la 
sphere  de  rayon  i . 

Nous  aurons  d'autre  part 


et  de  meme 


'•';  n 


87,  =  <). 


On  aura  dans  les  mfimcs  conditions 
03=0,          8f  =  S 
d'ou 

83  = 
<5.v         p 

el  cnfin 


II  esL  aist1^  de  y^riHer  quo  si  '^  ostun  polynome  homogenc  dc  dogr6  r/  en  ;#, 
el  -s,  salisfaisant  li  F^qualion 


il  en  sera  de  m£me  de 

II  en  rosulte  que  si  9  est  (%al  £  une  constanle  multipliee  par  le  prodml  do  irois 
fonctions  de  JLam6  conjugates  et  d'ordre  w,  F  sera  do  la  forme  suivantc  ; 

F  =  £(«i  MI  IN'i  -f-  a$  M'2  N'2  -f" . ,  .  ~h  a/;  M;;, N;w). 

Dans  cette  expression,  af,  a.,,  .  ,  . ,  a;,  sont  des  quantit6s  qni  res  Lent,  constanles 
sur  toute  la  surface  de  noire  ellipsoide  et  MA, ,  N;  ;  M'2J  N's,  .  .  , ;  M'/;,  N^,  sont 
des  systdaies  de  fonctions  de  Lam6  conjugu6es  et  qui  sont  toutes  d'ordre  n< 
Nous  dirons  pour  abr<§ger  qu'une  somme  de  la  forme 

ociM't  N't  -f-asMiN'jj-f-. ..-+-  a/^MJjNi 

est  une  somme  de  Lam^  d'ordre  n. 

Si  alors  nous  arons,  commo  nous  Pavons  suppos<5  plus  haut 

il  viendra 


SUR   L'EQUILIBRE   D'UNE  MASSE  FLUIDE   EN    ROTATION.  119 

H,  4tant  une  somme  de  Lam£  de  m£me  ordre  que  les  fonclions  R,  M,  N.  Ainsi 
les  coefficients  d'une  tneme  ind6termin£e  £  seronlde  meme  ordre  dans  Fexpres- 
sion  de  9  et  dans  celle  de  F. 
II  vient  alors 


Remarquonsquel'integrale  /  ZHzMAN/f  d^  estnulle  si  les  sommes  Hz  et  M/4Nft 
ne  sont  pas  de  me'me  ordre. 

Nous  dirons  pour  abreger  quo  1'indetermin^e  Ei  esl  de  rang  n  si  les  fonc- 
tions  R£,  Mr  et  N/  sont  d'ordre  n. 

II  r^sulte  de  ce  qui  precede  que  Ton  a 


les  Af/t  etaat  des  coefficients  constants  qui  sont  mils  si  les  ind£lermin£es  £,  et  H/t 
ne  sont  pas  de  m£me  rang. 

Nous  ne  nous  sommes  occup^s  jusqu'ici  que  des  petits  mouvements  absolus 
d'un  ellipso'ide  rapport^  a  denx  axes  fixes.  Passons  maintenant  an  cas  des  petits 
mouvements  relatifs  d'un  ellipso'ide  fluide  rapport^  a  un  systemed'axes  mobiles 
tournant  avec  une  Vitesse  uniforme  M  autour  de  1'axe  des  z. 

Eavisageons  les  Equations  generates  de  1'Hydrodynamique  : 

du          du          du  du       v       dp 

—.  —  h^-j  —  s-  P  -5  —  j-w-5r=X  —  -j-  j 
dt          dx         dy          d'z  doc 

ou  u,  9,  (V  d6signenl  les  composantes  de  la  vitesse;  X,  Y,  Z  les  coinposantes 
de  la  force;  p  la  pression?  et  ou  la  densit^  de  fluide  est  prise  pour  unit6.  Nous 

aurons  d'ailleurs 

^V  v      dV  „      ctV 

X  =  -y  --  2  COP,         Y=  -y-  -+-2o)a}         Z  =  -T-; 
dx  dy  dz7 

oii  V  repr^sente  le  potendel  des  forces  et  ou  —  <AV  et  co  u  sont  Jes  composantes 
de  la  force  centrifuge  composed.  Si  nous  posons 


et  si  nous  n^gligeons  le  carr6  de  u,  v,  w  en  observant  que  les  mouvements 
doivent  Stre  Ires  petits,  il  viendra 

du  db  dv  db  dw       db 


120  SUR   1/6QUILIBRE   D'UNE   MASSE   FLUIDE   EN   ROTATION. 

avoc  I'equaUou  do  conlinuiltf 


On.  en  lire  ais<5ment 


Cette  Equation  ne  saffit  pas  pour  determiner  la  fonction  f^.  II  faul  pour  achover 
de  connailre  celte  fonction,  tenir  comple  dc  celte  circonslance  qnc  la  pression 
doit  <Hre  nulle  sur  toute  la  surface  libi^e.  On  doit,  done  avoir  sur  cello  stir- 
face  &  =  V. 

Pour  pousscr  plus  loin  cettc  analyse,  eiivisagoons  sdparement  un  dos  mouvo- 
ments  ^lemenlaires  dans  lesqucls  on  pout  decomposer  tons  les  pel!  Is  mouve- 
ments  de  1'ellipsoi'de,  Soient  d^r,  OK,  oj  les  displacements  infininieiit  petit  s 
d'une  molecule  el  6crivons 


^  -17  el  ?  ne  dependent  que  de  #, 
alors 


et  ^.  Les  Equations  (2)  el  (3)  deviendront 


ou  t|/i  ne  depend  que  de  ^,  jr  et  ^. 

Voyons  maintenant  ce  que  devient  la  condition  relative  i  la  surface  librc, 
Soient  cosa,  cos  (3,  cosy  les  trois  cosinus  direcleurs  de  la  normale  en  uu  point 

de  1'ellipsoide  et  supposons  que  Ton  ail  en  tons  les  points  de  celte  surface 

I  cos  a  H-  -r\  cos  [i  4-  £  cos  y  =s  21  Ax-  ^Mx-  N/.-, 

le  second  membre  6tanl  une  s<5rie  ddvelopprte  suivanl  Ie«  produits  M//N/,  de 
deux  fonctions  de  Lam6  conjugu6es.  Une  formule  du  paragraphe  IX  nous 
donnera,  en  tons  les  points  de  la  surface  libro, 


V  —  4 

Liquation  ip  =  V  se  r^duit  done 
(5)'  ^- 


SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 
D'aulre  parties  Equations  (4)  nous  donnent 


121 


i  I      . 

—  ~-  A  -f-  2  -7-  0)  I 

<3#  _  ay 


, 

—  ~-  A  —  2  —  7-  CO  £ 

dy  doc 

' 


d'ou 

X(4o»8-~X3) 

—  x  r^1  c°s 

""     \Jdx    "7 


(£  cos  a  H-  Y]  cos  [3  •+-  £  cosy) 

cos  a        afyL  cos  [3        dfy\ 
dy       I  dz 


sy!  .F  ^i  cos  a        MI  cosBl 

r-1-  M-  2  co  i     -~  --  =  --  1  —  ^  —r-i.    . 
/     J  Vdy       I  dx      L     J 


cosy 

—  -1- 


Mais  nous  avons  trouv^  plus  haut 

COS  a      r 


X 

^ 


cosp 

/ 

COSY 


=  p  \/p- —  62  y'p2 —  C2 


J' 

^rp' 


d'ou 


=  (  J  COS  a  H-  7J  COS  P  -+-  C  COS  Y  ) 

I—  ^ 


ou  enfin 


Le  probleme  est  done  ramen<5  a  la  recherche  d;une  fonclion  ^i  qui  satisfasse 
a  la  derniere  des  Equations  (4)  a  I'int6rieur  de  1'ellipsoide  et  aux  Equations  (5) 
et  (6)  sur  la  surface  de  Tellipsoide. 

Supposons  done  d'abord  que  &>  soil  nul;  la  derniere  equation  (4)  se 
reduira  a  A^t  :=  o,  de  sorte  que  nous  satisferons  a  la  fois  aux  Equations  (4)  6t 
(5)  en  faisant 


Dans    cette    expression    R^    est  la   valeur  que  prend  R/c  sur  la   surface  de 
Tellipsoi'de. 

De   cette   expression,  on   d^duira   pour  tous  les  points   de   la   surface  de 


Fellipsoide  : 

dfyi  sc  d^i 
-dZf^-d? 
H.  P.  —  VII. 


dp 
- 


1  6 


122  SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 

de  sorte  que  liquation  (6)  se  rckluit  a 


3-          :>.  n  4-  i  /  p  U  *  p  v>{  pa  —  //->  )  (  pa 

Pour  que  cetle  Equation  soil  saiisfaile,  il  faul  el  il  suffit  quo  tons  les 
coefficients  A*  soienl  nuls,  excepte  un  quo  nous  appellerons  A/;,  <H  que  A 
satisfasse  a  1'equation. 


On  esl  done  ainsi  conduit  pour  les  periodes  des  diverses  petilos  oscillations 
possibles  auT  memes  valeurs  que  par  liquation  (i). 
Nous  allons  maintenant  supposer  quo  co  n'csL  pas  nul. 
Posons 


la  derniere  des  equations  (4)  deviendra 


Quand  le  point  (5?,  j,  5)  d<Scrira  Tellipsoide  E  qui  a  pour  Equation 


lo  point  (j7,  7,  s')  ddcrira  1'ellipsoide  E'  qui  a  pour  6quation 


Nous  appellerons  R',  Mf  et  N'  les  fonctions  de  Larn6  form^es  ^  Faide  de 
1'ellipsoide  E',  et  lr  la  quantit6  qui  joue  par  rapport  k  Pellipsok'de  E;  le  m^me 
role  que  /joue  par  rapport  £  1'ellipsoide  E. 

Nous  appellerons  cosoc;;  cos(3;?  cosy'  les  cosinus  directeurs  de  la  normale  en 
un  point  de  la  surface  de  E'.  Nous  poserons  de 


ct 


r     —    ^ 

de  m6me  que  1'on  a,  d'apres  les  notations  de  Liouville 


SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  128 

II  viendra  alors  pour  un  point  de  la  surface  de  E'  : 

cos  a'  __  x  cosp'  __       y  cosy'  __        z        __     t-z 

P'      ~~  p*  '  T7"  =  p2  „  &a  '  "p7"  -  p2—  c'2  ""  p*  —  C2  ' 

d'oii 


dbi     T2.s  i   /dtoi         ,      dfyi        Of      db\ 

p     -    __.        /  ^j  cosa'n  --  -i-i  cosB'H  --  J^ 
2—    2          '  r 


Consid^rons  maintenant  uu  point  guelconque  de  Fellipsoide  E  ayant  pour 
coordonn6es  elliptiques  JJE,  el  v  et  pour  coordonnees  ordinaires  x^  y  et  z\  consi- 
derons  ensuite  le  point  correspondant  de  Fellipsoide  E'  ayant  pour  coordonnees 

ordinaires  57,  y  et  zf^=  -  et  pour  coordonnees  elliptiques  p!  et  v;  (dans  le 

systeme  d6riv^  de  Tellipsoi'de  E').  Soit  M';  une  fonction  quelconque  de  Lame 
de  la  coordonn6e  pf  et  N'  la-  fonction  conjugu^e  de  la  coordonnee  v'.  A  chaque 
point  de  E  correspond  comme  nous  Pavons  vu  un  point  de  E7  et  r6ciproquement. 
A  chaque  systeme  de  valeurs  de  p  et  v  correspond  done  un  systeme  de  valeurs 
de  p/  et  VA  et  r^ciproquement,  de  sorte  que  le  produit  M'^N^  qui  depend  de  p.' 
et  i/  pourra  aussi  etre  regard6  comme  fonction  de  JJL  et  v;  a  ce  tilre,  il  pourra 
etre  d6velopp6  en  une  s6ne  ordonn^e  suivant  les  produits  de  Lamd  M/rN/c 
derives  de  Pellipsoide  E.  On  aura  done 
(7)  '  MJ/N^SB^M^N*. 

Nous  allons  maintenant,  a  1'aide  de  la  remarque  de  Liouville  dontnousavons 
d<5ja  fait  usage  plus  haut;  montrer  que  dans  le  second  membre  de  i'idenlil6  (7) 
n'entrent  que  des  fonctions  de  Lam6  de  meme  ordre  que  M'  . 

En  effet,  d'apres  cetLe  remarque  de  Liouville,  si  Ton  pose 


X  -  X  Y  7  - 

A   =    —  J  I     =    -  .      _i.  '_";-•  ••'•—  5  /j    = 


le  produit  M^N',  sera  sur  la  sphere 


une  fonction  sph6rique  de  m^me  ordre  que  M'7  el  le  produit  M*N/C  une  fonction 
sph6rique  de  m£me  ordre  que  M^.  L'idenlil^  (7)  ne  peut  done  subsister  que  si 
toutes  les  fonctions  de  Lame  qui  entrent  dans  le  second  membre  sonl  de  m&ne 
ordre  que  M^. 

Ce  second  membre  n^est  done  pas  une  s^rie  infinie,  mais  un  polynome 
d?un  nombre  fini  de  termes, 


12t|  SUR   I/EQUILIBRE   DJUNE  MASSE  FLUIDE   EN  ROTATION. 

Do  plus  dans  ce  second  mcmbro  no  peuveul  cnlrcr  ([ue  des  fonotions  do 
Latni  pnisenlanL  les  memcs  symtHries  quo  Kr  Si  par  eiemple  M;  osl  divisible 
par  ^—£2,  il  devra  en  otre  do  memo  do  tonics  les  fonclions  M/,. 

Nous  renverserons  PidenliuS  (7)  en  (Serivant 


La  fonction  <|/<  devanl  salisfairc  a  la  dernicro  des  Equations  (4)  pourra  sVorire 

^SDyfyM^N;,, 

les  D,7  (.Hani  des  coefficients  constants  el  los  R;,,  M;,  N;  Gantries  fonctions  do 
Lam(S  d6riv(5es  de  i'ellipso'ide  E'. 

A  la  surface  de  cot  ellipsoi'de,  nous  aurons 


en  tenant  compte  de  (7),  de  sorte  que  requalion  (5)  sc  ramenera  auxiquations 

w 


On  a  d'aulre  part  ^  la  surface  de  E;  : 


D'autre  part  il  rdsulte  de  1'analyse  failo  plus  haul  a  propos  dos  moments  des 
quantit^s  de  mouvemenl  que  Ton  a  sur  loute  la  surface  do  E;  : 


_  v  . 

—     -W 


- 

dy          p2  «^?  p  — 

ies  F  <Stant  des  constantes  et  les  Wk  et  N;A  des  fonclions  de  Lamtt  do  inline  ordro 
que  M'/5  mais  ne  pr6sentant  pas  les  mfimcs  symfitries.  Si  MJ,  conlient  en 
facteur  ^-  —  c^,  il  en  est  de  mfime  de  M/.  et  r<Scipro(j[uem(mt,  mais  si  M', 


conlient  en  facteur  \/pJ'~—-  bf*,  M'A  ne  le  contiendra  pas  et  invcrsement. 
Nous  ^crirons  en  tenant  compte  de  (7) 

I 
ce  qui  donnera  enfin 


<a?f  p2        dx   ps  — 
Liquation  (6)  se  ramdne  alors  aux 


SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  125 

II  s'agit  mainlenant  de  disposer  de  X;  des  D^  et  des  A/f  de  facon  a  satisfaire  aux 
6galiuJs(8)ei(g). 

,Or  on  pourra  arriver  a  ce  r^sultat  en  supposant  d'abord  que  tous  les  A/c  et 
tous  les  Dq  sont  nuls,  sauf  ceux  qui  se  rapportent  a  des  fonctions  de  Lam^  d'un 
certain  ordre,  d'ordre  n  par  exemple.  II  restera  alors  2,71  +  1  Equations  (8)  et 
2/z-H-i  Equations  (9)  entre  A,  les  zn  +  i  coefficients  A*  et  les  s/z-i-i  coeffi- 
cients Dq  qui  se  rapportent  aux  fonctions  de  Lam£  d'ordre  n  et  qui  par  cons6- 
quent  ne  sont  pas  nuls,  d'apres  la  convention  pr6c6dente.  Cela  fait  en  tout 
4  n  -+-  2  Equations  lin^aires  et  komogenes  par  rapport  aux  4  TI  -+-  2  coefficients  A* 
et  Df. 

Si  Ton  6limine  ces  4^4-2  coefficients  entre  ces  4^  +  2  Aquations  par  le 
mojen  d?un  determinant,  on  obtiendra  une  Equation  qui  d^terminera  les 
p^riodes  A  des  oscillations  infiniment  petites  de  Fellipsoide.  II  importe  de 
remarquer  que  7i  n'entrera  pas  dans  cette  Equation  seulement  explicitement, 

//R' 

mais  que  les  coefficients  BA-,?,  G^^-?  --r1'  ^  qui  entrent  ^galement  dans  cette 

Equation  dependent  de  X.  Neanmoins,  m£me  en  tenant  compte  de  cette  cir- 
constance,  liquation  est  algebrique  en  X. 

II  y  aura  une  infinite  de  pareilles  Equations  en  A  que  Ton  obtiendra  en  consi- 
d6rant  successivement  les  fonciions  de  Lam6  du  deuxieme,  du  troisieme,  .  .  ., 
du  /iI6me  ordre,  etc.  Pour  la  stabilite  il  fautetilsuffit  qu'aucune  de  ces  Equations 
n'ait  de  racine  imaginaire. 

Ge  qu'il  faut  surtout  retenir,  c'est  que  dans  un  m£me  systeme  d'equations 
(8)  et  (9)  n'entrent  que  les  coefficients  qui  serapporlent  aux  fonctions  deLamd 
d'un  meme  ordre. 

Si  done  nous  ^crivons  la  valeur  de  ty  relative  ^  une  oscillation  infiniment 
petite  obtenue  en  consid6rant  Fune  des  solutions  d'un  systeme  d'6quations  (8) 
et  (9),  on  trouvera 


Dans  la  somme  du  second  membre  n'entrent  que  des  fonctions  de  Lam6  d'un 
m£me  ordre,  d?ordre  n  par  exemple.  Une  pareille  oscillation  infiniment  petite 
s'appellera  un  mouvement  harmonique  d'ordre  n. 

II  r^sulte  de  ce  qui  precede  que  deux  mouvements  harmoniques  d'ordres 
diflferents  sont  ind^pendants  Fun  de  1'autre,  c'est-a-dire  que  Fon  peut  imposer 
a  la  masse  fluide,  comme  liaison,  la  condition  de  ne  pouvoir  6prouver  d^autres 


i26  SUR  L'EQUIUBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 

d^placements  quo  des  mouvements  harmoniques  d'ordrc  n  sans  quo  les  u 
mouvemenls  harmoniques  d'ordre  n  possible  soient  altcfsrcf»s. 

Nous  pouvons  encore  ^noncer  ce  rdsullal  tl'une  an  Ire  maniere. 

Dans  un  mouvement  harmonique  d'ordre  n,  on  a  sur  la  surface  do  1'ollip- 
soTde  de  E  : 


MA-  et  N/c  <5tanl  des  fonctions  de  Lam<5  d'ordrc  n  et  les  A/,  des  coefficients 
constants.  Sur  la  surface  de  eel  ellipsoide,  le  polenliel  V  s'exprime  done  par 
unc  somme  de  Lam£  d'ordre  n. 

Imposons-nous  done  la  liaison  suivanle  :  quo  les  displacements  de  noire 
masse  lluide  soienl  toujours  tels  que  le  potential  s'exprime  a  la  surface  libre 
par  une  somme  de  Lam6  d'ordre  n.  En  tenant  eorapte  de  celle  liaison,  on 
trouvera  que  certaines  peliles  oscillations  de  la  masse  sont  possibles.  On 
cherchera  tons  les  systemes  d'oscillalions  possibles  en  supposant  que  la  valour 
de  V  a  la  surface  soil  assujettie  a  dire  une  somme  de  Lam6  d'ordre  2,3,,.., 
ji}  .  .  .  ;  on  cornposera  ensuitc  tous  ces  systemes  d'oscillations,  d'apres  la  re^le 
ordinaire  de  la  composition  des  petits  mouvements,  et  Ton  obtiendra  de  la 
sorte  tous  les  petits  mouvements  possibles  du  systeme,  en  le  siippo$anld<^livr6 
de  toutes  ses  liaisons. 

Mais  il  y  a  plus.  J'ai  dit  que  dans  une  mchne  <5(jualion  (8)  ou  dans  une  mchue 
Equation  (y)  ne  peuvenl  enlrer  <jue  des  cocflicients  A^  et  Df/  se  rapportant  a 
des  fonctions  de  Lam6  d'un  m^me  ordre.  On  pent  ajouler  que  dans  une  meme 
Equation  (8)  ou  dans  une  meme  Equation  (y)  ne  peuvent  enlrer  que  des  A/(  et 
des  Dq  se  rapportant  tous  i\  des  fonelions  de  Lani(S  (|ui  ont  comme  faeteur 


ou  y/c/a  —  jjt/aj  ou  jj;cii  (jes  j^k  QI  <jcs  D^  se  rapportant  tous  a  des 
fonctions  de  Lam6  qui  n'admelteut  pas  ce  facteur.  Si  la  fonction  M/c  ne  contienl 
pas  le  facteur  \/c^  —  ^,  le  produit  M^N^  est  symdlrique  par  rapport  au  plan 
des  xy  (e'est-a-dire  (ju'il  ne  change  pas  quand  on  change  £  en  —  c),  il  ne  Test 
pas  dans  le  cas  contraire. 

Voici  quelle  est  la  consequence  de  ce  fait.  Supposons  (jue  Ton  cherche  & 
trouver  tous  les  mouvements  harmoniques  possibles  d'ordre  n  que  nous  appol- 
lerons  H.  Imposons-nous  d'abord  la  liaison  suivante  ;  que  la  valeursuperficielle 
de  V  soil  une  sorame  de  JLam£  d'ordrc  n  et  sym6trique  par  rapport  au  plan 
des  ocy*  Nous  trouverons  qu'en  tenant  coin  pie  de  cette  liaison,  il  y  a  certaines 
oscillations  possibles  H'.  Imposons-nous  maintenanl  une  autre  liaison  :  que  la 


SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  127 

valeur  superficielle  de  V  soit  une  somme  de  Lame  d'ordre  n  et  change  de  signe 
avec  z.  En  tenant  compte  de  celte  liaison,  il  y  aura  certaines  oscillations 
possibles  H;/.  Si  nous  composons  ensuite  les  oscillations  H'  et  IF  d'apres  la 
regie  ordinaire  de  la  composition  des  petits  mouvements,  nous  aurons  tous  les 
mouvements  H  possibles. 

Ces  regies  permettent  d'envisager  separementles  mouvements  harmoniques 
d'ordre  n  sans  tenir  compte  des  mouvements  harmoniques  d'ordrediflferentqui 
pourraient  exister  simuitanement. 

Un  cas  particulier  ou  les  equations  (8)  et  (9)  se  simplifient  consid^rablement, 
c'est  celui  ou  Pellipsoide  E  et  par  consequent  Pellipsoide  E'  sont  de  revolution. 
II  arrive  alors  que  tous  les  coefficients  B*/y  sont  nuls  quand  k  est  different  de  q 
et  que  Ton  peut  prendre 


Une  derniere  remarque  :  pour  que  Panalyse  pr£c6dente  puisse  s'appliquer, 
il  faut,  a  ce  que  Ton  croit  d'abord,  que  1'on  ait 


2— 


ce  qui  obligerait  ~k  a  rester  compris  entre  certaines  limites.  Cependant  il  est 
ais6  de  voir  que  ces  r6sultats  subsistent  quelle  que  soit  Phypothese  faite  sur  la 
valeur  de  A.  En  effet  il  semble  d?abord  que  les  fonctions  de  Lam6  R;,  M!  et  N'ne 
sont  d6finies  que  lorsque  les  axes  de  Pellipsoide  E;,  d'ou  elles  d^rivent,  sont 
r^els  et  si  Paxe  des  s  est  le  petit  axe  dans  E7  comme  dans  E.  Mais  le  produit 
R^M'N7  est  un  polynome  entier  en  x,  y  et  z  qui  est  parfaitement  defini  dans 
tous  les  cas  possibles  et  qui  jouit  toujours  des  m£mes  proprietes. 

Si  m^me  X  >  aco,  c?est-a-dire  si  T2  est  n^gatif  et  si  Pun  des  axes  de  E'  devient 
imaginaire,  les  r^sukats  de  Panalyse  pr^c^dente  subsistent  encore. 

XIV.  —  Stabilite  des  elHpsoides. 

Pour  reconnaitre  si  un  ellipsoide  de  revolution  ou  un  ellipsoide  de  Jacobi  est 
stable,  il  faut  se  reporter  au  paragraphe  VII.  D'apres  la  regie  de  ce  paragraphe, 
qui  etait  soumise,  je  le  rappelle,  a  certaines  restrictions,  une  figure  d?6quilibre 
ne  peut  jouir  de  la  stability  s6culaire  qu'a  la  condition  que  tous  les  coefficients 
de  stabilite  soient  n^gatifs.  Si  cette  regie  etait  applicable  sans  modifications  a 
Pellipsoide  de  Jacobi,  cette  figure  n'aurait  janiais  la  stabilite  s^culaire,  car  un 


i-28  SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 

de  ses  coefficients  de  stability  esl  loujours  posilif ;  c'esl  cclui  qui  so  rapporie  a 
la  fonction  R'0  2.  Mais  la  regie  du  paragraphe  VII  n'esl  applicable,  coinrne  nous 
Favons  vu,  quo  si  dans  tous  les  mouvements  possibles  le  travail  des  resistances 
passives  est  toujours  n6gatif  sans  pouvoir  jamais  etre  mil.  Ce  n'esl  pas  le  cas  si 
Fon  envisage  une  masse  fluide  isolee  clans  Fespace,  car  si  one  pareille  masse  «e 
deplace  sans  se  dciformer,  il  n'y  a  pas  de  resistance  passive.  Si  an  contraire  la 
rotation  de  la  masse  fluide  (Hail  determine"e  par  cello  d\m  axe  rigide  qui  la 
traverserait  de  part  en  part  et  qui  Fenlrainerait  par  frottement  (comme  dans  les 
experiences  de  Plateau  par  exemple),  tout  displacement  produirait  une  resis- 
tance passive  et  Fellipso'ide  de  Jacobi  serait  toujours  instable. 

Mais  ce  cas  est  sans  interel.  Envisageons  done  une  masse  isoltSe  dans  Fespace 
et  voyons  comment  doit  £tre  modifi&c  la  regie  du  paragraphe  VII. 

Consid6rons  deux  systemes  d'axes  .*  un  systeme  iixe  et  un  systeme  mobile 
tournant  avec  une  vitesse  angulaire  constante  co  an  Lour  de  Faxe  des  z.  Supposons 
que  la  masse  fluide  ait  une  position  d'6quilibre  relatif  dans  laquelle  elle  soil 
anhne"e  d'une  vitesse  de  rotation  co  par  rapport  aux  axes  lixes,  et  par  consequent 
en  repos  par  rapport  aux  axes  mobiles.  Soil,  dans  cette  position,  I0  son  moment 
d'inertie  par  rapport  a  Faxe  des  z  et  U0  son  tfnergie  potentielle  par  rapport  aux 
axes  (ixes,  GonsidǤrons  maintenont  une  configuration  de  la  masse  iluide  voisiixe 
de  la  iigure  d'^quilibre  et  telle  que  cette  masse  cesse  d'etre  en  repos  par 
rapport  aux  axes  mobiles,  Soient,  dans  cette  nouvelle  position,  I  et  U  les 
valeurs  du  moment  d'inertie  et  de  Ferxergie  polcniiclle.  Soil  T  la  demi-force 
vive  relative  par  rapport  aux  axes  mobiles;  soit  m  la  masse  d'un  des  points  du 
Iluide;  r  sa  distance  4  Faxe  des  5,  et  o>  +  <k>  sa  vitesse  angulaire  autour  de  eel 
axe.  Les  Equations  de  la  conservation  de  F^nergie  et  de  la  conservation  des 
moments  des  quantit6s  de  mouvement  nous  donneront 

T  -h  wS  mr*  Sw  4-  ^  H-  U  =  ^~  H-  U0  H-  /*,         to  1  -f.  S  mr*  5co  »  w  J0 

(h  6tant  une  constante  qui  est  tr&s  petite  si  les  d4placements  initiaux  et  les 
vitesses  initiales  sont  tres  petits  ce  que  nous  supposons),  d'oti 

T_2iI+U  =  U,-2^H-A. 
a  « 

Mais  on  a 


2  I 

d'oA 


SUE  L'^QUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  129 

Si  done  on  a  pour  toules  les  configurations  Ires  voisines  de  la  figure  d'equilibre 


011  sera  certain  que  T^quilibre  est  stable.  S'il  y  a  des  resistances  passives,  h  ne 
sera  pas  une  constante,  mais  ira  constamment  en  diminuant;  done  a  fortiori, 
II  y  aura  encore  stability  si  la  condition  (i)  est  remplie.  Cette  condition  est 
done  suffisante  pour  qu'il  y  ait  stability  seculaire. 

D'apres  la  regie  du  paragraphe  VII,  la  condition  n^cessaire  el  suffisante  pour 

la  stability  seculaire  etait  que  P  expression  V  —  ^-  fiit  minimum,  cjest-a-dire 
que 

U  —  U0  —  ~(I  —  I0)>o. 

On  voit  que  la  regie  actuelle  est  plus  favorable  a  la  stability. 

D'ailleurs  la  condition  (i)  peut  encore  s'enoncer  d'une  autre  maniere.  Elle 
signilie  que  1'expression 


doit  dtre  minimum  pour  la  figure  d54quilibre  (c/.  TAIT  et  THOMSON,  Treatise 
on  Natural  Philosophy,  §  778"  [/]  et  [£]). 

11  faut  voir  maintenant  si  cette  condition  (i)  est  n^cessaire  pour  qu'il  y  ait 
stabilite  seculaire.  Nous  avons  vu  au  paragraphe  VII  que  les  d^placements  infi- 
ninient  petits  Xj  des  diverses  molecules  d'un  systeme  a  parti  r  d'une  position 
d'&quilibre  relatif  pouvaient  s'exprimer  de  la  facon  suivante  : 


les  A;n  elant  des  constantes  arbitraires  d'integration,  landis  que  les  [/",  rn\  et 
les  Am  sont  des  constantes  dependant  des  Equations  difF^rentielles  donn^es. 

Pour  qu'il  y  ait  stability  s^culaire;  il  faut  que  tous  les  1  aient  leur  partie 
r^elle  nulle  ou  negative. 

Pla^ons-nous  d'abord  dans  les  conditions  ou  la  regie  du  paragraphe  VII  est 
applicable,  c'est-a-dire  ou  tout  d^placement  entraine  une  resistance  passive. 
Tous  les  X  devront  alors  avoir  leur  partie  reelle  negative,  et  tons  les  x\  tendre 
vers  z6ro  quand  t  croitra  ind^finiment.  L'  expression  suivante  ; 

<I>  =  T  -4-  U  —  U0—  ~  (I  —  Iu) 
H.  P,  —  VII.  17 


^o  SUR  L'EQUILIBRE  D?UNE   MASSE   FLUIDE   EN   ROTATION. 

(si  Ton  neglige  les  cubes  des  ,r,-,  on  ce  qui  rcvienl  an  memo  les  cubes  dcs  A,,,) 
esl  unc  forme  quadratiquc  par  rapport  aux  Am. 

Cetle  forme  doit  lendre  vers  zero  quand  t  croil  indeiinimenl.  Mais  d'apres  la 
nature  m&me  dcs  resistances  passives,  cello  forme  doit  aller  conslammenl  en 
diminuauL  II  faut  done  quo  sa  valour  iniiiale  soil  loujours  positive  quelles  quo 
soient  les  constanlcs  arbilraires  Am.  La  forme  *  est  done  loujours  dMinie 
positive,  c'esl-a-dire  que  U—  ^1  doit  elre  minimum  dans  la  position  d'equi- 
libre.  C'estla  la  demonstration  de  la  regie  du  paragraphe  VII. 

Supposons  mainlenanl  que  cetle  regie  ne  soil  plus  applicable,  c'osl-4-dire 
que  certains  displacements  n'enlrainent  pas  do  resistances  passives.  II  pourra 
arriver  alors  s'il  y  a  stability  seSeulaire  quo  parmi  les  Am,  il  y  en  ail  un  certain 
nombre  que  j'appellerai  les  lp  el  doiil  la  parlie  reelle  esl  nulle,  pendant  que 
d'autres  que  j'appellerai  les  A,,  auront  leur  parlie  reelle  negative. 

D'aprcs  cela  la  forme  *  ne  lendra  pas  vers  j?£ro,  en  g<»nriral,  quand  t  croilra 
inddfinimenl;  elle  parlira  de  sa  valour  initiale  *0  el  lendra  vers  une  corlaine 
valeur  limile  9>\  que  1'on  obliendra  en  remplacant  dans  <l>0  ions  les  Av  par  zrtro  et 
en  conservant  aux  A;,  leurs  valeurs  iniliales.  ('omme  la  forme  <I>  doit  aller 
constamment  en  diminuant,  on  clevra  avoir  *()><I>1  quelles  que  soient  les 
valeurs  cles  constanles  arbilrairos  A7,  et  \q.  Pour  ccla  il  faul  cjue  la  forme  qua- 
dralique  <5  soil  la  somme  de  deux,  autres,  la  premiere  ne  coaienant  que  les  A/,, 
la  seconde  d&fmie  positive  et  ne  contenant  que  les  Af/. 

Si  done  dans  la  forme  *0  on  aanule  lous  les  A/,,  cello  forme  doviendra  drifmio 
positive. 

Dans  le  cas  qui  nous  occupe,  et  si  nous  supposons  que  le  centre  de  gravile 
de  notre  masse  soil  fixe,  il  njy  a  que  trois  d<5placemenls  ((ui  n'enlrainenl  pas  de 
resistance  passive,  ce  sont  les  rotations  aulour  des  trois  axes.  II  y  a  done  au 
plus  six  des  \m  dont  la  partie  rdelle  est  nulle;  en  d'auires  termes,  il  y  a  au  plus 
six  A;,.  En  nSalitci,  il  n'y  a  que  quatre  A,,.  On  obtiendra  tons  les  mouvements 
pour  lesquels  tons  les  Av  soul  nuls.?  en  supposanl  que  les  diverses  molecules  de 
la  masse  fluide  tournenl  d'un  mouvement  uniforme,  a  la  fagon  des  did^renles 
parties  d?un  m^me  corps  solide,  aulour  d'un  axe  quelconque  et  avec  une  vitesse 
quelconque.  On  obliendra  tous  les  mouvements  pour  lesquels  tous  les  A,fl  sont 
mils,  en  consid<irant  les  d^placements  de  la  masse  fluide  qui  sont  tels  que  le 
moment  de  la  quantil6  de  mouvement  relatif  par  rapport  aux  axes  mobiles  soil 
iaul.  Pour  qu'il  y  ait  stability  sdculaire,  il  faut  que  la  forme  $  soit  loujours 


SUR  L'EQUILIBRE  D7UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  l3l 

positive  quand  les  d6placements  iniliaux  et  les  vitesses  initiales  des  diverses 
molecules  sont  telles  que  lous  les  A^  soienl  nuls,  c'est-a-dire  que  le  moment  de 
la  quanlit^  de  mouvement  soil  nul.  Or  il  est  aise  de  voir  que  cela  ne  peut  avoir 
lieu  que  si  1'expression  (2)  est  un  minimum. 

C'est  done  la  la  condition  necessaire  et  suffisante  de  la  stability  seculaire. 

L'expression 

U0— U-^(I0— J)  =  T-<& 

est  aussi  une  forme  quadratique  par  rapport  aux  Am  quand  on  neglige  les  cubes 
de  ces  quantit^s.  Cette  forme  peut  £tre  r^duile  en  une  somme  de  carres  et  ce 
sont  les  coefficients  de  ces  carres  que  nous  avons  appeles  jusqu'ici  coefficients 
de  stability.  D'apres  ce  qui  precede,  il  convient  maintenant  d'envisager  la 
forme 


Cette  forme  peut  anssi  etre  reduile  en  une  somme  de  carres  et  j'appellerai  les 
coefficients  de  ces  carr6s  coefficients  de  stabilii^  corriges.  Us  devront  etre  tous 
n^gatifs  pour  la  stabilit6  s^culaire. 

Supposons  que  la  forme  d'^quilibre  relatif  soit  un  ellipsoide  et  que  la  figure 
trouble  soit  d6finie  par  la  distance  £  d'un  point  de  sa  surface  a  rellipsoi'de 
compt6e  normalement  a  Pellipsoi'de. 

Si  Ton  a 

nous  avons  vu  au  paragraphe  IX  que  les  coefficients  de  stability  s'6crivent 

__  If    C  (^1^1 Hi^L\  /M2N2  ^3> 

2   J     \      3  27H-I/  Z 

II  esl  ais6  de  voir  que  si  Ton  neglige  le  cube  des  A$  il  viendra 


B  et  B'  6tant  des  coefficients  qui  ne  dependent  que  des  axes  de  Pellipsoide 
pendant  que  A  et  A;  sont  les  coefficients  de  ZMJ  2NJ  2  et  ZMiiS  NJj3  dans  Tex- 
pression  de  £.  " 

II  r^sulte  de  la  que  les  coefficients  de  stability  corrig6s  ne  diflfereront  pas  des 
coefficients  de  stability  primitifs,  si  Ton  excepte  ceux  qui  se  rapporlent  aux 
fonctions  de  Lam£  RJ)2  et  Ri)2.  Or  si  Ton  se  reporte  au  paragraphe  pr&^dent, 
on  verra  que  nous  pouvons  envisager  s6par6ment  les  mouvemenls  harmoniques 


ifo  SUR   L'EQUILIBRE   D'UNE   MASSE   FLUIDE   EN   ROTATION. 

des  divers  ordres,  el  que  pour  qu'il  j  ail  slabilile,  il  Caul  et  il  suflil,  quo  cello 
stability  oxiste  a  la  fois  en  ce  qui  concenie  les  mouveinenls  harmoniques  tie 
chaque  ordre. 

Mais  d'apres  ce  que  nous  veiions  de  dire  des  coefiicients  de  stability  la  regie 
du  paragraphe  VII  s'appliquera  aux  mouveinenls  liarmoniques  de  tons  les 
ordres  si  Ton  excepie  le  second. 

Pour  qu'il  y  ail  slabilile  seSculaire  en  ce  qui  conceme  les  mouveinenls  du 
^i&me  orcirCj  il  faut  <»t  il  suffit  que  les  coefiicieiils  de  slabilile  corrigiSs  qui  so 
rapporlcnl  aux  fonclions  de  Lame  du  nit>nl°  ordre  soienl  tons  negalifs:  or  ils  no 
different  pas  des  coeflicienls  primilifs  si  n  >  a. 

Gonsid6rons  d'abord  les  mouvemenls  du  deuxieme  ordre;  ils  ne  seronlpas 
altdres,  comme  nous  1'avons  vu,  si  nous  nous  iinposons  conune  liaison  la 
condilioa  que  ces  mouveinenls  soienl  seuls  possibles.  Gela  revienl  a  assujeltir 
la  figure  de  la  masse  (luide  a  la  condition  de  rosier  lou  jours  ellipsoidale. 

Pour  quo  la  stabilile  soil  s(5culaires  en  leuanl  comple  de  celle  liaison,  il  faut, 
et  il  sufiit  que  1'  expression 


soil  plus  grande  pour  uneliipsoide  quelconque  que  pour  rdlipsoide  d'6quilibre. 

L'e&pression  r.>I0  est  le  moment  de  la  quantil<S  de  mouvemenl;  c'est  une 
donn6e  de  la  question,  Les  quantites  qui  d6finiront  1'ellipsoi'de  seronl  deux  dos 
axes,  a  el  l>]  le  iroisieme  axe  par  rapporl  auquel  on  prendra  les  moments 
d'inerlie  sera  fonction  des  <leux  premiers,  puisque  le  volume  est  suppos^ 
donn<5. 

\  tout  systeme  de  valeurs  posilives  de  a  el  h  correspond  une  valeur  de  (a) 
qui  lend  vers  une  limile  nulle  ou  posilive  quand  Fun  des  axes  a  ou  b  lend  vers 
z6ro  ou  vers  1'mfini  d^une  inanicre  quelconque. 

Si  done  on  appelle  ^ii,  5I2  et  #!3  le  nombre  d(^s  minima  ntgatifs  de 
1'ex.pression  (2),  celui  des  maxima  nt^galifs,  et  celui  des  cllipsoides  d%6quilibro 
qui  correspondent  a  une  valeur  negative  de  (2)  qui  n'osl  ni  un  maximum  ni  uu 
minimum,  on  aura  par  simple  raison  de  continuile  et  en  vertu  des  principes 
bien  conmis  de  V  Analysis  Situs  : 


Pour  les  valeurs  de  &>10  qui  sonl  inf^ricures  a  une  cerlaine  limile,  il  n'v  a 


SUR  L'EQUILIBRE   D'UNE   MASSE  FLUIDE   EN   ROTATION.  I,H3 

qu'un  seul  ellipsoide  d'equilibre  qui  est  de  revolution.  Si  les  axes  de  cet  ellipsoide 
sont  p,  p  et  \7p*2  —  c'J,  ces  valeurs  de  p  satisferont  a  F 


J'appellerai  im  pareil  ellipsoide  :  ellipsoide  pen  aplati  pour  le  dislinguer  de 
ceux  qui  ne  satisfont  pas  a  Fin6galit<§  (4). 

Puisque  nous  n'avons  qu'une  seule  figure  d^quilibre,  les  in4galit£s  (3)  ne 
peuvent  subsister  que  si  celte  figure  correspond  a  un  minimum. 

Les  ellipsoides  peu  aplatis  sonl  done  stables  en  ce  qui  concerne  les  mouve- 
ments  du  deuxieme  ordre. 

Pour  les  valeurs  plus  grandes  de  coI0,  il  a  trois  figures  d'dquilibre  :  un 
ellipsoide  de  revolution  ne  satisfaisant  pas  a  Fin6galit£  (4)  (je  dirai  qu'il  est 
tres  aplati)  et  deux  ellipsoides  de  Jacobi  4gaux  entre  eux  et  ne  different  Fun 
de  Fautre  que  par  la  permutation  de  a  et  de  &.  II  faut  done  que  les  deux 
ellipsoides  de  Jacobi  correspondent  tous  deux  a  un  minimum  de  (2)  ou  que 
cela  ne  soit  vrai  d'aucun  des  deux.  Dans  ces  conditions,  les  inegalites  (3)  ne 
peuvent  subsister  que  si  les  ellipsoides  de  Jacobi  correspondent  a  un  minimum 
et  si  Fellipsoide  de  revolution  ne  correspond  ni  a  un  maximum,  ni  a  un 
minimum. 

Done  en  ce  qui  concerne  les  mouvements  du  deuxieme  ordre?  les  ellipsoides 
de  Jacobi  sont  toujours  stables  et  les  ellipsoides  tres  aplatis  toujours  instables. 

Si  par  consequent  nous  imposons  a  la  figure  de  la  masse  fluide  la  condition 
de  rester  ellipsoidale,  les  ellipsoides  peu  aplatis  et  ceux  de  Jacobi  seront 
stables,  pendant  que  les  ellipsoides  tres  aplatis  seront  instables  (c/.  TAIT  et 
THOMSON,  Natural  Philosophy,  §  778"  [/]). 

Voyons  rnaintenant  si  la  stability  seculaire  subsiste  encore  lorsqu'on  considere 
les  mouvements  harmoniques  d'ordre  snp6rieur. 

Gela  est  evident  en  ce  qui  concerne  les  ellipsoides  peu  aplatis.  Consid^rons 
en  effet  un  ellipsoide  de  revolution  qui,  se  r^duisant  d'abord  a  une  sphere, 
aille  ensuite  en  s'aplatissant  de  plus  en  plus,  de  fa^on  que  si  ses  axes  sont  p  et 


^/p2  —  C2?  p  decroisse  +00  a  c.  Nous  avons  vu  au  paragrapKe  XT  que  tous  les 
coefficients  de  stability  sont  d'abord  n^gatifs;  puis  qu'un  certain  nombre 
d'entre  eux  s'annulent  successivementpour  devenirpositifs.  A  la  fin  de  cem£rne 
paragraphe,  nous  avons  d6montr6  que  le  premier  de  ces  coefficients  qui 
s'annule  ainsi  est  celui  qui  correspond  a  lafonction  de  Lam  6  RJ  2qui  se  r^duit 


]V(  SUR   L^QUtLIBRE   D'UNE   MASSE    FLUIDE    EN   ROTATION. 

a  pi  pour  &*:=  o.  Si  clouc  ce  coefficient  osi  n.'-gatif,  c'osL-a-dh-c  si  I'dgaliuS  (4) 
esi  saiisfaite,  ions  les  autres  coefficients  seront  aussi  n6gatif*.  L'ellipsoiide  pea 
aplati  esl  done  stable  (^/.  /or.  ctf.,  §  778"  |  h  ]). 

Quand  a  1'ellipsoide  de  Jacob!,  il  s«ra  stable  en  c«  qni  concorno  les  mouvc- 
ments  harmoniqnes  du  n*ma  ordrc,  pourvu  que  les  coefficients  do  stabiliu': 
(corriges  ou  non,  cela  revient  au  meme  si  «>  a)  qui  affedent  des  fonclions  do 
I,am6  du  nikm1'  of  dee  soioul  lous  ndgatifs.  Or  nous  uvous  vu  au  paragraphe  XI  1 
que  tous  les  coefficients  do  stabllito  du  7ilftra"  ordrc  reslcnl  ions  ntfgalifs  pour 
tous  les  ellipsoides  de  Jacob!,  a  1'exccplion  du  cooflicient  <[ui  so  rapporlc  a  la 
fonction  Rla<n  el  que  nous  appellcrons  coeHioi«nl  principal  du  /iu'""'  ordrc.  Cc 

coefficient  principal,    d'abord   negalif  pour  les  valeurs  suflisamment  pelites 

b  - 
do  ^  finit  par  s'annuler  el  par  dcvcnir  posilif  quaiid  on  faitcroitre  ^  - 

Noas  disons  que  rellipsoidts  de  Jacob!  esl  peu  allonge  si  ^  obt  assez  petit 
pour  que  tons  les  coefficients  principaux  soicnt  u6gatifs,  el  r/'^v  allongt  si  ^ 
ost  assoz  grand  pour  que  Tun  au  mains  des  coefficients  principuux  soil  posilif  . 

D'aprds  ce  que  nous  avons  vu  au  paragraphe  XII,  il  est  certain  que  le 
premier  de  cos  coefficients  principaux  qui  s'aimule  osl  colui  du  iroisifimo 
ordre,  de  sorte  que  I'ellipsoi'de  limite  qui  separe  les  ellipsoides  peu  allonges 
des  ellipsoides  tres  allongds  est  celui  dont  les  axes  satisfont  a  la  relation 


D'aprds  ce  qni  precede,  les  ellipsoides  peu  allonges  seront  stables  ct  les 
ellipsoides  tres  allonges  instables  en  ce  (pii  concerne  le«  mouvemcntH  harmo- 
niques  d'ordre  sup<Srieur  au  second. 

En  r£$um&,  si  la  figure  de  la  masse  fluide  n'esl  assujettie  a  aucunv  con-* 
dition,  les  elUpsoHdes  de  revolution  peu  aplatis  et  les  ellipsoides  de  Jacob  i 
peu  allonges  jouiront  de  la  stabilitti  s£culaire,  pendant  que  les  ellipsoides  de 
r&volution  trbs  avlatis  et  les  ellipsoides  de  Jacob  itr&s  allong&sri*  en  jouiront 
pas. 

Ces  demiers  pourraient  toutefois  jouir  de  la  stability  ordinaire  sans  jouir  de 
la  stability  s^cnlaire.  11  nous  reste  ^  examiner  sjil  en  est  ainsi, 

Occupons-nous   d'abord   des  petits  mouvements  harmoniques   du   second 


SUR   L'EQUILIBRi;  D'UNE   MASSE  FLUIDE   EN   ROTATION.  1  35 

ordre  des  elllpsoides  de  revolution.  Supposons  done,  ce  qui  n'altere  pas  ces 
•  mouvements,  que  la  figure  de  la  masse  fluide  soil  assujettie  a  raster  ellipsoi'dale. 

D'apres  le  paragraphe  precedent,  nous  pouvons  m£me  (sans  alterer  les 
petils  mouvemenis  qu'il  s'agit  d'4tudier)  supposer  que  la  valeur  superficielle 
du  potenttel  V  est  assujettie  non  seulement  a  £tre  exprimee  par  une  somnie 
de  Lam£  du  deuxieme  ordre,  mais  encore  soit  a  etre  sym^trique  par  rapport  au 
plan  des  xy>  soit  au  contraire  a  changer  de  signe  avec  z. 

La  seconde  hypo  these  est  sans  int^ret;  elle  nous  coiiduirait  simplement  a.  une 
sorte  de  mouvement  de  precession.  Tenons-nous  done  a  la  premiere  et 
supposons  que  la  figure  de  la  masse  fluide  est  assujettie  a  £tre  toujours  un 
ellipsoKde  ayant  un  axe  dirig6  suivant  1'ax.e  des  z. 

Soit 

sc-        y-          %*-     _ 

pa"  "    "p*"        P2~  i  "" 

1'ellipso'ide  envisag^.  Nous  aurons  a  considerer  les  trois  fonctions  de  Lam£ 
R2=z  p\/p2  —  b-  =  p2,  RJ  2  et  Rij2.  Nous  poserons  done 


P,= 

Nous  poserons  de  plus 

RtSi       R2S2 


Nous  repreadrons  d'ailleurs  les  notations  du  paragraphe  pr^c^dent. 
La  fonction  ^4  devant  satisfaire  a  liquation 


"as* 

nous  F6crirons 


&i  =  A  ( #3  —  r2 )  -4-  B  ^j  -+-  G  (  a?2  -+•  j'2 — 

A,  B,  C  et  D  6tant  des  coefficients  constants  qu'il  s'agit  de  determiner  et  qui 
jouent  le  rafime  rdle  que  les  Dg  du  paragraphe  pr£c£dent. 
Liquation  (5)  du  paragraphe  pr6c6dent  devient 

A',  B',  C'  6tant  des  coefficients  constants,  et  elle  doit  devenir  une  identity  en 
tenant  compte  de  ^equation  de  Fellipsoide. 


G  SUR  L^QUIUBRE  D'UNE  MASSE  FUUDE  EN  ROTATION, 

On  irouve  d'ailleurs 


±^21  +  n  il=^ 


de  sorle  que  Fequation  (6)  du  paragraphe  pr6c6denl  dovicnl 


el  ello  doit  6  ire  ime  idcntite  en  tenant  compte  d«i  liquation  de  Pellipsoule.  On 
doit  done  avoir 


et  d'autre  part 


(9) 


/ps—i 


Ce  sont  1&  les  Equations  (8)  el  (9)  du  paragraphe  pr6ctfdenl.  On  peut  v 
satisfaire  : 

i°  en  supposant  que  C,  D  et  C/  sont  mils,  eo  qui  donne  en  dliininanl  A,  Ii, 
A',  B' : 

.(,>«— X* 

V 

ft  (')  / 


X(24- 


Oil 


Oil 


—  8  tot 


—  j()Wa=  (I 


Cetie  Equation  a  toujours  ses  trois  racines  belles  si  l\i  est  positif;  I'ellipsok'de 
jouit  done  alors  de  la  stability  ordinaire,  ce  que  Ton  pouvait  prtvoir;  car  si  Ki 


SUR   L'EQUILIBRE   D'UNE   MASSE   FLUIDE   EN   ROTATION.  187 

est  positif,  Pellipsoide  est  peu  aplati  et,  ayanl  la  stability  seculairc,  il  doit 
a  fortiori  jouir  de  la  stability  ordinaire. 

Dans  tous  les  cas,  on  trouve  en  prenant  le  signe  -j-  par  exemple  : 


avec  A  =  2  co  pour  la  troisieme  racine. 

La  condition  de  realit6  des  racines  est  done 


II  r6sulte   de  la  qu'alors  meme   que  K<   devient  negatif  et  que  1'ellipsoide 
devenani  tres  aplaii  cesse  de  posseder  la  stability  s^culaire,  il  joint  encore 
pendant  un  certain  temps  de  la  stability  ordinaire. 
Gela  a  lieu  bien  que  Fexpression 

<•>  «* 


ne  soit  ni  minimum  ,  ni  maximum  et  qu'elle  soit  un  <c  minim  ax  »  pour  employer 
une  expression  consacr^e  en  Angleterre  (cf.  loc.  cit.,  §  778f/  [/]). 

2°  Supposons  maintenant  que  A,  B,  A;,  Br  soient  nuls  et  que  C,  D  et  C'  ne 
le  soient  pas. 

D'apres  la  forme  ni£me  des  Equations  (8)  et  (9)  que  nous  venons  de  former, 
il  existera  un  mouvement  harmonique  du  deuxieme  ordre  qui  satisfera  ^  ces 
conditions.  II  r^sulte  ^galement  de  la  forme  de  ces  Equations,  que  ce  mouve- 
ment harmonique  ne  sera  pas  alt6r6  si  1'on  astreint  la  masse  fluide  a  affecter  la 
figure  djun  ellipsoide  de  revolution. 

Mais  si  Fon  introduit  cette  liaison,  1'  ellipsoide  de  revolution,  quel  que  soit 
son  aplatissement,  jouira  non  seulement  de  la  stability  ordinaire,  mais  de  la 
stabilite  s^culaire  (cf,  loc.  cit.,  §  778/;  [a]). 

Ainsi  certains  ellipsoides  tres  aplatis  possedent  encore  la  stability  ordinaire. 
II  en  est  probablement  de  meme  de  certains  ellipsoides  de  Jacobi  tres  allonges. 

Ne  nous  occupons  plus  maintenant  que  de  la  stability  s^culaire  et  cherchons 
quelles  sont,  parmi  les  figures  d'6quilibre  non  ellipsoidales  dont  nous  avons 
d^montr^  Fexistence,  celles  qui  possedent  cette  stability.  A  cet  effet  nous 
pourrons  appliquer  le  principe  de  I'£change  des  stability,  ce  que  nous  ne 
pourrions  pas  faire  pour  la  stability  ordinaire. 

Soient  S  et  S'  deux  series  lin^aires  de  figures  d'6quilibre  et  F  une  figure  de 
H.  P.  —  vii,  18 


,38  SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  PLUIDE  EN  ROTATION. 

bifurcation  commune  a  ces  deux  series.  Si  pour  celte  figure,  tons  les  coeffi- 
cients de  stabilil<5  sont  negatifs,  oxceple  un  qui  est  mil,  il  y  nura  en  general 
tant  dans  la  s6rie  S  que  dans  la  serie  S',  des  Inures  Ires  peu  dil!Y>rentes  de  V 
qui  seront  stables.  Si  pour  la  figure  K  i!  y  a  des  coefficients  de  slabililopositifc. 
louies  les  figures  de  S  et  de  S'  tres  peu  diifeeules  de  K  seront  installs. 

Nous  avons  considth-e  diverses  series  Umpires  de  figures  d'equilibre,  a 
savoir  :  In  sfirie  S  des  eliipsoides  de  revolution;  la  serie  S'  des  ellipsoYdes  de 
Jacobi;  les  series  2  qui  on  I  une  figure  commune  <i>  avec  la  stkie  S;  les  series  Sa, 

S.4,    .  ..,  S,t,    ...   qui  ont  respectivement  une  figure  commune  K:;,  K-, 

F,,,  .  .  .  avec  la  serie  S7.  La  figure  F,,  sera  un  ellipsoid*'  de  Jacobi  pour  iequel 
on  aura 

HLS| 

;j 

D'apres  ce  qui  precede,  toutes  les  figures  *  seront  des  ellipso'kles  tie  r6vo- 
lution  tres  aplatis,  pour  lesquels  le  coefficient  deMabilit^  relalif  a  la  fonetion  de 
Lam(5  RJ  a,  sera  positif,  Done  toules  les  figures  des  series  i  n'auront  pus  la 
stability  s(5culaire;  c'est-a-dire  qu'elles  seront  instablos  pourvu  que  le  iluide 
soit  visqueux  et  si  peu  qu'il  le  soit.  Cola  n'esl  vrai  toulefois  quo  pour  cellos  de 
ces  figures  qui  different  tre&  peu  de  Fellipsoide  et  qui  soul  les  seules  dont  nous 
sachions  quelque  chose.  II  n'esl  pas  impossible  <juel«s  series  i  coniiennent  <les 
figures  stables  tres  difft5rentes  de  Fellipsoi'de. 

Toules  les  figures  Fft,  F-,.  .  .  .  soat  des  eliipsoides  tres  allonges  pour  lesquels 
un  certain  nombre  de  coefficients  do  siabilitd  sont  positifs.  Un  seul  est  eiceptd; 
c'est  I'ellipsoide  limite  qui  srtpare  les  ellipsoides  ires  allonges  des  eliipsoides 
peu  allonges  et  pour  Iequel  tons  les  coefficients  de  stabilite'*  rorrifffo  sont 
n^gatifs  except^  un  qui  est  mil. 

Nous  avons  vu  au  paragraphe  XII  que  cet  ellipsoide  limile  n'est  aulre 
que  F3» 

Done  les  figures  peu  diflferentes  de  Tellipsoide  sont  instables  (s^culairement) 
dans  les  series  S4,  S;}, Sn ;  et  stables  dans  la  s6rie  Sa. 

La  forme  d^quilibre  repr^sentde  dans  la  figure  page  1 13  est  done  une  forme 
d^quilibre  stable  (1). 

(l)  Voir  aux  Notes,  Figures pir if orm&s. 


SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  i3g 

XV.  —  Conclusions. 

Les  ellipso'ides  ne  sont  pas  les  seules  figures  d'equilibre  que  puisse  aflecter 
tine  masse  fluide  hornogene  dont  toutes  les  molecules  s'attirent  d'apres  la  loi  de 
Newton  et  qui  est  animee  d'un  mouvemenl  de  rotation  uniforme  autour  d'un 
axe.  Si  on  laisse  de  cot£  certaines  formes  d^quilibre  ou  la  masse  en  question 
se  subdivise  en  deux  ou  plusieurs  corps  isol^s,  et  d'autres  ou  elle  prend  une 
configuration  annulaire;  il  exlste  encore  une  infinite  de  series  de  figures 
d^quilibre. 

.  Toutes  ces  figures  sont  symetriques  par  rapport  a  un  plan  perpendiculaire  a 
Paxe  de  rotation.  En  outre  elles  ont  un  certain  nombre  de  plans  de  sjm&lrie 
passant  par  Paxe  (elles  en  ont  touies  au  moms  un)  et  certaines  d'entre  elles 
sont  de  revolution. 

Parral  ces  series  de  figures,  il  n'y  en  a  qu'une  qui  est  slable  et  eile  a  deux 
plans  de  sym^trie  seulement  (voir  la  figure  p.  1 13). 

Les  ellipso'ides  de  revolution  sont  stables  s'ils  sont  moms  aplalis  que  celui 
qui  est  en  inline  temps  un  ellipsoide  de  Jacobi;  los  ellipso'ides  de  Jacobi  sont 
stables  s'ils  sont  assez  pen  allonges. 

Dans  ces  conditions  la  stability  subsiste  quand  nieme  le  fluide  est  visqueux. 

Les  ellipso'ides  de  revolution  qui  sont  plus  aplatts  que  celui  qui  est  en  m§me 
temps  un  ellipsoide  de  Jacobi,  mais  dont  Paplatissement  reste  mf6rieur  a  une 
certaine  limite,  sont  stables  si  le  fluide  est  parfaitement  d^pourvu  de  viscosit6; 
ils  ne  le  sont  plus  si  le  fluide  est  visqueux  et  si  pen  qu'il  le  soil. 

Gonsid^rons  une  masse  fluide  homogene  animee  originairement  d'un  mou- 
vernent  de  rotation;  imaginons  que  cette  masse  se  contracte  en  se  refroidissanl 
lentenient,  raais  de  fa^on  a  rester  toujours  homogene.  Supposons  que  le  refroi- 
dissement  soit  assez  lent  et  le  frottementinterieur  du  fluide  assez  fort  pour  que 
le  mouvement  de  rotation  reste  le  m£me  dans  les  diverses  portions  du  fluide. 
Dans  ces  conditions  le  fluide  tendra  toujours  a  prendre  une  figure  d'6quiiibre 
s^culairement  stable.  Le  moment  de  la  quantity  de  mouvement  restera  d'ailleurs 
constant. 

Au  d6but,  la  densit6  ^tant  tres  faible,  la  figure  de  la  masse  est  un  ellipsoide  • 
de  revolution  tres  peu  different  djune  sphere.  Le  refroidissement  aura  d'abord 
pour  efFet  d^ugmenter  Paplatissement  de  Pellipsoi'de,  qui  restera  cependant  de 

revolution.  Quand  Paplatissement  sera  devenu  a  peu  pres  6gal  a^?  1' ellipsoide 


I  jo  SUR   L^QUILIBRE   D'UNE   MASSE   FLUIDE   EN   ROTATION. 

ccssera  d'etre  de  revolution  et  devieudra  un  ellipso'ide  de  Jaeobi.  Le  ivfroidis- 
sement  continuant,  la  masse  cessera  d'etre  ellipsoidale;  elle  deviendra  dissy- 
m&trique  par  rapport  an  plan  des  yz  ot  ellc  a  Hoc  torn  la  forme  repnisenlee  dans 
la  figure  page  1 13.  Gomme  nous  Favous  fail  observer  a  propos  de  eette  (i^ure, 
1'ellipsoide  semble  se  oreuser  Increment  dans  sa  partio  ino\enne,  inais  plus 
pres  de  Fun  des  deux  summcts  du  grand  axe;  la  plus  grande  partie  d<»  la 
inati^re  tend  a  se  rapprocher  de  la  forme  sphericjue,  pendant  quo  la  plus 
petite  partie  sort  de  1'ellipsoide  par  un  des  sornmets  du  grand  axe,  eomme  si 
elle  cherchait  a  se  detacher  de  la  masse  principale. 

11  est  difficile  d'annoncer  avoc  oerlitudo  ci^  (}ui  arrivera  eusuitc  si  le  refroi- 
dissement  continue,  inais  il  est  permis  de  supposer  quo  la  masse  ira  en  se 
creusant  de  plus  en  plus,  puis  en  s'elranglanl  dans  la  partie  nioyennu  et  finira 
par  se  partager  en  deux  corps  isol6s. 

On  pourrait  dtre  tentd  de  cliercher  dans  ees  considerations  une  conlirmalion 
ou  une  refutation  de  Phypothese  de  Laplace,  inais  on  ne  doit  pas  oublior  (ju<k 
les  conditions  sont  ici  tr6s  dillercnles,  car  noire  masse  est  homogcno,  tandis 
que  la  n<5buleuse  de  .Laplace  devait  6tre  Ires  fortement  condense'e  vers  l^ 
centre. 

J'ai  cru  nfianmoins  devoir  oxposer  ici  ce  qui  arrive  d'une  masse  homop;ene 
qui  se  contracte  lentement  et  incessammcnl,  car  c'6lait  le  meilleur  mojen  cle 
r^surner  sous  une  forme  un  peu  plus  concrete  les  principnux  rtlsultats  de  c<^ 
long  M6moire  et  de  faire  comprendre  quel  interet  il  y  aurail  a  comblor  les 
lacunes  que  j'j  ai  Iaiss6  subsistor. 


SUR 

L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE 
EN  ROTATION 


Comptes  rendus  de  I 'Academic  des  Sciences,  t.  102,  p.  970-972  (27  avril  1886). 


La  Note  de  M.  Mallhiessen,  inseree  aux  Comptes  reridus  du  12  avril  dernier, 
appelle  de  ma  part  quelques  explications.  J'ai  lu  les  M£moires  cites  (J )  donL  je 
n'avais  pas  connaissance,  et  j'ai  reconnu  que  M.  Matlhiessen  avail  signal^  avant 
MM.  Tail  et  Thomson  1'existence  des  figures  annulaires  d'^quilibre. 

Je  dois  toutefois  faire  observer  que  la  m^thode  du  savant  professeur  de 
Rostock  ne  permet  qu'une  approximation  limit^e  :  elle  est.,  par  cons6quent3 
inf£rieure  a  celle  qu'a  employee  d'abord  Mmo  de  Kovvalewski,  et  que  j'ai  reprise 
ensuile. 

Pour  mieux  faire  comprendre  la  difF6rence  des  deux  m^thodes,  que 
I'Acad6mie  veuille  bien  me  permettre  de  signaler  une  erreur  commise  par 
.VI.  Matthiessen  et  qu'il  n'eut  guere  pu  6viter  avec  les  ressources  analytiques 
dont  on  disposait  il  y  a  quinze  ans. 

Ce  g^ometre  distingue  deux  sortes  d'anneaux  :  Fanneau  a,  dont  la  section 
tn6ridienne  differe  tres  peu  d'un  cercle  et  oii  le  rayon  de  la  section  m^ridienne 
est  tres  petit  par  rapport  an  rayon  de  F6quateur  (c'est  le  soul  dont  je  me  sois 
occup6  et  dont  j'aie  d^moiitre  I'existence),  et  Fanneau  (3  dont  F6paisseur  est 
tres  petite  par  rapport  au  rayon  de  F4quateur;  pendant  que  le  rayon  int&rieur 
de  Fequateur  est  tres  petit  par  rapport  au  rayon  exterieur. 

(r)  On'trouvera  la  liste  de  ccs  Memoires  dans  le  Traite  de  Mecanique  celeste  de  TISSEBAND 
t.  2,  p.  169.  (J.L.). 


1 42  SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE   MASSE   FLUIDE  EN  ROTATION. 

M.  Matthiessen  suppose  quc  la  section  nu'jridienne  de  Faiuieau  (3  dillere  ires 
peu  (Tune  ellipse  ires  aplatio.  Or  on  pout  demontrer  quoPanneau  (3,  i\  supposer 
qu'il  existe,  a  unc  section  mmdienne  (res  diilerenie  Jcl'cllipsc;  carle  maxinium 
do  I'cpaisseur,  loin  de  se  trouver  an  milieu  de  la  largeur  do  Panneau,  so  Irouve, 
au  contraire,  tout  pros  du  bord  exloricur. 

M.  Matthiessen  dit  ^galement  avoir  signale  avanl  inoi  les  deformations  quo 
subisscnt  les  oliipsoides  par  coadensalion  ou  expansion.  Cola  pourraii  faire 
croirc  qu'il  connaissait  les  figures  d'tkjuilibrc  qui  font  Fobjel  do  inou  dernier 
MeSmoire  (Acta  A[ath.}  t.  7?  p.  3/j5)  (').  II  n'on  est  rieu.  M.  Matthiessen  a 
seuloinont  classti  les  iiyuros  qu'il  connaissait  (ellipsoidcs  ei  aniicaux).  en  ch(»r- 
chant  celles  qui  correspondaienl  aux  difl^rentes  valours  du  moment  do  rota- 
tion; mais  il  no  s'ost  pas  preoccupt'j  de  leur  stabililrt.  II  n'a  done  nuilement 
inontre  comment  se  comportcrail  une  masse  iluide  cjui  so  condenserait  en 
restant  homogene,  puisqu'une  pareillo  masse  ne  pourraii  prondre  quo  des 
formes  stables,  11  ne  pouvail  d'ailleurs  le  fairo,  puistjifunc  des  figures  que 
prendrait  cette  masse  en  se  condensant  ne  lui  olait  pas  connue. 

Je  profiterai  de  Voccasion  pour  signaler  un  Memoire  do  M»  LiaponnolV,  do 
Kazan,  public  on  1884?  ®\>  0lJL  ^e  g6oni(M.rc  russe  m'a  dcvanccS  sur  quelqucs 
points.  Absolument  ignorant  de  la  langue  russe,  jo  ne  conuais  encore  ce  travail 
que  par  une  analyse  qu'en  a  clonnee  recemment  M.  Radau  dans  le  Kultvlin 
astronmnique.  Jo  ne  ptiis  clone  que  renvoyer  a  cette  analyse,  mais  jo  mo 
reserve  de  revcnir  plus  lard  sur  co  sujol,  si  PAcudemie  veul  bieu  le  permettzv. 


(l)  OKitwes  dc  //.  Poincare,  cc  Tome  p.  n:>. 


SUR 

UN  THEOREMS  DE  M.  LIAPOUNOFF 
RELATIF  A  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE 


Comptes  rendus  de  I'Academie  des  Sciences,  t.  104,  p.  622-626  (7  mars  1887). 


Lorqu'une  masse  fluide  homogene,  sans  niouvement  de  rotation,  est  soumise 
a  la  loi  de  Newton,  il  est  Evident  qu'une  des  figures  d'6quilibre  est  la  sphere; 
mais  nous  ne  savons  pas  jusqu'a  present  s'il  en  existe  d'autres. 

Nous  ne  savons  m£me  pas  d^montrer  que  la  sphere  est  la  seule  figure  d?6qui- 
libre  stable  ( !). 

II  faut,  pour  1'equilibre  stable,  que  I/int£grale 

w==  ^fht 


atleigne  un  maximum,  L'integration  doit  ^tre  dteadue  a  toutes  les  combinaisons 
de  deux  elements  dr  et  drf  du  volume  de  la  masse  fluide,  et  /*  d4signe  la  dis- 
tance de  ces  deux  Elements. 

Pour  d<£montrer  que  la  sphere  est  la  seule  figure  d^quilibre  stable,  il 
faudrait  done  4tablir  qu'elle  est  la  seule  qui  corresponde  a  un  maximum  relatif 
de  W.  On  ne  sait  pas  le  faire,  mais  M.  Liapounoff  a  dernier  em  eh  t  d6montr6, 
dans  les  Memoires  de  VUniversite  de  Kharkow,  que  la  sphere  correspond  au 
maximum  absolu  de  W. 

(  ')   Voir  aux  Notes,  Masses  jfluidcs  en  rotation  (resuUats  divers)* 


I  54  SUR   UN  TH^OREME  DE  M.   LIAPOUNOFF. 

Je  crois  qu'il  est  possible  do  siniplilier  beaucoup  la  demonstration  do 
M.  Liapounoff,  par  ^introduction  de  considerations  emprunlees  a  PKleelrosta- 
tique,  et  c'est  la  Pobjel  de  la  pnSsenle  Mote. 

i°  II  faul  d'abord  demontrer  que  W  osl  susceptible  d'un  maximum  absolu; 
pour  cela,  je  me  borncrai  a  laire  voir  quo,  si  Ton  so  donne  Ic  volume  T  do  la 
ligure,  on  peut  trouver  une  limitc  suptfrieure  do  W.  En  eflet,  on  a 


V  d^signant  le  polemic!  de  la  masse  lltiide  par  rapport  an  centre  do  gravilo  de 
lament  dr. 

Or  V  esl  manifestement  plus  petit  que  le  potentiel  d'une  sphere  de  volume  T 
par  rapport  *\  son  centre.  On  a  done 

\  <".RHa; 
en  posanl  ;'-7rlVl=  T,  on  en  d6duit 

v> 

\V  <KlVJT. 

W  a  done  un  maximum  absolu.  Nous  nous  conlenlorons  de  eel  apercu  pour 
(kablir  ce  premier  point,  que  M.  Liapounoif  avait  Iaiss6  de  edte. 

2°  Nous  allons,  avant  de  ddmonlrer  le  th6orgme  de  M.  LiapounoO',  tHablir  la 
proposition  suivante  : 

De  Lous  les  conducteurs  de  mdtne  volume  T,  c.'est  la  sphrn*  ijui  a  la  plus 
petite  capacite  electrif/ne, 

Pour  cela,  je  ferai  voir  d'abord  quo  la  capacity  eleclriquo  (1  admot  un 
minimum, 

Consideronsj  en  effct,  un  conducieur  quelconque  dc^  volume  T  el  imaginons 
d'abord  qu'une  quantity  dr6leclricit6;  6galo  a  T,  soit  rrtpauduc  uniform^menl  a 
1'inl^rieur  du  volume  du  conducteur.  L'duergic  poteutiollc  sera  alors 


Si  maintenanl  cette  quantite  d'tttectriciuS  rl  se  met  en  (Hat  d'cquilibrc  elee- 
trostatique  a  la  surface  du  conducteur,  cette  <5nergie  potentiolle  deviendra 

rp(> 

^;  comme  l^quilibre  electrique  est  toujonrs  stable,  on  cJevra  avoir 


Done  C  admet  une  limite  infdrieure. 


SUR   UN   THEOREMS   DE   M.    LIAPOUNOFF.  l45 

3°  Je  dis  maintenant  que  le  minimum  absolu  de  C  correspond  a  la  sphere.  En 
efFet,  pour  que  C  soit  minimum,  il  faut  d'abord  que  sa  premiere  variation  soit 
nulle.  Or,  supposons  que  le  conducteur  se  d^forme  infiniment  peu,  de  fagon 
que  £  soit  1&  distance  de  deux  points  correspondants  du  conducteur  avant  et 
apres  la  deformation,  distance  estim^e  suivant  la  normale.  Si  la  charge  du 
conducteur  est  M,  et  que  p  soit  la  densite  dlectrique  en  un  point  de  la  surface 
du  conducteur,  la  variation  dC  de  la  capacity  sera  donn^e  par  la  formule 

C2  J 

Fint^grale  £tant  tHendue  a  tous  les  6l4ments  d&  de  la  surface  du  conducteur. 
On  a,  d'autre  part, 

,rr  —  C 

II  faut  que.  si  la  variation  dT  du  volume  est  nulle,  la  variation  dC  le  soit 
6galement.  Pour  cela,  il  faut  et  il  suffit  que  p  soit  une  constante,  cjest-a-dire 
que  la  distribution  4lectrique  a  la  surface  du  conducteur  soit  uniforme.  On  ne 
sait  pas  s'il  existe  d'autre  conducteur  que  la  sphere  satisfaisant  a  cette 
condition. 

Mais  il  nous  suffira,  pour  notre  objet,  de  comparer  les  capacit^s  des  conduc- 
teurs  qui  y  satisfont  et  de  montrer  que  celle  de  la  sphere  est  la  plus  petite. 

Supposons  que  le  conducteur  subisse  une  deformation  qui  alt6re  son  volume. 
On  aura,  p  6tant  une  constante, 


ou  bien 


S  d^signant  la  surface  totale  du  conducteur.  Si  le  conducteur  se  d&forme  en 
restant  semblable  a  lui-m£me,  la  capacit6  sera,  par  raison  de  similitude,  pro- 
portionnelle  4  la  racine  cubique  du  volume,  de  sorte  que  1'on  aura 

"C"  =  3  T" 
On  en  d^duit 


Ainsi^  pour  tous  les  conducteurs  a  distribution  uniforme,   la  capacity  est 
H.  P.  —  VII. 


!46  SUR  UN  THEOREME  DE  M.   LIAPOUNOFF. 

proportionnelle  au  carrc1  de  la  surface.  Or,  Sleiner  a  d6montr6  que,  de  loulos 
les  figures  de  mSme  volume,  c'est  la  sphere  qui  a  la  plus  petite  surface;  c'est 
done  elle  qui  a  la  plus  petite  capacitd. 

4°  Je  dis  maintenant  que  la  sphere  correspond  au  maximum  absolu  de  W, 
En  effet,  pour  que  W  atleigne  ce  maximum,  il  faul  d'abord  que  sa  variation 
soil,  nulle  quand  la  figure  subit  une  deformation  qui  n'alterc  pas  le  volume.  Or, 
la  variation  de  W  a  pour  expression 


Pour  que  celte  variation  soit  nulle  en  mfiine  temps  que  JT,  il  faut  el  il  suffit 
que  V  soit  une  constante  en  tous  les  points  de  la  surface,  ce  qui  a  lieu  pour  les 
surfaces  d'6quilibre.  Mais  alors  on  a,  pour  une  deformation  qui  «ltoro  le 
volume, 


Si  1'on  suppose,  en  particulier,  que  la  figure  se  dtiforme  en  restanl  somblable 
a  clle-m<§me,  W  est  proportionnel  a  la  puissance  ~  de  T  ;  on  a  done 


Mais  Pattraction  d'une  figure  cFdquilibre  sur  un  point  exldricur  est  la 
que  celle  d'une  masse  d'6lectricit6  <5gale  a  T,  nipandue  i\  la  surface  de  ctjtte 
figure,  regarded  comme  un  conducteur;  on  a  done 

"i    T2 


On  voit  ainsi  que  W  est  inversentent  proportionnel  a  0,  et  que  la  sphdro, 
qui  correspond  au  minimum  de  C,  doit  corresponds  au  maximum  de  W. 
5°  Dans  le  cas  ou  la  masse  fluide  est  anim6e  djun  niouvement  de  rotation  de 

vitesse  anguiaire  /z,  la  condition  d^quilibre  est  que  V4--^~-  soit  une 
constante  en  tous  les  points  de  la  surface,  ou  que  la  premiere  variation  de 
W  +  —  soit  nulle.  Nous  d(5signons  par  p  la  distance  d'un  point  a  Faxe  de 
rotation,  et  par  I  le  moment  d'inertie*  On  trouve  alors 


SUR 

L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  HETEROGENE 

EN   ROTATION 


Comptes  rendus  de  l^Academie  des  Sciences,  t.  106,  p.  1571-1574  (4  juin  1888). 


Dans  une  retnarquable  These  (i)  presentee  il  y  a  un  an  a  la  Faculty  des 
Sciences  de  Paris,  M.  Hamy  a  obtenu  le  resultal  suivant  : 

Si  une  masse  fhiide  anim6e  d'un  mouvement  de  rotation  est  composee  de 
couches  de  densile's  diff^rentes,  il  ne  peut  pas  arriver  que  les  surfaces  de  s£pa- 
ration  de  deux  couches  cons^eutives  soient  toutes  des  ellipsoi'des. 

Pour  elablir  cette  proposition,  M.  Hamy  commence  par  d6montrer,  a  litre 
de  lemme,  le  th^oreme  suivant  : 

SI  toutes  les  surfaces  de  separation  etaient  des  ellipsoi'des,  tous  ces  ellip- 
soi'des seraient  homofocaux. 

Ce  lemme  est  susceptible  d'unc  generalisation  qui  peat  presenter  quelque 
mtere~t,  moins  peut-^tre  en  raison  du  r^sultat  lui-meme  que  de  la  m<Uhode  qui 
me  Fa  fait  obtenir,  et  qui  est  tout  a  fait  difT^rente  de  celle  de  M.  Hamy. 

Supposons  un  noyau  solide.  dont  la  density  intdrieure  p  varie  djune  maniere 
tout  a  fait  quelconque;  imaginons  que  ce  noyau  soit  reconvert  de  deux  couches 
fluides  superposees;  la  premiere  int^rieure,  de  densit,6  p4 ,  recouvrant  entiere- 
ment  le  noyau  solide,  la  seconde  exterieure,  de  densit^  p2,  recouvrant  entiere- 
ment  la  premiere.  Tout  le  systeme  sera  anim6  djun  mouvement  de  rotation 
commun.  Je  dis  que,  si  les  surfaces  ext^rieures  de  ces  deux  couches  fluides 
sont  toutes  deux  des  ellipso'ides,  ces  ellipso'ides  seront  homofocaux. 

(*)  Journal  de  Mathematiques  pures  et  appliquees,  t,  6,  1890,  p.  69-198. 


148  SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  HETEROGENE  EN  ROTATION. 

Si  j'ai  suppos^  le  noyau  solide,  ce  n'est  pas  que  lo  resultat  ne  soil  encore  vrai 
si  ce  noyau  est  fluide  en  totalitS  ou  en  parlie,  Mais,  si  le  noyau  itait  fluide,  sa 
densite  interieure  ne  pourrait  pas  varier  d'une  fagon  quelconque  et  devrait 
satisfaire  aux  Equations  d'^quilibre.  Je  n'ai  done  suppose"  le  noyau  solide  que 
pour  donner  an  resultat  toute  sa  gen£ralit6. 

Soient 

a,  y  et  s  les  coordonne"es  reclangulaires  d'un  point  quelconque; 
w  la  vitesse  de  rotation; 
r  la  dislance  du  point  (#,  y,  z]  a  Paxe  de  rotation. 

Soient  F2  Fellipso'ide  qui  limite  ext^rieurement  la  deuxieme  couche  fluide  et 
par  consequent  tout  le  systeme  et  E,  Pellipsoi'de  qai  s^pare  la  premiere  couche 
fluide  de  la  seconde. 

Soient  A,  JUL,  v  les  coordonn^es  elliptiques  d'un  point  de  Pespace  par  rappoi^t 
a  Pellipsoi'de  E4  ;  A7,  p.^,  v'  les  coordonndes  elliptiques  de  ce  mdme  point  par 
rapport  a  Pellipsoide  E2. 

Le  potentiel  newtonien  total  du  systeme  se  composera  : 

i°  du  potentiel  de  Pellipsoide  E2  (suppos6  plein,  homogene  et  de  densit^  pL>)  : 
nous  Pappellerons  V2); 

a°  du  potentiel  d'une  couche  comprise  entre  Pellipsoide  E1  et  la  surface  du 
noyau  solide  avec  la  densit^  p4  —  p2  ; 

3°  du  potentiel  djune  matiere  attirante  remplissant  le  noyau  solide  avec  la 
densit^  variable  p  —  p2. 

Nous  appellerons  Vi  la  somme  des  deux  dernieres  parties,  de  sorie  que  le 
p.otentiel  total  sera  £gal  a  V1  4-  V2. 

On  doit  remarquer  que  la  fonction  V,,  a  Pintdrieur  de  E!  n'est  pas  la  conti- 
nuation analytique  de  la  fonction  V^  a  Pext^rieur  de  EA  ;  de  merne  V2  est  repr£~ 
sent^  par  deux  fonctions  analytiques  differentes  ^  Pint^rieur  et  a  Pext^rieur 
deE,. 

Liquation  d'dquilibre  sJ6crit 

ti)  2  /-2 

Vi-hVs-+-  •  -  =  const., 


et  elle  doit  ^tre  satisfaite  (avec  deux  valeurs  differentes  de  la  constante)  a  la 
surface  de  EI  et  a  celle  de  E2. 

La  fonction  -  —  est  un  polynome  du  second  degr^  x^  y,  z\  la  fonction  V2  est 


SUR  L'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  HETEROGENE  EN  ROTATION.  149 

6gale  aussi  a  un  polynome  du  second  degr£  en  #,  y,  z  a  Fint6rieur  et  a  la  sur- 
face de  E2. 

Nous  devons  conclure  que  V<  se  r^duit  a  un  polynome  du  second  degre  en 
xt  y->  z  a  la  surface  de  EL  et  un  autre  poiynome  du  second  degre  en  x^  y,  z  a  la 
surface  de  E2. 

En  partant  de  1'ellipsoide  Ei  et  des  coordonn^es  elliptiques  >.,  p.,  v,'  on  peut 
former  une  suite  ind^finie  de  fonctions  de  Lame  :  R0,  RI  7  -  -  . ,  R,z;  R,*  sera  un 
polynome  en  A,  />.-  —  6a,  /A-  —  c'2  (b-  et  c2  conservant  le  sens  habituel  donn^ 
a  ces  notations  dans  la  th6orie  des  fonctions  de  Lam4).  A  Rn  correspondront 
deux  fonctions  conjugu^es  Mrt  et  N^  obtenues  en  remplacant,  dans  R*.,  /.  par  JJL 
et  par  v,  et  la  fonction 


II  y  a  une  seule  fonction  de  Lame  de  degre  z£ro  qui  est  K.n=  i  :  nous  lui 
donnerons  Findice  z^ro  ;  il  y  en  a  trois  de  degr£  i  :  nous  leur  donnerons  les 
indices  i,  2,  3;  il  y  en  a  cinq  de  degr£  2  :  nous  leur  donnerons  les  indices  47 
5,6,7,8. 

Avec  Pellipsoide  E2  et  les  coordonn^es  elliptiques  V,  p/,  vr7  on  formera  de 
meme  les  fonctions  de  Lam6  R'rt,  M^,  N^.  S'n. 

De  ce  que  V^  est  6gal  a  la  surface  de  EI  a  un  polynome  du  second  degr^  en 
57,  y^  z,  on  conclut  qu'on  a  a  Pexterieur  de  EI  : 


les  An  6tant  des  coefficients  constants, 

De  meme,  V4  elant  encore  £gal  a  un  polynome  du  second  degre  a  la  sur- 
face E2,  on  devra  avoir  a  1'ext^rieur  de  E2  : 


les  A!n  4tant  de  nouveaux  coefficients  constants* 
On  a  done  Tidentit^ 


et  c'est  cette  identity  qui  ne  peut  avoir  lieu  que  si  Ei  et  E2  sont  homofocaux. 


l5o  SUR   L'EQUILIBRE   D'UNE  MASSE  HETEROGENE  EN   ROTATION. 

A  vrai  dire,  Tidentit^  ( i )  n'est  d6montr£e  que  pour  les  valeurs  r^elles  de  x,  y 
et  3,  el  quaad  le  point  (#,  y,  z]  est  exterieur  a  E2.  Mais,  quand  deux  fonctions 
aualytiques  sont  identiques  tout  le  long  d'une  ligne  continue,  elles  restent 
identiques  pour  toutes  les  valeurs  r^elles  et  imaginaires  des  variables.  L'iden- 
tit6  ( r )  ne  souffre  done  aucune  exception. 

Cela  pose,  observons  que  le  premier  membre  de  ( i )  n'est  pas  une  fonction 
uniforme  de  ,#,  y  et  z,  mais  qu'il  ad  met  une  infinite  de  valeurs,  lesquelles 
s'Schangent  entre  elles  quand  le  point  (#,  y,  z}  appartient  a  la  developpable 
circonscrite  aux  ellipsoides  homofocaux  a  EI. 

De  meme,  le  second  membre  de  (i)  admettre  une  infinite  de  valeurs  qui 
s'echangeront  enlre  elles  quand  le  point  (x,y,  z]  appartiendra  a  la  d^velop- 
pable  circonscrite  aux  ellipsoides  homofocaux  a  E2. 

Mais,  les  deux  membres  de  ( i )  devanl  £tre  idenliques,  ces  deux  d<^velop- 
pables  devront  coincider,  ce  qui  prouve  que  EI  et  E2  "sont  homofocaux.  La 

reponse  doit  £tre  affirmative. 

c.  Q.  F.  D. 

Une  question  se  pose  alors  naturellemenl.  Est-il  possible  d'imaginer  a  Fint6- 
rieur  du  noyau  solide  une  distribution  de  la  density  telle  que  les  deux  couches 
itluides  prennent  efFectivement  la  forme  de  deux  ellipsoides  homofocaux  ?  La 
reponse  doit  £tre  affirmative. 

Le  resultat  obtenu  dans  celte  Note  peut  £tre  g^neralis^  de  la  fa$on  suivante. 
Si  un  noyau  solide  quelconque  est  reconvert  de  n  couches  Guides  superposes, 
et  que  tout  le  systeme  soit  anim6  d'un  mouvement  de  rotation  commun,  si  la 
surface  exterieure  de  la  derniere  couche  fluide  ainsi  que  les  surfaces  de  s6pa- 
ration  de  deux  couches  fluides  consecutives  sont  toutes  des  ellipsoides,  tous  ces 
ellipsoides  sont  homofocaux. 


SUR  L'fiQUlLIBRE  D'UN  FLUIDE 
EN  ROTATION 


Bulletin  astronomique,  t.  16,  p.   161-169  (mai  1893). 


Dans  ce  qui  va  suivre,  je  consid^rerai  Fequilibre  d'une  masse  fluide  homo- 
gene  en  rotation,  ob^issant  a  la  loi  de  Newton.  La  masse  etant  homogene,  je 
prendrai  sa  densit^  pour  unit£,  de  telle  sorte  que  le  potentiel  Vs'ecrira 


r  £tant  la  distance  de  P6l6ment  de  volume  dr*  au  point  attire. 
J'appellerai  W  T4nergie  potentielle 

W-J/V*. 

Tint^gration  ^tant  etendue  4  tous  les  Elements  de  volume  di:  dela  masse  fluide; 
le  travail  viriuel  de  Pattraction  sera  4gal  a  la  variation  3W. 

Si  a)  est  la  vitesse  de  rotation  et  que  Paxe  de  rotation  soit  Paxe  des  z,  je 
poserai 


de  telle  sorte  qu'on  aura 

AU  =  2w2—  4^. 

La  condition  d'equilibre  est  que  Pon  ait  a  la  surface 

U  =  U0} 


!52  SUR   L'EQUILIBRE  D'UN   FLUfDE   EN   ROTATION, 

U0  etant  une  constante.  Dans  le  cas  oii  il  n'y  a  pas  de  rotation,  co  est  nul  et  Ton 

doit  avoir  a  la  surface 

V  =  V0, 

V0  6tant  une  constante. 

Si  Ton  suppose  w  =  o,  on  sait  que  la  sphere  est  une  figure  d'iquilibre  ;  mais 
on  ne  sait  pas  si  c'est  la  seule  figure  d^quilibre  possible  ('  );  on  ne  sait  meme 
pas  si  c'est  la  seuje  figure  stable  possible,  c'est-a-dire  si  W  n'a  pas  d'autre 
maximum  relatif  que  celui  qui  correspond  a  la  sphere.  En  revanche 
M.  Liapounoff  a  d^monfcre  que  la  sphere  correspond  au  maximum  absolu 
de  W.  Je  voudrais  d'abord  rappeler  rapidement  la  forme  simple  que  j'ai 
donn^e  a  la  demonstration  du  th^oreme  de  Liapounoff. 

Je  designerai  par  T  le  volume  de  la  masse  fluide. 

i°  Le  potentiel  d'un  volume  quelconque  par  rapport  a  un  point  quelconque 
est  plus  petit  que  le  potentiel  d'une  sphere  de  meme  volume  par  rapport  a  son 

centre;  on  aura  done 

V 

en  posant 

T 

2°  On  aura 


W 


=  i   rV 
2  J 


Done  I'&iergiepotentielle  Wd'une  masse  fluide  de  volume  T  a  un  maximum. 
II  reste  a  d^montrer  que  ce  maximum  ne  peut  £tre  atteint  que  pour  la  sphere. 

3°  Je  dis  maintenant  que  la  capacity  ^lectrostatique  C  d'un  conducteur  de 
volume  T  a  un  minimum.  Chargeons  en  effet  ce  conducteur  d'une  charge  6lec~ 
trique  egale  a  T?  on  aura 

—  <r-W<-TR*T         d'ou         C^JL.  G->~R 

2C^          ^J  '  ^   27CR2?  ^   3        ' 

II  reste  &  montrer  que  ce  minimum  ne  peut  etre  atteint  que  pour  la  sphere. 
4°  Soit,  en  effet,  M  la  charge  du  conducteur,  |m  la  density  61ectrique  sur 
F&l&oient  de  surface  dv,  de  telle  fagon  que 

M  = 


(l)  Voir  aux  Notes,  Masses  fluides  en  rotation  (resultats  divers). 


SUR   L'EQUILIBRE  D'UN   FLUIDE  EN  ROTATION.  l53 

Supposons  que  le  conducteur  se  d^forme  de  lelle  facon  que  le  centre  de 
gravit^  de  Foment  da-  subisse  un  petit  deplaeement  dont  la  projection  sur  la 
normale  a  l'6I6ment  de  sera  £gale  a  £;  alors  la  capacit£  et  le  volume  subiront 
des  accroissements  dC  et  dT  et  Ton  aura 


Comme  je  suppose  C  minimum,  liquation  dT  =  o  doit  entrainer  dC  =  o, 
et  Ton  doit  avoir 


M 
=  const.  =  --, 


S  £tantla  surface  du  conducteur;  d'ou  si  dT  n'est  pas  mil, 


Mais  si  le  conducteur  se  dilate,  en  restant  semblable  a  lui-m£me,  la  capacite 
varie  en  raison  directe  de  la  racine  cubique  du  volume,  en  sorte  que 

(  \  —  —  I  — 

(I)  G    ""  3    T  " 

On  en  deduit 

G=  ES7T 

Or,  parmi  tous  les  corps  de  m£me  volume,  celui  qui  a  la  plus  petite  surface 
est  la  sphere;  done  celui  qui  a  la  plus  petite  capacit6  est  la  sphere. 

c.  Q.  F.  B. 
On  a  done 

OR- 

5°  Les  formules  pr£c6dentes  supposent  que  la  capaeit£  est  minimum.  Si  elle 
n'a  pas  atteint  son  minimum,  fx  ne  sera  plus  une  constante,  mais  si  JJLO  et  pii 
representent  la  plus  grande  et  la  plus  petite  valeur  de  j^,  on  aura 


Si  le  corps  est  une  forme  d'^quilibre,  de  telle  sorte  qu'a  la  surface  on  ait 


on  aura 

T  =  GV0, 


Si  je  d6signe  par  F0  et  FI  la  plus  grande  et  la  plus  petite  valeur  de  Pattrac- 
tion  a  la  surface  du  corps,  on  aura,  en  supposant  M  =  T3 


H.  p.  —  VII. 


1 54  SUR  L'EQUILIBRE  D'UN  FLUIDE  EN  ROTATION. 

d'ou 


ou,  a  cause  de  la  relation  (i); 

F2   ^*-    ^  —  XT'      -^   f72 
1   "\    Q         *  0  "^--s  *  0* 

6°  Nous  avons  vu  que  W  a  un  maximum;  je  veux  maintenant  demontrer  que 
ce  maximum  ne  peut  £tre  atteinl  que  pour  la  sphere  (Vest  le  th^oreme  de 
M.  LiapounofF). 

Supposons,  en  effet,  que  notre  corps  se  d^forme;  nous  aurons 


dW 


=  r 


Pour  que  W  soil  maximum,   il  faut  que  dW  s'annule   toutes  les   fois  que 

dT  =  o ;  et,  pour  cela,  il  faut  que  la  valeur  de  V  a  la  surface  se  reduise  a  une 

constante  V0 ;  c'est  ce  que  nous  savions 

Si  maintenant  dT  n'est  pas  nul,  on  aura 


D'autre  part,  si  le  corps  reste  semblable  a  lui-meme,  W  sera  proportionnel 
a  la  puissance  ^  de  T,  c'est-a-dire  qu'on  aura 

3 


dW  _  5  dT 

"W  ~"  3  T' 


3    T2 

ou        W  =  ~~. 

5    G 


De  tous  les  corps  de  volume  T,  la  sphere  ayant  la  plus  petite  capacity  aura  la 
plus  grande  (kiergie  W.  c.  Q.  F.  D. 

Cherchons  maintenanl  a  etendre  ces  r^sullats  au  cas  ou  ily  a  un  mouvement 
de  rotation.  Nous  avons  encore 

dW  =  I'VZ.dG. 

D'autre  part,  si  J  est  le  moment  d'inertie,  on  aura 

r  o32  r 

dJ^U^-hy^da,        d'ou        dW  -h  —  dJ  =  /  U $d<r. 

J  '2>  J 

Pour  qu'il  y  ait  6quilibre,  il  faut  que  dW  +—d3  soil  nul  toutes  les  fois  que 

dT  =  o;  il  faut  done  que  la  valeur  de  U  a  la  surface  se  reduise  a  une  constante 
U0;  c'est  ce  que  nous  savions  d6ja. 


SUR  L'EQUILIBRE  D'UN  FLUIDS  EN  ROTATION.  i55 

Si  alors  dT  n'est  pas  nul,  on  a 


~ 

2 


D'autre  part,  si  le  corps  reste  semblable  a  lui-meme,  J  est  comme  W  pro- 
portionnel  a  la  puissance  ^  de  T,  de  sorte  que 


d'ou 

(2)  WH-~J 

De  cette  formule  on  peut  tirer  diflferentes  consequences. 
i°  Soient  V  le  potentiel  du  a  Tattraclion  de  notre  masse  fluide  et  V  celui 
qui  serait  du  a  une  charge  61ectrique  £gale  a  T  et  qui  serait  en  ^quilibre  a  la 

surface  du  corps  regarde  comme  un  conducteur. 

T 
A.  la  surface  du  corps,  V7  aura  la  valeur  constante  -^  • 

Soit  une  sphere  de  rayon  tres  grand  dont  le  centre  sera  fixe,  mais  dont  nous 
ferons  varier  le  rayon.  On  aura,  en  6tendant  les  integrates  a  tous  les  £l6ments 
d<?  de  la  surface  de  cette  sphere, 

rdv  ,      r^v'  .  _,        r^cv  —  V)  . 

J  d^d*=J  ^d*  =  -^         J         dn        d*  =  °- 

On  en  conclut  que  la  valeur  inoyenne  de  V  —  Vr  a  la  surface  de  la  sphere  est 
ind^pendante  du  rayon  de  cette  sphere.  Or,  cette  valeur  doit  s'annuler  a 
1'infini;  done  cette  valeur  moyenne  est  toujours  nulle.  Done  V  —  V'  ne  peut 
etre  ni  toujours  posilif,  ni  toujours  negatif. 

Or,  si  V  —  V  etait  toujours  positif  (ou  toujours  negatif)  a  la  surface  du 
corps,  il  serait  toujours  positif  (ou  toujours  negatif)  a  1'exterieur  du  corps. 
Done  la  valeur  constante  de  V  doit  etre  comprise  entre  le  maximum  et  le 
minimum  de  V. 

Soient  r0  la  plus  grande  distance  du  corps  a  1'axe  de  rotation  et  r4  la  plus  petite 
distance.  Pour  des  figures  d'£quilibre  telle  que  les  ellipsoi'des  de  Mac  Laurin 
et  de  Jacobipar  exemple,  Taxe  de  rotation  rencontre  la  surface  du  corps  et  r< 
est  nul  ;  mais  il  n'en  serait  plus  de  m£me  pour  une  figure  annulaire  d^quilibre. 

On  a  alors  £  la  surface 


i56  SUR  L'EQUILIBRE  D'UN  FUIIDE  EN  ROTATION. 

et  par  consequent 


w-rr 


Done,  d'apres  le  r^sullal  obtenu  plus  haul, 


T 


2  (j  2 

d'oii  nous  deduirons  les  megaliths 

3  T2       3     ,  ,  eo*         3  T2       3 


et  dans  tons  les  cas 


3  T*  ^  ....       o)2 

-  TT  <Wn J. 

5   G  2 


Ce  sont  des  relations  entre  l^nergie  polentielle  du  corps,  son  moment 
d'inertie,  son  volume,  sa  capacity  ^lectrostalique,  el  7",,,  c'est-Si-dire  ce  qu'on 
pourrait  appeler  le  rayon  de  Pequateur, 

2°  D'apres  ce  que  nous  avons  vu  plus  haul,  AU  est  nogatif  si  co2  <  271,  nul  si 
ot)2  —  air,  positif  si  co2>27r.  Dans  le  premier  cas,  U  peut  avoir  un  maximum, 
mais  pas  de  minimum;  dans  le  second  cas,  U  ne  peut  avoir  ni  maximum  ni 
minimum;  dans  le  troisieme  cas,  U  peut  avoir  un  minimum,  mais  pas  de 
maximum* 

J'ai  demontr<§  ailleurs  (Bull,  astron.,  t.  2,  p.  109)  (4)  que  dans  les  deux 
derniers  cas  F^quilibre  ne  saurait  fitre  stable. 

Dans  le  premier  cas7  on  a  U  <  U0  a  Tinterieur  du  corps ;  dans  le  second  cas 
on  a  U  =  U07  dans  le  troisieme  on  a  U  >  U0. 

Or 


dans  le  premier  cas,  on  a  done 

CO2 

2 

dans  le  second  : 


dans  le  troisieme  : 


~J<U0T. 


(l)  GEuvres  de  ff.  Poincare,  ce  Tome,  p.  17. 


SUR  L'EQUILIBRE  D"UN  FLUIDE  EN  ROTATION.  167 

En  rapprochant  de  la  forumule  (2),  on  voit  que  : 
si  c*>2<;  27T5  on  a 

W>  0>2J; 

si  co2  =  27i,  on  a 

W=w2J; 
si  co2>  27Tj  on  a 

W<  w2  J. 

3°  Je  suppose  que  o>  varie  (Tune  maniere  continue  ainsi  que  la  figure  d'equi- 
libre  (le  volume  T  demeurant  constant  bien  enlendu). 

La  figure  devant  satisfaire  a  la  condition  d'^quilibre,  on  aura 


et  par  consequent,  en  differentiant  liquation  (2), 

3 


Cela  nous  montre  que  U0  croit  avec  co. 

Ce  r£sultat  est  vrai  ponr  toutes  les  figures  d'equilibre,  mais  pour  les 
figures  d'6quilibrc  qui  rencontrent  Paxe  de  rotation,  il  pent  s'enoncer  aulre- 
ment  :  le  potentiel  au  pole  croit  quand  la  vitesse  de  rotation  augmente. 

4°  Pour  les  figures  d^quilihre  qui  rencontrent  Faxe  de  rotation,  U0  £tant  le 
potentiel  au  pole  est,  d'apres  ce  que  nous  avons  vu  au  d6but?  plus  petit  que 


Done  U0  ne  peut  croitre  indefiniment,  et  cela  nous  fait  deja  prevoir  que  w  ne 
peut  non  plus  croitre  ind6finiment. 

Pour  le  demontrer,  je  pars  de  Pegalit£  suivante,  consequence  immediate  de 

celle  que  je  viens  d'etablir 

/d&  __  3_T    r  dVo 
o)  ~~    5    J    w-J 

Soit  ii  la  plus  petite  valeur  de  o>2  J,  il  vient 

^        /          //TJft    <**    -Tim-r-  * 

03         5  O ,/  o  Q 

Pour  que  w  puisse  croitre  ind^finiment,  il  faudrait  que  Q  fut  nul;  c'est-^i-dire 
que  quand  &>  croit  ind6finiment7  oo2  J  tende  vers  zero. 

Or,  des  que  <k>  a  d^pass^  la  valeur  v/27rj  on  a  W<co2J5  done  W  devrait 
aussi  tendre  vers  z^ro.  Done 


1  58  SUR  l/EQUILIBRE  D'UN  FLUIDE   EN  ROTATION. 

devrait  lendre  vers  z^ro.  Mais  cela  n'est  pas  possible  puisque  U0  croit  avec  o>. 
D'oii  la  conclusion  suivanie  (<)  : 

Quand  on  fera  varier  d'une  manicre  continue  la  vitesse  w  ainsi  que  la  figure 
d'6quilibre,  de  deux  choses  Tune  :  ou  bien  la  vitesse  GO,  apres  avoir  cru,  finira 
par  d^croitre;  ou  bien  la  figure  d'^quilibre  cessera  a  tin  certain  moment  de 
rencontrer  1'axe  de  rotation. 

C'est  ainsi  que,  si  Ton  suit  la  s6rie  des  ellipsoides  de  revolution,  w2  croit 
depuis  z£ro  jusqu'a  4^  X  0,1  12,  et  d^croit  ensuite  jusqu'a  zero;  de  meme  si 
Ton  suit  la  s^rie  des  ellipsoides  de  Jacobi,  co-  croit  depuis  z£ro  jusqu'^. 
4?r  x  0,098,  et  d^croit  ensuite  jusqu'a  z^ro, 

Je  dois  ajouter  que  la  demonstration  qui  precede  n'exclut  pas  1'hypothese 
suivante  :  w  pourrait  croitre  au  dela  de  toute  limite  sans  que  la  figure  cessat  de 
rencontrer  Paxe  de  rotation,  mais  a  la  condition  de  croitre  parunes^rie  d?oscil- 
lations  en  prdsenlant  une  infinite  de  maxima  ou  de  minima. 

J'ajouterai  que  si  W  H  --  J  est  maximum  (ce  qui  est  une  condition  suffi- 

sante,  mais  non  n^cessaire  pour  la  stability  de  1'^quilibre),  J  va  en  croissant 
avec  W. 

Soient,  en  effet,  co  el  a/  deux  valeurs,  tres  voisines,  de  la  vitesse  de  rotation  ; 

> 

soient  W  cl  W,  J  el  J'  les  valeurs  correspondantes  de  Fdnergie  et  du  moment 
d'inerlie.  Comme  W  H  --  J  est  maximum,  on  aura 

2 


Comme  W'H  --  P  est  de  son  c6te  maximum,  on  aura 


d?ou,  en  retranchant  ces  deux  in^galit^s, 


ou 


C.    Q.    F.    D. 


(l)  Voir  aux  Notes,  Masses  fluides  en  rotation  (r6sultats  divers). 


SUR 

LA  STABILITE  DE  L'EQUILIBRE  DES  FIGURES 

PIRIFORMES  AFFECTEES  PAR  UNE  MASSE  FLUIDE 

EN  ROTATION  0) 


Proceedings  of  the  Royal  Society  of  London,  vol.  69,  p.  i^8-i^g  (29  octobre  1901). 


(Resume.) 

'  Pai  publi6  autrefois  dans  le  Tome  7  des  Ada  Mathematica  un  Mdmoire  (2) 
ou  j'^tudie  diverses  figures  d'^quilibre  nouvelles  d'une  masse  fluide  homogene 
en  rotation.  Presque  toutes  ces  figures  sont  inslables;  une  d'elles  cependant, 
qui  est  piriforme  (3),  est  tres  probablement  stable.  Mais  la  preuve  directe  de 
cette  stabilite  ne  pourrait  etre  obtenue  que  par  de  longs  calculs.  Le  but  du 
present  travail  est  de  faciliter  ces  calculs,  en  donnant  a  la  condition  destabilil<§ 
une  for-nae  analytique  aussi  simple  que  possible.  La  question  cependant  reste 
ind^cise,  parce  que  les  formules  analytiques  n'ont  pas  6te  r^duites  en  chifFres. 
II  failait  d'abord  obienir  une  expression  de  F^nergie  de  gravitation  d'une 
pareille  figure  en  poussant  Fapproximation  plus  loin  qu'on  ne  Favait  fait 
jusqu'ici.  L'emploi  des  fonctions  de  Lam£  peut  conduire  an  r^sultat.  mais  on 
se  trouve  en  presence  d?une  petite  difficult^.  Le  potentiel  d'un  ellipsoide,  ou 


(*)  Received  October,  29,  1901. 

<2}  QSuvr&s  de  ff.  Poincare^  ce  Tome,  p. 

(3)  Voir  aux  Notes,  Figures  piriformes. 


l6o  SUR  LA  STABILITY  DE  L'^QUILIBRE   DES  FIGURES  PIRIFORMES. 

d'une  couche  ellipsoidale,  affecte  des  formes  analytiques  diffdrentes  selon  que 
le  point  envisage  est  a  Finterieur  ou  a  Pext&rieur  de  Fellipsoide.  II  en  r^sulte 

que  dans  chacune  des  integrates  il  faudrait  donnera  la  fonctionsous  le  signe  /  , 

tantot  une  forme  pour  les  parties  de  la  surface  piriforme  qui  sont  au-dessous 
de  la  surface  de  Pellipsoide,  tantot  une  autre  forme  pour  les  parlies  qui  sont 
au~dessus.  Mais  j'ai  reconnu  que  cette  difficulle  est  purement  artificielle  et 
qu'on  obtiendra  encore  un  r^sultaL  final  correct  en  donnant  a  ces  fonctions 

sou-s  le  signe  /  ,  soit  toujours  la  premiere  forme,  soit  toujours  la  seconde.  En 

op^rant  de  la  sorte  on  commet  une  erreur  sur  chacune  des  integrates,  mais  ces 
erreurs  se  compensent  completement  dans  la  somme  des  intdgrales. 

Je  me  suis  attach^  ensuite  ^L  6crire  Fin<5galit^  qui  exprime  la  condition  de 
stability,  et  a  r^duire  aux  integrates  ellipliques  les  plus  simples  toutes  les  i 
grales  qui  figurent  dans  cette  in 


SUR 

LA  STABILITY  DE  L'EQUILIBRE  DES  FIGURES 

PIRIFORMES  AFFECTEES  PAR  UNE  MASSE  FLUIDE 

EN  ROTATION  (') 


Philosophical  Transactiojis,  A,  t.  198,  p.  333-373  (29  octobre  1901). 


Introduction. 

J'ai  public  aulrefois  dans  le  Tome  7  des  A  eta  Mathemattca  (2)  un  M^moire 
sur  F^quilibre  d'une  masse  Guide  en  rotation.  C'est  a  ce  M<§moire  que  je  ren- 
verrai  souvent  dans  la  suite  en  £erivant  simplement  Acta.  Dans  ce  M^moire  je 
d^cris  en  particulier  une  figure  d'6quilibre  particuliere  qui  est  piriforniej  et 
que  pour  celte  raison  on  peut  appeler  la  poire  (pear-shaped  figure). 

Cette  figure  est-elle  stable?  La  question  ne  peut  pas  £tre  regard^e  comme 
enlierement  r^solue.  En  effet,  corame  I'a  fait  remarquer  M.  Schwarzschild,  le 
principe  de  l'6changc  des  stabilit^s  ne  peut  pas  £tre  appliqu^  a  ce  cas  sans 
modification  (3). 

La  condition  de  stability  peut  etre  presentee  sous  deux  formes  diff^renles. 
Soient  U  Tenergie  potentielle  de  la  masse  fluide  (ou  pluldt  ce  que  M.  Darwin 
appelle  F^nergie  perdue),  w  la  vitesse  de  rotation,  J  le  moment  d'inertie.  La 

quantity  U  +  ~6>-J  doit  £lre  minimum,  6)  etant  regards  comme  donne* 


(!)  Received  October  2;^  Head  JNovember  ai,  HJOL 
(2)  QEuvrcs  de  II.  Poincare,  ce  Tome,  p.  4°- 
(3j   Voir  aux  Notes,  Figures  pirif armies. 

H.  p.  —  VII, 


162  SUR   LA   STABILITE   DE   l/EQUILIBRE   DES   FIGURES   PIRIFORMES. 

La  condition  est  necessaire  et  suffisante  pour  la  stability  seculaire,  si  1'on 
suppose  que  la  masse  est  entrainee  par  frottement  par  un  axe  de  rotation  qui 
la  traverse  de  part  en  part  comme  dans  les  experiences  de  Plateau.  Elle  esl 
suffisante,  mais  elle  n'est  plus  necessaire,  si  Ton  suppose  que  la  masse  est 
isolee  dans  Fespaee  (cf.  Acta,  p.  298,  290,  867,  36g). 

Voici  la  seconde  forme.  Soitjn  =  coJ,  moment  de  rotation  de  la  masse 
fluide,  la  quantity  U —  ~  devraetre  minimum ,  JJL  etant  re  garde  comme  domic. 

La  condition  ainsi  6noncoe  est  necessaire  et  sufiisante,  si  1'on  suppose  la 
masse  isole*e  dans  Pespace. 

Cela  pose,  consid^rons  la  s6rie  des  ellipsoides  de  Jacobi,  et  d'autre  part  la 
s$rie  des  figures  piriformes.  Nous  aurons  une  figure  de  bifurcation  qui  appar- 
tiendra  a  la  fois  aux  deux  series,  et  que  nous  appellerons  le  jacobien  critique. 

Les  figures  piriformes  n'admettent  pas  le  plan  des  xy  pour  plan  de  sym6- 
trie;  on  doit  done  regarder  connive  distinctes  deux  de  ces  figures,  sym^triques 
Fune  de  Pautre  par  rapport  a  ce  plan.  De  sorte  que  les  figures  de  la  s6rie  piri- 
forme  sont  sym^triques  deux,  a  deux,  a  Perception  bien  entendu  du  jacobien 
critique,  qui  admet  le  plan  des  xy  pour  plan  de  symetrie.  11  est  clair  que  pour 
deux  figures  sym^triques  les  valeurs  de  w,  de  J  et  de  U  sont  les  m6mes. 

L7ensemble  des  deux,  series  pent  ^tre  repr6sent6  schdmatiquement  par  une 
droite  repr^sentant  les  ellipsoides  de  Jacobi,  et  par  une  courbe  ay  ant  cette 
droite  pour  axe  de  sym6trie,  et  repr6sentant  les  figures  piriformes.  Le  point 
d'intersectioa  de  la  droite  et  de  la  courbe  repr^sente  alors  le  jacobien  critique, 
et  deux  points  sym^triques  de  la  courbe  repr^sentent  deux  figures  symelriques. 

Gela  pos<§,  si  nous  suivons  la  serie  des  jacobiens  en  allant  du  mo  ins  allong6 
au  plus  allong6,  nous  savons  que  w  va  en  d^croissant,  tandis  que  coj^r:  p.  va  en 
croissant. 

Si  nous  suivons  la  s^rie  piriforme,  il  est  Evident  que  quand  nous  atteindrons 
le  jacobien  critique,  co  atteindra,  soit  un  minimum,  soit  un  maximum,  et  il  en 
est  de  me" me  de  w  J. 

Si  nous  adoptons  le  premier  critere  de  la  stability  fond6  sur  les  minima  de  la 

fonction  UH — o)3J,  le  principe  do  P^change  des  stabilit^s  entendu  comme  il 
doitPetre,  nous  enseigne  ceci. 

La 'condition  ndcessaire  et  sufiisante  pour  la  stability  s^culaire,  si  Pon  sup- 
posait  la  masse  entrainee  par  la  rotation  dyun  axe  fixe  comme  dans  les  exp<5- 


SUR   LA   STABILITE   DE  L'EQUILIBRE   DES  FIGURES   PIRIFORMES.  l63 

riences  de  Plateau,  serait  que  o>  soil  maximum,  c?est-a-dire  plus  grand  pour  le 
jacobien  critique  que  pour  les  autres  figures  piriformes. 

Si  GO  est  maximum,  oa  aurail  pour  une  valeur  donnee  de  &j  sup^rieure  au 
maximum  une  seule  figure  d'equilibre,  un  jacobien  stable;  pour  une  valeur 
donnee  de  GO  iiif^rieure  au  maximum  on  en  aura  trois,  un.  jacobien  instable  et 
deux  figures  piriformes  stables. 

Si,  au  contraire,  GO  est  minimum,  on  aurait  pour  une  valeur  donnee  de  o,>  supe- 
rieure  au  minimum  trois  figures  dj<kjuilibre,  deux  piriformes  et  instables,  et 
une  ellipsoidale  et  stable;  pour  une  valeur  inferieure  au  minimum  on  n'aurait 
plus  qu'une  figure  d'^quilibre  ellipsoi'dale  et  instable. 

Si  maintenant  nous  supposons  la  masse  isolee  dans  Pespace,  la  condition 
reste  suffisante,  mais  elle  n'est  plus  n^cessaire.  Pour  avoir  une  condition 
n^cessaire  et  suffisante,  il  faut  avoir  recours  an  second  crttere  fond<£  sur  les 

minima  de  U —  ~  Le  principe  de  Pdchange  des  stabilit^s  nous  apprend  alors 

que  la  condition  necessaire  et  suffisanle  de  la  stability  seculaire  est  que  o>J 
soit  minimum^  c'est-a-dire  plus  petit  pour  le  jacobien  critique  que  pour  les 
autres  figures  piriformes. 

Si  GO  J  est  minimum  on  aura  pour  une  valeur  donnee  de  «,1  : 

inf^rieure  au  minimum  :  un  jacobien  stable; 

sup^rieure  au   minimum   :    un  jacobien   instable,   deux    figures    piriformes, 
stables  et  sym6triques  Fune  de  Fautre. 

Si  o)  J  est  maximum  on  aura  pour  une  valeur  donnee  de  ^  J  : 

inferieure  au  maximum  :  un   jacobien    stable    et    deux    figures   piriformes, 

instables  et  sym^triques  Fune  de  Fautre; 
sup^rieure  au  maximum  :  un  jacobien  instable. 

La  question  a  r£soudre  est  done  de  savoir  si  6>J  est  maximum  on  minimum; 
mais  elle  ne  peut  etre  resolue  que  par  un  calcul  compliqu6.  Supposons  qu'une 
masse  fluide  homogene  en  rotation  se  refroidisse  lentement,  elle  prendra  sue- 
cessivement  (dans  la  premiere  hypothese  wJ  minimum)  la  forme  djun  ellip™ 
so'ide  de  revolution  de  plus  en  plus  aplati,  puis  celle  djun  ellipsoide  de  Jacobi, 
puis  celle  d?une  poire. 

Si,  an  contraire,  on  venait  a  reconnaitre  que  w  J  est  maximum  et  non  minimum, 
on  devrait  conclure  que  cette  masse  apres  avoir  pris  la  forme  de  divers  ellip- 


1  64  SUH   LA   STABILITE   DE   L1^QUILJBRE   DES   FIGURES   P1R1FORMES. 

soides  de  revolution,  puis  de  divers  ellipsoides  de  Jacobi,  et  avoir  atteint 
fiiialemeiit  celle  du  jacobien  critique,  subira  tout  a  coup  une  deformation 
enorme  et  une  serie  d'oscillations,  par  une  sorle  de  catastrophe  subite. 

Diverses  raisons  contribuent  a  rendre  la  premiere  hypothese  beaucoup  plus 
vraisemblable;  n&amnoins  jusqu'ici  la  preuve  n'est  pas  faite?  et  je  declare 
tout  de  suite  que  je  ne  Papporte  pas  encore  dans  le  present  travail. 

Mais  quelle  que  soit  Fhypolhese  qui  doive  iriompher  un  jour,  je  tiens  a 
mettre  tout  de  suite  en  garde  contre  les  consequences  cosmogoniques  qu'on 
pourrait  en  tirer.  Les  masses  de  la  nature  ne  sont  pas  homogenes,  et  si  Ton 
reconnaissait  que  les  figures  piriformes  sont  instables,  il  pourrail  neanmoins 
arriver  qu'une  masse  het^rogene  ful  susceptible  de  prendre  une  forme  d'^qui- 
libre  analogue  aux  figures  piriformes,  et  qui  serai  tslable.  Le  contraire  pourrait 
d'ailleurs  arriver  egalement. 

A  la  suite  d'une  correspondance  que  j'ai  eue  avec  M.  Darwin,  nous  nous 
sommes  mis  Fun  et  Fautre  a  6tudier  la  question,  et  pendant  qu'il  ecrivait 
deux  M^moires  sur  ce  sujet,  et  que  dans  Fun  de  ces  M^moires  il  d^terminait 
les  axes  du  jacobien  critique,  j'obienais  desresultats  qui  sont  Fobjet  du  present 
travail.  J'ai  forme  Fin6galil6  qui  doit  £tre  satisfaite  pour  qu'il  y  ait  stability 
mais  je  ne  Fai  pas  traduite  en  chiffres,  parce  que  je  me  defie  de  mon  habilete 
arithm^tique,  et  que  je  ne  suis  pas  un  calculateur  assez  sur. 

Les  notations  dontje  fais  usage  different,  malheureusement,  beaucoup  de 
celles  de  M.  Darwin;  elles  se  rapprochent  de  celles  de  mon  Mcimoire  des  Acta 
sans  ^tre  tout  a  faitidentiques,  parce  que  je  rapporteici,  pour  plus  de  sym4trie, 
les  coordonn^es  elliptiques  a  Fellipsoide 


==     T 
— —     4.   « 


et  non  plus  a  Fellipsoide 


comme  le  faisaient  Liouville  et  Lame,  et  comme  je  Fai  fait  moi-meme  dans 
le  M&tnoire  des  Ada.  (Je  suppose  de  plus  a2>62>c2;  au  lieu  de  sup- 
poser  6'J<c2.) 

Les  indices  que  j'attribue  aux  fonctions  de  Lam6  (A)  ne  sont  pas  non  plus  les 

(l)  Note  de  M.  G.  H.  DARWIN.  In  the  paper  in  the  Ada  there  is  a  slight  inconsistency  in 
the  notation  adopted,  for  in  one  part  of  the  paper  the  first  of  the  double  suffixes  to  the  R's 
denotes  the  degree  of  the  harmonic,  while  in  another  part  it  is  the  second  which  has  that 


SUR   LA  STABILITE   DE  L'EQUILIBRE  DES  FIGURES   PIRIFORMES.  iG5 

m£mes  que  dans  les  Acta.  Les  fonctions  que  j'appelle  icl  R,3  R2,  B.3,  R4,  R5? 
s'appelaient  dans  les  Acta  :  R0?  PM,  R'^,,,  R'2  27  R3>0. 

C'esl  la  fonction  R7,  0  =  R-?  qui  est  la  plus  importante,  parce  que  c'est  elle 
qui  sert  a  d^finir  la  figure  piriforme;  on  la  d^signe  quelquefois  sous  le  nom  de 
<c  third  zonal  harmonic  ». 

Les  fonctions  R  sont  toutes  6gales,  soit  a  un  polynome  entier  en  p-3  soit  a  un 


pareil  polynome  multiplie  par  Fun  des  trois  radicaux  \/(p- —  a*),  v/(p- —  6a), 
y(p2 — c2),  soit  a  un  pareil  poljnome  mullipli6  par  deux  de  ces  radicaux,  soit 
a  un  pareil  poljnome  mullipli£  par  ces  trois  radicaux. 

Celles  de  ces  fonctions  qui  sont  egales  a  un  poljnome  en  o2  seront  ce  que 
nous  appellerons  plus  loin  des  fo notions  de  Lame  pair es  et  uniformes. 

Galculs  preMnainaires. 

Soit 


liquation  de  Fellipsoi'de  de  Jacobi  de  bifurcation  que  j'appelle  E0;  soient  p, 
JUL,  v  les  coordonn^es  elliptiques  deduites  de  cet  ellipsoi'de;  de  sorte  que  p  =  pt> 
est  Fequation  de  E0  en  coordonn^es  elliptiques, 
On  aura 


de  m^me  pour  y-  et^2. 
On  en  deduit 


_x  __         /~~      (ta^—  q^)(v2—  •  qa  ) 
l  "~  r  V    (?a_fl2)(tf2_^)(aa_ca)' 


d'ou 


_  /^V2  .   /^rV  .   /^V_        Pa(^-Pa)(v*-Pa) 
U/?/        V^?/        U?/  -(p»-«*Xp*-^)(p*-e« 


A  _ 


meaning.    Thus,  for  example,  R'a,o  is  sometimes  written  Ro,2-     Further  I  do  not  find  that  Ra 
is  used  explicitly  in  that  paper. 

It  may  be  convenient  to  point  out  the  identities  of  the  R*s  used  here  with  my  notation,  as 
used  in  Ellipsoidal  Harmonics  and  The  pear-shaped  Figure  of  Equilibrium.  They  are  as 
follows  : 

R!=P.(V)    (a  constant);        R2=P}(v);        R3=f)3(v);        R4=|»i(v);        Ra=|>3(v). 
The  identities  of  the  S  functions  which  occur  below  are 

St=<ne(v),       Ss=:3Q!(v),        S3=5es(v),       SA=5ml(v},       S3=7«i3(v). 


166  SUR   LA   STABILITE   DE   L'EQUILIBRE   DES    FIGURES   PIRIFORMES. 

d'ou  pour  le  camS  d'un  ^Idment  d'arc  quelconque 

ds*  =  A2  d'S  •+•  BS  c/;j.2  -+-  G2  rfv*, 

ou  B  et  C  sont  forxn6s  avec  p.  et  v  comme  A  avec  p. 
11  vieat  alors  pour  AV  Pexpression  suivante-: 


Nous  d^signerons  les  fonctions  de  Lame  par  des  indices. 

Ri  se  r^duit  a  uue  cons  tame;  R2  a  \/(p2—  aa);  Rlt  ct  R/,  sont  les  deux  poly- 
nomes  du  premier  degr6  en  p2;  R5  est  la  troisieme  «  zonal  harmonic  »  .  Ilfaut 
remarquer  que  les  indices  choisis  ne  sonl  pas  les  niemes  c/ue  clans  le  M£moire 
des  Acta, 

Les  fonctions  correspondanles  S,  M,  N  porieront  les  memcs  indices, 

R°  et  S?  seront  les  valeurs  de  R/  et  S,  pour  p  =  po. 

Nous  introduirons  les  -variables  elliptiques  8,  01?  02  paries  Equations 


8A  et  02  etant  formes  avec  fx  et  v  comme  6  avec  p. 
II  vient  alors 

d^=  irfo^H-  y*^?  -+-  72 

OLl 


Formules  relatives  au  potential  d'une  simple  couche. 

Le  potentiel  a  I?ext6rieur  aura  pour  expression 


les  H  ^tant  des  coefficients  queloonques,  et  a  TinLerxeur 

V  =  SHRS«MN. 

Si  nous  considdrons  mainlenant  les  d^riv^es  V-  estim^es  suivant  la  normale; 

an  7 

si  nous  convenons  de  representer  par  des  lettres  accentu6es  les  d^riv^es  prises 

7ft 

par  rapport  a  6,  il  viendra,  puisque  1=  -?-  : 


SUR  LA   STABILITE   DE   I/EQUILIBRE   DES   FIGURES   PIR1FORMES.  167 

A  Fext^rieur 

^  =  SHR« 

dn 

et  a  Pint^rieur 


La  difference  2H(RS'  —  SR')£MN  repr^sente  47r<5,  o  £lant  la  densit^  de  la 

simple  couche,  et  comme 

SR'—  RS'  =  2/n-i, 
on  aura 


Si  done  la  densit6  a  pour  expression  2BZMN?  le  potentiel  a  la  surface  aura 
pour  expression  IB     *"     R^S^MN. 

1  r  2  ^  -H  I 

Formules  relatives  an  potentiel  d'une  double  couche. 

Le  potentiel  a  L'exterieur  aura  poor  expression 


et  a  I3int6rieur 

V=  SHiRMN 

<^V 
les  coefficients  etaut  diiffirents.  Comme  la  d^rivee  y-  devra  etre  continue,  on 

aura 


Posons  H  =  KR'0?  H4  =  KS'0  ;  la   difference  entre  les  deux  valeurs  de  V 
pour  p  =  po  sera 


e  sera  _  4^  <$?  5  6tant  la  densite  de  la  double  couche. 

Energie  de  la  simple  couche. 

Getie  6nergie  est  j  ^  VS  de,  da-  6tant  i76lement  de  surface. 
Si 

=  SB/MN,         V  =  SB     4?C     RSMN, 

-  I 


cela  fera 


2/Z  -4-1 


B2RS 


XG8  SUR   LA  STABILITE   DE   L'EQUILIBRE   DES   FIGURES   PIRIFORMES. 

Energie  de  la  double  couche. 

Je  ne  calculerai  ici  qu'une  portion  de  cetle  Energie,  a  savoir  Tint^grale 

lfd*[\di)  ^fe)  ^(^j  J 

<5tendue  a  tous  les  Elements  d?  de  Pespace  sauf  ceux  qui  sont  compris  entre 
les  deux  surfaces  infiniment  voisines  qui  constituent  la  double  couche.  Cette 

.    T    ,  ri  dV  >  j 
portion  est  egale  a  /  -  -r-  o  a<?, 

Si 


d'ou 


a/in-  1 


Definition  de  la  poire. 

Parmi  les  diff^renls  points  de  E0,  jc  mene  des  lignes  normales  aux  ellip- 
soides  homofocaux  a  E0,  c?est-a-dire  des  lignes  JUL  —  const.,  v  =  const.,  et  je  les 
prolongs  jusqu'a  la  rencontre  avec  la  surface  de  la  poire.  Soit  6?cr0  un  6l£ment 
de  surface  de  E0  et  dv  le  volume  engendr^  par  les  lignes  ainsi  menses  par  les 

diflferents  points  de  rf<70?  le  rapport  -r—  sera  une  fonction  dc  p.  et  de  v  que  je 
pourrai  d^velopper  en  s^rie  de  Lam6  sous  la  forme 


Ce  sont  les  coefficients  ^  qui  definissent  la  forme  de  la  poire. 
Parmi  ces  coefficients,  je  remarque  : 

1°  £i,  qui  est  mil,  parce  que  le  volume  de  la  poire  est  £gal  a  celui  de  E0,  ce 
qui  s'^crit  /  dv  =  o. 

2°  b?  9U^  est  du  premier  ordre. 
•  3°  £tj  et  ^4;  qui  sont  du  second  ordre. 

4°  Les  autres  £8-,  qui  sont  du  second  ordre,  si  la  fonction  Mt-  est  paire,  uni- 
forme,  et  d'ordre  sup^rieur;  et  n^gligeables  dans  le  cas  contraire. 

Assez  fr&juemment,  et  quand  il  n'en  pourra  r^sulter  aucune  confusion,  je 


SUR   LA  STABILITE   DE   L'EQUILIBRE   DES  FIGURES   PIRIFORMES.  169 

supprimerai  Tindice  z£ro  et  fecrirai  ^implement  dv  et  ™  au   lieu  de  dcr^ 

Definition  de  la  simple  couche  G. 

Je  considere  la  couche  attirante  form^e  par  tous  les  petils  volumes  dv,  et 
situ^e  par  consequent  entre  la  surface  de  la  poire  et  celle  de  E0.  Je  suppose  que 
Ton  concentre  toute  la  masse  attirante  situ^e  dans  cette  couche  sur  la  surface 
de  E0;  nous  aurons  ainsi  une  simple  couche  attirante,  la  densit^  de  la  matiere 

dv 


sur 


L'attraction  de  cette  simple  couche,  que  j'appelle  2,  est  ^  tres  peu  pres 
a  celle  de  la  couche  C. 

Je  puis  considerer  Tattraction  due  a  la  couche  G  moins  ['attraction  due  a  la 
couche  2;  elle  peut  fitre  consid^rde  comme  due  &.  une  matiere  attirante  en 
partie  positive  et  en  partie  negative;  c'est  ce  que  j'appellerai  la  matiere  JH. 
comprenant  la  couche  G  prise  positivement  et  la  couche  2  chang^e  designe. 

Calcul  du  potentiel. 
Le  potentiel  V  pourra  £tre  d£compos6  en  trois  parties  : 


Vi  potentiel  de  E0  ;  V3  de  2;  V;5  de 

Voici  quelles  sont  les  expressions  analjtiques  de  V<  el  de  V2. 
Pour  Vi  : 

a  Text^rieur  de  E0  : 


a  rintdrieur  de  E0  : 

Vi=  A^Ri 

les  A  et  les  A/  6tant  des  coefficients  constants  et  II  le  premier  membre  de 
liquation  de  E0. 

Rappelons  que  V4  est  continue  ainsi  que  ses  d6riv£es  du  premier  ordre;  d'ou 
Pon  peut  conclure  d'abord 

A1S?  =  A;R??         A3SS=A'yR3?         A,S?=A'AR4°. 

Je  puis  poser  de  m6me 


H.  P.  -  VII. 


I70  SUR   LA   STABIUTE   DE   L1EQUILIBRE   DES   FIGURES   PIRIFORMES. 

et  j'aurai  entre  ies  coefficieats  B  el  A'  les  relations  snivantes  : 


o>*  Ba  =  A\  +-  ~  cog  Bv=  o; 


Bo  An  =  .1  ;         A;  AH  =  AVi  =  —  /j  rc  ;         A'o  -h  -  HO  =  o. 
Quant  a  V2,  nous  aurons  : 
a  Fext^rieur  de  E0  : 


a  Pint^rieur  de  E0  ' 


Galcul  de  Fenergie. 

L/energie  totale  comprend  . 

1.  Uenergie  due  a  V  attraction  de  E0  sur  lut-memc. 

2.  Uenergie  due  au  moment  d^inertie  de  E0. 

Ces  deux  parties  ensemble  forroent  W0. 

3.  Uenergie  de  E0  par  rapport  a  2  (plus  Fdnergie  de  rotation).   Cette 
somme  est  nulle,  car  elle  est  du  premier  ordre  par  rapport  aux  ?/,  et  les  termes 
du  premier  ordre  doivent  disparaitre  puisque  E0  est  une  figure  d'<Squilibre. 

4.  Uenergie  de  2  par  rapport  a  Itu-meme^  qui  est,  d'aprcs  le  M6moire 
des  Acta3  p.  3,i8  (J  )  : 


5.  U&nergie  de  E0  par  rapport  a  JJl,  plus  Uenergie  de  rotation  de  JH; 
on  en  connait  les  termes  du  premier  ordre,  qui  sont  nuls;  ceux  du  second 

ordre,  qui  d?apres  le  M^moire  des  Ada,  p.  817,  sont  —  2Tr"V~^|  R^S^i, 
mais  il  faut  pousser  le  calcul  plus  loin;  soit  done  f  Vi+  ~a>;;(j/2-4-£2)  dr 
cette  6nergie;  ou  el?  repreisente  Pel^ment  de  volume  de  Jit,  de  sorte  que 


Soit  d<Jo  un  Element  de  la  surface  de  E0,  da  Tdl^rnent  correspondent  de  la 
surface  d'un  ellipsoide  E  homofocal  a  E0  (jo  considere  deux  ^l^ments  comme 
correspondants  quand  ils  ont  memes  coordonn^es  elliptiques  p  et  v). 

(!)  (Muvres  de  fff  Poincard,  ce  Tome,  p.  91. 


SUR   LA  STABILITY  DE  L^QUILIBRE  DES  FIGURES   PIRIFORMES.  171 

Soil  dl  un  6l6ment  de  la  courbe  /JL  =  const.,  v  ~  const.  ?  compris  entre  deux 
ellipsoides  E  et  E;  infiniraent  voisins  et  homofocaux:  a  E0;  nous  aurons 


, 
a  T  =  a  A  a  G-  = 


T 
D'autre  part  I  d<j  =z  10  <a?cr0,  ou 


Si  nous  posons    V^  +  -w^^^-f-x;-)    =  P, 


eL  que  nous  consid^rions  un  instant  P  commefonclionde  w,  nous  remarquerons 
d'abord  que  d?  =  <i^  ^/CTO. 

D^veloppons  P  par  la  formule  de  Mac  Laurin  : 


0 

P  =  P0  -+-  u  -=  --  i  —  w2  -5—  j  »i-  ^  ^  -j—  j  * 
du       '>      du~       6       <7«J 

II  va  sans  dire  que  la  variable  auxiliaire  u  a  £t£  d6iinie  de  fa^on  a  s'annuler 
pour  p  =  po,  et  que  dans  P  et  ses  d6rivees  on  a  fait  p  =  p0.  Notre  variable  u 

variera  done  de  Z&TQ  a  -^  quand  on  passera  de  la  surface  de  E0  a  celle  de 

la  poire, 
Alors  nous  avons  pour  la  portion  de  F^nergie  envisagee 


Le  premier  terme  est  nul  [puisque  T^  =  oj,  le  second  nous  donnerait  le 

terme  du  second  ordre  —  STr^^RSSo&o  dont  j'ai  d6ja  donn6  Texpression 
d'apres  le  M^moire  des  Acta* 

Le  troisieme  va  nous  donner  des  termcs  en  £:£,•,  et  le  quatri^me  un  terme 

en£. 

Je  commence  par  recbercher  les  d^riv^es  de  P  par  rapport  a  u,  en  fonction 


I7'2  SUR   LA  STABILITE    DE   L'EQUILIBRE   DES   FIGURES   PIRIFORMES, 

On  a 

dP         dP   </G        dP  ,  <(b        . 

—    =  —  —  =  —  /,         car     ~r~  =  /         pour     p  =  p0 ; 
du         d()  du       d(l  du 

(l)  £±  =  ^£1- 

^  '  du~        d§  du~ 

'/••P        dP  d 3  0          d-P   </0  d-i)       ^!P/f/OV5 
1-i,  —  _  ±_J  4-  3      ^   _ H _  (  — 

Tout  ce  que  ie  veux  retenir  pour  le  moment  esl  erne  -T^>  -r-r?  -V-r  sont  des 

*•        J  L  A         aW     aw2     aW^ 

fonctions  de  [j.2  et  de  v-  sym^triques,  paires  et  uniformes  (je  veux  dire  par  ce 
dernier  mot  qu'elles  ne  changent  pas  quand  ^  ou  v-  tournent  autour  des 
valeurs  singulieres  a2,  62  ou  c2).  Leur  d6veloppemenL  en  series  de  Lam^  ne 
contiendra  done  que  des  fonctions  de  Lam6  paires  et  uniformes.  II  en  sera  de 

m£me  pour  -—?  ^7-^5  -T~  qui  entrent  dans  les  formules 
^        ^/w    du*    du*  n 


,    ,.N  r/P       ^P  e/p  ^P       dP  d>?       d>P/d? 

(  T    f)7  Q\  _    —    _     _  —  i  -  —    _     _  —   -4—    _  I    _  — 

1          ;  du        dp   diS          dut         d?  du*        d^  \du 


Nous  supposons  bien  entendu  dans  les  foruiules  (i)  et  (i  bis]  qu'on  remplace 
partout  p  par  p0  a  la  fin  du  calcul. 

Une  autre  difficult^  provient  de  ce  que  P  n'a  pas  la  meme  expression  analy- 
tique  a  Tini^rieur  ou  a  I'ext6rieur  de  E0. 

Si  la  couche  6tait  lout  entiere  £  Fintdrieur  de  E0  (ce  qui  ne  pourrail  avoir 

lieu  que  si  Ton  renon^ait  a  Thypothese   /  dv  =  o\  nous  pourrions  r^duire  P 
a  II,  a  un  facteur  constant  pres,  nous  aurions  en  effet  : 


le  premier  terme  se  r^duit  a  une  constante  qui  n'a  pas  de 

II  est  ais6  de  voir  que  *-*-  se  ^6duit  a  un  terme  en  p;  de  sorte  que 

dn 


Nos  integrales  se  r^duiraient  donc^  a  un  facteur  constant  pres,  a 

i  /-^H/^py,  r    &?     /<tfp\2l      i    /*rf*H/^P\*     r    <&?     0  do  ^P 

&J  ww  ^Lpos^ U)  r^J  -3F(-&)  *Lpoas+3as  a? 


J'^cris  dv  au  liu  de  d&Q,  en  supprimant  Findice  z^ro,  devenu  inutile. 

Remarquons  que  les  quantit^s  entre  crochets  sont  les  d<5riv£es  premiere  el 

seconde  de  ~~-p- 


?  du 


SUR   LA  STABIUTE-DE   L'EQUILIBRE   DES  FIGURES  PIRIFORMES.  178 

Remarquons  en  outre  que 


que  '-T-  est  proportionnel  a  /,  et  par  consequent  -y  et  —p?  a  ^« 
Les  termes  qui  nous  int^ressent  sont  done  : 

i°  Dans  (—}"  les  termes  S^^MJN^N^  qui  donnent 


II  suffira  de  prendre  les  fonclions  MjN/  qui  sont  paires  etuniformes?puisque 

cl~P 
les  d^veloppements  de  M?N?,  /3  -j-^  n'en  contiennent  pas  d'autres.  Si  Ton  se 

ap- 

borne  aux  formules  pr^cedentes,  ou  P  est  regard^  comme  proportionnel  a  II, 
nous  pourrons  poser 

d»p      i 

^  =II°r-5 

MO  6tant  une  constante;  si  nous  d^veloppons  alors 


en  s6rie  de  Lame,  on  aura,  pour  les  termes  en  question  :  "V  -^»^v3jii£. 

Malheureusement  toute  la  masse  JU  n?est  pas  a  Finterieur  de  E0,  c'est  done 

{£-2f> 

p—jMlNl    qu'il  faudrait   developper;    et    cette    expression   n'est    6gale   a 
MO  -T-  (p  -T-  ]  M?N?  que  pour  les  points  interieurs  a  E0. 
2°  Dans  (^\  le  terme  SJ^MJNJ  qui  donne 

JLE$    r^P/^fp^MJNJ*. 
i>4  ">  J     d?*      ftutV  du]      b     ° 

Nous  reviendrons  sur  tous  ces  points  plus  en  detail. 

6.   fJenergie  de  2  par  rapport  a  J$\* 

C'est  f  V2  ch  4tendu  a  Jtt,  c'est-a-dire  6tendu  a  C  en  supprimantensuiteles 
termes  du  second  degre;  cela  fait,  puisque 

x    /V/V2/r/P\2  i    rd*\i(dv\*  , 

-]^(TJ* 


I74  SUR   LA   STABIL1TE   DE   I^EQUILIBRE   DES   FIGURES   PIRIFORMES. 

cela  fait,  dis-je;  puisqu'on  doit  supprimer  les  lermes  du  second  degr£  : 


Les  d^rivees  ~*  •  -  se  calculeraient  comme  -r~  •••?  et  Ton  y  ferait  a  la  fin  du 
dit,  &  u 

calcul  p  =  p0. 

Les  termes  qui  nous  int^ressent  sont  : 

,         /dv 
dans     -y- 


,  v\  :! 

dans     -r      : 

- 


2*'-S&gbMBNBMiN,     et 
dv\  :! 


Quant  a  V2  nous  devons  distinguer  le  cas  ou  JH  est  int^rieur  a  E0,  el  celui 
ou  Jit  est  ext&rieur  a  E0* 

Dans  le  premier  cas  les  termes  int^ressants  sont  : 


Dans  le  second  cas  ils  deviennent 


Si  JH  est  en  partie  exterieure  et  en  partieinterieure  a  E0?  il  faudra  employer 
une  forrnule  mixte. 


7.  Uenergie  de  JH/?ar  rapport  a 

Pour  Foblenir  il  faut  calculer  le  potentiel  de  Jit  et  d'abord  revenir  sur 
l^tude  du  potentiel  d'une  double  couche  (1). 

Consid^rons  une  double  couche  Ir6s  mince,  mais  non  infinimenl  mince.  Elle 
se  compose  de  deux  surfaces  atlirantes,  2  el  2r,  tres  peu  diff^rentes  1'une  de 
Fautre.  Je  considere  une  s6rie  de  courbes  que  j^appelle  C,  de  fagon  que  par 
chaque  point  de  Fespace  passe  une  courbe  C  et  une  seule.  Ordinairement  on 


C1}  Je  prie  le  lecteur  de  bien  remarquer  que  pendant  quelques  pages^  et  jusqu'a  nouvel  aver- 
tissement,  benucoup  de  lettres  n'ont  plus  la  meme  signification  que  dans  ce  qui  precede  et  dans 
ce  qui  suit. 


SUR  LA  STABILITE   DE  L'EQUILIBRE   DES  FIGURES  PIRIFORMES.  i;5 

prend  pour  les  courbes  C  les  normales  a  2.  Dans  les  applications  qui  vont 
suivre,  je  prendrai  les  courbes  |j.=  const.,  v  =  const. 

Deux  points  de  2  et  de  2',  se  trouvant  sur  une  meme  courbe  C,  sont  dils 
correspondents.  L'hypothese  qui  sert  de  definition  a  la  double  couche  est 
que  les  masses  atlirantes  qui  se  trouvenl  sur  un  element  de  2  et  sur  Felement 
correspondant  de  2'  sont  6gales  et  de  signe  contraire. 

Cela  pose,  soit  M  un  point  de  2,  M'  le  point  correspondant  de  2',  soient  V 
et  "V7  ie  potentiel  de  la  double  couche  en  M  et  en  M'.  II  s'agit  d'£valuer  la 
difference  V  —  V. 

i°  Dans  le  cas  ou  la  double  couche  est  infiniment  mince,  on  a  par  un  theo- 

reme  bien  connu 

V— V'=4::3  JMM'cosv, 

£  etant  la  densite  de  la  matiere  au  point  M,  MM'  la  distance  des  deux  points 
correspondants  M  et  M',  y  Tangle  de  la  courbe  G  avec  la  normale  a  2. 

Je  rappelle  d'ailleurs  que  si  la  courbe  C  est  normale  aux  deux  surfaces, 

c'est-a-dire   si   y  —  o,  la   derivee   normale  -7-  est  continue,  m£me  quand  on 

franchit  la  double  couche;  et  que  par  consequent  cette  d^rivee  a  meme  valeur 
a  des  infiniment  petits  pres  en  deca  des  deux  surfaces,  et  au  dela  des  deux 
surfaces. 

2°  Supposons  maintenant  que  la  double  couche  soit  ires  mince,  mais  non 
infiniment  mince.  Nous  la  decomposerons  en.  une  infinite  de  doubles  couches 
infiniment  minces.  Pour  cela  entre  2  et  2'  nous  ferons  passer  une  infinite  de 
surfaces  2t,  22,  . .  . ,  2n  (n  tres  grand).  Soit  E  un  element  de  2,  et  E,,E2,  .  .  . , 
En?  E;  les  elements  correspondants  de  2i,  22,  .  . . ,  2/M  2'.  Nous  avons  sur  E 
une  masse  JJL  et  sur  E'  une  masse  —  p..  Plagons  sur  Et  une  masse  — p.  et  une 
masse  p  qui  se  detruiront;  faisons  de  m£me  pour  E2,  E3;  .  .  . ,  En.  Assacions  la 
masse  — fx  de  E4  avec  la  masse  p.  de  E,  faisons  de  meme  pour  tous  les  autres 
elements  de  E,  nous  obtiendrons  une  double  couche  formee  par  les  deux 
surfaces  2  et  2, ;  je  Pappelle  K*.  De  meme  en  combinant  la  masse  —  p.  de  E2 
avec  la  masse  p  de  Ei5  j'aurai  une  seconde  double  couche  que  j7appelle  K2?  et 
ainsi  de  suite  jusquja  la  double  couche  K0  due  am  masses  — [/.  de  Ert  et  p.  de 
E/7_.i*  et  a  la  double  couche  Krt+i  due  aux  masses  —  p.  de  E;  et  p.  de  E/?. 

La  double  couche  propos^e  est  done  remplac^e  par  n  + 1  doubles  couches 
Slementaires. 

Soit  alors  p  el  vl  les  potentiels  aux  points  M  et  M'  d'une  double  coucLe  616- 


176  SUR   LA   STABILITE  DE   L'EQUILIBRE   DBS   FIGURES   PIRIFORMES. 

mentaire  K;  soient  P  et  P7  les  points  ou  la  courbe  C  qui  joint  M  a  M'  pcrce  les 
deux  surfaces  de  cette  double  couche  elementaire  K.  Soient  w  et  <v'  les  poten- 

tiels  de  K  aux  points  P  et  P',  Soit  dl  un  element  de  la  ligne  C,  et  ~  la  d£riv4e 
da  potentiel  de  K  le  long  de  cette  ligne,  nous  aurons 

(f>  —  «/  =  4^  <>i  I'P'cos  YI} 
5i  6tant  la  densit<£  au  point  P  et  y*  Tangle  de  C  avec  la  normale 

Crd9  ,  j         ,      ,         r*'<to  n 

v  —  w  =  —  /      -~  dl          w  —  r  =  —  /        -jj  dl. 
JM     dl  Jr,     dl 

Je  puis  done  ecrire 

P  —  c/  =  f{  -R  51  pp'  cos  YI  —  /       -~fj  dl, 
Ju     at* 

parce  que  l'ar.c  PP'  est  tres  petit  par  rapport  a  MMr,  a  la  condition  d?attribucr 
sur  cet  arc  a  -^  la  m£me  valeur  qu'au  point  P  en  dehors  de  la  double  couche. 

On  peut  observer  que  si  dv  est  un  Element  de  la  surface  2,  d&i  ['element  corres- 
pondant  de  la  surface  a  laquelle  appartient  P;  on  aura 

o  da  =  Si  efaj  . 

Nous  pouvons  done  ecrire 

V  =  2r,        V'=S^; 
d'oii 

^-  fW  y^,dL 
dm      JM     ^  dl 


Le  premier  terme  est  de  1'ordre  de  2PPA=MM'.  Le  second  est  de  Fordre 
de  (MM7)2;  car  ~  est  de  Fordre  de  PF  et  d^  Fordre  de 


~ 

Nous  ponsserons  Fapproximation  jusqu'a  (MM')a.  Si  comme  nous  le  supposons 
la  courbe  C  est  normale  a  2,  Fangle  v4  sera  de  Fordre  de  MMf;  nous  pourrons 
done  remplacer  cosy^  par  i,  Ferreur  commise  sur  V  —  V  sera  de  Fordre 

de  (MM')a.  Maintenant  V  ™  sera  sensiblement  constant  et  egal  a  -j~->  c'est- 

a~dire  a  la  d6riv^e  de  V  estim^e  suivant  la  normale  au  point  M  et  du  cot6 
ext^rieur  a  la  double  couche  comprise  entre  les  deux  surfaces  2  et  5/. 

Appliquons  cela  a  F^valuation  du  potentiel  de  JIL  et  pour  cela  revenons 
encore  a  notre  double  couche  22;;  soit  W  un  point  de  C  compris  entreM  etM7; 
soit  P';  le  potentiel  de  la  double  couche  61ementaire  K  an  point  Mv?  V"~  2/  le 
potenliel  de  la  double  couche  totale. 


SUR   LA  STABILITE   DE   L^EQUILI&RE  DES  FIGURES   PlfclFORMES. 

Supposons  d'abord  que  M"  soit  entre  P'  et  M',  nous  aurons 

A    dl  ^  ~~     JP>     dl 

d'ou 

Si  M"  est  entre  M  et  P,  nous  aurons  simplement 


Nous  aurons  done  encore 


mais  avec  cette  condition  que  dans  le  premier  terme  du  second  membre  la 
sommation  ne  doit  £tre  £tendue  qu'aux  doubles  couches  £l£mentaires  comprises 
entre  M  et  M".  On  aura  comme  plus  haut 

^  dv  __  dV  __ 

D'autre  part 

rfc'  MM'  |_  d?         \ ' 

d'ou  nous  tirerons 

xr      w      ,     ^  HTH^  -  MM""  f  d*        1       ^V  ..«„ 

V  — Y*=  4^  6  MM  -h  2^5  -T7T77-     -T-/  —  i r-MM  . 

JV]  M    L  a cr         J        an 

Nous  poserons  d'ailleurs 


de  fagon  que  A"  soit  fini,  et  que 

y_V'/=4^2 

Si  le  point  M;/  esl  au  dela  de  M',  on  aura 


l')a—  ^MM% 

et  s'il  est  en  dega  de  M  : 


Cela  post^,  partageons  la  couche  C,  qui  est  comprise  entre  la  surface  de  E0  et 

celle  de  la  poire,  en  couches  infmiment  minces  par  une  s4rie  de  surfaces  tres 

rapproch^es,  que  j'appelle  A0,  A!,  A9,  . . . ,  An;  A0  coi'ncidera  avec  E0  et  An 

avec  la  surface  de  la  poire.  Pappelle  C^  la  couche  comprise  entre  A^i  et  A^. 

H.  P.  —  VII.  a3 


1^8  SUR   LA  STABILITE  DE   l/EQUILIBRE   DES  FIGURES   PIRIFORMES. 

Jo  suppose  que  Ton  concentre  la  masse  de  Cp  sur  E0  en  suivant  les  lignes 
JJL,  v  =  const.,  qui  jouent  ici  le  role  que  jouaient  tout  a  Pheure  les  courbes  C. 
J'appelle  Sp  la  simple  couche  ainsi  obtenue.  Alors  2  est  la  somme  de  toutes  les 
simples  couches  2,.  L'attraction  de  G/,,  moins  celle  de  2/J;  esL  1'aLlracLion 
d'une  double  couche  D^,  et  il  est  clair  que  JH  est  Equivalent  a  Pensemble  de 
ces  doubles  couches. 

Soit  9  le  potentiel  du  a  Tune  des  doubles  couches  D^,  soit  $p  la  density  de  2/; 
en  un  point  M  de  Ey ;  soit  P  un  point  de  A/;  et  M';  un  point  quelconque  de  Jit, 
M'  un  point  de  la  surface  de  la  poire.  Les  quatre  points  M,  P,  M;  et  M"  sont 
supposes  situds  sur  une  meme  courbe  JJL,  v  =  const.  Si  alors  9  et  v"  sont  les 
valeurs  de  9  en  M  et  en  M",  nous  aurons 


si  M"  est  en'tre  M  et  P ;  et 

P  —  p"=  47:  S^MP  H-  2;rp  S^MP)2  —  -T^  MM7' 

si  P  est  entre  M  et  M17. 

Soit  V  —  2p  et  V;/=  2p"  les  valeurs  du  potentiel  de  JH  en  M  et  en  M%  nous 

aurons 

dV 

V  — V7/  =  4:u[£'onMM"H-  S^SpMP]  H-  2rc£[S'5«(MM")s-i-  S/78/;(MP)2] -y-MM'7. 

an 

Nous  remarquerons  dans  les  parentheses  du  second  membre  deux  signes  de 
sommation  diff^rents  S'  et  2";  le  premier  2;  s'etendra  a  toutes  les  doubles 
couches  situ^es  entre  M;/  et  la  poire,  le  second  S"  a  toutes  les  doubles  couches 
situdes  entre  M/;  et  Pellipsoide  E0.  Nous  conserverons  le  signe  2  pour  les  som- 
mations  6tendues  a  toutes  les  doubles  couches. 

Posons  alors  MP  =  /:  de  sorte  que  — §p  de  qui  repr^sente  la  masse  de  la 
partie  de  la  couche  C^  qui  correspond  a  P6lement  da-  sera  da^dl,  do"p  (Hant 
Pel^ment  de  A^  qui  correspond  a  da",  or 

d<j                                          d<3  i 
1  =  kl^         d  ou         =  *  ' 

d'ou  enfm 


StjR  LA  STABILITY  DE   L^QUlLIBRE  DES  FIGURES   JPIRIFORMES.  179 

et  si  nous  posons  un  instant  pour  abreger 

MM'=g,  MM*=£, 

il  viendra 

V  V" <  ~-Y    I    l     /"-"  "  I      7.  ¥  •>      ,       *    \ 

^    —   y     —  4  j.^  l    --  A  c c  —  —Aw, — h  *,   I 


ou     - 

L'energie  de  Jtl  sur  JH  sera  repr£senl£e  par  Pinl^grale  ^  y  ( V" — V)rfr, 
^tendue  a  tous  les  Elements  dr  de  C. 

Or  si  par  M"  je  fais  passer  1'une  de  ces  surfaces  tres  peu  diff6rentes  de  2,  et 
qui  me  servaient  tout  a  1'heure  a  d^finir  mes  doubles  couches,  si  j'appelle  d&u 
l'6l^ment  de  cette  surface  correspondant  a  dcr,  nous  aurons 

L'integrale  a  chercher  est  done 


et  elle  doit  ^tre  prise  par  rapport  a  ^  entre  z^ro  et  s;  on  trouve  ainsi 

"/2         t          2 

-7TE-{~  ~ 
\3  3 


Pour  rendre  la  formule  comparable  a  celles  qui  precedent,  il  faut  exp rimer  e 

A*  en  fonctions  de  -^ 
<r/o- 

Nous  avons  d'abord 


el  A*  en  fonctions  de  -^  et  de  ^5  4->  •  • 


C      —        r* '       ir     -"  —         l  z 
djou 


et  pour  Fint^grale  de  Tenergie  : 

r  ,  fa     /^\:I      i    ,  fdvy     idV/dvY~\ 

J  n^U)  ^^H^)  ^jTjsU;  j- 

Observons  que  le  calcul  a  <He  fait  dans  1'hypothese  ou  la  surface  de  la  poire 


I  So  SUR   LA   STABILITE  DE  L'EQUILIBRE   DES   FIGURES   PIRIFORMES. 

est  ext^rieure  a  celle  de  E0.  Dans  I'hypothese  conlraire,  il  faudrait  changer  le 
signe  des  deux  premiers  termes  et  6crire 

dvy       i     ,/dvy  ,    i  dVfdvy~ 


II  reste  a  calculer  A*.  Reprenons  la  lettre  I  dans  son  sens  primitif,  de  sorle  que 


Nous  savons  que  A-  est  d^fini  par  la  relation 


si  nous  reprenons  les  notations  employees  plus  haul,  nous  devrons  6crire  u  au 
lieu  de  £,  do-  au  lieu  de  ddr  et  flfcr0  au  lieu  de  da,  et  noire  relation  deviendra 


on  a  done 


l±   dl_  d*  6  _  2  / 

""  "^      2  '  *   "" 


et  enfin,  puisque  sur  E0  on  a  1=  1Q  : 

Gela  pos£,  dans  notre  integrale  les  termes  qui  nous  int&ressent  sont  : 
i°  Dans  (  ~r)   les  termes  35?2^MgN?Mt-N^3,  qui  donnent 


(j'^cris  d&  en  supprimanl  1'indice  z6ro  devenu  inutile). 
2°  Dans  (^-'Y  le  terme  gj  WV1JNJ  qui  donne 


(l)  Je  puis  done  ici  reprendre  toutes  les  notations  du  d6but  de  ce  travail,  et  que  j'avais 
abandonnees  momentan6ment7  ainsi  qu'il  est  explique"  dans  la  note  de  la  page  174.  On  observera 
que  k  est  une  constante  generalement  negative. 


SUR   LA   STABILITE   DE   L'EQUILIBRE   DES   FIGURES   PIRIFORMES.  l8l 

3°  Enfin  dans  /  ™  J   —  le   terme   int^ressant   se    calculera    en   supposant 

tous  les  £  nuls;  sauf  £5. 

C'est  la  portion  de  Penergie  de  la  double  coucke  que  nous  avons  calculee  au 
d6but  de  ce  travail;  nous  n'avons  done  qu'a  appliquer  la  formule  etablie  au 
d6but. 

D'apres  cette  formule,  si  o  ~  2BMN  est  la  densit4  de  la  double  couche,  cette 

portion  de  Penergie  sera 

2B^R'S'  /%, 
/  l*l 
2/1  -HI  J 

Mais  ici 


Si  done 

alors  la  portion  cherchee  de  T&iergie  sera 


Unification  des  formulas. 

Une  difficult^  provient  de  ce  que  quelques-unes  des  formules  pr6c6dentes 
onl  une  forme  analytique  differente,  suivant  que  1'^Iement  do-  de  la  surface 
de  E0  est  au-dessous  ou  au-dessus  de  la  poire.  II  est  permis  loutefois  de  pr^voir 
qujil  doit  y  avoir  compensation,  et  que  dans  la  formule  finale  nous  retom- 
berons  toujours  sur  la  meme  forme  analytique.  II  reste  a  voir  comment  se  fait 
cette  compensation. 

Les  termes  d'ou  provient  la  difficult^  sont  (outre  ceux  dus  a  faction  de  JH 


i°  L'dnergie  de  E0  sur  JH  dont  Fexpression  est 

*,       i    rtPPdv* 


r^dv  .       i    rd?(dv\*,       i    rtPPfdv 

J  p^d*+-J  s(s)  &H-gJ  a?U 

2°  L'^nergie  de  2  sur  JM  dont  1'expression  est 


J'observe  que  V<,  -^?  V2  sont  contiaus  quand  on  franchit  la  surface  de  E0 
et  qu?il  est  de  mfime  de 


l82  SUR   LA   STABILITE    DE   L'EQUILIBRE   DES  FIGURES   PIRIFORMES. 

et  de  toutes  ses  derives.  Si  done  j'appelle  D  -r-rt  D  -/-p*  D  -r-^>  D  32  les 
sauis  brusques  subis  par  ~»~  quand  on  franchit  celte  surface,  du  dedans  au 
dehors,  la  difference  entre  les  deux  formules  qu'il  s'agit  de  comparer  sera 


i  r  f  do  \t~tFV  \  *  i  rfd^Y- 
TT  /  (  -=-  )  D  -T-T  dv  H-  --  I  -f-  D 
bj  \dv  )  di£  247  \dc  / 

pour  Faction  de  E0  sur  JJJ,  et 


— 
du 

pour  Faction  de  2  sur 


_  ,     .    ..      ^ 
Calcul  de  D  -r- 

du? 


Nous  nous  servirons  pour  ce  calcul  de  liquation  suivante 


puisque  AV<  —  o  a  Fexterieur,  et  —  4?r  a  Finterieur. 

Or  si  nous  nous  rappelons  Pexpression  de  AVi  ct  que  le  D  de  ~  '  ?  —  ~, 

rfVi   ^3Vi    +     1     .    .  7  .  ,   rfVt    .,    .    ,  ^      'HL" 

"77"'  --j^-  est  nul,  amsi  que  celui  de  -r~)  il  vient 


ap  V  A      d$  )         A 
d?ou 

d-  Vi 

D  -T—.  =  A2  DAVi  =  4^  AS. 
«p- 

Donc 

^Vi        ^p      rfVi       /rfp\*     ^V,       x     A0 
D   ^-    •  =  -;--•  D  —=—  =     ~~  1  D  —  ;  —  -  ==  4  %  A2 
c/w2         o^M2       ^  ^M  ^/- 


Galcul  de 

u* 


Calculons  djabord  D  -  ,.  -a-1  ;  pour  cela  nous  nous  servirons  de 


D^-li^o. 
Si  nous  observons  que 

D- 


SUR   LA   STABIUTE   DE   L/EQUILIBRE   DES   FIGURES  PIRIFORMES.  1 83 

et  de  meme  pour  les  deriv^es  correspondanles  par  rapport  a  v,  je  puis  6crire 

D  ^AVl  ~  D  —  \    l  ,  —  (—  — )  1  - 
Mais  d'ailleurs  on  a 

A  do  =  -y  =  du  j"  j          BG  =  II  y  5 

L  t  ()  l> 

H  £tanl  ind^pendant  de  p;  nous  pouvons  done  6crire 

T> /~i     ,J\T  T I  7       rJ\T  •*  >-7/I">/~lJJ'X7"V  7         ^//  TIT  /       jn/\'      X  ^ 

JD \j    ct  V  L  -t*  t-O    Ct  V  |  I  CL     I  1>\_4    w  V  i    \  in      '*     /  •*•*  ^0    ^    '  1   \  ?o     ^*' 

A      r/p  /2       (f/;/;  ?  ABG  ds  \  A      <^p   /        H  du  \    /2      <^i 


i,  \V      \*         ,        0^-^  =  0, 

d'ou  enfin 


i  =  6 


Galcul  do  D • 

D'apres  la  propriele  fondamentale  des  surfaces  altirantes,  on  a 

du  dv 

Galcul  de  D  — -^  • 

Pour  ce  calcul  nous  nous  servirons  de 

o=DAV  =D[~-^   ^/BG./V.A-[  d  (dV*\ 

[  A  BG  d%  \  A     do   J  \        u      du  \  /«  C/M  / 

i  D  aft V2         2  ^  D  ^V2  ==o_ 

d'ou  enfin 

</7  / 1/&  ""     -£/cr 


En  r6sum£  la  difference  entre  les  deux  foramles  qu'il  s'agit  d'identifier  sera 
i°  Pour  Faction  de  E  sur  JM  : 

i  r /dvv^d*Vt  .       i    r/^\* 

6J  (d-«)D^d^^J  (as) 


184  SUR   LA  STABILITE   DE   L'EQUILIBRE   DES   FIGURES   PIRIFORMES. 

2°  Pour  Faction  de  2  sur 

v         i 


4    Ci 

—  ~TC  /  / 
3   J 


=  —  27U  -=-  —  ~  -.- 

2  tfw  fl  fl*  J       ^  3  \d<s 

3°  Pour  Faction  de  Ml  sur  Jll  : 

r,r     2    /r/pV"      J     //^\4      irfV/^PVI 
/</a-        -7c(-r)-t-?wA:(-r)H-7-r-(::r) 
J         L      3     V  ^  /        3        \  ^  /        hdu  \da  J  \ 

r.r    2    /^P\»     i    jfdvy     idv/d^y] 

-J   ^L""3W(35)  -"3r/c(^j  +4^(^j   J 

4     r  fdv\*  ,      2     /*.  /afcy  7 

53  3  V    (S5)  AH-3WJ*U)*' 
soit  au  total  zero. 

Nous  pourrons  done  employer  indifF^remment  Tune  ou  Fautre  formule  sans 
nous  inquirer  de  savoir  si  la  poire  est  au-dessus  ou  au-dessous  de  Fellipsoide, 
pourvu  que  Fon  se  serve  das  formules  correspondantes  pour  le  calcul  de  tous 
les  termes. 

Nous  choisirons  desormais  Fhypothese  int^rieure. 

Group  ement  des  formules, 

Nous  allons  maintenant  grouper  les  termes  de  meme  forme,  afin  d'addi- 
tionner  leurs  coefficients. 

Nous  avons  d'abord  ^  envisager  les  termes  en  Hi^s  ;  le  premier  que  nous  trou- 
vons  est 


Nous  avons 

<P       II  o 


II0  6tant  une  constante.  Noiis  avons  d'autre  part 

1  -L  J  11. 


en  d^signant  par/(p)  une  fonction  de  p  et  par  /0  ce  que  devient  I  pour  p  =  p0. 
Nous  d(5duisons  de  la 


J*  .   ,,  ,     5fc      //  i*        ...    *5£ 

~7 —  =  -7-  Ta*  ~^  V  C  P )  —/ — 
*o  *     ^5  *o 


et  pour  p  =  p0  : 

_  (nzL\  =  -SL  72  j_  o  f/' « >F 

rfu 


SUR  LA  STABILITE   DE   L'EQUILIBRE  DES   FIGURES   PIRIFORMES.  1 85 

] 

On  trouve 


Qu'est-ce  maintenant  que  -j-  pour  p  =  p0  ? 


^L  =  **L  **L  =  /(p)  ^  t*  =  /IP) j f*f 
du        dp  du  p      «r/p  /o  p        £/p 


Calculons  encore  la  derives  seconde  —, —  ( p-r-]  •  Nous  venons  de  trouver 

du-  V    du  j 


du  V  du)         p     l\ 
On  trouve  de 


*^(t*L\  =  i(tL\f.tL 


l*       (*f*f       2/:'\  "^ 
«        V     ?«  ?•'  /  '  /5 


- 
etu*\etuj       rfpV   P    /  P 

ou  pour  p  =  pn  : 

*t**\  ^f  d  (ff 

<*u*\?du)  ~~  p  tfTpV  p  ;  2         3 

Posons 


Jti  el  f3  seront  des  constanles  dependant  seulement  de  p  et  faciles  a  calculer. 
On  aura,  pour  p  =  p0  : 


Or  nous  avons  pos4  plus  haut  : 


et  nous  avons  trouv6  que  le  coefficient  cherche  dtait  6gal  a  -YJ^,-;  nous  avons 
un  peu  plus  loin 


En  rapprochant  toutes  ces  forniules,  nous  trouvons 


Nous  avons  trouv^  ensuite  comme  terme  en  ^\  : 


7  „/  aw  2  /i  -4-  1  ,/  «  u 

H,  P.  —  VII.  24 


SUR    LA   STABILITE    DE    L'EQUILIBRE    DES   FIGURES    PIRIFORMES. 

— 


Si  nous  observons  que  —  se  rcduit  a  I  pour  p  =  p0,  nous  trouverons  pour  Ie 


coefficient  en  question  : 


Enfin  dans  1'dnergie  de  JH  sur  Jit  nous  avons  encore  un  terme  en  £t£j,  qui  a 
pour  coefficient 

—  27:  CwiNlUtNtPda^—  ascpiQ,. 

Je  prends  le  signe  —  parce  que  j'ai  adopte  Phypothese  d'apres  laquelle  JK 
est  int^rieur  a  E0. 

£n  reunissant  tous  ces  lermes,  je  trouve  quele  coefficient  ddjfmitif  de  £,£?  est 


Reraarquons  encore  que  nous  avons  trouv^ 

d?  r/P         p       dp  ^  H   s 

-7-  ^—  =  —  Ho  —  r~  ==:  —  "T7  '  *s  sa- 
c/p    czfi^        I-       da  6  1 

Nous  pouvons  en  deduire 

5lt  =  —  |  *  R2  Ss  £-  j          »  ==  —  |  *  R2  S2  ^- 
op  dp 

Je  rappelle  que  ~  nf  n'est  aulre  chose  que  le  volume  de  E0- 

Passons  maintenant  aur  termes  en  ^J;  le  premier  que  nous  renconlrons  a 
pour  coefficient  I'int^grale 


Supposons  que  Ton  veuille  developper  en  s^rie  de  Lam^  la  fonction  /*MjN] 
et  soit 


les  T/  etant  certains  coefficients,  qui  naturellement  d^pendront  de  p,  nous  en 
d6duirons 


II  est  clair  alors  que  nous  aurons  pour  le  seul  coefficient  qui  nous  int6resse, 
qui  est  P5  et  que  je  d^signerai  simplement  par  T  : 

Q8r5=  osr  =  r/ 


SUR   LA  STAB1LITE   DS   L'EQUILIBRE   DES   FIGURES   PIRIFORMES.  1 87 

Cela  nous  montrc,  en  rapprochant  dePexpression  de  "7-7  (  P  "/•  ) '  que  si  nous 
posons  pour  abr^ger  : 


le  coefficient  du  terme  envisag^  en  £*  sera 


Vient  ensuite  comme  terme  en  £?  : 


Pour  le  calcul  de  ce  coefficient,  il  nous  faut  -j-^  quant  a  f  -r~  j    c'est  /-.  Or 
nous  avons 

ce  qui  nous  donne  en  definitive  pour  le  coefficient  cherch^  : 

—  R-  Sn FQ-,  -f-  —  R'-  S-,  —  - —  Qu. 

21        °  21       *         p    dp 

Enfin  dans  1'^nergie  de  Jtl  sur  JH,  nous  avons  deux  termes  en  £J,  le  premier 
a  pour  coefficient 

i     r  d*  8       v  n  i     /  <fr 

—  g  ,^  -_       .,    .  .  u  _  —  __  ,„  ^  _  _5 


(je  prends  le  signe  -—  a  cause  de  Fhypothese  Interieure)  et  le  second 


2  2W-+-I 


En  reunissant  tons  ces  termes,  nous  trouvons  finalement  pour  le  coefficient 


Observons  queR^Sg  est  6gal  a  R3SS  au  facteur  constant  pres  -^-j  quiest  egal 
djapres  Fequation  de  Lam^  a  un  poijnome  connu  du  second  ordre  en  p-. 
D*ailleurs  R3S5  est  6gal  au  facteur  |  pres  £  R2SS?  qui  figure  dans  Texpression 


1  88  SUR  LA  STABILITE   DE  L'EQUILIBRE  DES   FIGURES   PJRIFORMES. 

de  II0,  et  cela  parce  que  le  coefficient  de  stability  correspondant  a  R0  doit 
s'annuler  pour  Pellipsoide  E0. 

Galcul  du  moment  d'inertie. 
Le  calcul  de  J  est  plus  facile;  nous  avons  en  effet 


I'int^grale  etant  6tendue  a  tous  los  £l£ments  d?  de  la  poire;  le  moment  d'inertie 
de  Pellipsoi'de  E0  sera 


Fint^grale  (5tanL  6tendue  a  tous  les  elements  dr  de  Fellipsoide,  el  la  difference 
J  —  J0  seralameme  integrate  ^Lenduea  tous  les  6l4ments  de  la  coucae  comprise 
eutre  1'ellipsoide  et  la  poire.  Posons 

Q  =^_i_^2==  QQ^  U-~^  4-  ---- 

Nous  aurons 


-~ 


II  nous  faut  done  calculer  Qft  et  -~5  nous  avons  pos^  plus  haut 


Pour  p  =  p0,  II  est  nul;  de  sorte  que 
Qo=  BiRJMi 


Comme  les  fonctions  R  ne  sont  d^finies  qu'a  un  facteur  constant  pres,  nous 
pouvons  supposer  que  RI=  i,  et  que  le  coefficient  de  p2  dans  R3  et  dans  R/(  est 

a  i  . 
On  trouve  d'autre  part 


d'ou 


^Q 

du 


SUR   LA  STABILITE   DE  L3EQUILIBRE   DES  FIGURES   PIRIFORMES.  189 

Cette  expression  pent  facilement  se  mettre  sous  la  forme 


ou  les  C  sont  des  coefficients  numeriques  faciles  a  determiner. 
Nous  trouvons  d'abord 

/c\  ^  7        C 
°  d<*          J       J  3 

d'oti 


(car  nous  savons  que  ?i  est  nul). 
Passons  an  calcul  de 


i    rdQ  fdv\*  , 

-    /    -P  (  -7-  )    da. 
ij    du  \dvj 

Nous  pouvons  nSduire  f  ^  J    au  terme  unique 


Le  terme  cherch£  se  r^duit  done  a 
l-  5!  T  ^M§  N?  (C,  Mi  N* 

c'est-^-dire  a 

i 

de  sorte  que  finalement 
J  =  J0H-58 


Le  calcul  des  coefficients  B3RJi23  et  B4RJ&4  est  ais^. 

Si  en  effet  a1?  64,  Ci,  sont  les  trois  axes  d'un  elllpsoi'de,  on  sait  que  son 
moment  d'inertie  est 


d'ou 


Si  nous  ajoutons  a  1'ellipsoide  une  couche  infiniment  mince   d'^paisseur 


190  SUR   LA  STABILITY   DE   L^QUILIBRE   DES   FIGURES   PIRIFORMES. 

/^M.jN.j,  la  figure  reste  ellipsoidale,  mais  les  trois  axes  subissent  des  accrois- 


sements 


ou  #'),  M™,  N(3/I(/  =  i,  2,  3)  sont  les  fonctions  I,  M:i,  N3,  ou  Ton  a  fait  respec- 
tivement  : 

pour  i =  i  : 

pour  I  ~  2  : 

H  =  a,     v  =  c>     p  =  po ; 
pour  i •=  3  : 

On  voit  alors  que 


Dans  les  derives  -?—  >  *  •  *  »  on  a  fait  bien  entendu 


On.  trouverait  de  meme  Pexpression  de  B4RJ^'1. 

Conditions  de  la  stabilite. 

Soil  U  1'^nergie  de  gravitation  de  la  masse  envisag^e,  J  le  moment  d'inerlie, 

GO  la  vitesse  angulaire;  1'^nergie  lotale  sera  U  H  —  co^  J. 

2 

Soit  co0  la  vitesse  angulaire  de  Fellipsoide  critique  E0  et  posons 

\Y  —  U  H-  ^OO^J,  0)2=:(j)5-f-  2£, 

notre  teergie  totale  sera  W  +  e  J. 

Nous  avons  trouv^  plus  haut  le  diveloppement  de  W  et  celui  de  J  jusqu'a 
1  'approximation  qui  nous  convient;  nous  avons  d'abord 

W=W0+;SG^H-Ho£tH-SQ^. 

Nous  avons  appris  a  calculer  les  coefficients  G;?  H0  et  Qt;  nous  remar- 
querons  :  1°  que  les  Gz  ne  sont  autre  chose  que  les  coefficients  de  stability  ; 
2°  que  G5  est  nul,  et  qu'il  en  est  de  meme  de  Q5  ainsi  que  de  tons  les  coeffi- 
cients Q£-  qui  ne  se  rapportent  pas  a  une  fonction  de  Lam^  paire  et  uniforme. 


SUR   LA   STABILITE   DE   L/EQUILIBRE   DES   FIGURES   PIRIFORMES.  igi 

Comme  H0  se  compose  de  deux  parlies  qui  joueront  un  role  assez  different, 
j'dcrirai 


ii 


^^ 
-u    ?  I2    PJ^P  d-% 


2      ^.J  2  H  H-  I 

Nous  avons  d'aulre  part 


J  =  J0  -+-  y0  J  =  -f-  vg  |3  -f-  v  j  ^  ; 


et  nous  avons  appris  plus  haul  a  calculer  les  coefficients  y. 

On  obliendra  les  Equations  qui  definissent  la  poire,  en  ^crivant  que   les 
d6riv6es  de  T6nergie  sont  nulles;  on  trouve  ainsi  : 

i°  Par  la  deriv^e  par  rapport  a  £5  : 

2H0?|-i-eYo-4-SQ|g/=:o; 
2°  Par  la  deriv^e  par  rapport  a  £;>  : 

iiG3g3-»-  QsE5-^eV3=  o; 
3°  Par  la  d^rivee  par  rapport  a  ^  • 

26^4-+-  Q4£i-i-£Y4=  o; 

4°  Par  la  derivee  par  rapport  aux  autres  ^  : 

aG/^H-Q/Jl^o. 

Le  rapprochement  de  ces  diverses  Equations  donne 


La  quantit6  dont  il  faut  determiner  le  signe,  cyest 

£     . 

Or 

Posons  alors 


IQ2  SUR   LA   STABILITY   DE   L^EQUILIBRE  DES   FIGURES   PIRIFORMES. 

'     On.  voil  que  la  quanlite  dont  il  faut  determiner  le  signe  sera 
a)  J  —  cap  J0       „        i  /Jo         TH          Tf  \  /V  Q? 


Jl  est  ais£  de  verifier  que  cette  formula  (A)  est  homogene;  voici  ce  que 
j'enlends  par  la.  Les  fonclions  de  Lam£  M,-  ne  sont  d^finies  qu'a  un  facteur 
coaslant  pr^s,  et  nos  formules,  pour  avoir  un  sens,  doivent  elre  homogenes  par 
rapport  a  chacun  de  ces  facteurs  constants  arbitraires.  L'int^grale 


f=  C 


f  ds 


est  4videmment   proportionnelle    a  la   quatrieme    puissance   de    ce    facteur, 
puisque  ce  facteur  entre  dgalement  dans  Mt-  et  dans  Nz-. 

Nous  devons  done  verifier  que  la  formule  (A)  est  homogene  par  rapport 
a  QJ,  et  en  particulier  par  rapport  a  £2g.  Pour  6crire,  par  exemple,  qu'une 
quantitd  (B)  est  proportionnelle  a  la  aI&me  puissance  de  Qt  et  a  la  j3i6mo  puis- 

sance de  &3,  j'6crirai 

B  = 

Je  Lrouve  ainsi 


De 


d'ou 


On.  trouve  ensuile 


=[QJ]        etenfin  -3H-aH'=  fQ|]. 

Les  coefficients  appel^s  plus  haul  Bj  et  C;  dans  le  calcul  de  J  sont  propor- 

__  i 
lionnels  a  Qt  %  ce  qui  donne 


etenfin 


SUR   LA   STABILITE    DE   L'EQUILIBRE   DES    FIGURES   PIRIFORMES.  198 

D'autre  part 


3  -[SMS]-" 


-     --- 


de  sorte  qne  finalement  le  second  membre  de  notre  formule  (A)  est  homogene 
el  de  degr<£  i  par  rapport  a  &3  et  ne  conlienl  pas  les  autres  &/. 

Determination  des  integrates. 

Dans  les  coefficients  et  les  formules  qui  precedent  entrent  diverses  integralesr 
et  nous  devons  cbercher  a  les  calculer. 

i°  Les  axes  de  I'ellipsoide  E0  £tant  supposes  connus,  on  form  era  aisement 
les  diverses  fonctions  R/,  ce  n'est  qu'une  affaire  de  calcul  alg^brique;  on  a  a 
r£soudre  diverses  Equations  alg^briques,  et  ces  Equations  sont  du  second  degr£ 
pour  toutes  les  fonctions  de  Lam6  d'ordre  o,  1.2,  3,  et  pour  quelques-unes  de 
celles  d'ordre  4  ^t  5. 

Les  fonctions  R,-  ^tant  form  des,  on  aura  imm^diatement  les  valeurs  R^0  qui 
correspondent  a  p  --=  p0  et  aussi  celles  des  d£riv£es  successives  RJ,  RJ,  .... 

2°  Dans  nos  Equations  figurent  les  integrates  S/  ;  or  le  calcul  de  ces  integrates 

se  ramene  a  celui  des  int^grales  definies   /     dp  (  -r-  \  ^  • 

Quelle  est  la  forme  de  la  fonction-^3  qui  figure  sous  le  signe    f  ?  Nous 

allons  Fexprimer  en  fonction  de  Targument  elliptiqueS,  etnous  emploieronsles 
notations'^  et  d  de  Weierstrass.  Soit  R/=n,-IIi,  II;  etant  le  produit  de  o?  i,  2, 
ou  3  des  facteurs  \/(p2  —  aa),  \/(?~—b-),  V/(P"  —  c3)  et  11^  un  produit  de 
facteurs  de  la  forme  p2  —  X|.  Nous  poserons 

ps—  -alas  p(6  )—<?,,  p2  —  62=p(6)~^?  p2_-C2—  p(6)  —  tf3, 

d'oii 


Nous  avons  d'ailleurs  comme  on  sait 


La  valeur  z^ro  de  Fargument  9  correspond  a  p  ~oo,  et  nous  appellerons  00 
et  E^  les  valeurs  qui  correspondent  &  p  —  pc  ou  a  p=  X^. 

H.  P.  —  VII.  *5 


ig4  SUR   LA   STABILITY  DE  L'EQUILIBRE  DES   FIGURES  PIRIFORMES. 

Considerons  alors  la  fonclion  ~  comme  une  fonction  doublementp^riodique, 

Rr 

et  decomposons-la  en  elements  simples,  Les  Elements  simples  seront 

i°  Un  terme  constant. 

2°  Des  termes  en 

p(0  —  wO,     p(6  —  oJ2)?     p(8  —  CD-,) 


provenant  des  facteurs\/(p-  —  #a)<  /(p-  —  62),  V/(pa~  ca),  qui  peuvent  exister 
dans  R/. 

3"  Des  termes  en 

£(Q4-£A)  —  ?(0~£A):  P(6  —  S/J-HPCO-HE/J 

provenant  des  facteurs  p2  —  XjL 

Les  coefficients  de  ces  divers  termes,  sauf  le  terme  constant,  peuvent  se 
determiner  par  un  calcul  puremenl  alg^brique. 

Quant  au  terme  constant,  c'est  une  fonction  lin^airenon  homogene  des  ^(e/), 
fonction  lin^aire  dont  les  coefficients  peuvent  se  calculer  algebriquement. 

L'int^grale  ind^finie  contiendra  done  des  termes  en 


ce  qui  donnera  dans  Tint^grale  d^finie  des  termes  en 


Le  calcul  de  S/  se  ramene  done  au  calcul  de  ces  diverses  quantit6s.  Connais- 
sant  S/,  on  aura  inam^diatement  S^  et  Si'  par  les  formules 


4°  Nous  avons  ensuite  les  integrates  doubles 

•  —  C 


Mf  est  un   polynome   entier  connu  en  j)(0i);  Nf  est   le   meme   polynome 
en  <p(62);  n°^s  avons  d'ailleurs 


—  p(01)J. 
Quant  aux  Hmites  denigration,  elles  sont  donnees  par  les  Equations 


ce  qui  monire  qu'il  faut  faire  varier  6^  depuis  co,  —  co3  jusqu'a  &><  +  &)3  et 


SUR   LA   STAB1LITE    DE   I/EQUJLIBRE  DES   FIGURES   PIRIFORMES.  IC)5 

depuis  &>  a  —  coi  jusqu'a  oo;iH-  &<  le  long  des  cotes  convenables  du  rectangle  des 
p^riodes. 

Les  limites  etant  coastantes,  I'int6grale  double  se  ramene  a  une  combinaison 
d'iniegrales  simples  : 

_  P    ~  s*  *  -i 

ij;S=:V.-.  i       /   Mfcffii   I  IS7p(fVfr/^  —  f   N;^i>J   Mfp(fli)  «?6i     • 

Ces  integrates  simples  se  calculent  d'une  facon  tres  simple.  On  peut  par  un 
calcul  alg6brique  decomposer  Mf  el  M/24p(8i)  en  elements  simples,  c'est-a-dire 
en  polynome  dont  les  lermes  sont  des  multiples  de  J>(0i)  et  de  ses  derivees. 
Parini  ces  termes  nous  retiendrons  seulcment  le  terme  constant  et  le  lerme 
en  p(0i).  Le  premier  donnera  comma  integrales  Wi  et  &)n,  le  second  rtl  et  r^  i\ 
un  facteur  num6rique  pres. 

Le  calcul  de  Q/  est  ainsi  ramene  a  celui  des  periodes  w  el  75. 

5°  Nous  avons  ensuite  les  integrales 


Ici  encore  M:M,-  est  un   polynome  entier  en  p(0i)  et  N:N/  est  le  meme 
polynorne  en  J3(9a)-  On  a  d'ailleurs 

I 


Notre  integrate  double  se  ramene  encore  a  une  combinaison  d'integrales 

simples 

fMf^i      r^JN^p  (Qs)^a      r    NjN^6,      r 
—__^   ple^_pltto)     J  p(0.2}-o/ 


Le  calcul  se  fait  de  la  mfime  oianiere.  Chacune  des  fonctions  sous  le  signe  / 
doit  etre  decomposde  en.  elements  simples,  ces  Elements  sont  une  constante; 
p(8t)  ou  ses  d6riv6es,  et  enfin 


(e|) 

Les  coefficients  de  cette  decomposition  pouvant  se  calculer  algebriquement, 
Tiat^gration  introduira.  outre  les  periodes  co  et  TQ  ,  deuz  transcendantes  nouvelles, 
qui  seront 

' 


00)  fl 

—  -  T  .....  •-  ;  -  7TT  ^  4^300— 
(tOi-i-0>3—  Oo)  ^(^i—  W.-j-hilo) 

3  —  o>|  —  60  )  ef  (  o>;t  -4-  o)  »  -4-  ftp)        .      fl 

-  -  -  -      —  -     \  =  4  ^iiOo  — 


qui  se  ramdnent  d'ailleurs  Unites  deux  a  80  et  a 


196  SUR  LA  STABILITE  DE  L'EQUILJBRE  DES   FIGURES  PIRIFORMES, 

6°  Nous  avons  ensuite  Tint^grale  QI-~  qui  est  la  d6riv6e  de  la  pr^c^dente 

par  rapport  a  p.  (Ici  p  est,  bien  entendu,  pris  egal  a  p0.) 

Elle  depend  des  derivees  par  rapport  a  p  des  quatre  integrates  simples  qui 
figurent  dans  Fexpressipn  ci-dessus  de  &,[3j. 

La  derivee  de  chacune  de  ces  integrates  simples  se  calcule  d'ailleurs  aisement. 
Ghacune  de  ces  integrates  esl  une  somme  de  produits  ou  Tun  des  facteurs  est  i? 
o)/,  m  ou  v],90 —  &>,£(00)  et  ou  1'autre  facteur  est  un  coefficient  calculable  alge- 
briquement. 

La  derivee  de  ce  coefficient  par  rapport  a  p0  sera  ainsi  calculable  algebri- 
quement,  et  quant  a  la  derivee  du  premier  facteur  elle  sera 

o,     0?     o     ou     v^-^fgj^^       ^      ^     Pohz-co;p(0o)] 

II  ne  s'introduit  done  aucune  transcendante  nouvelle. 
7°  Gonsiderons  maintenant  Fintegrale 

Qir=/i 

Nous  aurons 
d'ou 


XQi)~  P(0o)]27    [p(92)-p(f»o)]2 

On  opererait  toujours  de  la  m£me  maniere  en  decomposant  chaque  fonction 
sous  le  signe  /  en  elements  simples.  Les  elements  simples  seront  ici,  outre 
une  constante  p(0, )  et  ses  derivees  : 


L'int^gration  introduira  done  les  m£mes  transcendantes  que  dans  le  cas 
de  Q/(3f  et  en  outre  (par  Ijint6gration  du  dernier  6l6ment  simple  que  je  viens 
de  citer)  :  4wi  —  4w<p(Qo)?  ce  ^^  n>est  Pas  une  transcendante  nouvelle. 


8°  II  ne  nous  reste  plus  que  les  integrates  &5  -j-  ?  i25  -^  qui  sont  les 
de  la  pr^c^dente. 

JQ 

En  raisonnant  comme  dans  le  cas  de  -~j  on  verrait  que  ces   int^grales 
n'introduisent  pas  de  transcendante  nouvelle. 


SUE   LA   STABILITE    DE   L'E*QUIUBRE   DES   FIGURES   PIRIFORMES.  197 

Le  calcul  de  ces  transcendantes  ne  peut  presenter  de  difficulte  si  Ton 
emploie  les  forinules  de  Weierstrass  reunies  et  raises  sous  une  forme  si 
commode  par  les  soins  de  M.  Schwarz.  On  n?a  qu'a  employer  des  series  tres 
convergentes  proc6dant  suivant  les  puissances  de  la  quantite  que  Jacobi 
appelle  q  et  Weierslrass  A.  D'ailleurs  dans  le  cas  de  Fellipsoide  Ea,  la  valeur 
de  q  est  si  petite  que  Fort  pourrait  s'amHer  au  premier  terme.  Ainsi  dans  le 
calcul  de{3/,  de  F,  de  leurs  d£riv£es  et  de&i,  on  ne  rencontrera  aucun  obstacle; 
car  il  ne  s'introduit  qu'un  petit  nombre  de  transcendantes  co1?  oo3,  v)1?  y]3,  £(00)?  QO- 
Le  calcul  ne  serait  pas  tout  a  fait  aussi  facile  pour  S/,  de  sorte  que,  dans  ce 
cas,  on  pourrait  recourir  avec  avantage  aux  developpements  donnes  par 
M.  Darwin  a  la  fin  de  son  Memoire  Ellipsoidal  Harmonic  Analysis  ,  et  qui 
precedent  suivant  la  quantit6  qu'il  appelle  (3. 

Si  les  axes  de  Fellipsoide  jacobien  critique  sontcomme  Fa  calcule  M.Darwin 
dans  son  second  M6moire  :  o,  65  066;  0,81498;  i?88583;  on  trouve,  sauf 
erreur  de  calcul  de  ma  part  : 

u>iTa 

h^e"1^  =:—  . 
200 

'.Oi  =  o  ,  53790  ;  w3  =ixo,  90628 

Tlt™    1,1956;  Ti:{  =  —  i  X   0,90BO; 

00=  0,27001;         S(00)  =0,71640. 

Nouvelle  expression  des  conditions  de  stabilite. 

La  determination  de  chacane  des  int^grales  ne  pr^sente  done  aucune 
difficult^,  et  le  calcul  serait  en  somme  fapile  si  ces  integrates  n^taient  en 
nombre  infini. 

Rappelons  le  r^sultat  obtenu  plus  haut.  La  poire  sera  stable  on  instable^ 
suivant  que  V  expression 


sera  positive  ou  negative. 

Or  nous  pouvons  tout  de  suite  remarquer  que  parmi  les  quantit^s  qui 
figurent  dans  cette  expression  :  T,  J07  o)J>  T»*  T^?  G;J,  GA?  H  ne  dependent  que 
d'un  nombre  fini  d'int^grales,  tandis  que 


et 


ig8  SUR   LA   STABILITY   DE   l/EQUILIBRE  DES   FIGURES  PIRIFORMES. 

dependent  d'une   infinite  d'integrales.  Toute   la  difficult^   provient  done  du 
calcul  de  la  quantit^ 

z=y4L_2H'. 


Heureusement  il  ne  s'agit  pas  de  calculer  la  valeur  exacte  de  cette  quantity, 
mais  de  reconnaitre  si  elle  satisfait  a  une  certaine  megalith.  Pour  dtudier  cette 
in6galit6,  il  faut  que  nous  mettions  en  Evidence  le  signe  de  plusieurs  de  nos 
quantit^s. 

Comrnengons  par  les  coefficients  de  stabilil6  G*.  Si  nous  suivons  la  s&rie  des 
elltpsoi'des  de  Mac  Laurin,  Lous  ces  coefficients  sont  d'abord  n^gatifs.  Le 
coefficient  G^  changera  de  signe,  tons  les  autres  reslant  n6galifs,  quand  nons 
arriverons  a  1'ellipsoide  de  bifurcation,  qui  est  on  m£me  temps  un  ellipsoide  de 
Mac  Laurin  et  un  ellipsoide  de  Jacobi.  Mais  a  partir  do  cet  ellipsoide  de 
bifurcation,  on  abandonne  la  s^rie  des  ellipsoides  de  Mac  Laurin  pour  suivre 
celle  des  jacobiens. 

Pour  cette  s£rie  le  coefficient  G3  est  ^galeraent  n^galif,  en  vertu  du  principe 
de  T^change  des  stabilites  convenablement  inlerpr6t6.  Pour  les  premiers 
jacobiens  jusqu'au  jacobien  critique,  tous  les  coefficients  G/  seront  done 
negatifs  sauf  G3.  Pour  le  Jacobien  critique,  tous  les  G,-  sont  n^gatifs  sauf  G5, 
qui  est  nul,  et  Gj,  qui  est  positif. 

D^terminons  ensuite  le  signe  de 


Je  renverrai  a  mon  M^moire  du  Tome  7  des  Acta,  et  au  paragraphe  intituled 
Stability  des  ellipsoides.  J'ai  expliqu^  dans  ce  paragraphe  que  tous  les 
jacobiens  sont  stables  si  Ton  assujettit  (a  titre  de  liaison)  la  figure  de  la  masse 
fluide  a  raster  ellipsoi'dale,  c'est-a-dire  si  Ton  assujettit  tous  les  £,  a  etre  nuls 
sauf  ^;i  et  £'L- 

J'ai  expose  en  meme  temps  la  condition  de  la  stability  qui  avec  notre 
notation  actuelle  s'ecrit 


ou  comme  il  s'agit  de  petites  deformations 


SUR   LA  STABJLITE   DE   L'EQUILIBRE   DES   FIGURES   PIRIFORMES.  199 

En  supposant  tous  les  £/ mils  sauf£3  et£4,  et  remplacant  W  — W0  et  J  —  J0 
par  leurs  valeurs,  nous  trouvons 

2J0 

ce  qui  entraine  1'inegalite 


Comme  wj,  J0  et  G3  sont  positifs  et  G4  n^gatif,  ljinegalit£  change  de  sens 
quand  on  la  divise  par  y|  G3G/(?  ce  qui  donne 


ou  enfin  Y  <<  o. 

Passons  a  la  determination  de  signe  de  T.  Pour  cela  nous  allons  envisager  le 
coefficient  Gs  pour  un  ellipsoide  de  Jacobi  tres  peu  different  du  jacobien 
critique. 

Soit  E'0  cet  ellipsoide,  et  -cojj  +  s  la  valeur  de  -w2  correspondante.   Nous 

pourrons  consid^rer  e  cornme  definissant  P  ellipsoide  E70  ;  nous  supposons  e  Ires 
petit. 

Soit  ensuite  S  une  surface  peu  diff&renle  de  E0  et  de  E70.  Soit  daj  un  6l6ment 
de  la  surface  de  E'0  et  I'  la  quantit6  qui  joue  par  rapport  a  E'0  et  a  da*  le  meme 
role  que  /  par  rapport  a  E0  et  a  o?a*  Par  les  diff^rents  points  de  da-1  je  mene  des 
courbes  normales  aux  ellipsoides  homofocaux  a  E;0,  et  je  les  prolonge  jusqu'a 
leur  rencontre  avec  S.  Soit  dv*  le  petit  volume  ainsi  form6.  Je  supposerai  que 
la  surface  S  ait  6t6  d£finie  de  telle  sorte  qne  Ton  ait 


n  etant  un  coefficient  constant  tres  petit,  M*  et  NJ  les  fonclions  qui  jouent  par 
rapport  a  E'0  lememe  role  que  M3  et  N3  par  rapport  a  E0- 

Soit  maintenant  do-  un  element  de  E0,  par  du  menons  des  courbes  f*  =  const. 
9  =  const.  prolong6es  jusqu'a  S,  et  soit  dv  le  petit  volume  ainsi  engendr6.  Nous 
poserons 


de  sorte  que  les  coefficients  E/  pourront  servir  a  definir  la  forme  de  S.  II  est 


200  SUR  LA  STABILITE   DE  L^QUILIBRE   DES   FIGURES  PIRIFORMES. 

clair  qae  les  &  sont  des  fonctioas  de  £  et  de  73,  d^veloppables   suivant  les 

puissances  de  s  et  de  YJ. 

pour  g  _  0?  peilipsoide  E\  se  reduit  a  E0,  el  Lous  les  &  s'annulent  a  1'excep- 

tion  de  £B,  qui  se  r4duit  a  73. 

Pour  YJ  =  o,  la  surface  S  se  reduit  a  E'0  ;  alors  &  et  £A  sont  des  quantity  du 
premier  ordre,  B  6tant  regard^  comme  de  premier  ordre,  tandis  que  les  autres  £/ 
seront  du  deuxieme  ordre. 

Si  done  £  et  rj  sont  regardees  comme  des  quanlil^s  du  premier  ordre,  &  (en 
exciuant  les  valeurs  i=3,  4,  5)  sera  du  deuxieme  ordre,  parce  que  tous  ses 
termes  contiendront  en  facteur  soit  s2,  soit  en;  £3  et  ^  se  r^duiront  a  -^e  et 
a  —  £  a  des  quantitis  pres  du  denxieme  ordre;  ^r,  se  r^duira  a  Y7  a  des  quantit^s 

we 

pres  du  deuxieme  ordre. 

Nous  devons  calculer  W-4-  zJ. 

Dans  ce  qui  va  suivre,  nous  n^gligerons  les  quantit^s  du  quatrieme  ordre  el 
en  plus  s3  et  s?r\.  Dans  ces  conditions  nous  pouvons  negliger  d'abord  tous  les 
monomes  du  quatrieme  ordre  par  rapport  aux  £,  et  arr^ter  le  d6veloppement 
de  W  suivant  les  puissances  des  £  au  troisieme  ordre  inclusivement.  Nous 
pouvons  6galement  n^gliger  les  monomes  du  troisieme  ordre  znultiplies  par  e, 
et  par  consequent  arreter  le  d^veloppement  de  sJ  suivant  les  puissances  des  £ 
au  deuxieme  ordre  inclusivement. 

Nous  negligerons  en  outre  :  les  ^(^  3,  4,  5)  qui  sonl  du  qualrteme  ordre; 
les  monomes  du  troisieme  ordre  en  £3  et  £,  qui  sont  au  quatrieme  ordre  pres 
cgaux  a  un  multiple  de  s3;  les  termes  en  \fifo  (ij£  3,  4«  5;  £,y  =  3,  45  5),  qui 
sont  du  quatrieme  ordre;  les  termes  en  $j(ij£  3,  4?  5),  qui  pourraient  figurer 
dans  J,  parce  qu'ils  conliennent  s3  en  facteur  et  par  cons6qunet  sont,  au' 
quatrieme  ordre  pres,  6gaux  a  un  multiple  de  e3  plus  un  multiple  de  e2yj. 

Dans  ces  conditions  nous  devons  conserver  les  termes  suivants  : 

dans  W  : 

W  =  W0H-G355-*-GiEJ-4-Q86i?3+Q4SS5vs 
dans  eJ  : 

£J  =  eJ0H~  sy0?l-^  s 

d'ou 


eJ«(  W0  H-eJ0)+G3Ei^G^f  ^Q3?i 
Pour  n  =  o,  cette  expression  se  reduit  a 


SUR   LA  STABILITE  DE   l/EQUILIBRE   DES   FIGURES   PIRIFORMES.  2OI 

ert  ses  d^rivees  doivent  s'annuler,  puisque  le  jacobien  esl  une  figure  d'^quilibre. 
On  aura  done 


d'ou,  a  des  quantit^s  pres  de  1'ordre  de  s2,  ou  de  eyj, 

£,  =  --£-  s,  gl  =  __g-6. 

Comme  £5  se  r£duit  a  yj,  pour  =  =  o,  on  aura 


en  n^gligeant  sa,  s2-/),  Ev)3,  y)4.  En  faisant  r^  =  o  il  vient 


D'autre  part,  commeri  joue  par  rapport  a  E\  le  m^me  role  que£5  par  rapport 
a  E0?  on  aura  avec  la  m£me  approximation 

W-i-sJ  =  Wf0  -h  G'5  V, 

G;.  4tant  le  coefficient  de  stability  relalif  a  1'ellipsoide  E'0  et  au  «  third  zonal 
harmonic  ». 


On  aura  done 


Si  nous  supposons  que  E'0  est  plus  allong^  que  E0,  s.  sera  n6gatif?  puisque  les 
vitesses  de  rotationvont  en  diminuant  dans  la  s^rie  des  jacobiens.  D'ailleurs  G'» 
sera  positif,  puisque  le  coefficient  de  stability  est  pass^  du  n£gatif  au  positif 
quand  on  a  franchi  I'ellipsoide  critique.  Done  T  <C  o. 

Revenons  aux  conditions  de  stabilite  de  la  poire. 

Posons 

X~2H  +  2H'-V^£,          Y-  1±  --H  ___  II. 

A-2H^2H         2j2l^5  <*l  2G3          2G,? 

Nous  avons  trouv6 

51X-hsT  =  o3 

s  se  rapportant  a  la  poire  et  non  plus  a  E'0. 


rr,  V^^  T^-^ 

—  T  --  ~—  ?  i  <  o,         1  <  o. 

T 

Pour  la  stability,  il  suffit  que  w  soil  maximum,  c'est-a-dire  que  £  soil  n^gatif; 
il  faut  et  il  suffit  que  &>J  soit  minimum,  c'est-a-dire  que 

wJ  —  fc>oJ0  !>  o. 
H.  P.  —  VII.  26 


202  SUR   LA   STABILITE    DE   L'EQUILIBRE   DES   FIGURES   PIRIFORMES. 

Or  s  <  o?  equivaut,  puisque  T  esl  negatif,  a  X  <  o.  G'est  done  la  uiie  condition 

suffisante  de  la  stability. 

X  Y 

Supposons  maintenant  X  >>  o;  alors  T  sera  negatif,  ~-=r  positif,  et  ooj  —  o)0J0 

negatif;  il  y  aura  done  instabilite. 

En  r£sum£  la  condition  necessaire  et  suffisante  pour  la  stability  est  X  <;  o,  ou 


ou 


Si  nous  observons  que  Rz'  est  positif,  SJ.ndgatif,  les  G,-  nigalifs  sauf  G;55  nous 
verrons  que  tous  les  termes  du  premier  membre  sont  positifs  sauf  2  H  et 21 . 

2Gs 

Si  done  il  j  a  instabilite,  e'est-a-dire  si  Pinegalite  pr6c6dente  n'a  pas  lieu,  il 
suffira  pour  le  constater  de  calculer  un  nombre  fini  de  termes  du  premier 
membre.  Si  au  contraire  il  y  a  stability,  on  ne  pourra  s'en  assurer  qu'en 
calculant  la  somme  des  termes  positifs  du  premier  membre  qui  sont  en  nombre 
infini,  ou  en  ^valuant  une  limite  sup6rieure  de  cette  somme. 


LES  FORMES  D'EQUILIBRE 
D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN   ROTATION  C) 


Revue  Generate  des  Sciences,  t.  3,  p.  Sog-SiS  (i5  decembre  1892). 


D'apres  les  idees  generalement  admises,  tous  les  astres  ont  etc  origins  ire- 
ment  liquides  ou  gazeux,  et  ceux  qui  n'ont  pas  conserve  leur  fluidity  primitive, 
ont  garde\  en  se  solidifiant,  la  figure  qu'ils  avaient  prise  quand  ils  etaient 
encore  fl aides. 

Les  astronomes  ont  ainsi  et6  conduits  a  se  poser  le  probleme  suivant,  afm 
d'expliquer  la  figure  des  corps  celestes  :  quelles  sont  les  forces  auxquelles 
etaient  soumises  ces  masses  fluides  qui  sont  devenues  les  astres  actuels  et 
quelles  formes,  d'e'quilibre  devaient  prendre  ces  masses  sous  1'inffuence  de  ces 
forces  ? 

La  premiere  de  ces  forces  4tait  {'attraction  newtonienne,  Ghaque  molecule 
fluide  etait  attiree  par  les  autres  parties  de  la  masse  en  raison  directe  des 
masses  et  en  raison  inverse  du  carr6  des  distances.  La  seconde  4tait  la  force 
centrifuge  produite  par  la  rotation  de  la  masse.  On  admet  que  cette  rotation 
devait  6tre  uniforme,  c?est-a~dire  que  toutes  les  parties  de  la  masse  devaient 
eSectuer  mi  tour  complet  dans  le  meme  temps.  Et  en  eflfet,  si  cette  uniformity 
n'existait  pas,  le  frottement  mutuel  des  diverses  parties  du  fluide  Taurait 
promptement  r^tablie. 

Determiner  la  figure  d'equilibre  d'un  fluide  soumis  a  ces  forces  est  un  pro- 
bleme  d'Hjdrostatiqne.  Ce  probleme  est  tres  difficile,  et  sa  solution,  quelque 
incomplete  qu'elle  soit  encore,  a  exige  de  grands  efforts,  que  ^importance  de  la 
question  justifiait  d'ailleurs  pleinement. 

(l)  Voir  anx  Notes,  Masses  fluides  en  rotation  (figures  annulaires  et  result ats  divers). 


204  FORMES  D'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 

Plusieurs  g^ometres  du  siecle  dernier,  parmi  lesquels  Clairaut  doit  etre  cit£ 
en  premiere  ligne,  ont  r^solu  le  probleme,  en  supposant  que  la  rotation 
est  lente  et  que  la  figure  d'^quilibre  differe  peu  d'ime  sphere.  C'est  bien  le 
cas,  en  effet,  pour  toutes  les  planetes  dans  leur  £tat  actuel;  et  cependant  cela 
ne  saurait  suffire,  car  on  pent  se  demander  s'il  en  est  encore  de  merne  pour 
certaines  £toiles,  comme  les  etoiles  variables,  par  exemple.  On  peut  aussi  sup- 
poser,  comrae  le  faisait  Laplace,  que  la  matiere,  qui  a  servi  a  former  les 
planetes,  a  d'abord,  en  se  d£tachant  du  Soleil3  affect6  une  forme  annulaire  et 
par  consequent  tres  diffdrente  d'une  sphere. 

Des  qu'on  ne  se  restreint  plus  aux  figures  sph^roidales,  le  probleme  devient 
beaucoup  plus  difficile,  et  il  est  encore  bien  loin  d'etre  r^solu,  m£me  en  sup- 
posant, comme  nous  aliens  le  faire,  que  la  masse  fluide  consid£r£e  est  homo- 
gene,  c'est~a-dire  que  sa  densit6  est  constante. 

Mac-Laurin  a  montre  qu'une  des  figures  d'^quilibre  que  peut  affecter  un 
fluide  homogene  en  relation  est  un  ellipsoide  de  revolution  aplati.  Pendant 
longtemps  on  a  pu  croire  que  cette  solution  6tait  unique. 

Mais  Jacobi,  au  commencement  de  ce  siecle,  a  d^couvert  une  solution 
vraiment  inattendue  :  certains  ellipsoides  a  trois  axes  in^gaux,  appel^s 
aujourd'hui  ellipsoides  de  Jacobi,  sont  6galement  des  figures  d'^quilibre. 
La  rotation  s'effectue  autour  du  petit  axe. 

Ce  r£sultat  causa  un  grand  ^tonnement.  On  s'etait  habitu6  a  regarder  comme 
evident  que  toutes  les  formes  d'^quilibre  devaient  etre  des  surfaces  de  r^volu- 
tion.  II  n'y  a  aucune  raison  pour  cela,  et  cette  Evidence  apparente  £tait  vaine. 
L'exemple  n'est  d'ailleurs  pas  rare  dans  les  annales  de  la  Science  et  ce  n'est 
pas  la  le  premier  fantome  de  ce  genre  qu'on  ait  vu  se  dissiper  ainsi. 

Gertaines  personnes  ontvoulu  expliquer  de  la  sorte  la  variability  de  certaines 
Etoiles  a  courte  p^riode.  Si  ces  astres  ont  la  forme  d7ellipsoi'des  de  Jacobi,  ils 
se  pr^sentent  a  nous  tantot  par  le  grand  axe,  tantot  par  1'axe  moyen  et  leur 
surface  apparente  doit  varier  p^riodiqueraenu  II  est  impossible  pour  le  moment 
de  se  prononcer  sur  la  valeur  de  cette  explication. 

On  a  fait  une  autre  hypothese  qui  se  trouve  reproduite  dans  quelques 
Ouvrages,  bien  qu'elle  ne  soutienne  pas  un  instant  d'examen.  A  une  certaine 
epoque,  les  geod^siens  avaient  cru  observer  que  Paplatissement  du  globe  n'est 
pas  le  m£me  pour  les  differents  m^ridiens  et  que  la  Terre  afTecte  la  forme  d7un 
ellipsoi'de  a  trois  axes  in^gaux.  On  a  dit  que  cette  figure  devait  £tre  un  ellip- 
soide cle  Jacobi.  G'etait  oublier  que  les  ellipsoides  de  Jacobi  different  tous 


FORMES  D'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  206 

beaucoup  de  la  sphere  et  que  le  seul  qui  soil  compatible  avec  la  vitesse  de 
rotation  de  la  Terre  est  une  sorte  d'aiguille  ires  allongee. 

Apres  la  decouverte  de  Jacobi,  on  a  6te  naturellement  conduit  a  se  demander 
s'il  n'existait  pas  d'autres  formes  d'equilibre  non  ellipsoidales. 

Le  probleme  a  eie  nettement  pose  dans  Fadmirable  Traite  de  Philosophic 
naturelle  de  Thomson  et  Tail  oii  se  trouvent  quelques  pages  eminemment  sug- 
gestives.  Ce  sont  ces  pages  qui  onl  inspire  les  recherches  ulterieures,  parmi 
lesquelles  les  plus  importantes  sonl,  sans  contredit,  celles  de  M.  Liapounoff- 
Les  travaux  de  ce  savant  russe,  ceux  de  M.  Matthiessen,  de  Mmc  KowalevskJ  et 
les  miens  ont  mis  en  Evidence  P  existence  de  nombreuses  formes  d'equilibre  sur 
lesquelles  je  voudrais  donner  quelques  details. 

I.  —  Formes  nouvelles  d'ecpiilibre. 

Equilibre.  —  Si  1'on  fait  varier  d'une  maniere  continue  le  moment  de  rota- 
tion (cjest-ci-dire  le  produit  du  moment  d'inerlie  par  la  vitesse  de  rotation),  les 
ellipsoides  de  Mac-Laurin,  comme  ceux  de  Jacobi  se  d^forment  d'une  maniere 
continue. 

Gonsid6rons  d'abord  les  ellipsoides  de  revolution  de  Mac-Laurin.  Quand  le 
moment  de  rotation  croitra,  1'aplatissement,  d'abord  ires  faible,  croitra 
constamment  et  finira  par  devenir  tres  considerable;  la  vitesse  de  rotation 
croitra  jusqu'£  uncertain  maximum,  pour  decroitre  ensuile  jusqu'a  s'annuler. 

Elle  peut  en  effet  d^croitre,  bien  que  le  moment  de  rotation  croisse,  parce 
que  Fautre  facteur,  qui  est  le  moment  d'inertie,  croit  tres  rapidement. 

On  arrive  a  des  resullats  analogues,  ainsi  que  Fa  d£montr6  LiouvilleT  en  ce 
qui  concerne  les  ellipsoides  de  Jacobi,  Ces  ellipsoides  n'existent  que  si  le 
moment  de  rotation  est  sup^rieur  a  une  certaine  valeur.  Quand  ce  moment  va 
en  croissant  £  partir  de  cette  valeur?  la  vitesse  de  rotation  d^croit  et  finit  par 
s'annuler;  le  grand  axe  va  en  croissant  et  le  petit  axe  en  d^croissant  sans  cesse; 
Faxe  moyen  d^croit  plus  rapidement  encore.  D'abord  il  est  6gal  au  grand  axe, 
de  telle  fagon  que  Peliipsoide  est  de  revolution  autour  du  petit  axe,  c'est-a-dire 
de  1'axe  de  rotation;  au  contraire  quand  le  moment  de  rotation  est  tres  grand 
et  la  vitesse  de  rotation  tres  petite,  I'axe  moyen  est  presque  £gal  au  petit  axe, 
(je  lolls  sorte  que  la  figure  ressemble  a  un  ellipsoide  de  revolution  tres  allonge. 

On  voit  que  les  deux  categories  d'ellipsoides  forment  deux  series  continues 
de  figures  d'equilibre.  Mais  il  y  a  une  figure  qui  est  commune  anx  deux  series 


206  FORMES   D'EQUILIBRE    D'UNE   MASSE   FLUIDE   EN   ROTATION. 

et  qui  est;  si  Ton  vent  me  permettre  cette  comparaison-,  un  point  de  bifurca- 
tion. Je  veux  parler  de  Fellipsoide  de  Jacobi  qui  correspond  a  la  valeur 
minimum  du  moment  de  rotation;  il  est  en  effet  en  meme  temps,  ainsi  que  je 
viens  de  le  dire,  un  ellipsoi'de  de  revolution  aplati. 

Je  Pappellerai  Fellipsoi'de  E±. 

Les  figures  nouvelles  d'^quilibre  dont  il  me  reste  a  parler  forment  de 
m£nie  des  series  continues;  et  quelques-unes  d'entre  elles,  qui  appartiennent 
en  m£me  temps  a  la  serie  des  ellipsoi'des  de  Mac-Laurin  ou  a  celle  des  ellip- 
soides  de  Jacobi,  sont  de  v^ritables  figures  de  bifurcation  analogues  a  Ej. 

Je  vais  chercher  a  faire  comprendre  la  forme  de  ces  figures  nouvelles. 
Prenons  d'abord  pour  point  de  depart  un  ellipsoi'de  de  revolution.  Par- 
tageons-en  la  surface  cix  n  + 1  zones,  en  y  tracani  n  paralleles.  ParLageons-la 
de  m£me  en  zp  fuseaux  egaux  par/?  m6ridiens  ^quidistants. 

Ces  paralleles  et  ces  meridiens,  se  coupant  a  angle  droit?  d^terminent  une 
sorte  de  damier;  imaginons  maintenant  que  la  surface  de  Fellipsoi'de  se  creuse 
ou  se  souleve,  de  telle  facon  que  les  cases  noires  de  notre  damier  soient  rem- 
plac^es  par  des  montagnes  tr^s  peu  6lev£es  et  les  cases  blanches  par  des 
valises  tres  peu  profondes;  nous  obtiendrons  ainsi  une  figure  d'e*quilibre  tres 
peu  diff&rente  de  Fellipsoi'de. 

Pour  nous  rendre  compte  de  la  forme  des  aulres  solides  d'^quilibre  de  la 
m£me  s<^rie,  nous  n'avons  qu'a  supposer  que  ces  reliefs  vont  en  s'accentuant  et 
que  les  lignes  qui  s^parent  les  depressions  des  montagnes  se  deforment  peu 
a  peu. 

11  est  inutile  d'ajouter  que  Faplatissement  de  Fellipsoide  qui  sert  de  point  de 
depart  et  les  latitudes  de  nos  n  paralleles  ne  peuvent  pas  £tre  choisis  arbitraire- 
ment  et  qu'ils  ne  sont  pas  les  memes  pour  toutes  les  series. 

Le  nombre  n  pcut  etre  nul  de  telle  sorte  que  Fellipsoide  soitseulement  divis^ 
en  fuseaux;  le  nombre  p  peut  aussi  £tre  nul,  de  sorte  qu'il  soit  seulementdivis^ 
en  zones. 

A  chaque  combinaison  des  deux  iiombres  n  et  p  correspond  une  s^rie  de 
figures  nouvelles  d^quilibre,  Observons  toutefois  que  les  combinaisons 
(n  =  o,  p  =  i),  (n=  i,  p  =  o),  (n=  i,  p  =  i)  ne  donnent  que  Fellipsoi'de  de 
Mac-Laurin  deplac^  mais  non  ddforme,  et  que  la  s^rie  qui  correspond  a  la 
combinaison  (n  =  o.  p=  2)  n'est  autre  chose  que  la  s^rie  des  ellipsoi'des  de 
Jacobi. 

Ces  figures  nouvelles  d'^quilibre  admettent  p  plans  de  sym6trie  passant  par 


FORMES   D'^QUILIBRE   D'UNE   MASSE   FLUIDE   EN   ROTATION.  207 

Faxe  de  rotation.  Si  p  est  nul,  elles  sont  de  revolution  aulour  de  cet  axe.  Enfin, 
si  n  est  pair,  elles  ont  un  p  +  ii6me  plan  de  symetrie  perpendiculaire  a  Faxe  de 
rotation. 

II  existe  d'autres  series  de  formes  d'equilibre  que  Ton  obtient  en  prenant 
comme  point  de  depart  un  ellipsoi'de  de  JaeobL 

Voici  comment  on  les  obtient  : 

Tragons  a  la  surface  d'un  ellipsoi'de  de  Jacobi  n  lignes  convenablement 
choisies  de  facon  a  la  diviser  en  n  -f- 1  zones,  entourant  les  poles  du  grand  axe. 
(Ces  lignes  doivent  etre  choisies  parmi  celles  que  les  geometres  appellent  lignes 
de  courbure. ) 

Imaginons  maintenant  que  la  surface  de  Fellipso'ide  se  creuse  ou  se  souleve 
de  telle  facon  que  la  premiere  de  ces  zones  soit  remplac^e  par  une  monlagne, 


Fig.  i. 


la  zone  suivante  par  une  valise,  la  suivante  par  une  montagne  et  ainsi  de  suite. 
Nous  obtiendrons  ainsi  une  figure  d'equilibre  tres  peu  diffi&rentede  Fellipsoi'de. 

Pour  nous  rend  re  compte  de  la  forme  des  autres  solides  d'^quilibre  de  la 
meme  s^rie,  nous  n'avons  qu?a  supposer  que  "ces  reliefs  vont  en  s'accentuant. 
Notre  ellipsoi'de  d6form6  va  presenter  alors  une  suite  de  renflements  et  d'^tran- 
glements  alternatifs,  formant  comme  une  s^rie  de  plis  transversaux. 

A  chaque  valeur  du  nombre  n^  i  partir  de  n=  3  inclusivement,  correspond 
une  de  ces  series  de  figures  d'^quilibre. 

Toutes  admettent  deux  plans  de  sym^trie  rectangulaires,  Fun  perpendicu- 
laire a  Faxe  de  rotation,  1'autre  passant  par  cet  axe.  Les  figures  d'6quilibre  qui 
correspondent  £  une  valeur  paire  de  n  admettent  un  troisieme  plan  de  symetrie 
perpendiculaire  aux  deux  premiers. 

JPappellerai  particulierement  I'attention  sur  la  s6rie  qui  correspond  a  n  =  3. 
Je  repr<Ssente  sur  la  figure  i  Fun  des  solides  d'^quilibre  de  cette  s6rie.  Le  trait 
pomtill&  est  le  contour  de  Fellipsoide  de  Jacobi  qui  a  servi  de  point  de  depart, 
et  le  trait  plein  est  le  contour  de  la  nouvelle  figure  d'^quilibre. 


2o8  FORMES  D'£QUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 

A 

Parmi  les  figures  de  cetle  s6rie,  il  y  en  a  une  qui  est  en  meme  temps  un 
ellipso'ide  de  Jacobi.  Je  Fappellerai  Fellipso'ide  F2. 

Stability.  —  Tous  ces  solides  sont  des  figures  d'dquilibre,  mais  eel  £quilibre 
est-il  stable  ?  C'est  ce  que  nous  avons  encore  a  examiner. 

Lord  Kelvin  (Sir  W.  Thomson)  et  M.  Tait,  dans  FOuvrage  que  j'ai  cil6  plus 
haut,  ont  les  premiers  remarque  qu'il  y  a  deux  sories  de  stability 

Observons  d'abord  qu'il  y  a  deux  especes  d'^quilibre.  II  y  a,  en  premier  lieu, 
F^quilibre  absolu  qui  est  attaint  quand  tous  les  corps  envisages  sont  en  repos; 
mais  ce  n'est  pas  celui-la  que  nous  avons  a  considerer  dans  le  probleme  qui  nous 
occupe,  puisque  notre  masse  fiuide  n'est  pas  en  repos  mais  en  rotation.  Seule- 
ment,  elle  paraitrait  en  repos,  a  un  observateur  qui  serait  entraine  comme  elle 
dans  un  mouvement  de  rotation  uniforme  :  elle  serait  en^guilibre  relatif  ^w: 
rapport  a  cet  observateur. 

Les  lois  de  F6quilibre  absolu  el  cellos  de  F^quilibre  relatif  ne  sont  pas  tout  a 
fait  les  m£mes.  L'un  et  Fautre  sont  stables  quand  ils  correspondent  au  minimum 
de  Fenergie  totale  du  systeme  envisag^.  II  est  clair  en  effet  que,  pour  faire 
sortir  le  systeme  de  sa  situation  d'^quilibre,  il  faut  lui  fournir  une  certaine 
quantit^  d'^nergie,  et  qu'il  ne  pourra  s'en  ^carter  beaucoup  que  si  cette 
d^pense  d'6nergie  esl  tres  grande. 

Cette  condition,  qui  est  toujours  suffisanie,  est  n^cessaire  dans  le  cas  de 
F^quilibre  absolu;  elle  ne  Fest  pas  dans  le  cas  de  F^quilibre  relatif;  un  systeme 
anim6  d'un  mouvement  de  rotation  tres  rapide  peut  £tre  en  ^quilibre  stabl(3 
sans  que  Fenergie  soit  minimum. 

C'est  I&  Fexplication  d'une  foule  de  paradoxes  dynamiques;  je  n'en  citerai 
qu'un  qui  est  d'observation  vulgaire  et  qui.,  pour  cette  raison,  a  presque  cess6 
de  nous  sembler  surprenant :  la  toupie,  quand  elle  tourne  assez  vite,  peut  se 
maintenir  debout  sur  la  pointe. 

Ainsi,  quand  meme  Fenergie  n'est  pas  minimum,  un  systeme  peut  conserver 
son  6tat  d'6quilibre  relatif  pendant  un  temps  ind^fini.  II  le  pourrait  du  moins  si 
les  frottements  6taient  nuls. 

Mais  Lord  Kelvin  a  ddmontr^  que,  si  les  frottements  existent,  quelque 
faibles  qu'ils  soient,  il  n'en  est  plus  de  meme  et  que  F^quilibre  finira  par  etre 
d^truit,  a  moins  que  Fdnergie  ne  soit  minimum.  C'est  ainsi,  pour  reprendre 
notre  exemple,  que  la  toupie  finit  par  se  ralentir  et  par  tomber. 

II  y  a  done  deux  sortes  de  stability  :  la  stability  ordinaire,  dont  les  frotle- 


FORMES  D'EQUILIBRE   D'UNE   MASSE   FLUIDS   EN   ROTATION,  209 

inents  finissent  par  avoir  raison,  et  la  stabilite  s^culaire  que  les  frottements  ne 
peuvent  d^truire. 

C'est  la  seconde  qui  doit  nous  interesser  le  plus. 

En  se  plagant  au  point  de  vue  de  la  stabilite  seculaire,  les  ellipsoi'des  de 
Mac-Laurin,  moins  aplatis  que  EI,  sont  stables;  les  autres  sont  instables.  Les 
ellipsoi'des  de  Jacobi,  moins  differents  de  Pellipso'ide  de  revolution  que  E2, 
sont  stables;  les  autres  sont  instables. 

Enfin  toutes  les  figures  nouvelles  dont  nous  avons  parle  plus  haut  sont 
instables,  a  Perception  de  la  serie  sur  laquelie  nous  avons  insiste  &  la  fin  du 
paragraphe  precedent  (*). 

C'est  celle  qui  derive  de  1'ellipsoide  de  Jacobi  et  qui  correspond  au  cas  de 
7t=3.  G'est  elle  dont  fait  partie  la  forme  d'^quilibre  que  nous  avons  repr£- 
sentee  plus  haut  sur  la  figure  i . 

II.  —  Consequences  cosmog-oniques. 

On  pent  tirer  de  ce  qui  precede  quelques  consequences  int^ressantes.  Sup- 
posons  une  masse  fluide  homogene  animee  d'une  rotation  uniforme.  Imaginons 
que  cette  masse  se  refroidisse  et  se  condense;  supposons  qu'en  se  condensant 
elle  demeure  homogene  et  que  son  refroidissement  soil  assez  lent  pour  que  les 
frottements  aient  le  temps  de  maintenir  Puniforimte^  de  la  rotation. 

Le  moment  de  rotation  de  la  masse  devra  demeurer  constant,  et  comme  son 
moment  d'inertie  va  en  diminuant,  sa  vitesse  de  rotation  ira  au  contraire  en 
augmentant.  Si,  au  d^but  de  la  condensation,  la  vitesse  de  rotation  est  faible  et 
la  figure  de  notre  masse  fluide  peu  diffe>ente  djune  sphere,  son  aplatissement 
ira  en  croissant  avec  la  vitesse  de  rotation. 

La  masse  fluide  conservera  pendant  quelque  temps  la  forme  d'un  ellipsoi'de 
de  revolution  d'abord  peu  aplati  (fig*  2),  puis  plus  aplati  (Jig.  3). 

(Dans  les  figures  2  a  9  qui  represententles  formes  successives  de  la  masse  qui 
se  condense,  chaeune  de  ces  formes  est  represented  par  deux  projections,  Tune 
verticale  dans  la  partie  sup^rieure  de  la  figure,  Pautre  horizontale  dans  la  partie 
infexieure;  Paxe  de  rotation  est  suppose^  vertical.) 

L'ellipsoide,  s'aplatissant  de  plus  en  plus,  cessera  bientot  d'etre  stable,  ou 
du  moins  de  conserver  la  stability  seculaire.  II  est  vrai  qu'il  conservera  encore 

( 1 )  Gelle-ci  est  6gaiemenl  instable.  Voir  aux  Notes,  Figures  piriformes. 

H.  P.  —  VIL  27 


2IO  FORMES  D'^QUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 

quelque  temps  la  stability  ordinaire;  mais  les  figures  d^quilibre  qui  ne  pos- 
sedent  qae  cette  sorte  de  slabilit<5  finissent,  comme  nous  1'avons  vu,  par  6tre 
dtetruites  par  les  frottements.  Si  done  le  refroidissement  est  assez  lent,  ces 


Fig.  2. 


Fig.  5. 

ellipsoi'des  ne  pourront  subsister,  et  la  masse  fluide  devra  prendre  la  forme 
d'un  ellipsoi'de  de  Jacobi,  d'abord  peu  different  d?un  ellipsoide  de  revolution 
(fig*  4)  puis  plus  allong^  (fig.  5). 

Mais  rellipsoide  de  Jacobi,  cessera,  a  son  tour,  d'etre  stable  et  la  masse 
fluide  prendra  des  formes  d'^quilibre  appartenant  a  la  s^rie  de  figures  nouvelles 
repr£sent6es  plus  haut  (fig*  i). 


FORMES  D'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  211 

D'abord  peu  diflferenles  de  rellipso'ide  E2,  notre  masse  fluide  prendra  pour 
ainsi  dire  la  forme  d'un  ceuf  avec  un  gros  et  un  petit  bout. 

Puis   elle  se  creusera   dans  le   voisinage   du  petit  bout  (fig.  6);  ce  relief 


Fig.  6. 


Fig.  7. 


s'accentuant  peu  a  peu,  il  se  produira  a  cetle  place  un.  tkranglement  (Jig.  7) 
qui  fera  pr^sager  la  division  du  fluide  en  deux  masses  distinctes. 

Ces  deux  masses,  s'^tant  separ^es,  restent  d'abord  voisines  Tune  de  1'autre. 


Fig.  8. 


t        I 

o 


o 


Ghacune  d'elles,  sous  TinSuence  de  Tattraclion  de  Tautre  masse,  prend  une 
figure  piriforme  (fig-  8). 

Le  refroidissement  contmuant,  chacune  des  masses  se  condense,  sa  rotation 
devient  de  plus  en  plus  rapide  et  cesse  d'etre  6gale  a  la  vitesse  de  revolution 
des  deux  masses  autour  do  leur  centre  de  gravity  commun.  Enfin,  quand  les 


212  FORMES   D'EQUILIBRE   D;UNE  MASSE   FLUIDE   EN   ROTATION. 

dimensions  des  deux  masses  sont  devenues  suffisamment  pelites  par  rapport  a 
la  distance  qui  les  s6pare,  leur  figure  se  rapproche  de  1'ellipsoide  (Jig.  9). 

On  pourrait  etre  tent4  de  tirer  de  la  des  consequences  cosmogoniques  et 
d'expliquer  de  cette  maniere  Porigine  des  planetes.  Le  Soleil,  en  se  conden- 
sant  peu  a  peu,  n'aurait  pas  alors,  comme  Ie  croyait  Laplace,  abandonne  sue- 
cessivement  des  anneaux  d'ou  les  planetes  seraient  sorties  ensuite  :  il  se  serait 
au  contraire  d6form£  jusqu'a  ce  qu'une  petite  masse,  destin^e  a  devenir  une 
planete,  se  d^tache  d'un  point  quelconque  de  son  ^quateur.  Mais,  avant 
d'adopter  cette  conclusion,  il  faut  tenir  compte  de  certaines  remarques  qui  lui 
enlevent  beaucoup  de  probability. 

En  premier  lieu,  nous  avons  suppos£  notre  masse  hoinogene;  au  conlraire, 
la  n^buleuse,  qui  a  servi  a  former  le  systeme  solaire,  4tait  sans  doute  tres  h6t£- 
rogene  et  une  grande  partie  de  sa  masse  devait  etre  condens^e  au  centre.  II  est 
impossible,  pour  le  moment,  de  se  rendre  compte  des  changements  que  cette 
h£tdrog£n£it6  apporterait  dans  nos  r^sultats. 

En  second  lieu,  les  deux  masses  repr£sent£es  dans  la  figure  9  sont  compa- 
rables;  la  plus  petite  serait  sans  doute  la  moiti6  ou  le  tiers  de  Pautre;  au 
contraire  la  masse  de  Jupiter  n'est  que  la  millieme  partie  de  celle  du  SoleiL 

Peut-etre  le  processus  que  je  viens  de  d6crire  (fig*  %  &  9)  se  rapproche-t-il 
plus  de  celui  qui  a  produit  certaines  (itoiles  doubles  que  de  celui  d'ou  est  sorti 
le  systeme  solaire.  Tout  dans  tous  les  cas  reste  hypoth^tique, 

Anneau  de  Saturne.  —  Les  figures  dont  nous  venons  de  parler  ne  sont  pas 
les  seules  qui  soient  connues.  II  y  a  longlemps  deja.  M.  Matthiessen  avait 
entrevu  la  possibility  des  figures  annulaires  d'equilibre,  et  le  m£me  r^sultat 
avait  et6  retrouv^  ensuite  par  Lord  Kelvin,  qui  s'est  borne  a  F^noncer.  Grace 
aui  travaux  de  Mmc  Kowalevski  etaux  miens,  nous  en  poss^dons  une  d^mon- 
stration  rigoureuse,  peu  diflferente  probablement  de  celle  que  Lord  Kelvin  avait 
d^couverte,  mais  n?a  pas  publi^e. 

On  peut  6tablir  qu'une  masse  fluide  en  rotation,  soustraite  a  toute  action 
ext^rieure,  peut  prendre  la  forme  d'un  anneau  analogue  a  celui  de  Saturne, 
mais  sans  masse  centrale.  Si  la  vitesse  de  rotation  est  faible,  cet  anneau  sera 
une  sorte  de  tore  tres  d6li£  dont  la  section  m^ridienne  diff6rera  tres  peu  d'urie 
ellipse  peu  aplatie;  mais  T&juilibre  de  ces  figures  est  ins  table. 

Pour  bien  le  faire  comprendre,  le  mieux  est   de  dire  quelques  mots  des 


FORMES  D'EQUILIBRE  D'UNE   MASSE  FLUIDE   EN   ROTATION.  2l3 

Lravaux  de  Maxwell  sur  la  stability  de  Fanneau  de  Saturne.  On  peut  faire,  au 
sujet  de  ia  nature  de  cet  astre,  trois  hypotheses  differences  : 

i°  L/anneau  est  solide ; 

2°  II  est  form£    d'un   tres   grand   nombre  de  satellites   tres  petils,   que  le 
telescope  ne  peut  s^parer  les  uns  des  autres; 
3°  II  est  fluide. 

Laplace  avait  fait  voir  depuis  longtemps  que,  si  Panneau  est  solide,  son 
(Squilibre  ne  peut  etre  stable  si  sa  figure  est  sym^trique  et  si  son  centre  de 
gravit^  coincide  avec  son  centre  de  figure.  Mais  il  croyait  qu'il  suffisait,  pour 
r^tablir  la  stabilite,  de  supposer  des  irr^gularit^s  peu  importantes  que  les  obser- 
vations ne  pouvaient  d^celer. 

Un  savant  anglais,  dont  des  travaux  d'une  tout  autre  nature  ont  illustr^  le 
nom,  le  c£lebre  £lectricien  Clerk  Maxwell,  a  repris  la  question  par  une  analyse 
tres  simple.  II  a  montr£  qu'un  anneau  solide  est  instable  a  moins  de  presenter 
des  irr6gularit£s  6normes.  Si  elles  existaient,  le  telescope  nous  les  aurait  fait 
connaitre  depuis  longtemps.  Si  j'ajoute  que,  d'apres  les  calculs  de  Him,  un 
anneau  solide,  plusieurs  milliers  de  fois  plus  resistant  que  Tacier,  se  romprait 
sous  1'effort  des  attractions  subies  par  Tanneau  de  Saturne,  on  conclura  que  la 
premiere  hypothese  doit  ^tre  rejet^e. 

Passoas  a  la  seconde,  qui  a  <§te  propos^e  autrefois  par  Cassini.  II  serait  trop 
difficile  de  traiter  le  probleme  dans  toute  sa  g6n<$ralit6;  aussi  Maxwell  s'est-il 
born£  a  quelques  cas  simples  ;  je  neparlerai  que  du  plus  simple  de  tous.  Imagi- 
nons  une  couronne  de  satellites  £gaux?  6galement  espac^s  surune  circonf^rence 
ayant  pour  centre  Saturne  et  d^crivant  cette  circonference  d'un  mouvement 
uniforme.  II  est  clair  que  ce  mouvement  peut  se  continuer  ind^finiment  si 
aucune  cause  ext^rieure  ne  vient  le  troubler.  Mais,  si  une  semblable  cause 
vient  y  apporter  une  perturbation  tres  petite,  la  couronne  va-t-elle  finir  par  se 
disloquer,  ou  bien  sa  deformation  restera-t-elle  tres  petite  ?  End^utres  termes, 
1'^quilibre  de  notre  couronne  sera-t-il  stable  ? 

Jene  puis,  bien  entendu,  reproduire  iciTanalyse  du  savant  anglais,  et  je  dois 
me  contenter  d'un  apergu  grossier.  On  peut  voir  d'abord  que,  si  Tastre  central 
n'existait  pas,  F6quilibre  serait  instable.  Si,  eneffet,  Tun  des  satellites  prend  de 
Tavance  pour  une  cause  quelconque,  il  se  rapproche  du  satellite  qui  est  devant 
lui  et  s'eloigne  de  celui  qui  est  derriSre.  II  est  plus  attir^  par  le  premier  et 


2i4  FORMES  D'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 

moins  par  le  second:  sa    marche  est  encore    acc^l^ree;  son   avance   tend   a 
s'accroitre  et  la  couronne  a  se  disloquer. 

Si  nous  supposons  au  contraire  que  les  masses  des  satellites  soientinfiniment 
petites  par  rapport  a  celle  de  Saturne,  chaque  satellite  se  comportera  comme 
s'il  £tait  seul;  or,  nous  savons  que  le  mouvement  d'un  satellite  isol6  est  stable. 
On  peut  done  prevoir,  sans  qu'il  soit  ndcessaire  d'avoir  recours  a  un  calcul 
complet,  que  la  condition  de  la  stability  de  notre  couronne  sera  que  sa  masse 
soit  suffisamment  petite  par  rapport  a  celle  de  Pastre  central. 

Le  meme  resultat  subsists  pour  un  systeme  plus  compliqu6  de  satellites; 
c'est  encore  le  m£me  qu'obtient  Maxwell  dans  la  troisieme  hypoth£se?  c'est- 
a-dire  en  supposant  la  masse  fluide.  Par  un  calcul  qui  n'est  peut-etre  pas 
parfaitement  rigoureux,  il  demontre  qu'un  anneau  fluide  ne  peut  etre  stable 
que  si  sa  density  mojKenne  est  au  plus  &gale  a  la  3ooe  partie  de  celle  de  la 
planete. 

Mais,  on  peut  computer  le  resultat  de  Maxwell  par  un  raisonnement  qui  est 
assez  court  pour  etre  reproduit  ici.  On  sail  que  les  6lectriciens  se  repr^sentent 
un  champ  ^lectrostatique  comme  sillonne  par  un  tres  grand  nombre  de  lignes 
deforce.  Ce  qui  d^finit  une  de  ces  ligaes,  e'est  qu^en  chacun  de  ses  points  la 
tangenteest  la  direction  de  la  force  61ectrique. 

Gette  image  leur  est  tres  pr^cieuse,  car  elle  peut  remplacer  dans  la  pratique 
une  foule  de  formules  math^matiques  qui  sont  abstraites  et  compliqu^es.  Mais 
ils  usentaussi  d'une  autre  image;  ils  supposent  chacune  de  ces  lignes  de  force 
remplac6e  par  un  petit  canal  qui  est  parcouru  par  un  liquide  fictif  avec  un 
d6bit  constant  et  dans  le  sens  de  la  force  electrique.  La  quantit^  de  ce  liquide 
imaginaire  qui  passe  a  travers  une  surface  quelconque,  s'appelle  le  flux  de 
force  qui  traverse  cette  surface.  Tout  se  passe  alors  comme  si  chaque  molecule 
d'6lectricit<S  positive  £mettait  continuellement  une  quantite  constante  de  ce 
liquide,  et  si  chaque  molecule  d^lectricit^  negative  en  absorbait  au  contraire 
continuellement  une  quantity  constante.  On  peut,  en  d'autres  termes,  rdsumer 
toutes  les  lois  de  1'Electrostatique,  en  disant  que  le  flux  de  force  qui  traverse 
une  surface  ferm^e  est  proportionnel  a  la  somme  alg^brique  des  masses  ^lec- 
triques  contenues  a  Tint^rieur  de  cette  surface. 

La  m£me  regie  peut  s'appliquer  a  Fattraction  newtonienne  :  cette  force  suit, 
en  effet,  la  m^me  loi  que  Tattraction  Electrique.  qui  est  la  raison  inverse  du 
earn*  des  distances.  Elle  s'applique  encore  quand,  au  lieu  de  consider  la 


FORMES  D'^QUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION.  ?.i5 

gravitation  seule,  on  considere  la  resultante  de  la  gravitation  et  de  la  force  cen- 
trifuge. 

Iniaginons  en  efiet  une  matiere  fictive  dont  Faction  sur  les  corps  voisins  soit 
conforme  a  laloi  de  Newton,  mais  soit  repulsive,  au  lieu  d'etre  attractive.  G'est 
ce  que  Fon  peut  exprimer,  si  Ton  prefere,  en  disant  que  la  densite  de  cette 
matiere  est  negative. 

Supposons  que  cette  matiere  fictive  affecte  la  forme  d'un  cjlindre  de  Evolu- 
tion indefini,  a  Finterieur  duquel  se  trouvent  tous  les  corps  que  Ton  veut 
envisager;  et  que  sa  densite  soit  proportionnelle  au  carrd  de  la  vitesse  de 
rotation.  La  repulsion  exerc^e  par  cette  masse  fictive  aura  m£me  grandeur  et 
m£me  direction  que  la  force  centrifuge.  Pour  obtenir  la  resultante  de  la  gravi- 
tation et  de  la  force  centrifuge,  il  suffira  done  de  considerer  a  la  fois  Faction 
de  toutes  ces  masses,  tant  r^elles  que  fietives. 

Cela  pose,  considerons  notre  masse  fluide  en  rotation  et  une  molecule  super- 
ficielle  faisant  partie  de  cette  masse,  et  soumisepar  consequent  a  la  gravitation 
et  a  la  force  centrifuge.  La  force  to  tale,  qui  agit  sur  cette  molecule,  doit,  pour 
qu'il  y  ait  equilibre,  £tre  normale  a  la  surface  de  la  masse;  mais,  pour  que  cet 
equilibre  soit  stable,  il  faut  de  plus  que  cette  force  soit  dirigee  vers  Finterieur 
de  la  masse  fluide,  sans  quoi  elle  tendrait  a  en  detacher  notre  molecule.  Toutes 
les  lignes  de  force  coupent  done  normalement  la  surface  de  la  masse,  et  le 
liquide  imaginaire,  qui  est  suppose  les  parcourir,  et  dont  la  vitesse  a  m£me 
direction  que  la  force  totale,  doit  toujours  traverser  cette  surface  en  allant  du 
dehors  au  dedans.  II  en  resulte  que  le  flux  de  force  total  qui  traverse  cette 
surface  est  positif,  et  comme,  d'aprds  la  regie  enonceeplus  haut,  il  est  propor- 
tionnel  a  la  somme  algebrique  de  toutes  les  masses,  tant  reelles  que  fictives, 
situees  a  Finterieur  de  cette  surface,  cette  somme  alg^brique  doit  aussi  &tre 
positive. 

En  d'autres  termes,  la  densite  moyenne  du  fiuide  reel  doit  etre  superieure 
en  valeur  absolue  a  la  densite  de  la  matiere  fictive,  laquelle,  comme  nous 
Favons  vu,  est  elle-meme  proportionnelle  au  carre  de  la  vitesse  de  rotation. 

Cette  regie,  appliquee  a  Fanneau  de  Saturne,  nous  apprend  qu'un  anneau 
fluide  ne  peut  £tre  stable  que  si  sa  densite  est  au  moins  egale  a  la  seizieme 
partie  de  celle  de  la  planete.  Ce  resultat,  rapproche  de  celui  de  Maxwell,  nous 
amene  a  cette  conclusion  que  Fatmeau  ne  peut  etre  fluide,  et  nous  force  a 
adopter  Fhypothese  de  Cassini,  que  les  observations  de  M.  Trouvelot  semblent 
dfailleurs  confirmer. 


2i6  FORMES  D'EQUILIBRE  D^UNE  MASSE  FLUIDE  EN  ROTATION. 

Pour  la  ra£ine  raison,  les  figures  annulaires  d'equilibre,  etudiees  par 
Mme  Kowalevski,  ne  peuvent  £tre  stables. 

Figure  de  la  Terre.  —  Je  ne  dirai  que  quelques  mots  du  cas  beaucoup  plus 
difficile  ou  la  masse  en  rotation  est  suppos^e  heterogene.  C'est  certainement  ce 
qui  se  passe  pour  la  Terre,  et  ce  qui  complique  encore  la  question,  c'est  que  la 
loi  suivant  laquelle  la  densite  varie  dans  Finterieur  du  globe  nous  est  absolu- 
ment  inconnue.  Loin  de  pouvoir  nous  en  servir  pour  calculer  Faplatissement, 
nous  devons,  an  conlraire,  profiter  des  mesures  des  gdod^siens,  pour  tacher  de 
deviner  cette  loi. 

Nous  disposons  pour  r^soudre  ce  probleme  d'une  autre  donn^e,  qni  est  la 
constante  de  la  precession  des  equinoxes.  On  sait  en  effet  que  ce  ph6nomene 
est  du  a  Faction  du  Soleil  sur  le  renflement  Equatorial  du  globe  terrestre,  et 
comme  cette  action  depend  de  la  fa^on  dont  varie  la  densite  int^rieure,  les 
observations  de  la  precession  peuvent  nous  renseigner  sur  cette  variation. 

Au  premier  abord,  on  serait  tente  de  croire  que  le  probleme  est  non  seule- 
ment  toujours  possible,  mais  qu'il  reste  indetermine  et  qu'on  pourra  trouver 
une  infinite  de  lois  satisfaisant  a  ces  deux  donn^es  d'observation.  Loin  de  la  : 
une  serie  de  recherches  r£centes,  parmi  lesquelles  celles  de  M.  Radau  sont  les 
premieres  en  date  et  en.  importance,  ont  montr£  qu'on  ne  peut  trouver  aucune 
loi  des  densites  qui  satisfasse  a  la  fois  a  Taplatissement  mesure  et  a  la  pr^ces- 
sion  observe. 

Les  G6od6siens  concluent  a  un  aplatissement  de  1/292,  tandis  que  Taplatis- 
sement  le  plus  grand  qui  soit  compatible  avec  la  precession  observe  est 
de  1/297. 

II  est  impossible  pour  le  moment  de  se  prononcer  sur  la  valeur  des  nom- 
breuses  hypotheses  que  Ton  peut  faire  pour  expliquer  cette  divergence. 

Les  mesures  g^odesiques  doivent-elles  £tre  revisees  ?  doit-on  supposer  que 
la  Terre  n'est  pas  un  ellipso'ide  de  revolution  et  que  Paplatissement  n'est  pas  Je 
m£me  suivant  les  divers  meridiens  ou  dans  les  deux  hemispheres  ? 

Je  ne  crois  pas  que  les  mesures  les  plus  recentes  autorisent  cette  conclusion. 

Admettra-t-on  que  la  Terre,  solidifiee  depuis  longtemps  dans  presque  toute 
sa  masse,  a  conserve  Paplatissement  du  a  lavilesse  de  rotation  qu'elle  possedait 
au  moment  de  sa  solidification  et  que  sa  rotation  a  depuis  cette  epoque  ete 
consideratleraent  ralentie  par  Faction  des  marees  ? 

Croira-t-on  au  contraire  que  la  croute  solide  esttres  mince  et  que  I'iiitdrieur, 


FORMES  D'EQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE   EN  ROTATION.  217 

rest£  liquide,  esl  le  siege  de  mouvements  compliqu^s  tres  differents  de  ceux 
que  petit  prendre  un  corps  solide  ?  Les  calculs  de  Laplace  ayant  et6  fails  en 
regardant  la  Terre  comme  un  solide  invariable,  on  concoit  que  la  precession 
d'un  pareil  systeme  puisse  £tre  tres  difFerente  de  la  precession  ih^orique. 

Enfin,  on  peut  supposer  encore  que  Taplatissement  primilif  a  et6  alt6re 
parce  que  les  diverses  couches,  en  se  contractant  par  suite  du  refroidissement 
du  globe,  ont  exerce  les  unes  sur  les  autres  des  pressions  et  se  sont  mutuelle- 
ment  d^formees. 

Mais  je  m'arr£te,  il  est  inutile  de  multiplier  les  hypotheses  puisque  toutes 
ces  questions  doivent  rester  provisoirement  ind^cises. 


SUR  UNE  FORME  NOUVELLE  DES  EQUATIONS 
DE  LA  MECANIQUE 


Comptes  rendus  de  VAcademie  des  Sciences,  t.  132,  p.  869-371  (18  f^vrier  1901). 


A.yant  eu  Foccasion  de  m'occuper  du  mouvement  de  rolation  d'un  corps 
solide  creux,  dont  la  cavit£  est  remplie  de  liquide,  j'ai  6t6  conduit  a  mettre  les 
Equations  g6n6rales  de  la  Mfecanique  sous  une  forme  que  je  crois  nouvelle  et 
qu'il  peut  £tre  int&ressant  de  faire  connaitre. 

Supposons  qu'il  y  ait  n  degr^s  de  libert^  et  d^signons  par  o?i,  #2,  .  .  .  ,  xn  les 
variables  qui  d^finissent  T<kat  du  systeme.  Soient  T  et  U  F^nergie  cin^tique  et 
F4nergie  potentielle. 

Envisageons  un  groupe  transitif  continu  quelconque.  Soit  XjQf)  une  substi- 
tution infinit^simale  quelconque  de  ce  groupe,  telle  que 

v   /  f\  _  vi    dj          Y  2   af  ^,  n    dj 

A  i  (T  )  =  A  •    -r  —  -f-  A;    -7  --  h  .  .  .  -f-  AT-  —  =  -  • 

w  J          l  dx±          l  dx*  l  dxn 

Ges  substitutions  formant  un  groupe,  on  devra  avoir 


Nous  pourrons  poser  (puisque  le  groupe  est  transitif) 


=  fgi  «  Tj.xf  +  n^xg-H-.  .  .+  ^r 


de  telle  facon  qu'on  puisse  passer  de  Fetat  (a?i,  &2,  .  .  . ,  asn)  du  systeme  a  F^tat 
infiniment  voisin  (&±-±-x\dt,  .  .  . ,  &„  +  x'ndt)  par  la  substitution  infinit^si- 
male  du  groupe  ZY^  dt^K.i(f). 

T,  au  lieu  de  s'exprimer  en  fonction  des  ocf  et  des  x7  pourra  s^exprimer  en 


FORME  NOUVELLE  DES   EQUATIONS  DE   LA   MECAN1QUE.  2ig 

fonction  des  TQ  et  des  x+  Si  nous  donnons  aux  YJ  et  aux  x  des  accroissements 
virtuels  Sri  et  o#,  il  en  r^sullera  pour  T  et  U  des  accroissements 


Le  groupe  etant  transitif,  je  pourrai  poser 


. 

de  telle  fagon  que  Ton  puisse  passer  de  I'^tal  &i  du  systeme  a  1'etal  infiniment 
voisin  xi+d&i    par  la   substitution   infinil<5simale    du   groupe  2d)z-Xi(/).   Je 

poserai  ensuile 

2/dT       ^U\, 
---  T—    ox  = 
\  ^       ^  / 

Soil  alors  I'int^grale  de  Hamilton 

J  =       T  —  U 


on  aura 


Or  on  trouve  ais^ment 


Le  principe  de  moindre  action  nous  donne  alors 

d  ^T 


Les  Equations  (i)  comprennent  comme  cas  particuliers  : 

i°  Les  equations  de  Lagrange,  qaand  le  groupe  se  reduit  anx  substitutions, 
toutes  permulables  entre  elles,  qui  augmentent  une  des  variables  x  djune 
constants  infiniment  petite. 

2°  Les  Equations  d'Euler  pour  la  rotation  des  corps  solides,  ou  le  role  des  YJ, 
est  jou6  par  les  composantes  /?,  q,  r  de  la  rotation,  et  celui  de  £2?  paries  couples 
dus  aux  forces  ext^rieures. 

Elles  sont  surtout  int6ressantes  dans  le  cas  ou  U  6tant  mil,  T  ne  depend  que 
des  y). 


SUR  UNE  GENERALISATION 
DE  LA  METHODE  DE  JACOBI 


Comptes  rendus  de  VAcademie  des  Sciences,  t.  149,  p.  no5-iio8  (i3  decembre  1909). 


On  sait  que  la  rn.4th.ode  de  la  variation  des  constani.es  permet  de  r^soudre  un 
probleme  de  Dynamique  quand  on  sait  resoudre  un  autre  probleme  de  Dyna- 
mique  plus  simple,  mais  tres  peu  different.  Mais  il  esi  avantageux  de  resoudre 
ce  probleme  approch.6  simple  par  la  m^thode  de  Jacobi,  afin  que  les  Equations 
conservent  la  forme  canonique.  On  peut  rencontrer  pour  cela  des  difficult^, 
et  c'est  ce  qui  m'est  arriv^  quand  j'ai  voulu  appliquer  cette  m£thode  a  la  th^orie 
de  la  precession  et  de  la  rotation  des  corps  solides;  j'ai^teainsi  conduit  a  gen6- 
raliser  un  peu  la  m^thode  de  Jacobi. 

Soit  un  sjsteme  dynamique  a  n  degres  de  liberte,  dont  la  situation  estd^finie 
par  n  coordonn^es  Xi\  nous  appellerons  T  P^nergie  cin6tique,  et  U  l^nergie 

/T^T 

potentielle,  T  +  U  =  F  Ttoergie  totale;  nous  poserons  yi—  ~^-f  et  nous  aurons 
les  Equations  canoniques  de  Hamilton 

(  }  4p  ~  ^E       ^z.~-^^E 

(l)  dt  ""  dy*  dt  ~"       dx  ' 

Faisons  un  changement  de  variables,  en   exprimant  les  ^  en  fonction   de 
n  4-  nf  variables  nouvelles  q^  en  nombre  plus  grand  que  celui  des  degres  de 
et  posons 


Nous  reconnaitrons  qu'on  a  Fidentit6 
(2)  ,  %yd&='Zpdq; 

que  les  p  sont  H6s  par  n!  relations  lin^aires,  de  sorte  que  n  seulement  d'entre 


GENERALISATION.  DE   LA   METHODE   DE  JACOBI.  221 

eux  sont  independants;  je  les  appellerai  les  pfl]  les  autres,  que  j'appellerai 
les^i,  seronl  des  fonctions  des  pa,  des  qa  et  des  gv  On  pourrait  se  demander 
alors  si  T  peut  s'exprimer  en  fonction  des  p  et  des  q;  l^galite  dT  =  2gdp, 
qui  a  lieu  quand  on  regarde  les  q  comme  des  constanLes,  nous  permet  de 
r^pondre  affirmativeraent.  Done  T  et  F  peuvent  s'exprimer  en  fonction  des^, 
des  qa  et  des  gr$,  et  liquation  des  forces  vives  peut  s'^crire 

(3)  FO&«J  qa,  qi)  —  consu 

Soit  maintenant  S  une  fonction  des  qa  et  des  gr&,  defmie  par  liquation  aux 
d£riv6es  partielles 

tt\  i7  f  ds  ds\ 

(4)  F^5^-_j=const.? 

de  sorte  que 

,A,  dS  dS 

(5)  *•=*&      *'—&;> 

et  dependant  en  outre  de  n  constantes  arbitraires  yl  (autant  que  de  degres  de 
Hberl6);  posons 

/  /•  \  i      d& 

(6)  ^-=^, 

d?ou 

(?)  dS  =  Z.pa  dqa  — 


Le  second  merabre  de  cette  egalit6  est  une  diffiSrentielle  exacte,  si  les  pi  sont 
regard6s  comme  des  variables  ind^pendantes  et,  a  fortiori,  si  les  p^  sont  sup- 
pos^s  lies  auxpa  par  les  relations  lin^aires  dont  nous  avons  parl^.  En  rappro- 
chant  (7)  de  (2)  on  voit  que 
(8)  d$i 


est  une  difKrentielle  exacte;  Tidentite  (8)  nous  montre  d'abord  que  S^   est 
fonction  seulement  des  x  et  des  a/;  et  qu'on  a 


Aquations  qui  d^finissent  les  $?  et  les  y3  en  fonction  des  a;  et  des  y.  La  rela- 
tion (8)  raontre  que  le  changement  de  variables  est  canonique  et  n'altere  pas 
la  forme  canonique  des  Equations  (1).  On  aura  done  pour  le  probleme  approch^ 
simple 

2aL  —  —      dyf  —    d¥ 

~dt   ~"  ap'          dt  ~~       dx^ 
(l)   Voir  aux  Notes,  Principes  de  Mecanique  analytique* 


222  GENERALISATION   DE   LA   METHODS   DE  JACOBI. 

Equations  qui  s'integrent  immediaternent  puisque  F  ne  depend  que  des  y',  et 
pour  le  probleme  complet  oil  F  esl  remplac6  par  F*  : 


_  =         1 

dt  ""  a?y  '          dt  ""       ote'  * 
Appliquons  cette  m^thode  a  la  th^orie  de  la  precession;  nous  prendrons 


parce  que  U  est  petit  par  rapport  a  T.  Nous  avons  trois  degr^s  de  liberl^,  mais 
nous  prendrons  7^^-7^/=5  coordonnees  analogues  a  nos  variables  g,  qui 
seront  : 

i°  L'angle  <p  du  plan  QPz,  passant  par  1'axe  Oz  mobile  et  par  un  axe  arbi- 
traire  OP  avec  le  plan  Qys  des  yz  mobiles; 

2°  L'angle  fy  de  Taxe  O^  mobile  et  de  1'axe  OP  ; 

3°  L'angle  ^  da  plan  OP^,  avec  le  plan  OPZ  qui  passe  par  OP  et  par 
1'axe  OZ  fixe; 

4°  L'angle  w  de  OP  avec  OZ; 

5°  L'angle  G  du  plan  OPZ  avec  le  plan  OYZ  des  YZ  fixes, 

Les  variables/?  seront 

dT  dT  dT  dT  dT 


elles  repr^sentent  les  momenls  de  rotation  par  rapport  a  O^,  a  une  perpendi- 
culaire  a  POxr,  a  OP,  a  une  perpendiculaire  a  POZ,  et  enfin  a  OZ.  On  peut 
alors  exprimer  T  en  fonction  de  9,  ^,  0,  w,  ^,  $?  G,  0;  et,  en  introduisant 
notre  fonction  S  et  ne  faisant  pas  varier  les  constanlesj^,  on  aura 

(10)  dS  =s  $  do  -i-  G  d%  H-  8  J6  —  «p  d*F  —  o>  a?Q. 

II  faut  alors  determiner  4»3  G,  G,  tj;  et  co  de  fagon  que  le  second  membre 
de  (10)  soit  une  diff&rentielle  exacte  et  que  T(cp7  ^?  9,  co;  ^,  $,  G,  0)  se  rdduise 
a  une  constante;  la  solution  doit  d^pendre  de  irois  constantes  arbitrages.  On  j 
parviendra  en  faisant 

f       <p  ==  const.,        03  =  const.,        G  =  const., 
(  $  =  Gcostp  =  const.,        6  =  GCOSC/J  =  const.; 


GENERALISATION   DE   LA   METHODE   DE  JACOBI.  223 

ce  qui  introduit  bien  trois  constantes  arbitraires  independantes  G?  <£  ct  ®?  et 
qui  donne 

s  =  *<?  +  GX  -+•  ee  --  <|,IF  -.  O>Q,      T  =  j£  -f-  ( 

(A  et  C  sont  les  deux  moments  d'inertie  de  la  Terre). 

Les  conditions  (11)  signifient  que  OP  est  Paxe  des  moments  de  rotation;  et 
Ton  en  conclut 

s  =  $9  -t-  GX  -i-  so. 


Les  variables  <!>,  G,  0  jouent  le  role  des  y',  done  o  =  -^5  %  et  6  joueront  le 

rdle  des  af\  les  six  variables  forment  done  un  systemecanonique;  el  Ton  a  pour 
une  fonction  F*=  T  +  U  quelconque 

dt  dG  dt  d&  dt  dS 

dG  _       ^F*  d<&  __       d¥*  d@  __       dF*  f 

~dt '—~ '  ~d7"         ~di  ~~        d£*          ~di~~~~ctt~f 


pour  le  probleme  approch^  simple  ou  F  =  T,  on  a 

G  do       dT       A  — 

—  =  const.,          V-  =  -7—  =  —  TT 
A  ^//        <^?          2  AC 


drt        dT        G  do       dT       A  —  G  .  d&       dT 

-6  =  -—.  =  —  =  const.,          V-  =  -7—  =  —  TTT-  ^3  =  const.,          -7-  =  -^-  =  o; 


SUR   LES   SOLUTIONS  PERIODIQUES 
Ef  LE  PRINCIPE  DE  M01NDRE  ACTION 


Comptes  rendus  de  V Academic  des  Sciences 7  t.  123,  p.  916-918  (3o  novembre  1896). 


La  th6orie  des  solutions  p^riodiques  peut,  dans  certains  cas,  se  rattacher  au 
principe  de  moindre  action. 

Supposons  trois  corps  se  mouvant  dans  un  plan  ets'attirant  en  raison  inverse 
du  cube  des  distances  ou d'une  puissance  plus  elevee  de  ces  distances;  j'appelle  a, 
#,  c  ces  trois  corps. 

L'^nergie  cin&tique  T  est  essentiellement  positive  et  il  en  est  de  m£me  de  la 

fonction  des  forces  U,  qui  est  egale  a  une  somme  de  termes  de  la  forme  — - — ? 

ou  k  est  une  constante  positive,  m  et  m1  les  masses  de  deux  des  trois  corps, 
r  leur  distance  et  n  un  exposant  au  moins  £gal  a  2. 
L'action  hamiltonienne 


/./i 
=    /    (T- 

" to 


sera  done  essentiellement  positive. 

Gonsid^rons  une  classe  de  trajectoires  de  nos  trois  corps  a,  b,  c;  ce  seront 
des  trajectoires  fictives,  c'est-a-dire  ne  satisfaisant  pas  aux  Equations  du  mou- 
vement;  mais  elles  seront  soumises  aux  conditions  suivantes  : 

i°  Au  temps  t{  les  distances  des  trois  corps  seront  les  memes  qu'au  temps  t^ 
les  vitesses  seront  les  m£mes  en  grandeur  et  feront  les  monies  angles  avec  les 
c6t6s  du  triangle  des  trois  corps;  en  d'autres  termes,  la  figure  forrn^e  par  les 
trois  corps  et  par  les  droites  qui  repr^sentent  leurs  vitesses  aura  repris  a 
F6poque  t{  la  m£me  forme  qu'elle  avait  a  F^poque  ^0;  ou  bien  encore  les 


SOLUTIONS  PgRIODIQUES   ET  PRINCIPE   DE  MOINDRE  ACTION  225 

distances   de  ces  trois    corps  seront  des  fonctions  p^riodiques  du  temps  de 
p^riode  ti  —  £0. 

2°  La  droite  be  aura,  entre  les  ^poques  tQ  et  £1?  tourne  d'un  angle  donn6  eo4. 
3°  La  droite  ac  aura,  entre  ces  memes  epoques,  tourn^  d'un  angle  donn£ 
a),  -f-  2K27r,  K2  6tant  un  enlier  donn&. 


4°  La  droite  ab  aura  tourn6  d'un  angle  w4  +  2K..j7r,  K:J  etanl  un  entier 
donn6. 

Une  classe  de  trajectoires  ficlives  se  trouve  ainsi  d6fmie  par  trois  constantes 
entierement  arbitraires  r0,  ^  et  G^  et  par  deux  entiers  arbitrages  K2  et  K:i, 

Mais  Faction  hamillonienne,  ne  pouvant  devenir  negative,  admettra  un 
minimum,  et,  en  vertu  du  principe  de  moindre  action,  la  trajecloire  qui  cor- 
respondra  a  ce  minimum  devra  £tre  une  trajecloire  effective  et  satisfaire  aux 
Equations  du  mouvement. 

Gette  trajecloire  effective,  d'apres  sa  definition,  correspondra  a  une  solution 
periodique  du  probleme  dont  la  pdriode  sera  ^  —  t0. 

Je  me  propose  de  d^montrer  que,  dans  chaque  classe  de  trajectoires  fictives, 
il  y  en  a  une  qui  correspond  a  un  minimum  de  Faction  hamillonienne  et,  par 
consequent.,  a  une  solution  p^riodique. 

Pour  cela,  il  me  suffit  de  faire  voir  qu?en  faisant  varier  d'une  maniere  continue 
noire  trajectoire  ficlive,  elle  ne  pourra  passer  d'une  classe  a  Fautre  sans  que 
Faction  hamillonienne  devienne  infinie. 

En  effet;  le  passage  d'une  classe  a  Fautre  s'efiectuera  lorsque  deux  des 
trois  corps  viendront  a  se  rencontrer.  Si,  par  exeinple,  a  el  c  se  renconlrent, 
la  trajectoire  consid^r^e  T  sera  infiniinent  voisine  de  deux  autres  T;  et  T'7; 
pour  T;,  le  corps  a  passera  tres  pres  de  c,  mais  a  droite;  pour  T",  il  passera 
ires  pres  de  c,  mais  a  gauche.  II  esl  clair  que  les  valeurs  de  Fenlier  K3,  qui 
correspondent  a  T;  et  a  T",  differeront  d'une  united 

Je  dis  maintenant  que,  si  a  et  c  se  rencontrent,  Faction  est  iniinie. 

En  ettet,  Faction  sera  du   m£me  ordre  de  grandeur  que  /  aTJ  dt^  ou  que 

/  2  \/U  dr,  ou  que  zkmm'  f  -^,  c7est-a-dire  infinie  si  71^2.  Or  on  a  n  =  2 
J  J    ri 

si,  comme  nous  le  supposons,  Fattraciion  s'exerce  en  raison  inverse  du  cube 
des  distances. 

Alors,  dans  chaque  classe,  il  doit  y  avoir  un  minimum  de  Faction;  il  doit 
H.  P.  —  VII.  29 


226  SOLUTIONS  PERIODIQUES  ET   PRINCIPE  DE  MOINDRE  ACTION. 

done  y  avoir  une  trajectoire  effective,  et  cette  trajectoire  correspond  a  une 
solution  p&riodique  du  probleme. 

A  chaque  systeme  de  valeurs  des  deux  constantes  arbitraires  i*  — 10  et  w4  et 
des  deux  entiers  K2  et  K:i  correspond  tine  solution  p^riodique. 

Notre  raisonnement  ne  s'applique  evidemment  que  si  Tattraction  pour  les 
tres  petites  distances  est  da  meme  ordre  de  grandeur  que  Pinverse  du  cube  de 
la  distance  ou  d'ordre  plus  grand. 

Dans  tous  ces  cas,  il  y  aura  une  infinite  de  solutions  p^riodiques. 

Mais,  dans  le  cas  de  la  loi  de  Newton,  Faction  ne  devient  plus  infinie  quand 
les  deux  corps  se  rencontrent;  nous  ne  pouvons  plus  affirmer  qu'il  y  a  une 
solution  p^riodique  dans  chaque  classe. 

Tout  ce  que  nous  pouvons  dire,  c'est  qu'a  chaque  valeur  de  la  p^riode  ^ —  £0, 
et  a  chaque  valeur  de  I'angle  &)!  (en  ne  consid^rant  pas  coname  distinctes  deux 
valeurs  difFerant  d'un  multiple  de  STT),  correspond  une  solution  periodique. 

On  pourrait  obtenir  certains  autres  resultats  par  Farlifice  suivant  :  suppo- 
sons  que  la  loi  detraction  soit  celle  de  Newton  tant  que  la  distance  est  sup6~ 
rieure  a  une  tres  petite  quantit6  s,  et  celle  de  1'inverse  du  cube  des  distances, 
quand  la  distance  est  plus  petite  que  s.  Alors,  les  trajectoires  seront  les  m£mes 
qu'avec  la  loi  de  Newton,  sauf  si  deux  des  corps  s'approchent  beaucoup  Fun  de 
Pautre,  auquel  cas  le  mouvement  serait  troubld  pendant  un  temps  tres  court. 
Au  probleme  ainsi  modifi6,  les  considerations  qui  precedent  s^appliquent,  mais 
les  r6suitats;  applicables  au  probleme  ordinaire  des  trois  corps,  que  Ton  pent 
obtenir  ainsi,  ne  paraissent  pas  susceptibles  d'un  £nonc<$  simple. 


SUR  LES  SOLUTIONS  PfiRlODlQUES 
ET  LE  PRINCIPE  DE  MOINDRE  ACTION 


Cornptes  rend  us  de  VAcademie  des  Sciences,  t.  124,  p.  713-716  (5  avril  1897). 


Je  considere  un  point  mobile  dans  un  plan,  les  equations  du  mouvement 
s'6criront 


_       _  _ 

l  dt*  ~  dx  '          di*   ""  dy  ' 

et  celle  des  forces  vives  s'^crira 


U  6tant  la  fonction  des  forces.  Je  me  propose  d^tudier  a  un  point  de  vue  nou- 
veau  les  solutions  periodiques  de  ces  Equations.  La  trajectoire  qui  correspond 
a  une  solution  periodique  sera  une  courbe  ferm^e  (T). 

A  chaque  solution  periodique  correspondront  deux  exposants  caractdris- 
tiques^  ^gaux  et  de  signe  contraire.  Si  ces  deux  exposants  sont  imaginaires,  la 
solution  p4riodique  sera  stable;  s'ils  sont  reels,  elle  sera  instable.  Mais  la  consi- 
d4ration  du  principe  de  moindre  action  va  nous  conduire  a  pousser  plus  loin 
cette  classification  et  a  distinguer  deux  sortes  de  solutions  instables. 

On  saitr  par  le  principe  de  Maupertuis,  que  Pintegrale 


-/• 


appel^e  action,  est  plus   petite  pour  une   trajectoire   satisfaisant  aux  Equa- 
tions (i)  que  pour  une  courbe  infiniment  voisine  ayant  m£mes  extrdmit^s. 


228  SOLUTIONS   P^RIODIQUES   ET   PRINCIPE   DE   MOINDRE  ACTION. 

Cela  esl  vrai  si  ccs  deux  extremes  sont  tres  voisines  Tune  de  Pautre;  mais,  en 
general,  tout  ce  que  nous  savons  est  que  la  variation  premiere  <5J  de  l'int£~ 
grale  J  est  nulle. 

C'est  la  une  condition  nicessaire,  mais  non  suffisante  pour  qu'il  y  ait 
minimum. 

Si  Ton  veut  pousser  plus  loin  la  discussion,  il  faut  avoir  recours  a  la  notion 
des  foyers  cin6tiques  dont  je  vais  rappeler  la  definition.  Soit  M  un  point  situ6 
sur  une  trajectoire  T;  par  ce  point  je  mene  une  autre  trajectoire  iniiniment 
voisine  de  T;  si  cette  trajectoire  vient  recouper  T  en  un  point  M7,  ce  point  M' 
sera  le  foyer  de  M. 

L'dtude  des  foyers  ciu^tiques,  dans  le  cas  des  solutions  p^riodiques,  m'a 
conduit  aux  r^sultats  suivants  : 

Supposons  d'abord  la  solution  p<5riodique  stable ;.  soient  s  Fare  de  la  trajec- 
toire ferni6e  (T)  correspondante,  compte  a  partir  d'une  origine  quelconque, 
et  S  la  longueur  totale  de  cette  trajectoire.  II  existera  une  fonction /(,?)  cons- 
tamment  croissante.  augmentant  de  271  quand  s  augmente  de  S,  de  telle  sorte 
que 

/(,  +  S)=/(0  +  2*. 

La  relation  entre  la  valeur  s  de  Fare  correspondant  a  un  point  M  de  (T)  et 
la  valeur  sr  correspondant  a  son  foyer  M7  sera 

f(s')  =  f(s)  -+-  const. 

Si  la  solution  p^riodique  est  instable,  deux  cas  sont  a  dislinguer  : 
La  solution  sera  de  la  premiere  sorte,  si  aucun  point  de  la  trajectoire  n'a  de 
foyer.  Alors  les  trajectoires  correspondant  aux  solutions  asymptotiques  seront 
des  courbes  spirales  s'enroulant  autour  de  (T)  et  s'en  rapprochant  asympiotique- 
ment.  Les  spires  de  ces  courbes  spirales  ne  coupent  pas  (T)  et  ne  se  coupent  pas 
entre  elles,  au  moins  si  Ton  se  borne  a  la  partie  de  la  courbe  qui  ne  s'ecarte 
pas  trop  de  (T). 

Mais  un  autre  cas  peut  se  presenter  et  nous  dirons  alors  que  la  solution 
p&riodique  instable  est  de  la  seconde  sorte.  La  courbe  ferm^e  (T)  sera  divis^e 
en  un  nombre  pair  d'arcs;  soient  zp  ce  nombre  et  A0,  A4,  ...,  A2p^  les  points 
de  division.  Pour  plus  de  symetrie  dans  les  notations,  je  ddsignerai  indiff£rcm- 
ment  le  point  Ar/  par  les  notations  A?,  A 

i°  Le  point  A^^  sera  le  foyer  de  Ary. 


SOLUTIONS   PERIODIQUES    ET   PRINCIPE  DE  MOINDRE   ACTION.  229 

2°  Si  un  point  M  est  sur  Fare  A^A7.Hl1  son  foyer  sera  sur  Fare  A^£  Ay+2. 

3°  Soient  M<  le  foyer  de  M,  M2  le  second  foyer  de  M,  c'est~a~dire  le  foyer 
de  Ml5  Mq  le  q^mG  foyer  de  M.  Si  le  point  M  est  sur  Tare  A0A1?  il  en  sera  de 
meme  des  points  M2pj  M4p,  .  .  .  ,  M2/^,  .  .  .  et  ces  points  se  rapprocheront  inde- 
finiment  et  conslamment  de  Tun  des  points  A0  ou  AI. 

4°  II  existera  sur  Fare  A0Ai  un  point  B0  qui  comcidera  avec  s,on  2/?iemcfoyer 
et,  quand  k  tendra  vers  +  oo,  le  point  M_2Ay>  se  rapprochera  ind^finiment 
de  B0. 

Les  solutions  asymptotiques  sont  repr^sentees  alors  par  des  courbes  qui  ne 
pr^sentent  plus  la  meme  forme  que  dans  le  cas  pr£c£dent  :  elles  coupent  une 
infinite  de  fois  la  courbe  (T),  et  les  points  d'intersection  admettent  comine 
points  limites  le  point  A0  et  ses  foyers  ou  le  point  B0  et  ses  foyers. 

Cela  pos£,  il  y  a  deux  fails  sur  lesquels  je  veux  appeler  Fattention  : 

i°  La  condition  n^cessaire  et  suffisante  pour  qu?une  solution  p4riodique 
represent^e  par  une  courbe  fermee  (T)  corresponde  a  une  action  moindre  que 
toutes  les  courbes  fermees  infiniment  voisines,  c'est  que  cette  solution  soit  une 
solution  instable  de  la  premiere  sorte. 

2°  Supposons  que  Fon  fasse  varier  d'urie  facon  continue  la  fonction  1J  et  les 
conditions  initiates  du  mouvement  et  que  Fon  envisage  une  solution  p^riodique 
variant  aussi  d'une  maniere  continue.  On  ne  pourra  jamais  passer  directement 
d'une  solution  instable  de  la  premiere  sorte  a  une  solution  instable  de  la 
deuxieme  sorte;  on  pourra  passer  seulement  d'une  solution  instable  de  Fune 
des  deux,  sortes  a  une  solution  stable  ou  inversemenL 

Ce  que  je  viens  de  dire  s'appliqueraitsans  changementau  casdu  mouvement 
relatif  (1). 

Supposons  que  le  point  mobile  soit  rapport^  a  des  axes  mobiles,  animus  d'un 
mouvement  de  rotation  uniforme  de  vitesse  angulaire  co. 

Les  Equations  s'ecriraient  alors 


dv       dU  d>y  dx       dU 

___2to^==_,          __H2CO_==_., 

en  comprenant  dans  la  fonction  des  forces  U  le  terme  provenant  de  la  force 
centrifuge  ordinaire. 

f1)   Voir  aux  Notes,  JPrincipes  de  Mecanique  analytique. 


23o  SOLUTIONS    PERIODIQUES    ET    PHINCIPJE    DE    MOINDRE    ACTION. 

Liquation  des  forces  vives  serait  encore 


et  Pexpression  de  Faction  deviendrait 

J  =   /  \_ds  v/U  -+-  Ji  -H  to(^7  dy  —  y 


LES  IDEES  DE  HERTZ 
SUR  LA  MECANIQUE 


Revue  Generale  des  Sciences^  t.  8,  p.  734-743  (3o  septembre  1897). 


En  1890,  le  grand  electricien  Her  tzetait  arrive  a  Papogee  desa  gloire;  toutes 
les  Academies  d'Europe  lui  avaient  prodigue  les  recompenses  dont  elles  dispo- 
saient.  Tout  le  monde  esp^rait  que  de  longues  ann^es  lui  etaient  encore  r^ser- 
v£es  et  q-u'elles  seraient  aussi  brillantes  que  Pavaient  ele  celles  de  ses  debuts. 

Malheureusement,  la  maladie  qui  devait  Pemporter  si  pr6matur£inent  Pavait 
d£ja  atteint  et  bientot  ralentlssait  et  arretait  presque  completement  son  activit6 
experimental.  II  eut  a  peine  le  temps  d'installer  son  nouveau  laboratoire  de 
Bonn;  des  maux  divers  le  priverent  et  nous  priverent  des  d^couvertes  qu'il  se 
promettait  d'y  faire. 

II  servait  encore  les  sciences  physiques  par  rinfluence  6norme  qu'il  exercait, 
par  les  conseils  qu'il  donnait  a  ses  Sieves;  mais  cette  p^riode  n'est  marquee 
que  par  une  seule  d^couverte  personnelle,  d'une  importance  capitale,  il  est 
vrai,  celle  de  la  transparence  de  Paluminium  par  les  rayons  cathodiques. 

Mais  s'il  ^tait  ainsi  cruellement  d^tourn^  des  Etudes  qui  lui  avaient  £t4  si 
cheres,  il  ne  demeurait  pas  inactif;  si  ses  sens  le  trahissaient,  son  intelligence 
lui  restait,  et  il  Peniployait  a  de  profondes  reflexions  sur  la  philosophic  de  la 
Mecanique.  Les  r^suitats  de  ces  reflexions  ont  4te  publics  dans  un  Ouvrage 
poslhume  et  je  voudrais  les  r^sumer  et  les  discuter  ici  brievement. 

Hertz  critique  d'abord  les  deux  principaux  systemes  proposes  jusqu'ici  et 
que  j'appellerai  le  systeme  classique  et  le  systeme  &nerg<5tique,  et  il  en  propose 
un  iroisieme  que  j^appellerai  le  systeme  hertzien. 


232  LES  ID£ES  DE  HERTZ  SUR  LA  MECANIQUE. 

I.  —  Systems  classique. 

I.  Definition  de  la  force.  —  La  premiere  tentative  de  coordination  des 
fails  mScaniques  est  celle  que  nous  appellcrons  le  systeme  classique;  c'est,  dit 
Hertz,  «  la  grande  route  royale  dont  les  principales  stations  portent  Ics  noms 
d'Archimede,  Galilee,  Newton  etLagrange. 

»  Les  notions  fondamentales  que  Ton  trouve  au  point  de  depart  sont  celles 
de  Vespace,  du  temps,  de  la  force  et  de  la  masse.  La  force,  dans  ce  sysleme, 
est  regardee  comme  la  cause  du  mouvement;  elle  pr^existe  au  mouvement  et 
est  ind^pendante  de  lui.  » 

Je  vais  chercher  a  expliquer  pour  quelles  raisons  Hertz  n'a  pas  <H6  satisfait 
de  cette  maniere  de  consid6rer  les  choses. 

Nous  avons  d'abord  les  difficult^  que  Ton  rencontre  quand  on  veut  ddfinir 
les  notions  fondamentales.  Qu'est-ce  que  la  masse?  C'osl,  r^pond  Newton,  le 
produit  du  volume  parla  densit^  —  II  vaudrait  mieux  dire,  rfipondent  Thomson 
et  Tail,  que  la  densit£  est  le  quotient  de  la  masse  par  le  volume.  —  Qu'est-ce 
que  la  force?  C'est,  r<5pond  Lagrange,  une  cause  qui  produit  le  mouvement 
d'un  corps  ou  qui  tend  a  le  produire,  —  C'est,  dira  Kirchhoff,  le  produit  de  la 
masse  par  V  acceleration.  Mais  alors,  pourquoi  ne  pas  dire  que  la  masse  est  le 
quotient  de  la  force  par  Facc^l^ration? 

Ces  difficult^  sont  inextricables. 

Quand  on  dit  que  la  force  est  la  cause  d'un  mouvement,  on  fail  de  la  M3la- 
physique,  et  cette  definition,  si  Ton  devait  s?en  contender,  serait  absolument 
sterile.  Pour  qu'une  definition  puisse  servfr  a  quelque  chose,  il  faut  qu'elle 
nous  apprenne  a  mesurer  la  force;  cela  suffit  d'ailleurs,  il  n'est  nullement 
necessaire  qu'elle  nous  apprenne  ce  que  c'est  que  la  force  en  sot,  ni  si  elle  est 
la  cause  ou  Feffet  du  mouvement. 

II  faut  done  d^finir  d'abord  P<%alit6  de  deux  forces.  Quand  dira-t-on  que 
deux  forces  sont  £gales?  C'est,  r6pondra~t-on,  quand,  appliqu^es  a  une  m£me 
masse,  elles  lui  impriment  une  meme  acceldration,  ou  quand,  oppos6es  direc- 
tement  Tune  a  1'autre,  elles  se  font  ^quilibre.  Cette  definition  n'est  qu'un 
trompe-PoeiL  On  ne  peut  pas  d^crocher  une  force  appliqu^e  a  un  corps  pour 
Faccrocher  a  un  autre  corps,  comme  on  d^croche  une  locomotive  pourl'atteler 
a  un  autre  train.  II  est  done  impossible  de  savoir  quelle  acceleration  telle  force, 
appliqu^e  a  tel  corps,  imprimerait  a  tel  autre  corps,  si  elle  lui  6tait  appliqu^e. 


LES   IDEES   DE   HERTZ   SUR   LA   MECANIQUE.  233 

II  est  impossible  de  savoir  comment  se  comporleraient  deux  forces  qui  ne  sont 
pas  directement  opposes,  si  elles  etaient  directement  opposes. 

C'est  cette  definition  que  Ton  cherche  a  materialiser,  pour  ainsi  dire,  quand 
on  mesure  une  force  avec  un  djnamometre,  ou  en  Fequilibrant  par  un  poids. 
Deux  forces  F  et  F,  que  je  supposerai  verticales  el  dirigees  de  has  en  haul 
pour  simplifier,  sont  respectivement  appliqu6es  a  deux  corps  C  et  C';  je 
suspends  un  m£me  corps  pesant  P  d'abord  au  corps  C,  puis  au  corps  C;;  si 
Fequilibre  a  lieu  dans  les  deux  cas,  je  conclurai  que  les  deux  forces  F  et  F7 
sont  egales  entre  elles,  puisqu'elles  sont  egales  toutes  deux  au  poids  du  corps  P. 

Mais  suis-je  sur  que  le  corps  P  a  conserve  le  meme  poids  quand  je  Fai  trans- 
port^ du  premier  corps  au  second?  Loin  de  la,  je  suis  sur  du  contraire;  je 
sais  que  I'intensit6  de  la  pesanteur  varie  d'un  point  a  un  autre,  et  qu?elle  est 
plus  forte,  par  exemple,  au  pole  qu'a  Fequateur.  Sans  doute  la  difference  est 
tres  faible  et,  dans  la  pratique,  je  n'en  tiendrai  pas  compte;  maisune  definition 
bien  faite  devrait  avoir  une  rigueur  mathematique;  cette  rigueur  n'existe  pas. 
Ce  que  je  dis  du  poids  s'appliquerait  evidemment  a  la  force  du  ressort  d'un 
djnamometre,  que  la  temperature  et  une  foule  de  circonstances  peuvent  faire 
varier. 

Ce  n'est  pas  tout;  on  ne  peut  pas  dire  que  le  poids  du  corps  P  soit  applique 
au  corps  G  et  equilibre  directement  la  force  F.  Ge  qui  est  applique  au  corps  C, 
c'est  Faction  A  du  corps  P  sur  le  corps  G;  le  corps  P  est  soumis  de  son  cote, 
d'une  part  a  son  poids,  d'autre  part  a  la  reaction  R  du  corps  C  sur  P.  En  defi- 
nitive, la  force  F  est  egale  a  la  force  A,  parce  qu'elle  lui  fait  equilibre;  la 
force  A  est  egale  a  R,  en  vertu  du  principe  de  Fegalite  de  Faction  et  de  la  reac- 
tion; enfin,  la  force  R  est  egale  au  poids  de  P,  parce  qu'elle  lui  fait  equilibre. 
C'est  de  ces  trois  egalites  que  nous  deduisons  comme  consequence  Fegalite 
de  F  et  du  poids  de  P. 

Nous  sommes  done  obliges  de  faire  intervenir  dans  la  definition  de  Fegaliie 
de  deux  forces,  le  principe  m£me  de  Fegalite  de  Faction  et  de  la  reaction;  a  ce 
compte^  ce  principe  ne  devrait  plus  etre  regarde  comme  une  loi  expert- 
mentale,  mais  comme  une  definition. 

Nous  voici  done,  pour  reconnaitre  Fegalite  de  deux  forces,  en  possession  de 
deux  regies;  egalite  de  deux  forces  qui  se  font  equilibre;  egalit6  de  Faction  et 
de  la  reaction.  Mais,  nous  Favons  vu  plus  haut,  ces  deux  regies  sont  insuffi- 
santes;  nous  sommes  obliges  de  recourir  a  une  troisiexne  regie  et  d'admettre 
que  certaines  forces  comme,  par  exemple,  le  poids  d'un  corps,  sont  constantes 
H.  p.  —  vn.  3o 


234.  LES   IDEES  DE   HERTZ  SUR   LA  MECANIQUE. 

en  grandeur  et  en  direction.  Mais  celte  troisieme  regie,  je  1'ai  dit,  est  une  loi 
experimental;  elle  n'est  qu'approximativemenl  vraie;  elle  est  une  mauvaise 
definition. 

Nous  sommes  done  ramenes  a  la  definition  de  Kirchhoff  :  la  force  est  £gale 
a  la  masse  multiplies  par  V acceleration.  Cette  «  loi  de  Newton  »  cesse  a  son 
tour  d'etre  regardee  comme  une  loi  experimental,  elle  n'est  plus  qu'une  defi- 
nition.  Mais  celte  definition  est  encore  insuffisante,  puisque  nous  ne  savons  pas 
ce  que  c'est  que  la  masse.  Elle  nous  permet  sans  doute  de  calculer  le  rapport 
de  deux  forces  appliqu^es  a  un  m£me  corps  a  des  instants  differenls;  elle  ne 
nous  apprend  rien  sur  le  rapport  de  deux  'forces  appliqu^es  a  deux  corps 
differents. 

Pour  la  compieter,  il  faut  de  nouveau  recourir  a  la  troisieme  loi  de  Newton 
(egalite  de  Faction  et  de  la  reaction),  regardee  encore,  non  comme  une  loi 
experimental,  mais  comme  une  definition.  Deux  corps  A  et  B  agissent  Tun  sur 
Fautre ;  Facceieration  de  A  multipliee  par  la  masse  de  A  est  egale  a  Faction  de  B 
sur  A;  de  meme,  le  produit  de  Facceieration  de  B  par  sa  masse?  est  egal  a  la 
reaction  de  A  sur  B.  Comme,  par  definition,  Faction  est  egale  a  la  reaction,  les 
masses  de  A  et  de  B  sont  en  raison  inverse  des  accelerations  de  ces  deux  corps. 
Voila  le  rapport  de  ces  deux  masses  defini  et  c'est  a  Fexperience  a  verifier  que 
ce  rapport  est  constant. 

Gela  serait  tres  bien  si  les  deux  corps  A  et  B  etaient  seuls  en  presence  et 
soustraits  a  Faction  du  reste  du  monde.  II  n'en  est  rien;  Facceieration  de  A 
n'est  pas  due  seulement  a  Faction  de  B,  mais  a  celle  d'une  foule  d'autres 
corps  C,  D;  ....  Pour  appliquer  la  regie  precedente,  il  faut  done  decomposer 
Facceieration  de  A  en  plusieurs  composantes,  et  discerner  quelle  est  celle  de 
ces  composantes  qui  est  due  a  Faction  de  B. 

Cette  decomposition  serait  encore  possible,  si  nous  admettions  que  Faction 
de  C  sur  A  s'ajoute  simplement  a  celle  de  B  sur  A,  sans  que  la  presence  du 
corps  C  modifie  Faction  de  B  sur  A,  ou  que  la  presence  de  B  modifie  Faction 
de  C  sur  A;  si  nous  admettions,  par  consequent,  que  deux  corps  quelconques 
s'attirent,  que  leur  action  mutuelle  est  dirigee  suivant  la  droite  qui  les  joint  et 
ne  depend  que  de  leur  distance;  si  nous  admettions,  en  un  mot,  Vhypothese 
des  forces  centrales. 

On  sait  qne,  pour  determiner  les  masses  des  corps  celestes,  on  se  sert  d'un 
principe  tout  different.  La  loi  de  la  gravitation  nous  apprend  que  Fattraction 


LES   IDEES   DE   HERTZ  SUR   LA   MECANIQUE.  235 

de  deux  corps  esi  proporlionnelle  a  leurs  masses;  si  r  est  leur  distance,  m  et 

m!  leurs  masses,  k  une  constante,  leur  attraction  sera  ^mm  • 

r- 

Ce  qu'on  mesure  alors,  ce  n'est  pas  la  masse,  rapport  de  la  force  a  Faec<5l<5- 
ration,  c'est  la  masse  attirante;  ce  n'est  pas  Finerlie  du  corps,  c'est  son  pouvoir 
attirant. 

G'est  la  un  proe4d6  indirect,  dont  Femploi  n'est  pas  theoriquement  indis- 
pensable. II  aurait  tres  bien  pu  se  faire  quo  Fattraction  fut  inversement  pro- 
portionnelle  au  carre  de  la  distance,  sans  etre  proportionnelle  au  produit  des 

masses,  qu'elle  fut  £gale  a  ~p  mais  sans  que  Ton  eut 

/  =  kmm'. 

S'il  en  6lait  ainsi,  on  pourrait  n^anmoins,  par  Fobservation  des  mouvements 
relatifs  des  corps  celestes,  mesurer  les  masses  de  ces  corps. 

Mais  avons-nous  le  droit  d'admettre  Fhypothese  des  forces  centrales?  Cette 
hypothese  est-elle  rigoureusement  exacte?  Est-il  certain  qu'elle  ne  sera  jamais 
contredite  par  F  experience?  Qui  oserait  Faffirmer?  Et  si  nous  devons  aban- 
donner  cette  hypothese,  tout  F^difice  si  laborieusement  4lev^  s'ecroulera. 

Nous  n'avons  plus  le  droit  de  parler  de  la  composanle  de  Facc^l^ration  de  A 
qui  est  due  a  Faction  de  B.  Nous  n'avons  aucun  moyen  de  la  discerner  de  celle 
qui  est  due  a  Faction  de  C  ou  d'un  autre  corps.  La  regie  pour  la  mesure  des 
masses  devient  inapplicable. 

Que  reste-t-il  alors  du  principe  de  F£galit6  de  Faction  et  de  la  reaction?  Si 
Fhypothese  des  forces  centrales  est  rejet^e,  ce  principe  doit  ^videmment 
s^noncer  ainsi  :  la  rdsultante  g^om^trique  de  toutes  les  forces  appliqu^es  aux 
divers  corps  d'un  systeme  soustrait  a  loute  action  ext^rieure,  sera  nulle.  Ou, 
en  d'autres  termes,  le  mouvement  du  centre  de  gravite  de  ce  systeme  sera 
rectiligne  et  uniforme. 

Voila,  semble-t-il,  un  moyen  de  d^linir  la  masse;  la  position  du  centre  de 
gravit^  depend  evidemment  des  valeurs  attributes  aux  masses;  il  faudra  dis- 
poser de  ces  valeurs  de  fagon  que  le  mouvement  de  ce  centre  de  gravil6  soit 
rectiligne  et  uniforme;  cela  sera  toujours  possible  si  la  troJsieme  lot  de  Newton 
est  vraie,  et  cela  ne  sera  possible  en  general  que  d'une  seule  maniere. 

Mais  il  n'existe  pas  de  systeme  soustrait  a  toute  action  ext4rieure;  toutes  les 
parties  de  FUnivers  subissent  plus  ou  moms  fortemeiit  Faction  de  toutes  les 


236  LES  IDEES  DE  HERTZ  SUR  LA  MECAP  IQUE. 

autres  parties.  La  loi  du  mouvement  dn  centre  de  gravite  ricst  rigoureu^e- 
merit  vraie  que  si  on  V applique  a  VUnivers  tout  entier. 

Mais  alors  il  faudrait,  pour  en  tirer  les  valeurs  des  masses,  observer  le  mou- 
vement  du  centre  de  gravit£  de  1'Univers.  L'absurdite  de  cette  consequence  est 
manifeste;  nous  ne  connaissons  que  des  mouvements  relatifs;  le  mouvement 
du  centre  de  gravit6  de  1'Univers  restera  pour  nous  une  ^ternelle  inconnue. 

II  ne  reste  done  rien  et  nos  efforts  ont  6l6  infructueux;  nous  sommes  accul^s 
a  la  definition  suivante,  qui  n'est  qu'un  aveu  d'impuissance  :  les  masses  sont 
des  coefficients  qu'il  est  commode  d^introduire  dans  les  calcuh. 

Nous  pourrions  refaire  toute  la  M^canique  en  attribuant  a  toutes  les  masses 
§des  valeurs  differentes,  Celte  M^canique  nouvelle  ne  serait  en  contradiction  ni 
avec  rexp6rience,  ni  avec  les  principes  gen^rauxde  la  Dynamique  (principede 
1'inertie,  proportionnalit£  des  forces  aux  masses  et  aux  accelerations,  £galit6  de 
Faction  et  de  la  reaction,  mouvement  rectiligne  et  uniforme  du  centre  de  gra- 
vite,  principe  des  aires), 

Seulement  les  Equations  de  cette  M6  canique  nouvelle  sQwisnimoins  simp  les. 
Entendons-nous  bien  :  ce  seraient  simplement  les  premiers  termes  qui  seraient 
moins  simples,  c'est-a-dire  ceux  que  Pexp^rience  nous  a  d6ja  fait  connaitre; 
peut-etre  pourrait-on  alt6rer  les  masses  de  petites  quantil6s  sans  que  les  Equa- 
tions completes  gagnent  oa  perdent  en  simplicite. 

J'ai  insist^  plus  longuement  que  Hertz  lui-meme  sur  cette  discussion;  mais 
je  tenais  a  bien  montrer  que  Hertz  n?a  pas  cherche  a  Galilee  et  a  Newton  une 
simple  querelle  d'Allemand;  nous  devons  conclure,  qu^avec  le  systeme  clas- 
sique,  il  est  impossible  de  donner  de  la  force  et  de  la  masse  une  idee  satis- 
faisante* 

2.  Objections  diverses.  —  Hertz  se  demande  ensuite  si  les  principes  de  la 
Mdcanique  sont  rigoureusement  vrais.  «  Dans  Topinion  de  beaucoup  de  physi- 
ciens,  dit-il,  il  apparaitracomme  inconcevable  que  1'experience  la  plus  6Ioign6e 
puisse  jamais  changer  quelque  chose  aux  in^branlables  principes  de  la  M6ca- 
nique;  et  cependant  ce  qui  sort  de  Texp&rience  peut  toujours  etre  rectifi^  par 
Fexp^rience.  » 

Apres  ce  que  nous  venons  de  dire,  ces  cratntes  paraitront  superflues.  Les 
principes  de  la  Dynamique  nous  apparaissaient  d'abord  comme  des  v^rites 
experimentales;  mais  nous  avons  6te  obliges  de  nous  en  servir  comme  de  d^fi- 
nitions.  GJest  par  definition  que  la  force  est  egale  au  produit  de  la  masse  par 


LES  IDEES  DE   HERTZ  SUR  LA  MECANIQUE.  287 

Facceldration;  voila  un  principe  qui  est  desormais  place  hors  de  Fatteinte 
d'aucune  experience  ult&rieure.  G'est  de  m£me  par  definition  que  Faction  esl 
egale  a  la  reaction. 

Mais  alors,  dira~t-on,  ces  principes  inverifiables  sont  absolumenl  -vides  de 
toute  signification;  Inexperience  ne  peut  les  contredire;  mais  ils  ne  peuvent 
rien  nous  apprendre  d'utile;  a  quoi  bon  alors  £tudier  la  Dynamique? 

Cette  condamnation  trop  rapide  serait  injusle.  11  n'y  a  pas,  dans  la  Nature, 
de  syslemQparfaUementisol£,  parfaitement  soustrait  a  loute  action  ext^rieure; 
mais  il  y  a  des  syslemes  a  peu  pres  isolcs. 

Si  Ton  observe  un  pareil  systeme,  on  peut  (kudier  non  seulementle  mouve- 
ment  relatif  de  ses  diverses  parries  1'une  par  rapport  a  1'autre,  mais  le  mouve- 
ment  de  son  centre  de  gravit6  par  rapport  aux  aulres  parties  de  1'Univers.  On 
constale  alors  que  le  mouvement  de  ce  centre  de  gravite  est  a  peu  pres  recii- 
ligne  et  uniforme,  conformement  a  la  troisieme  loi  de  JNewton. 

C'est  la  une  vdrite  exp6rimentale,  rnals  elle  ne  pourra  ^tre  infinite  par 
Fexp6rience;  que  nous  apprendrait  en  effet  uno  experience  plus  precise?  Elle 
nous  apprendrait  que  la  loi  n'etait  qu'a  peu  pres  vraie;  mais,  cela?  nous  le 
savions 


.     On  s'explique  maintenant  comment  V  experience  a  pu  servfr  de  base  aux 
principes  de  la  Mecanique  et  cependant  ne  pourra  jamais  les  contredire. 

Mais  revenons  a  Fargumentation  de  Hertz.  Le  systeme  classique  est  incomplet, 
car  tous  les  mouvements  qui  sont  compatibles  avec  les  principes  de  la  Dyna- 
mique  ne  soat  pas  r^alis^s  dans  la  Nature,  nt  meme  r^alisables.  En  effet.  il  est 
Evident  que  les  principes  des  aires  et  du  mouvement  du  centre  de  gravity  ne 
sont  pas  les  seules  lots  qui  r^gissent  les  ph(5nomenes  naturels.  Sans  doute,  il 
serait  d^raisonnable  d'exiger  de  la  Dynamique  qu?elle  enibrassat  dans  une 
m^me  formule  toutes  les  lois  que  la  Physique  a  ddcouvertes  ou  pourra 
d^couvrir.  Mais  il  n'en  est  pas  moins  vrai  qu'on  doit  regarder  comme  incompiet 
et  insuffisant  un  systeme  de  Mecanique  ou  le  principe  de  la  conservation  de 
F^nergie  est  pass6  sous  silence. 

«  Notre  systeme,  conclut  Hertz,  embrasse,  il  est  vrai,  tous  les  mouvements 
naturels.  mais  il  en  embrasse  en  m£me  temps  beaucoup  d^autres  qui  ne  sont 
pas  naturels.  Un  systeme  qui  exclura  une  partie  de  ces  mouvements,  sera  plus 
conforme  &  la  nature  des  choses  et  constituera  par  consequent  un  progres.  » 
Tel  sera,  par  exemple,  le  systeme  energ^tique  dont  nous  parlerons  plus  loin  et 


238  LES   IDEES   DE   HERTZ   SUR   LA   MECANIQUE. 

dans  lequelle  principe  fondamental  de  la  conservation  de  l'£nergie  s'introduit 
tout  naturellement. 

Peut-etre  ne  comprendra-t-on  pas  tres  bien  ce  qui  emp£che  d'annexer  tout 
simplement  ce  principe  foadamental  auxautres  principes  du  systeme  classique. 

Mais  Hertz  se  pose  encore  une  aulre  question  : 

Le  sjsteme  classique  nous  donne  une  image  du  monde  ext^rieur.  Cette  image 
est-elle  simple  ?  y  a-t-on  £pargne  les  trails  parasites,  introduits  arbitrairement 
a  cot6  des  traits  essentiels?  Les  forces  que  nous  sommes  conduits  a  introduire 
ne  sont-elles  pas  de  v^ritables  rouages  inutiles,  tournant  a  vide? 

Sur  cette  table  repose  un  morceau  de  fer;  un  observateur  non  prevenu 
croira  que:  puisqu'il  n'y  a  pas  de  mouvement,  il  n'y  a  pas  de  force.  Gombien 
il  se  tromperait !  La  Physique  nous  enseigne  que  chaque  atome  du  fer  est  attire 
par  tous  les  autres  atonies  de  1'Uuivers.  De  plus,  chaque  atome  du  fer  est 
magn^tique  et  par  consequent soumis  a  Faction  de  tousles  aimants  de  1'Univers. 
Tous  les  courants  6lectriques  du  monde  agissent  aussi  sur  cet  atome.  J'allais 
oublier  les  forces  Electros tatiques,  les  forces  mol^culaires,  etc. 

Si  quelques-unes  de  ces  forces  agissaient  seules.  leur  action  serait  £norme; 
le  morceau  de  fer  volerait  en  Eclats.  Heureusement  elles  agissent  toutes  et  elles 
se  contrebalancent,  de  sorte  qu'il  ne  se  passe  rien  du  tout.  Volre  observateur 
non  prevenu,  qui  ne  voit  qu'une  chose,  un  morceau  de  fer  en  repos,  conclura 
evidemment  que  toutes  ces  forces  n'existent  que  dans  votre  imagination. 

Sans  doute,  toutes  ces  suppositions  n'ont  rien  d'absurde,  mais  un  systeme 
qui  nous  en  d^barrasserait  serait,  par  cela  seul,  meilleur  que  le  notre. 

II  est  impossible  de  n'£tre  pas  frappe  de  la  port^e  de  cette  objection.  Pour 
montrer,  d'ailleurs^  qu'elle  n'est  pas  purement  artificielle,  il  me  suffira  de  rap- 
peler  le  souvenir  d'une  poUmique  qui  a  eu  lieu,  il  y  a  quelques  anuses,  entre 
deux  savants  tout  a  fait  ^minents,  von  Helmholtz  et  M.  Bertrand,  a  propos  des 
actions  mutu^lles  des  courants.  M.  Bertrand,  cherchant  a  traduire  dans  le  Ian- 
gage  classique  la  th6orie  de  von  Helmholtz,  se  heurtait  a  des  contradictions 
insolubles.  Chaque  element  du  courant  devait  £tre  sourtiis  a  un  couple;  mais 
un  couple  se  compose  de  deux  forces  paralleles,  6gales  et  de  sens  contraire. 
M.  Bertrand  calculait  que  chacune  de  ces  deux  composantes  devait  6tre  consi- 
d6rable,  assez  grande  pour  amener  la  destruction  du  fil,  et  il  concluait  au  rejet 
de  la  th^orie.  Au  contraire,  von  Helmholtz,  partisan  du  systeme  6nerg6tique, 
ne  voyaitla  aucune  difficult^. 


LES   IDEES   DE   HERTZ   SUR   LA  MECANIQUE.  289 

Ainsi,  d'apres  Hertz,  le  systeme  classique  doit  ctre  abandonne  : 

i°   parce  qu'une  bonne  definition  de  la  force  est  impossible; 

2°  parce  qu'il  est  incomplet; 

.  3°  parce  qu'il  introdait  des  hypotheses  parasites  et  que  ces  hypotheses 
peuvent  engendrer  souvent  des  difficult^  purementartificiellesetassez  grandes 
cependant  pour  arr£ter  les  meilleurs  esprits. 

II.  —  Systeme  energetique. 

1.  Objections  diverses.  —  Le  systeme  energetique  a  prisnaissancealasuite 
deladecouverte  du  principe  de  la  conservation  de  Penergie.  C'estvonHelmhollz 
qui  lui  a  donne  sa  forme  definitive. 

On  commence  par  d6finir  deux  quantit^s  qui  jouent  lerole  fondamental  dans 
cette  theorie.  Ces  deux  quantity  sont  :  d'une  part,  Venergie  cin&tique  ou  force 
vive;  d'autre  part,  V&nergie  potentielle. 

Tous  les  changements  que  peuvent  subir  les  corps  de  la  nature  sont  r6gis  par 
deux  lois  exp^rimentales. 

i°  La  somme  de  T6nergie  cin^tique  et  de  1'^nergie  potentielle  est  une  cons- 
tante.  C'est  le  principe  de  la  conservation  de  lJ6nergie. 

2°  Si  un  systeme  do  corps  est  dans  la  situation  A  a  Fepoque  t0  et  dans  la 
situation  B  a  1'^poque  ^,  il  va  toujours  de  la  premiere  situation  a  la  seconde 
par  un  chemin  tel  que  la  valeur  moyenne  de  la  difference  entre  les  deux  sortes 
d'energie,  dans  1'intervalle  de  temps  qui  s^pare  les  deux  epoques  f0  et  tiy  soit 
aussi  petite  que  possible. 

C'est  la  le  principe  de  Hamilton,  qui  est  une  des  formes  du  principe  de 
moindre  action. 

La  th6orie  6nerg6tique  prt^sente  sur  la  theorie  classique  les  avantages  sui- 
vants  : 

i°  Elle  est  moins  incomplete;  c'est-a-dire  que  les  principes  de  la  conserva- 
tion de  F6nergie  et  de  Hamilton  nous  apprennent  plus  que  les  principes  fonda- 
mentaux  de  la  theorie  classique  et  excluent  certains  mouvements  que  la  Nature 
ne  realise  pas  et  qui  seraient  compatibles  avec  la  th6orie  classique; 

2°  Elle  nous  dispense  de  ThypothSse  des  atomes,  qu'il  etait  presque  impos- 
sible d'4viter  avec  la  theorie  classique. 


2^0  LES   IDEES   DE   HERTZ  SUR   LA   MECANIQUE. 

Mais  elle  souleve  a  son  tour  de  nouvelles  difficultes;  avant  de  parler  des 
objections  de  Hertz,  j'en  signale  deux  qui  me  viennent  &  1'espril : 

Les  definitions  des  deux  sortes  d'energie  souleveraient  des  difficultes  presque 
aussi  grandes  que  celles  de  la  force  et  de  la  masse  dans  le  premier  sjsteme. 
Gependant  on  s'en  tirerait  plus  facilement,  au  moins  dans  les  cas  les  plus 
simples. 

Supposons  un  systeme  isole  forme  d'un  certain  nombre  de  points  mat^riels; 
supposons  que  ces  points  soient  soumis  a  des  forces  ne  dependant  que  de  leur 
position  relative  et  de  leurs  distances  mutuelles  et  ind6pendantes  de  leurs 
vitesses.  En  vertu  du  principe  de  la  conservation  de  Fenergie,  il  devra  y  avoir 
une  fonction  des  forces. 

Dans  ce  cas  simple,  Tenoned  du  principe  de  la  conservation  de  Fenergie  est 
d'une  extreme  simplicite.  Une  certaine  quantite,  accessible  a  Fexperience,  doit 
demeurer  constante.  Cette  quantite  est  la  somme  de  deux  termes  :  le  premier 
depend  seulement  de  la  position  des  points  materiels  et  est  independent  de 
leurs  vilesses;  le  second  est  proportionnel  au  carr6  de  ces  vitesses.  Celtc 
decomposition  ne  peut  se  faire  que  d'une  seule  maniere. 

Le  premier  de  ces  termes,  que  j'appellerai  U,  sera  Fenergie  potentielle;  le 
second,  que  j'appellerai  T,  sera  Fenergie  cinetique. 

II  est  vrai  que  si  T  +  U  est  une  conslanle,  il  en  est  de  m6me  d'une  fonction 
quelconque  de  T  +  U,  cp(T  -+-  U). 

Mais  cette  fonction  cp(T-|-U)  ne  sera  pas  la  somme  de  deux  termes,  Tun 
independant  des  vitesses,  Fautre  proportionnel  au  carre  de  ces  vitesses.  Parmi 
les  fonctions  qui  demeurent  conslantes,  il  n'y  en  a  qu'une  qui  jouisse  de  cette 
propriete,  c'est  T+  U  (ou  une  fonction  lineaire  de  T  -j-  U,  ce  qui  ne  fait  rien, 
puisque  cette  fonction  lineaire  peut  toujours  £tre  ramenee  a  T  +  U  par  un 
changernent  d'unite  et  d'origine).  C'est  alors  ce  que  nous  appellerons  Tenergie; 
cjest  le  premier  terme  que  nous  appellerons  l'6nergie  poientielle  et  le  second 
qui  sera  1'energie  cinetique.  La  definition  des  deux  sortes  d'energie  peut  done 
etre  pouss^e  jusqu'au  bout  sans  aucune  ambiguite. 

II  en  est  de  meme  de  la  definition  des  masses.  L'energie  cinetique  ou  force 
vive  s'exprime  tres  simplement  a  Taide  des  masses  et  des  vitesses  relatives  de 
tous  les  points  materiels,  par  rapport  a  Fun  d'entre  eux.  Ces  vitesses  relatives 
sonl  accessibles  a  Tobservation,  et,  quand  nous  aurons  Texpression  de  Fenergie 
cinetique  en  fonction  de  ces  vitesses  relatives,  les  coefficients  de  cette  expres- 
sion nous  donneront  les  masses. 


LES   IDEES  DE  HERTZ  SUR  LA  MECANIQUE  24l 

Ainsi,  dans  ce  cas  simple,  on  pent  definir  les  notions  fondamentales  sans 
difficulte.  Mais  les  difficultes  reparaissent  dans  les  cas  plus  compliques  et,  par 
exemple,  si  les  forces,  au  lieu  de  dependre  seulement  des  distances,  dependent 
aussi  des  vitesses.  Par  exemple,  Weber  suppose  que  Faction  mutuelle  de 
deux  molecules  electriques  depend  non  seulement  de  leur  distance,  mais  de 
leur  vitesse  et  de  leur  acceleration.  Si  les  points  materiels  s'attiraient  d'apres 
une  loi  analogue,  U  dependrait  de  la  vitesse,  et  il  pourrait  contenir  un  terme 
proportionnel  au  carr£  de  la  vitesse. 

Parmi  les  termes  proportionnels  aux  carres  des  vitesses,  Comment  discerner 
ceux  qui  proviennent  de  T  ou  de  U?  Comment,  par  consequent,  distinguer  les 
deux  parties  de  Fenergie? 

Mais  il  y  a  plus,  comment  definir  Fenergie  elle-meme?  Nous  n'avons  plus 
aucune  raison  de  prendro  comme  definition  T  +  U  plutot  que  toutc  autrc 
fonction  de  T  +  U,  quand  a  disparu  la  propri6te  qui  caracterisait  T  -f-  U,  cclle 
d'etre  la  somme  de  deux  termes  d'une  forme  parliculicre. 

Mais  ce  n'est  pas  tout,  il  faut  tenir  compte^  non  seulement  de  Fenergie 
mecanique  proprement  dite,  mais  des  autres  formes  de  Fenergie,  chaleur, 
energie  chimique,  energie  electrique,  etc.  Le  principe  de  la  conservation  de 
F^nergie  doit  s'ecrire 

T  -H  U  -4-O  =  const., 

ou  T  repr^senterait  Fenergie  cinetique  sensible,  U  Fenergie  polentielle  de 
position,  dependant  seulement  de  la  position  des  corps,  Q  Fenergie  interne 
moleculaire,  sous  la  forme  thermique,  chimique  ou  electrique. 

Tout  irait  bien  si  ces  trois  termes  etaient  absolument  distincts,  si  T  etait 
proportionnel  au  carr6  des  vitesses,  U  independant  de  ces  vilesses  et  de  Fetat 
des  corps,  Q  independant  des  vitesses  el  des  positions  des  corps  et  dependant 
seulement  de  leur  etat  interne. 

L'expression  de  Fenergie  ne  pourrait  se  decomposer  que  d'une  seule  maniere 
en  trois  termes  de  cette  forme. 

Mais  il  n'en  est  pas  ainsi;  considerons  des  corps  electrises  :  Fenergie  elec- 
tros tatique  due  a  leur  action  mutuelle  dependra  evidemment  de  leur  charge, 
c'est-a-dire  de  leur  etat;  mais  elle  dependra  egalement  de  leur  position.  Si  ces 
corps  sont  en  mouvement,  ils  agiront  Fun  sur  Fautre  electrodynamiquement  et 
Fenergie  electrodynamique  dependra  non  seulement  de  leur  etat  et  de  leur 
position,  mais  de  leurs  vitesses. 

H.  p.  —  vn.  3i 


2^2  LES   IDEES   DE   HERTZ   SUR   LA   MECANIQUE. 

Nous  n'avons  done  plus  aucmi  mojen  de  faire  le  triage  des  termes  qui  doivent 
fatre  partie  de  T,  de  U  et  de  Q  et  de  separer  les  trois  parties  de  Penergic. 
Si  (T  +  U  •+•  Q)  est  constant,  il  en  esl  de  meme  d'une  fonction  quelconque 

<p(T  +  UH-Q). 

Si  T  4-  U  -j-  Q  4tait  de  la  forme  particuliere  que  j'ai  envisagee  phis  haul,  il 
n'en  rdsulterait  pas  d'ambiguit^;  parmi  les  fonctions  cp(T  +  U  +  Q)  qui 
demeurent  constantes,  il  n'y  en  aurait  qu'une  qui  serait  de  cette  forme  parti- 
culiere, et  ce  serail  celle-la  que  je  conviendrais  d'appeler  6nergie. 

Mais  je  Pai  dit,  il  n'en  est  pas  rigoureusement  ainsi;  parmi  les  fonctions 
qui  demeurent  constantes,  il  n'y  en  a  pas  qui  puissent  rigoureusement  se 
meltre  sous  cetle  forme  parliculiere;  des  lors,  comment  choisir parmi ellcs  celle 
qui  doit  s'appeler  Penergie?  Nous  n'avons  plus  rien  qui  puisse  nous  guider 
dans  notre  choix. 

II  ne  nous  reste  plus  qu'un  enonci'  pour  le  principe  de  la  conservation  de 
I'^nergie;  il y  a  quelque  chose  qui  demeure  constant.  Sous  cetto  forme,  il  se 
trouve  a  son  tour  hors  des  atteintes  de  Pexp^rience  et  se  r^duit  a  une  sorle  de 
taulologie.  II  est  clair  que  si  le  monde  est  gouvern^  par  des  lois^  il  y  aura  des 
quantitSs  qui  demeureront  constanles.  Comme  les  principes  de  Newton,  et 
pour  une  raison  analogue,  le  principe  de  la  conservation  de  P6nergie;  fond6 
sur  Pexp^rience,  ne  pourrait  plus  etre  infirm^  par  elle. 

Gette  discussion  montre  qii'en  passant  du  systeme  classique  au  systeme 
energ^tique,  on  a  realise  un  progres;  mais  elle  montre,  en  meme  temps,  que  ce 
progres  esl  insuffisant. 

Une  autre  objection  me  semble  encore  plus  grave;  le  principe  de  moindre 
action  est  applicable  aux  pli^nomenes  r^versibles;  mais  il  n'est  nullemeut  satis- 
faisant  en  ce  qui  concerne  les  ph^nomenes  irr6versibles;  la  tentative  de  von 
Helmholtz  pour  P^tendre  a  ce  genre  de  phenomenes  n'a  pas  r^ussietne  pouvait 
r^ussir;  sous  ce  rapport  tout  reste  a  faire. 

Ge  sont  d'autres  objections,  d'ordre  presque  m^laphysique,  que  Hertz  deve- 
loppe  le  plus  longuement. 

Si  P6nergie  est  pour  ainsi  dire  matdrialisee,  elle  devra  etre  toujours  positive. 
Or,  il  y  a  des  cas  ou  il  est  difficile  d'^viter  la  consideration  de  P6nergie  n^ga™ 
tive.  Gonsid^rons^  par  exemple,  Jupiter  tournant  autour  du  Soleil;  P6nergie 

totale  a  pour  expression  ap>2 •  ~f-  c,  ou  a,  &;  c  sont  trois  constantes  positives, 

9  la  vitesse  de  Jupiter;  r  sa  distance  au  Soleil. 


LES  IDEES   DE   HERTZ  SUR   LA^MECANIQUE.  243 

Comnie  nous  disposons  de  la  constante  c,  nous  pouvons  la  supposer  assez 
grande  pour  que  F6nergie  soil  positive;  il  y  a  d6ja  la  quelque  chose  d'arbitraire 
qui  cheque  Fesprit. 

Mais,  il  y  a  plus.  Imaginons,  maintenant^  qu'un  corps  celeste  d'une  masse 
6norme  et  d'une  vitesse  6norme  vienne  a  traverser  le  systeme  solaire;  quand  il 
aura  pass6  et  qu'il  se  sera  eloigne  de  nouveau  a  d'immenses  distances,  les 
orbites  des  planeles  aurontsubi  des  perturbations  considerables.  Nous  pouvons 
imaginer,  par  exemple,  que  le  grand  axe  de  Forbite  de  Jupiter  soil  devenu 
beaucoup  plus  petit,  mais  que  cette  orbite  soit  rest<§e  sensiblenient  circulaire. 
Quelque  grande  que  soit  la  constante  c,  si  le  nouveau  grand  axe  est  tres  petit, 

F  expression  ap~  —  -  +  c  sera  devenue  negative,  el  Fon  verrareparaitre  la  diffi- 

cult6  que  nous  avions  cru  6viter  en  donnant  a  c  une  grande  valeur. 

En  resum6,  nous  ne  pouvons  pas  assurer  que  Fenergie  demeurera  toujours 

positive. 

D'autre  part,  pour  materialiser  Fenergie,  il  faut  la  localiser;  pour  Fenergie 
cin^tique,  cela  est  facile,  mais  il  n'en  est  pas  de  meme  pour  Fenergie  poten- 
tielle.  Od  localiser  Fenergie  potentielle  due  a  Fattraetion  de  deux  astres? 
Est-ce  dans  Fun  des  deux  astres?  Est-ce  dans  les  deux?  Est-ce  dans  le  milieu 
intermedia  ire? 

L76nonc<§  memo  du  principe  de  moindre  action  a  quelque  chose  de  choquant 
pour  Fesprit.  Pour  se  reiidre  d'un  point  a  un  autre,  une  moI6cule  mat^rielle, 
souslraitc  a  Faction  de  loute  force,  mais  assujettie  a  se  mouvoir  sur  une  sur- 
face, prendra  la  ligne  geod^sique,  c'est-a~dire  le  chemin  le  plus  court. 

Celte  molecule  semble  connaitre  le  point  ou  Fon  veut  la  mener,  pr^voir  le 
temps  qu'elle  mettra  a  Fatteindre  en  suivant  tel  et  tel  chemin?  et  choisir  ensuite 
le  chemin  le  plus  convenable.  L'4nonc^  nous  la  presente  pour  ainsi  dire  comme 
un  etre  anime  et  libre.  II  est  clair  qu'il  vaudrait  mieux  le  remplacer  par  un 
enonc^  moins  choquant,  et  ou,  comme  diraient  les  philosophes,  les  causes 
finales  ne  sembleraient  pas  se  substituer  aux  causes  efficientes. 

2.  Objection  de  la  boule  (*).  —  La  demiere  objection,  qui  parait  fitre  celle 
qui  a  le  plus  frapp6  Hertz,  est  d'une  nature  un  pen  differente. 

On  sait  ce  qu'on  appelle  un  systeme  £  liaisons;  imaginons  d'abord  deux 

(*)  Voir  aux  Notes,  Principes  de  Mecanique  analytigue. 


244  LES  ID£ES  DE  HERTZ  SUR  LA  MECANIQUE. 

points  reams  par  une  tringle  rigide  de  facon  que  leur  distance  soit  maintenue 
invariable ;  ou,  plus  generalement,  supposons  qu'un  mecanisme  quelconque 
maintienne  une  relation  entre  les  coordonnees  de  deux  ou  plusieurs  points  du 
systeine.  C'esl  la  une  premiere  sorte  de  liaison  qu'on  appelle  «  liaison  solide  ». 

Supposons  raaintenant  qu'une  sphere  soil  assujeltie  a  rouler  sur  un  plan.  La 
vitesse  du  point  de  contact  doit  etre  nulle;  nous  avons  done  une  seconde  sorle 
de  liaison  qui  s'exprime  par  une  relation  non  plus  seulement  entre  les  coor- 
donnees des  divers  points  du  systeme,  mais  entre  leurs  coordonnees  et  leurs 
vitesses. 

Les  systemes  ou  il  y  a  des  liaisons  de  la  seconde  sorte  jouissent  d'une  pro- 
priete  curieuse  que  je  vais  chercher  a  expliquer  sur  Pexemple  simple  que  je 
viens  de  citer,  celui  d;une  boule  roulant  sur  un  plan  horizontal. 

Soit  O  un  point  du  plan  horizontal  et  C  le  centre  de  la  sphere. 

Pour  bien  definir  la  situation  de  la  sphere  mobile,  je  prendrai  trois  axes  de 
coordonnees  fixes  Ox,  Oy  et  Qz,  les  deux  premiers  situ6s  dans  le  plan  hori- 
zontal sur  lequel  roule  tla  sphere;  et  trois  axes  de  coordonnees  invariablement 
liees  a  la  sphere  Gg,  Crj  et  C£. 

La  situation  de  la  sphere  sera  entierement  definie  quand  on  se  donnera  les 
deux  coordonnees  du  point  de  contact  et  les  neuf  cosinus  directeurs  [des  axes 
mobiles  par  rapport  aux  axes  fixes.  Soit  A  une  position  de  la  sphere  ou  le  point 
de  contact  est  en  O  a  Forigine  et  ou  les  axes  mobiles  sont  paralleles  aux  axes 
fixes. 

Les  coordonnees  du  point  de  contact  sont 


x  =  o,         y  =  o 
et  les  neuf  cosinus  directeurs  : 

i,     o,     o; 
o,     i,     o; 

O,      O,       I. 

Donnons  a  la  sphere  une  rotation  infmiment  petite  £  autour  de  1'axe  C^;  elle 
viendra  dans  une  position  B  ou  les  coordonnees  du  point  de  contact  deviennent 

x  =  °:      y  =  o 
et  les  neuf  cosinus  : 

i,  o,          o; 

o,          coss,     sins; 
o,     —  sine,     cose. 

Mais  cette  rotation  est  impossible  puisqu'elle  ferait  glisser  et  non  rouler  la 


LES    IDEES   DE  HERTZ  SUR    LA   MECANIQUE.  245 

sphere  sur  le  plan.  II  est  done  impossible  de  passer  de  la  position  A  a  la  posi- 
tion infinimenl  voisine  B  directement,  c'est-a-dire  par  un  mouvement  infiniment 
petit. 

Mais  nous  allons  voir  que  cc  passage  peut  se  faire  indirectement,  c'est-a- 
dire  par  un  mouvement  fini. 

Partons  de  la  position  A.  Faisons  rouler  la  sphere  sur  le  plan  de  telle  fagon 
que  Paxe  instantan£  de  rotation  soit  silu<§  dans  le  plan  horizontal  et  a  chaque 
instant  paraliele  a  Paxe  OJK?  et  arrfitons-nous  quand  Paxe  G£  sera  devenu 
vertical  et  paraliele  a  Oxr.  Nous  serons  arrives  dans  une  position  D  ou  les 
coordonn^es  du  point  de  contact  seront  devenues 


R  etant  le  rayon  de  la  sphere  et  les  neuf  cosinus 

o,    o,    —  -i; 
o,     i,         o; 

-4-1,      O,  O. 


, 


Dans  la  position  D  le  point  de  contact  est  a  Pextr£mit6  de  Paxe  G?  qui  est 
vertical. 

Imprimons  a  la  sphere  une  rotation  e  autour  de  Paxe  G£;  cette  rotation  est 
un  pivolement  autour  de  Paxe  vertical  passant  par  le  point  de  contact,  elle  ne 
comporte  aucun  glissement,  elle  est  done  compatible  avec  les  liaisons. 

La  sphere  est  venue  alors  dans  une  position  E  ou  les  coordonn^es  de  contact 
sont 

#*—  ;;%       7  =  o, 

et  les  cosinus  : 

o,             o,  —  i; 

sins,          coss,  o; 

cose,  —  sins,  o. 

Faisons  maintenant  rouler  la  sphere  defa^on  que  Paxe  instantan6  de  rotation 
reste  constamment  paraliele  a  Oy  et,  par  consequent,  que  le  contact  ait  toutle 
temps  lieu  sur  Paxe  Oo;.  Arrdtons-nous  quand  le  point  de  contact  sera  revenua 
Porigine  O.  II  est  ais£  de  voir  que  nous  sommes  arrives  a  la  position  B. 

On  peut  done  aller  de  la  position  A  a  la  position  B  en  passant  par  Pinterm6- 
diaire  des  positions  D  etE. 

Hertz  appelle  holonornes  les  syslemes  tels  que,  si  les  liaisons  ne  permettent 


246  LES  IDEES  DE  HERTZ  SUR   LA   MECANIQUE. 

pas  de  passer  directement  d'une  certaine  position  a  une  autre  infiniment  voi- 
sine,  elles  nepermettentpas  non  plus  de  passer  del'une  a  FauLre  indirectement. 
Ce  sont  les  systemes  ou  il  n'y  a  que  des  liaisons  solides. 
On  voit  que  notre  sphere  n'est  pas  un  systeme  holonorne. 
Or,  il  arrive  ceci  que  le  principe  de  moindre  action  n'est  pas  applicable  aux 
systemes  nonholonomes. 

En  effel,  on  peut  passer  de  la  positon  A  a  la  position  B  par  le  chemin  que  je 
viens  de  dire,  et  sans  doute  par  beaucoup  d'aulres  cliemins;  parmi  tons  cesche- 
mins  il  y  en  a  ^videmment  un  qui  correspond  a  une  action  plus  petite  que 
tous  les  autres;  la  sphere  devrait  done  'pouvoir  le  suivre  pour  aller  de  A  en  B; 
il  n'en  est  rien;  quelles  que  soient  les  conditions  initiales  du  mouvement,  la 
sphere  n'ira  jamais  de  A  en  B. 

II  y  a  plus,  si  la  sphere  va  effectivemenl  dela  position  A  a  une  autre  position 
A',  elle  ne  prendra  pas  toujours  le  chemin  qui  correspond  £  Faction  minimum. 
Le  principe  de  moindre  action  n'est  plus  vrai. 

«  Dans  ce  cas,  dit  Hertz,  une  sphere  qui  ob&rait  a  ce  principe,  scmblerait 
un  etre  vivaiU  qui  poursuivrait  consciemment  un  but  ddlermind,  tandis  qu'une 
sphere,  qui  suivrait  la  loi  de  la  Nature,  offrirait  1'aspect  d'une  masse  inanim^e 
roulant  uniform6ment...  Mais,  dira-t-on,  de  semblables  liaisons  n' existent  pas 
dans  la  Nature;  ce  pr^tendu  roulement  sans  glissement  n'est  qu'un  roulement 
avec  un  petit  glissement.  Ce  phenomene  rentre  dans  les  ph<5nomenes  irr^ver- 
sibles  tels  que  le  frottement,  encore  mal  connus  et  auxquels  nous  ne  savons 
pas  encore  appliquer  les  vrais  principes  de  la  M6canique. 

«  Un  roulement  sans  glissement,  r^pondrons-nous,  n'est  contraire  ni  an 
principe  de  PSnergie  ni  a  aucune  des  lois  connues  de  la  Physique;  ce  ph6no- 
inene  peut  etre  r£alis4  dans  le  monde  visible  avec  une  telle  approximation  qu'on 
a  pu  s'en  servir  pour  construire  les  machines  denigration  les  plus  d&icates 
(planimetres,  analyseurs  harmoniques,  etc.).  Nous  n'avons  aucun  droit  de 
1'exclure  comme  impossible;  mais  le  serait-il  et  ne  pourrait-il  se  r^aliser 
qu'approximativement  que  les  difficult^  ne  disparaitraient  pas.  Pour  adopter 
un  principe,  nous  devons  exiger  qu'appliqu6  a  un  probleme  dont  les  donn^es 
sont  approximativement  exactes,  il  donne  aussi  des  r£sultats  approximative- 
ment  exacts.  Et  djailleurs  les  autres  liaisons,  les  liaisons  solides  ne  sont  aussi 
qu'approximativement  nklisees  dans  la  Nature;  on  ne  les  exclut  pas  cepen- 
dant..,  ». 


LES   IDEES   DE   HERTZ   SUR   LA    MECANiQUE.  247 

III.  —  Systeme  liertzien, 

Voici  mainteaant  quel  est  le  systeme  que  Hertz  propose  de  substituer  aux 
deux  theories  qu'il  critique.  Cc  systeme  repose  sur  les  hypotheses  suivanles  : 

ic>  II  n'y  aurait  dans  la  Nature  que  des  syslemes  a  liaisons,  mais  soustraits  a 
Faction  de  toule  forte  exterieure  ; 

2°  Si  certains  corps  nous  paraissent  obeir  a  des  forces,  c'esl  qu'ils  sont  lies 
a  d'autres  corps  qui,  pour  nous,  sont  invisibles. 

Un  point  materiel  qui  nous  semble  libre  ne  decrit  pas  cependant  une  trajec- 
toire  rectiligne;  les  aiiciens  mecaniciens  disaient  qu'il  s'en  ecarte  parce  qu'il 
est  soumis  a  une  force;  Hertz  dit  qu'il  s'en  ecarte  parce  qu'il  n'est  pas  libre, 
mais  lie  a  d'autres  points  invisibles. 

Cette  hypothese  semble  Strange  au  premier  abord  ;  pourquoi  en  dehors  des 
corps  visibles  introduire  des  corps  invisibles  hypothetiques  ?  Mais,  repond 
Hertz,  les  deux  anciennes  theories  sont  obligees  egalement  de  supposer  en 
dehors  des  corps  visibles,  je  ne  sais  quels  etres  invisibles;  la  th£orie  classique 
introduit  les  forces,  la  theorie  cnergetique  introduit  I'^nergie  ;  mais  ces  etres 
invisibles,  force  et  energie,  sont  d'une  nature  inconnue  et  rayst^rieuse  :  les  gtres 
hypothetiques  que  j'imagine  sont,  au  ccmlraire,  tout  a  fait  de  meme  nature  que 
les  corps  Yisibles. 

N?est»ce  pas  plus  simple  et  plus  naturel  ? 

On  pourrait  discuter  sur  ce  point  et  soutenir  que  les  entit^s  des  anciennes 
theories  doivent  ^tre  retenues  pr£cis£ment  a  cause  de  leur  nature  myst^rieuse. 
Respecter  ce  mysterc,  c'est  un  aveu  d'ignorance;  el  puisque  noire  ignorance 
estcertaine,  ne  vaut41  pas  mieux  Favouer,  que  la  dissimuler? 

Mais  passons,  et  voyons  quel  parti  tire  Hertz  de  ses  hypotheses. 

Les  mouvements  des  systemes  a  liaisons,  sans  forceext^rieure,  sontr4gis  par 
une  loi  unique. 

Parmi  les  mouvements  compatibles  avec  les  liaisons }  ceiui  qui  se  r^alisera 
sera  celui  qui  sera  tel  que  la  somme  des  masses  multiplies  par  le  carr6  des 
accelerations  soit  minimum. 

Ce  principe  ^quivaut  ^  celui  de  la  moindre  action  sile  systeme  est  holonome, 
mais  il  est  plus  general,  car.il  s'applique  aussi  aux  systemes  tion  holonomes. 

Pour  bien  nous  rendre  compte  de  la  port^e  de  ce  principe,  prenons  un 
exemple  simple  :  celui  d'un  point  assujetti  £  se  mouvoir  sur  une  surface.  Ici 


2J8  LES   IDEES   DE   HERTZ   SUE   LA   MECANIQUE. 

nous  n'avons  qu'un  seul  point  materiel;  ^acceleration  doit  done  etre  minimum  ; 
pour  cela,  il  faut  que  Facc6l6ration  tangentielle  soit  nulle;  or,  cette  acceleration 

est  egale  a  -A  9  etant  la  vilesse  et  t  le  temps  ;  done  9  est  une  constante,  et  le 
mouvement  du  point  est  uniforme;  il  faut,  de  plus,  que  TacccUeration  normale 
soit  minimum;  or  elle  est  egale  a  —  ?  p  etant  le  rayon  de  courbure  de  la  trajec- 
toire,  ou  a  3  B.  etant  le  rayon  de  courbure  de  la  section  normale  a  la  sur- 

face, et  cp,  Tangle  du  plan  osculateur  a  la  trajectoire  avec  la  normale  a  la 
surface.  - 

Or  la  vitesse  est  suppos£e  connue  en  grandeur  el  en  direction.  Done  9  et  R 
sont  connus. 

II  faut  done  que  coscp  =  i ,  c'est-a-dire  que  le  plan  osculateur  soit  normal  a  la 
surface ;  c'est-a-dire  que  le  point  mobile  docrive  une  ligne  g£od6sique. 

Pour  faire  comprendre  maintenant  comment  peut  s'expliquer  le  mouvement 
des  systemes  qui  nous  paraissent  soumis  a  des  forces,  je  prendrai  encore  un 
ex.emple  simple,  celui  du  regulateur  a  boules.  Get  appareil  bien  connu  se  com- 
pose d'un  parallelogramme  articule  ABCD  :  les  angles  opposes  B  et  D  de  ce 
parallelogramme  portent  des  boules  dont  la  masse  est  notable ;  Tangle  sup4- 
rieur  A  est  fixe;  Tangle  inferieur  C  porte  an  anneau  qui  peut  glisser  le  long 
d'urie  tige  verticale  fixe  AX;  tout  Tappareil  est  anime  d'un  mouvement  de  rota- 
tion rapide  autour  de  la  tige  AX.  A  Tanneau  C  est  suspendue  une  tringle  T. 

La  force  centrifuge  tend  a  6carter  les  boules  et  par  consequent  a  soulever 
Tanneau  G  etla  tringle  T.  Cette  tringle  T  est  done  soumise  a  une  traction  qui 
est  d'autant  plus  forte  que  la  rotation  est  plus  rapide. 

Supposons  maintenant  un  observateur  qui  voit  seulement  celte  tringle  et 
imaginons  que  les  boules,  la  tige  AX,  le  parallelogramme,  soient  faits  d'une 
matiere  invisible  pour  lui.  Get  observateur  constatera  la  traction  exercee  sur  la 
tringle  T;  mais  comme  il  ne  verra  pas  les  organes  qui  la  produisent,  il  Fattri- 
buera  a  une  cause  myst^rieuse,  a  une  «  force  »,  a  une  attraction  exerc^e  par  le 
point  A  sur  la  tringle. 

Eh  bien,  d'apres  Hertz,  toutes  les  fois  que  nous  imaginons  une  force,  nous 
sommes  dupes  d'une  illusion  analogue. 

Une  question  se  pose  alors  :  peut-on  imaginer  un  systems  articul^  qui  imite 
un  systeme  de  forces,  d^fini  par  une  loi  quelconque  ou  en  approchant  autant 
qu'on  voudra?  La  r6ponse  doit  £tre  affirmative;  je  me  contenterai  de  rappeler 
un  tWoreme  de  M.  Koenigs  qui  pourrait  servir  de  base  a  une  demonstration. 


LES   IDEES   DE   HERTZ    SUR   LA    MECANIQUE.  2^9 

Voici  ce  theoreme  :  On  peut  toujours  imaginer  un  systeme  articule,  tel 
qu'un  point  de  ce  systeme  decrive  une  course  ou  line  surface  algtbrique 
quelconque;  ou,  plus  generalement,  on  peut  imaginer  un  systeme  articule 
tel  qu'en  vertu  de  ses  liaisons,  les  coordonnees  des  divers  points  du  systeme 
soient  assujetties  a  des  relations  algebriques  donnees  quelconques. 

Seulement.  les  hypotheses  auxquelles  on  serait  conduit  pourraient  £tre  tres 
compliqu^es. 

Ce  n'estpas  d'ailleurs  la  premiere  tentative  que  Ton  faisait  dans  ce  sens.  II 
est  impossible  de  ne  pas  rapprocher  les  hypotheses  de  Hertz  de  la  the"orie  de 
lord  Kelvin  sur  Fe'lasticite'  gyroslatique. 

Lord  Kelvin,  on  le  sait,  a  cherch6  a  expliquer  les  propriety's  de  Tether  sans 
faire  intervenir  aucune  force.  JI  a  me'me  donn<§  une  forme  definitive  a  son 
hypothese  et  repre"sente  lather  par  un  de  ces  modeles  mecaniques  comme  les 
aimenl  les  Anglais.  Les  savants  anglais,  satisfaits  d'avoir  donn^  un  corps  aleurs 
id^es,  de  les  avoir  rendues  tangibles,  ne  sont  pas  effrayes  par  la  complication 
de  ces  modeles  ou  1'on  a  multipli^  les  tringles,  les  biellcs,  les  coulisses,  comme 
dans  un  atelier  de  me'canicien. 

Decrivons,  pour  en  donner  une  id^e,  le  modele  qui  repr^sente  Tether  gyro- 
statique.  Lather  serait  form^  d'une  sorte  de  r£seau.  Chaque  maille  de  cer^seau 
est  un  tt^traedre.  Chacune  des  aretes  de  ce  t^traedre  est  form^e  de  deux  tiges, 
Tune  pleiiie  et  1'autre  creuse,  coulissant  Tune  dans  Fautre;  cette  arete  est  done 
extensible-,  mais  non  flexible. 

Dans  chaque  maille  se  trouve  un  appareil  forme"  de  trois  lignes  invariable- 
ment  fix^es  Fune  a  l^autre  et  formant  un  triedre  trirectangle.  Chacune  de  ces 
trois  tiges  s'appuie  sur  deux  des  aretes  oppose* es  du  t6traedre;  enfin?  chacune 
d'elles  porte  quatre  gyroscopes, 

Dans  le  systeme  quejeviens  de  decrire,  il  n'y  a  pas  d'dnergie  potentielle; 
mais  seulement  de  l?6nergie  cint^tique,  celle  des  t^traedres,  et  celle  des  gyro- 
scopes. Cependant,  un  milieu  ainsi  constitue"  se  comporterait  comme  un  milieu 
61astique;  il  transmettrait  des  ondulations  transversales  absolument  comme 
rather, 

J'ajouterai  une  chose  encore  :  avec  des  systemes  articul^s  de  ce  genre,  con- 
tenant  des  gyroscopes,  on  peut  non  seulement  imiter  toutes  les  forces  que  nous 
trouvons  dans  la  Nature,  mais  encore  en  iiniter  d'autres  que  la  Nature  ne  sau- 
rait  r^aliser ;  c'est  pre'cis^ment  la  le  but  que  lord  Kelvin  se  proposait;  il  voulait 
H.  P.  —  VII.  32 


250  LES   IDtES   DE   HERTZ   SUR   LA  MECANIQUE. 

expliquer  certaiaes  proprieles  de  Tether  dont  les  hypotheses  ordinaires  lui 
paraissaient  incapables  de  rendre  compte. 

Oa  sail  que  Faxe  du  gyroscope  tend  a  conserver  une  direction  fixe  dans 
Fespaee;  quand  il  en  est  £carte;  il  tend  a  y  revenir  comme  s'il  6tait  sollicit6  par 
une  force  dmgeante.  Cette  force  apparente  qui  tend  a  maintenir  la  direction  du 
gyroscope,  n'est  pas,  comme  les  forces  reelles,  contrebalancf$e  par  une  reaction 
egale  et  contraire.  Elle  est  done  affranchie  de  la  loi  de  Faction  et  de  la  reaction, 
et  de  ses  consequences  telles  que  la  loi  des  aires,  auxquelles  sont  soumises  les 
forces  naturelles. 

On  congoit  done  que  Fhypothese  gyrostatique,  oii  Fon  est  affranchi  de  cette 
regie  restrictive,  ait  rendu  compte  de  faits  que  ne  pouvaient  expliquer  les 
hypotheses  ordinaires  qui  y  res  tent  assujetties. 

Que  doit-on  penser,  en  definitive,  de  la  th6orie  de  Hertz?  Int&ressante  a 
coup  sur,  elle  ne  me  satisfait  pas  entierement  parce  qu'elle  fait  la  part  trop 
grande  a  Fhypothese. 

Hertz  s;est  mis  a  Fabri  de  quelques-unes  des  objections  qui  Favaient  tour- 
ment4  ;  il  ne  paratt  pas  les  avoir  6cart6es  toutes. 

Les  difficult^s  que  nous  avons  longuement  discuses  au  d6but  de  cet  article 
pourraient  se  r^sumer  ainsi  : 

On  a  expose  les  principes  de  la  Dynamique  de  bien  des  manieres;  mais 
jamais  on  n'a  suffisamment  distingue  ce  qui  est  definition,  ce  qui  est  v^rite 
exp^rimentale,  ce  qui  est  th^oreme  math^matique.  Dans  le  systeme  hertzieny  la 
distinction  n'est  pas  encore  parfaiEement  nette,  et,  de  plus,  un  quatrieme  ^1^- 
nient  est  introduit  :  Fhypothese*  Neanrnoins,  par  cela  seul  qu'il  est  nouveau, 
ce  mode  d'exposition  est  utile  :  il  nous  force  a  r6fl6chir,  a  nous  aflfranchir  de 
vieilles  associations  d'id^es.  Nous  ne  pouvons  pas  encore  voirle  monument  tout 
entier  :  c'est  quelque  chose  d'en  avoir  une  perspective  nouvelle,  prise  d'un 
point  de  vue  nouveau. 


SUR  CERTAINES  SOLUTIONS  PARTICULlfiRES 
DU  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS 


Comptes  rendus  de  I* Academic  des  Sciences,  t.  97,  p.  a5r-252  (23  juillet  rSS3). 


M.  Kronecker  a  pre"sente  a  1'Academie  de  Berlin,  en  1869,  un  M6moire  sur 
les  fonclions  de  plusieurs  variables  ;  on  j  trouve  un  important  th^oreme  d'ou 
il  est  aise"  de  de"duire  le  r^suliat  suivant  : 

Soient  £1,  £2,  .  .  . ,  %^/z.fonc  lions  continues  de  n  variables  x\,  x%,  .  . . ,  xn  \  la 
variable  Xi  est  assujettie  a  varier  entre  les  limites  -f-a£  et  — at.  Supposonsque, 
poura?£  =  «/,  ^i  soil  constamment  positif,  etpour^  =  —  at  constammeutn^gatif; 
je  dis  qu'il  existera  un  systeme  de  valeurs  des  x  pour  lequel  lous  les  |  s'annu- 
leront. 

Ge  r6sultat  peut  s'appliquer  au  probleme  des  trois  corps  et  montre  que  ce 
problenie  admet  une  infinite  de  solutions  particulieres  jouissant  de  proprietes 
remarquables  que  nous  aliens  exposer.  Nous  nous  reslreignons,  bien  entendu, 
au  cas  oii  les  masses  de  deux  des  corps  soiit  tres  pedtes. 

Le  mouveraent  est  p^riodique,  cjest-a-dire  que,  lorsque  le  temps  augmente 
d'une  p^riode  cons  tan  le,  les  trois  corps  repreniient  la  m£me  position  relative. 
A  la  fin  d'une  p^riode,  les  distances  des  trois  corps  repreunent  leur  valeur 
initiate,  ainsi  que  les  vitesses  relatives  esiime'es  soit  dans  la  direction,  du  rayon 
vecteur,  soit  dans  la  direction  perpendiculaire.  Le  systeme  entier  a  settlement 
tourne^  d'un  certain  angle  autour  du  centre  de  gravite",  suppose*  fixe. 

Les  excentricite*s  sont  tres  petites  et  de  Pordre  des  masses;  mais  les  inclinai- 
sons  peuvent  avoir  des  valeurs  quelconques. 


2^9-  SUR   CERTAINES  SOLUTIONS   PARTICULIEIRES. 

Dans  la  solution  particuliere  envisagie,  il  reste  encore,  si  les  trois  corps 
sont  assujettis  a  se  mouvoir  dansun  plan,  qaatre  parametres  arbitrages;  s'ils  se 
meuvent  dans  Pespace,  il  en  resle  huiu  Ainsi,  dans  Fun  comme  dans  1'autre 
cas,  il  fautimposerquatre  conditions  aux  Elements  initiauxdu  mouvementpour 
que  ce  mouvement  pr^sente  celte  periodicity  dont  nous  venons  de  parler. 

Quand  nous  aurons  dispose  arbitrairement  de  liuit  des  douze  6l£menls  ini- 
tiaux,  notre  solution  particuliere  ne  sera  pas  encore  completement  d6termin6e. 
Projetons,  en  effet,  les  deux  rayons  vecleurssur  le  plan  du  maximum  des  aires. 
Apres  une  periode,  la  projection  du  premier  rayon  vecteur  aura  d^crit  un 
angle  P1  la  projection  du  second  vecleur  aura  d^crit  un  angle  t>-f- 2/171;  nous 
pouvons  encore  nous  donner  arbitrairement  le  nombre  enlier  n,  apres  quoi  la 
solution  particuliere  sera  pa rfaite merit  definie. 


SUR  CERTAINES  SOLUTIONS  PARTICULIERES 
DU  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS 


Bulletin  astro  no  mique,  t.  ],  p.  60-74  (fevrier  i8S4). 


But  de  ce  travail. 

La  solution  generale  du  probleme  des  trois  corps  est  encore  a  trouver,  et, 
hien  qu?on  ait,  dans  ces  derniers  temps,  donne  des  d6veloppemenls  puremenl 
trigonom6triques  des  distances  mutuelles,  ces  series,  qni  peuvent  rendre  des 
services  dans  la  pratique,  ne  sont  pas  thdoriquement  satisfaisantes,  parce  que 
la  convergence  n'en  est  rien  moins  que  de*montree.  II  y  a  cependant  certames 
solutions  particulieres  pour  lesquelles  ces  difiiculte's  relatives  a  la  convergence 
n'existenl  pas  :  ce  sonl  celles  ou  les  distances  mutuelles  sont  des  fonctions 
pe>iodiques  du  temps  et  que  1'on  pourrait  appeler  solutions  periodiques. 

Je  considere  en  eflfet  trois  masses,  M,  m  et  mf,  et  je  suppose  que  les  rapports 

v|  et  -^  soient  tres  petits.  Je  suppose  de  plus  que  les  deux  petites  masses  m  et 
my  soient  rapport^es  a  la  grande  masse  M,  de  sorte  que,  quand  je  parlerai  de 
la  position  et  de  la  vitesse  des  petites  masses,  j'entendrai  leur  position  et  leurs 
vitesses  relatives  par  rapport  a  M. 

Je  dirai  que  les  trois  masses  sont  en  conjonction  sym^trique  si  leurs  vitesses 
sont  perpendiculaires  a  leur  plan.  Dans  le  cas  particulier  ou  les  inclinaisons 
sont  nulles  et  ou  les  trois  masses  restent  constamment  dans  un  meme  plan,  je 
dirai  qu'elles  sont  en  conjonction  syni^trique  si  elles  sont  en  ligne  droite  et  de 
fagon  que  leurs  vitesses  soient  perpendiculaires  a  la  droite  qui  les  joint. 


2Jt{  SUR   CERTAINES  SOLUTIONS  PART1CQLIERES. 

Supposons  maintenant  qu'a  l'6poque  t0  il  y  ait  conjonction  sym^trique;  les 
distances  mutuelles  des  Lrois  masses  soront  alors  les  monies  aux  temps  t^-^-h  et 
Co—  h.  Supposons  qu'a  1'epoque  tL  il  y  ait  encore  conjunction  symekrique;  les 
distances  mutuelles  reprendront  les  inemes  valeurs  aux  temps  £1  +  h  et  t\  —  h. 
Ges  -distances  mutuelles  seront  done  des  fonctions  p^riodiques  du  temps  avec 
la  p£riode  2.(t±  —  tQ}.  Apres  une  periode,  le  syst£me  se  retrouve  dans  la  meme 
situation  relative  ;  il  a  seulement  tourne  d'un  certain  angle  dans  Pespacc.  Je 
choisirai  Porigine  et  1'  unite  du  temps  de  telle  fagon  que 


=  O, 


et  que  la  periode  soil  271.  Je  prendrai  pour  plan  des  xy  un  plan  perpendiculaire 
a  la  fois  au  plan  des  trois  corps  aux  deux  £p"oques  zdro  et  TT  :  ce  sera  £videm- 
mentle  plan  du  maximum  des  aires.  Je  prendrai  Taxe  des  x  dans  le  plan  des 
trois  masses  a  Pepoque  z^rq.  II  en  r^sulte  qu'a  P^poque  zero  les  longitudes  de 

m  el  T?I'  sont  zero,  celles  des  p«^rih6lies  zero  et  celle  des  nceuds  -•  Dans  le  cas 

des  inclinaisons  nulles,  je  prendrai  pour  plan  des  xy  le  plan  commun  des 
orbites  et  pour  axe  des  x  la  droite  qui  joint  les  trois  masses  a  l^poque  z6ro* 

Existe-t-il  de  pareilies  solutions,  au  moins  pour  le  cas  dans  lequel  je  me  ren- 
fermerai  et  ou  deux  des  masses  sont  supposes  tres  petites  ?  Je  me  propose  de 
faire  voir  qu'il  y  en  a  de  trois  sortes  : 

Premiere  sorte  :  inclinaisons  nulles,  excentricites  tres  petites; 
Deuxi&me  sorte  :  inclinaisons  nulles,  excentricil^s  finies; 
Troisieme  sorte  :  inclinaisons  finies,  excentricitds  tres  petites. 

Je  ferai  voir  ensuite  quel  parti  on  pent  en  tirer. 

For  mule  de  M.  Kronecker. 

M.  Kronecker  a  donn£7  dans  les  Monatsberichte  (1869),  une  f°rmijl6  q^i 
donne  le  nombre  des  solutions  de  n  Equations  a  n  inconnues  qui  satisfont  £  des 
in^galites  donn^es.  Nous  ferons  Papplication  suivante  de  cette  formule  : 

Solent  Xi,  X2,  .*.,  X/j  n  fonctions  continues  des  n  variables  x\,  a?2j  --,  %n. 
Sapposonsque  X$  soit  touj  ours  positif  pour  &i—  at  et  toujours  n&gatif  pour 
Xi—  —  a/*  II  existera  au  moins  un  systems  de  valeurs  des  x  qui  satis/era 
aux  in&galite$ 

(I) 


SUR  CERTAINES  SOLUTIONS   PARTICULIERES.  255 

et  aux  Equations 

(a)  X1  =  X2  =  ...=:X/,=  (>. 

Les  Equations  (2)  auront  done  toujours  une  solution. 

Pour  faille  comprendre  comment  on  peat  demontrer  ce  th^oreme,  supposons 
que  nous  n'ayons  que  deux  variables  x{  et  x»,  que  nous  regarderons  comme 
les  coordonn^es  d'un  point  dans  un  plan.  Alors  les  in^galites  (i)  signifient  que 
ce  point  est  a  Fint^rieur  d'un  certain  carr6  ABCD  dont  les  cot6s  ont  pour 
equations 

\l>  :     x{  =  ai:         CD:     ^  =  —  ai:         DC:     x«  — a»<>         DA:     ^2  =  -—  a-2. 

La  courbe  X2=  o  part  alors  d'un  point  du  cote  AB  pour  aboutir  a  un  point 
de  CD;  de  meme  la  courbe  X<  =  o,  parlant  d'un  point  de  BC  pour  aboutir  a 
un  point  de  DA,  doit  forc^ment  rencontrer  la  premiere  a  Finterieur  du  carre. 


Methode  generale. 

On  voit  imm^diatement  Favantage  que  peut  presenter  1'application  de  ce 
tli^oreme.  Pour  dimontrer  rigoureusement  que  certaines  Equations  peuvent 
^tre  satisfaites,  il  suffit  dJ6tudier  le  signe  de  certaines  fonctions.  Or,  si  les 
masses  sont  tres  petites,  les  signes  de  ces  fonctions  seront  lesm^mes  quequand 
ces  masses  sont  nulles,  e'est-a-dire  dans  le  cas  du  mouvement  kepl^rien. 

J'ai  suppos4  qu'au  temps  z4ro  les  longitudes  des  masses  et  des  p£rih£lies 

sont  nulles  et  celles  des  noeuds  —  •  II  reste  comme  elements  initianx  arbitraires 

les  moyens  mouvements  n  et  n] ',  les  eicentricitds  e  et  efj  les  inclinaisons  /  et  if. 
Soient  maintenant  X,  Y,  Z?  ...  un  certain  nombre  de  fonctions  des  coor- 
donn^es  et  des  vitesses  de  m  et  de  m'  au  temps  TT.  Nous  prendrons  trois  fonc- 
tions seulement  pour  fixer  les  id^es;  ce  seront  des  fonctions  des  Aliments 
initiaux  et  des  masses.  Si  les  masses  sont  assez  petites,  on  d^montre  ais6ment 
que  ces  fonctions  peuvent  -etre  developp^es  en  series  suivant  les  puissances 
croissantes  des  masses,  de  sorte  qu'on  a?  par  exemple, 

X  =  X(,-h  Xi-hX2-f-...-hXa-i-. . ., 

X,i  d^signant  Fensemble  des  term^s  d?ordre  n  par  rapport  aux  masses. 

Consid^rons  trois  des  61ements  initiaux  comme  constants  et  faisons  varier 


256  SUR  CERTAINES   SOLUTIONS   PARTICULIERES. 

les  trois  autres.  Je  suppose  que  Ton  puisse  choisir  ces  derniers  elements  de 
telle  fagon  que 


et  que  le  determinant  fonctionnel  de  X0?  Y0,  Z0  par  rapport  aux  trois  elements 
variables  ne  soit  pas  nul,  je  dis  qu'on  pourra  choisir  ces  memes  ^l^ments  de 

fagon  que 

X  =  Y  =  Z  =o. 

En  eflet,  si  le  determinant  fonclionnel  en  question  n'est  pas  nul,  on  pourra, 
en  donnant  aux  £l6ments  initiaux  des  valeurs  voisines  de  celles  qui  annulent 
X0,  Y0  et  ZOJ  obtenir  pour  ces  trois  fonctions  tous  les  systemes  de  valeurs 
satisfaisant  aux  in6galites 

XJ<#f,         Y§<«£,         Zg<aj5, 

si  a±,  a-2  et  a%  sonl  assez  petits.  On  pourra  alors  considrrer  X,  Y  et  Z  comme 
des  fonctions  de  X0,  Y0  et  Z0,  et  il  est  clair  que,  si  les  masses  sont  assez 
petites  par  rapport  a  a4,  a2j  a3,  on  aura  . 

X  >>  o         pour     XQ  =  a\  ;         X  <o         pour     XQ  =  —  a\, 

et  de  merne  pour  Y  et  pour  Z.  C'est  dire  qu'on  pourra  appliquer  le  tWoreme  de 
M.  Kronecker  et  que  les  6l6ments  initiaux  pourront  ^tre  choisis  de  telle  facon 
que 

X  =  Y  =  Z  =  o.  c.  Q.  F.  i). 

Ge  theoreme  ne  s'appliquerail  pas  si  X0  etait  identiquemeiit  nu!3  parce 
qu'alors  le  determinant  fonctionnel  serait  nul;  ma  is  dans  ce  cas  il  sufiirnit  de 
remplacer  X0  par  Xi7  qui  donne  alors  son  signe  a  X  quand  les  masses  sont 
assez  petites.  Nous  en  verrons  plus  loin  des  exemples. 

Solutions  de  la  premiere  sorte. 

Supposons  i  et  i1  mils,  e  et  er  tres  petits.  Soient  maintenant  X  la  difference 
de  longitude  de  m  et  de  m/'au  temps  TT;  Y  et  Z  les  d6riv6es,  par  rapport  au 
temps,  des  rayons  vecteurs  de  in  et  de  m!  a  cette  meme  dpoque  TT. 

Si  Ton  a 

e  =  e'=o3         n  —  /z'nsij 
on  a 

Xo  =  YO  =  Zo=  o, 


SUR   CERTAINES   SOLUTIONS  PARTICULIERES.  207 

fet  il  est  aise  de  voir  que  le  determinant  fonctionnel  n'est  pas  nul.  On  a  done, 
pour  des  valeurs  tres  petites  de  e  et  de  e1  , 

X  =  Y  =  Z  =  o. 

Ges  Equations  signifient  qu'au  temps  ?r  les  trois  masses  se  retrouvenl  en 
conjonclion  sym^trique  :  il  y  a  done  des  solutions  p^riodiques  de  la  premiere 
sorte;  il  y  en  a  m£me  une  quadruple  infinite.  En  effet,  renongons  momenta- 
n^ment  au  choix  d'unit^s  et  d'axes  que  nous  avons  fait  plus  haul  et  supposons 
des  unites  et  des  axes  quelconques.  Nous  pouvons  alors  choisir  arbitrairement 
les  epoques  t0  et  ^  de  la  premiere  et  de  la  seconde  conjonction  sym^trique,  et 
les  longitudes  a0  et  a4  de  m  a  ces  deux  6poques.  On  doit  cependant  exelure 
tout  choix  tel  que  af  —  a0  soit  multiple  de  TT,  parce  qu'alors  notre  determinant 
fonctionnel  ne  serait  plus  nul;  il  ne  faut  meme  pas  que  la  difference  entre 
ai  _  a0  et  un  multiple  de  TT  soit  de  meme  ordre  que  les  masses. 

II  en  r£sulte  que  les  distances  mutuelles  des  trois  corps  peuvent  se  d^ve- 
lopper  en  series  ordonn^es  suivant  les  cosinus  des  multiples  de  t.  Quant  aux 
coefficients  de  cospt,  ils  peuvent  eux-memes  ^tre  ddvelopp^s  en  series  ordon- 
nees  suivant  les  puissances  croissantes  des  masses,  et  convergentes  pourvu  que 
ces  masses  soient  assez  petites. 

La  difficult^  etait  de  d^rnontrer  rigoureusement  Texistence  de  la  solution 
p^riodique  et  d'6carter  ainsi  a  Tavance  tous  les  embarras  que  pourraient  nous 
causer  les  questions  de  convergence.  On  peut  ensuile  calculer  les  coefficients 
par  des  approximations  successives.  Donnons  ici  la  premiere  approximation. 
en  n<§gligeant  les  caries  des  masses.  Si  les  masses  4taient  nulles,  on  auraitla 
solution  du  probleme  en  donnant  a  a  et  a;,  n  et  nf  des  valeurs  convenables,  et 
avec  des  excentricitSs  nulles  et  des  longitudes  zero  au  temps  z<5ro,  on  aur 

n  —  n!  =  i  . 
Posons 


—  -cos*=  SAycosyi         (/=—  oo...  —  I,  o, 

" 


't  —  2  aar  cos  t       a  " 


On  trouvera,  pour  les  coordonn^es  polaires  de  la  premiere  petite  masse, 


H.  P.  -  VII.  33 


258  SUR  CERTAINES  SOLUTIONS   PARTICULIERES. 

p.  etant  un  coefficient  dependant  des  masses,  et  de  meme  pour  la  seconde  petite 
masse. 

Ces  formules  ne  s'appliquent  pas  au  cas  ou  n  est  un  nombre  entier. 

Solutions  de  la  deuxieme  sorte. 

Supposons  encore  les  inclinaisons  nulles,  mais  ne  supposons  plus  les  excen- 
tricit6s  tres  petites.  Soient  I,  I1,  w  et  nr'  les  longitudes  des  deux  masses  m  et  m{ 
et  celles  de  leurs  p6rih61ies  au  temps  TT.  Soient 

X  =  sr  —  w1,        Y  =  £  —  TO,        Z  =  l'—wr. 

Ici  X0  est  identiquement  nul;  pour  de  petites  valeurs  des  masses,  c'est  done 
X4  qui  donne  son  signe  a  X.  II  faut  done  d^rnontrer  que  Ton  peut  choisir  les 
6l6ments  initiaux  de  telle  facon  que 

XI=YO  =  ZO  =  O. 

On  peut  ^videmment  choisir  les  rnoyens  mouvements  n  et  n!  de  telle  fa^on 
que  Y0  et  Z0  soient  mils.  II  s'agit  maintenant  de  faire  voir  que,  n  et  nr  6tant 
d6sormais  regard^s  comme  d£termin6s,  on  peut  choisir  e  et  ef  de  telle  fagonque 

(3)  X^o, 

Or  cette  Equation  peut  sJ4crire 

mr$i.w  =  m  SITZF', 
en  posant 

an\l\  —  e'i    r71  dR   ,  ^      r  a'n'  )/i  —  e*    r*  dRf   . 

m§iw  —  --   /      -r  or,         mc>iW  =  --  —-,  -   /      -7-7  »*; 
e          J0      de  e  '  J0      de1 

de  sorte  qu'on  peut  ^crire 

=  A  -f-  Be  -4-  Ge'-H.  .  .,        me'$iwf=  A'-h  We  •+-  G'c'-h.  .., 


les  seconds  membres  6tant  des  series  ordonn^es  suivant  les  puissances  de  e  et 
de  er  et  convergentes  pour  les  petiies  valeurs  de  ces  quantit^s.  Nous  snppo- 
serons  d'abord  que  ces  excentricit^s  sont  assez  petites  pour  qu'il  y  ait  conver- 
gence. Cela  nous  suffira  pour  montrer  la  possibilite  de  satisfaire  a  F6qua- 
tion  (3).  Si  n  n'est  pas  multiple  de  n  —  TZ/,  A  et  A'  sont  nuls.  Si  n  n'est  pas 

multiple  de  -  j  B,  C,  B;,  C'  se  r^duisent  aux  termes  dits  s&culaires.  Nous 

2t 

supposerons  que  ces  conditions  sont  remplies,  puisque  notre  but  est  seulemenl 
d'^tablir  la  possibility  de  satisfaire  ^  liquation  (3). 


SUR   CERTAINES  SOLUTIONS  PARTICULIERES. 


269 


Liquation  (3)  peut  alors  s'4crire 


O  =       I 


ee'[(o,i)  —  (1,0)]  —  e'~     0,1 


cp  se  composant  de  termes  d'ordre  plus  grand  que  deux  par  rapport  aux  excen- 
tricit^s.  Si  Ton  considere  e  et  e1  comme  les  coordonn^es  d'un  point  dans  un 
plan,  liquation  (3)  repr^sente  une  courbe  pr6sentant  un  point  double  a  Pori- 
gine.  Nous  nous  proposons  de  d<§montrer  que  cette  courbe  est  r6elle?  et,  pour 
cela,  il  nous  suffit  de  faire  voir  que  les  tangentes  au  point  double  sont  r^elles; 
or  ces  tangentes  sont  donn^es  par  liquation 


(4) 

Mais  on  a 


=  o. 


m 
mf 


Done  F6quation  (4)  a  ses  coefficients  extremes  de  signe  contraire;  done  elle  a 
des  racines  r^elles.  Done  par  Forigine  passent  deux  branches  r^elles  de  courbe 
que  Fon  pourra  suivre  jusqu'a  une  distance  jflnie  de  Forigine.  Done  T6qua- 
tion  (3)  peut  etre  satrsfaite  par  des  valeurs  finies  des  excentricites.  En  r£p£tant 
le  raisonnement  fait  plus  haut,  on  conclurait  de  la  qu'on  peut  donner  aux 
414ments  initiaux  des  valeurs  qui  annulent  a  la  fois  X,  Y  et  Z,  ce  qui  d^montre 
Fexistence  des  solutions  p^riodiques  de  la  deuxieme  sorte. 

Le  raisonnement  serait  en  defaut  si  les  excentricit^s  dtaientinfinimentpetites 
de  Fordre  des  masses. 

Solutions  de  la  troisieme  sorte. 

Supposons  les  inclinaisons  finies  et  les  excentricites  tres  petites, 
Soient  I,  lr,  0  et  Q'  les  longitudes   des  deux  masses  et  de  leurs  noeuds  au 
temps  TT.  Posons 

Y  «—  A         fl'  V    -...-  7         A     i  7  _,.^.__   Jf        (\r  _.t. 

j  ~~"  '      _  '  ~~"  ~ 


Soient  maintenant  T  et  U  les  d£riv6es  des  rayons  vecteurs  de  m  et  de  m!  par 
rapport  au  temps,  a  Fepoque  TT.  Ici  encore  X0  est  identiquement  nul,  et  c'est 
X4  qui  donne  son  signe  a  X.  Si  Fon  annule  e  et  ef  et  si  Fon  choisit  convenable- 
ment  n  et  nl,  on  aura 


260  SUR  CERTAINES  SOLUTIONS  PARTICULIERES. 

II  reste  a  montrer  que  <?,  e',  n  et  n1  etant  supposes  desormais  determines,  on 
peut  choisir  i  et  i1  de  facon  a  satisfaire  a  liquation  X4=o.  Cela  est  toujours 
possible,  car  cette  Equation  signifie  simplement  que  le  plan  des  xy  est  le  plan 
invariable.  On  nya  qu'a  r4p6ter  le  raisonnement  deja  fait  plus  haut  pour  voir 
que  Fon  peut  choisir  les  elements  initiaux  de  telle  sorte  que 

ce  qui  d&nontre  Pexistence  d'une  infinite  de  solutions  periodiques  de  la 
troisieme  sorte. 

Solutions  de  la  quatrieme  sorte. 

II  est  passible  qu'il  existe  des  solutions  de  la  quatrieme  sorte,  oii  les  excen- 
tricites  et  les  inclinaisons  sont  finies  a  la  fois ;  mais  je  n'ai  pu  encore  demontrer 

leur  existence  que  pour  certaines  valeurs  du  rapport  — -,  • 

Application  des  solutions  periodiques.  —  II  semble  au  premier  abord  que 
ces  solutions  periodiques  ne  puissent  Stre  d'aucune  utilite  pratique,  puisqu'elles 
correspondent  a  des  valeurs  particulieres  des  elements  initiaux,  valeurs  dont 
la  probabilite  estmille,  Mais,  si  les  elements  initiaux  sont  tres  voisins  de  ceux 
qui  correspondent  a  une  solution  periodique,  on  pourra  rapporter  les  positions 
veritables  des  trois  masses  aux  positions  qu'elles  occuperaient  dans  cette  solu- 
tion p£riodique  et  se  servir,  par  consequent,  de  cette  solution  comme  d'une 
orbite  interm6diaire.  Appelons  r,  v,  rr,  v*  les  coordonnees  polaires  de  m  et 
de  rn!  sur  cet  orbite  inter mediaire,  r  -}-  p,  v  +  w,  z,  r1 '+  p',  P'+  COA,  zl  les  coor- 
donnees semi-polaires  de  ces  m£mes  masses  sur  leur  orbite  reelle;  lesquantites 
p,  co,  5,  ...  sont  tres  petites  au  moins  pendant  uncertain  temps.  Nous  pourrons 
alors  ecrire  les  equations  du  mouvement  sous  la  forme  suivante  : 


R  6tant  une  s^rJe  ordonnte  suivant  les  puissances  de  p,  co,  ^,  pr,  &);,  d  et  de 
leurs  deriv^es  du  premier  ordre  et  dont  les  coefficients  dependent  de  r,  r1  et 
9  —  v\  et  sont  par  consequent  des  fonctions  periodiques  du  temps  avec  la 
periode  27r.  II  faut  y  ajouter  cinq  Equations  de  m^me  forme  qui  donnent  les 

i  ,     <a?2a>     d'2£     <&$>      cfiv*      d*zr     /^  ..  ,  ,          .          , 

valeurs  de-^-?  ^-?  -j^-j  -g^- »  -^r*  ^n  Peul  apphquer  a  ces  Equations  les 


SUR   CERTAINES   SOLUTIONS  PARTICULIERES.  26l 

methodes  de  M.  Lindstedt  et  d'autres  encore  qui  conduisent  a  des  resultats  sur 
lesquels  je  reviendrai  plus  tard. 

Aujourd'hui  je  supposerai  que  p,  co,  .  .  . ,  qui  sont  de  Fordre  des  excentrlcites 
et  des  inclinaisons,  soient  assez  petits  pour  qu'on  puisse  n^gliger  leurs  carres; 
les  Equations  se  reduiront  a  des  equations  lin^aires  (5)  admettant  pour  coef- 
ficients des  fonclions  periodiques  du  temps  avec  la  p^riode  271. 

L'integrale  g6n^rale  de  liquation  (5)  est  de  la  forme 

p  =  F  •+• 1&, 

ou  F  et  <£  sont  des  series  trigonometriques.  Le  dernier  terme  est  s^culaire  : 
mais  on peut  toujours  choisir  Vorbite  interm&diaire  de  facon  que  ce  terms 
soit  nul.  Les  differences  p,  co,  £,  ...  sont  alors  exprimables  par  des  series 
trigonometriques. 

Voici  quelle  me  semble  pouvoir  etre  rutilit^  de  P6tude  des  Equations  (5). 
Dans  le  calcul  des  variations  s^culaires  des  excentricites.  on  est  conduit  a  des 
Equations  qui  sont  Iin4aires  comme  les  Equations  (5),  mais  ou  les  coefficients 
sont  des  series  trigonom^triques  de  plusieurs  arguments  (deux,  dans  le  cas  de 
trois  corps).  Oa  supprime  ensuite  tous  les  termes  p&riodiques  pour  ne 
conserver  que  les  termes  constants.  II  n'est  pas  sur  qu'on  ne  commette  pas 
ainsi  une  erreur  considerable;  car,  si  Ton  faisait  Fint^gration  en  tenant 
compte  des  termes  p^riodiques,  les  approximations  succcssives  introduiraient 
des  termes  a  petit  argument  qui  pourraient  exercer  une  influence  appreciable 
sur  la  valeur  de  la  p^riode  des  excentricit^s.  Au  contraire,  en  ^tudiant  les 
Equations  (5),  on  ne  rencontrera  pas  cette  difficult^,  puisque  les  coefficients 
ne  dependent  que  d'un  seul  argument.  L'6tude  de  cette  equation  permettra 
done  de  se  rendre  compte  de  la  grandeur  de  Ferreur  commise  par  la  methode 
ordinaire. 


SUR  LE  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS 
ET  LES  EQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE  0) 


Acta  Mathematica^  t.  13,  p.  1-270  (28  avril  1890). 


TABLE    DES    MATIERES. 


Pages. 

INTRODUCTION 268 

PREMIERE  PARTIE. 

GENERALITES. 

GHAPJTRE  I.  —  Proprietes  generates  des  equations  differentielles . 

1 .  Notations  et  definitions 266 

2.  Galcul  des  limites 270 

3.  Applications  du  calcul  des  limites  aux  equations  aux  derivees  partielles 280 

4.  Integration  des  equations  lineaires  a  coefficients  periodiques ,  291 

CHAPITRE  II.  —  Theorie  des  invariants  integraux, 

5.  Proprietes  diverses  des  equations  de  la  Dynamique 295 

6.  Definition  des  invariants  integraux. 3oo 

7.  Transformation  des  invariants  integraux 3o8 

8.  Usage  des  invariants  integraux 3i3 

GHAPITRE  III.  —  Theorie  des  solutions  periodiques. 

9.  Existence  des  solutions  periodiques 33i 

10.  Exposants  caracteristiques 338 

(J)  Memoire  couronne  du  Prix  de  S.  M.  le  roi  Oscar  II  de  Suede  le  21  Janvier  1889. 


SUR   LE   PROBLEME   DES  TROIS   CORPS.  263 

11.  Solutions  penodiques  des  equations  de  la  Dynamique 343 

12.  Galcul  des  exposants  caracteristiques 359 

13.  Solutions  asymptotiques 3^0 

14.  Solutions  asymptotiques  des  Equations  de  la  Djnamique   379 

DEUXIEME  PARTIE. 

EQUATIONS    DE    LA   DYNAMIQTJE   ET    PROBLEME   DES    71   CORPS. 

CHAPITRE  I.  —  Etude  des  cas  ou  il  n'y  a  que  deux  degres  de  liberte. 

lo.  Representations  geometriques  diverses 3g5 

CHAPITRE  II.  — •  Etudes  des  surfaces  asymptotiques. 

16.  Expose  du  probleme 407 

17.  Premiere  approximation 4io 

18.  Deuxieme  approximation 421 

19.  Troisieme  approximation 437 

CHAPITRE  III.  —  Resultats  divers. 

20.  Solutions  periodiques  du  deuxieme  genre 445 

21.  Divergence  des  se'ries  de  M.  Lindstetd 462 

22.  Non-existence  des  integrates  uniformes , 470 

CH\PITRB  IV.  —  Tentatives  de  generalisation. 

23.  Probleme  des  n  corps 476 


Introduction. 

Le  travail  qui  va  suivre  et  qui  a  pour  objet  F£tude  du  probleme  des  trois 
corps  est  un  remaniement  du  M^moire  que  j'avais  pr^sente  an  Concours  pour 
le  prix  institu6  par  Sa  Majest6  le  Roi  de  Suede.  Ce  remaniement  6tait  devenu 
n^cessaire  pour  plusieurs  raisons.  Press6  par  le  temps,  j'avais  du  ^noncer 
quelques  r6sultats  sans  demonstration;  le  lecteur  n'aurait  pu,  a  Taide  des  indi- 
cations que  je  donnais,  reconstituer  les  demonstrations  qu'avec  beaucoup  de 
peine.  Pavais  song^  d'abord  a  publier  le  texte  primitif  en  Faccompagnant  de 
notes  explicatives;  mais  j'avais  6t6  amen6  4  multiplier  ces  notes  de  telle  sorte 
que  la  lecture  du  M&rnoire  serait  devenue  fastidieuse  et  p^nible. 

J'ai  done  pr£f6r£  fondre  ces  notes  dans  le  corps  de  FOuvrage,  ce  quiaFavan- 
tage  d'dviter  quelques  redites  et  de  faire  ressortir  Fordre  logique  des  idees. 

Je  dois  beaucoup  de  reconnaissance  £  M.  Phragm^n  qui  non  seulement  a 
revu  les  6preuves  avec  beaucoup  de  soin,  mais  qui,  ayant  lu  le  M4moire  avec 


264  SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 

attention  et  en  ayant  p6n£tr£  le  sens  avec  une  grande  finesse,  m'a  signale  les 
points  ou  des  explications  compl^mentaires  lui  sernblaient  n^cessaires  pour 
facililer  Fentiere  intelligence  de  ma  pens6e,  3e  lui  dois  la  forme  Elegante  que  je 
donne  au  calcul  de  S)n  et  de  Tf  a  la  fin  du  paragraphs  12.  C'est  m£me  lui  qui, 
en  appelant  mon  attention  sur  un  point  d^licat,  m'a  permis  de  decouvrir  et  de 
rectifier  une  importante  erreur, 

Dans  quelques-unes  des  additions  que  j'ai  faites  au  M^moire  primitif,  je  me 
borne  a  rappeler  certains  r^sultats  ddja  connus;  comme  ces  r^sultats  sont 
disperses  dans  un  grand  nombre  de  recueils  el  que  j'en  fais  un  frequent  usage, 
j'ai  cru  rendre  service  au  lecteur  en  lui  ^pargnant  de  fastidieuses  recherches; 
d'ailleurs  je  suis  souvent  conduit  a  appliquer  ces  th6or£mes  sous  une  forme 
diflferente  de  celle  que  leur  auteur  leur  avail  d'abord  donn^e  et  il  <Hait  indis- 
pensable de  les  exposer  sous  cette  nouvelle  forme.  Ces  th^oremes  acquis,  dont 
quelques-uns  sont  meme  classiques,  sont  d^veloppes,  a  c6t6  de  quelques  propo- 
sitions nouvelles,  dans  le  Chapitre  1  (Irc  Partie). 

Je  suis  bien  loin  d'avoir  r^solu  completement  le  probleme  que  j*ai  abord<5.  Je 
me  suis  born£  a  d^montrer  Fexistence  de  certaines  solutions  particulieres 
remarquables  que  j'appelle  solutions  p6riodiques,  solutions  asymptotiques,  et 
solutions  doublement  asymptotiques.  J'ai  ^tudi6  plus  spdcialement  un  cas 
particulier  du  probleme  des  trois  corps,  celui  ou  1'une  des  masses  est  nulle  et 
ou  le  mouvement  des  deux  autres  est  circulaire;  j'ai  reconnu  que  dans  ce  cas 
les  trois  corps  repasseront  une  infinite  de  fois  aussi  pres  que  Ton  veut  de  leur 
position  inltiale,  a  moins  que  les  conditions  initiales  du  mouvement  ne  soient 
exceptionnelles. 

Comme  on  le  voit,  ces  r^sultats  ne  nous  apprennent  que  peu  de  chose  sur  le 
cas  general  du  probleme;  mais  ce  qui  pent  leur  donner  quelque  prix,  e'est 
qu'ils  sont  ^tablis  avec  rigueur,  tandis  que  le  probleme  des  trois  corps  ne 
paraissait  jusqu'ici  abordable  que  par  des  methodes  d'approximation  successive 
ou  Ton  faisait  bon  march6  de  cette  rigueur  absolue  qui  est  exig^e  dans  les 
autres  parties  des  Math^matiques. 

Mais  j'attirerai  surtout  Fattention  du  lecteur  sur  les  r^sultats  n^gatifs  qui 
sont  d^veloppSs  a  la  fin  du  M6moire.  JJ6tablis  par  exemple  que  le  probleme 
des  trois  corps  ne  comporte,  en  dehors  des  integrates  connues,  aucuneintegrale 
analytique  et  uniforme.  Bien  drautres  circonstances  nous  font  pr6voir  que  la 
solution  complete,  si  jamais  on  peut  la  decouvrir,  exigera  des  instruments  ana- 
lytiques  absolument  difKrents  de  ceux  que  nous  poss^dons  et  infiniment  plus 


ET   LES   EQUATIONS   DE  LA  DYNAMIQUE.  265 

complique"s.  Plus  on  refl^chira  sur  les  propositions  que  je  d^montre  plus  loin, 
mieux  on  coinprendra  que  ce  probleme  pr^sente  des  difficulty's  inouies.  que 
1'insucces  des  efforts  anterieurs  avail  bien  fait  pressentir,  mais  dont  je  crois 
avoir  mieux  encore  fait  ressortir  la  nature  ct  la  grandeur. 

J'ai  fait  voir  ^galement  que  la  plupart  des  series  employees  en  Me"canique 
celeste  et  en  particulier  celles  de  M.  Lindstedt  qui  sont  les  plus  simples,  ne 
sont  pas  convergentes.  Je  serais  d6sole  d'avoir  par  la  jete  quelque  discredit  sur 
les  travaux  de  M.  Lindstedt  ou  sur  les  reeherch.es  plus  profondes  de  M.  Gylde"n. 
Rien  ne  serait  plus  eloign£  de  ma  pens^e.  Les  me"thodes  qu'ils  proposent 
conservent  toute  leur  valeur  pratique.  On  sait  en  effet  le  parti  qu'on  peut  tirer 
dans  un  calcul  nume"rique  de  Femploi  des  series  divergentes  et  la  s^rie  fameuse 
de  Stirling  en  est  un  exemple  frappant.  C'est  grace  a  une  circonstance  analogue 
que  les  deVeloppements  usite's  en  M^canique  celeste  ont  rendu  d^ja  de  si  grands 
services  et  sont  appel^s  a  en  rendre  de  plus  grands  encore. 

L'une  des  series  dont  je  ferai  usage  plus  loin  et  dontje  de" montrerai  d'ailleurs 
la  divergence,  offre  une  grande  analogic  avec  un  dereloppement  propos^  par 
M.  Bohlin  a  TAcad^mie  de  Stockholm  le  9  mai  1888.  Comme  son  Me*moire  nja 
^t4  imprime'  que  quelques  mois  plus  tard,  je  n'en  avais  pas  connaissance  a 
Fepoque  de  la  fermeture  du  concours,  c'est-a-dire  le  ier  juin  1888.  Je  n'ai  done 
pas  cite*  le  nom  de  M.  Bohlin,  je  m'empresse  de  lui  rendre  ici  la  justice  qui  lui 
est  due.  (Cf.  Supplement  aux  Comptesrendus  deVAcad&mie  de  Stockholm, 
t.  14  et  Astronomische  Nachrichten,  n°  2883.) 


PREMIERE  PARTIE. 

GENERALITES. 


CHAPITRE   I. 

PROPRIETES    GEISERALES    DES    tQUATIONS    DIFFERENTIELLES. 

1.  —  Notations  et  definitions. 

Considerons  un  systeme  d'^quations  differ entielles  : 
,  N  dx^       v  dx*.       v  dxn  __  v 

(i)    •  ^=Xl> 

H.  p.  —  VIL 


266  SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 

ou  t  represente  la  variable  ind^pendante  que  nous  appellerons  le  temps, 
#4,  x^  .  .  .,  xn  les  fonctions  inconnues,  ou  enfin  X4,  X2,  .  .  .,  Xrt  sont  des 
fonctions  donn^es  de  x^  a?2?  .  ..,  #ft.  Nous  supposons  en  g^ndral  que  les 
fonctions  Xi,  X2,  .  .  . ,  X7l  sont  analytiques  et  uniformes  pour  toutes  les  valeurs 
r^elles  de  x^  x<±,  ...,#„. 

Si  1'on  savait  inl6grer  les  equations  (i),  on  pourrait  mettre  le  r^sultat  de 
Fint^gration  sous  deux  formes  diff6rentes;  on  pourrait  Scrire 


3o  C2?  •  •  *;  Cn  d^signant  les  constantes  d'int^gration. 
On  pourrait  ecrire  encore,  en  r^solvant  par  rapport 


(3) 


par  rapport  a  ces  constantes 

G2  =  . 


Pour  6viter  toute  confusion,  nous  dirons  que  les  equations  (2)  representent 
la  solution  g&n&rale  des  Equations  (i)  si  les  constantes  C  y  restent  arbitraires 
et  qu'elles  representent  une  solution  particuliere  si  Ton  y  donne  aux  C  des 
valeurs  num6riques.  Nous  dirons  d'autre  part  que  dans  les  Equations  (3),  FI, 
F2,  .  .  .,  Frt  sont  n  integrales  particulieres  des  Equations  (i).  Le  sens  des 
mots  solution  et  inUgrale  se  trouve  ainsi  entierement  fixe. 

Supposons  que  Ton  connaisse  une  solution  particuliere  des  6quations  (i)  qui 
s'^crira  • 

(4)  #i 


On  peut  se  proposer  d'^tudier  les  solutions  particulieres  de  (i)  qui  different 
peu  de  la  solution  (4)*  Pour  cela  posons 


et  prenons  pour  nouvelles  fonctions  inconnues  £1?  ^2,  .  .  .,  %n.  Si  la  solution  que 
Ton  veut  4tudier  differe  peu  de  la  solution  (4),  les  £  sont  tres  petits  et  nous  en 
pouvons  n6gliger  les  carr^s.  Les  Equations  (i)  deviennent  alors,  en  n^gligeant 
les  puissances  sup^rieures  des  £  : 


»TT 

Dans  les  d^riv^es  ^-^5  les  quantit^s  xiy  x^  .  .  .,  #n  doivent  ^tre  remplac^es 


ET   LES  EQUATIONS   DE   LA   DYNAM1QUE.  267 

par  cpi(j),  ?a(0,  •  •  *?  9/i(0»  ^e  sorte  <Iue  ces  d<§riv£es  peuvent  etre  regardees 
cormne  des  fonctions  connues  du  temps. 

Les  Equations  (5)  s'appelleront  les  equations  aux  variations  des  Equa- 
tions (i).  On  voit  que  les  Equations  aux  variations  sont  lineaires. 

Les  Equations  (i)  sont  dues  canoniques  lorsque  les  variables  x  sont  en 
nonabre  pair  n  =  2/?,  se  rSpartissant  en  deux  series  rri,  #3,  .  .  .  ,  xp^  r1;  jo,  .  .  ., 
yp,  et  que  les  Equations  (i)  peuvent  s^crire 

dxl         dF  dyi  dF 

W=d^t'          "dT^-d^t         (z  =  i,2,...,/>). 

Elles  ont  alors  la  forme  des  equations  de  la  Dynamique  et  nous  dirons,  a 
I'exemple  des  Anglais,  que  le  systeme  d76quations  (6)  comporte  p  degrcs  de 
liber  te. 

On  sait  que  ce  systeme  (6)  admet  une  integrale  dile  des  forces  vives  : 
F  =  const,  et  que  si  1'on  en  connait  p  —  i  autres,  on  peut  consid&rer  les 
Equations  canoniques  comme  completement  int^gr^es. 

Consid^rons  en  particulier  le  cas  de  n  =  3;  nous  pourrons  alors  regarder^, 
^?2  6t  x$  comme  les  coordonn£es  d'un  point  P  dans  Pespace.  Les  Equations 


d6finissent  alors  la  vitesse  de  ce  point  P  en  fonction  de  sescoordonn^es,  Consi- 
d^rons  une  solution  particuliere  des  Equations  (i) 


Lorsque  nous  ferons  varier  le  temps  £,  le  point  P  d^crira  une  certaine  courbe 
dans  Pespace;  nous  Fappellerons  une  trajectoire.  A  chaque  solution  particu- 
li^re  des  equations  (i)  correspond  done  une  trajectoire  et  r^ciproquement. 

Si  les  fonctions  X4,  X2  et  X3  sont  uniformes,  par  chaque  point  de  Tespace 
passe  une  trajectoire  et  une  seule.  II  n'y  a  d7  exception  que  si  Tune  de  ces  trois 
fonctions  devient  infinie  ou  si  elles  s'annulent  toutes  les  irois.  Les  points  ou  ces 
cas  d'exception  se  pr^senteraient  s'appelleraient/?om^  singuliers* 

Consid^rons  une  courbe  gauche  quelconque.  Par  chacun  des  points  de  cette 
courbe  passe  une  trajecloire;  Pensemble  de  ces  trajectoires  constitue  une 
surface  que  j'appellerai  surf  ace-  trajectoire. 

Comme  deux  trajecloires  ne  peuvent  se  couper  sinon  en  un  point  singulier, 
une  surf  ace-  trajectoire  qui  ne  passe  en  aucun  point  singulier  ne  peut  £lre 
couple  par  aucune  trajectoire. 


2$8  SUR   LE   PROBLEMS   DES   TROIS   CORPS 

Nous  aurons  frequemment  dans  la  suite  a  nous  occuper  de  la  question  de  la 
stability.  II  y  aura  stabilite  si  les  trois  quantites  x^  #2,  a?3  restent  inferieures  a 
certaines  limites  quand  le  temps  t  varie  depuis  —  oo  jusqu'a  +  00;  ou  en 
d'autres  termes,  si  la  trajectoire  du  point  P  reste  tout  entiere  dans  une  region 
limitee  de  1'espace. 

Supposons  qu'il  existe  une  surface-trajectoire  ferm^e  S;  cette  surface  parta- 
gera  1'espace  en  deux  regions,  Tune  interieure,  Pautre  extcrieure,  et  aucune 
trajectoire  ne  pourra  passer  d'une  de  ces  regions  dans  1'autre.  Si  done  la 
position  initiale  du  point  P  est  dans  la  region  interieure,  ce  point  y  restera 
eternellement;  sa  trajectoire  sera  tout  entiere  a  Fint6rieur  de  S.  II  y  aura  done 
stability. 

Ainsi  la  question  de  stability  se  ramene  a  la  recherche  des  surfaces  trajec- 
toires  ferrates. 

On  peut  varier  ce  mode  de  representation  g^om^trique;  supposons  par 
exemple  que  Ton  pose 


^2,    £3),  ^2=  4*2  (-Slj   ^2,   ^3),  ^?a=  ^(^Ij   ^2,  -3s), 

Jes  ip  6tant  des  fonctions  de  &  qui  sont  uniformes  pour  toutes  les  valeurs  r^elles 
des  z.  Nous  pourrons  consider  non  plus  a?1?  o?2,  #3,  mais  z,  ,  ^2,  zz  comme  les 
coordonn^es  d'un  point  dans  Pespace.  Quand  on  connaitra  la  position  de  ce 
point,  on  connaitra  ^,  ^2,  z*  el  par  consequent  ^,  ^2,  o?8.  Tout  ce  que  nous 
avons  dit  plus  haut  reste  exact. 

II  suffit  meme  que  les  trois  fonctions  ^  restent  uniformes  dans  un  certain 
domaine,  pourvu  qu'on  ne  sorte  pas  de  ce  domaine. 

Si  n  >  3,  ce  mode  de  representation  ne  peut  plus  £tre  employe  en  general,  a 
moins  qu'onne  se  risigne  a  envisager  Pespace  a  plus  de  trois  dimensions.  II  est 
pourtant  un  cas  ou  la  difficulte  peut  £tre  tournee. 

Supposons  par  exemple  que  n  =  4  et  qu'on  connaisse  une  des  integrales  des 
equations  (i).  Soit 
(7)  FOI?  a:,,  a?8,  a?*)  ==  G 


cette  integrale.  Nous  regarderons  la  constante  d'integration  C  comme  une 
donnee  de  la  question.  Nous  pourrons  alors  tirer  de  liquation  (7)  une  des 
quatre  quantites  x^  x<>,  %^  #4  en  fonction  des  trois  autres,  ou  bien  encore 
trouver  trois  variables  auxiliaires  z4,  z^  *3  telles  qu'en  faisant 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA  DYNAMIQUE.  269 

on  satisfasse  a  Pequation  (7)  quelles  que  soient  les  valeurs  de  z^  z^  ^3.  II 
arrivera  souvent  qu'on  pourra  choisir  ces  variables  auxiliaires  z  de  fagon  que 
les  quatre  fonctions  fy  soient  uniformes,  sinon  pour  toutes  les  valeurs  r^elles 
des  z,  au  moins  dans  un  domaine  d'ou  on  n'aura  pas  a  sortir. 

On  pourra  alors  repr^senter  la  situation  du  systeme  par  un  point  dont  les 
coordonn6es  dans  Pespace  seront  z±,  z<>  et  £3. 

Supposons  par  exemple  que  Pon  ait  des  Equations  canoniques  avec  deux 
degres  de  liberte  : 

dxj  __•   d¥  dx-2  __   dF 

dt   """"  dy\  *  dt   ~~"  dy^  ' 

^l  _        f^  *-lyi  dF 

dt  dXi  dt  y/iC'a 

Nous  aurons  quatre  variables  #1,  #2i  yi,  y%,  mais  ces  variables  seront  li^es 
par  liquation  des  forces  vives  :  F=  C,  de  sorte  que  si  nous  regardons  la 
constante  des  forces  vives  C  comme  connue,  il  n'y  aura  plus  que  trois 
variables  ind^pendantes  et  que  la  representation  g6ometrique  sera  possible. 

Nous  distinguerons  parmi  les  variables  #4,  x%,  . . . }  xn:  les  variables  lineaires 
et  les  variables  angulaires.  II  pourra  arriver  que  les  fonctions  Xi,  X2,  ...,  Xn 
soient  toutes  periodiques  par  rapport  a  Pune  des  variables  xi  et  ne  changent 
pas  quand  cette  variable  augmente  de  271.  La  variable  xt  et  celles  qui  jouisseat 
de  la  mdme  propriete  seront  alors  angulaires;  IBS  aulres  seront  lineaires. 

Je  dirai  que  la  situation  du  systeme  n'a  pas  change  si  toutes  les  variables 
angulaires  ont  augmente  d'un  multiple  de  27?,  et  si  toutes  les  variables  lineaires 
ont  repris  leurs  valeurs  primitives. 

Nous  adopterons  alors  un  mode  de  representation  tel  que  le  point  represen- 
tatif  P  revienne  au  m£me  point  de  Pespace  quand  une  ou  plusieurs  des  variables 
angulaires  aura  augmente  de  271.  Nous  en  verrons  des  exemples  dans  la  suite, 

Parini  les  solutions  particulieres  des  equations  (i),  nous  distinguerons  les 
solutions  periodiques.  Soil 


une    solution    particnliere    des    Equations    (i).    Supposons    qu'il    existe    une 
quantite  h  telle  que 


quand  Xi  est  une  variable  Im^aire  et 

A)  =  «p/(«)  -i-  2&«         (k  etant  entier) 


270  SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 

quand  xi  est  une  variable  angulaire.  Nous  dirons  alors  que  la  solution  consi- 
d^r^e  est  periodique  et  que  h  est  la  p^riode. 

Si  Ton  adopte  un  mode  de  representation  g'£om£trique  tel  que  le  point 
repr^sentatif  reste  le  meme  quand  une  des  variables  angula  ires  augmente  de  2  TT, 
toute  solution  p6riodique  sera  repr6sent£e  par  une  trajectoire  ferm^e. 

2.  —  Galcul  des  limites. 

L'une  des  plus  belles  d^couvertes  de  Cauchy  (C.  R.  Acad.  Sc.,  U;  p,  1020), 
quoiqu'elle  ail  616  peut-etre  peu  remarquSe  de  son  temps,  est  celle  qu'il  a 
appel^e  le  calcul  des  limites  et  a  laquelle  nous  conserverons  ce  nom,  quelque 
mal  justifi^  qu'il  puisse  ^tre. 

Gonsid^rons  un  systeme  d^quations  difF6rentielles 

(I)  g  =/,(-,  7^),         g  -/,(.,  y,*). 

Si  /i  et/2  peuvem  ^tre  d^veloppes  suivant  les  puissances  croissantes  de  x,  y 
et  £,  ces  Equations  admettront  une  solution  de  la  forme  suivante  : 


9t  et  cp2  6iant  des  series  d£velopp£es  suivant  les  puissances  croissantes  de  x  et 
s'annulant  avec  a?. 

Pour  le  d6montrer,  Cauchy  remplace  les  deux  fonctions  /4  et  /2  par  une 
expression  de  la  forme 

„,  .  M 


en  ohoisissant  M,  a,  (3,  y  de  fagon  que  chaque  terme  de  /'  ait  un  plus  grand 
coefficient  (en  valeur  absolue)  que  le  terme  correspondant  de  f±  et  de  /2.  En 
remplagant  ainsi/*  et  /2  par/,  on  augmente  les  coefficients  de  ?i  et  de  92  et 
comme  ces  deux  series  sont  convergentes  apr£s  ce  changement,  elles  devaient 
Fetre  egalement  avant  ce  changement. 

Tel  est  le  principe  fondamental  du  calcul  des  limites  dont  Cauchy  a  fait 
d'ailleurs  beaucoup  d'autres  applications  et  que  plusieurs  g6ometres  ont  nota- 
blement  perfectionn^  depuis. 

Le  plus  grand  de  ces  perfectionnements  est  du  a  M.  Weierstrass  qui  a 
remplac6  la  fonction/(^,  j,  z]  de  Cauchy  par  une  autre  plus  simple  qui  peut 
jouer  le  meme  role. 


ET   LES   AQUATIONS   DE   LA   0YNAMIQUE.  271 

Ecrivons  les  Equations  (i)  sous  la  forme 


Rernplagons-y  ensuite/,  /i  et/2  par  la  fonclioa  de  M.  Weiers trass  : 


elles  deviendront 

/x  dx        dy       dz 

^'  ~di  =  ~di  =  ~dt  =  i  — ( 

Les  Equations  (if)  sont  satisfaites  formellement  par  des  series 


developp^es  suivant  les  puissances  croissantes  de  t  et  s'annulant  avec  t. 
De  meme  les  Equations  (2')  seront  satisfaites  par  des  series 

*  =  ?'(0,       r  =  9'i(0,        *  =  <P«(0 

d^velopp^es  suivant  les  puissances  croissantes  de  t  et  s'annulant  avec  t.  [On 
voit  facilement  d'ailleurs  que  cp'(£)  =  o't  (i)  =  (p7,  (i).] 

Si  M  et  a  sont  convenabloment  choisis,  les  coefficients  des  series  ^'sont  plus 
grands  quo  ceux  des  series  o;  or  les  series  ®!  convergent;  done  les  series  o> 
convergent  6galement.  c.  Q.  F.  D. 

Je  n'insiste  pas  sur  ces  demonstrations  qui  sont  devenues  tout  a  fait 
classiques  et  qui  se  trouvent  d£velopp6es  dans  tous  les  traites  un  peu  complets 
d^Analyse,  par  exemple  dans  le  Cours  cP  Analyse  de  M.  Jordan  (t.  3,  p.  87). 

Mais  on  peut  aller  plus  loin. 

TH&OREME  I.  —  Imaginons  que  les  fonctions  /i  et  f*>  dependent  ,  non 
settlement  de  &,  y,  et  ^,  mats  d/un  certain  parametre  arbitraire  p.  et 
qu'  elles  puissent  se  developper  suivant  les  puissances  croissantes  de  x^  y,  z 
et  JJL.  Ecrivons  alors  les  Equations  (i)  sous  la  forme 


On  peut  trouver  trois  series 

y  = 


satis/assent  formellement  aux  Equations  (i^),  qui  soient  d&velopp&es 
suivant  les  puissances  croissantes  de  t,  de  p.  et  de  trois  constantes 


272  SUR  LE   PROBLEME   DES   TROIS   CORPS 

gration  XQ,  jo?  ^o  et  qui  enfin  se  reduisent  respectivement  a  XQ,  jo  et  z& 
pour  t  =  o> 

Je  dis  que  ces  series  convergent  pourvu   que  t,  p.,  ^0?  Jo  et  z$  soient 
suffisamment  petits. 

En  effet  remplagons/,  f\  et/2  par  la  fonction 

M 


Gette  fonction  /'  peut  £tre  d^veloppee  suivant  les  puissances  de  x,  y,  z  et  /A. 
On  peut  prendre  M,  a  et  (3  assez  grands  pour  que  chaque  terme  de/;  soit  plus 
grand  que  le  terme  correspondant  de/",  de/i  et  de/2- 

Nous  obtiendrons  ainsi  les  Equations 

tr  clx       dy  ^_  dz  _  M 

'2  ^  S  ==  S  ^  5^"  =  (i—  ^)[i  —  a(a?* 


On  peat  trouver  trois  series 

3?=  o'(^5  ^  a?0,  Jo,  -So),         Y  =  9i(^»  H->  ^o,  Jo,  *o),         -  =  92(^3  H-j  ^o,  Jo, 


d^velopp^es  suivant  les  puissances  de  Z,  p.,  ^r0;  JKoj  ^o?  satisfaisant  aux  equa- 
tions (2")  et  se  r^duisant  respectivement  a  ^0?  Jo,  ^o  pour  t  =  o. 

En  raisonnant  corame  le  faisait  Gauchy,  on  d^montrerait  que  chaque  terme 
des  series  op'  est  plus  grand  que  le  terme  correspondant  des  series  9.  Or  les 
s6ries  tf  convergent,  si  t,  p:  J50,  y(]  et  ZQ  sont  assez  petits.  Done  les  series  9 
convergent  egalement.  c.  Q.  F.  D. 

On  peut  tirer  de  l£  diverses  consequences. 


II.  —  Nous  venons  de  voir  que  x,  y  et  s  peuvent  etre  d£velopp^s 
suivant  les  puissances  de  t,  JUL,  XQ  yQ  et  ZQ  pourvu  que  ces  cinq  variables, 
'  y  compris  £,  soient  suffisamment  petites. 

Je  dis  que  x,  yet  z  pourront  encore  e,tre  developpees  suivant  les  'puissances 
des  quatre  variables  p.,  a?0,  yG,  et  ZQ  quelque  grand  que  soit  t  pourvu  que 
les  quatre  variables  /JL,  XQ,  y0j  et  z$  soient  assez  petites  (£). 
11  y  a  toutefois  un  cas  d'exception  sur  lequel  je  reviendrai. 
En  effet  nous  trouvons  d'abord  trois  series 


Jo?  -so),        J  =  <pi(*9  ^  ^o,  Jo?  ^o)7        z  =  9s(<,  JA,  #0,  Jo 


Fo/r  aux  Notes,  Siries. 


ET   LES   AQUATIONS   DE   LA  DYNAMIQUE.  27-3 

qui  defmissent  x,  y  el  z  pour  les  valeurs  suffisamment  petites  de  jx,  &0,  y0,  ^0, 
et  quand  1 1\  <  p,  p  <kant  le  rayon  de  convergence  de  ces  series.  Si  done  ^  est 
un  point  int^rieur  au  cercle  de  convergence  et  si  xi9  y^  et  ^  sont  les  valeurs 
de#,  y  el  z  pour  t  =  £1?  onvoit  que  a?1?  j^  el  ^  sontdes  fonctions  holomorphes 
de  p.,  #o,  jKo  et  #0,  c'est-a-dire  developpables  suivant  les  puissances  de  ces 
variables  si  elles  sont  assez  petites. 

Soient  ensuite  &{,  y\  et  z\  les  valeurs  de  #, ,  y^  et  *4  pour 


Cela  pos6,  on  aura  dans  le  voisinage  du  point  t  =  t , 

(3) 

Les  series  cp',  y\  et  cp'2,  tout  a  fait  analogues  aux  series  o,  QI  el  cp2,  sont  d^finies 
comme  il  suit. 

Elles  satisfont  aux  equations  diOferentielles ;  elles  sont  developpees  suivant 
les  puissances  de  t  —  t±,  p,  x±  —  x\^  y{  — y\  et  z\  —  z\ ;  elles  se  r^duisent  &x\, 
y\  et  Zi  pour  t  =  t±. 

Elles  convergeront  si  /JL,  a?4 — #J,  y,\ — yl,  z\ —  z\  sont  assez  petits  et  si 
j  t  —  ti  |  <  pi,  p^  ^tant  le  rayon  du  nouveau  cercle  de  convergence  d. 

Si  t  est  un  point  interieur  ^  ce  nouveau  cercle  de  convergence  d,  on  voit 
que  3;,  y  et  z  seront  fonctions  holomorphes  de  p.,  #?4  —  3?5j.X<i — JKi  et -^i  —  *?• 
Mais  x±  —  a?J,  j^i  — yj,  ^-i  —  ^J  sont  d£ja  fonctions  holomorphes  dep.,  a?0?  JKo?  -^o- 
Done,  pour"  tout  point  t  int^rieur  au  cercle  d,  les  trois  quantil^s  57,  y'ei  z 
sont  des  fonctions  holomorphes  de  p,,  XQ,  yQ  z$  d^veloppables  selon  les 
puissances  de  ces  variables  si  elles  sont  assez  petites. 

Supposons  maintenant  que  le  point  C  soit  ext6rieur  au  cercle  d,  le  th^oreme 
sera  encore  vrai;  il  est  clair  en  effet  qu7il  suffit  pour  le  d^montrer  pour  une 
valeur  quelconque  de  £,  de  r6p£ler  le  raisonnement  pr^c6dent  un  nombre 
suffisant  de  fois,  pourvu  que  les  rayons  pi?  p2,  -. .  .  des  cercles  de  convergence 
envisages  successivement  restent  sup^rieurs  a  une  quantity  donn£e. 

Gette  convergence  sera  d^ailleurs  uniforme  pour  toute  valeur  de  t  inKrieure 
a  ^o>  quelque  grand  que  soit  £0. 

On  ne  serait  arret£  que  dans  un  cas. 

Le  th6or£me  de  Cauchy  cesse  d'etre  vrai  si  les  fonctions /j  et/2  ne  sont  plus 

H.  P.  —  VIT.  35 


2^4.  SUR   LE   PROBLEMS   DES   TROIS   CORPS 

holomorphes  en  #,  y,  s;  par  exemple  si  elles  deviennent  infinies,  ou  cessent 
d'etre  uniformes. 

Si  Ton  ne  peut  pas  d6velopper  les  fonctions/,  /i  el/a  suivant  les  puissances 
croissantes  de  (Jt,  de  #—  #J,/  —  JK??  z  —  z\,  il  n'existera  pas  en  g£n6ral  trois 
series  <p',  <p't  et  <p'9  de  la  forme  (3)  satisfaisant  aux  Equations  diff^rentielles. 

On  dit  alors  que  le  point 

x^x\,       y  =  r?,        *  =  *? 
est  un  point  singulier. 

Si  done,  en  faisant  varier  £,  on  voyait  le  point  mobile  (#,  y,  s)  passer  par  un 
point  singulier,  notre  theoreme  serait  en  d^faut.  Si  t  variant  depuis  t=o 
jusqu'a  t  =  tQ,  le  point  mobile  (x,  y,  z}  ne  passe  par  aucun  point  singulier,  le 
rayon  de  convergence  de  la  serie  de  Gauchy  ne  pourra  s'annuler  et  1'on  pourra 
lui  assigner  une  limite  infdrieure,  de  sorte  que  les  trois  fonctions  x,  y,  s  seront 
d^veloppables  suivant  les  puissances  de  p.?  ^rc;  jKoj  -^o  pour  toute  valeur  de  t 
inf6rieure  a  <f0-  Mais  si  pour  t  —  tQ,  le  point  (x,  y,  z}  se  confond  avec  un  point 
singulier,  le  theoreme  cessera  d'etre  vrai  pour  les  valeurs  de  t  superieures  a  f0. 

Notre  theoreme  comporte  done  un  cas  d'exception.  Mais  ce  cas  ne  se 
pr^sentera  pas  dans  le  probleme  des  trois  corps  el  nous  n'avons  pas  &  nous  en 
inquirer.  Soient  en  effet  (^,  y<,  3{],  (x%,  y*,  s2)?  (j?3,  y-Aj  z<±]  les  coordonn^es 
des  trois  corps,  r2s,  ri3,  /^2  leurs  distances  mutu  elles,  mi?  /n2  et  m%  leurs 
masses.  Les  Equations  du  probleme  seront  de  la  forme  suivante  : 

d^  x  i  _  m-2  (  #2  —  #  i  ) 


Le  second  membre  de  cette  equation  ne  pourrait  cesser  d'etre  holomorphe 
en  x\,  yi,  %i,  x^  y^  z^  ^:},  ja,  ^3  que  si  1'une  des  trois  distances  r2s,  /'is,  J\z 
venait  4  s'annuler,  c^est-a-dire  si  deux  corps  venaient  a  se  choquer.  Or  nous 
n'appliquerons  jamais  notre  theoreme  que  quand  on  sera  certain  qu'un  pareil 
choc  ne  peut  se  produire, 

Le  m6me  resultat  peut  encore  etre  ^tabli  djune  autre  maniere.  Reprenons  les 
Equations 

dx        £  dy        ,   .  .  dz         „  .  ^ 

•ji  =*f(B*y,  *>  ?*),      -^  =  M*,y,  *,  p),      ~jt  =Mx,y>  *,  n)- 

Les  fonctions  y,  /t,  f^  pourront  en  g^n^ral  ^tre  d^velopp^es  suivant  les  puis- 
sances croissantes  de  x  —  a;0,  y  —  yQl  z  —  soj  p.  —  JULO  pour  les  valeurs  de  x,  y, 
z  et  p.  suffisamment  voisines  de  3?0j  JKo?  so  et  JJLO.  S'il  existe  un  systeme  de 


ET   LES   EQUATIONS  DE   LA   DYNAMIQUE.  276 

valeurs  de  ^0,  y0,  £0,  f*o  pour  lequel  cela  n'ait  pas  lieu,  je  dirai  que  ce  systeme 
de  valeurs  est  un  des  points  singuliers  de  nos  Equations  dififerentielles. 

Gela  pos6,    ces    equations   admettront  une   solution   telle   que   x,   y  et  z 
s'annulent  avec  ?;  et  cette  solution  dependra  manifestement  de  p.  Soit 


cette  solution.  II  r^sulte  de  la  definition  rn£me  de  cette  solution  que  Fon  a, 
quel  que  soit  f/.  : 

0)1(0,  fj.)  =  0)2(0,  JJL)  =  0)3(0,  ui)  =  o. 

Dans  la  plupart  des  applications,  on  pourra  effectuer  I'int^gration  pour  p  =  o, 
de  telle  sorte  que  les  f  one  lions  &><(£,  o),  032(£,  o),  co3(j,  o)  seront  connues.  Je 
suppose  que,  pour  aucune  des  valeurs  de  t  comprises  entre  z6ro  et  £±,  le 
systeme  de  valeurs  GH(£,  o),  coa(£7  o),  &)3(£,  o),  o  ne  soit  un  point  singulier  de 
nos  Equations  diflferentielles. 

Pour  employer  un  langage  incorrect;  mais  commode,  je  dirai  que  la  solution 
particuliere 

^=^=0)1(^0)3        y~  o)S(*,  o),        ^ 


ne  passe  par  aucun  point  singulier. 

Si  cela  n'avait  pas  lieu,  nous  nous  trouverions  dans  le  cas  d'exceplion  dont 
j'ai  parl^  plus  haul. 

Si  au  contraire,  cela  a  lieu,  ce  que  je  supposerai,  je  dis  que  les  expressions 
&u(£i>  f*)?  w2(^i,  /x),  co3(^i,  ^)  sont  des  fonctions  de  fx  d^veloppables  suivant 
les  puissances  croissantes  de  cette  variable. 

Posons  en  eflfet 


f,  o),         J  =  YI  +  w2(^  o),         *  =  £-f-a)3(£,  o), 
les  Equations  difFdrentielles  deviendront 
(4)      f    =  o(?5  ^  ?,  «,  ^)> 


II  r^sulte  de  Fhypothese  que  nous  avons  faite  que  pour  toutes  les  valeurs 
de  t  comprises  entre  z<3ro  et  £1?  les  fonctions  9,  cp.,  et  92  peuvent  etre  d6velopp6es 
suivant  les  puissances  de  £,  f],  C  et  fx,  les  coefficients  du  d6veloppement  etant 
des  fonctions  du  temps. 

J'observe  de  plus  que  pour  ^  =  0,  les  Equations  diff^rentielles  doivent  £tre 
satisfaites  pour 


276  SUR   LE   PROBLEME   DES   TROIS   CORPS 

cs  qui  veut  dire  que  9,  91  et  93  s'annulent  quand  p.,  %,  YJ,  £  s'annulent  a  la  fois. 
On  pourra  alors  trouver  deux  nombres  positifs  M  et  a  lels  que,  pour  toutes 
les  valeurs  de£  comprises  entre  z£ro  eUi,  chaque  coefficient  du  developpement 
de  <f,  <pi  ou  92  sutvant  les  puissances  croissantes  de  £,  73,  £  et  p.  soil  plus  petit 
en  valeur  absolue  que  le  coefficient  correspondant  du  developpement 

de  -  ,1*"  r|H"    I*~       •  ou    a    fortiori   que    le    coefficient  correspondant   du 

I  —  a(£  -4-  T\  -+-  ^  -+-  tji)  ^  T-  r 

developpement  de 


Comparons  done  les  Equations  (4)  aux  suivantes  : 

/  r  N  ^  flfy  <^C  ,    /  ,.  v  N 

(5)  ^  =  ^=-=^(1^,?^). 

La  solution  des  ^qualions  (4)7  qui  est  telle  que  ^  yj  el  £  s'annulent  a  la  fois 
pour  £  =  o,  s'^crit 


g  =  0)i(«5    fl)—  (D,(«,    O),  7)  =  (02(J,    [JL)  —  0)2(^    0),  S  =  0)3  (/,    p,)—  W3(«,    0). 

D'un  aulre  cot6  les  Equations  (5)  admettent  une  solution 

5  =  7l==?  =  a)'(r,fx) 

telle  que  £,  r),  ?  s'annulent  avec  t. 

En  raisonnant  comme  Fa  fait  Gauchy,  on  verrait  que  si  w'(£,  /a)  est  d6velop- 
pable  suivant  les  puissances  croissantes  de  /*,  il  doit  en  etre  de  m^me  de 
<0i(«,  fx)  —  co^^  o),  wa(^  p.)  —  wa(^  o);  co3(^;  p.)  —  co3(^  o),  et  que  cliaque 
coefficient  du  developpement  de  ces  trois  dernieres  fonctions  est  plus  petit  en 
valeur  absolue  que  le  coefficient  correspondant  de  w;(^  p);  au  moins  pour 
toutes  les  valeurs  de  t  telles  que  o  <C  t  <  (4  .  Or  les  Equations  (5)  sont  faciles  a 
int^grer  el  Pon  v^rifie  ais^ment  que  co'(i,  p)  peut  se  d^velopper  suivant  les 
puissances  de  p.  Done  £,  ?j  et  ^  sont  ^galement  d^veloppables  suivant  les 
puissances  de  /JE.  pourvu  que  o  <C  t<i  ti.  c.  Q.  F.  D. 

TH^OREME  III.  —  Cela  pos£,  soit 

x,  ^o,ro5  *o),         r  =  ^2(^5  fx,  ^o,  Jo,  *o3)         -  =  w3(^7  fx,  #0,  J'o,  ?o) 

solutions  de  nos  Equations  diff&rentielles  ,  qui  est  telle  que 

X~XQ,       y~yo>       ^  =  ^0 
pour£  =  o. 


ET   LES   EQUATIONS   DE  LA   DYNAMIQUE.  277 

Co  nsidero  ns  les  fo  nctio  ns 

Wi(*i-hT,    p.,   a?0,  J%   -^o),  ^(^-i-T,    JJL,    570,  JO,   ^0),  <03(*i-hT3    (Jt,    ^0,  Jo,    *<>)• 

/£  rfw  qu'elles  sont  developpables  suivant  les  puissances  de  /x,  a?0,  y0,  ^0  e£  T 
pourvu  que  ces  quantites  soient  suffisamment  petites  . 

Posons  en  eiBFet 


Nos  Equations  deviendront 

dx' 


Ces  Equations  contiennent  cinq  parametres  arbitraires,  a  savoir  JJL,  ^o?  J'o?  ^o?  r- 
Consid^rons  done  la  solution  de  ces  equations  qui  est  telle  que  &T}  yf,  z' 
s'annulent  avec  tl  r;  soil 

a?'=  co'jO?',  p.,  a?o,ro»5o,T),         y=  a)'2(/',  p,  a?o,  J'o,*o,'0,         -/==  ^3(^9  t!J->  ^o3  J'o,  ^o,  T), 

II  resulte  de  ce  que  nous  venons  de  voir  que  si  Ton  fait  £;=  t^  les  expressions 

coX^ij  !^5  ^o,  J'o,  ^o,  T),         to;2(^,  fx?  ^7o,  Jo,  -So,  "0,         ^3(^15  taa  ^oj  J'oj  ^u,  ") 
sont  developpables  suivant  les  puissances  de  f/.,  a?0j  J^oj  5o  et  r-  Mais  il  est 
manifeste  que  1'on  a 


1 

(6)  S    ^(Zi,    JJL,    3?0j  J''0j   #0j   t)  =  t02(jfi-HT,    fJ.,   ^o,  J/'o,   ^OJj 

Done  les  seconds  membres  des  Equations  (6)  sont  6galement  d^veloppables 
suivant  les  puissances  de  p.,  j?0,  j^0^  ^o  6t  T.  c.  Q.  F.  D. 

THEOREMS  IV.  —  Gaucby  a  tire  du  calcul  des  limites  un  autre  th^oreme 
d'une  extreme  importance. 
Voici  quel  est  ce  th^oreme  : 

Sf  Von  a  n  +  p  quantites  yiy  y%*  .  . . ,  y^  &*  3  ^2?  •  •  -  ?  XP  entre  lesquelles 
ont  lieu  n  relations 

(7) 


278  SUR  LE  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS 

si  les  f  sont  developpables  suivant  les  puissances  des  x  et  des  y  et 
s'annulent  avec  ces  n  +p  variables; 

si  enfin  le  determinant  fonctionnel  des  f  par  rapport  aux  y  n'est  pas 
nul  quand  les  x  et  les  y  s  'annulent  a  la  fois; 

on  pourra  tirer  des  equations  (7)  les  n  inconnues  y  sous  la  forme  de 
series  developpees  suivant  les  puissances  croissantes  de  x±,  a?2j  .  .  .  ,  xp. 

Consid^rons  en  efFet  #4  comme  la  seule  variable  ind^pendante,  #2,  073,  ...,  xp 
comrae  des  parametres  arbitrages,  nous  pourrons  remplacer  les  Equations  (7) 
par  les  n  equations  differentielles  :  , 


... 
^    '  dyi  d&i       dy*  dxL  dyn  dx^ 

Nous  sommes  ainsi  ramen^  au  cas  dont  nous  venons  de  nous  occuper. 

En  parlieulier  sif(y,  Xi,  x*,  .  .  .,  xn}  est  une  fonction  d^veloppable  suivant 
les  puissances  de  y,  x±,  x2,  .  .  .,  xn\  si  quand  les  x  et  y  s'annulent  a  la  fois, 
on  a 


si  enfin  y  est  d^fini  par  F6galit6  f=o,  y  sera  d6veloppable   suivant  les 
puissances  de  x. 

II  nous  resterait  a  examiner  ce  qui  se  passe  quand  le  determinant  fonclionnel 
des  y  par  rapport  aux  y  est  nul.  Gette  question  a  fait  Pobjet  de  recherches 
nombreuses  sur  lesquelles  je  ne  puis  insister  ici,  mais  au  premier  rang 
desquelles  il  convient  de  citer  les  travaux  de  M.  Puiseux  sur  les  racines 
des  equations  alg^briques.  J'ai  eu  moi-m£me  Foccasion  de  m'occuper  de 
recherches  analogues  dans  la  premiere  partie  de  ma  These  inaugurate  (Paris, 
Gauthier-Villars,  1879)  (1).  Je  me  bornerai  done  a  ^noncer  les  theoremes 
suivants,  en  me  bornant  a  renvoyer  pour  les  demonstrations,  soit  aux  traites 
classiques,  soit  a  ma  these. 

THEOREMS  V.  —  Soit  y  une  fonction  de  x  d&finie  par  I  'equation 
(9)  /O,  a?)  =  o, 

ou  f  est  developpable  sui9ant  les  puissances  de  x  et  de  y. 

C1)  OEuvres  de  H.  Poincare,  t.  I,  p.  IL. 


ET   LES   EQUATIONS   DE  LA  DYNAMIQUE.  279 

Je  suppose  que  pour  x=y  =o,  f  s'annule  ainsi  que  ^  ^p  ...,^^/, 

dmf  '  " 

mais  que  -r-^  ne  s'annule  pas. 

II  existera  m  series  de  la  forme  suivante  : 

\_  2  3 

(10)  y  =  a±xn  H-as^n-  a3#*-H..  . 

(ou  7i  est  un  entier  positif  et  ou  a<7  a2  ...  sont  des  coefficients  constants)  qui 
satisferont  a  liquation  (9). 

GOROLLAIRE  L  —  Si  la  scrie  (ro)  satis  fait  a  liquation  (9)  Hen  est  de  merne 
de  la  serie 


y  = 
ou  a  est  une  racine  /ii6me  de 

COROLLAIRE  II.  —  Z/£  nombre   des  series  de  la  forme  (10)   developpees 

i_ 
suivant  le$  puissances   de  xn  (sans    pouvoir   etre    developpees  suivant  les 

i 
puissances  de  #^?  jt>  <C  n)  e,?£  divisible  par  n* 

COROLLAIRE  III.  —  Si  k^n^  est  le  nombre  des  series  (10)  ddveloppables 

L 
suivant  les  puissances  de  #%  $i  k±n±  est  le  nombre  des  series  (10)  develop- 

JL 
pables  suivant  les  puissances  de  xn*,  ...,  j«  A},^  ^f  le  nombre  des  series  (10) 

JL 
d£veloppables  suivant  les  puissances  de  xnp,  on  aura 

ki  /ii  -j-  ^2  n2  -+-  .  .  .  -f-  ^/»  /i/>  =  /n? 

d'ou  Ton  conclut  que  sz  m  €^f  impair,  Vun  au  mains  des  nombresn^  7i2,  .  .  * 
np  est  aussi  impair. 

TH&OREME  VI.  —  Si  Von  a  les  Equations 


^  premiers  membres  sont  developpables  suivant  les  puissances  des  y 
et  de  x  et  s'annulent  avec  ces  variables,  on  pourra  toujours  £liminer  entre 
ces  Equations  y^  y^  . . . ,  yp  et  arriver  it  une  Equation  unique  f(y\ ,  &)  =  o 
de  m&me  forme  que  V equation  (9)  du  th&oreme  pr&c6dent* 


280  SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 

II  n'y  aurait  d'exception  que  si  les  Equations  (i  i)  cessaient  d'etre  distinctes. 

COJROLLAIRE  DES  THEOREMEs  V  ET  VI.  —  Le  theoreme  IV  s'applique  toutes 
les  fois  que  le  determinant  fonctionnel  des  f  ri*est  pas  nul,  c'est-a-dire 
toutes  les  fois  que  quand  les  x  s'annulent,  les  Equations 

(7)  /1S=/S=5. ..  =  /„=<> 

admettent 

ri  =  j'2  =  ..  .  =  yn=o 

comme  une  solution  simple. 

II  resulte  des  theoremes  V  el  Viet  de  leurs  corollaires  £nonc6splus  hautque 
le  theoreme  IV  est  encore  vrai  si  cette  solution  est  multiple,  pourvu  que 
Vordre  de  multiplicite  soit  impair. 

4b 

3,  —  Applications  du  calcul  des  limites  aux  equations 
atoc  deriv^es  partielles. 

Catichy  avail  d6ja  appliqu^  le  proc^de  du  calcul  des  limites  aux  Equations 
aux  d£riv6es  partielles.  Mme  Kowalevski  a  consid^rablement  simplify  la 
demonstration  de  Cauchy  et  a  donn6  au  theoreme  sa  forme  definitive. 

Voici  en  quoi  consiste  le  th6oreme  de  Mme  Kowalevski  (Journal  de  Crelle, 
t.  80). 

Consid^rons  un  systeme  d'equations  aux  d6rivees  partielles  d<5fmissant 
n  inconnues  z^  ^2,  .  .  . ,  Zn  en  fonction  de  p  variables  ind^pendanles. 

Supposons  que  ce  systeme  s'^crive 


^        ^     ^  I    dzi  dzj  \ 

(*)  dxi  \    lj     2'  *"'3     />>  dx^  dx^         '  ^^  '' 

5*-g^  ^  /  .  dzi     dzi  dzi 

v    CJ^l  n  \     lj       Sj    •  •  -  3  •    p  j   ^^  5    ^^  ?  •  J    j^l  ' 

/ij/2?  -  •  -,//i  ^tant  d^veloppds  suivant  les  puissances  de  ^1?  ^r27  .  .  . ,  xp  et  des 

^ 

^—  «M  («  prendles  valeurs  i,  2,  ...,  n;  A- les  valeurs  2.  3,  .  .  .  ,p;  enfmlesa^ 

sontdes  constantes  quelconques). 
Soit  maintenant 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  281 

n  fonctions   donn^es  quelconques,  developpees  suivant  les  puissances  crois- 
santes  de  a?2,  #3)  .  .  .  ,  xp  et  telles  que 

dtyt 

-—=xik         p0llr     ^2=  ^3 

Ilexiste  n  fonctions 


developpables  suivant  les  puissances  de  x±)  x*}  .  .  .  ,  xp^  qui  satisferont  aux 
Equations  (i)  et  qui  se  reduiront  respectivement  a  ^i,  ^2?  •  ••?  tynpour  Xi=  o. 

JJai  moi-meme  cherch^  a  etondre  les  r^sultats  obtenus  par  Mme  Kowalevski 
(These  inaugurate  (<),  Paris,  Gauthier-Villars,  1879)  etj'ai  <§tudi^  en  detail  les 
cas  que  la  savante  mathematicienne  avail  laiss£s  de  c6t^. 

Je  me  suis  attach^  en  particulier  a  1'equation 

,    ,          +  .„    dz        _.    dz  _     dz 

^  Xi^r+X2z^-+---+x"^  =  Ai- 

ou  Xi,  X2,  .  .  .,  Xra  sont  d^veloppes  suivant  les  puissances  de  xiy  cc*,  .  .  .  ,  xn\ 
je  suppose  de  plus  que  dans  le  d6veloppement  de  Xl?  X2:  .  .  .7  Xn,  il  n'y  ait 
pas  de  terrne  tout  connu  et  que  les  termes  du  premier  degre  se  r^duisent  res- 
pectivement a  Ai^i,  X2^2?  .  .  .  ,  "^nXni  de  telle  sorte  que 


Yf  d^signant  une  suite  de  termes  du  deuxieme  degre  au  moins  par  rapport  a 

J'ai  demontr6  qu'a  certaines  conditions  cette  Equation  admet  une  integrate 
holomorphe  d6veloppable  suivant  les  puissances  de  #1,  a?2,  .  . . ,  xn- 
Pour  que  cette  integrale  existe,  il  suffit  : 

i°  que  le  polygone  convexe  qui  contient  les  n  points  Xi,  7i2?    . ..,  Xn  ne 
contienne  pas  Forigine; 

2°  que  Ton  n'ait  aucune  relation  de  la  forme 

/W-2  ^*-2  ~r~  •  •  •  "~^~  fl^n  ^-n ;==  ^1  j 

ou  les  m  sont  des  entiers  positifs  dont  la  somme  est  plus  grande  que  i  (2). 


(»)  QEuvres  de  H.  Poincare^  t.  I,  p.  IL, 

(2)  Dans  ma  these,  je  n'enonee  pas  cette  restriction  et  je  ne  suppose  pas  que  la  somme  des  m 
soit  plus   grande   que   i.   II  semblerait  done  que  le   theoreme  est  en  defaut  quand  on  a  par 
H,  p.  —  VII.  36 


282  SUR  LE   PROBLEMS   DES  TROIS   CORPS 

Je  vais  chercher  a  g&aeraliser  le  r^sullat  obtenu  dans  ma  these. 
Au  lieu  de  Fequation  (2)  envisageons  Pequation  suivante  : 

dz       ^r    dz        „    dz  v     dz        . 


Nous  avons  encore 

Xi^^a?,  —  Yi, 

Y£  d^signant  une  fonction  d^velopp^e  suivant  les  puissances  #l5  #2,  .  .  .  ,  xn  el 
ne  comprenant  que  des  lermes  du  deuxieme  degr6  au  moins  par  rapport  a 
ces  n  variables.  Mais  Yz-  ne  dependant  pas  seulement  des  #,  il  depend  aussi  de  £, 
de  sorte  que  les  coefficients  du  d^veloppement  de  Y,  suivant  les  puissances 
des  x  sont  des  fonctions  de  t.  Nous  supposerons  que  ce  sont  des  fonclions 
pdriodiques  de  t  de  periode  2  TT  d6velopp£es  suivant  les  sinus  et  cosinus  des 
multiples  de  t. 

Je  me  propose  de  chercher  dans  quel  cas  liquation  (3)  adnaeltra  une  int6- 
grale  holomorphe  d6veloppee  suivant  les  puissances  de  x^  a?2,  .  .  .,  xn  et  telle 
que  les  coefficients  du  d&veloppement  soient  des  fonctions  p^riodiques  de  t. 

Voyons  d'abord  quelle  va  etre  la  forme  de  Yz-.  Nous  allons  d^velopper  Y* 
suivant  les  puissances  croissantes  de  a?i,  x^  .  ..,  xn\  consid^rons  le  terme 
en  x^x^f  .  .  .  a£». 

Le  coefficient  de  ce  terme  etant  une  fonction  p^riodique  de  t  pourra  se  d^ve- 
lopper  suivant  les  sinus  et  cosinus  des  multiples  de  t,  ou  ce  qui  revient  au 
meme  suivant  les  puissances  positives  et  negatives  de  e^~*. 

Nous  pourrons  done  £crire 


Les  G  sont  des  coefficients  constants;  [3  est  un  entier  positif  ou  n^gatif; 
a2,  .  .  .  ,  an  sont  des  entiers  positifs  lels  que 


.  2. 


exemple  X2~  Xr  II  n'en  est  rien.  Si  Ton  avait 


certains  coefficients  du  developpement  prendraient  la  forme  —  et  deviendraient  infinis.  C'est 
pour  cette  raison  que  nous  avons  dii  supposer  qu'une  pareille  relation  n'a  pas  lieu.  Si  Ton  avait 
au  contraire  X2=  \  certains  coefficients  prendraient  la  forme  -• 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  283 

J'^crirai  aussi  quelquefois  en  supprimant  les  indices 

Yz-=  S  G  e& 
Posons  niaintenant 

Y{  =  S|C| 
el  envisageons  liquation  suivante  : 


Dans  cette  Equation  ~  n'entre  plus;  nous  pouvons  done  regarder  t  comme 
un  paramelre  arbitraire  et  o?1}  a?2,  .  .  .  ,  xn  cornme  les  seules  variables  ind6- 
pendantes.  Si  done  les  quantit<§s  X'17  X'2,  .  .'.,  \'n  satisfont  aux  conditions  que 
nous  avons  4nonc6es  plus  haul,  Pequation  (4)  [qui  est  de  m£me  forme  que 
liquation  (2)]  admettra  une  integrate  holomorphe. 

Nous  supposerons 

V   _  1  '    _  *i  / 

/vl  —  A  2  --  .  .=  A/z. 

Nous  supposerons  de  plus  X't  rcSel  et  positif. 
Gela  pos6,  soit 

(5)  ^=SAli.aioc2,.an^V/=I^^...^ 

une  serie  satisfaisant  formellement  a  liquation   (3).    Comment   pourra-t-on 
calculer  les  coefficients  A  par  recurrence  ? 
En  <5crivant  Fequation  (3)  sous  la  forme 

dz       .          dz  dz        .  __    dz        ,,    dz  ^     dz 

-ft  -f-  Xia?!-,  --  h.-.-HXaarn-^  --  Xi^  ==  Yt  ~  --  h  Y2~7  --  H...-H  Y^-,— 
«&  «^?i  <^/z  ^i  <:/^2  «ar« 

et  en  identifiant  les  deux  membres,  on  trouve 

A.g.a1a,...B|1[p  VC^-^Xia1-hX2a3-h...-|-X7Za72>™X1]===  P[G,  A], 

P[C^  A]  4tant  un  polynome  entier  a  coefficients  positifs  par  rapport  aux  C  et 
aux  coefficients  A  d^ja  calculus. 
Soit  main  tenant 

(6)  *=  SAp.a^..^^^^^^..,^" 

une  s^rie  satisfaisant  a  liquation  (4).  Pour  calculer  les  coefficients  A'  nous 
^crirons  liquation  (4)  sous  la  forme 

.          v     dz       .-,    dz  __.    «£s 

X^  Z  =  Y'j  ^  --  h  Y'2  -=  --  h  .  .  .  -f-  Y'B  -p-  - 

A  n 


284  SUR   LE   PROBLEME   DES   TROIS   CORPS 

En  identifiant  les  deux  membres,  nous  trouverons 

Xi  x2  +  ...+  A'nxn-  \\  ]  =  P  [  |  G  |,  A']. 


P  [  |  C  |,  A']  ne  differe  de  P  [C,  A]  que  parce  que  les  G  sont  remplac^s  par  leurs 
modules  et  les  A  par  les  A7. 

Les  V  £lant  r6els  posilifs  ainsi  que  les  coefficients  du  polynome  P,  les  A' 
seront  ainsi  reels  et  positifs. 

Pour  que  1'on  ait  ensuite 

I  Ap.jtys.  ,an  |  <  Aip.ataa...a»j 

il  suffit  que  1'on  ail  toujours 

\\  oil  •+•  A  2  a2  -+•  .  .  .  -h  XJZ  otfi  —  5/i  <  |  fi  y  —  I  •+-  Xi  «i  -4-  AS  a-2  -h  -  .  .  -H  A//  a«  —  Xi  I 


ou 

(7)  A',  < 


(3  ^/H 


(«l  —  I)  -f-  oto-H.  .  . -h«n 

Si  1'on  a  choisi  ^   de  fagon  a  satisfaire  a  I'inegalit^   (7),    on   aura  done 


Or  la  s^rie  (6)  converge,  done  il  en  sera  de  m£me  de  la  s6rie  (5). 

Ainsi  done  pour  que  la  s6rie  (5)  converge,  il  suffit  qu'on  puisse  trouver  une 
quantity  positive  A^  satisfaisant  £  Pin6galit4  (7)  pour  toutes  les  valeurs  entieres 
et  positives  des  <x,  etpour  toutes  les  vaieurs  enlieres  positives  et  negatives  de(3. 

Commen^ons  par  remarquer  que  le  second  membre  de  l'in£galit£  (7)  est 
toujours  plus  grand  que 

II  suffira  done  que  ^  soit  plus  petit  que  1? expression  (8),  Or  cette  expres- 
sion (8)  est  le  module  d'une  certaine  quantity  imaginaire  repr6sent£e  par  un 
certain  point  G,  Or  il  est  ais6  de  voir  que  ce  point  G  n'est  autre  chose  que  le 
centre  de  gravitS  des  n-\-2,  masses  suivantes  : 

i°  n  masses  £gales  respectivement  a  oel5  «a,  .  .  . ,  an  et  situ^es  respectivement 
aux  points  A1?  >27  -  -  »?  ^; 

2°  une  masse  '6gale  a  |(3|  et  situ^e  soit  au  point  +\/ — i  soit  au  point 
—  \J —  i ; 

3°  une  masse  ^gale  a  — i  situ^e  au  point  5^. 

Toutes  ces  masses  sont  positives  a  Fexception  de  la  derniere. 


ET   LES  EQUATIONS  DE   LA   DYNAMIQUE.  285 

II  faut  chercher  la  condition  pour  que  la  distance  OG  soit  toujours  supe- 
rieure  a  une  certaine  limite  \\. 

Gomposons  d'abord  les  n  + 1  premieres  masses;  nous  obtiendrons  une 
masse 

M  =  a !  -h  a2  -h .  .  .  -+•  an  -4-  |  p  | . 

situ£e  en  un  certain  point  G'  et  cornme  ces  n  -j-  i  premieres  masses  sont  posi- 
tives, le  point  G7  sera  situ6  a  Fint^rieur  de  Fun  ou  de  Fautre  des  deux 
polygones  convexes  qui  enveloppent,  le  premier  les  n  +  i  points  :  AI,  /2,  ...?  ~kn 
et  H-  y/ —  i ,  et  le  second  les  n  •+- 1  points  :  A£  7  A2;  . .  . ,  l/t  et  —  y/ —  i . 

Si  aucun  de  ces  polygones  convexes  ne  contient  Forigine,  on  pourra  assigner 
a  la  distance  OG;  une  limite  inferieure  JJL  et  6crire  OG'>/j.. 

II  reste  a  composer  la  masse  M  situ6e  en  Gr  et  la  masse  —  i  situ£e  en  }H . 
On  obtiendra  ainsi  une  masse  M  —  i  silu^e  en  G.  On  aura  ^videmment 

OG>OG'— GG':        GG'=  ^™  <    °^    -f-  .9^   , 
d'oii 

06>oor{^-s^r>,^-^7. 

Si  done 

3VI  >  — • - 

Fin^galite 

(9)  OG>J 

sera  satisfaite. 

II  n'y  a  done  qu'un  nombre  fmi  de  combinaisons  des  nombres  entiers  : 
af,  a%,  .  .  . ,  <xn,  (3  pour  lesquelles  Fin^galit^  (9)  pourrait  ne  pas  etre  satisfaite. 

Si  pour  aucune  de  ces  combinaisons  OG  n'est  nul,  nous  serons  certain  de 
pouvoir  assigner  a  OG  une  limite  inferieure  A*. 

Nous  sommes  done  conduit  a  la  regie  suivante  : 

Pour  que  liquation  (3)  admette  une  integrale  developpable  suivant  les 
puissances  des  x  et  p£riodique  par  rapport  a  t,  il  suffit  : 

i°  qu } aucun  des  deux  polygones  convexes  circonscrits,  le  premier  aux 
points  ~ki,  X3,  .  .  . ,  \ji  et  +\/ —  i,  le  second  aux  points  3ti,  i2,  . . . ,  >n  et 
— y/ — 17  ne  contienne  Vorigine, 


286  SUR  LE   PROBLfeME   DES   TROIS   CORPS 

2°  qu!il  rfy  ait  entre  les  quantit&s  A  aucune  relation  de  la  forme 

p  /^7-f-  oti\i-h  asX2-H.  ..-+-  a«X«=s  Xi? 
fe.?  a  ^ara£  entiers  positifs  et  (3  entier  positif  ou  negatif. 

G'est  la  une  generalisation  du  th^oreme  demontr^  dans  ma  These,  Or  de  ce 
theoreme  ddcoulaient  un  certain  nombre  de  consequences.  Vojons  si  Ton 
pourra  en  tirer  de  semblables  du  th£oreme  generalise. 

Nous  allons  pour  cela  suivre  absolument  la  meme  marche  que  dans  la  these 
citee. 

Considerons  liquation 

clz        _,     dz  v     dz 


XT  _,  v 

(10)  -7-  -hXi-y  --  hX2~;  --  h.  .  .-hXW"-y  -  =  0, 

v     J  dt  dxi  dx*  dxn 

obtenue  en  supprimant  le  second  inembre  de  1'equation  (3). 
Consid^rons  en  outre  Pequation 

,0.  dz       v     dz        v    dz  dz 

(3)  -j-  -f-Xi-y  --  hX2-7  --  h.-.H-Xn-i  -  =  Xi5 

^    y  dt  dx±  dx*.  dxn 


et  Toquation 

dz       ^    dz        ^    dz  v     dz 


Si  les  X  satisfont  aux  conditions  que  nous  venons  d'^noncer,  liquation  (3) 
admettra  une  integrate  z  =  Ti;  ou  T1  est  ordonn6  suivant  les  puissances  des  x 
et  p^riodique  par  rapport  a  t. 

De  meme  liquation  (i  i)  admettra  une  integrate  z  =  T2,  oii  T2  est  de  meme 

forme  que  TV 

L    _  J_ 
On  en  conclut  que  liquation  (10)  admet  une  integrate  particuliere  T^T2  \ 

Comme  onpeutdans  le  second  membrede  (S)remplacer  successivement  A1  z 
parX2^)  X:}^,  .  ..;  Xns  et  qu?on  obtient  ainsi/i  —  i  Equations  analogues  a  liqua- 
tion (n),  on  peut  conclure  que  liquation  (10)  admet  n  —  i  int^grales  parti- 

J__JL          i_.Ji  _i_Ji 

culieres  T^T2  \  T^T3  >k%   _  .,  T^T7i  x%  ou  T3?  T3;   .  .  .,  Tn  sont  de  meme 
forme  que  T4  . 

Pour  avoir  Tint^grale  g£nt5rale  de  (io)?  il  faudrait  posseder  encore  une  7iifemc 
int6grale  particuliere.  Pour  cela  considerons  liquation 

f     ^  dz      v    dz  _.     dz 

(I2)  s-f-x'as;-*-"i-x"s;'a"- 

Gette  Equation  admettra  comme  int^grale  particuliere  >s  =  e!f. 


ET   LES   AQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  287 

Nous  en  conclarons  que  liquation  (i  o)  admet  conime  integrates  particulieres 
T4  e~Al*?  Tae~A*',  .  .  .,  Tne~A^,  de  sorte  que  Fint£grale  generate  de  cette  Equa- 
tion (10)  sera 

s  =  fonction  arbitraire  de  (Ti  e-M,  T2  e-V,  .  .  .  ,  Tn  e~A^). 
En  d'autres  termes  les  equations  differentielles 

(10')  rf*=^i=$i=...=   ^ 

Aj.  A-2  X/Z 

admeltront  cornme  integrate  generate 

T!  =  K  i  A',          T2  =  K,  «  V,         .  .  .  ,        T«  =  K*  «  *»', 


KL|,  K2,  .  .  . ,  K/i  etant  n  constantes  d'integralion. 

Ce  theoreme  peut  etre  regarde  comme  la  generalisation  de  celui  que  j'ai 
demontre  a  la  page  70  de  ma  These. 

Supposons  maintenant  que  nous  cherchions  a  determiner  les  p  premieres 
variables  x  a  savoir  x±,  x%,  .  .  . ,  xp  en  fonction  des  n  — p  autres  a  savoir  Xp+i* 
Xp±.%,  -  .  . ,  Xn  et  de  t,  a  Paide  des  equations  suivantes  : 


=—  •  --     y,+       -  ^^  -r-  --    .  .  .  ~       n  -T— 

at  '       dxp-^i          ^      dxp+*  docn 


Utr  CLXn^    \  CtiX 'n_|_O  CLX '  fi 

II  est  aise  de  voir  que  I'iiitegrale  generale  des  equations  (i3)  s'ecrira 

(i4)  ?i  ^  9s  =  •  -  •=  9/»  ==  °? 

<pi?  ^25   •••?  ?^  reprdsentant  p  fonctions  arbitraires  de  Ti  e"~Xl/,  T2  e~**£y  ..., 

Prenons  en  particulier 

Les  equations  (i4)  s'ecriront 

Des  equations  (i4;)  on  pourra  tirer  x^  x*,  .  -.,  xp  en  fonction  de  #>.M, 
^+27  .  .  .,  5?/i  et  ^  et  Pon  verra  que  ce  sont  des  fonctions  holomorphes  par 
rapport  a  Xp+*9  ^/>+2j  -  •  •  >  $n  et  periodiques  par  rapport  a  t. 


288  SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 

Done  les  Equations  (i3)  admettenl  une  solution  d^veloppable  suivant  les 
puissances  croissantes  de  xp+^  #,+3,  . .  • ,  *?/i  el  suivantles  sinus  et  cosinus  des 
multiples  de  t. 

Ce  ih^oreme  est  demontre  quand  les  A  satisfont  aux  conditions  enonc6es 
plus  haut;  voyons  comment  on  pourra  Ptkendre  aux  cas  ou  ces  conditions  ne 
sont  pas  remplies.  Je  suivrai  pour  cela  la  meme  marche  que  dans  la  IVe  Partie 
de  mes  recherches  surles  courbes  definies  par  les  Equations  differentielles 
( Journal  de  Liouville,  4C  s^rie,  t.  2,  p.  1 56-107)  (!). 

Proposons-nous  de  calculer  les  coefficients  de  I'int6grale  holomorphe  des 
Aquations  (i3)  (a  supposor  que  cette  integrate  exisle)  el  a  cet  effet  6crivons  ces 
equations  (i3)  sous  la  forme  suivante  : 


dXp^\  rt>E  /J-+-2  tf&ri 


Soil 


une  quelconque  des  fonctions  Y1?  Y2,  .  .  .,  Yrt,  ainsi  que  nous  Pavons  suppos6 
plus  haut,  et  proposons-nous  de  calculer  les  p  fonctions  x^  ^2,  .  .  .  ,  xp  sous 
la  forme 


*=5A,.M,_ia,ri...«,*'?v^^ 


Pour  calculer  les  coefficients  A  par  recurrence,  substituons  les  series  (10) 
dans  les  Equations  (iS7)  et  identiiions  les  deux  membres.  Nous  aurons  pour 
calculer  Ai.^.ap+1...an  liquation  suivante  : 

-+  «wXn--  X,-)  =  P  [G,  (—  G'),  A], 


1>[C,  (  _  G'),  A]  6tant  un  polynome  entier  a  coefficients  positifs  par  rapport 
aux  coefficients  C  de  Y^,  Y^a,  .  .  .  ,  Yn,  'aux  coefficients  G^  de  Y£  changes  de 
signe  et  aux  coefficients  A  deja  calculus. 

Pour  qu'aucun   des   coefficients  A  ne   devienne  infini  nous  devons  done 
supposer  qu'il  n'y  ait  entre  les  X  aucune  relation  de  la  forme 


—  Aj=  O, 


ou  les  a  soient  entiers  positifs  et  (3  entier  positif  ou  negatif. 


OEuvres  de  H.  Poincare,  t.  I,  p.  172. 


ET  LES   EQUATIONS  DE   LA  DYNAMIQUE.  289 

Cela  pose  soit  A'  une  quantite  positive  que  nous  determinerons  plus  comple- 
tement  dans  la  suite. 
Soit  ensuite 

Y'i  =  S  [  Q.pj.aia2...an   €*  $  v  ~l  x^  xt>~  .  , .  x^n        pour     i  =/>  -4- 1,    p  -—  2,     . . .,     /i 
et 

Yf  =  _  S  |  C/.p.y1aa...aI,|e/P^-l.'??i1^f»...a?SB         pour     z=i,     2,      .    ..     /?. 
Formons  les  Equations 

(l3")          \'  Xp+i  ^  X- h  X'^77-K2  J'1 h.  •  .H-  //#n       'rf    —  A'U1/ 

CLXp^-i  ClXp-^^  CiXn 

-y/          ^/.^lf          ,r/         «^?/  _?./   <r/!a;/ 

Cherchons  a  satisfaire  aux  equations  (i3/7)  a  1'aide  des  series  de  la  forme 
suivante  : 

Les  coefficients  B  nous  seront  donnas  par  les  Equations  suivantes  : 

.a^2^...-f.an-l)]  =  P[|Gi,  |G'|,  B], 


ou  P[|C  ,  Cj,  B]  differe  de  P[C,  (—CO,  A]  en  ce  que  les  coefficients  C  et 
—  C;  y  sont  remplac^s  par  leurs  modules,  et  les  coefficients  A  par  les  B  corres- 
pondants. 

On  en  conclut  que  tous  les  B  sont  positifs  et  que  chaque  B  est  plus  grand 
que  le  module  du  A  correspondant. 

II  suffit  pour  cela  d?une  seule  condition,  c'est  que 

)/a?+l  -+-  a^.2  -H  ...-»-«„  —  i<      i   /  —  I  •+•  a+ 


Si  cette  condition  est  remplie  chacun  des  termes  de  la  serie  (i5)  sera  plus 
petit  que  le  terme  correspondant  de  la  s^rie  (io;)  et  comme  cette  derniere 
converge,  la  s^rie  (i5)  convergera  ^galement. 

II  suffit  pour  cela  que  Ton  puisse  trouver  une  quantite  positive  N  assez  petite 
pour  que  Ton  ait  toujours 


-4- 


c'est-a-dire;  d'apres  ce  que  nous  avon.s  vu  plus  haut?  qu'aucun  des  den^poly- 
gones  convenes  circonscrits,  le  premier  aux  points  X^+1,  A^^2?  —  ,  An  et  H-  \j — 1? 
le  second  aux  points  Xp^,  Ap+2,  .  .  . ,  A^  et  —  \/ — i,  ne  contienne  1'origine. 
H.  P.  —  VIT.  07 


ago  SUR   LE   PROBLEME  DES   TROIS   CORPS 

Si  done  aucun  de  ces  deux  polygones  convexes  ne  contient  Vorigine,  s'il 
ri*y  a  entre  les  X  aucune  relation  de  la  forme  ( 16),  les  equations  (i3)  admel- 
tront  une  integrate  particuliere  de  la  forme  suivante  : 


fes  03  e£a/U  developpables  suivant  les  puissances  de  xp+i,  &p^,  .  .  , ,  xn  et  les 
sinus  et  cositius  des  multiples  de  t. 

Cela  pose,  envisageons  les  equations 

f     ,,N  7,       dx±       dx*  dxn 

(  10")  ^  =—-  =  —-=...=:    — -  • 

JV]          yv.2  -^« 

Ges  equations  sont  de  mdme  forme  que  les  Aquations  (10^)  ;  la  seule  difK- 
rence,  c'est  que  les  A  n'ont  pas  des  valeurs  qui  salisfont  aux  conditions  suffi- 
santes  6nonc6es  plus  haut  pour  que  liquation  (i  3)  ait  une  integrate  holomorphe. 

Nous  allons  nous  proposer  de  trouver  non  pas  la  solution  g^n^rale  des 
equations  (io/;):  mais  une  solution  contenant  n  —  p  constantes  arbitraires, 

Parmi  les  equations  (10"),  je  considere  en  particulier  les  suivantes  : 


(17) 


J'ecris  en  outre  les  Equations 

(18)  jfi=(Dl(x/t+lt  asp+zj  ...,^/v,  0         (i,  a,   ...,/?), 

les  q?i  ^tanl  les  integrates  holomorplies  des  equations  (i3)  definies  plus  liaut. 

II  est  Evident  que  si  x\,^  x%,  .  .  .  ,  xa  sont  /ifonctions  de  t  qui  satisfoiit  aux 
Equations  (1^7)  et  (  i8)?  elles  satisferont  6galement  aux.  equations  (iof/). 

Dans   les   Equations   (17)   substituons   a  la  place   de  $±,  #2,   ...,^/;  leurs 
valeurs  (18),  ces  Equations  deviendront 


-  — 

.  .  .  ,  Z/i  ^tant  des  series  doveloppees  suivant  les  puissances  de 
#^+2,  •  -  •  •  sen,  dont  tousles  termes  sont  du  deuxieme  degr6  au  moins  et  dontles 
coefficients  sont  des  fonctions  p6riodiques  de  t. 

Ges  Equations  (19)  soul  de  la  m£me  forme  que  les  Equations  (  TO;);  lenr  inte- 
grate g&i&rale  sera  done  de  la  forrne  suivante  : 

,         .  .  .  ,        Tn  =  Kn  e'*<, 


ET  LES  EQUATIONS   DE  LA   DYNAMIQUE.  29 1 

ou  KPHI,  .  .  . ,  K7l  sont  des  constantes  d'int^gration,  ou  TJ,+  13  .  .  . .  T^  sont  des 
series  d<§velopp£es  suivant  les  puissances  des  x  et  les  sinus  et  cosinus  des 
multiples  de  £. 
Les  Equations 

(20)         Tz  =  o     (i=  i,  2,  ..    ,  p),         T;,=  K7<sV    (g  =  p  +  i,p  +  2,  ...,  n), 

nous  donnent  done  une  integrate   des  Equations  (10")  dependant  des  n  —  p 
constantes  arbitraires  K^,  Kp+a,  ....  Krt. 

Pour  obtenir  cette  integrate  sous  forme  explicate,  il  faut  resoudre  ces  Equa- 
tions (20)  par  rapporl  a  x^  x*.  .  .  . ,  xn ;  on  trouve  ainsi 


l7    ..,,  Kn), 


les  9  etantdes  series  developp^es  suivant  les  puissances  de 
.  .  .  ,  K.ne^nt  et  suivant  les  sinus  et  cosinus  des  'multiples  de  2. 

Ges  series  sont  convergentes,  pourvu  qu'aucun  des  deux  polygones  convenes 
circonscrits,  le  premier  aux  points  V^i,  X^^a,  .  .  ,  ,  Xn  et  +\/  —  i,  et  le  second 


aux  points  ^+1,  X/;+2,  .  .  .  ,  >.„  eL  —  \/  —  i,  ne  contienne  Forigine  et  qu'il  n'y  ait 
entre  les  A  aucune  relation  de  la  forme  (  16). 

Cette  demonstration  fait  ressortir  1'analogie  de  ce  th^oreme  avec  ceux  que 
j'ai  ^nonc^s  dans  ma  These  et  en  particulier  avec  celui-ci  : 

Dans  le  voisinage  d7un  point  singulier,  les  solutions  d'une  Equation  differen- 
lielle  sont  d6veloppables  suivant  les  puissances  de  i,  /Al,  t*~,  .  .  ,  ,  £>n. 

J'avais  d'abord  demontr^  ce  th^oreme  (que  j'ai  ensuile  raLiach6  aux  idees 
g^n^rales  qui  ont  inspir^  ma  These)  par  une  voie  assez  diflferente  dans  le 
45e  Cahier  du  Journal  de  VEcole  Polytechnique  (*)  et  M.  Picardy  avait  &l£ 
conduit  independamment  par  d'autres  considerations  (C.  R.  AcacL  Sc^  1878). 

^.  —  Integration  des  equations  lineaires  a  coefficients  period!  qries. 

On  sait  qu'une  fonction  de  x  p^riodique  et  de  pdriode  27r  peut  se  d£velopper 
en  une  s^rie  de  la  forme  suivante  : 


(i)  /(^)  =  A0H-Ai  cos,a7  -4-  A2 

-f-  Bt  sin  x  -H  B;>  sin  ix  •+•  ,  .  .  -h  Bn  sin  nx  -4-  .  . 

(l)  QEuvres  de  H.  Poincare,  t.  I,  p.  xxxvi. 


2Q2 


SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 


Pai  montre  dans  le  Bulletin  astronomique  (novembre  1  886)  (  !)  que  si  la  fonc- 
lionf(x)  est  finie  et  coatinue  arnsi  que  ses  p  —  2  premieres  derives  et  si  sa 
(p  -f-  1  )lemo  deriv^e  est  finie,  mais  peut  devenir  discontinue  en  un  nombre 
limit^  de  points,  on  peul  trouver  un  nombre  positif  Rtel  que  Ton  ait,  quel  que 
soit/i, 


Si  /(#)  est  une  fonction  analytique,  elle  sera  finie  et  continue  ainsi  que  toutes 
ses  d6riv$es.  On  pourra  done  trouver  un  nombre  K  tel  que 


II  r^sulte  de  la  que  la  s6rie 


converge  et  par  consequent  que  la  s^rie  (i)  est  absolument  et  uniformthnent 
convergente. 

Cela  pos^;  consid^rons  un  systeme  d^quations  difFerentielles  lin&ures  : 


Les  ri1  coefficients  9,-.^  sont  des  fonctions  de  /:  periodiques  et  de  periode  27r. 
Les  Equations  (2)  ne  changent  done  pas  quand  on  change  t  en  Z  +  STT.  Cela 
pos6,  soient 


7i  solutions,  lin^airement  independantes,  des  Equations  (2). 

Les  Equations  ne  changent  pas  quand  on  change  t  en  t  +  2  TT  et  les  n  solu- 
tions deviendront 


(!)  OEuvres  de  H.  Poincare,  t.  IV. 


ET  LES  EQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.  298 

Elles  devroni  done  €tre  des  combinaisons  lin^aires  des  n  solutions  (3)  de 
sorte  qu'on  aura 


les  A  6tant  des  coefficients  constants. 

On  aura  d'ailleurs  de  m^me  (avec  les  memes  coefficients) 


Gela  pos6  formons  liquation  en  S  : 

(5) 


A,  i-S        A,.s        ...       Alw 
^S     ...       A2./j 


"•«.! 


Soit  Si  Tune  des  racines  de  cette  Equation.  D'apres  la  th£orie  des  substitu- 
tions lin^aires,  il  existera  toujours  n  coefficients  constants  Bl3  B2,  .  .  .  ,  B^  tels 
que  si  Ton  pose 


et  de  mfime 

on  ait 

et  de  meme 

Posons 
il  viendra 


23=)  = 


Cette  Equation  exprime  que  ^"ai/8t.f  (?)  estune  fonction  p6riodique  que  nous 
pourrons  developper  en  une  s&rie  trigonom^trique  A^M  (/). 

Si  les  fonctions  p6riodiques  <?i.j((t)  sont  analytiques,  il  en  sera  de  meme  des 
solutions  des  Equations  diff&rentielles  (2)  et  de  Xi^(^),  La  s6rie  A4.i(^)  sera 
done  absolument  et  uniform^ment  convergente. 

De  m6me  e~~<Xit$i.i(t)  sera  une  fonction  p6riodique  qu'on  pourra  repr^senter 
par  une  s^rie  trigonom^trique  A,|.£(£). 


294  SUR  LE  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS 

Nous  avons  done  une  solution  particuliere  des  Equations  (2)  qui  s'6crit 

-     A  cliaque  racine  de  Fequalion  (5)  correspond  une  solution  de  la  forme  (6). 
Si  Pequalion  (5)   a  toutes  ses  racines  dislinctes,  nous  aurons   n   solutions 
de  cette  forme  lin^airemenl  ind^pendantes  et  la  solution  generate  s'^crira 

x*  =  G^^'Xj  i(0  +  G2e^Xa.i(0"'--'-'+-Glle3r»'Xn.I  (0, 
^2  =  C,eai'X,  a(0-+-  G2eor»'X2,a(0+-  •  •H-  Gwea»'Xw  3  (0, 


Les  C  sonl  des  constantes  d'intdgration,  les  a  sont  des  constantes  et  les  A  soul 
des  series  trigonometriques  absolument  el  uniformement  convergenles. 

Voyons  maintenant  ce  qui  arrive  quand  liquation  (5)  a  une  racine  double, 
par  exemple  quand  #1  =  ao.  Reprenons  la  formule  (7),  faisons-y 

G8=Gi  =...=:  G«  =  0 

et  faisons-y  tendre  a2  vers  a4.  II  vient 


ou  en  posant 


il  viendra 


II  est  clair  que  la  difference  A.  i(^)  — 
pourrons  done  poser 


s'annulera  pour  ao^cd.  Nous 


II  vient  ainsi 


[£(?. 
G'tXuH-C',).]  t  — 
2(2 

et  a  la  limite  (pour  <x?=  «i); 


On  verrait  que  la  limite  de  A;(^)  pour  a2=  a1  est  encore  une  s&rie  trigono- 
mdtrique  absolument  et  uniformement  convergence. 

Ainsi  1'efFet  de  la  presence  djune  racine  double  dans  Tequation  (5)  a  6t6 
d'introduire  dans  la  solution  des  termes  de  la  forme  suivante  :  e 
4tant  une  s6rie  trigonom^trique. 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  296 

On  verrail  sans  peine  qu'ime  racine  triple  introduirait  des  terrnes  de  la  forme 
(t)  et  ainsi  de  suite. 

Je  n'insiste  pas  sur  tous  ces  points  de  detail.  Ces  resullats  sont  bien  connus 
par  les  travaux  de  MM.  Floquet,  Gallandreau,  Brims,  Stieltjes,  et  si  j'ai  donn£ 
ici  la  demonstration  in.  extenso  pour  le  cas  general,  c'est  que  son  extreme  sim- 
plicit6  me  permettait  de  la  faire  en  quelques  mots. 


CHAPITRE  II. 

THEORIE    DES    INVARIANTS    INTEGRAUX. 

5.  —  Proprietes  diverses  des  equations  de  la  Dynamique. 

Soit  F  une  fonction  d'une  double  s6rie  de  variables  :  x\,  ^^,  .  ,.:  xtl] 
y*2?  •  •  •  ?  yn  et  du  temps  t. 

Supposons  que  Ton  ait  les  Equations  diflferentielles  : 

dxf  __  dF  dyt  __       d¥ 

(l)  ~dt~dyt'          ~dt~~~~7lxi 

Considerons  deux  solutions  infiniment  voisines  de  ces  Equations  : 


les  |  et  les  YJ  ^tant  assez  petils  pour  que  Fonpuisse  n^gliger  leurs  carr^s. 
Les  ^  et  les  73  satisferont  alors  aux  Equations  differentielles  lin^aires 


dt 


qui  sonl  les  Equations  aux  variations  des  Equations  (  i  ). 

Soit  ^  ,  rl,  une  autre  solution  de  ces  Equations  lin^aires  de  sorte  que 


_ 

«*!' 
dt 


d'~¥   r\ 


2g6 


SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS   CORPS 


Mtiltiplions  les  equations  (2)  et  (2')  respectivement  par  n'h  — 
faisons  la  somme  de  toutes  ces  equations,  il  viendra 


vj/,  Hi  et 


t     k 


cPF 


i     k 


ou 


%&wi'—fad=o 

i 

ou  enfin 

( 3 )  t\'}  Si  —  5i  Tfji  -t-  Va  ?a  —  ?a  "Oa  H-  -  -  -  -H  rf\n  %n  —  ?« ?!«  =  const. 

Voila  une  relation  qui  lie  entre  elles  deux  solutions  quelconques  des  equations 
lineaires  (2). 

II  est  aise  de  trouver  d'autres  relations  analogues, 

Considerons  quatre  solutions  des  equations  (2)  : 


Considerons  ensuite  la  somme  des  determinants  : 


z       k 


tit      'f\i 


ou  les  indices  t  et  k  varient  depuis  i  jusqu'a  n.  On  v^rifierait  sans  peine  que 
cette  somme  est  encore  une  constante. 

Plus  g6n6ralement  si  Ton  forme  a  1'aide  de  %p  solutions  des  Equations  (2)  la 
somme  de  determinants  : 


i,a2,  ...,  xp  =  i,  2,  ...,  71) 


cette  somme  sera  une  constante. 

En  particulier,  le  determinant  forme  par  les  valeurs  des  zn  quanlites  £  et  YJ 
dans  2n  solutions  des  equations  (2)  sera  une  constante. 

Ges  considerations  permettent  de  trouver  une  solution  des  equations  (2) 
quand  on  en  connait  une  integrale  et  reciproquement. 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  297 

Supposons  en  effet  que 

soit  une  solution  particuliere  des  equations  (2)  et  d^signons  par  £;  et  yjf  une 
solution  quelconque  de  ces  m£mes  Equations.  On  devra  avoir 

2  %i  pz-  —  iq/az-  =  const. , 

ce  qui  sera  une  integrate  des  Equations  (2). 
Reciproquement  soit 

SA/gz-H-  SB,TU'  =  const. 


une  integrate  des  Equations  (2),  on  devra  avoir 


afczrj  ^^A-        "-       dxt  d 
fc 


-^1-, 

'*  J 


d'ou  enidentifiant 


dt   ~~ 

k 


ce  qui  montre  que 


est  une  solution  particuliere  des  Equations  (2). 
Si  maintenant 

3  yii  f)  =  const. 


est  une  integrale  des  Equations  (  i  ), 

2r/<f>  „       v1  d$ 
d^^ZiW^ 

sera  une  integrale  des  Equations  (2),  et  par  consequent 


sera  une  solution  particuliere  de  ces  Equations. 

Si  ®  =  const.,  <!>!=  const,  sont  deux  integrates  des  Equations  (i),  on  aura 


2fd  i 
(  -  * 
\dxidyL 

C'est  le  th^oreme  de  Poisson. 


const. 


.  p.  —  vir. 


38 


298  SUR   LE   PROBLEME   DES   TROIS   CORPS 

Consid^rons  le  cas  particulier  oil  les  x  d<Ssignent  les  coordonn6es  rectangu- 
laires  do  n  points  dans  1'espace;  nous  les  d^signerons  par  la  notation  a  double 
indice  x\^  x*L,  x*n  le  premier  indice  serapportant  aux  troisaxes  rectangulaires 
de  coordonn6es  et  le  second  indice  aux  ?i  points  materials.  Soit  m,  la  masse 
du  /lt'me  point  materiel.  On  aura  alors 


dV 

5 


V  6tant  la  fonction  des  forces. 
On  aura  alors  pour  1'equation  des  forces  vrves  : 


v  =  const. 

^.J  2   \      t  ] 

Posons  ensuite 

dxii 

}.il=mt—., 

d'ou 


et 

d  dykl 


Soit 

(5)  tf*i 

une  solution  de  ces  equations  (  i;),  une  autre  solution  sera 


h  6tant  une  constante  quelconque. 

En  regardant  h  comme  infiniment  petit,  on  obtiendra  une  solution  des  Equa- 
tions (2')  qui  correspondent  a  (V)  comme  les  Equations  (a)  correspondent  a  (T)  : 


h  d^signant  un  facteur  constant  tres  petit  que  Ton  peut  supprimer  quand  onne 
considere  que  les  Equations  lin^aires  (2;). 
Connaissant  une  solution 


de  ces  Equations,  on  peut  d^duire  une  int^grale 

2r^     v^  ^^v. 
—  —  >,-j-5  = 
77Z         jLldx 


const. 


ET   LES  EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  299 

Mais  cette  mfime  integrate  s'obtient  ires  ais6menten  diO<§renliant  liquation  des 
forces  vives  (4). 

Si  les  points  mat^riels  sont  soustraits  a  toute  action  exl<§rieure?   on  peut 
d6duire  de  la  solution  (5)  une  aulre  solution  : 


h  et  k  6tant  des  constantes  quelconques.  En  regardant  ces  constantes  comme 
infinimeut  petites,  on  obtient  deux  solutions  des  Equations  (2;)  : 


On  obtient  ainsi  deux  integrates  de  (2')  : 
11  =  const.,  riu' 


On  peut  obtenir  ces  integrates  en  difKrentiant  les  6quations  du  mouvement 
du  centre  de  gravit^  : 

S;nz^iz=  ifS/u-f-  const.,         2y\i—  const. 


Si  Ton  fait  tourner  la  solution  (5)  d'un  angle  co  autour  de  1'axe  des  £,  on 
obtient  une  autre  solution  : 

x\i  =  ?n  cos  ca  —  02z  sin  w,          —  =  9i/  cos  co  —  9^  s^n  ^j 
^r2z'=  olf  sin  to  H-  cp2:  cos  ws         -—  =  9'1£  sinco  -h  s'2^cos  to, 

y  11          , 

#3i=  ?3fj  —   =  ?^« 

En  regardant  co  comme  infiniment  petit,  on  trouve  comme  solution  de  (27)  : 


d'oil  Pint6grale  de(2;)  : 

/  =  const. 


que  Ton  pouvait  obtenir  aussi  en  differential  Fint^grale  des  aires  de  ( 


=  const. 


300  SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 

Supposons  maintenant  que  la  fonction  V  soil  homogene  et  de  degr£  —  i  par 
rapport  aux  x,  ce  qui  est  le  cas  de  la  nature. 

Les  Equations  (i')  ne  changeront  pas  quand  on  multipliera  t  par  A3,  les  x 
par  A2  et  les  y  par  A-1 ,  A  etant  une  constante  quelconque.  De  la  solution  (4)  on 
d^duira  done  la  solution  suivante  : 


Si  Ton  regarde  A  comme  tres  voisin  de  Funit^j  on  obtiendra  comme  solution 
des  Equations  (a')  : 


ou 

(6) 


d'ou  Fint^gralc  suivante  des  Equations  (2'),  laquelle,  a  la  difference  de  celles 
que  nous  avons  envisages  jusqu^ici,  ne  peut  £tre  oblenue  en  diff^rentiant  une 
int6grale  connue  des  Equations  (i')  : 


6.  —  Definition  des  invariants  integraux, 

Consid^roiis  un  systeme  d?4quations  difF^ren  tie  lies  : 

^-X- 

dt  ~    r5 

j  6tant  une  fonclion  donnee  de  #<  ,  rz?2,  .  .  .  ,  ^.  Si  Ton  a 

i,  ^2,  ...,^)  =  const., 


cette  relation  s'appelle  une  integrate  des  equations  donn^es.  Le  premier  membre 
de  cette  relation  peut  s'appeler  un  invariant  puisqu'il  njest  pas  alt4r4  quand  on 
augmente  les  Xi  d'accroissements  infiniment  petits  dx^  compatibles  avec  les 
Equations  diff^rentielles. 

Soit  maintenant  a?'19  x^   .  .  .,  xn  une  autre  solution  des  mernes  Equations 
diflferentielles,  de  telle  fagon  que  Ton  ait 


dt 


ET  LES  EQUATIONS  DE   LA   DYNAMIQUE.  3oi 

X\  etant.une  fonction  form<§e  avec  x\,  x^  ...,  x'n  comme  X*  Fetail  avec  x^ 
II  pourra  se  faire  qu/on  ait  entre  les  zn  quantit^s  x  et  x1  une  relation 

Le  premier  membre  F4  pourra  encore  s'appeler  un  invariant  de  nos  Equations 
difKrentielles,  mais  au  lieu  de  depend  re  d'une  seule  solution  de  ces  Equations, 
il  d6pendra  de  deux  solutions. 

On  peut  supposer  que  x±^  #2?  ••-.  &n  represented  les  coordonnees  d'un 
point  dans  Fespace  a  n  dimensions  et  que  les  equations  diff^rentielles  donn^es 
d^finissent  la  loi  du  mouvement  de  ce  point.  Si  Ton  considere  deux  solutions 
de  ces  Equations,  on  aura  deux  points  mobiles  diff£rents;  se  mouvant  d'apres 
une  m£me  loi  d^finie  par  nos  Equations  diflferentielles.  L'invariant  B\  sera  alors 
une  fonction  des  coordonnees  de  ces  deux  points,  qui  dans  le  mouvement  de 
ces  deux  points  conservera  sa  valeur  initiale. 

On  pourrait  ^videmment  de  meme,  au  lieu  de  deux  points  mobiles,  en  envi- 
sager  trois  ou  meme  un  plus  grand  nonibre. 

Supposons  maintenant  que  Ton  considere  une  infinite  de  points  mobiles  et 
que  les  positions  initiales  de  ces  points  forment  un  certain  arc  de  courbe  C  dans 
Tespace  a  n  dimensions* 

Quand  on  se  donne  la  position  initiale  d'un  point  mobile  et  les  Equations  dif- 
fcrentielles  qui  d^finissent  la  loi  de  son  mouvement,  la  position  du  point  a  un 
instant  quelconque  se  trouve  entierement  determine. 

Si  done  nous  savons  que  les  points  mobiles,  en  nombre  infmi,  forment  a 
Torigine  des  temps  un  arc  G,  nous  connaitrons  leurs  positions  a  un  instant  t 
quelconque  et  nous  verrons  que  les  points  mobiles  a  Finstant  t  forment  dans 
Fespace  a  n  dimensions  un  nouvel  arc  de  courbe  G'.  Nous  somnaes  done  en  pr^- 
sence  d'un  arc  de  courbe  qui  se  d6place  en  se  d^formant  parce  que  ses  diflferents 
points  se  meuvent  conforra^ment  a  la  loi  d^fmiepar  les  Equations  diflferentielles 
donates. 

Supposons  maintenant  que  dans  ce  d^placement  et  cette  deformation  Fir 
grale  suivante  : 


A 

(ou  les  Y  sont  des  fonctions  donnSes  des  x  et  qui  est  6tendue  a  tout  Tare  de 
courbe)  ne  change  pas  de  valeur.  Gette  integrate  sera  encore  pour  nos  6qua- 


302  SUR    LE  PROBLEMS  DES   TROIS   CORPS 

tions  diff^rentielles  un  invariant,  dependant  non  plus  d'un,  de  deuxou  de  trois, 
mais  d'une  infinite  de  points  mobiles.  Pour  indiquer  quelle  en  est  la  forme,  je 
Pappellerai  un  invariant  integral. 

De  m£me  on  pourrait  imaginer  qu'une  int^grale  dela  forme    /  ^/2  \ikdxidxk, 

etendue  a  toul  Fare  de  courbe,  demeure  invariable;  ce  serait  encore  un  inva- 
riant integral. 

On  peut  imaginer  £galement  des  invariants  integraux  qui  soient  d^fmis  par 
des  integrates  doubles  ou  multiples. 

Imaginons  qu'on  considere  un  fluide  en  mouvement  permanent  et  de  telle 
sorte  que  les  trois  composantes  X,  Y,  Z  de  la  vitesse  d'nne  molecule  quel- 
conque  soient  des  fonctions  donn^es  des  trois  coordonn^es  #,  y,  x  de  cette 
molecule.  Alors  on  pourra  dire  que  la  loi  du  mouvement  d'une  quelconque  des 
molecules  du  fluide  est  d^finie  par  les  Equations  difFerentielles 

dx  _  dy  __  ^r  dL  _ 

~di~~^        ~dt~^>        Tt~-L' 

On  sait  que  1'equation  aux  deriv^es  partielles 

ftS.         rfY         rfc  _ 

—     —  i—  —  —  —  f-  —  -    —  o 
dx        dy        dz 

exprime  que  le  fluide  est  incompressible.  Supposons  done  que  les  fonctions  X, 
Y,  Z  satisfassent  a  cette  Equation  et.  consid^rons  un  ensemble  de  molecules 
occupant  a  1'origine  des  temps  un  certain  volume.  Les  molecules  se  d6place~ 
ront,  mais,  en  vertu  de  Tincompressibilite  du  fluide,  le  volume  qu'elles  occu- 
peront  demeurera  invariable.  En  d'autres  termes  le  volume;  c?est-a-dire  PinL6- 

grale  triple  nY  dx  dy  dz  sera  un  invariant  integral.  Plus  g6neralement  si  Ton 
envisage  les  equations 


et  que  Ton  ait  la  relation 


1'integrale  d'ordre  n  :  J  dx±  dx*  .  .  .  dxn  que  je  continuerai  a  appeler  le  volume, 
sera  un  invariant  integral. 


ET   LES   EQUATIONS  DE   LA  DYNAMIQUE.  3o3 

C'est   ce   qui   arrivera  on  particulier   pour  les    equations   generates   de  la 
Dynamique;  car  si  Ton  consicl^re  ces  Equations 


—l  —  ~          ^LL 
~dt   ~  ~dy,  '         ~dt 


il  est  ais£  de  voir  quo 


dfl 


Mais  en  ce  qui  concerne  ces  equations  g6n£rales  de  la  Dynamique,  il  y  a 
outre  le  volume,  un  autre  invariant  integral  qui  nous  sera  encore  plus  utile. 
Nous  avons  vu  en  effet  que 

S(5/7li  — ?!  'Of)  =  const. 

Cela,    traduit   dans   notre  nouveau  langage.   signifie  que  Finlegrable  double 
II   ^  dxi  dyt  est  un  invariant  integral,  ainsi  que  je  le  demontrerai  plus  loin. 

z 

Pour  exprimer  ce  r6sultat  d'une  autre  maniere,  prenons  le  cas  du  probleme 
des  n  corps. 

Nous  repr^senterons  la  situation  du  systeme  des  n  corps  par  la  posilionde 
Sn  points  dans  un  plan.  Le  premier  point  aura  pour  abscisse  Vx  du  premier 
corps  et  pour  ordonn^e  la  projection  sur  Faxe  des  x  de  la  quantite  de  mouve- 
ment  de  ce  corps;  le  second  point  aura  pour  abscisse  My  de  ce  meme  corps  el 
pour  ordonn^e  la  projection  sur  Faxe  des  y  de  sa  quantite  de  mouvement  et 
ainsi  de  suite. 

Imaginons  une  double  inGnite  de  situations  initiates  du  systeme.  A  chacnne 
d'elles  correspond  une  position  de  nos  3 ft  points  et  si  FonconsidereFensemble 
de  ces  situations,  on  verra  que  ces  3ft  points  remplissent  3ft  aires  planes. 

Si  maintenant  le  systeme  se  d^place  conform<§ment  a  la  loi  de  Fattraction,  les 
3^  points  qui  representent  sa  situation  vont  aussi  se  ddplacer;  les  3ft  aires 
planes  que  je  viens  de  defmir  vont  done  se  deformer,  mais  leur  somme 
demeurera  constant e. 

Le  theoreme  sur  la  conservation  du  volume  n'est  qu'une  consequence  de 
celui  qui  precede. 

II  y  a  dans  le  cas  du  probleme  des  n  corps  un  autre  invariant  integral  sur 

lequel  je  veux  atlirer  Fattention. 

Considdrons  une  simple  inlinit6  de  positions  initiates  du  systeme  formant  un 
arc  de  courbe  dans  Fespace  a  6n  dimensions.  Soient  C0  el  Ci  les  valeurs  de  la 


3o4  SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 

constanLe  des  forces  vives  aux  deux  extremites  de  cet  arc.  Je  demontrerai  plus 
loin  que  Pexpression 

yt-T-yt  dxt  )  H-  3  (  d  —  CQ)t 


/ 


(ou  Fintegrale  est  eteiidue  a  Fare  de  courbe  tout  entier  et  ou  le  temps  n'entre 
plus  si  C^  —  C0)  est  encore  un  invariant  integral;  on  pent  d'ailleurs  en  d^duire 
ais^ment  les  autres  invariants  inte^graux  dont  il  a  et6  question  plus  haut. 

Nous  dirons  qu'un  invariant  integral  est  du  premier  ordre.  du  deuxieme 
ordre  ,  .  .  .  ou  du  n™m°  ordre  selon  qu'il  sera  une  int^grale  simple,  double,  .  .  . 
ou  d'ordre  n. 

Parmi  les  invariants  int^graux  nous  distinguerons  les  invariants  posit  if  s  que 
nous  d^finirons  comme  il  suit. 

L'invariant  integral  d'ordre  n  :    I  M  dx\  dx*  .  .  ,  dx,i  sera  un  invariant  positif 

dans  un  certain  domaine,  si  M  est  une  fonction  de  #1,  ^2?  »  -  •?  &n  qui  resle 
positive,  finie  et  uniforme  dans  ce  domaine. 

II  me  reste  a  demontrer  les  divers  resultats  que  je  viens  d'^noncer;  cette 
demonstration  pent  se  faire  par  un  calcul  tres  simple. 

Soit 


un  systeme  d'^quations  difF^rentielles  ou  Xi,  X2?  .  ,  .  ,  Xn  sont  des  fonctions  de 

x\^  #o,  .  .  .  ,  xn  telles  que 

f  .  rfXi       rfX2  dXn 

(2)  -j  --  h    -,  --  h...-f--r  -    =0. 

aX],        dx*  dxn 

Soit  une  solution  de  ce  systeme  d'equalions  dependant   de   n  conslanles 
arbitraires  :  a4,  a2?  .  .  .  ,  <xn. 
Cette  solution  s'ecrira 

<Ki=yL(t9  ai,  aa,  ...,  an), 


II  s'agit  de  demontrer  que  Pintegrale 

J  =  /  dxi  dx« . . .  dxn  =  / 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA  DYNAMIQUE. 


3o5 


dx  i      dx* 

cLx  \      ctx^ 
da*       dv.* 


dxn 
dxn 


PI      dx* 


dv.n 

est  une  constante. 
On  a,  en  effet, 

—  =  /   — .  dcci  da*  . ,  .d 
dt       J    dt 


et          ~j~  =  Aj  -f-  A2  -H . . .  A,v, 


A/;  (Slant  le  determinant  A  dans  la  A*I6mc  colonne  duquel  on  a  remplace  -r— 

-  Mais  on  a 


CJXk  d~Xk 

-—,  ...  ,  --  —  par  ~-j  —  -7 
aao  du     L          & 


r, 
>  dt 


dt 


d'ou 


dt        doc\ 


dxn 


On  d^duit  de  la 


d'ou 


a  =/<a 
-/( 


.  Q.  F.  D. 


Supposons  maintenant  qujau  lieu  de  la  relation  (2)  nous  ayons 

(  2' )  ^    1   -i —t~%.  _f_  .  .  .  -f ^ 2   -—  o? 

dx  i  ctscv  dXn 

M  etant  une  fonction  quelconque  de  a?i,  &*,  .  .  .  ?  ^n- 
Je  dis  que 

r  —  /i 

^J          ^i    x*...rxn—j 

est  une  constante. 
On  a,  en  effet, 


,  P.  —  VIL 


3o6  SUR   LE   PROBLEME  DES   TROIS   CORPS 

II  faut  montrer  que 

On  a  en  effet  [en  vertu  des  equations  ( i  )] 

et  (d'apres  ce  que  nous  venons  de  voir)  : 

II  vient  done 

#fj\l       „,  c/A        ,  /  <a?MXi        oftYlXo  f/MXn  \ 

A  ____    _+_  M  — -     =  M    5 1 ; -+-  .  .  .  H ; )    =  O.        C.  Q     F.  ! 

cit  dt  \   dx\,  a&z  dxn   J 


Passons  maintenant  aux  Equations  de  la  Dynamique. 
Soienl  les  Equations 


Soil  une  solution  contenant  deux  constantes  arbilraires  a  et  {3  et  s'6crivant 

x^^t,  *,  p),      r^^^C^  a5  P)- 
Je  dis  que 


est  une  constants. 
II  vient,  en  effet, 


^L  —  C  V  /^l£l  ^f  j_  ^f    dxi  —  dloCl  d¥l  —  ^-^' 
dt  ~~J    Zji  \dtda,    d$         dtd$    da.         dt  d'$    da         dt  da. 

II  vient  ensuite 


dt  da.          ^LJ  dyt  dx&    dv.  J  dyt 

&  k 


scl  ^p      e/2F      d&k       ^^     d-F      dyi 

k  k 


__  _  _ 

dt  dx  ~~      ^  dxl  dxk    doc       ^  «a^a;z  ^KA    dot  ' 
X-  A 


ET   LES   EQUATIONS  DE   LA   DYNAMIQUE,  807 

On  conclut  de  la  que 

/  d'Xi  dy\  _  dly\  f^A 

\  dt  da.    dp         dt  da.    dp  ) 

dx^  d)fj   ,      <**  F      fyk  dyt  t       ^F     dock  dxL   ,      cP-  F      <&ct  dy  k 
dot     dp       dy^yk    dx    dp  ^  dxtdxk  ~d*   ~d$~t~  dandy  k  'W  "^T 


Le  second  membre  ne  change  pas  quand  on  permute  a  et  (3,  on  a  done 

2/  ^2.£,    r/r/  __  <f/".l'z   rfu?f\  _ 
\dtctx    d{l        dtdcf.  dp  )  ~  '- 


Cette  egalit^  exprime  que  la  quantitc  sous  le  signe    /    dans  Texpression  de 


-j?-  est  nulle  et  par  consequent  que 


c.  O.F.  D. 


II  me  reste  a  envisager  le  dernier  des  invariants  integraux,  qui  se  presente 
dans  le  cas  du  probleme  des  n  corps. 

Reprenons  les  Equations  de  la  Dynamique,  mais  en  posant 

F^T-hU, 

T  ne  dependant  que  des  y  eL  U  des  x  seulement.  De  plus  T  est  homogene  de 
degr6  2  et  U  homogene  de  degre  —  T  . 
Prenons  une  solution 


ne  dependant  que  d?une  seule  constante  arbitraire  a. 
Consid^rons  Pintegrale  simple 


Gi  el  Co  etant  les  valeurs  constantes  de  la  fonction  F  aux  extremes  de  Fare  le 
long  duquel  on  integre. 
II  vient 

di         C  v1  /    dxi  dvi        dvi  dxt  d'y,  d-xt\  /r,        n  . 

—  -  =  /     >  (  2-7-  -4^  n  --  r-  —r-  •+-  2*#z  -T-T  ~J~  Vi  ^  -/      d*  +  3(Ci  —  C0)* 
rf«       J     ^J\     dt    dz          dt     do:  dtdx       "'dtdaj  v 

II  vient 

^£i  _  ^   __  ^r  ^/>'i  _       dU 

dt   ~~  «^  ""  d  t  '  oSf    *~"       <^Ci 


dtdy. 


3o8  SUR  LE  PROBLfeME   DES   TROIS   CORPS 

d'ou 

~di 

Mais  en  vertu  du  theoreme  des  fonctions  homogenes  on  a 


,  dyi, 


l  dxt 


d'ou 


ou 


~  =3  r 

Or  d'apres  la  definition  de  Ci  et  G0  on  a 

G0  —  C,  =  CdV  =  C 


-  i      o  ^     ,  Q/P       r  x 

3  -  --  £-   -+-  3-7  --  r-      «a  H-  3  ((-41  —  do) 
dyi    dot,  dscL   dz  J  x 


GO). 


II  vient  done 


dl 

~j-  —  0. 

dt 


C     Q.    F.    D. 


7,  —  Transfornaation  des  invariants  integraux. 

Reprenons  les  equations  difiKrentielles 

, 

(i) 

et  supposons  que  1'on  ait 

' 

1^1 

X 


de  telle  sorte  que  Fint^grale  d'ordre  n 

J  =  /  M  dx\ 

soil  un  invariant  integral. 

Changeons  de  variables  en  posant 


*  .  .  .  dx,i 


(3) 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  809 

et  appelons  A  le  determinant  fonctionnel  des  n  fonctions  ip  par  rapport  aux 
n  variables  z. 
Nous  aurons  apres  le  changement  de  variables  : 

C 
J=jM^,rf5s...rf3a. 

Si  Pinvariant  J  etait  positif  avant  le  changement  de  variables,  il  reslera  positif 
apres  ce  changement,  pourvu  que  A  soit  toujours  positif,  fini  et  uniforme. 

Comme  en  permutant  deux  des  variables  -s,  on  change  le  signe  de  A,  il  nous 
suffira  de  supposer  que  A  est  toujours  de  meme  signe  ou  qu'il  ne  s'annule 
jamais.  II  devra  de  plus  etre  toujours  fini  et  uniforme.  Cela  arrivera  si  le  chan- 
gement de  variables  (3)  est  doublement  univoque,  c'est-a-dire  si  dans  le 
domaine  consid£r<§  les  x  sont  fonctions  uniforrnes  des  s  et  les  s  fonctions  uni- 
formes  des  x. 

Ainsi  apres  un  changement  de  variables  doublement  univoque,  les  invariants 
positifs  restent  positifs, 

Voici  un  cas  particulier  interessant  : 

Supposons  que  Ton  connaisse  une  int&grale  des  Equations  ( i )  : 


Prenons  pour  variables  nouvelles  ^n=  G  djune  part  et  d'autre  partn  —  i  autres 
variables  £1,  z>2+  ....  zn_i.  II  arrivera  souventqu'on  pourra  choisir  ^i,^o7  ...,  zn-i 
de  telle  sorte  que  ce  changement  de  variables  soil  doublement  univoque  dans 
le  domaine  consid6r£. 

Apres  le  changement  de  variables,  les  Equations  (i)  deviendront 

//N  dZ\  rj  dZz  rf  *  dS/l—l  rj  ^Z  n  _ 

(4)        --=^,        -=Z^        •••>        —^7"^*  =  Zn=0> 


Z4,  Z3.  .  ..,  rLfi-\  ^tant  des  fonctions  connues  de  £l5  ^2,  .  .,,  zn.  Si  Fon 
regarde  la  conslante  G  =  sn  comme  une  donn^e  de  la  question,  les  Equations 
sont  reduites  a  Fordre  n  —  i  et  s^crivent 


///\ 

(4) 


les  fonctions  Z  ne  dependant  plus  que  de  &±,  z^  .  .  .  ,  zn~i   puisque  zn  y  a 
remplac6  par  sa  valeur  num^rique. 


3lO  SUR    LE   PROBLfcME   DES   TROIS   CORPS 

Si   les  Equations  (i)  admettent   un  invariant    positif    /  M  dx±  dx2  .  .  .dxn> 
les  Equations  (4)  admeltront  egalement  un  invariant  positif  : 

J  =  /  fj.  dz\  (?z«.  -  -'fan—I  dzn. 

Je  dis  maintenant  que  les  Equations  (4')  qui  sont  d'ordre  n  —  i  admettent 
Egalement  un  invariant  integral  positif  quidevra  dire  d'ordre  n  —  i. 
En  eflfot,  dire  que  J  esl  un  invariant  integral  c'est  dire  que 


dz\ 
ou  puisque  Zyi  est  nul, 


dz±      ~^      dz±  "  '  '          dzn  ' 

ce   qui   prouve   que  1'int^grale  d'ordre   n  —  i  :    /  y-dz^  dz*.  .  .  dzllmi    est    un 
invariant  pour  les  Equations  (40- 

JusquAici  nous  avons  fait  porter  les  changemenls  de  variables  sur  les  fonc- 
tions  inconnues  x^  x^  .  .  .  ,  x^  mais  nous  avons  conserv6  le  temps  t  qui  est 
noire  variable  ind^pendante.  Nous  allons  supposer  maintenanl  que  Ton  pose 


et  que  nous  prenions  t±  coname  nouvelle  variable  independante. 
Les  Equations  (T)  deviennent  alors 

/*\  dxt  dy  dt 

(6)  ^r=x'  =  X!rfr,=x^     (*  =  i,2,  ...,.). 

Si  les  Equations  (  i  )  ont  un  invariant  integral  d'ordre  n  :    I  M.  dx^  dx^ 
on  devra  avoir 


ce  qui  peut  s'6crire 


/clt 
M  -=j  dx\  dx<±  .  .  .  dxn  est  un  invariant  integral  pour  les 

Equations  (5), 

Pour  que  cette  transformation  puisse  £tre  utile.  il  faut  que  t  et  ^  soient  li^s 

de  telle  sorte  que  -—  puisse  £tre  regard^  comme  une  fonction  connue,  finie, 
continue  etuniforme  de#i,  ^o,  ,  .  .,  xn. 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  3ll 

Supposons  par  exemple   que  nous   prenions  pour  nouvelle    variable  i 
pendante-  : 

JCn=  t{. 

II  vient  alors 

flt\       v 

—  77  =  An 

dt 
el  les  equations  (5)  s'£crivent 


__ 
dt,   ""   ' 


et  elles  admettent  comme  invariant  integral  : 

/  MXyi  dxi  dx>  .  .  .  dxtl, 

De  m^me  si  nous  prenons  pour  nouvelle  variable  ind^pendanle  : 


0  ^taut  une  fonction  quelconque  de  #,,a?2,  .  .  .  ,  a?rt7  le  nouvel  invariant  integral 
s'^crira 


II  est  a  remarquer  que  la  forme  et  la  signification  d'un  invariant  integral  sont 
beaucoup  plus  profond^ment  modifies  quand  on  change  la  variable  ind^pen- 
dante  appel^e  temps  que  quand  le  changeinentde  variables  porte  seulementsur 
les  fonctions  inconnues  #i?  a?a,  -  -  -,  #«,  car  alors  les  lois  du  mouvement  du 
point  representatif  P  se  trouvent  completement  transform^es. 

Supposons  7^  =  3    et  regardons   x^    x^,   cc*    comme  les   coordonn^es  d'un 
point  P  dans  Pespace.  Liquation 


representera  une  surface.  Consid^rons  une  portion  quelconque  de  cette  surface 
et  appelons  S  cette  portion  de  surface. 

Je  supposerai  qu'en  tous  les  points  de  S  on  a 


d  6 


II  en  r&sulte  que  la  portion  de  surface  S  n'est  tangente  &  aucune  trajectoire. 
Je  dirai  alors  que  S  est  une  surface  sans  contact. 

Soit  P0  un  point  de  S;  par  ce  point  passe  une  trajectoire.  Si  cette  trajectoire 


3I2  SUR   LE   PROBLEMS  DES   TROIS   CORPS 

prolong<5e  vient  recouper  S  en  un  point  P4,  je  dirai  que  Pi  est  le  consequent 
de  P0.  A  son  tour  Pt  peut  avoir  un  consequent  P2  que  j'appellerai  le  second 
consequent  de  P0  et  ainsi  de  suite. 

Si  Ton  considere  une  courbe  C  tracee  sur  S,  les  nl*m*g  consequents  des 
divers  points  de  cette  courbe  formeront  une  autre  courbe  C'  que  j'appellerai  la 
rclfemc  consequents  de  G.  On  d^fmirait  de  la  meme  fagon  I'aire  qui  est  la  n16me 
cons^quente  d'une  aire  donnee  faisant  partie  de  S. 

Gela  pos6,  soit  une  portion  de  surface  sans  contact  S  ayant  pour  Equation 
G  =  o ;  soit  C  une  courbe  ferm^e  tracee  sur  cette  surface  et  limitant  une  aire  A ; 
soient  G'  et  A'  les  premieres  cons&juentes,  C"  et  A"  les  /^mes  cons^quentes  de 

C  et  de  A. 

Par  chacun  des  points  de  G  passe  une  trajectoire  que  je  prolonge  depuis  sa 
rencontre  avec  C  jusqu'a  sa  rencontre  avec  C'.  I /ensemble  de  ces  trajectoires 
formera  une  surface  trajectoire  T. 

Je  considere  le  volume  V  limite  par  la  surface  trajectoire  T  et  par  les  deux 
aires  A  et  A',  Supposons  qu'il  y  aitun  invariant  positif 

J  =  /  M  dx<L  dx*  dx  > . 

Intends  cet  invariant  au  volume  V  et  j'^cris  que  ^  est  nul. 

Soit  dco  un  6l6ment  de  la  surface  S.  Menons  la  normale  a  cet  figment, 
prenons  sur  cette  normale  une  longueur  infiniment  petite  dn.  Soit  0  ~H  ^^n 

la  valeur  de  0  a  Fextr6mit6  de  cette  longueur.  Si  Ton  a  men6  la  normale  dans 
le  sens  des  &  croissants,  on  aura 

—  ^o 

Posons 


de 

dn 
on  aura  alors 


-- 
dt 


la  premiere  integrals  etant  6tendue  a  1'aire  A7  et  la  seconde  a  1'aire  A, 

L7int6grale  /  MH  d&  conserve  la  mgme  valeur  qu'on  Intend  e  a  Faire  A,  ou 
&  A',  ou  par  consequent  a  A".  G?est  done  un  invariant  integral  d'une  nature 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  3l3 

particuliere  qui  conserve  la  meme  valeur  pour  une  aire  quelconque  ou  pour 
Pune  de  ses  cons^quentes. 

Col  invariant  est  d'ailleurs  positif,  car  par  hypo  these.*  M,  H  et  par  consequent 
MH  sont  positifs. 

8.  —  Usage  des  invariants  integraux. 

Ce  qui  fait  Pinter£t  des  invariants  integraux,  ce  sont  les  theoremes  suivants 
dont  nous  ferons  un  frequent  usage. 

Nous  avons  defini  plus  haut  la  stabilite  en  disant  qua  le  point  mobile  P  doit 
resler  a  distance  finie;  on  1'entend  quelquefois  dans  un  autre  sens.  Pour  qu'il 
y  ait  stability  il  fautque  le  point  P  revienne  au  bout  d'un  temps  suffisamment 
long  sinon  a  sa  position  initiate,  du  rnoins  dans  une  position  aussi  voisine  que 
Tori  veut  de  cette  position  initiate. 

C'est  dans  ce  dernier  sens  que  Poisson  entendait  la  stabilite.  Lorsqu'il  a 
d<Smontr6  que,  si  Ton  tient  compte  des  secondes  puissances  des  masses,  les 
grands  axes  des  orbites  demeurent  invariables,  il  s'est  seulement  attach^  a 
£tablir  que  les  developpenients  de  ces  grands  axes  en  series  ne  contiennent  que 
des  termes  periodiques  de  la  forme  sina£  ou  cosa£,  ou  des  termes  mixtes  de  la 
forme  t  sina£  ou  tcosat*  sans  contenir  aucun  terme  s6culaire  de  la  forme  t 
ou  £2.  Cela  ne  signifie  pas  que  les  grands  axes  ne  peuvent  jamais  d^passer  une 
certaine  valeur,  car  un  terme  mixle  tcosat  peut  croitre  au  dela  de  toute 
limite;  cela  veut  dire  seulement  que  les  grands  axes  repasseront  une  infinite  de 
fois  par  leur  valeur  primitive. 

La  stability,  au  sens  de  Poisson,  peut-elle  appartenir  a  Unites  les  solutions  ? 
Poisson  ne  le  croyait  pas,  car  sa  demonstration  suppose  express^ment  que  les 
moyens  mouvements  ne  sont  pas  commensurables;  elle  ne  s'applique  done  pas 
quelles  que  soient  les  conditions  initiales  du  mouvement. 

L'existence  des  solutions  asymptotiques,  que  nous  6tablirons  plus  loin, 
montre  suffisamment  que  si  la  position  initiale  du  point  P  est  convenablement 
choisie,  ce  point  P  ne  repassera  pas  une  infinite  de  fois  aussi  pres  que  1'on 
voudra  de  cette  position  initiale. 

Mais  je  me  propose  d'^tablir  que,  dans  un  des  cas  particuliers  du  probleme 
des  trois  corps,  011  peut  choisir  la  position  initiale  du  point  P  (et  cela  d'une 
infinite  de  manieres),  de  telle  fa^on  que  ce  point  P  repasse  une  infinite  de  fois 
aussi  pres  que  Ton  voudra  de  sa  position  initiale. 

H,  P.  —  VIL  4« 


3l4  SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 

En  d'autres  lermes,  il  y  aura  une  infinite  de  solutions  particulieres  du  pro- 
blerae  qui  ne  jouiront  pas  de  la  stabilit^  au  second  sens  du  mot,  c'est-a~dire  au 
sens  de  Poisson;  mais  il  y  en  aura  une  infinite  qui  en  jouiront.  J'ajouterai  que 
les  premieres  peuvent  etre  regardees  cornmc  exceptionnelles  et  je  ehercherai 
plus  loin  a  faire  comprendre  le  sens  precis  que  j'attache  a  ce  mot. 

Supposons  71  =  3  et  imaginons  que  #<,  ira,  x^  repr^sentent  les  coordonn^es 
d'un  point  P  dans  1'espace. 

TH£OREME  1.  —  Supposons  que  le  point  P  reste  a  distance  finie*  et  que  le 
volume  I  dxidx^dx-}  sou  un  invariant  integral;  si  Von  considere  une 

region  r0  quelconque,  quelque  petite  que  soit  cette  region,  il  y  aura  des 
trajectoires  qui  la  traverseront  une  infinite  de  fois. 

En  eflet  le  point  P  rostant  a  distance  imie,  ne  sortira  jamais  d'une  region 
limit^e  E.  JPappelle  V  le  volume  de  cette  region  R. 

Imaginons  maintenant  une  region  tres  petite  r0?  j'appelle  v  le  volume  de  cette 
region.  Par  chacun  des  points  de  7'0  passe  une  trajectoire  quePonpeulregarder 
comme  parcourue  par  un  point  mobile  suivant  la  loi  d^finie  par  nos  Equations 
diff^rentielles.  Gonsid^rons  done  une  infinite  de  points  mobiles  remplissarit  au 
temps  z£ro  la  region  r0  et  se  mouvant  ensuite  conformement  a  cette  loi.  Au 
temps  T  ils  rempliront  une  certaine  region  r\,  au  temps  2r  une  region  /%,  etc., 
au  temps  ni  une  region  rn.  Je  puis  supposer  que  r  est  assez  grand  et  r()  assez 
petit  pour  que  r(>  et  rA  n'aient  aucun  point  commun. 

Le  volume  etant  un  invariant  integral,  ces  diverses  regions  r0,  /^,  .  .  .  ,  rn 
auront  m^me  volume  9.  Si  ces  regions  n'avaient  aucun  point  commun,  le 
volume  total  serait  plus  grand  que  nv\  mais  d'autre  part  toutes  ces  regions  sont 
int6rieures  a  R,  le  volume  total  est  done  plus  petit  que  V.  Si  done  on  a 


il  faut  que  deux  au  moins  de  nos  regions  aient  une  partie  commune.  Soient  rp 
et  rq  ces  deux  regions  (q>p}.  Si  rp  et  rq  ont  une  partie  commune,  il  est  clair 
que  r0  et  rq~p  devront  avoir  une  partie  commune. 

Plus  g&n6ralement,  si  Ton  ne  pouvait  trouver  A*  regions  ayant  une  partie 
commune,  aucun  point  de  Fespace  ne  pourrait  appartenir  £  plus  de  A"  —  i  des 


ET   LES  EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  3l5 

regions  /'„,  /'1?  .  .  . ,  /•„.  Le  volume  total  occupe  par  ces  regions  serait  done  plus 
grande  que  -7 Si  done  011  a 

A"  —  I 


il  faut  que  1'oix  pulsse  irouver  A*  regions  ayant  une  partie  commune.  Soient 

rt>s  ri>«i  -  •  •  9  rpk  ces  regions.  Alors  r0,  '>,-/;,?  r/>-Pl<>  •  •  •  r  7W~/>t  auroiat  aussi  une 
partie  commune. 

Mais  reprenons  la  question  a  un  autre  point  de  vue.  Par  analogie  avec  la 
nomenclature  du  paragraphs  precedent  nous  conviendrons  de  dire  que  la 
region  rn  est  la  /ii(jme  consequente  de  /'0  et  que  r()  est  la  /ii6me  antec^dente  de  rn. 

Supposons  alors  que  rp  soit  la  premiere  des  cons6quentes  successives  de  /*0 
qui  ait  une  partie  commune  avec  r().  Soit  r'(}  cette  partie  commune;  soit  s'0  la 
pi&me  ant6c6dente  de  7*'0  qui  fera  aussi  partie  de  r(),  puisque  sa/?^1110  consequente 
fait  partie  de  rp. 

Soit  ensuite  rpi  la  premiere  des  cons^quentes  de  r'0  qui  ait  une  partie  com- 
mune avec  r'0  ;  soit  t\  cette  partie  commune;  sa  (/?i)I6me  ant^c^dente  fera  partie 
de  r0  et  par  consequent  de  r0,  el  sa  (/?'4-/?i)I6me  ant^c^dente  quej'appellerai  s\ 
fera  partie  de  s^  et  par  consequent  de  r0. 

Ainsi  si  fera  parlie  de  r0  ainsi  que  ses  /?i6nic  et  (p  +  j^)Iemc  consequenles. 

Et  ainsi  de  suite. 

Avec  rJJ  nous  formerons  r'l  comme  nous  avons  form^  r^  avec  r'Q  et  r'0  avec  r0  ; 
nous  formerons  ensuite  /J0V,  ....  r"},  .... 

Je  supposerai  que  la  premiere  des  cons^quentes  successives  de  r"  qui  ait  une 
partie  commune  avec  rj,  soit  celle  d'ordrejt?^. 

J'appellerai  sj  Fantecedente  d'ordre  p  +/?^  +  /?2-r-  *  -  .  +pti~\  de  r". 

Alors  s™  fera  partie  de  r0  ainsi  que  ses  n  cons^quentes  d;ordre 

...5    jo  -t-  />i  +  joiH-. 


De  plus  $0  fera  partie  de  ^J"1,  s*~l  de  ^~% 

II  y  aura  alors  des  points  qui  appartiendront  a  la  fois  aux  regions  r0,  ^0, 
^,  .  .  .  7  ^o,  jj+t,  ____  L'ensemble  de  ces  points  fonnera  une  region  c-  qui  pourra 
d'ailleurs  se  rMuire  a  un  ou  a  plusieurs  points. 

Alors  la  region  a  fera  partie  de  r0  ainsi  que  ses  consequentes  d'ordre 

•••»     P 


En  d'autres  termes,  toute  trajectoire  issue  d'un  des  points  de  <7  traversera 
une  infinite  de  fois  la  region  r,,.  c.  Q.  F.  D. 


3l6  SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 

GOROLLAIKE.  —  II  results  de  ce  qui  precede  qu'il  existe  une  infinite  de 
trajectoires  qui  traversent  une  infinite  de  fois  la  region  r,,/  mats  il  peut  en 
exister  d'autres  qui  ne  traversent  cette  region  qu:un  nombre  fini  de  fois.  Je 
me  propose  maintenant  d'expliquer  pourquoi  ces  dernieres  trajectoires 
peuvent  etre  regard6es  co?nme  exceptionnelles. 

Cette  expression  n'ayant  par  elle-ineme  aucun  sens  precis,  je  suis  oblige 
d'abord  d'en  computer  la  definition. 

Nous  conviendrons  de  dire  que  la  probability  pour  que  la  position  initialedu 
point  mobile  P  appartienne  a  une  certaine  r6gion  7^0  est  a  la  probability  pour 
que  cette  position  iniliale  appartienne  a  une  autre  region  r'^  dans  le  meme 
rapport  que  le  volume  de  r0  au  volume  de  7-'0. 

Les  probability  etant  ainsi  definies,  je  me  propose  d'etablir  que  la  probabi- 
lite  pour  qu'une  trajectoire  issue  d'un  point  de  r0  ne  traverse  pas  cette  x^gion 
plus  de  A'  fois  est  nulle,  quelque  grand  que  soit  k  et  quelque  petite  que  soit  la 
region  TV  C'est  la  ce  que  j'entends  quand  je  dis  que  les  trajectoires  qui  ne 
traversent  r0  qu'un  nombre  fini  de  fois  sont  exceplionnelles. 

Je  suppose  que  la  position  initiale  du  point  P  appartienne  a  r0  et  je  me 
propose  de  calculer  la  probability  pour  que  la  trajectoire  issue  de  ce  point  ne 
traverse  pas  /:  -+-  1  fois  la  region  r0  depuis  1'epoque  z4ro  jusqu^a  1'^poque  nr. 

Nous  avons  vu  que  si  le  volume  9  de  7*0  est  tel  que  n  >  -  —  ?  on  pourra  trouver 


A*+-i  regions  que  j'appellerai  r0,  rai,  raa,  ...,  r^  et  qui  auront  une  partie 
commune.  Soit  sai  cette  partie  commune,  soit  £0  son  ant6c£dente  d'ordre  a;,-;  et 
d^signons  par  sp  la/?I6me  cons^quente  de  ^0« 

Je  dis  que  si  la  position  initiale  du  point  P  appartient  a  s0,  la  trajectoire 
issue  de  ce  point  traversera  k  +  r  fois  au  moins  la  region  r0  entre  F^poquez^ro 
et  l'6poque  KT. 

En  effet,  le  point  mobile  qui  d^crit  cette  trajectoire  se  trouveraal'^poquez&ro 
dans  la  region  ^Oj  a  Fepoque  p?  dans  la  region  ^,  a  l^poque  nr  dans  la 
region  sn.  II  traversera  done  n^cessairement,  entre  les  <5poques  zero  et/ir,  les 
regions  suivantes  :  s^  Sxk~xk^,  S^^J;^  -••,  ^-ccs,  ^.-a,,  ^ajb-  Or  je  dis  que  toutes 
ces  regions  font  partie  de  r0.  En  effet  s^  fait  partie  de  7^0  par  definition;  ^0  fait 
parlie  de  ;*0  parce  que  sa  {aA)I6me  cons^queate  s^  fait  partie  de  rajfc,  et  en 
general  ^ax_ai  fera  partie  de  7*0  parce  que  sa  (a/)lfemc  consequence  sKl  fait  partie 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  3 17 

Done  le  point  mobile  traversera  A~  +  i  fois  au  moins  la  region  rt). 

c.   Q. 'F.   o. 

Soit  maintenant  GTO  la  porlion  de  r()  qui  n'appartient  ni  a  s0,  ni  a  aucune 
region  analogue,  de  telle  facon  que  les  trajectoires  issues  des  divers  points  deo-0 
ne  traversent  pas  la  region  r0  au  moins  k  -4-  i  fois  entre  les  dpoques  zero  et  /IT. 
Soit  w  le  volume  de  ov 

La  probabilite  cherch^e,  c'est~a~dire  la  probability  pour  que  notre  trajectoire 

ne  traverse  pas  k  4- 1  fois  r0  entre  ces  deux  epoques  sera  alors  -• 

Or  par  hypotbese  aucune  trajectoire  issue  de  <70  ne  traverse  A*  +  i  fois  r0  ni 
a  fortiori  u0  entre  ces  deux  epoques.  On  a  done 


et  notre  probabilite  sera  plus  petite  que  —  *  Quelque  grand  que  soit  A",  quelque 

petit  que  soit  9,  on  pourra  toujours  prendre  n  assez  grand  pour  que  cette 
expression  soit  aussi  petite  que  nous  le  voudrons.  Done  il  y  a  une  probabilite 
nulle  pour  que  notre  trajectoire,  que  nous  savons  issue  d'un  point  de  r0, 
ne  traverse  pas  cette  region  plus  de  A*  fois  depuis  l'£poque  zero  jusqu'a 
--oo.  c-  Q-  F-  D- 


Extension  da  theoreme  1.  —  Nous  avons  suppose  : 

i°  que  n  =  3  ; 

2°  que  le  volume  est  un  invariant  integral; 

3°  que  le  point  P  est  assujetti  a  rester  a  distance  fmie. 

Le  theoreme  est  encore  vrai  si  le  volume  n'est  pas  un  invariant  integral, 
pourvu  qu'il  existe  un  invariant  positif  quelconquej  M  dx^  dx*  dx*.  II  est 
encore  vrai  si  n  >  3,  s'il  existe  un  invariant  positif  JIAdxi  dx%  -  .  -  dxn,  el 
si  a?4,  x*y  .  .  .  ,  ar/l3  coordonn^es  du  point  P  dans  Fespace  a  n  dimensions,  sont 
assujetlies  a  rester  finies. 

Mais  11  y  a  plus.  Supposons  que  a?4,  a?9,  .  .  .,  a?n  ne  soient  plus  assujetties  a 

rester  finies,  mais  que  Finvariant  integral  positif  JM  dXi  dx2  ..  .  dxn  4tendua 
Fespace  a  n  dimensions  tout  entier  ait  une  valour  0nie.  Le  tbeor^me  sera 
encore  vrai. 


3l8  SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 

Voici  un  cas  qui  se  pr^sentera  plus  fr^quemment. 
Supposons  que  Ton  connaisse  une  int^grale  des  equations  (i) 

F(#i,  #2,  •  •  •  i  Xn)  —  const. 

Si  F  =  const,  est  Inequation  gencrale  d'un  systeme  de  surfaces  ferm^es  dans 
Pespace  a  n  dimensions,  si  en  d'autres  termes  F  est  une  fonction  uniforme  qui 
devient  infinie  quand  une  quelconque  des  variables  #<,  #2»  ,  .  . ,  gcn  cesse  d'etre 
finie,  il  est  clair  que  #i?  #25  •  ••?  &n  resteront  toujours  finies,  puisque  F 
conserve  une  valeur  constante  finie;  on  se  trouve  done  dans  les  conditions  de 
P^nonc^  du  th^oreme. 

Mais  supposons  que  les  surfaces  F  —  const,  ne  soient  pas  ferm^es;  il  pourra 

se  faire  n^anmoins  que  Pinvariant  integral  positif  /  M  dx\  doc*  .  .  .  dxn  (Hendu 
a  tous  les  systemes  de  valeurs  des  x  tels  que 

Ci  <  F  <  G2 

ait  une  valeur  finie;  le  theoreme  sera  encore  vrai. 

C'est  ce  qui  arrive  en  particulier  dans  le  cas  suivant. 

M.  Hill  dans  sa  th^orie  de  la  Lune  an6glige  dans  une  premiere  approximation 
la  parallaxe  du  Soleil,  Texcentricit^  du  Soleil  et  Pinclinaison  des  orbites;  il  est 
ainsi  arrive  aux  equations  suivantes  : 


dx  _     ,  dxr  _       ,    , 

~di~*>        ~dt~'*n'y '  ~x 


*      .,   ,  -3tt/2l 


rfSff  ""^  '          tffr 
qui  admettent  Pint^grale 

F  = 

et  Pinvariant  integral   f  dx  dy  dx!  dyr. 

Si  Pon  regarde  x,  y,  x1  et  y1  comme  les  coordonn^es  d'un  point  dans  Pespace 
a  quatre  dimensions,  liquation  F  =  const,  repr^sente  un  systeme  de  surfaces 
qui  ne  sonl  pas  ferm^es.  Mais  Pinvariant  integral  6tendu  a  tous  les  points 
compris  entre  deux  de  ces  surfaces  est  fini,  comme  nous  aliens  le  montrer. 

Le  theoreme  I  est  done  encore  vrai;  c'est-a-dire  qu'il  existe  des  trajectoires 
qui  traversent  une  infinite  de  fois  toute  region  de  Pespace  a  quatre  dimensions, 
quelque  petite  que  soit  cette  region. 


ET   LES  EQUATIONS  DE   LA   DYNAMIQUE.  3lQ 

Soit  done  a  calculer  Tintegrale  quadruple 

J  =   /  dx  dy  dx  dr\ 

cette  integrate  £tant  etendue  a  tous  les  sjstemes  de  valeurs  tels  que 

G,  <  F  <  C*. 
Ghangeons  de  variables  et  transformons  notre  integrate  quadruple,  en  posant 

x*  =  cos  9  y  2  /',         y  =  sin  o  \A>  r, 
x  =  p  cos  o>,  y  =  p  sin  to  ; 

cette  integrals  devient 

J  =  /   p  r/p  dr  d<£  ^9, 
et  il  vient  d:autre  part 

F  =  r  —  -  --  7i'2p'-  cos2o). 

p  2          ** 

Nous  devons  int^grer  d'abord  par  rapport  a  9  entre  les  limites  z£ro  et  271,  ce 
qui  doime 

J  =  2  x  I   p  rfo  dr  d&  , 

et  i'integration  doit  ^tre  etendue  a  tous  les  systemes  de  valeurs  de  p,  r  et  &>  qui 
satisfont  aux  in^galit^s 

(i)  r  >  o,         r>Gi-H-H  --  7i'2p2cos-ejL>,         r  <  Ca-J-    •  •+-  -  /i'2pacos-co. 

De  ces  inegalit6s  on  pent  d6duire  la  suivante  : 

G2  -+-  ^  -I  --  7l'2  p2  COS2  Q)  >  0. 

•  —  > 

Regardons  p  et  co  comme  les  coordonnees  polaires  d'un  point  et  construisons  la 

courbe 

ix        3    , 
l  —  j  —  rift  p 


Nous  verrons  que  si  C2  est  plus  petit  que  —  -j  (g/i'f*)7  cette  courbe  se  compose 
d'une  ovale  ferm^e  situ£e  tout  entiere  a  Fint^rieur  du  cercle 


•V.S. 


et  de  deux  branches  infinies  situ^es  tout  entieres  a  Fexterieur  de  ce  cercle. 
Le    lecteur    fera    facilement  cette   construction;   s'il  j  eprouvait  quelque 


320  SUR  LE  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS 

difficult^,  je  le  renverrais  au  Memoire  original  de  M.  Hill  dans  le  Tonie  1  de 
V American  Journal  of  Mathematics. 

M.  Hill  conclut  de  la  que  si  le  point  p,  o>  est  a  1'origine  des  temps  al'interieur 
de  cette  ovale  fermee,  il  y  reslera  toujours;  que  par  consequent  p  restera 

Loujours  plus  petit  que  (/  ^r-rrr  Ainsi  si  Ton  nogligeait  la  parallaxe  du  SoleiL 

Y      0  Tit  *" 

son  escentricite  et  les  inclinaisons,  il  serait  permis  d'assigner  une  limite  supe- 
rieure  au  rayon  vecteur  de  la  Lune.  En  ce  qui  concerne  la  Lime,  en  effet,  la 

constante  C2  est  plus  petite  que (97iW- 

(Test  ce  remarquable  resultat  de  M.  Hill  que  je  me  propose  de  completer  en 
montrant  que,  dans  ces  conditions,  la  Lune  jouirait  egalemenl  de  la  stability  an 
sens  de  Poisson;  je  veux  dire  par  la  que,  si  les  conditions  initiales  du  mouve- 
ment  ne  sont  pas  exceptionnelles,  la  Lune  repassera  une  infinite  de  fois  aussi 
pres  que  1'on  voudra  de  sa  position  primitive.  C'est  pour  cela,  comme  je  1'ai 
expliqu^  plus  haut,  que  je  me  propose  de  d^montrer  que  1'integrale  J  est  finie. 

Comme  p  est  plus  petit  que  \/ T^  et  par  consequent  limit£>  Fint^grale 


=  2-J  ? 


ne  peut  devenir  infinie  que  si  r  croit  indefiniment,  et  r  ne  peut  devenir  infini, 
en  vertu  des  inegalit^s  (i).  que  si  p  s'annule. 
Posons  done 

J  =  J'-hJff, 

J'  repr^sentant  Fintdgrale  ^tendue  a  tous  les  systemes  de  valeurs  tels  que 

(2)  r>o,        p>p0,         Ci<F<C2, 

et  F  representant  1'int^grale  ^tendue  a  tous  les  systemes  de  valeurs  tels  que 

(3)  r>o,         p<p0,         Ci<F<G2. 

Quand  les  in^galites  (2)  sont  satisfaites  p  ne  peut  s'annuler;  done  r  ne  peut 
devenir  infini.  Done  la  premiere  integrale  J'  est  flnie. 

Examinons  maintenant  3ff.  Je  puis  supposer  que  p0  a  6t6  pris  assez  petit 
pour  que 


ET    LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  321 

Les  in6galit£s  F  ;>  C,,  p  <;  p^  entrainent  alors  r  >  o.  Nous  devons  doncintegrer 
par  rapport  a  r  entre  les  limites 

K        3  H-        3 

lH~    p    ~*~  5n-p-cos-w       Gt          2-1-   -   -t--«-p-COS-o>. 

II  vient  alors 

F—    erf'11    r po 

JQ  JQ 

3"  et  par  consequent  J  est  done  fini.  c.   Q.   F.   D. 

M.  Bohlin  a  g6n£ralis£  de  la  maniere  suivante  le  r^sultat  de  M.  Hill.  Consi- 
derons  le  cas  particulier  suivant  du  probleme  des  trois  corps.  Soit  A  un  corps 
de  masse  i — JJL,  B  un  corps  de  masse  fx  et  C  un  corps  de  masse  infmiment 
petite.  Imaginons  que  les  deux  corps  A  et  B  (dont  le  mouvement  doit  etre 
k6plerien,  puisqu'il  n'est  pas  trouble  par  la  masse  de  C)  d^crivent  autour  de 
leur  centre  de  gravit6  cornmun  suppose  fixe  deuxcirconferencesconcentriques, 
et  que  C  se  meuve  dans  le  plan  de  ces  deux  circonferences.  Je  prendrai  pour 
unite  de  longueur  la  distance  constante  AB,  de  telle  fa^on  que  les  rayons  de 
ces  deux  circonfterences  soient  i  —  p.  et  JJL.  Je  supposerai  que  Funit6  de  temps 
ait  (H6  choisie  de  telle  sorte  que  la  vitesse  angulaire  des  deux  points  A  et  B  sur 
leurs  eirconferences  soit  £gale  a  i  (ou  ce  qui  revient  au  m£me  que  la  constante 
de  Gauss  soit  £gale  a  i). 

Ghoisissons  alors  deux  axes  mobiles  ayant  leur  origine  au  centre  de  gravit£ 
des  deux  masses  A  et  B;  le  premier  de  ces  axes  sera  la  droite  AB,  et  le  second 
sera  perpendiculaire  au  premier. 

Les  coordonn6es  de  A  par  rapport  a  ces  deux  axes  sont  —  p.  et  z^ro,  celles 
de  B  sont  i  —  JJL  et  z^ro ;  quant  a  celles  de  C  je  les  appelle  x  et  y ;  j'ai  alors  pour 
les  Equations  du  mouvement  : 

dx=,          dxr  ^          ,      dV_ 

^y_  _  /       dy'  =_     /    ^y 

on  posant 


On  a  djailleurs 

AC   =  (^ -h  fi)2-^y2,         BG  =  (x  • 

Ges  Equations  admettent  une  integrale 


H.  P.  -  VII. 


322  SUR  LE   PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 

et  un  invariant  integral 

J  =   /  dx  dy  dxr  dyr  . 

M.  Bohlin,  dans  le  Tome  10  des  Acta  Mathematica,  a  g£neralis<5  le  r^sultat 
de  M.  Hill,  en  montrant  que  si  la  constante  K  a  une  valeur  convenable  (ce  que 
nous  supposerons)  et  si  les  valeurs  initiales  de  x  et  de  y  sont  assez  petites,  ces 
quantit6s  x  Ql  y  resteront  limit^es. 

Je  me  propose  maintenant  de  montrer  que  Pint6grale  J  ^tendue  £  tous  les 

systemes  de  valeurs  tels  que 

K1<F<K2 

est  finie;  d'ou  nous  pourrons  conclure,  comme  nous  Tavons  fait  plus  haul,  que 
la  stability  au  sens  de  Poisson  subsiste  encore  dans  ce  cas. 

Si  les  constantes  K4  et  K2  sont  convenablement  choisies,  le  thdoreme  de 
M.  Bohlin  montre  que  x  et  y  seront  limit^s.  Quant  a  x*  et  yl  ils  ne  pourront 
devenir  infinis  que  si  V  devient  infini,  c'est-a-dire  si  AC  s?annule,  ou  si  BC 
s'annule. 

Posons  alors 


rint6grale  J7  6lant  4tendue  a  tous  les  systemes  de  valeurs  tels  que 


Fint^grale  J/;  4  tous  les  systemes  de  valeurs  tels  que 

K!  <  F  <  K2?        AC2  <  pi         (d'ou  BG2  >  P  j), 
et  Fintdgrale  J;//  a  tous  les  sj^stenies  de  valeurs  tels  que 

BG°"<p!         (d'oft  AG2>P§). 


Gomme  pour  aucun  des  systemes  de  valeurs  auxquels  I'int^grale  J'  est6tendue, 
AC  ou  BG  ne  s'annule,  cette  int^grale  J7  est  finie. 

Examinons  maintenant  Fintegrale  J;/.  Je  puis  supposer  que  p0  ait  6t6  choisi 
assez  petit  pour  que 


Po  Po 

Dans  ce  cas - —  peut  varier  entre  les  limites 


et         K,  .    I~^    ,     H-     ,    2l±Z!~T 
et        H2-h  -jg-  +  m  +  — _-  «  L2, 


car  la  plus  petite  de  ces  deux  limites  est  positive. 


ET   LES  EQUATIONS   DE  LA  DYNAMIQUE.  323 

Posons  alors  comme  plus  haul  : 

,  —  .,  _  /£f-  —  f-  •v"'2 

#  =  V'2rcoscp,        y=V2rsin^3         d'ou         r  =  -  •  —  5 

Fint^grale  deviendra 

J"  =  Cdxdydrdx, 

et  Ton  devra  integrer  par  rapport  a  9  entre  les  limites  z£ro  et  2?r  et  par  rapport 
a  r  entre  les  limites  L^  et  L2;  il  viendra  done 

J'=2«(K2—  KO  Cdxdy. 

L'int^grale  double  /  dx  dy  devra  etre  etendue  a  tous  les  sjstemes  de  valeurs 
tels  que  AC  <  pi  ;  elle  est  done  ^gale  a  TrpjJ  ;  de  sorte  qujil  vient 

J/7=2r2p2(X2—  Ri). 

J7/  est  done  fini,  et  il  en  est  de  menie  de  Jw  et  de  J.  c.  Q.  F.  D. 

Nous  devons  done  conclure  que  (si  les  conditions  initiales  du  mouvement  ne 
sont  pas  exeeptionnelles  au  sens  donnd  a  ce  mot  dans  le  corollaire  du  th^o- 
reme  I)  le  troisieme  corps  G  repassera  une  infinite  de  fois  aussi  pres  que  Fon 
voudra  de  sa  position  initiale. 

Dans  le  cas  general  du  probleme  des  irois  corps,  on  ne  peut  plus  affirmer 
qu'il  en  sera  encore  de  m£me. 

TH^OR^ME  If.  —  jSV  7i  =  3  et  que  x^^  #2>  ^  repr6sentent  les  coordonndes 
d'un  point  da?is  Vespace  ordinaire,  ets'il  y  a  invariant  positif,  il  ne  peut 
pas  y  avoir  de  surface  ferm£e  sans  contact. 

Soil,  en  effet, 

J  =  /  M  dxi  dx%  dx^ 

un  invariant  integral  positif.  Supposons  qu'il  existe  une  surface  S  ferni^e  et 
sans  contact,  ayant  pour  Equation 


Soit  V  le  volume  Iimit6  par  cette  surface;  nous  6tendrons  1'invariant  J  a  ce 
volume  tout  entier. 

La  surface  S  6tant  sans  contact,  Pexpression 


324  SUR  LE   PROBLfcME   DES   TROIS   CORPS 

ne  pourra  s'annuler  et  par  consequent  changer  de  signe;  nous  la  supposerons 
positive  pour  fixer  les  idees. 

Soit  da  un  element  de  la  surface  S;  menons  la  normale  £  cet  element  du  c6te 
des  F  croissants;  prenons  sur  cette  normale  un  segment  infiniment  petit  dn. 

>-rji 

Soit  ~y-dn  la  valeur  de  F  a  Fextremite  de  ce  segment.  On  aura 

an  * 


J  etant  un  invariant,  on  devrait  avoir 

dJ 


Mais  nous  trouvons 


dP  dF    .         dF 

-5  —  Xi  -i  —  -  —  X-o  -f-  —  — 


dn 

L'integrale  du  second  membre,  6tendue  a  toute  la  surface  S,  est  positive,  puisque 
la  fonction  sous  le  signe  /  est  toujours  positive. 

Nous  arrivons  done  a  deux  r^sultats  contradictoires  et  nous  devons  conclure 
qu'il  ne  peut  exister  de  surface  ferm^e  sans  contact. 

Extension  du  thgoreme  II.  —  II  est  facile  d'6tendre  ce  th6or£me  au  cas 
de  7i>3]  il  suffil  pour  cela,  puisque  la  representation  geom^trique  n'est  plus 
possible,  de  la  traduire  dans  le  langage  analytique  et  de  dire  : 

S^il  y  a  un  invariant  integral  positif,  il  ne  peut  pas  exister  une 
fonction  uniforme  F(%iy  j?2,  ,  .  .?  a?7l)  qui  soit  positive,  qui  devienne  injlnie 
toutes  les  fois  que  Vun  des  x  cesse  d'&tre  fini  et  qui  soit  telle  que 

dV        dV  _.         d.F  v  dF  _. 

—  j—  =  -7  —  AI  H  --  -  —  Aa-f-.  .  .H  --  ;  —  Aw 

dt        dx\  dx*  -    dxn 

soit  toujours  de  meme  signe  quand  F  est  nuL 

Pour  faire  comprendre  Timportance  de  ce  th6oreme,  je  me  bornerai  £i  faire 
observer  que  c'est  une  generalisation  de  celui  dont  je  me  suis  servi  pour 
demontrer  la  legitimite  de  la  belle  methode  de  M.  Lindstedt. 

Je  prefere  toutefois,  au  point  de  vue  des  applications  ulterieures,  lui  donner 
une  forme  un  peu  differente  en  y  introduisant  une  notion  nouvelle,  celle  des 
courbes  invariantes. 


ET   LES  EQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.  325 

Nous   avons   a   la   fin   du   paragraphe   precedent  envisage   une    portion  de 
surface  S,  definie  par  Pequation 


et  telle  que  Ton  ait  pour  tous  les  points  de  S  : 

de          d&          de  v  ^ 

—  ;  —  A  i  -7-   —  —  Ai  H  --  ;  —  A-;  J>  O, 
dXi  dXi  rlX'A  ' 

de  telle  sorte  que  S  soit  une  portion  de  surface  sans  contact. 

Nous  avons  defini  ensuite  ce  qu'on  doit  entendre  par  le  nieme  consequent 
d'un  point  de  S  ou  par  la  niGme  consequente  d'une  courbe  ou  d'une  aire  appar- 
tenant  a  S.  J'entends  maintenant  et  j'entendrai  desormais  le  mot  consequent, 
dans  le  sens  du  paragraphe  precedent,  et  non  dans  le  sens  employe  plus  haut 
dans  la  demonstration  du  theoreme  I. 

Nous  avons  vu  que  s'il  existe  un  invariant  positif  ///  M  dxi  dx<±  dxt]1  il  existe 

6galement  une  autre  int^grale  /  MH  d&  que  Ton  doit  ^tendre  a  tous  les  Ele- 
ments da  d'une  aire  appartenant  a  S  et  qui  jouit  des  propriet^s  suivantes  : 

i°  La  quantity  sous  le  signe  /  ?  MH  est  toujours  posisive. 

2°  LJint6grale  a  la  meme  valeur  pour  une  aire  quelconque  appartenant  a  S 
et  pour  toutes  celles  de  ses  cons&juentes  qui  existent. 

Cela  pos^.  j'appellerai  courbe  invariante  du  ^Ume  ordre,  toute  courbe  trac6e 
sur  S  et  qui  coincidera  avec  sa  ni6me  consequente. 

Dans  la  plupart  des  questions  de  Dynamique  il  entre  cerlains  parametres 
tres  petits,  de  sorte  qu'on  est  naturellement  conduit  a  developper  les  solutions 
suivant  les  puissances  croissantes  de  ces  parametres.  Telles  sontles  masses  en 
Mecanique  celeste. 

Nous  irnaginerons  done  que  nos  equations  differentielles 


dependent  d'un  parametre  p.  Nous  supposerons  que  Xi?  X2,  X3  sont  des 
fonctions  donnees  de  x^  #2?  &$  et  /x?  susceptibles  d'etre  developpees  selon  les 
puissances  croissantes  de  p,  et  que  p  est  tres  petit. 

Considerons  alors  une  fonction  quelconque  de  p;  je   suppose  que  cette 
fonction  tende  vers  zero  quand  fz  tend  vers  zero,  de  telle  fa^on  que  le  rapport 


326  SUR   LE  PROBLEME    DES   TROIS    CORPS 

de  cette  fonction  a  p.71  tende  vers  une  limite  finie.  Je  dirai  que  cette  fonction 
de  (I  est  une  quantitd  tres  petite  du  /i^me  ordre. 

II  importe  de  remarquer  qu'il  n'est  pas  necessaire  que  cette  fonction  de  ^ 
soit  susceptible  d'etre  d^veloppee  suivant  les  puissances  de  p.. 

Gela  pose,  soient  A0  et  B0  deux  points  d'une  surface  sans  contact  S,  et 
soient  A1  et  BI  leurs  consequents.  Si  la  position  de  A0  et  B0  depend  de  p. 
suivant  une  loi  quelconque  il  en  sera  de  m6me  de  la  position  de  A4  etBi.  Je  me 
propose  de  d^montrer  les  lemmes  suivants  : 

LEMME  I.  —  Si  Von  envisage  une  portion  de  surface  sans  contact  S, 
passant  par  le  point  a0,  &o  CQ  ;  si  &$,  yQ,  s^  sont  les  coordonnees  d'un  point 
de  S  et  si  Xi}  y^  z±  sont  les  coordonnees  de  son  consequent,  on  pourra 
developper  x^  yi:  z±  suivant  les  puissances  de  #0  —  #o?  y0 —  bG,  ^0 —  CQ  ei  H- 
pour9u  que  ces  quantites  soient  sujfisamment  petites . 

Je  puis  toujoux^s  prendre  pour  origine  le  point  aQ,  60?  c0  de  telle  facon  que 

ao=  60=  CQ=  o. 

Si  alors 

*  =  9O,,/} 

est  Tequation  de  la  surface  S,  cette  surface  passera  par  Forigine  O  et  Ton  aura 

9(0,  o)  ==  o. 

Je  supposerai  de  plus  qu:en  tous  les  points  de  la  portion  de  surface  S 
envisage  la  fonction*  9(3?,  y)  est  holomorphe.  Par  P origine  O  passe  une 
trajectoire;  imaginons  que  quand  p.  =  o  cette  trajectoire  vienne  au  temps  £  =  T 
recouper  la  surface  S  en  un  point  P  dont  les  coordonnees  seront  : 

x  =  a,        y  =  6,        z  =  c. 

D'apres  la  terminologie  que  nous  avons  adoptee,  le  point  P  sera  quand  on 
suppose  p.  =  o  le  consequent  du  point  O. 

Soit  maintenant  a?OJ  y0,  <z0  un  point  A  tres  voisin  de  O  et  apparlenant  a  la 
surface  S.  Si  Ton  fait  passer  par  ce  point  A  une  trajectoire,  si  Ton  suppose 
que  fi  cesse  d'etre  nul,  mais  reste  tres  petit,  on  verra  que  cette  trajectoire 
viendra.,  a  une  epoque  t  tres  peu  di(F6rente  de  T,  couper  la  surface  S  en  un 
point  B  tres  voisin  de  P* 

Ce  point  B  dont  j'appellerai  les  coordonnees  #1?  y{^  ^  sera  d'apres  notre 
terminologie  le  consequent  du  point  A.  - 


ET  LES  EQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.  827 

Ce  que  je  me  propose  de  demontrer,  c'est  que  #1?  y±,  z^  peuveat  se  deve- 
lopper  suivaat  les  puissances  croissantes  de  XQ,  y{},  £0  et  p. 

En  effet,  d'apres  le  th^oreme  III  (§  2),  si  x:  y,  2  sont  les  coordonn&js  au 
temps  t  du  point  mobile  qui  decrit  la  trajectoire  issue  du  point  A,  side 
jo,  s0,  JJL  et  t  —  T  sont  suffisamment  petits,  on  aura 


3S  =  fyl(t  —  'S,   [JL,  #0,  J03    So), 

y=^(t~~  •;,  ;i,  X0,  Jo,  So), 

•5  =  4*3 (2  —  ",  l-lj  ^0,  JO,  --o)j 


(4) 

^i7  ^2  et  ^3  ^tant  des  series  ordonnees  suivant  les  puissances  de  t  —  z%  /*,  XQ 

705   ^0- 

Ces  series  se  r^duiront  respectivement  a  a,  6,  c  pour 


Comme  9(3?,  /)  est  developpable  suivant  les  puissances  de  x  —  a  et  /  —  6, 
si  #  —  a  Qty —  b  sont  assez  petits?  nous  aurons  egalement 

9(a?,^)  =  ^*(jf  —  ',  ^a?o,/o,  «o), 

^4  ^Lant  une  s^rie  de  m^me  forme  que  d^,  d;2  et  tjjs. 

Ecrivons  que  le  point  x,  y^  z  se  trouve  sur  la  surface  S,  nous  aurons 

(5)  .      <h=<!^ 

La  relation  (5)  peut  etre  regard^e  comme  une  equation  entre/ — r,  p?  a?0,  j^o 
et  -S0  et  Ton  peut  chercher  a  la  r^soudre  par  rapport  a  t  —  T. 

Pour 

t  —  i  =  (j,  =  a?0  =  J'o  =  ^o  =  o, 

cette  relation  est  satisfaite,  car  on  a 

4>3  =  t!;4  =  0. 

D^apr^s  un  th^oreme  de  Gauchy,  que  nous  avons  d6montr6  dans  un  des 
paragraphes  qui  precedent,  on  pourra  tirer  de  la  relation  (5)  t —  r  sous  la 
forme  suivante  : 

(6)  /  — -U5=e(ji,  ^o,  Jo,  £o)5 

8  4tant  une  serie  ordonn^e  suivant  les  puissances  de  /*,  a?0,  J0  et  JSQ. 
II  njy  aurait  deception  que  si  pour 

t  —  T;  =;  fJL  =  5?o  ==:  Jo  ==  -So  =  O, 

on  avait 

fltys  ___  ^j 

"5F  ""  rf/  * 


3-28  SUR   LE   PROBLEME  DES   TROIS   CORPS 

Or  cette  Equation  exprime  que  la  trajectoire  issue  du  point  O  pour  fx  =  o  va 
toucher  la  surface  S  au  point  P. 

Mais  il  n'en  sera  pas  ainsi,  parce  que  nous  supposerons  loujours  que  S  est 
une  surface  ou  une  portion  de  surface  sans  contact. 

Dans  les  Equations  (4)  remplagons  t  —  T  par  9  et  #,  7,  s,  par  xi}  y±,  z^  il 
viendra 

#1==  6LO,  #0,  Jo,  £o)3         7i  =  ©2(m  #o,  J'o,  -o),         £1  =  #3(^3  #oi7oj  -o), 

®u  02  et  63  etant  des  series  d£velopp£es  selon  les  puissances  de  fx,  #0>  JK0 
et  ^0.  c.  Q.  F.   D. 

LEMME  II.  —  Si  la  distance  de  deux  points  A0  et  B0  appartenant  a  la 
portion  de  surface  sans  contact  S  est  une  quantize  tr&s  petite  d'ordre  /?,  il 
en  sera  de  meme  de  la  distance  de  leurs  consequents  A^  et  BI. 

Soient  en  efTet  ai,  aa,  a3  les  coordonn^es  d'un  point  fixe  P0  de  S  tres  voisin 
de  A0  et  de  B0;  #'n  a'2.  a'3  les  coordonn^es  de  son  consequent  P^ 

Soient  #1,  #2,  ^3;  a?i,  ^i?  #'3;  Tn  ^2,  ya;  yi?  ys,  ys  les  coordonn6es  deA0, 
Ai,  B0  etBi. 

D'apres  le  lemtne  I,  x\  —  a'15  #'2  —  a'^  ^'n  —  a'3  peuvenfe  se  d6velopper  selon 
les  puissances  croissantes  de  x\  —  ai,  x<±  —  a2,  x*  —  a3  et  /x. 

L'  expression  dey[  —  d^  y\  —  ^'2>y3  —  ^'3  en  fonctions  de^  —  ^ijJKa  —  ^2? 
y*  —  a3  et  fjt.  sera  ^videmment  la  meme  que  celle  de  x\  —  a\  ,  ^?;2  —  a'2  ,  ^?'3  —  a3  en 
fonctions  de  j;t  —  a\  ,  ^2  —  #2,  573  —  a^  et  JJL. 

On  d^duit  de  la  qne  Ton  peut  ecrire 

i  ^i--yi==(^i--JKi)F1-h(^2-^^2)F2+(^3 
(7)  <  «i—  ys  =  (^i-^i)Fi+(ara--tvOFiH-(^a 


les  F  etant  des  series  d^velopp^es  suivant  les  puissances  de 

jx,     ^i—  at,    ^2-™a2j    573  —  a3,    71—  «i,    7«—  «s,    7s—  «»• 
Les  quandt^s  Fj,  F^,  etc.  sont  finies;  si  done  a?i  —  7^  #2  —  72  et  573  —  73 
sont  des  quantit^s  tres  petites  d'ordre  n,  il   en  sera  de  mgma  de  a?'t  —  7^, 
3  —  XT  c-  Q-  T1-  D. 


III.  —  A¥ot7  AiAMBiB  une  courbe  invariante^  de  telle  fapon 
que  At  et  B4  soient  les  consequents  de  A  et  B. 

Jfe  suppose  que  les  arcs  AA^  e^  BB4  soient  tres  petits  (c'est-^-dire  tendent 
vers  z6ro  avec  ft)  mats  que  leur  courbure  soit  jfinie. 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA  DYNAMIQUE.  32Q 

Je  suppose  que  cette  courbe  invariants  et  la  position  des  points  A  et  B 
dependent  de  jj.  suivant  une  lot  quelconque.  Je  suppose  qu'il  existe  un 
invariant  integral  positif.  Si  la  distance  AB  est  ires  petite  du  nieme  ordre 
et  que  la  distance  AA<  ne  so  it  pas  tres  petite  du  nl^m€  ordre,  Varc  AA< 
coupe  Varc  BB^. 

Je  puis  toujours  joindre  les  points  A  et  B  par  un  arc  de  courbe  AB  situ6  tout 
entier  sur  la  portion  de  surface  sans  contact  S  et  dont  la  longueur  totale  soil 
du  nieme  ordre  de  grandeur  que  la  distance  AB,  c'est-a-dire  une  quantite  tres 
petite  du/ii6me  ordre.  SoitAiB*  un  arc  de  courbe  qui  soit  le  consequent  de  AB, 
il  sera  aussi  tres  petit  du  ni6me  ordre  d'apres  le  lemme  II. 


Fig.  i.  Fig.  2. 

Voici  rnaintenant  les  diverses  hypotheses  que  Ton  peut  concevoir  : 

Premiere  hypothese.  —  Les  deux  arcs  AA*  et  BB4  se  coupent.  Je  me 
propose  d'^tablir  que  c'est  cette  hypothese  qui  est  r^alis^e. 

Deuxieme  hypothese.  —  Le  quadrilatere  curviligne  AA,  B4  B  est  tel  que  les 
quatre  arcs  qui  lui  servent  de  cdt<§s  n'ont  d'autre  point  commun  que  les  quatre 
sommets  A,  A,  B  et  B^  C'est  le  cas  de  la  figure  i. 

Troisieme  hypothese.  —  Les  deux  arcs  AB  et  AiBi  se  coupent  en  un 
point  D.  C7est  le  cas  de  la  figure  2. 

Quatrieme  hypothese.  —  L7un  des  arcs  AB  ou  A^  coupe  Tun  des  arcsj\A£ 
ou  BBi;  mais  les  arcs  AAd  et  BB<  ne  se  coupent  pas,  non  plus  que  les  deux 
arcs  AB  et  AiB4. 

S'il  y  a  un  invariant  positif,  il  existera  d'apres  le  paragraphe  prudent  une 
certaine  integrate  TMHrfo)  dont  tous  les  <&Wments  seront  positifs  et  qui  devra 
avoir  la  m^me  valeur  pour  1'aire  ABB4MA  et  pour  sa  cons^quente 

Cette  integrate  4tendue  a  Faire 

ABAt  Bi  =  A Ai  Bj  MA  —  ABBt  MA 
H.  p.  —  VII. 


330  SUR   LE   PROBLEME    DES   TROIS  CORPS 

doit  done  etre  rtulle  et  comme  tous  les  6l6ments  de  Pintegrale  sonl  positifs,  la 
disposition  ne  peut  etre  celle  de  la  figure  i  ouPaire  ABAiBi  est  convexe. 

La  seconde  hypothese  doit  done  £tre  rejet^e. 

La  disposition  ne  peut  non  plus  £tre  celle  de  la  figure  2. 

En  effet,  dans  le  triangle  ADAi,  les  distances  AD  et  A<D  sont  tres  petites 
du  ttlfemc  ordre  car  elles  sont  plus  petites  que  les  arcs  AD  et  AiD,  lesquels  sont 
plus  petits  que  les  arcs  AB  et  Ai  B±  qai  sont  du  nleme  ordre.  De  plus  on  a 

AAj<  AD-+-  AtD. 

La  distance  AA4  devrait  done  etre  une  quantity  tres  petite  du  ni6me  ordre,  ce 
qui  est  contraire  a  P^nonce  du  theoreme. 

La  troisieme  hypothese  doit  done  etre  rejetee. 

Je  dis  que  la  quatrieme  hypothese  ne  peut  non  plus  etre  acceptee.  Supposons 
en  effet  par  exemple  que  Pare  AB  coupe  Pare  AA4  en  un  point  A'.  Soit  ANAi 
la  portion  de  Pare  AB  qui  va  de  A  en  A';  .soil  APA'  la  portion  de  Pare  AA4  qui 
va  de  A  en  A'. 

Je  dis  qu'on  pourra  remplacer  Pare  ANA'B  par  Pare  APA'B;  et  que  le 
nouvel  arc  APA'B  sera  comme  Pare  primitif  ANA'B  une  quantity  tres  petite  du 


En  effet  Pare  ANA7  est  plus  petit  que  AB?  il  est  done  du  ni6me  ordre;  la 
distance  AA/  est  done  elle-m£me  du  ^16me  ordre;  Pare  APA'  est  plus  petit 
que  AAj  qui  est  tres  petit,  c'est-a-dire  qui  tend  vers  z^ro  avec  /JL;  ParcAPA'  est 
done  tres  petit  et  sa  courbure  est  finie;  on  peut  done  assigner  une  limile  au 
rapport  de  Pare  APA'  a  sa  corde  AAr;  ce  rapport  est  fini  etAA/  est  du  7^l6me 
ordre;  done  APA'  est  du  ra16me  ordre.  c.  Q.  F.  D» 

D'ailleurs  le  nouvel  arc  APA'B  ne  coupe  plus  Pare  AA<;  il  a  seulement  avec 
lui  une  parlie  commune  APA^. 

On  retombe  done  sur  la  deuxieme  hypothese  qui  a  d6ja  et6  rejetee. 

La  premiere  hypothese  est  done  seule  acceptable  et  le  theoreme  est  d^montre. 

Remarque.  —  Nous  avons  suppose  dans  Penonc^  du  tbdoreme  que  les 
arcs  AAt  et  BBi  sont  tres  petits  et  que  leur  courbure  est  finie.  En  r6alit£  nous 
ne  nous  sommes  servis  de  cette  hypothese  que  pour  montrer  que  si  la 
corde  AA'  est  tres  petite  du  7i!6me  ordre,  il  en  est  de  m£me  de  Pare  APA;. 

Le  theoreme  sera  done  encore  vrai  quand  m£me  Pare  AA4  ne  serait  pas  tres 
petit  et  sa  courbure  finie,  pourvu  qu'on  puisse  assignor  une  limite  sup^rieure 
au  rapport  d'un  arc  quelconque  (faisant  partie  de  ALAI  on  de  BBt)  a  sa  corde. 


ET   LES   EQUATIONS   DE  LA  DYNAMIQUE.  33  1 

CHAPITRE  III. 

THEORIE    DES    SOLUTIONS    PERIODIQUES. 

9.  —  Existence  des  solutions  periodigues. 

Considerons  un  systeme  d'equalions  diff^rentielles 

(0  ^3t**Xt       f'==I'  2'  "*37l) 

ou  les  X  sont  des  fonctions  des  x  el  d'un  paramelre  ft.  Les  X  pourronl  aussi 
d^pendre  de  £,  mais  ce  seront  alors  des  fonctions  p<5riodiques  de  cetie  variable 
et  la  p^riode  sera  2?r. 

Supposons  que  pour  la  valeur  z£ro  du  parametre  /JL,  ces  Equations  admettenL 
une  solution  p^riodique,  de  telle  sorte  que 


f  6tant  une  fonction  p^riodique  du  leraps  donl  la  p6riode  sera  par  exemple  271. 
Posons 


et  cherchons  pour  les  valeurs  tres  pelites  de  /JL  a  trouver  les  valeurs  des  ^  que 
nous  supposerons  egalement  tres  petites,  il  viendra 


dt    ~r   du.    ^^Kdxk 
k 

Dans  les  deriv^es  parlielles  des  X  les  xi  sont  remplac^s  par  les  fonctions  perio- 
diques  <p/.  Les  ^  sont  ainsi  d6termin^s  par  des  Equations  lin^aires  £  second 
membre  dont  les  coefficients  sont  des  fonciions  p^riodiques. 
Deux  cas  peuvent  se  presenter. 

i°  Les  Equations  sans  second  membre  : 


n'admettent  pas  de  solution  p^riodique  de  p<5riode  ^71. 

Dans  ce  cas  les  Equations  a  second  membre  en  admettent  une  que  j'^crirai 

6,«H**(O, 
41  6tant  une  fonction  p^riodique  de  p^riode  27r. 


2°  Les  Equations  sans  second  membre  admettent  une  solution  de  periode  271. 

Aiors  les  Equations  a  second  membre  peuvent  ne  pas  avoir  de  solution 
p6riodique,  de  telle  facon  qu'en  general  nous  trouverons  une  solution  de  la 
forme  suivante  : 


les  ii  tant  toujours  des  fonctions  p^riodiques,  ou  meime  dans  certains  cas 


Placons-nous  dans  le  premier  cas  et  voyons  la  chose  de  plus  pres. 
Gherchons  a  former  une  solution  p^riodique  et  a  la  d^velopper  suivant  les 
puissances  de  JUL;  posons  par  consequent  : 

&i=*  ?i~H  WPi.«-hpa<p2i-f-  ---- 

Quand  on  substituera  a  la  place  des  xl  ces  valeurs  dans  les  X0  on  trouvera 

X*  =  Xo.i'H-  fiXi.i-f-  fJL3X2  z-f-  ---- 

II  est  clair  que  les  X0  /  ne  dependent  que  des  <p,,  les  Xi.i  des  <p/  et  des  <p4.,, 
les  X2  i  des  q?4./  et  des  <p2.,,  etc.  De  plus  si  les  cprt.z-  sont  des  fonctions  p£riodiques 
de  t  de  p6riode  ZK,  il  en  sera  de  m£me  des  Xn  ?. 
Nous  avons  de  plus 


// 
Dans  le  second  membre,  dans  les  d£riv<5es  —  -,  on  doit  substituer  les  9^  a  la 

place  des  xi  ainsi  que  nous  1'avons  fait  plus  haut.  De  plus  Yn./  ne  d^pendra 
que  des  <p/,  des  <5?1(?J  des  cp3./,  ...,  des  o/z-i.?;  mais  ne  dependra  plus  des  <^.f. 
Gela  pos6  on  est  conduit  aux  Equations  suivantes  : 


Supposons  qu'on  ait  d^termin6  Ics  quantit^s  <pi./,  <p2iZ3  .  .  .,  (fn^^  ,  a  1'aide  des 
equations  pr^c^dentes  sous  forme  de  fonctions  p^riodiques  de  £;  on  pourra 
ensuite  a  Faide  des  Equations  (3)  determiner  les  «pn./. 

Ces  Equations  (3)  sont  des  Equations  lineaires  a  second  membre  et  les 
coefficients  sont  p^riodiques. 

Par  hypothese  les  Equations  sans  second  membre 


ET  LES   AQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  333 

qui  ne  sont  autres  que  les  Equations  (2),  n'ont  pas  de  solution  periodique; 
done  les  equations  (3)  en  admettent  une. 
II  resulte  de  la  qu'ilexiste  des  series 


dont  les  coefficients  sont  periodiques  et  qui  satisfont  formellement  aux  equa- 
tions (  i  ). 

II  resterait  a  demontrer  la  convergence  de  ces  series.  Nul  doute  que  celte 
demonstration  ne  puisse  se  faire  directement;  je  ne  le  ferai  pas  toutefois,  car 
je  vais,  en  reprenant  la  question  a  un  point  de  vue  different,  d^montrer  rigou- 
reusement  Pexistence  des  solutions  periodiques,  cequi  entraine  la  convergence 
de  nos  series.  Nous  n'aurons  en  effet  qu'a  nous  appujer  sur  les  principes  les 
plus  connus  du  «  calcul  des  limites  ». 

Soit  <p/(o)  +  (3|  la  valeur  de  xi  pour  t  =  o.  So  it  o/(o)  -{-  y/  la  valeur  de  xi 
pour  £  =  27i.  Les  y/  dependront  evid  eminent  de  fx  et  des  valeurs  initiales  des 
variables  et  elles  s'annuleront  avec  elles. 

Cela  me  permet  d'ecrire 

lt  =  P*4-  afr  H-  Xbik  PA-*-  2[m7  Pl,  p.,  .  ..9pn]v.mffi  ^.  .  ,K»  =  ?/•+-  tyt, 

les  a,  les  b  et  les  [m,  p^7  po?  -  •  •  ?  pn\  etant  des  coefficients  constants. 

On  obtiendra  les  solutions  periodiques  de  periode  2?r  en  cherchant  les  cas 
ouy/=(3/.  On  peut  done  consid^rer  p  com  me  une  donn&e  de  la  question  et 
chercher  a  r^soudre  par  rapport  aui  n  inconnues  |3  les  equations 

(4)  t|/1==<p2  =  ...=  ^n  =  o. 

Nous  savons  que  les  ip  sont  des  fonctions  holomorphes  de  p  et  des  (3  s'annulant 
avec  les  variables.  (  Voir  th^oreme  III,  §  2.) 

Si  le  determinant  fonctionnel  des  ^  par  rapport  aux  (3  (cjest-a~dire  le  deter- 
minant des  bik)  n'est  pas  mil,  on  peut  r^soudre  ces  n  Equations  et  Ton  trouve 
comme  solution 

?/««/(!*), 

les  9f  etantj  d'apres  un  tWoreme  bien  connu,  des  fonctions  holomorphes  de  JJL 
s'annulant  avec  p.  (Voir  theoreme  IV,  §  2.) 

G'est  le  cas  que  nous  avons  etudie  plus  haut  et  ou  les  Equations  (2)  nyont 
pas  de  solution  p^riodique. 

On  doit  en  conclure  que  pour  les  valeurs  de  (x  suffisamment  petites,  les 
Equations  (i)  admettent  une  solution  periodique. 


Supposons  maintenant  que  ie  determinant  fonctionnel  des  fy  soit  nul;  nous 
pourrons  alors,  en  vertu  du  th^oreme  VI  (§  2),  eliminer  entre  les  Equations  (4) 
(34,  (323  .  .  .  ,  $n-il  nous  arriverions  ainsi  a  une  Equation  unique  <&  =  o  dont  Ie 
premier  membre  sera  d^veloppe  suivant  les  puissances  de  p.  et  de  (3n. 

II  n'y  aurait  deception  que  si  les  equations  (4)  n'etaient  pas  distinctes; 
mais  dans  ce  cas  nous  leur  adjoindrions  une  autre  equation  choisie  arbi- 
trairement. 

Si  Ton  regarde  p  et  fin  coinrae  les  coordonnees  d'un  point  dans  un  plan, 
liquation  $  =  o  represents  une  courbe  passant  par  Forigine.  A  chacun  des 
points  de  cette  courbe  correspondra  une  solution  periodique,  de  sorte  que  pour 
4tudier  les  solutions  periodiques  qui  correspondent  aux  pelites  valeurs  de  /JL  et 
des  (3,  il  nous  suffira  de  construire  la  partie  de  cette  courbe  qui  avoisine 
Forigine. 

Si  Ie  determinant  fonctionnel  des  d;  est  nul.  on  aura  (pour  JUL  =  (3n=  o)  : 


En  d'autres  termes,la  courbe  $  =  o  sera  tangente  a  Forigine  a  la 
ou  bien  encore  pour  JJL  =  O;  liquation  ^z^o  sera  une  Equation  en  $n  qui 
admettra  z&ro  comme  racine  multiple;  j'appelle  m  Tordre  de  multiplicity  de 
cette  racine. 

En  vertu  du  th^oreme  V  (§  2)  on  pourra  trouver  m  series  developp^es 
suivant  les  puissances  fractionnaires  et  positives  de  ^5  s'annulant  avec  p.  et  qui 
substitutes  ^  la  place  de  $n  satisfassent  ^  Fequation  <I>  =  o. 

Consid^rons  Fintersection  de  la  courbe  $  ^  o  ou  plut6t  de  la  portion  de 
cette  courbe  qui  avoisine  Forigine  avec  deux  droites  jm  =  £5  p.=  —  s.  tres 
voisines  de  la  droite  JUL  =  O.  On  obtiendra  les  points  d'intersection  en  faisant 
fx  =  £,  puis  fA  =  —  e  dans  les  m  series  dont  je  viens  de  parler. 

Soit  TYI{  Ie  nombre  des  points  d'intersection  de  <5  =  o  et  p.  =  +s  r^els  et 
voisins  de  Forigine,  Soit  /n2  Ie  nombre  des  points  d'intersection  de  $  =  o  et 
p.  —  —  e  r6els  et  voisins  de  Forigine. 

Les  trois  nombres  m,  m^  et  /n2  seront  de  m£me  parit6. 

Si  done  m  est  impair,  m^  et  m2  seront  au  moins  £gaux  a  r.  Done  il  existera 
des  solutions  periodiques  pour  les  petites  valeurs  de  JJL,  tant  positives  que 
negatives. 

Comment  une  solution  p<5riodique  peut-elle  disparaitre  quand  on  fait  varier  p. 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  335 

d'une  maniere  continue?  Comment  peut-il  se  faire  que  le  nombre  des  solutions 
pour  j*  =  -f-  e  soil  plus  petit  que  pour  p.  =  —  s,  que  mi  <  m2  ? 

J'observe  d'abord  qu'une  solution  periodique  ne  peut  disparaitre  quand  /* 
passe  de  la  valeur  —  £  a  la  valeur  -j-£  que  si  pour  jut  =  o,  liquation  $=o 
admet  une  racine  multiple;  en  d'autres  termes  uue  solution  periodique  ne 
peut  disparaitre  qdapres  s'etre  confondue  avec  une  autre  solution  p&rio- 
dique.  De  plus  mi  et  m2  etant  de  m£me  parite,  la  difference  m^  —  m±  est 
to  uj  ours  paire. 

Done  les  solutions  periodiques  disparaissent  par  couples  a  la  fagon  des 
racines  resiles  des  Equations  algebriques. 

Un  cas  parliculier  int^ressant  esl  celui  ou  pour/^  =  o,  les  equations  difFe- 
rentielles  (i)  admettent  une  infinite  de  solutions  periodiques  que  j'ecrirai 


h  6tant  une  constante  arbitraire. 

Dans   ce   cas   les   equations  (4)  ne  sont   plus   distinctes   pour  p.  =  o  et  <(> 
contient  JJL  en  facteur,  de  sorte  que  nous  pouvons  poser 


$!  ^tant  holomorphe  en  j37i  et  fjt.;  d'ailleurs  <1>{  d^pendra  aussi  de  A.  La 
courbe  <6  =  o  se  decompose  alors  en  deux  autres,  &  savoir  la  droile  (*=  o  et 
la  courbe  ^1=  o;  c?est  cette  derniere  courbe  qu'il  convient  d'^tudier. 

La  courbe  <&=  o  passe  forcement  par  Torigine;  il  n'en  est  pas  toujours  de 
meme  de  $1  =  o;  il  faudra  d'abord  s'arranger  pour  1'y  faire  passer,  en  dispo- 
sant  convenableinent  de  h.  Une  fois  qu'on  Py  aura  fait  passer,  on  P6tudiera 
comme  on  a  fait  de  la  courbe  &  =  o. 

d$\ 
Si  pour  JJL  =  (3/i  =  o,  -£--  n'est  pas  nul  (on  plus  g6n£ralement  si  pour  jj.  =  o. 

liquation  ^A=o  admet  (3^=0  comme  racine  multiple  d'ordre  impair],  il  y 
aura  encore  des  solutions  periodiques  pour  les  petites  valeurs  de  p.. 

II  arrivera  souvent  que,  m£me  avant  relimination,  quelques-unes  des 
fonctions  ^  contiennent  /JL  en  facteur.  Dans  ce  cas  on  commencerait  par  diviser 
par  p  les  Equations  correspondantes. 

Si  les  Equations  (i)  admetient  une  integrate  uniforme 

=  const. 


336  SUR  LE  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS 

les  Equations  (4)  ne  seront  pas  distinctes  a  moins  que  Fon  n'ait  a  la  fois 

—  =—  =       =—  =o 
dx\  ~~  dx2  dx}l 

pour 

#i=?i(o);        #2=?2(o),         ...,      ^=9^(0). 

En  effet  il  viendra  identiquement 


rrfi 

Si  par  exemple  pour  2?,-  =r=  ®,(o),  -7  —  n'est  pas  mil;   on  pourra  tirer  de  celte 


Equation  : 


02j  0;})  •  ••;  ®n  ^tant  des  series  ordonn6es  suivant  les  puissances  croissantes 
de/3£,  |33,  .  .  .,  (3*,  0/2,  ^3,  ..  .,  ^«. 

La  premiere  des  Equations  (4)  esl  done  alors  une  consequence  des  n  —  i 
dernieres.  On  la  supprimera  alors  pour  la  remplacer  par  une  aulre  Equation 
choisie  arbitrairement. 

Dans  ce  qui  pr^c^de,  nous  avons  suppos£  que  les  fonctions  X1?  X2?  .  .  .  ,  X^ 
qui  entrent  dans  les  Equations  differenlielles  (i)  dependent  du  temps  t.  Les 
r^sultats  seraient  modifies  si  le  lemps  t  n'entre  pas  dans  ces  Equations. 

II  y  a  d'abord  entre  les  deux  cas  une  difference  qu'il  esl  impossible  de  ne 
pas  apercevoir.  Nous  avions  suppos<§  dans  ce  qui  precede  que  les  Xf-  £laient  des 
fonclions  p^riodiques  du  temps  et  que  la  periode  6tait  271;  il  en  r^sultait  que, 
si  les  Equations  admettaient  une  solution  p£riodique,  la  periode  de  cette  solu- 
tion devait  £tre  6gale  a  ZTC  ou  a  un  multiple  de  271*  Si  au  contraire  les  Xz  sont 
ind^pendants  de  t,  la  periode  d'une  solution  p^riodique  peut  ^tre  quelconque. 

En  second  lieu,  si  les  Equations  (i)  admettent  une  solution  pcriodique  (et  si 
les  X  ne  dependent  pas  de  1)^  elles  en  admettent  une  infinite. 

Si  en  effet 


est  une  solution  pcriodique  des  Equations  (i),  il  en  sera  de  m6me  (quelle  que 
soil  la  constante  A)  de 


Aiasi  le  cas  sur  lequel  nous  nous  sommes  6tendus  d?abord  et  dans  lequel 
pour  p.  —  o,  les  Equations  (i)  admetteat  une  solution  pcriodique  et  une  seule, 
ne  peut  se  prd$enter  si  les  X  ne  dependent  pas  de  t, 


ET  LES   EQUATIONS   DE   LA  DYNAMIQUE.  33? 

Placons-nous  done  dans  le  cas  ou  le  temps  t  n'entre  pas  explicitement  dans 
les  equations  (i)  et  supposons  que  pour  JUE.  =  O,  ces  Equations  admettent  une 
solution  p^riodique  de  p^riode  T  : 


Soit  92(0)  -h  |3;  la  valeur  de  xi  pour  t  =  o;  soit  Of(o)H-y/  la  valeur  de  Xi 
pour  t  =  T  -f-  T.  Posons  ensuite,  comme  nous  Favons  fait  plus  haut, 

7/—  3/==^.. 

Les  41*  seront  des  fonctions  holomorphes  de  ft,  de  (3<3  (32,  .  .  .  .  fin  et  de  r 
s'annulant  avec  ces  variables. 

Nous  avons  done  a  r^soudre  par  rapport  aux  n  -r-  1  inconnues  j5{,  (32:  .  .  .7 
J3n,  T  les  7Z.  Equations 

(5)  ^=62  =  ...=  %=0. 

Nous  avons  une  inconnue  de  trop,  nous  pouvons  done  poser  arbitrairement 
par  exemple 

PTZ=O. 

Nous  tirerons  ensuite  des  equations  (5),  ,34,  |32,  ,..,  J6n_i  et  r  en  fonctions 
holomorphes  de  tu  s'annulant  avec  p..  Cela  est  possible  a  moins  que  le  deter- 
minant 


rfpl 


d&-2  tl&'2 

rfj-tl    "^~ 

dbn       dbn 


ne  soit  nul  pour  fz  =  (3/  =  T  =  o. 

Si  ce  determinant  4tait  nul,  au  lieu  de  poser  arbitrairement  (3^  =  o,  on  pose- 
rait  par  exemple  (3/ =  o,  et  la  m^thode  ne  serait  en  d4faut  que  si  tous  les  d6ter- 
minants  dans  la  matrice 

$1  ~3fa    ""  7^.  i?r 


dr 


II.  P.  —  VII. 


43 


338  SUE  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 

etaient  nuls  a  la  fois.  (II  est  a  remarquer  que  le  determinant  obtenu  en  suppri- 
mant  la  derniere  colonne  decelte  matrice  est  toujours  nul  pour  jjL  =  (3i-  =  T  =  o). 
Comme  en  g^n^ral  tous  ces  determinants  ne  seront  pas  nuls  a  la  fois,  les 
Equations  (i)  admettront.  pour  les  petites  valeurs  de  JJL,  une  solution  p^riodique 
de  p^riode  T  -f-  T. 

10.  —  Exposants  caracteristiqrtes. 

Reprenons  les  equations 
/  ^  r/Xi       -Y 

(I)  -3T=X/ 

et  imaginons  qu'elles  admettent  une  solution  p^riodique 

#/  =  9«(0- 

Formons  les  Equations  aux  variations  (voir  Chap.  I)  des  equations  (i)  en 
posant 

#f=9*(o-i-e/ 

et  n^gligeant  les  carres  des  ?. 

Ces  Equations  aux  variations  s'ecriront 

f»\  <%'       r/X^^^^^      _.rfx^ 

(a)  ^=_;?1+_?^.  ..+  „,„„ 

Ces  equations  sont  Im^aires  par  rapport  aux  £,  et  leurs  coefficients  -j-1  [quand 


on  y  a  remplacd  xi  par  ®i(t)]  sont  des  fonctions  p^riodiques  de  t.  Nous  avons 
done  a  int^grer  des  equations  Iin6aires  a  coefficients  periodiques. 

On  sait  quelle  est  en  general  la  forme  des  solutions  de  ces  Equations;  on 
obtient  n  solutions  particuli^res  de  la  forrne  suivante  : 


(3; 


les  a  6tant  des  constantes  et  les  S/*  des  fonctions  periodiques  de  t  de  m£me 
p6riode  que  les  *fi(t)- 

Les  constantes  a  s'appellent  les  exposanU  caracteristiques  de  la  solution 
periodique. 

Si  a  estpurement  imaginaire  de  fagon  que  son  carr^  soit  n^gatif,  le  module 
de  ea'  est  constant  et  £gal  a  i .  Si  au  contraire  a  est  r6el,  ou  si  a  est  complexe 
de  telle  fagon  que  son  carr6  ne  soit  pas  reel,  le  module  e^  tend  vers  I'infini 


ET   LES   EQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.  .  33g 

pour  £  =  4-oo  ou  pour  t  =  —  GO.  Si  done  tous  les  a  ont  leurs  carr^s  r^els  et 
n^gatifs,  les  quantites  £l5  £a,  .  .  ,  ,  \n  resteront  finies;  je  dirai  alors  que  la  solu- 
tion p^riodique  a?,-=o/(£)  est  stable;  dans  le  cas  contraire,  je  dirai  que  cette 
solution  est  instable. 

Un  cas  particulier  int^ressant  est  celui  ou  deux  ou  plusieurs  des  exposants 
caract6ristiques  a  sont  £gaux  entre  eux.  Dans  ce  cas  les  solutions  des  Equa- 
tions (2)  ne  peuvent  plus  se  mettre  sous  la  forme  (3).  Si  par  exemple  oq  =r  a2, 
les  equations  (2)  admettraient  deux  solutions  particulieres  qui  s^criraient 

£i=e*i<SM         et         $i=te*it$Ll-he*itSi^: 

les  Si,  i  et  les  S/.a  £tant  des  fonctions  periodiques  de  t. 

Si  trois  des  exposants  caracteristiques  6taient  £gaux  entre  eux,  on  verrait 
apparaitre,  non  seulement  £,  mais  encore  t~  en  dehors  des  signes  trigonome- 
triques  et  exponentiels. 

Supposons  que  le  temps  t  n'entre  pas  explicitement  dans  les  Equations  (i)  de 
telle  sorte  que  les  fonctions  X,  ne  dependent  pas  de  cette  "variable;  supposons 
de  plus  que  ces  Equations  (i)  admettent  une  integrals 

(4) 


II  est  aise  de  voir  que  dans  ce  cas  deux  des  exposants  caracl&ristiques  sont 
nuls. 

On  se  trouve  done  alors  dans  le  cas  d'exception  que  nous  venons  de  signaler; 
mais  il  n'en  r^sulte  pas  de  difficult^  ;  il  est  ais6  en  eflfet  a  Faide  de  I'int£grale  (4), 
drabaisser  d'une  unit^  1'ordre  des  equations  (i).  II  n'y  a  plus  alors  que 
n  —  i  exposants  caracteristiques  et  il  n'y  en  a  plus  qu'un  qui  soil  nul. 

Nous  allons  maintenant  envisager  un  cas  particulier  qui  est  celui  ou  les 
equations  (i)  ont  la  forme  des  equations  de  la  Dynamique.  Ecrivons-les  done 

sous  la  forme 

,  ,.  dxi       dF  dn  ftF          ,  .  , 

(I)  W  =  ^       W-^d^       (^i^,--.^), 

F  6tant  une  fonction  quelconque  de  x^  ^2?  •  -  •>  ^«?  yi,  y$<>  •  •  •»  yn\  nous 
pourrons  supposer,  soil  que  F  est  ind^pendant  de  £;  soit  que  F  depend  non 
seulement  des  x  et  des  y,  mais  encore  de  /,  el  que  par  rapport  a  cetie  derniere 
variable,  c'est  une  fonction  p^riodique  de  p<5riode  211. 

Supposons  que  les  equations  (if)  admettent  uae  solution  p^riodique  de 
p^riode  2?r  : 


3^0  SUR   LE   PROBLEMS   DES   TROIS   CORPS 

et  formons  les  Equations  aux  variations  en  posant 


Nous  avons  vu  dans  le  Chapitre  II  que  Pintegrale  double 


est  un  invariant  integral,  ou  (ce  qui  revient  au  meme)  que  si  £z,  m  et  £|.  Y\L 
sont  deux  solutions  particulieres  quelconques  des  Equations  aux  variations, 


on  a 


;—  ?;-nO  =  const. 


Je  dis  qu'il  en  r^sulte  que  les  exposants  caract^ristiques  sont  deux  a  deux  6gaux 
et  de  signe  contraire. 

Soient  en  eflfet  £°  et  YJ°  les  valeurs  initiates  de  £j  et  de  r\L  pour  t  —  o  dans  une 
des  Equations  aux  variations;  soient  £*  et  y^1  les  valeurs  correspondantes  de  £,  et 
de  7)j  pour  t  =  2:1.  II  est  clair  que  les  £/  et  les  YJ/  seront  des  fonctions  lineaires 
des  '^  et  des  yjf  de  telle  sorte  que  la  substitution 


Tp   _-.  / 
1    — 


sera  une  substitution  lin^aire. 
Soit 


le  tableau  des  coefficients  de  cette  substitution  lin^aire. 
Formons  liquation  en  ^ 


I —  A  #12  •  •  •  #1.2/1 


Les  27i  racines  de  cette  Equation  seront  ce  qu'on  appelie  les  2/1  multiplicateurs 
de  la  substitution  lin£aire  T.  Mais  cette  substitution  lin^aire  T  nepeut  pas  £tre 
quelconque.  II  faut  qu'elle  n'altere  pas  la  forme  bilineaire  ^(lif][ — ^t*).  Pour 
cela?  liquation  en  1  doit  etre  r^ciproque.  Si  done  on  pose  l  =  e-art,  les  quan- 

tit^s  a  devront  Stre  deux  a  deux  6gales  et  de  signe  contraire. 

c.  Q. 


F.     D. 


ET   LES   EQUATIONS  DE   LA  DYNAMIQUE.  34  1 

II  y  aura  done  en  general  ji  quantites  a2  distinctes.  Nous  les  appellerons  les 
coefficients  de  stabilite  de  la  solution  p^riodique  consid^r^e. 

Si  ces  n  coefficients  sont  tons  reels  et  n^gatifs,  la  solution  p^riodique  sera 
stable,  car  les  quantiles  Ej  et  YJ;  resteront  inf£rieures  a  une  limite  donnee. 

II  ne  fautpas  toutefois  entendre  ce  mot  de.stabilite  au  sens  absohu  En  effet, 
nous  avons  neglige  les  carres  des  £  et  des  yj  et  rien  ne  prouve  qu'en  tenant 
compte  de  ces  carres,  le  resultat  ne  serait  pas  changd.  Mais  nous  pouvons  dire 
au  moins  que  les  £  et  77,  s'ils  sont  originairement  tres  petits,  resteront  tres 
petits  pendant  tres  longtemps.  Nous  pouvons  exprimer  ce  fait  en  disant  que  la 
solution  periodique  jouit,  sinon  de  la  stabilite  sgculaire,  du  moins  de  la  stabi- 
lit£  temporaire. 

On  peut  se  rendre  compte  de  cette  stabilite  en  se  reportantauxvaleurs  des  £,•; 
on  trouve  en  effet,  pour  la  solution  g6n6rale  des  equations  aux  variations, 


les  A/c  etant  des  coefficients  constants  et  les  S//t-  des  series  trigonom6triques. 
Or  si  a|  est  r^el  negatif,  on  trouve 


de  sorte  que  £/  s'exprime  trigonom^triquement. 

Au  contraire  si  un  ou  plusieurs  des  coefficients  de  stability  devient 
positif  ou  imaginaire,  la  solution  periodique  consider^e  ne  jouit  plus  de  la 
stabilite  temporaire. 

On  voit  aisement  en  effet  que  £f  est  alors  repr4sent6  par  une  s6rie  dont  le 
terme  general  est  de  la  forme  A  eht  co$(kt  +  mt  +  I),  ou  (h  +  «/r)2  est  un  des 
coefficients  de  stability  ou  m  est  un  entier  et  I  et  A  des  constantes  quel- 
conques.  Le  d^faut  de  stability  se  trouve  ainsi  mis  en  evidence. 

Si  deux  des  coefficients  de  stability  deviennent  &gaux  entre  eux3  ou  si  Fun 
d'eux  devient  nul,  on  trouvera  en  g6n6ral  dans  la  s6rie  qui  repr^sente  |/  des 
termes  de  la  forme 

s(A^  -h  mt  -4-  /)    ou    A^c 


En  r£sum£,  ^  peut  dans  tous  les  cas  ^tre  repr^sent4  par  une  s6rie  toujours 
convergente.  Dans  cette  s^riele  temps  peut  entrer  sousle  signe  sinus  ou  cosinus, 
ou  par  Fexponentielle  eht,  ou  enfin  en  dehors  des  signes  trigonom6triques  on 
exponentiels- 

Si  tous  les  coefficients  de  stability  sont  r^els,  n6gatifs  et  distincts,  le  temps 


342  SUR  LE  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS 

n'apparaitra  que  sous  les  signes  sinus  el  cosinus  et  il  y  aura  stabilite  tern- 
poraire. 

Si  Fun  des  coefficients  est  positif  ou  imaginaire,  le  temps  apparailra  sous  un 
signe  exponentiel;  si  deux  des  coefficients  sont  6gaux  ou  que  Fun  d'eux  soit 
nul,  le  temps  apparait  en  dehors  de  tout  signe  trigonomtUrique  ou  exponentiel. 

Si  done  lous  les  coefficients  ne  sont  pas  reels,  negatifs  et  distincts,  il  n'y  a 
pas  en  general  de  stability  temporaire. 

Toutes  les  fois  que  F  ne  depend  pas  du  temps  t,  Pun  des  n  coefficients  de 
stability  est  nul;  car  d'une  part  le  temps  n'entre  pas  explicitement  dans  les 
Equations  diff^rentielles;  d'autre  part  ces  Equations  admettent  une  integrate 


xn\  j 


.,  r«)  =  const. 


Nous  nous  trouvons  done  dans  le  cas  dont  nous  avons  parle  plus  haut  et  ou 
deux  des  exposants  caracl^ristiques  sont  nuls*  Mais,  comme  nous  Pavons  dit, 
cela  ne  peut  creer  une  difficulte  parce  que  Fon  peut,  a  Paide  de  Pint(§grale 
connue,  abaisser  a  2/z  —  i  Pordre  des  Equations  (i7).  II  n'y  a  plus  alors  que 
2/1  —  i  exposants  caract^ristiques;  Pun  d'eux  est  nul  et  les  2/1  —  2  autres,  aux 
carres  desquels  on  peut  conserver  le  nom  de  coefficients  de  stability,  sont  deux 
a  deux  6gaux  et  de  signe  contraire. 

Reprenons  le  determinant  que  nous  avons  eu  a  envisager  dans  le  paragraphe 
precedent. 

Nous  avons  dans  ce  paragraphe  envisage  d'abord  le  cas  ou  les  Equations  (i) 
dependent  du  temps  C  et  d?un  parametre  fi,  et  admettent  pour  p.  =  o  une  solu- 
tion p^riodique  et  une  seule.  Nous  avons  vu  que  si  le  determinant  fonctionnel 


les  Equations  admettront  encore  une  solution  periodique  pour  les  petites  valeurs 
de  p.. 
Ce  determinant  peut  s'ecrire 


A  = 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE. 

Or  les  exposants  caracteristiques  z  sont  donnas  par  liquation 


343 


Dire  que  A  est  nul,  c'est  done  dire  que  Fun  des  exposants  caracteristiques 
est  nul,  de  sorte  que  nous  pouvons  enoncer  de  la  facon  suivante  le  premier  des 
th^oremes  demontr^s  au  paragraphe  precedent. 

Si  les  equations  (i)  qui  dependent  d'un  parametre  p.  admettent  pour 
p  =  o  une  solution  p&riodique  dont  aueuri  des  exposants  caracteristiques 
ne  soit  nul,  elles  admettront  encore  une  solution  p^riodique pour  les petites 
valeurs  de  JJL. 


11.  —  Solutions  periodiqnes  des  equations  de  la  Dynamique. 

Je  prendrai,  pour  fixer  les  id6es,  les  Equations  de  la  Dynamique  avec 
trois  degres  de  liber t6,  mais  ce  que  je  vais  dire  s'appliquerait  ^videmment  au 
cas  g6n6ral.  J'ecrirai  done  mes  Equations  sous  la  forme 


dx\ 


dt 


dP 


dx* 
~dt 
dy, 
dt 


dF 

d¥ 
dx^ 


£?X9 

dt 
"5F 


F  etant  une  fonction  uniforme  quelconque  des  x  et  des  y,  ind^pendante  de  t. 

Je  supposerai  ensuite  que  ^i,  ^2  et  x%  sont  des  variables  lineaires,  raais 
que y\,  v$  ^y-A  sont  des  variables  angulaires,  c*est-a-dire  que  F  est  une  fonc- 
tion pdriodique  de  y^  y*  ety3  avec  la  p&riode  271,  de  telte  fa^on  que  la  situa- 
tion du  syst&me  ne  change  pas  quand  une  ou  plusieurs  des  trois  quantit^s  y 
augmente  d'un  multiple  de  2:1.  (Cf.  Chap.  I.) 

Je  supposerai  de  plus  que  F  depend  d'un  parametre  arbitraire  p.  et  peut  se 
d^velopper  suivant  les  puissances  croissantes  de  ce  parametre  de  telle  sorte  que 
Ton  ait 

F  = 


344  -  SUR   LE   PROBLEMS   DES   TROIS  CORPS 

Je  supposerai  enfin  que  F0  ne  depend  que  des  x  et  est  ind^pendant  des  y  dc 
telle  sorte  que 


Rien  n'est  plus  simple  alors  que  d'int6grer  les  equations  (i)  quand  JJL  =  O; 
elles  s'^erivent  en  efFet 

dx\  __  dx*  _  dx$  __ 
~dt    =  ~dt    =  ~dt    =  °5 

dy<\  ___  __  flF0  dr$  __  __  dFo  dyz  _  _  ^FO 

dt    ~       dx\  dt    "~       dx*  dt  dx$ 

Ges  Equations  montrent  d'abord  que  x±,  x*  et  x%  sont  des  constantes.  On  en 


conclut  que  —    —  ^?  —  -r-%  —  -T-?  qui  ne  dependent  que  de  ^,  x^  el  ^3  sont 

aussi  des  constantes  que  nous  appellerons  pour  abroger  n^  n*  et  /z3  et  qui  sont 
completement  defimes  quand  on  se  donne  les  valeurs  constanles  de  xi:  x%  et  x%. 
II  vient  alors 

yi==  mt^-  tff1}          J'2=  ^ 


CTI,  zjj2  et  w3  t^tant  de  nouvelles  constantes  d'int^gration. 

Quelle  est  la  condition  pour  que  la  solution  ainsi  trouv^e  soit  periodique  et 
de  periode  T?  II  faut  que  si  Ton  change  t  en  t  4-  T,  y+,  y*  et  j-3  augmentent 
d'un  multiple  de  STT,  c'est-a-dire  que  /^iT,  n%T  et  /i3T  soient  des  multiples 
de  arc. 

Ainsi  poar  que  la  solution  que  nous  venons  de  trouver  soit  periodique,  il 
faut  et  il  suffit  que  les  trois  nombres  /21?  /z2  et  7^3  soient  commensurables  entre 
euxj  du  moins  a  un  m£me  facteur  pres. 

Nous  exclurons,  au  moins  provisoirement  de  nos  recherches,  le  cas  ou  les 

trois  fonctions  -r-^?  ^-^  et  -j-  ?  ne  sont  pas  independantes  Fune  de  Tautre.  Si  on 


laisse  ce  cas  de  cdt6?  on  peut  toujours  choisir  x±,  x%  et  x%  de  Lelle  fa^onque  n^ 
n*  et  n>&  aient  telles  valeurs  que  1'on  veut,  au  moins  dans  un  certain  domaine. 
II  y  aura  done  une  infinite  de  choix  possibles  pour  les  trois  constantes  3?l5  x* 
et  x^  qui  conduiront  a  des  solutions  p^riodiques. 

Je  me  propose  de  rechercher  s'il  existe  encore  des  solutions  p^riodiques  de 
periode  T  lorsque  p.  n'est  plus  egal  a  zero. 

Pour  le  prouver  je  vais  employer  un  raisonnement  analogue  a  celui  du  para- 
graphs 9. 


ET   LES   AQUATIONS   DE   LA    DYNAMIQUE.  345 

Supposons  que  4u  cesse  d'etre  nul,  et  imaginons  que,  dans  une  cerlaine  solu- 
tion, les  valeurs  des  x  et  des  y  pour  t  =  o  soient  respectivernent  : 

Xi  =  a  i  -+~  0#i,  a?a  =  <7a  -4-  Oa2;  ^:;  =  «:j  -t-  O^rj, 

^•j, 


Supposons   que.    dans    cette  m£me  solution,   les   valeurs    des   x  el  des  y 
pour  £  =  T  soienr, 


/^t  T  -r-  owi  H-  Anij, 

/ia  T  -+-  OH)  2  -h  AT772: 
/I,'!  T  -4-  OW3  -4-  AW;j. 

La  condition  pour  que  cetle  solution  soit  periodique  de  p6riode  T  est  que 
1'on  ait 

(  2  )  A 


Les  six  Equations  (2)  ne  sont  pas  distinctes.  En  efFet,  conime  F  =  const,  est 
une  int^grale  des  equations  (i),  et  que  d'ailleurs  F  est  periodique  par  rapport 

aux  r,  on  a 

v  « 


F(ai-h  of.fi 

=  F  (  a  i  •+•  oat  -4-  Aa/,  TU/  -4-  ony^  -4-  ATO/  ). 

II  nous  suffira  done  de  satisfaire  a  cinq  des  Equations  (2).  Je  supposerai  de  plus 


ce  qui  revient  a  prendre  pour  origine  du  temps  l'e"poque  ou  y±  est  nul.  11  est 
ais£  de  voir  que  les  Aa?-et  les  Aw;-  sont  des  fonctions  holomorphes  des  p.,  desSa/ 
et  des  OZZT/  s'annulant  quand  toutes  ces  variables  s'annulent. 

II  sjagit  done  de  d^montrer  que  Pon  peut  tirer  des  cinq  dernieres  Equa- 
tions (2)  <5a4,  oa2?  oa;i?  $m%  et  otujj  en  fonctions  de  p.. 

Remarquons  que  quand  ^  est  nul,  on  a 

Aai  =  A«2  ==  A#;j  =  o. 

Par  consequent  Aai,  Aa<*  et  Aay,  d^velopp6s  suivant  les  puissances  de  ju., 
des  dai  et  des  SraFj,  contiennent  p.  en  facteur.  Nous  supprimerons  cefacteur  ^, 
et  nous  e*crirons  par  consequent  les  cinq  Equations  (2)  que  nous  avons  a 
r6soudre  sous  la  forme 


/nx 

(  3  )  -  = 

H-  F 

H.  P.  —  VIL  44 


46  SUR   LE   PROBLEME   DES   TROIS   CORPS 

11  nous  faut  determiner  w*  et  sj,t  de  telle  facon  que  ces  Equations  soient  satis- 
faites  pour 

(4)  U  =  OH7^  =   OW's  =  oY/  |  =  Or/o=  OC/y=  O. 

Voyons  ce  que  devieunent  les  premiers  membres  des  Equations  (3)  quand  on  y 
fait  p.  =  o. 
II  vient 


d'ou 


et  de  mfime 


II  importe  d'observer  que  dans  F0  il  faut  remplacer  ^,  x*  et  ^?.}  par  a±  +  da^, 
a2  +  3^a,  a3+  <?#3  ;  en  efFet  pour  p.  —  o,  F  se  reduit  a  F0  el  ^i:  a?2,  #3  a  des 
coastantes  qui  reslent  cons  tarn  ment  6gales  a  leurs  valeurs  initiales  ai 


II  vient  d?autre  part 


ou  puisque  F0  ne  depend  pas  de  J2 

'- 


ou 


pour  p~  o  : 


Supposons  que  p,  les  STZT  et  les  oa  soient  nuls  a  la  fois;  il  faudra  alors  faire 
dans  FI  : 


F1  devicadra  alors  une  fonction  p^riodique  de  t  de  periode  T,  etune  fonction 
p^riodique  de  w2  et  de  w%  de  periode  271. 

Soit  fy  la  valeur  moyenne  de  F±  consid^r^e  comme  fonction  p^riodique  de  t. 
II  viendra 


=  T 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  347 

et  de  meme 

A^  ^  T  M  f 

U  £/rj;{ 

Nous  clevons  done  choisir  m*  et  S7:J  de  facon  a  satisfaire  aux  equations 

,  .  d*b         clb 

(j)  ~^-  =  —i-  =  o. 

r/TFTo  <r/t«?3 

Gela  est  loujours  possible;  eneffet  la  fonction  6  est  p&riodique  entt^et  ensyn 
et  elle  esL  flnie;  done  elle  a  au  moms  un  maximum  et  un  minimum,  pour  les- 
quels  ses  deux  d6rivees  doivent  s'annuler.  Quand  on  aura  choisi  de  la  sorte  rar2 
et  ST..,,  on  verra  que  les  Equations  (3)  sont  satisfaites  quand  on  y  fait  a  la  fois 

JJ.  =  StUs  =  655  3  =  <>a\  =  Or/2  =  3(i/3  =  O. 

Nous  pourrons  done  tircr  des  Equations  (3)  les  cinq  inconnues  oai  et  QGJ/ 
sous  la  forme  de  fonctions  holomorphes  de  /JL,  s'annulant  avec  (a.  II  n7y  aurait 
d'exception  que  si  le  determinant  fonctionnel 


etait  nul.  Mais  pour  p.  =  o,  Adi,  Asj2  et  Ads  sont  independants  de  3nj^  et 
de  OST:IJ  de  sorte  que  ce  determinant  fonctionnel  est  le  produit  de  deux  autres 


rsra,  A-GJ.->) 


Si  Ton  supprime  les  facteurs  Ta  et  —  T3,  le  premier  de  ces  determinants  est 
au  hessien  de  ^  par  rapport  a  cia  et  3Ta  et  le  second  au  hessien  de  F0  par 
rapport  a  #J,  xl  et  j?!|. 

Si  done  aucun  de  ces  deux  hessiens  n'est  nul,  il  sera  possible  de  salisfaire 
aux  einq  Equations  (3)  et  par  consequent  pour  des  valeurs  suffisamment 
petites  de  jz,  il  existera  une  solution  p^riodique  de  T.  c.  Q.  F.  D. 

Nous  allons  maintenant  chercher  a  determiner,  non  plus  seulement  les 
solutions  periodiques  de  periode  T,  mais  les  solutions  de  periode  peu  diff6- 
rente  de  T.  Nous  avons  pris  pour  point  de  depart  les  trois  nombres  ni,  n%,  n%  ; 
nous  aurions  pu  tout  aussi  bien  choisir  trois  autres  nombres  n\*  n^  n^ 
pourvu  qu'ils  soient  commensurables  entre  eux,  et  nous  seripns  arrives  a  une 
autre  solution  p6riodique  dont  la  periode  T  aurait  ete  le  plus  petit  common 

T  .  T     ,    27:    2?r    2^ 
multiple  de  -7  5  -7  >  ~r  * 
"  n       n      « 


348  SUR  LE  PROBLEME  DES  TR01S  CORPS 

Si  nous  prenons  en  particulier 

n\  =  7Zi(i-j-  s),         flo  =  #2(1  -f-  £),         ^3  =  rt3(i-i-  s), 

les  trois  nombres  /i'1?  /i'2?  wa  seront  commensurables  enlre  eux,  puisqu'ils  sont 
proportionnels  aux  trois  nombres  Wi,  #2  et  72-3  • 

II  nous  conduironl  done  a  une  solution  p^riodique  de  p^riode 


— 

de  telle  facon  que  nous  aurons 
(6)  xi=  ot(t,  u,  s)y        yt 

les  <p/  et  les  ®.  6tant  des  fonctions  developpables  suivant  les  puissances  de  fx  et 
de  e,  et  p^riodiques  en  t,  mais  de  facon  que  la  periode  depende  de  e. 

Si  dans  F  nous  remplacons  les  #£  et  les  yi  par  leurs  valeurs  (4),  F  doit 
devenir  une  constante  ind^pendante  du  temps  [puisque  F  =  const,  est  une  des 
integrales  des  equation  (i)].  Mais  cette  constante  qui  est  dite  constante  des 
forces  vives,  d^pendra  de  p.  et  de  £  et  pourra  etre  d6veloppee  suivant  les  puis- 
sances croissantes  de  ces  variables, 

Si  la  constante  des  forces  vives  B  est  une  donn^e  de  la  question,  liquation 
F(p.,  e)  =  B  peut  etre  regard6e  comme  une  relation  qui  lie  £  a  JUL.  Si  done  nous 
nous  donnons  arbitrairement  B,  il  existera  toujours  une  solution  p^riodique 
quelle  que  soit  la  valeur  choisie  pour  cette  constante,  mais  la  periode  dependra 
de  e  et  par  consequent  de  p. 

Un  cas  plus  particulier  que  celui  que  nous  venons  de  traiter  en  detail  est 
celui  ou  il  n'y  a  que  deux  degrds  de  liberte.  F  ne  depend  alors  que  de  quatre 
variables  #1,  jt>  a?2,  y$  et  la  fonction  d>  ne  depend  plus  que  djnne  seule 
variable  3j2*  L^s  relations  (5)  se  r^duisent  alors  a 


et  le  hessien  de  d»  se  r^duit  a  -^t»  D?ou  cette  conclusion  : 

T  onyf 

A  chacune  des  racines  simples  de  liquation  (7)  correspond  une  solution 
p^riodique  des  Equations  (i),  qui  existe  pour  toutes  les  valeurs  de  p  suffi- 
samment  petites. 

Je  pourrais  m^me  ajouter  qu'il  en  est  encore  de  meme  pour  chacune  des 
racines  d'ordre  impair  ainsi  que  nous  1'avons  vu  au  paragraphs  9,  et  que  cette 
equation  admet  toujours  de  pareilles  racines,  puisque  la  fonction  it  a  au 


ET   LES  EQUATIONS  DE   LA   DYNAMIQUE. 

moins  urx  maximum  qui  no  peut  correspondre  qu'aux  racines  impaires  de 
liquation  (7). 

Revenons  au  cas  oii  Ton  a  trois  degr£s  de  liberl£,  et  ou  la  periode  est 
constante  el  £gale  a  T. 

Je  dis  que  xi:  #2,  XA,  y±,  r*,  y±  peuvent  se  developper  suivant  les  puissances 
croissantes  de  p..  En  effet,  en  verlu  du  theoreme  III(§  2),  les  x  et  les y  peuvent 
etre  d6velopp£s  suivant  les  puissances  de/x;  et  de  oal5  <3a2?  oa3.  osj2  et  ocv  Mais 
imaginons  que  Ton  ail  determine  les  oa  etles  057  de  fagon  que  la  solution  soit 
periodique  de  periode  T.  On  tirera  alors  les  oa  et  les  GET  des  equations  (3) 
sous  la  forme  de  series  ordonn^es  suivant  les  puissances  de  JJL,  de  sorte  que  les 
x  et  les  y  seront  finalement  ordonn^es  suivant  les  puissances  de  fjt.. 

La  solution  devant  ^tre  periodique  de  periode  T  quel  que  soit  p,  les  coeffi- 
ficients  des  diverses  puissances  de  /j,  seront  des  fonctions  p6riodiques  de  t. 

Remarquons  de  plus  que  Ton  peut  toujours  supposer  que  Torigine  du  temps 
ait  et£  choisie  de  telle  sorte  que  y\  s'annule  avec  t,  et  que  cela  ait  lieu  quel  que 
soit  f/..  Alors  pour  t  =  o  on  aura 


L'existence  et  la  convergence  de  ces  series  £tant  ainsi  6tablie,  je  vais  deter- 
miner les  coefficients. 

Pour  cela,  je  vais  chercher  a  satisfaire  aux  equations  (i)  en  faisant  (*} 


r2  =  y\  -4-  fxjKi  -i-  ,a2 y\ 


Dans  ces  formules  x\,  x\,  x\  d^signenl  les  valeurs  constantes  que  j'avais  <He 
conduit  plus  hauta  attribuer  a  x^  x%  et^  quand  jesupposais^zrz:  o  etquisont 
telles  que 

d    wo(^J,^,  ^,  )«-«i,          ~Fo(^?    x»   xl)=-n. 

uJG.£ 


Les  chiffres  places  en  haut  des  lettres  x  et  y  dans  les  Equations  <8)  sont  des  indices  et 


non  des  exposants 


35o  SUR  LE  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS 

On  a  de  plus  ([ ) 

Enfin  les  a?/,  lesy/,  les  x?:  lesyf,  etc.  sontdes  fonctions  du  temps  qu'il  s'agira 
de  determiner  et  qui  devront  £tre  pdriodiques  de  periode  T. 

Dans  F?  a  la  place  des  x  et  des  y,  subslituons  leurs  valeurs  (8),  puis  deve- 
loppons  F  suivant  les  puissances  croissantes  de  p.  de  telle  sorte  que  1'on  ait 

F  =  $o  -f 
II  est  clair  que 

ne  depend  que  des  XQL  ;  que 

(9)  $1    =     Fl(  J?l,     J"9,      JC(\)     }      l;    J/J,     J 

ne  depend  que  des  x^  des  y*  et  des  x-  ;  que  $2  ne  depend  que  des  ^°,  des 
des  x\)  des  j?  et  des  x;,  etc. 

Plus  g^neralement,  jepuis  ecrire 


?      -™  =  ex-—  /ii^   —  n— 


ou  GA  depend  seulement  de.s  a??,  des^]?  ...  el  des^rf"1,  desjy/,  des  j\l,  .  .  .  et 
desjf-1. 

Je  puis  ajouter  que  par  rapport  a  j-J,  j°?  yl  ^a  fonction  0^.  est  une  fonction 
p6riodique  de  periode  2:1.  Liquation  (9)  montre  que  ©<  --^  FI. 

Gela  pose  les  Equations  dijfF^rentielles  peuvent  s'ecrire,  en  £galant  les  puis- 
sances de  meme  nom  de  fji  : 


dt          dt          dt          ;  dt  [}  dt  ~:  dt 

On  trouve  ensuite 

(I0)  ^i=^,       ^=^Ei,       ^^^/FV, 

et 

^  f/X{\  ' 


(J)   Un   changement  convenable   de   variables  permet  (Methodes  nouvelles,    t.   I,  §  44)  des 
rendre  nuls  /?2  et  nz  et  de  simplifier  amsi  la  determination  effective  des  coefficients  des  serie 

[jr.  L.]. 


ET  LES  EQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.  35 1 

et  plus  g^n^ralement 

do')  C^L  =  c^k 

et 

Int^grons  d'abord  les  equations  (10).  Dans  F4  nous  remplacerons  vr",  y\^  y*t 
par  leurs  valeurs 

Puisque  y\  doit  s'annuler  avec  t,  w±  sera  nul.  Alors  les  seconds  membres 
des  equations  (10)  sont  des  fonctions  p^riodiques  de  t  de  p^riode  T;  ces 
seconds  membres  peuvent  done  etre  d^velopp^s  en  series  proc^dant  suivant  les 

sinus  et  les  cosinus  des  multiples  de  ^--  Pour  que  les  valeurs  de  #|,  x\  etarl 

tiroes  des  Equations  (ro)  soient  des  fonctions  periodiques  de  /,  il  faut  etil  suffit 
que  ces  series  ne  contiennent  pas  de  termes  tous  connus. 
Je  puis  ^crire  en  effet  : 

F!  =  2  A  sin  ( m\y\  -+-  rn*y\  -f-  m3j*S  •+•  h  ), 

o\i  m{,  m2,  m3  sont  des  entiers  positifs  ou  negatifs  et  ou  A  et  h  sont  des  fonc- 
tions de  a?J,  #!!>  xl-  J'^crirai  pour  abr^ger  : 

FI  =  2  A  sin  o; 
en  posant 


Je  trouverai  aloi%s 

^Fi  </Fi       _  v  rfFi       _  . 

-—  -  =  2A/7ii  costj),         -T—  j  =s  S  A  7tt.>  cos  to,         —  -•  ss  S  A  7/23  cos  to 


et 

-  h 


Paroii  les  termes  de  ces  series,  je  distinguerai  ceux  pour  lesquels 

mi  ni  -f-  7^2  n2  -h  m3  /Xa  =  o 


et  qui  sont  ind^pendants  de  t.  Ces  termes  existent  puisque  nous  avons  suppos^ 
que  les  trois  nombres  /it,  n*  et  /j3  sont  commensurables  entre  eux. 
Je  poserai  alors 

<j>  s=  V  A  sino>         (/Tti/ii-h  ms/Za-j-  7713713=  o,  oa  =  ^  -f-  ma  iff  a  4-  772.3733), 


352  "  SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 

» 

la  sommation  representee  par  le  signe  W  s'elendant  a  lous  les  termes  deFt  pour 
lesquels  le  coefficient  de  t  est  mil.  Nous  aurons  alors 

dh        n  *  ^         O  * 

~-  =  V  A  m»  cos  to,  ~-  =  V  A  /ns  cos  to. 

<afe2       kJ  d&.\        kJ 

Si  done  on  a 

d>b  _  d'b  _ 

(12)  ^7~^""0) 

il  viendra 

(13)  X  A  mL  cos  co  =  o,          W  A  m2  cos  to  =  o,          V  A/?z3  cosco  =  o. 

La  premiere  des  Equations  (i  i)  est  en  effet  une  consequence  des  deux  autres, 
puisque  en  vertu  de  la  relation  mi/i,  -j-  m2n^-}-m^n3  ==o,  on  a  identiquement 

Tii  V  A  m  [  cos  oo  -4-  71-2  V  A  rn*>  cos  to  -4-  ^s  W  A  my  cos  to  =  o. 

Si  done  les  relations  (12)  sont  satisfaites,  les  series  iAm/  cosw  ne  contiendront 
pas  delerme  tout  connu,  et  les  equations  (10)  nous  donneront 

sin  to  t  _^  A  mg  sin  to  j 


CJ,  G^,  Ci  6taat  trois  nouvelles  constantes  d'int^gration. 

II  me  reste  a  d^montrer  que  Ton  peut  choisir  les  conslantes  ccro  et  «sj3  de  faeon 
a  satisfaire  aux  relations  (10).  La  fonction  d;  est  une  fonction  periodique  de  TITO 
et  de  ^3  qui  ne  change  pas  quand  Tune  de  ces  deux  variables  augmente  de  271. 
De  plus,  elle  estfinie,  elle  aura  done  au  moins  un  maximum  et  un  minimum. 
II  y  a  done  au  moins  deux  manieres  de  choisir  w%  et  sy3  de  facon  a  satisfaire  aux 
relations  (12). 

Je  pourrais  meme  ajouter  qu'il  y  en  a  au  moins  quatre,  sans  pouvoir  toute- 
fois  affirmer  qu'il  en  est  encore  de  meme  quand  le  nombre  de  degres  de  Iibert6 
est  sup^rieur  a  trois. 

Je  vais  maintenant  chercher  a  determiner  a  Faide  des  equations  (i  i)  les  trois 
fonctionsy/  et  les  trois  constantes  C/. 

Nous  pouvons  regarder  comme  connus  les  xf  et  les  y\\  les  x\  sont  connus 
egalement  aux  eonstantes  pres  Q.  Je  puis  done  dcrire  les  Equations  (i  i)  sous  la 
forme  suivante  : 


_ 
dx\  dx* 


ET  LES   EQUATIONS-  DE   LA   DYNAMIQUE.  353 

oii  les  Hz  represented  des  fonctions  entierement  connues  dtSveloppees  en  series 
suivantles  sinus  et  cosinus  des  multiples  de  -^-  Les  coefficients  de  CJ,  Cl  et 
Cl  sont  des  constantes  qaePon  pent  regarder  comme  connues. 

Pour  que  la  valeur  de  yi  tiree  de  cette  Equation  soil  une  fonction  periodique 
de  t,  il  faut  et  il  suffit  que  dans  le  second  membre  le  terme  tout  connu  soil  nul. 
Si  done  H?  designe  le  terme  tout  connu  de  la  serie  Irigonom6trique  HI,  je 
devrai  avoir 

* 


. 
bl  dx\  dx*  ~"~     -  dxl  cf^  ^ 

Les  trois  equations  lin^aires  (i5)  d£terminent  les  trois  constantes  CJ,  Cl  et  Gl. 

II  n'y  aurait  d'exception  que  si  le  delerminant  de  ces  trois  equations  etail 
nul;  c'est-a-dire  si  le  hessien  de  F0  par  rapport  a  x\,  x\  et  x\  ^tait  nul;  nous 
exclurons  ce  cas. 

Les  Equations  (i4)  me  donneront  done 


les  YJ/  ^tant  des  fonctions  p^riodiques  de  t  enti&rement  connues  s'annulant 
avec  t,  et  les  A-/  6tant  trois  nouvelles  constantes  d'int^gration. 

Venons  mainlenant  aux  Equations  (ior)  en  y  faisant  /r=2et«  =  i,  2,  3  et 
cherchons  a  determiner  a  1'aide  des  trois  equations  ainsi  obtenues,  les  trois 
fonctions  xf  et  les  trois  constantes  k\  . 

II  est  ais6  de  voir  que  nous  avons 


ou  a2  depend  seulement  des  ar,°,  des 
haut 


f  et  des  x\  et  oii  Ton  a,  comme  plus 


-» 
' 


Les  Equations  (  ior)  s^crivent  alors 


ou 


sinco  — 


sinto  — 


^  4tant  une  fonction  p^riodique  de  ^,  que  Ton  peut  regarder  comme  entiere- 
H.  P.  —  VII.  4^ 


354  SUR   LE   PROBLE1ME   DES   TROIS   CORPS 

meat  connue.  Pour  que  Fon  puisse  tirer  de  cette  equation  x\  sous  la  forme 
d'une  fonction  periodique,  il  faut  et  il  suffit  que  les  seconds  membres  des 
6qualions  (16),  developp^s  en  series  trigonom^triques,  ne  possedent  pas  de 
termes  tout  connus.  Nous  devons  done  disposer  des  quantit^s  k\  de  maniere  a 
annuler  ces  lermes  tout  connus.  Nous  serions  ainsi  conduits  a  trois  Equations 
lineaires  entre  les  trois  quantites  k\ ;  mais  comme  le  determinant  de  ces  trois 
Aquations  est  nul,  il  y  a  une  petite  difficulte  et  je  suis  forc£  d'entrer  dans 
quelques  details. 

Comme  y\  s'annule  avec  t,  on  doit  avoir  k\  =  o ;  nous  n'aurons  plus  alors 
que  deux  inconnues  k\  et  k\  et  trois  Equations  a  satisfaire ;  mais  ces  trois 
Aquations  ne  sont  pas  distinctes  comme  nous  allons  le  voir. 

Appelons  en  efifet  Ez-  le  terme  toutconnu  de  HJ ,  ces  trois  equations  s'^criront 


Ej  =  A" i  W  A  ;?i2  m\  sin  oj  -f-  k\  W  A  /??:>  /?ii  sin  to, 
E-2  =  k\  V  Am|  sin  to  -f-  /cj  W  A  7713771-2  sino), 
E3  =  A\2  W  A  m->  m?,  sin  to  -f-  £i,  W  A  m\  sin  to, 

en  conservant  au  signe  de  sommation  >1  le  meme  sens  que  plus  haut.  Jene  con- 
sid^rerai  d'abord  que  les  deux  dernieres  des  Equations  (17)  que  j'^crirai 


De  ces  deux  equations  on  peut  tirer  k\  et  £1,  a  moins  que  le  hessien  de  ^  par 
rapport  a  OT2  et  s^  ne  soit  nuL  Si  Ton  donne  aux  k\  les  valeurs  ainsi  obtenues, 
les  deux  dernieres  Equations  (16)  nous  donneront  x\  et  x\  sous  la  forme 
suivante  : 

les  y  £tant  des  fonctions  p^riodiques  de  t  entierement  connues  et  les  Cf  4tant 
de  nouvelles  constantes  d'int^gration. 

Pour  trouver  x\  nous  pouvons,  au  lieu  d^employer  la  premiere  des  Equa- 
tions (16),  nous  servir  des  considerations  suivantes  : 

Les  equations  (i)  admettent  une  int<§grale  F  =  B,  B  6tant  une  constante 
djint6gration  que  je  supposerai  d6velopp6e  suivant  les  puissances  de  p.  en 
6crivant 

B  =  ; 


ET   LES   EQUATIONS   DE  LA   DYNAMIQUE.  355 

de  sorte  que  Ton  a 

$o=B0,      $I=B!,      $2=B2,      ..., 

B0?  B.J,  B2,  etc.,  <Hant  autant  de  conslantes  differentes. 

Le  premier  membre  de  liquation  ^>^=^B2  depend  des  x*,  des  j'f,  des  #*, 
des  yl,  de  x\  et  de  x\  qui  sent  des  fonciicms  connues  de  t  et  de  x\  ,  lequel  nous 
n'avons  pas  encore  calcule.  De  celte  Equation,  nouspourrons  done  tirer,#*  sous 
la  forme  suivante  : 

*?=5?-HCf. 

£i  sera  une  fonction  p^riodique  de  t  entierement  determine  et  C^  est  une 
conslante  qui  depend  de  B2,  de  C*  el  de  Cj[. 

Nous  pouvons  conclure  de  la  que  la  premiere  des  Equations  (17)  doit  etre 
satisfaite  et  par  consequent  que  ces  trois  Equations  (17)  ne  sont  pas  distinctes. 

Prenons  maintenant  les  equations  (  1  i')  et  faisons-y  A*  =  2;  nous  obtiendrons 
trois  Equations  qui  nous  pertnettront  de  determiner  les  constantes  CJ,  G*  et  CJ 
et  d'ou  Fon  tirera  en  outre  lesr  sous  la  forme 


les  y)  etant  des  fonctions  periodiques  de  t  entierernent  connues  et  les  kf  6tant 
trois  nouvelles  constantes  d'  integration. 

Reprenons  ensuite  les  Equations  (  10')  en  y  faisant  k  =  3;  si  nous  supposons 
k\  =  o,  nous  pourrons  tirer  des  trois  Equations  ainsi  obteimes,  d'abord  les 
deux  constantes  A^  et  k\,  puis  les  xf  sous  la  forme 


les  g  etant  des  fonctions  p^riodiques  connues  de  t  et  les  C;1  etant  trois  nouvelles 
constantes  d'integration. 

Et  ainsi  de  suite. 

Voila  un  procede  pour  trouver  des  series  ordonnees  suivant  les  puissances 
de  fx,  periodiques  de  periode  T  par  rapport  au  temps  et  satisfaisant  aux  equa- 
tions (  i  ).  Ce  proc£d&  ne  serait  en  dgfaut  que  si  le  hessien  de  F0  par  rapport 
aux  %l  etait  nul  ou  si  le  hessien  de  ty  par  rapport  ct  5J2  et  d3  itait  nuL 

Ge  que  nous  venons  de  dire  s'applique  en  particulier  a  une  equation  que 
Ton  rencontre  quelquefois  en  M^canique  celeste  et  dont  plusieurs  geometres  se 
sont  dej£  occupes.  Cette  equation  est  la  suivante  : 

(18)  f|£  +.  »»p  +  mp3 


356  .  SUR   LE   PROBLEMS    DES   TROIS   CORPS 

n  et  m,  sont  des  constantes,  JJL  est  un  parametre  tres  petit  et  R  esL  une  fonclion 
de  p  et  de  t,  d£velopp£e  suivant  les  puissances  croissantes  de  p  et  periodique 
par  rapport  a  t. 

Pour  bien  nous  en  rendre  compte,  il  faut  d'abord  ramener  1'^quation  (  18)  a 
la  forme  canonique  des  Equations  de  la  Dynamique.  Cela  se  fera  en  posant 


£  et  f\  etant  deux  nouvelles  variables  auxiliaires  et  Tint^grale   /R(p,  £)  ^fp  6tant 
calcul^e  en  regardnnt  ^  comme  une  constante.  On  trouve  alors 


dt 


auxquelles  nous  pourrons  adjoindre  (yj  etant   rest^e  jusqu'ici   completement 
arbitraire)  1'equation  suivante  : 


qui  complete  un  systeme  canonique. 

Quaud  p.  =  o  I'int^grale  g^n^rale  de  l'6quation  (18)  s'^crit 

(20)  p  =  h  sn(£-£  -f-  TO),         cr  =  A^  cn(gt  n-  ra)  dn(^#  -f-  nr), 


ou  £•  et  ra>  sont  deux  constantes  d'integration  et  ou  A,  ainsi  que  le  module  du 
sinus  amplitude,  sont  deux  fonctions  de  g  faciles  a  determiner. 

Nous  allons  changer  de  variables;  nous  prendrons  au  lieu  de  £,  YJ,  p  et  cr, 
quatre  variables  &\>  y*,  &<*<>  y*<,  definies  comme  il  suit.  Nous  aurons  d'abord 

^2=<n3      ra=?- 

Des  Equations  (20)  qui  donnent  p  et  a-  en  fonction  de  g  et  de  gt-^-^s  pour 
jjt,  =  o,  on  peut  tirer  g  et  gt-\~w  en  fonctions  de  p  et  de  G.  II  vient 


Nous  prendrons  alors  pour  x^  une  certaine  fonction  de  ^  (p,  o)  et  pour  y^  : 


k  d^signant  la  p^riode  rdelle  de  sn(^r). 

Si  alors  x±  a  3t6  convenablement  choisi  en  fonction  de  ^i;  les  equations 
conserveront  leur  forme  canonique 

dt         dx\  dt        dx^  dt  dy~C  dt  dy** 


ET   LES   AQUATIONS   DE  LA   DYNAMIQUE.  35y 

II  est  clair  d'ailleurs  que  pour  /j.  =  o,  F  ne  depend  que  de  x±  et  de  x*  et  non  de 
Yi  el  de  jKa* 

Nous  nous  trouvons  done  bieri  dans  les  conditions  6noncees  an  debut  de  ce 
paragraphe. 

Liquation  ( 18)  a  suriout  6le  etndi^e  par  les  geometres  dans  le  cas  on  m  =  o; 
il  semble  au  premier  abord  qu'elle  est  alors  beaocoup  plus  simple.  Ce  n'est 
qu'une illusion;  en  effet,  si  Ton  suppose  m  =  o,  on  se  trouve  dans  le  cas  ou  le 
hessien  de  F0  est  nul  et  ce  que  nous  avons  dit  dans  ce  paragraphe  n'est  plus 
applicable  sans  modification. 

Ce  n'est  pas  que  les  particularites  que  pr^sente  liquation  (18)  dans  le  cas 
general  ne  soient  encore  vraies  pour  m  =  o,  toutes  les  fois  du  nioins  que /JL 
n'est  pas  nul.  La  seule  difference,  e'est  qu'on  ne  pent  les  mettre  en  Evidence 
par  un  d^veloppement  suivant  les  puissances  de  p..  L'apparente  simplification 
qu'a  regue  ainsi  liquation  (18)  n'a  fail  qu'augmenler  les  difficultes.  II  est  vrai 
qu'on  est  conduit  quand  m,  =  o,  a  des  series  beaucoup  plus  simples  que  dans 
le  cas  general,  mais  ces  series  ne  convergent  pas  comme  nous  le  verrons  dans 
la  suite. 

La  methode  expos£e  dans  ce  paragraphe  s'applique  egalement  a  un  cas  parti- 
culier  du  problem  e  des  trois  corps. 

Supposons  tine  masse  nulle  C  attirde  par  deux  masses  mobiles  A  et  B  6gales 
Tune  £  i  —  fx  et  1'autre  a  p.  et  decrivant  d'un  mouvement  uniforme  deux  circon- 
f6rences  concentriques  autour  de  leur  centre  de  gravity  commun  suppose  fixe, 
Imaginons  de  plus  que  la  masse  C  se  nieuve  dans  le  plan  de  ces  deux  circon- 
fdrences. 

Nous  verrons  plus  loin  que  dans  ce  cas  les  Equations  du  mouvement  peuvent 
se  mettre  sous  la  forme  suivante  : 

Ixi  dW  dx%  c£F 

CLL  Cty  \  CLt  ^y^, 

(l) 

iyi  __       dF  dyz  __       dF 

dt  dx*i  dt  dx<^ 

On  d^signe  par  x±  la  vitesse  ar^olaire  du  point  C,  par  x^  la  racine  carr^e  du 
grand  axe  de  Forbite  de  C,  par  y±  la  difference  de  la  longitude  du  perihelie 
de  G  et  de  la  longitude  de  B,  par y%  Panomalie  moyenne. 

D'ailleurs  F  peut  ^tre  d^velopp^e  suivant  les  puissances  de  p.  et  Ton  a 


358  SUR  LE  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS 

II  est  aise  de  voir  que  le  hessien  de  F0  par  rapport  a  x±  et  a  x*  est  nul.  11 
semble  done  d'abord  que  les  methodes  du  present  paragraphe  sont  en  d^faut. 
II  n'en  est  rien  et  un  artifice  tres  simple  permet  de  tourner  la  difficult^.  Les 
Equations  (i)  admettent  comme  integrate  F  =  C.  Consid^rons  la  constante  C 
comme  une  donn^e  de  la  question. 

Si  alors  cp(F)  est  une  fonction  quelconque  de  F  et  <p'(F)  sa  d6rivee,  on  aura 


et  les  Equations  (  t  )  pourront  s'^crire 

dxj       W(F)dF  dyt  Q 

d    ~    'd*  ~~         ' 


dt  ~  v'(G)dyt  dt 

ou 

d**    d 

dt 


En  g^n^ralj  le  hessien  de    ,    °^  ne  sera  pas  nul.  CJest  ce  qui  arrive  en  particulier 
quand 


Les  solutions  des  Equations  (  i  )  qui  correspondent  £  la  valeur  particuliere  C  de 
Tint^grale  F  appartiennent  aussi  auz  equations  (  i7). 

Gonsiderons  raaintenant  une  solution  des  equations  (i)  qui  soit  telle  que 
Pint^grale  F  soit  £gale  a  une  constante  d  diff4renle  de  C. 

Je  dis  que  cette  solution  appartiendra   encore  aux  Equations   (i')    pourvu 

qu'on  y  change  t  en  t  ?  (  gj  *  On  a  en  eflfet 

dxj  __  ^F  dyi  _       ^F  m 

~dt"  ""  dyt  '         "5JT  ""  ""  "dOTt  ' 

r  /  r\    \ 

si  Ton  change  t  en  t  •••  }  ^  -  ?  il  viendra 

9  (U) 


dt         <?'(<2)  dyt  dt 

ou  puisque  F  =  Ci  : 


dt*        v'(G)dyt  dt 

c.   Q.  F.   D. 

Des  solutions  de  ( i )  il  est  done  ais£  de  d^duire  celles  de  (i7)  et  inversement. 


ET  LES   EQUATIONS  DE   LA   DYNAMIQUE.  35y 

Les  m^thodes  du  present  paragrapho  sont  done,  grace  a  cet  artifice,  appli- 
cables  a  ce  casparticulier  dQ  probleme  des  trois  corps. 

Elles  ne  le  seraienlpas  aussi  aisement  au  cas  gdn^ral.  Dans  le  cas  g^n^ral  en 
efifet,  non  settlement  le  hessien  de  F0  est  nul,  mais  celui  de  <p  (F0)  estencore  nul, 
quelle  que  soil  la  fonction  CP. 

De  la  certaines  difficultes  dont  je  ne  parlerai  pas  ici;  j'y  reviendrai  plus  loin 
et  je  me  bornerai  pour  le  moment  a  renvoyer  le  lecteur  a  un  travail  quej'ai 
insure  dans  le  Bulletin  Astronomique  (t.  J,  p.  65)  (*). 

12.  —  Calcul  des  exposants  caracteristiques. 

Reprenons  les  equations  (  i  )  du  paragraphe  precedent 

<•'  £-£-    3?~£   <-.>•» 

Supposons  qu'on  ait  trouv£  une  solution  p^riodique  de  ces  Equations 

**=  ?i(0>        JTz='Mn 

et    proposons-nous    de    determiner    les    exposants    caracteristiques    de   cette 
solution. 

Pour  cela  nous  poserons 


puis  nous  formerons  les  Equations  aur  variations  des  Equations  (i)  que  nous 
^crirons 


__ 

~dt    ~        ^  dy,  dxk  *   ~*  dyidyk 

^li__V_^I_,  _V_^iL.          C''  ^I?  "'  3) 

dt  ~     ZtdXidxk*1     2*dxidxk"ik 

k  k 

et  nous  ctercherons  a  integrer  ces  Equations  en  faisant 
(3)  &f  =  <s«'S/,        7i,=  ««T/, 

S/  et  Tf  ^tant  des  fonctions  p6riodiques  de  t.  Nous  savons  qu'il  esiste  en 
g6n6ral  six  solutions  particulieres  de  cette  forme  [les  Equations  lin^aires  (2) 
6tant  du  sixieme  ordre],  Mais  il  importe  d^observer  que,  dans  le  cas  particulier 
qui  nous  occupe,  il  n'y  a  plus  que  quatre  solutions  parliculieres  qui  conservent 

(*)  GEuvres  de  H.  Poincare^  ce  Tome  p.  253. 


360  -SUR   LE   PROBLEME   DES   TROIS    CORPS 

cette  forme,  parce  que  deux  des  exposants  caracterisiiques  sont  nuls,  et  qu'il  y 
a  par  consequent  deux  solutions  particulieres  d'une  forme  degenerescente. 

Cela  pose,  supposons  d'abord  ft  =  o,  alors  F  se  reduit  a  F0  comme  nous 
Favons  vu  dans  le  paragraphe  precedent  et  ne  depend  plus  que  de  x\,  x\ 

Alors  les  equations  (2)  se  reduisent  a 


dt 


Les  coefficients  de  £*  dans  la  seconde  Equation  (2')  sont  des  constantes. 
Nous  prendrons  comme  solutions  des  Equations  (2') 


v]J,  r\\  et  •/}!  etant  trois  constantes  d'int^gration. 

Cette  solution  n'est  pas  la  plus  generate.  puisqu?elle  ne  contient  que  trois 
constantes  arbitraires,  mais  c'est  la  plus  g£n£rale  parmi  celles  que  Ton  peut 
rarnener  a  la  forme  (3).  Nous  voyons  ainsi  que  pour  ^  =  o,  les  six  exposants 
caracteristiques  sont  nuls. 

Ne  supposons  plus  maintenant  que  ft  soit  mil.  Nous  allons  maintenant 
chercher  a  d^velopper  a,  S/etTf,  non  pas  suivant  les  puissances  croissantes 
de  jx.  mais  suivant  les  puissances  de  \j\3.  en  ^crivant 


/  v7?  •+•  s?  &  •+-  s  f  [j. 


Je  me  propose  d'abord  d'etablir  que  ce  d^veloppement  est  possible. 

Montrons  d'abord  que  les  exposants  caracteristiques  a  peuvent  se  developper 
suivant  les  puissances  croissanles  de  \/fA. 

D'apres  ce  que  nous  avons  vu  au  paragraphe  10,  les  exposants  caract^ris- 
tiques  nous  seront  donnds  par  Fequation  suivante,  en  reprenant  les  notations 
des  paragraphes  9  et  10  : 


"Pi  «P2  <2-pw 

Le  premier  raembre  de  cette  Equation  est  holomorphe  en  ce ;  de  plus,  d'apres  le 


ET  LES  EQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.  36 1 

theoreme  III  (§2),  les  y  peuvent  elre  d(§veloppes  suivant  les  puissances  de  \L 
et  des  (3  (c/.  §  9),  d'ailleurs  d'apres  le  paragraphe  9  les  (3  peuvent  sedevelopper 
eux-m£mes  suivant  les  puissances  de  p.  D'apres  cela  les  y  et  le  determinant  que 
je  viens  d'ecrire  peuvent  eux-memes  etre  d^veloppes  suivant  les  puissances 
de  /JL.  II  r^sulte  de  la  que  les  exposants  2  nous  sont  donnes  en  fonction  de  p.  par 
une  equation  G(«,  ^)  =  o  dont  le  premier  membre  est  holoraorphe  en  a  et 
en  IJL. 

Si  pour  fx  =  o,  tous  les  exposants  a  etaient  differents  les  uns  des  autres, 
Fequation  G  =  o  n'aurait  pour  j3  =  o  que  des  racines  simples,  et  Ton  en 
conclurait  que  les  a  seraient  d^veloppables  suivant  les  puissances  de  p. 
(tWoremelV,  §2). 

Mais  il  n'en  est  pas  ainsi;  nous  venons  de  voir  en  effet  que  pour  fx  =  o,  tous 
les  a  sont  nuls. 

Reprenons  les  notations  du  paragraphe  11,  notre  equation  pourra  s^crire, 
en  supposant  trois  degr£s  de  libert^  seulement : 


•  +1—  e 


d  <5#i  d.  oa-2 


-H-I —  ea 


d  6 #2  d  o@;*  d  ST«JI  d  owt  d  ow?t 

•  -f-i--(?aT 


d  OGTj 

d  &w\  <^Atui  f/AnTi  ir/Auji  ^,r 

1    .  T  _  fiar 


^0<?2  d$G:\  dow 

d  ATUO  <^  Anr«> 

•  H-  I  —  £a 


a  onj;} 


Cela  fait,  je  pose 

a  =  X  ytl. 

Je  divise  les  trois  premieres  lignes  du  determinant  par  yji;  je  divise  ensuite  les 
trois dernieres  colonnes  par  y/p.  (de  sorte  que  le  determinant lui-m£me  se  trouve 
finalement  divis6  par  (x3). 

Je  fais  ensuite  ft  =  o. 

J'observe  que  d'apres  ce  que  nous  avons  vu  au  paragraphe  ll?  Aa4,  Aa2, 
H.  P.  -  vir.  46 


r/  OCJ;; 

» 

•4-1- 


362  SUR  LE  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS 

Aa3  sont  divisibles  par  p.  Si  done  j'envisage  le  premier  element  de  la  premiere 
ligne,  cet  £l£ment  apres  la  division  par  \/p.  s'^crira 


et  quand  on  j  fera  p.  =  o  il  deviendra  —  AT. 

De  m£me  le  second  element  de  la  premiere  ligne  s'ecrit  —=  —  —  eL  il  tend 

r  D 


vers  z6ro  avec  p.. 

Ainsi  quand  on  aura  fait  j*  =  o,  les  trois  preiniers  6l^ments  des  trois  pre- 
mieres lignes  s'annuleront  a  ^exception  des  ^I^ments  de  la  diagonale  principale 
qui  deviendront  £gaux  a  —  XT. 

Gonsid^rons  maintenant  les  trois  derniers  elements  des  trois  dernieres 
lignes;  ils  s'^criront 


OU 


selon  qu'ils  appartiennent  ou  non  a  la  diagonale  principale.  D'apres  ce  que 
nous  avons  vu  an  paragraphe  M,  ASTA-  est  d6voloppable  suivant  les  puissances 
de  fz,  des  Sat  et  des  8^-;  de  plus  pour  JUL  =  o,  ATSTI  ne  depend  pas  des  Sw/.  On  en 


conclura  que  •  v*  est  divisible  par  /JL. 

Done  quand  on  fera  fx=o,  les  trois  derniers  £l4ments  des  trois  dernieres 
lignes  deviendront  egaux  a  —  AT  ou  a  zero,  selon  qu'ils  appartiennent  ou  non  a 
la  diagonale  principale. 

Consid6rons  maintenant  les   trois   premiers   elements   des   trois    dernieres 

lignes  -p;  —  **  D'apres  ce  que  nous  avons  vu  au  paragraphe  11,  on  a  pourfz  =  o  : 

=  —  i  - 


Passons   enfin  aux  trois   derniers    ^l^ments   des   trois   premieres  lignes    qui 
s*6crivent          *  -  D'apres  ce  que  nous  avons  vu  au  paragraphe  11,  si  dans  F4 


on  substitue  a^  a2,  a3,  nit  +  wt,  n%t  +  uj2,  n$t  +  sy3  a  la  place  de  #1,  ^a?  -^s? 
/i  ?  y*i  y*>  on  v<>it  que  F<  devient  une  fonction  periodique  de  t  de  p^riode  T  et 
si  Ton'appelle  ^  la  valeur  moyenne  de  cette  fonction  periodique,  on  a  pour 


-  TS  - 

fi  a  ocj^t 


ET   LES   EQUATIONS   DE  LA  DYNAMIQUE. 

II  importe  de  remarquer  que  Ton  a  identiquement 

UTS  i          ~  dm*  dt&s 

Nous  voyons  done  que  pour  p,  =  o  on  a 


363 


En  ^galant  a  z6ro  ce  determinant,  on  a  une  Equation  du  sixieme  degr6  en  ).; 
deux  de  ses  racines  sont  nulles;  nous  n'en  parlerons  pas,  carelles  serapportent 
aux  deux  solutions  particulieres  de  forme  d£g4nerescente  dont  jjai  parle  plus 
haut.  Les  quatre  autres  solutions  sont  distinctes  en  general. 

II  r^sulte  alors  du  tb^oreme  IV  (§  2),  que  nous  pourrons  tirer  de  liquation 


3  ^ 


6 


=o,  l(et  par  consequent  a)  sous  la  forme  d'une  s^rie  d^veloppee 


suivant  les  puissances  croissantes  de  \/p..  J'ajouterai  que  A  peut  se  d^velopper 
suivant  les  puissances  de  /x  et  que  le  developpement  de  a  ne  contient  que  des 
puissances  impaires  de  yp..  En  effet  les  racines  de  liquation  G(cc,  pi)  =:  o 
doivent  £tre  deux  a  deux  egales  et  de  signe  contraire  (c/.  §  10).  Done  a  doit 
changer  de  signe  quand  je  change  \/p  en  —  y//x. 

D^montrons  maintenant  que  Sz-  et  Tj  peuvent  aussi  se  d^velopper  suivant  les 
puissances  de  \//ju 

Si  et  TI  nous  sont  donnas  en  effet  par  les  Equations  suivantes  : 

T^5 
T*. 


i  dxt 


«*  dyt  dyk 
yi     ^F 

jmmi  dxi  dy& 

Soit  (3t-  la  valeur  initiale  de  Sf  et  |3[  celle  de  T,-;  les  valeurs  de  S/  et  de  T/  pour 
une  valeur  quelconque  de  t  pourront  d'apres  le  tWoreme  III,  (§  2),  se  d£ve- 


36  4  SUE  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 

lopper  suivant  les  puissances  de  ^,  de  a,  des  ,3,  et  des  (3/.  De  plus,  a  cause  de 
la  forme  lin^aire  des  Equations,  ces  valeurs  seront  des  fonctions  lin^aires  et 
homogenes  des  (3j  et  des  fi[  . 

Soil,  pour  employer  des  notations  analogues  a  celle  duparagraphe  9,  (3t-n-^/ 
la  valeur  de  S,  et  (3J  +  <]>,'  celle  de  Tf  pour  £  —  T.  La  condition  pour  que  la 
solution  soit  p^riodique,  c'est  que  1'on  ait 

+«=*;=  o. 

Les  tyi  et  les  ^  sont  des  fonctions  lin^aires  des  (3,-  et  des  (3':  ;  ces  Equations  sont 
done  Kn^aires  par  rapport  a  ces  quantites.  En  general  ces  Equations  n'admettent 

d'autre  solution  que 

P,=  K=o, 

de  sorte  que  les  Equations  (2")  n'onl  d'autre  solution  p^riodique  que 

SJ==T£=o. 

Mais  nous  savons  que  si  1'on.  choisit  a  de  fagon  a  satisfaire  a  G(a,  JUL)  =  o,  les 
Equations  (ar;)  adnaettent  des  solutions  p^riodiques  autres  que  Sfr=i  Tt=z  o.  Par 
consequent  le  determinant  des  equations  lin^aires  ^f=^  =  °  est  nu^-  Nous 

Q  g/ 

pourrons  done  tirer  de  ces  Equations  les  rapports  |f  et  ~  sous  la  forme  de 

series  d^velopp^es  suivant  les  puissances  de  oc  et  de  p.. 

Comme  fi\  reste  arbitraire,  nous  conviendrons  de  prendre  (3'1  =  r  de  telle 
sorte  que  la  valeur  initiale  de  T<  soit  ^gale  a  i.  Les  (3/  et  et  les  (3;f  sontalors 
d^velopp^s  suivant  les  puissances  de  a  et  de  fx;  mais  les  Sr-  el  T/  sont  comme 
nous  Tavons  vu  d^veloppables  suivant  les  puissances  de  a,  de  j/,,  des  p?  et 
des  (37t  et  d'autre  part  a  est  d^veloppable  suivant  les  puissances  de  \/^. 

Done  les  Si  et  les  T/  seront  developpables  suivant  les  puissances  de  ^/ju 

C.     Q.    F.    D. 

On  aura  en  particulier  : 


Comme,  d'apres  notre  hypothese,  (3^  qui  est  la  valeur  initiale  de  TI  doit  etre 
egale  a  i,  quel  que  soit  jx,  on  aura  pour  t  =  o  : 

TO  —  T  f.  _  nni  _  T'S  _         _  Tm.  _ 

i  —  I5          o  —  ij  —  A  i  —  .  •  .  —  A!  --  ... 

Ayant  ainsi  d^montr^  1'existencede  nos  series,  nous  aliens  chercher  a  en  d^ter- 
miner  les  coefficients. 
Nous  avons 


ET   LES   EQUATIONS  DE   LA  DYNAMIQUE. 


365 


et 


(4) 


S/  vfc  4-. . .  ),        rl£= 


^H-V/iI^+...H-.T«-hav£T'+... 


Nous    d^velopperons  d'autre  part  les  d^rivees  secondes  de  F  qui  entrent 
comme  coefficients  dans  les  Equations  (2)  en  6crivant 


(5) 


dxl 


dxtdyt         IK  '   ' lk   '  v    ~lk  ^"" 

Ges  developpements  ne  contiennent  que  des  puissances  entieres  de  p  et  ne 
possedent  pas  comme  les  developpements  (4)  des  termes  dependants  de  y/ju 
On  observera  que 


Nous  substituons  dans  les  Equations  (2)  les  valeurs  (4)et(5)ala  place  des  |, 
des  73,  de  leurs  d6riv4es  et  des  d^rivdes  secondes  de  F.  Dans  les  expressions  (4) 
je  suppose  que  a  soit  d£velopp6  suivant  les  puissances  de  \/(jt,  sauf  lorsque 
cette  quanlit<§  a  entre  dans  un  facteur  exponential  e*'. 

Nous  identifions  ensuite  en  ^galant  les  puissances  serablables  de  y//-t  et  nous 
obtiendrons  ainsi  uiie  s^rie  d'^quations  qui  permettent  de  determiner  succes- 
sivement  «o  aa,  a^,  . .  .,  S®,  S^1,  .  . . ,  T^°,  T/,  .... 

Je  n^crirai  que  les  premieres  de  ces  equations  obtenues  en  dgalant  successi- 
vement  les  termes  tout  connus,  les  termes  en  ^/jx,  les  termes  en  JJL,  etc.  Je  fais 
dyailleurs  disparaitre  le  facteur  eyt  qui  setrouve  partout. 

Egalons  d'abord  les  termes  en  y^;  il  vient 


(7) 


,0  ==2 


366  SUR  LE  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS 

Egalons  les  termes  en  /x,  il  vient 

A 

outre  trois  Equations  analogues  donnant  les  -~rL- 

Si  1'ontient  compte  maintenant  des  relations  (6),  les  Equations  (7)  deviennent 


La  premiere  de  ces  Equations  montre  que  SJ,  S*  et  S*  sont  des  constantes. 

s7T  1 

Quant  a  laseconde,  elle  montre  que  -^~-  est  une  constante;  mais  comme  T*  doit 
etre  une  fonction  p^riodique,  cette  constante  doit  £tre  nulle,  de  sorte  qu'on  a 

(9)  «i  V  =  CA  Sj  -h  Cft  Si  -h  Cz°3  S5, 

ce  qui  6tablit  trois  relations  entre  les  trois  constantes  YJ£°,  les  trois  constantes  S1  et 
la  quantity  inconnue  a4. 

De  son  c6t^  liquation  (8)  s'^crira 


Les  BfA  soat  des  fonctions  periodiques  de  t\  d6veloppons-les  d^apres  la  formule 
de  Fourier  et  soit  b^  le  terme  tout  connu  de  B,sft.  II  viendra 


ou  en  tenant  compte  des  Equations  (9),  il  viendra 

A=3 


A=i 


En  faisant  dans  cette  Equation  (to)  i  =  i,  2  et  33  nous  aurons  trois  relations 
lin£aires  et  homogenes  entre  les  trois  constantes  S/.  En  ^liminant  ces  trois 
constantes,  nous  aurons  alors  une  Equation  du  troisieme  degr6  qui 
mineral  J. 

Si  nous  posons  pour  abr^ger 


ET   LES  EQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE. 

liquation  due  a  cette  Elimination  s'^crira 


367 


<?I1— -  3£j 


#23 

£33 —  af 


Elle  peut  encore  s'Ecrire 


—  «i 

o           o 

GO 
11 

G° 

n  o 

^1  3 

0 

—  cci        o 

no 
U21 

G§2 

C§3 

o 

o        —  «i 

no 

^31 

GSs 

<^§3 

£11 

#12            #13 

—  «i 

o 

O 

621 

#22            623 

o 

-—  at 

O 

63l 

632           &3:j 

0 

0 

—  OC! 

=  o. 


La  determination  de  at  est  la  seule  partie  du  calcui  qui  presente  quelque 
difficultd. 

Les  Equations  analogues  a  (7)  et  a  (8)  f^rm6es  en  egalant  dans  les  equa- 
tions (2)  les  coefficients  des  puissances  semblables  de  yp.,  permettent  ensuite 
de  determiner  sans  peine  les  a/c,  les  S™  et  les  T'/1.  Nous  pouvons  done  enoncer 
le  resultat  suivant  : 

Les  exposants  caract&ristiques  asont  developpables  suivant  les  puissances 
croissantes  de  yp. 

Goncentrant  done  toute  notre  attention  sur  la  determination  de  ot1?  nous 
atlons  etudier  specialement  liquation  (11).  Nous  devons  chercher  d'abord  a 
determiner  les  quantites  G^.  et  b^. 

On  a  evidemment 


et 


ou 


et 


B^  =  —  It  A  mi  mk  sin  to        ( to  =  m^yl  •+- 


./*) 


bik  =  — X 

D'apres  les  conventions  faites  dans  le  paragraphe  precedent,  la  sommation 
representee  par  le  signe  2  s?4tend  a  tous  les  termes,  quelles  que  soient  les 
valeurs  entieres  attributes  a  m±y  /n2  et  m^.  La  sommation  representEe  par  le 

signe  v  s?6tend  seulement  aux  termes  tels  que 


3(58  SUR   LE  PROBLEMS   DES  TROIS   CORPS 

Sous  le  signe  ^  nous  avons  par  consequent 

03  =  WlvUS*  •+"  #2-3  "GJ*  "4™  7l. 

Gela  nous  permet  d'ecrire 

_/•-)  .!. 

(pour  i  et  k  =  2  ou  3). 


Si  un  ou  deux  des  indices  i  et  k  sont  £gaux  a  i,  bik  sera  d^fini  par  la  relation 

n\  fan -j-  71%  bfr  H-  /is #£j  =  o. 

Nous  allons  a  Paide  de  cette  derniere  relation  transformer  liquation  (n) 
de  fagon  a  meltre  en  Evidence  Fexistence  de  deux  racines  milles  et  a  r^duire 
1'^quation  au  quatrieme  degre. 

Je  trouve  en  effet  par  une  simple  transformation  de  determinant  et  en 
divisant  par  a\  : 


/ii        /i* 

o       —  ct 
o          o 


o  o 

&23  ^22 

&33  6*32 

—  Oil  O 


Dans  le  cas  particulier  ou  Fon  nja  plus  que  deux  degr^s  de  liberte,   celte 
equation  s'ecrit 


/it         ;i2 

0            0 

O          5Ci 

~y  —  '*         ® 

po        po 

12             2  2 

—  ai     722 

Go        po 
11         *-«21 

O            Tli 

OU 


L? expression  /iiGJa  —  27i^3GJs  +  ^gCJ,  ne  depend  que  de  &\  et  ^?^  ou  si  Ton 
veut  de  n^  et  de  /i2-  Quand  nous  nous  serons  donn6  les  deux  nombres  /z< 
et  7i2  dont  le  rapport  doit  £tre  commensurable,  nous  pourrons  regarder 
TiJC^s — 27i47i3CJ2-|-7i|GJ1  comme  une  constante  donn^e.  Alors  le  signe  de  a\ 

depend  seulement  de  celui  de  -—  * 

r  ofcyf 

Quand  on  s'est  donn6  n±  et  7ia,  on  forme  liquation 


(12) 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  36g 

qui  est  Fequation  (~)  du  paragraphe  precedent.  Nous  avons  vu  dans  ce  para- 
graphe  "qu'a  chaque  racine  de  cette  equation  correspond  une  solution 
periodique. 

Considerons  le  cas  general  ou  liquation  (12)  n'a  que  des  racines  simples; 
chacune  de  ces  racines  correspond  alors  a  un  maximum  ou  a  un  minimum  ded*. 
Mais  la  fonclion  ^  etant  periodique  presente  dans  chaque  periode  au  moins  un 
maximum  et  un  minimum  et  precisement  autant  de  maxima  que  de  minima. 

Or  pour  les  valeurs  de  5J2  correspondanta  un  minimum,  -y-^  est  positif;  pour 

les  valeurs  correspondant  a  un  maximum,  cette  derivee  est  negative. 

Done  Fequation  (12)  aura  precisement  autant  de  racines  pour  lesquelles 
cette  derivee  sera  positive,  que  de  racines  pour  lesquelles  cette  derivee  sera 
negative,  et  par  consequent  autant  de  racines  pour  lesquelles  a^  sera  positif  que 
de  racines  pour  lesquelles  ct~L  sera  n6gatif. 

Cela  revient  a  dire  qu'il  j  aura  precisement  autant  de  solutions  periodiques 
stables  que  de  solutions  instables,  en  donnant  a  ce  motle  mSme  sens  que  dans 
le  paragraphe  10. 

Ainsi,  a  chaque  systeme  de  valeurs  de  n±  et  de  n*,  correspondront  au 
moins  une  solution  periodique  stable  et  une  solution  periodique  instable  et 

precisement  autant  de  solutions  stables  que  de  solutions  instables poun-u  que 
p.  soit  suffLsamment  petit, 

Je  n'examinerai  pas  ici  comment  ces  resultats  s'etendraient  au  cas  ou 
Fequation  (12)  aurait  des  racines  multiples. 

Voici  comment  ii  faudrait  continuer  le  calcul. 

Imaginons  f|ue  Foil  ait  determine  completement  les  quantit6s  a*,  #2,  ....  am 
et  les  fonctions  SJ,  S/,  . .  .,  SJ",  T!',  T/,  .  . .,  T?1™1,  et  que  Fon  connaisse  les 
fonctions  S"l+l  et  TJ"  a  un  e  cons  tantep  res.  Supposons  qu'onse  propose  ensuite 
de  calculer  ccm4_i  ?  d'achever  la  determination  des  fonctions  S^+1  et  T^w  et  de 
determiner  ensuite  les  fonctions  S^2  et  Tf 4"1  a  une  constante  pres. 

En  egalant  les  puissances  semblables  de  pt  dans  les  equations  (4)?  on  obtient 
des  equations  de  la  forme  suivante,  analogues  aux  equations  (7)  et  (8). 

_  _|! 1_  V  c&  Sf +i  — -  a,  Tf     —  am+i  Tf  =  quantite  connue 

k  a"  =  1,2, 3). 

_  L_L j-  "V  B?i.  T'/4     —  a*  S}"^ J  —  am^i  S/  =  quantite  connue 

dt          —~±  l       n 


H.  P.  —  VII.  •  4? 


870  SUR   LE   PROBLEME   DES   TROIS   CORPS 

Les  deux  raembres  de  ces  equations  (12)  sont  des  fonctions  periodiques  de  t. 
Egalons  la  valeur  moyen-ne  de  ces  deux  membres.  Si  nous  d^signons  par  [U]  la 
valeur  moyenne  d?une  foactioa  p^riodique  quelconque  U,  si  nous  observons 
que  si  U  est  periodique  on  a 


si  nous  rappelons  que,  T^  etant  connu  a  une  constante  pres,  TJ1—  [T™]  et 
[B?fc(T™  —  [IT])]  sont  des  quantites  connues,  nous  obtiendrons  les  equations 
suivantes  : 

G'HS2'+I  ]  -  ai[T?1]      "  */n-MT,0  =  quantite  connue 

(1  =  1,2,3). 
—  aitsJ'irl  J  —  *»i+iS/  =  quantite  connue 

Ges  equations  (i4)  vont  nous  servir  a  calculer  am^.i,  [T{"]  et  [S^M]  et  par 
consequent  a  achever  la  determination  des  fonctions  T"*  et  S"1*1  qui  ne  sont 
encore  connues  quya  une  conslante  pres. 

Si  Ton  additionne  les  equations  (i4)  apres  les  'avoir  respectivement  multi- 
ples par  SJ,  Si,  SJ,  TJ,  TJ,  T°3-on  irouire 

2^S/Tf  am+l=  quantite  connue, 

/ 

ce  qui  determine  <xm+i* 

Si  dans  les  Equations  (i4)  on  remplace  «w  +  i  par  la  valeur  ainsi  trouvee,  on 
a  pour  determiner  les  six  inconnues  [T^1]  et  [S^H1]  six  equations  lineaires  dont 
cinq  seuleraent  sont  ind^pendantes. 

Cela  pose?  on  d^terminera  [T'"j  par  la  condition  que  [T7"]  soit  nul  pour 
t  =  o,  conform^nient  a  1'hypothese  faite  plus  haut,  et  les  cinq  Equations  (i4) 
resides  ind^pendantes  permettront  de  calculer  les  cinq  autres  inconnues. 

dTrn+i         <r/S^"*~2 
Les  Equations  (i3)  nous  permettront  ensuite  de  calculer  —  —  —  et  —  -^—  -  et 

par  consequent  de  determiner  les  fonctions  T"i+1  et  Sfl+2  a  une  constante  pres  ; 
et  ainsi  de  suite. 

13.  —  Solutions  asymptotiques. 

Soient 

.  N  djcj       _,          ,  .  , 

(i)  -jf  =\i        (?  =  i,  2,  .  ..,  n) 

n  Equations  differentielles  simultan(5es.  Les  X  sont  des  fonctions  des  x  et  de  t. 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA  DYNAMIQUE.  3ji 

Par  rapport  aux  x  elles  peuvent  £tre  developp^es  en  series  de  puissances. 

Par  rapport  a  t,  elles  sent  periodiques  de  p^riode  27:. 

Soil 

^1  =  ^;,      x*  =  x\^      —      xtl  =  oc{il 

une  solution  partictiliere  periodique  de  ces  equations.  Les  x\  seront  des  fonc- 
tions  de  t  periodiques  de  periode  271.  Posons 

Xi  =  X*{  -h  !=*. 

II  viendra 


Les  £,  seront  des  fonctions  des  £  et  de  £,  periodiques  par  rapport  a  t  et  d6ve- 
lopp^es  suivant  les  puissances  des  £;  mais  il  n'j  aura  plus  de  termes  indepen- 
dants  des  ^. 

Si  les  £  sont  tres   petits   et  qu'on  neglige  leurs  carr6s?  les  equations  se 
reduisent  a 


TM  1  —  fJ  >-  'L  -   —          _  ''"  c 

1  ;  ^  ~  ^r'1"7"  ^r:i>  .....  ~dx»t 

qui  sont  les  equations  aux  variations  des  equations  (i). 

Elles  sont  lin^aires  et  a  coefficients  periodiques.  On  connait  la  forme  de 
leur  solution  g^n^rale,  on  trouve 


*911  -f-  A2  «a»'?4i  H-.  *  .-f-  Ara 
^o-h  A*  caa'=2a-f-.  .  .-r-  A« 


les  A.  sont  des  constantes  d'inteSgration,  les  a  des  constanles  fixes  qu'oii  appelle 
exposants  caract^ristiques,  les  9  des  fonctions  periodiques  de  t. 
Si  alors  nous  posons 


g2  =  TJI  9la  -4-  TQ2  922  -4-  .  .  .  -h  rin  ort-_>  , 


les  Equations  (2)  deviendront 

/2rx  f^I-H- 

(2  )  dl     -«« 

ou  les  Hf  sont  des  fonctions  de  t  et  des  *}  de  meme  forme  que  les  £. 


372  SUR  LE  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS 

Nous  pourrons  d'ailleurs  ecrire 

Hf  represente  Tensemble  des  termes  de  Hj  qui  sont  de  degre/?  par  rapport 
aux  r). 

Quant  aux  Equations  (3),  elles  deviennent 

(3  )  -jj   =      i  —  ai7iz. 

Cherchons  maintenant  la  forme  des  solutions  g^n^rales  des  equations  (2) 
el(a')- 

Je  dis  que  nous  devrons  trouver  yj/=  fondion  developp^e  suivant  les  puis- 
sances de  AI  e^^  A2  eas*,  .  .  . ,  An  e*nt  dont  les  coefficients  sont  des  fonctions 
p^riodiques  de  t* 

Nous  pouvons  ecrire  alors 

yjf  repr^sentant  Pensemble  des  termes  de  y]/  qui  sont  de  degr6  p  par  rapport 
aux  A. 

Nous  remplacerons  les  yjt-  par  leurs  valeurs  dans  Hf  et  nous  trouverons 


Hf  *Y  d^signanl  1'ensemble  des  termes  qui  sonl  de  degre  q  par  rapport  aux  A. 
Nous  trouverons  alors 


'=  K7. 


Ces  Equations  permettront  de  calculer  successivement  par  recurrence  Yjf, 
rjf  ,  .  .  .  ,  yj^j  ....  En  effet  K^  ne  depend  que  des  yjf  ?  yj2,  .  .  .  ;  TO'/"~J.  Si  nous  sup- 
posons  que  ces  quantitds  aient  £t6  prialablement  calcul6es,  nous  pourrons 
Ecrire  Ky  sous  la  forme  suivanle  : 


les  (3  6tant  des  entiers  positifs  dont  la  somme  est  ^et^  une  fonction  periodique. 


ET    LES  EQUATIONS    DE   LA   DYNAMIQUE.  '^S 

On  pent  6crire  encore  : 

C  £lant  un  coefficient  generalement  imaginaire  et  -;  un  entier  positif  ou  n^gatif. 
Nous  ^crirons  pour  abr^ger  : 

A&A?2..    AP»=  A'/,          «!  Sj-f-  a^jo  —  .  .  ,-i-  zn%n=  Sa>, 

et  il  viendra 

-^  — -a, ?}'{=:  SCA^c^W^-i-Sct?;. 

Or  on  peut  satisfaire  &  cette  equation  en  faisant 


II  y  aurait  exception  dans  le  cas  ou  Ton  aurait 


auquel  cas  il  s'introduirait  dans  les  formules  des  termes  en  t.  Nous  reserverons 
ce  cas  qui  ne  se  pr^sente  pas  en  g£n£ral. 

Nous  devons  maintenant  trailer  la  question  de  la  convergence  de  ces  series. 
La  seule  difficult^  provient  d'ailleurs  comme  on  va  le  voir  des  diviseurs 

(5)  Y  ^'^7  -H  Sap  —  af. 

Cette  convergence  est  une  consequence  immediate  des  r6sultats  obtenus  dans 
le  paragraphe  3,  mais  je  pr^fere  en  donner  une  demonstration  directe. 
Remplacons  les  Equations  (2')  par  les  suivantes  : 


(2')  ^=  -  Ai  e^-h  H/  -h  Hf  H-.  .  .  •+-  Hf  -h.  .  .  . 

5- 

Definissons  Hf  .  On  voit  sans  peine  que  Hf  est  de  la  forme  suivante  : 


C  est  une  constante  quelconque,  les  (3  sont  des  entiers  positifs  dont  la  somme 
est/>,  y  est  un  entier  positif  ou  n^gatif.  Nous  prendrons  alors 


Les  series  ainsi  obtenues  seront  convergentes  pourvu  que  les  series  tri 
triques  qui  d^finissent  les  fonctions  periodiques  dont  dependent  les  H  convergent 
absolument  et  uniform£ment;  or  cela  aura  loujours  lieu  parce  que  ces  fonctions 
p6riodiques  sont  analytiques.  Quant  a  s,  c'est  une  constante  positive. 


374  SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 

On  peut  tirer  des  (iquations  (2")  les  ri  sous  la  forme  suivante  : 
(  4")  ru  =  SRIa-S?  A?'  Ag-  .  .  .  A?"e<SaP". 

Plusieurs  termes  pourront  d'ailleurs  correspondre  aux  mehnes  exposants  (3.  Si 
Ton  compare  avec  les  series  tiroes  de  (2')  qui  s^crlvent 


voici  ce  qu?on  observe  : 

i  °  M  est  r£el  posilif  et  plus  grand  que  |  N  |. 

2°  II  d^signe  le  produit  des  diviseurs  (5)   (gr<2{3). 

Si  done  la  serie  (4")  converge  et  si  aucun  des  diviseurs  (5)  n'estplus  petit 
que  e,  la  s^rie  (4f)  convergera  ^galement.  Voici  done  comment  on  peut  ^noncer 
la  condition  de  convergence. 

La  s6rie  converge  si  Fexpression 

7  y  —  I  -h  Sa|3  —  az 

ne  peut  pas  devenir  plus  petite  que  toute  quantity  donnee  e  pour  des  valeurs 
entieres  et  positives  des  (3  et  entieres  (positives  on  negatives)  de  y;  c7est-a-dire 
si  aucun  des  deux  polygones  convexes  qui  enveloppe,  le  premier  leb  a  et 
+  ^  —  i,  le  second  les  a  et  —  y  —  i,  ne  contient  1'origine;  ou  si  touies  les 
quantit^s  oc  ont  leurs  parties  r^elles  de  meme  signe  et  si  aucune  d'elles  n'a  sa 
partie  r^elle  nulle. 

Que  ferons-nous  alors  s'il  n'en  est  pas  ainsi? 

Supposons  par  exemple  que  A-  des  quantit^s  a  aientleur  partie  r£elle  positive, 
et  que  n  —  k  aient  leur  partie  r^elle  negative  ou  nulle.  II  arrivera  alors  que  la 
sdrie  (4;)  restera  convergente  si  1'ony  annuleles  constantes  A  qui  correspondent 
a  un  a  dont  la  partie  r^elle  est  negative  ou  nulle,  de  sorte  que  ces  series  ne 
nous  donneront  plus  la  solution  g£n6rale  des  equations  proposes,  mais  une 
solution  contenant  seulement  k  constantes  arbitraires. 

Si  on  suppose  que  les  Equations  donnees  rentrent  dans  les  Equations  de  la 
Dynamique,  nous  avons  vu  que  n  est  pair  et  que  les  a  sont  deux  a  deux  £gaux 
et  de  signe  contraire. 

Alors  si  k  d'entre  eux  onl  leur  partie  r^elle  positive,  A*  auront  leur  partie 
r^elle  negative  et  n  —  2  A-  auront  leur  partie  reelle  nulle.  En  prenant  d'abord 
les  oc  qui  ont  leur  partie  r6elle  positive,  on  obtiendra  une  solution  particnliere 


ET   LES    EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  3^5 

conlenanl  k  constantes  arbitraires;  on  en.  obliendra  une  seconde  en  prenant 
les  a  qui  ont  leur  partie  reelle  negative. 

Dans  le  cas  ou  aucun  des  y.  n'a  sa  partie  reelle  nulle  et  en  particulier  si  tous 
les  a  sont  re"els,  on  a  d'ailleurs 


Nous  aUons  nous  placer  mainlenaiit  dans  un  cas  tres  particulier.  Supposons 
d'abord  n  =  2,  de  telle  facon  que  les  equations  (i)  se  reduisent  a 

r/jc\   _  f/./>..  __ 

"T7T  ~  Al7        "77F  ~    - 
Supposons  de  plus  que 

/rN  t/Xi        rfXi 

(G)  —L  H-  _z  =0. 

dx\         dsc* 

La  situation  du  system e  depend  alors  des  trois  quantity's  ^r4,  a?2  et  2;  onpeut 
done  la  representer  par  la  position  d'un  point  dans  1'espace;  voici  q^el  mode 
de  representation  on  peut  adopter  pour  fixer  les  idees  : 

Les  coordonn^es  rectangulaires  du  point  repr^sentatif  seront  e"rieo"s£,  ^sinc 
et  ^2'  De  cette  fagon  : 

i°  a  tout  systeme  de  valeurs  des  trois  quantites  xi:  x^  et  t  corresponds  un 
point  de  1'espace; 

2°  a  tout  point  de  1'espace  correspondra  un  seul  systeme  de  valeurs  des 
quantit6s  ^i,  x^  cos^  sini,  et  par  consequent  une  seule  situation  du  sjsteme 
si  1'on  ne  considere  pas  comme  distinctes  deux  situations  qui  ne  different  que 
parce  que  t  a  augment^  d'uri  certain  nombre  de  p6riodes  STT; 

3°  si  Ton  fait  varier  /,  (xa  et  x$  restant  constants)  le  point  repr^senlalif 
d6crit  une  circonf^rence; 

4°  a  la  condition  x\  =  x*  =  o  correspond  le  cercle  ^  =  o,  x~  4~j'*2  ==  i ; 

5°  a  la  condition  jc\  =  —  oo  correspond  Paxe  des  z. 

A'toute  solution  des  Equations  (i)  correspondra  une  courbe  d6crite  par  le 
point  repr^sentatif.  Si  la  solution  est  periodique,  cette  courbe  est  fermee. 

Consid^rons  done  une  courbe  fermee  C  correspondant  a  une  solution 
p^riodique. 

Formons  les  Equations  (2),  (3),  (2')  et  (3')  relatives  a  cette  solution  p£rio- 
dique  et  imaginons  que  Ton  calcule  les  quantitds  a  correspondantes. 

Ces  quantites  sont  au  nombre  de  deux,  et  en  verlu  de  la  relation  (6)  elles 
sont  egales  et  de  signe  contraire. 


876  SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 

Deux,  cas  peuvent  se  presenter  :  ou  bieii  leur  carre  est  negatif  et  la  solution 
periodique  esL  stable;  on  bien  leur  carre  est  positif  et  la  solution  est  inslable. 

Placons-nous  dans  ce  dernier  cas  et  appelons  +  a  et  —  a  les  deux  valeurs  de 
1'exposant  a;  nous  pourrons  supposer  alors  que  a  est  reel  positif. 

Gela  pos^j  les  series  (40  seront  developp^es  suivant  les  puissances  croissantes 
de  A<?a*  et  de  B<?~°";  mais  elles  ne  seront  pas  convergentes  si  A  et  B  y  entrent 
a  la  fois;  elles  le  deviendront  au  contraire,  si  Ton  y  fait  soit  A=  o,  soit  B  =  o. 

Faisons  d'abord  A  =  o;  alors  les  73  seront  developpes  suivant  les  puissances 
de  B#~ai;  si  done  t  croit  ind^finiment,  73 1  et  yj2  tendent  simullan^ment  vers  z£ro. 
Les  solutions  correspondantes  peuvent  s'appeler  solutions  asymptotiques]  car 
pour  t  =  -j-  oo,  les  YJ  et  par  consequent  les  ^  tendent  vers  zero,  ce  qui  veut  dire 
que  la  solution  asymptotique  se  rapproche  asymptotiquement  de  la  solution 
periodique  consideree. 

Si  Ton  fail  de  m£me  B  =  o,  les  vj  sont  developpes  suivant  les  puissances 
de  A  ea*;  ils  tendent  done  vers  z6ro  quand  t  tend  vers  —  oo.  Ce  sont  done  encore 
des  solutions  asymptotiques. 

II  y  a  done  deux  series  de  solutions  asymptotiques,  la  premiere  correspondant 
£  £  =  4-00,  la  seconde  a  t  = —  oo.  Chacime  d'elles  contient  une  constante  arbi- 
traire,  la  premiere  B,  la  seconde  A. 

A  cKacune  de  ces  series  de  solutions  asymptotiques  correspondra  une  s^rie 
de  courbes  se  rapprochant  asymptotiquement  de  la  courbe  ferm6e  C  et  qu'on 
pourra  appeler  courbes  asymptotiques.  L'ensemble  de  ces  courbes  asympto- 
tiques formera  une  surface  asymptotique.  II  y  aura  deux  surfaces  asympto- 
tiques, la  premiere  correspondant  a  £=  +  00,  la  seconde  a  t  =  —  oo.  Ces  deux 
surfaces  iront  passer  par  la  courbe  ferm^e  C. 

Supposons  que  dans  les  Equations  (i)  les  X  dependent  d'un  parametre  p.  et 
que  les  fonctions  X  soient  d6veloppables  suivant  les  puissances  de  ce  parametre. 

Imaginons  que  pour  /JL  =  o,  les  exposants  caracteristiques  y  soient  tous 
distincts  de  telle  fagon  que  ces  exposants,  etant  definis  par  liquation 
G(a;  |m)  =  o  du  paragraphe  precedent,  soient  eux-m^mes  d^veloppables  suivant 
les  puissances  de  fx. 

Supposons  enfin  qu7on  ait,  ainsi  que  nous  venons  de  le  dire,  annule  toutes 
les  constantes  A  qui  correspondent  a  un  a  dont  la  partie  r6elle  est  negative  ou 
nulle. 

Les  series  (^')  qui  d&Snissent  les  quantit^s  ru  dependent  alors  de  /*.  Je  me 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  877 

propose  d'^tablir  que  ces  series  peuvent  etre  developpees,  non  seulenient 
suivant  les  puissances  des  A£e%  mais  encore  suivant  les  puissances  de  tu. 

Considerons  Pinverse  de  1'un  des  diviseurs  (5)  :  (y  yCT7  4-  2a;5  _  a,-)-1.  Je 
dis  que  cette  expression  peut  etre  d^veloppee  suivant  les  puissances  de  p.. 

Soient  oji,  a2j  .  .  .  ,  a/,  les  /•:  exposants  caracteristiques  dont  la  partie  r^elle  est 
positive  el  que  nous  sommes  convenus  de  conserves  CKacun  d'eux  est  d<£ve- 
loppable  suivant  les  puissances  de  /JL.  Soil  «°  la  valeur  de  a,-  pour  p  —  o;  nous 
pourrons  prendre  p,0  assez  petit  pour'que  «,-  differe  aussi  peu  que  nous  voudrons 
de  ocf  quand  j  p.  <  p.0.  Soit  alors  A  une  quantite  positive  plus  petite  que  la  plus 
petite  des  parties  r6elles  des  k  quantites  a?,  «J,  .  ..,«2;  nous  pourrons 
prendre  ^0  assez  petit  pour  que,  quand  |fJt|<^0j  les  k  exposants  a^  a2;  ...,«* 
aient  leur  partie  reelle  plus  grande  que  A. 

La  partie  reelle  de  y  v^—  *  +  2a?  —  ai  sera  a!->rs  plus  grande  que  A 
(si  (3/>>  o),  de  sorte  qu'on  aura 


Ainsi  si  p.  |  <  p.0,  la  fonction  (y  \/  —  i  -f  ^ajS  —  «/)-'  reste  uniforme,  continue, 
finie  et  plus  petite  en  valeur  absolue  que  j« 

Nous  en  conclurons  d'apres  un  th^oreme  bien  connu  que  cette  fonction  est 
d^veloppable  suivant  les  puissances  de  p.  et  que  les  coefficients  du  d^veloppement 

sont  plus  petits  en  valeur  absolue  que  ceux  du  d^veloppement  de  -  - 

X1™: 
II  est  a  remarquer  que  les  nombres  A  et  /JLO  sonl  ind^pendants  des  entiers  (3  ety. 

II  y  aurait  exception  dans  le  cas  ou  |3/  serai  t  nuL  La  partie  reelle  du  divi- 
seur  (5)  pourrait  alors  etre  plus  petite  que  A  et  m£me  ^tre  negative.  Elle  est 
6gale  en  effet  a  la  partie  reelle  de  2aj3  qui  est  positive,  moins  la  partie  rdelle 
de  at  qui  est  6galement  positive  et  qui  peut  etre  plus  grande  que  celle  de  2a(3 
si  (3i  est  nuL 

Supposons  que  la  parlie  reelle  de  a£-  reste  plus  petite  qu'un  certain  nombre  AI 
tant  que  \p\  <  p-o-  Alors  si 
(7)  Sp>^  +  i, 

la  partie  reelle  de  (5)  est  certainement  plus  grande  que  A;  ii  ne  peut  done  y 
avoir  de  difficult^  que  pour  ceux  des  diviseurs  (5)  pour  lesquels  Finegalil^  (7) 
n'a  pas  lieu. 

H.  P.  —  VII.  4# 


878  SUR   LE    PROBLEMS  DBS   TROIS   CORPS 

Supposons  mainloaanl  que  la  partie  imaginaire  des  quantites  aH,  «2,  .  .  .,  aA 
reste  constamruent  plus  petite  en  valour  absokie  qu'un  certain  nombre  positif  A2; 
si  Ton  a  alors 
(«)  !  v  !  >  /iasrn-t-/?, 

la  partie  imaginaire  de  (5)  et  par  consequent  son  module  sera  encore  plus 
grand  que  h\  de  telle  sorte  qu'il  ne  pent  y  avoir  de  difficnllc  que  pour  ceux  des 
diviseurs  (5)  pour  lesquels  aucune  des  in^galites  (7)  et(8)  n?a  lieu.  Mais  ces 
diviseurs  qui  ne  satisfont  a  aucune  de  ces  in^galit^s  sont  en  nombre  fini. 

D'apres  une  hypothese  que  nous  avons  faite  plus  haul,  aucun  d'eux  ne 
s'annule  pour  les  valeurs  de  \j.  que  nous  considerons;  nous  pouvons  done 
prendre  h  et  pt0  assez  petits  pour  que  la  valeur  absolue  de  Tun  quelconque 
d'entre  eux  reste  plus  grande  que  h  quand  |  \±  \  reste  plus  petit  que  fJL0. 

Alors  Pinverse  d'un  diviseur  (5)  quelconque  est  developpable  suivant  les 
puissances  de  [J.  et  les  coefficients  du  d^veloppement  sont  plus  petits  en  valeur 

absolue  que  ceux  de  --  Nous  avons  ecrit  plus  haut  : 

7      /  I* 

A    i  ~  ~ 
\         t^o 


D'apres  nos  hypotheses,  C  peut  dtre  developpe  suivant  les  puissances  de  p  de 
telle  sorte  que  je  puis  poser 


C  =  SE  >i',          H//  =  S 

Reprenons  main  tenant  les  equations  (2//)  en  y  faisant 

£  =  A  /,  _  i  V          H'i  =  S  |  E  |  ^^  .  .  .  r,?». 
\         Ko/ 

Les  seconds  membres  des  Equations  (^')  seront  alors  des  series  convergentes 
ordonn^es  selon  les  puissances  de  /*,  dc  r;1?  7}2»  ,  .  .  ct  73,1. 

On  en  tirera  les  YJ,  sous  la  forme  de  series  (4/r)  convergentes  et  ordonnees 
suivant  les  puissances  de  jjt,  At  e*1',  A%  e*"-f,  .  .  .,  AA  6a^. 

Des  Equations  (a;)  nous  tirerions  d'autre  part  les  rn  sous  la  forme  de 
series  (40  ordonnees  suivant  les  puissances  de  ^,  AI  e**f,  A2  e^1*  .  .  .,  A^ea;/s 
^  v""1,  e~~L^~~^.  Chacun  des  termes  de  (4')  est  plus  petit  en  valeur  absolue  que  le 
terme  correspondant  de  (4")  et  comme  les  series  (4!/)  convergent,  il  en  sera  de 
meme  des  series  (4')- 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  879 

14.  —  Solutions  asymptotiques  des  equations  de  la  Dynamique. 
Reprenons  les  equations  (i)  du  paragraphe  1 1  : 

et  les  hypotheses  faites  a  leur  sujet  au  debut  de  ce  paragraphe  I  1. 

Nous  avons  vu  dans  ce  paragraphe  1 1  que  ces  equations  admetteni  des 
solutions  periodiques  et  nous  pouvons  en  conclure  que  pourvu  que  Tun  des 
exposants  caracteristiques  a  correspondanls  soit  reel,  ces  equations  admettronl 
aussi  des  solutions  asymptotiques. 

A  la  fin  du  paragraphe  precedent,  nous  avons  envisage  le  cas  ou  dans  les 
equations  (i)  dudit  paragraphe  13,  les  seconds  membres  X/  sont  d^veloppables 
suivant  les  puissances  de  p.,  mais  ou  les  exposants  caraclerisiiques  restent 
distincts  les  uns  des  autres  pour  4u  =  o. 

Dans  le  cas  des  equations  qui  vont  maintenant  nous  occuper,  c'est-a-dire  des 
equations  (i)  des  paragraphes  1 1  et  1-4,  les  seconds  membres  sont  encore  deve- 
loppables  selon  les  puissances  de  //,;  mais  tous  les  exposants  caracteristiques 
sont  nuls  pour  p.  =  o. 

11  en  r^sulte  un  grand  nombre  de  differences  importantes. 

En  premier  lieu  les  exposanls  caracteristiques  a  ne  sont  pas  d^veloppables 
suivant  les  puissances  de  [Jt.,  mais  suivant  celles  de  y  /j.  (cf*  §  12).  De  meme  les 
fonctions  que  j'ai  appeldes  cpz-jt  au  debut  du  paragraphe  13  (el  qui,  dans  le  cas 
particulier  des  Equations  de  la  Dynamique  qui  nous  occupe  ici,  ne  sont  autres 
que  les  fonctions  S7:  et  T/  du  paragraphe  12)  sont  d^veloppables,  non  suivant 
les  puissances  de  /JL,  mais  suivant  les  puissances  de  \/IJL. 

Alors  dans  les  equations  (2')  du  paragraphe  13  : 


le  second  membre  H/  est  developpe*  suivant  les  puissances  des  n,  de  e^""1,  e™'^"1 

et  de  v/F  (et  non  Pas  ^e  F)' 

On  en  tirera  les  m  sous  la  forme  des  series  obtenues  au  paragraphe  pr&c&dent 


et  N  et  II  seront  developp&s  suivant  les  puissances  de 


380  SUR   LE   PROBLEME   DES   TROIS   CORPS 

Un  certain  nombre  de  questions  se  posent  alors  naiurellement  : 
i°  Nous  savons  que  N  el  II  sont  developpables  suivant  les  puissances  de  y/fl; 
en  esL-il  de  m£me  du  quotient  ~? 

2°  S'il  en  est  ainsi,  il  existe  des  series  ordonnees  suivant  les  puissances 
de  ^/JJL,  des  A,-ea'',  de  e1^"1  et  de  e~l^~^  qui  satisfont  formellement  aux  Equa- 
tions proposes;  ces  series  sont-elles  convergentes  ? 

3°  Si  elles  ne  sont  pas  convergentes,  quel  parti  peut-on  en  tirer  pour  le 
calcul  des  solutions  asymptotiques  ? 

Je  me  propose  de  d^montrer  que  1'on  peut  d^velopper  —  suivant  les  puis- 
sances de  ^/fz  et  que  par  consequent  il  existe  des  series  ordonnees  suivant  les 
puissances  de  \//JL,  des  Afe0^,  de  ^v/~1  et  de  e"^f~l  qui  satisfont  formellement 
aux  Equations  (i).  On  pourrait  en  douter;  en  effet  n  est  le  produit  d'un  certain 
nombre  des  diviseurs  (5)  du  paragraphe  pr>6c6dent.  Tous  ces  diviseurs  sont 
developpables  suivant  les  puissances  de  ^/JJL;  mais  quelques-uns  d'entre  eux, 
ceux  pour  lesquels  y  est  mil,  s'annulent  avec  \/p.  II  peut  done  arriver  que  II 
s^annule  avec  p.  et  contienne  en  facteur  une  certaine  puissance  de  \//jt.  Si  alors 
N  ne  contenait  pas  cette  m£me  puissance  en  facteur,  le  quotient  -  se  d£velop- 

perait  encore  selon  les  puissances  croissantes  de  yp,  mais  le  developpement 
commencerait  par  des  puissances  negatives. 

Je  dis  qu'il  n'en  est  pas  ainsi  et  que  le  developpement  de  —  ne  contient  que 
des  puissances  positives  de  yfx. 

Voyons  par  quel  m^canisme  ces  puissances  negatives  de  \/p  disparaissent. 
Posons 

A/  £°^=  Wi, 

et  considdrons  les  x  et  les  y  comme  des  fonctions  des  variables  t  et  pp. 

II  iinporte  avant  d?aller  plus  loin  de  faire  la  remarque  suivante  :  parmi 
les  2/1  exposanls  caractdristiques  a,  deux  sont  nuls  et  les  autres  sont  deux  a 
deux  6gaux  et  de  signe  contraire.  Nous  ne  conserverons  que  n  —  i  au  plus  de 
ces  exposants  en  convenant  de  regarder  comme  nuls  les  coefficients  A?  et  les 
variables  wi  qui  correspondent  aux  n  -+- 1  exposants  rejet6s.  Nous  ne  conser- 
verons que  ceux  de  ces  exposants  dont  la  partie  reelle  est  positive. 


ET  LES  EQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.  38 1 

Gela  pos6,  les  equations  (i)  deviennent 


(3) 


Cherchons,  en  partant  de  ces  equations,  a  developper  les  xi  et  les  yt — n-tt 
suivant  les  puissances  croissantes  de  \/ta  et  des  tp  de  telle  facon  que  les  coeffi- 
cients soient  des  fonctions  p^riodiques  de  £. 
Nous  pouvons  £crire 


-h  a|  n  -H  .  .  .  =  S 


car  nous  avons  vu  au  paragraphe  12  comment  on  peut  developper  les  exposanls 
caract£ristiques  suivant  les  puissances  de  \/JJL. 
Ecrivons  d'autre  part  : 


Xi  =  x$  -+-  j?1  vV  -4-  .  .  .  =  S^??  JJL'-, 


les  #f  et  les  yf  etant  des  fonctions  de  ^  et  des  PP,  p6riodiques  par  rapport  a  t  et 
d^veloppables  suivant  les  puissances  de  PP. 

Si  dans  les  equations  (2)  et  (3)  nous  substituons  ces  valeurs  a  la  place  dea*, 
des  xi  et  des  y^t  les  deux  mernbres  de  ces  Equations  seront  d6velopp6s  suivanl 
les  puissances  de  \//Ju 

/L±l 

Egalons  dans  les  deux  membres  des  equations  (2)  les  coefficients  de  p.  "  ,  et 

p 
dans  les  deux  membres  des  Equations  (3)  les  coefficients  de  p.",  nous  obtien- 

drons  les  Equations  suivantes  : 


(4) 


ou  Zf  et  Tf  ne  dependent  que  de  #",  ^,  . ..,  ^rf  S  jf,  r/,  . ..,  rf""2- 
Convenons,  comme  nous  Favons  fait  plus  haul,  de  repr^senler  par  [U]  la 
valeur  moyenne  de  U,  si  U  est  une  fonction  p^riodique  de  t. 


382  SUR  LE  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS 

Des  Equations  (4)  nous  pourrons  alors  deduirc  les  suivantes  : 

d-  Fi  "1 

— r —    >-//-!          , 

Y?<lyl}k     J' 


Supposons  maintenant  qu'un  calcul  prealable  nous  ail  fait  connaitre  : 

$1  5         Xl    1          '   '       •>         X  I          5          ^  L  \.X  l\  ^  }  'i    ?         }'l    '  *   '   *'         }    t       "'         ¥  I  LXi          J* 

Les  equations  (5)  vont  nous  permettre  de  calculer  [#f  ]  et  [//^!]  et  par  conse- 
quent a?f  et  rf"1*  Les  equations  (4)  nous  permettront  ensuite  de  determiner 
^?f+I  —  [#f+1]  et- Jrf  —  [yf]?  ^e  sorte  q110  ce  procede  nous  fournira  par  recur- 
rence tous  les  coefficients  des  developpernents  de  xt  et  de^v* 

La  seule  difficuke  est  la  determination  de  [#"]  et  [yf~J  ]  par  les  Equations  (5). 

Les  fonctions  [#f]  et  [yf"J  ]  sont  ddvelopp^es  suivant  les  puissances  crois- 
santes  d'es  <v  et  nous  allons  calculer  les  divers  termes  de  ces  developpements  en 
commencant  par  les  termes  du  deere  le  moins  eleve. 

»  JL  D 

Pour  cela  nous  allons  reprendre  les  notations  du  paragraphe  12;  c'est-a-dire 

que  nous  allons  poser 

(?'-  F 

^  ._  p  o,          p  * 

,      A     VJ ;  I-  C  t 


(pour  les  valeurs  nulles  de  <v). 

Si  alors  nous  appelons  ?/  et  v?/  les  coefficients  de  w'^w'!?*  ,  .  .  frj^f1  dans  [,^f  ] 
et  [yf~1]j  nous  aurons  pour  determiner  cos  coefficients  les  Equations  suivantes  : 

(6; 

Dans  ces  Equations  (6)  Xf  et  4u,  sont  des  quantitds  connues,  parce  qu'elles  ne 
dependent  que  de 


ou  des  termes  de  [#{']  et  [j'f"1]  dont  le  degre  par  rapport  aux  cp  est  plus 
petit  que 

2  -f-  .  .  .  -+-  mn—  i  . 


De  plus  nous  avons  pose  pour  abr^ger 

S  =  /?Z!  a  j  4-  /??£  a.]  -f-  .    .  -h  ;?zw_i  a^_  t  . 

Nous  avons  done  pour  le  calcul  des  coefficients  ^  et  rj/  un  systeme  d'^quations 


ET   LES   EQUATIONS  DE  LA   DYNAMIQUE.  383 

lineaires.  II  ne  pourrait  y  avoir  de  difficulle  que  si  le  determinant  de  ces 
equations  £tait  nul;  or  ce  determinant  est  egal  a 

S2[S^-(a{)^][S^-(ai/]...[S^(aA_I)2]. 
II  ne  pourrait  s'annuler  que  pour 

S=o,          S=zha>, 

c'est-a-dire  pour 


On  ne  pourrait  done  rencontrer  de  difficulle  que  dans  le  calcul  des  termes  du 
degre  z6ro  ou  i  par  rapport  aux  w. 

Mais  nous  n'avons  pas  a  revenir  sur  le  calcul  de  ces  termes;  en  eiTet  nous 
avons  appris  a  calculer  les  termes  ind6pendants  des  w  dans  le  paragraphe  II  et 
les  coefficients  de  Wt,  (V2,  .  .  .,  wn-*  dans  le  paragraphe  12. 

Les  termes  ind^pendants  des  w  ne  sont  en  effet  autre  chose  que  les  series  (8) 
du  paragraphe  11  et  les  coefficients  de  «-',,  <r2,  . .  .,  wn-\  ne  sont  autre  chose 
que  les  series  S/  et  T/  du  paragraphe  12. 

II  me  reste  a  dire  un  mot  des  premieres  approximations. 

Nous  donnerons  aux  #?  des  valeurs  constantes  qui  ne  sont  autres  que  celles 
que  nous  avons  d6sign£es  ainsi  au  paragraphe  11. 

Nous  aurons  alors  les  Equations  suivantes  : 

W  —         dxi  —         ^Li    V  a  i  c    dy*  — 

lit    "    7  dt    ""    '  rt7        ^-J  "*        <tf«»x-  "™ 


(7) 

I  ^./j  "^  ^A"  ^7a^  ""  ^y/ 

I  A  " 

Dans  F0  qui  ne  depend  que  des  a?/,  ces  quantites  doivent  etre  remplacees 
par  x\*  Dans  F^  les  x\  sont  remplac6s  par  ^°  et  les yi  par  n/^.  Ft  devient  alors 
une  fonction  p^riodique  de  t  dont  la  periode  est  T.  Nous  d^signerons  par  6 
comme  dans  les  paragraphes  II  et  12  la  valeur  moyenne  de  cette  fonction 
periodique  FA;  fy  est  alors  une  fonction  pdriodique  et  de  periode  271  par 
rapport  auxy°. 

Les  deux  premieres  equations  (7)  montrent  que  les  y%  et  les  x\  ne  dependent 
que  des  w.  En  6galant  dans  les  deux  dernieres  ^quatioBs  (7)  les  valeurs 
moyennes  des  deux  membres,  il  vient 


38.{  SUR   LE   PROBLEME   DES   TROIS   CORPS 

Ces  equations  (8)  doivent  servir  a  determiner  les  r"  el  les  x\  en  fonctions 
des  c*\  Peut-on  satisfaire  a  ces  equations  en  subslituanl  a  la  place  des  yl  et 
des  x\  des  series  developpees  suivant  les  puissances  des  tv? 

Pour    nous    en    rendre    compte    envisageons    les    equations  differentielles 
suivantes  : 

dx}          d'b 


Ces  equations  differentielles  ou  les  fonctions  inconnues  sont  les  yl  et  les  xt 
admettront  une  solution  periodique 


=  o, 


ET/  etant  la  quantite  design6e  ainsi  au  paragraphe  11. 

Les  exposants  caractdristiques  relalifs  a  celte  solution  periodique  sont  preci- 
sement  les  quantit^s  aj..  Parmi  ces  quantit^s  nous  sommes  convenus  de  ne 
conserver  que  celles  dont  la  partie  r^elle  est  positive.  Les  Equations  (g) 
admetlent  un.  systeme  de  solutions  asymptoliques  et  il  est  aise  de  voir  que  ces 
solutions  se  pr^sentent  sous  la  forme  de  series  d6velopp6es  suivant  les 
puissances  des  pp.  Ces  series  satisferont  alors  au*x  equations  (8).  Ces  equations 
peuvent  done  £tre  r^solues. 

Les  x\  et  les  y\  etanl  aiasi  d^termin6s,  le  reste  du  calcul  ne  presente  plus 
comme  nous  Tavons  vu  aucune  difficulte.  II  existe  done  des  series  ordonn^es 
suivant  les  puissances  de  //j.,  des  w  et  de  er=^r=*  et  qni  satisfont  formellement 
aux  Equations  (i). 

Gela  prouve  quo  le  developpement  de  —  ne  debute  jamais  par  une  puissance 
negative  de  \//x. 

Malheureusement  les  series  ainsi  obtenues  ne  sont  pas  convergentes. 

Soit  en  effet—  =  --  Si  r  n'est  pas  nul,  cette  expression  est  deve- 

\-IT  +  S«?-«<         „ 
loppable  suivant  les  puissances  de  \/p-;  niais  le  rayon  de  convergence  de  la 

s£rie  ainsi  obtenue  tend  vers  zero  quand  ^7  tend  vers  zero. 

IP 

Si  done  on  d6veloppe  les  diverses  quantit^s  ^  suivant  les  puissances  de  \//J. 

on  pourra  toujours,  parmi  ces  quantit^s,  en  trouver  une  infmit6  pour  lesquelles 
le  rayon  de  convergence  du  developpement  est  aussi  petit  qu'on  le  veut. 

On  pourrait  encore  esperer,  quelque  invraisemblable  que  cela  puisse 
paraitre,  qu'il  n'en  est  pas  de  meme  pour  les  d^veloppements  des  diverses 


ET   LES  EQUATIONS   DE   LA  DYNAMIQUE.  385 

N 
quantit£s  -;  mais  nous  verrons  dans  la  suite  d'une  fa^on  rigoureuse  qu'il  n'en 

est  pas  ainsi  en  g£n£ral;  il  fauL  done  renoncer  a  ce  faible  espoir  et  conclure  que 
les  series  que  nous  venons  de  former  sonl  divergentes. 

Mais  quoiqu'elles  soient  divergentes  ne  peut-on  en  tirer  quelque  parti? 

Gonsiderons  d'abord  la  serie  suivante  qui  est  plus  simple  que  celle  que  nous 
avons  en  vue  : 


*<->•> -ZrS; 


Cette  s^rie  converge  uniformement  quand  [j.  reste  positif  et  que  (V  reste  plus 
petit  en  valeur  absolue  qu'uii  certain  nombre  positif  tr0  plus  petit  que  r.  De 

mesme  la  s^rie 

^  JJL) 


pl 
converge  uniformement. 

Si  maintenantl'on  cherche  a  developper  F(tr,  /JL)  suivant  les  puissances  de  p., 
la  s6rie  a  laquelle  on  est  conduit 

(lo)  Scp;i(  —  TI)/';JL/; 

ne  converge  pas.  Si  dans  cette  serie  on  neglige  tous  les  termes  ou  Fexposant 
dc  ^  est  sup^rieur  a/>,  on  obtient  une  certaine  fonction  $/>(«>,  P-)-  ^  est  ais&  ^e 
voir  que  Fexpression  •  ?  **"'  f  fl^w*  ^^  Lend  vers  z^ro  quand  /x  tend  vers  zero 

par  valeurs  positives?  de  sorte  que  la  serie  (10)  repr^sente  asymptotiquemenl 
la  fonction  F(w:  'p.)  pour  les  petites  valeurs  de  /J.  de  la  m£me  maniere  que  la 
s^rie  de  Stirling  repr^sente  asymptotiquement  la  fonction  euI6rienne  pour  les 
grandes  valeurs  de  x. 

Les  series  divergentes  que  nous  avons  appris  a  former  dans  le  present 
paragraphe  sont  tout  £  fait  analogues  a  la  s^rie  (10). 

Consid£rons  en  effet  Tune  des  series 


(10')  ^g  w?iw%*'  -  •"'I*  eY/v/iri  =  F(^  wi*  «'*,  •  -  -3  w*,  t) 

et 

N 


ces  series  sont  uniformement  convergentes  pourvu  que  les  <r  reslent  inftrieurs 
en  valeur  absolue  a  certaines  limites  et  que  \/V  reste  r6eL 

H.  p.  —  vii.  49 


3,S(>  SUR  LE  PROBLfcME   DES  TROIS  CORPS 

Si  1'on  d6veloppc  ^-  suivant  les  puissances  de  yV;  ies  sdries  (10')  son! 
divergonies  ahisi  que  nous  Pavons  dil.  Supposons  qu'on  neglige  dans  le  d(5ve- 
loppement  les  termes  ou  J'exposaiii  Je  //I  est  supcrieur  ap,  on  obtiendra  une 
certaine  fonclion  *y,(  V/^  *>n  **>  •  •  •  >  "'*'  0  ?ui  sera  d^vel°PPable  suivant  les 
puissances  des  iv,  e~n  "r  eL  qui  sera  un  poljnome  de  degre/?  en  v/P- 

On  voit  alors  que  Pexpression  ^  ""_0/'  tend  vers  zero  quand  p.  lend  vers  zero 

1  A  V''  I1'" 

par  valcsurs  positives;  et  cela  quelque  grand  que  soit  p. 

En  effet  si  Ton  designe  par  H^  Fensemble  des   termes  du   d^veloppemenl 

de  ^  ou  1'exposant  de  yV  t3sL  au  plus  6gal  a  /?,  on  a 


et  la  serie  du  second  membre  est  uniformement  convergent  el  tons  ses  termes 
teiident  vers  z&to  quand  (JL  tend  vers  z<5ro» 

On  petit  done  dire  que  les  series  que  nous  avons  oblenues  dans  le  present 
paragraphe  14  representent  les  solutions  asymptoiiques  pour  les  peliles  valeurs 
de  /JE.  de  la  meme  maniere  que  la^serio  de  Stirling  represente  les  fonctions 
euleriennes- 

On  s7en  rendra  d'ailleurs  mieus  compte  de  la  maniere  suivante;  supposons 
deux  degrds  de  libert^  seulemenl  pour  fixer  les  idees;  alors  nous  ne  conser- 
verons  plus  qu'une  seule  des  quantitfis  w  et  nous  pourrons  ^crire  nos  Equations 
sous  la  forme  suivante  : 

An  fai      <ft          <tvi   .mtvt  -      d$        (£-ia^ 

—  L_)_at^-;  —  =  ~7  —  J  ~~7  --  t-atv-;  —  =  --  j  —  ^—1,2; 

dt  dw        dyi  dt  dw  dXi 

en  supprimani  Ies  indices  de  a  et  de  w  devenus  inuliles. 

Nous  savons  que  a  est  developpable  suivant  les  puissances  impaires  de  tfp.  et 
par  consequent  a2  suivant  les  puissances  de  /JL;  inversement  p.  est  developpable 
suivant  les  puissances  de  22:  nous  pouvons  remplacer  p  par  ce  developpemenl 
de  sorle  quo  F  sera  d£velopp6  suivant  Ies  puissances  de  a2.  Pour  a  =  o,  F  se 
r^duit  a  F0  qui  ne  depend  que  de  %t  et  de  x*. 

Soit 


la  solution  periodique  qui  nous  sert  de  point  de  depart.  Posons?  comme  au 
paragraphe  12  : 


ET  LES  EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  $87 

nos  Equations  deviendront 


~ 

-f-  a  ^-7=2,, 
' 


rf'ru  ftr\i 

-7^  —  aw  -7-^  =  II,. 


Sj  et  HI  sont  d^veloppes  suivant  les  puissances  des  H0  des  VH  el  de  a-;  et  les 
coefficients  sont  des  fonctions  p&riodiques  de  t. 

//F* 
Pour  cc  =  o,  -j  —  et  par  consequent  Ez-  s'annulent;  done  Sf  est  divisible  par  fle- 

et je  puis  poser 

S^a'X^-aSX;, 

a2X£  repr^sentant  Fenseaible  des  termes  du  premier  degre  par  rapport  aux  ;  et 
auxY],  et  a2XJ  reprosentant  1'ensemble  des  termes  de  degr^  superieur. 

yrp 

De  m£me,  quand  a  est  mil,  »r-  et  par  consequent  H,  ne  dependent  plus  que 
des  ^  et  non  des  Y)C. 
Je  puis  done  poser 


Y,-f-  a-  Q;  reprosentant  1'ensemble  des  termes  du  premier  degre  par  rapport 
aux  ^   et  v?,    pendant   que    YJ+a2QJ    repr^sente   IVnsemble  des  termes  de 
degr6  superieur  au  premier.  Je  suppose  en  outre  que  Y,  et  Y^;  ne  dependent 
que  de  £<  et  de  &. 
Posons 

Ei  =  a?i,          Ea=a?2s 

YJ  deviendra  divisible  par  a  et  YJ  par  a-,  de  sorte  quo  je  pourrai  poser 

Yt+  a2Q,=  aZ6         Y;+  asQ;=  a^ZJ 

et  que  nos  Equations  deviendront 


Consid^rons  les  Equations 


Ces  Equations  sont  lineaires  par  rapport  aux  inconnues  5,  et  ij/.  Elles  ne 
different  pas  des  Equations  (2)  du  paragraphe  12,  sinon  parce  que  ^  et  £2  J 
sont  remplac&s  par  a?t  et  aCa-  D'apres  ce  que  nous  avons  vu  au  paragrapbe  12, 
liquation  qui  d^finit  les  exposants  caract6ristiques  admet  quatre  racines,  Tune 
6gale  &-+•«,  Tautre  a  —  a  et  les  deux  autres  a  zero. 


388  SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 

A  la  premiere  racine,  c'est-4-dire  a  la  racine  +  a,  correspondra  une  solution 
des  equations  (2)  du  paragraph©  12  que  nous  avons  appris  a  former  dans  ce 
paragraphe  12  el  que  nous  avons  ecrite  ainsi  : 


Je  rappelle  que  S°  est  nul  et  par  consequent  que  St-  est  divisible  par  a. 

A  la  seconde  racine  —a  correspondra  de  meme   une   autre  solution  des 
Equations  (2)  et  nous  I'gcrirons 


Enfin  aux  deux  racines  z6ro,  correspondent  deux  solutions  des  Equations  (2) 
que  nous  ecrirons 


TJ  ,  TJ,  T",  SJ  ,  S-  ,  S-  sont  des  fonctions  periodiques  de  £,  coin  me  S*  et  T*. 
De  plus  SJ  ,  SJ  ,  Sf  seront  comme  S£  divisibles  par  a. 
Posons  alors 


=  T4  9i  -h  T't  Oft  HH  TJ  63  H-  T?  0,, 


Les  fonctions  fl/  ainsi  d6fini.es  joueront  un  role  analogue  a  celui  des  fonctions 
du  paragraphe  13,  Les  Equations  (12)  deviennent  alors 


*.._,.+.,          * 


&*  n  r. 

•4-  zw  -7-^  -h  aOa  =  ^023 

^-/y  ¥  1 


6i?  6a,  da  et  ®4  sont  des  fonctions  d^veloppees  suivant  les  puissances  de  Oi,  Oa, 
0»,  9*  et  a  dont  to  us  les  lermes  sont  du  deuxieme  degr6  au  moins  par  rapport 
aux  9,  et  dont  les  coefficients  sont  des  fonctions  periodiques  de  t.  De  plus  les  fl 
doivent  etre  des  fonctions  periodiques  de  t  el  les  termes  du  premier  degr6  en  w 
dans  81,  82,  03  et  94  doivent  se  r^duire  a  w,  o,  o  et  o. 

Ges  equations  (r4)  sont  analogues  aux  Equations  (2')  du  paragraphe  13. 

Cela  pose,  soit  *  une  fonction  qui,  de  m£me  quo  64,  ®2>  ®;j  et  0/J7  soil 
developp<5e  suivant  les  puissances  de  Ol7  02,  033  0/0  de  a,  e"f~l  et  er^-i  et  qui 
soit  telle  que  chacun  de  ses  coefficients  soit  reel  positif  et  plus  grand  en  valeur 
absolue  que  le  coefficient  du  ternxe  correspondant  dans  ®0  ®2,  03  et  ®4;  tons 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA  DYNAMIQUE.  889 

les  lermes  de  <£  seront  d'ailleurs,  comme  ceux  dcs  0,,  du  second  degre  au  moins 
par  rapport  aux  0. 

Observonsquelenombre  n  *~l  +  p(ou  n  cstentierpositif,  negatifou  mil,  et 

ou  p  est  entier  positif  et  au  moins  egal  a  i)  est  toujours  plus  grand  en  valeur 
absolue  que  r,  quels  que  soient  d'ailleurs  /i,  p  et  a. 
Formons  alors  les  equations 


qui  sont  analogues  aux  equations  (a'7)  du  paragraphe  13. 

Des  Equations  (i4)  on  peut  tirer  les  0  sous  la  forme  de  series  ordonnees 
suivant  les  puissances  de  w  et  de  ^V-i  et  qui  sont  analogues  aux  series  (4')  du 
paragraphe  13.  Des  Equations  (10)  on  peut  tirer  les  0  sous  la  forme  de  series 
ordonnees  suivant  les  puissances  des  memes  variables  et  analogues  aux 
series  (4")  du  paragraphe  13.  Chacun  des  termes  de  ces  dernieres  series  est 
positif  et  plus  grand  en  valeur  absolue  que  le  terme  correspondant  des 
premieres  series;  si  done  elles  convergent,  il  en  est  de  meme  des  series  tiroes 
des  equations  (i4)« 

Or  il  est  aise  de  voir  que  1'on  peut  trouver  un  nombre  W0  independanl  de  «. 
tel  que  si  w  <  ^0?  les  series  tirees  de  (i5)  convergent. 

II  en  results  que  les  series  ordonnees  suivant  les  puissances  de  w  et  tirdes 
de  (i4)  convergent  uniformement  quelque  petit  que  soit  a  et  par  consequent 
quelque  petit  que  soit  p.:  ainsi  que  je  1'ai  annonce  plus  haut. 

Nous  poss^dons  maintenant  les  0  sous  la  forme  de  series  ordonnees  suivant 
les  puissances  de  w  et  de  g-^-1;  les  coefficients  sont  des  fonctions  connues  de  a. 
Si  Ton  d£veloppe  chacun  de  ces  coefficients  suivant  les  puissances  de  a,  on 
obtiendra  les  9  d£velopp6s  suivant  les  puissances  de  a.  Les  series  ainsi  obtenues 
sont  divergentes,  comme  nous  Tavons  vu  plus  haut;  soit 

(16)  Or  =  Of  -h  aO,1  -h  a2025-4-,  .  . 

ces  series. 
Posons 


Posons 
(I7)  0, 

en  £galant  0£  aux/>  +  1  premiers  termes  de  la  s£rie  (16)  plus  un  terme  compld- 
mentaire 


3g0  SUR   LE   PROBLEME   DES   TROIS  CORPS 

Si  dans  H£  on  remplace  les  O/  par  leurs  developpements  (i  7),  les  H*  peuvent 
se  dtevelopper  suivant  les  puissances  de  a  et  1'on  peat  6crire 


les  0*  6ianl  independants  de  a  pendant  que  U/  est  ddveloppable    suivant  les 
puissances  de  a. 

On  aura  alors  les  equations 


(18) 


et  ensuite 


Voici  quelle  est  la  forme  de  la  fonction  U£;  les  quantil^s  Of  peuvent  6tre 
regardees  comme  des  foaclions  connues  de  t  et  de  w,  dofmies  par  les  equa- 
tions (18)  et  par  liquation  (20)  que  j'^crirai  plus  loin;  pendant  que  les  HI 
restent  les  fouctions  inconnues.  Alors  Ui  est  une  fonction  d6velopp6e  suivan-t 
les  puissances  de  «>,  de  e*^,  de  a  et  des  uf.  De  plus  Lout  terme  du  g*kmc  degrd 
par  rapport  aux  ut  est  au  moins  du  degre/?(g  —  i)  par  rapport  a  a. 
Soit  U?  ce  que  devient  U*  quand  on  y  annule  a  et  les  m ;  on  aura 


Je  puis  ensuite,  en  posant 

clv'l 

\J  •  ^7     lj  f  — — -    W  '   } 

pufs 

rnettre  les  Equations  (19)  sous  la  forme 

_       aw  _ 


On  voit  alors  que  les  V*  ne  contienuent  que  des  termes  du  deuxieme  degr6  au 
moins  par  rapport  £  w  et  aux  Uf. 
En  effet  les  6/  sont  divisibles  par  w  et  se  rSduisenl  a  w  ou  a  z6ro  quand  on  y 


ET  LES  EQUATIONS  DE  LA   DYNAMIQUE.  3$  I 

supprime  les  termes  de  degre  supr'rieur  nu  premier  on  tv.  II  en  resulle  d'abord 
qtie  0f  est  divisible  par  HP*.  D'autro  part  lo  second  membre  do  1'eqnalion  (17) 
ne  eontiendra  que  des  termes  du  premier  degre  au  moins  par  rapport  a  tr  et 
HI.  Done  0,  ne  contienl  que  des  termes  du  deuxieme  degre  au  moms  par 
rapport  a  w  et  aux  ut.  II  en  r^sulte  que  les  beuls  lermes  du  premier  degre  qui 
peuvent  subsister  dans  U,,  Ua,  U,  et  U,  se  reduisent  re^pectivement  a  M,, 
—  -  ?/-2,  z/4  et  zero. 

D'ailleurs  pp-~-est  divisible  par  cva  ;  done  les  V,  ne  contiennent  que  des 
termes  du  deuxieme  degr6  au  moms.  c.  Q.  F.  n. 

Des  Equations  (21)  on  peut  tircr  les  ut  sous  la  forme  de  series  d<5veloppees 
suivant  les  puissances  de  w  et  dee±a  '^l.  En  appliquanl  a  ces  Equations  le  meme 
raisonnetneiit  qu'aux  Equations  (14)  on  peut  demontrer  que  ees  series 
convergent  quand  |  w  <^  w(}  et  quo  la  convergence  resie  uniforme  quelque 
petit  que  soit  a. 

II  en  est  de  meme  pour  les  series  qui  represented  —5  "7T^'  elc* 

U  r6sulte  de  la  qu'on  pent  assigner  une  limite  superieure  independante  de  «, 
%  du,i     d-ul 

a  U^  a    r?      3  etc-'  p°urvu 


Mais  je  veux  demontrer  niaintenant  que  cela  a  encore  lieu  pour  Unites  les 
valeurs  positives  de  tv* 
Reprenons  les  equations 

dm  dui       .., 

^aff,  _i  —  ur 
r/^  //«> 

U^  peut  ^tre  regard^e  comme  une  s6rie  developp^e  suivant  les  puissances  de  y. 
et  des  HI  etdont  les  coefficients  sont  des  fonctions  dc  i  et  de  <v.  Jo  dis  que  cette 
s^rie  reste  convergente  quels  que  soient  t  et  w  pourvu  quo  a  et  les  HI  soient 
assez  pelits.  En  effet  elle  ne  pourrait  cesser  de  converger  que  si  la  fonctioa 
F(#ij  ^ij,  ji,  72)  cessait  d'etre  d^veloppable  suivant  les  pybspnces  de  «x, 
et  des  pj  quand  on  y  remplace  a?/  par 

Off  -4-  atf/  4-  *s  Xf  -4-  ,  ,  ,  4- 

et  yi  par 

/if  i  -4-  yf  •+•  «7/  -+-  «ajr?  H-  . 


ou,  ce  qui  revieat  au  mSme,  si  la  fonction  F  pour  une  valeur  quelconque  de  t 
ou  de  w  (c'est-a-dire  pour  un  s^steme  quelconque  de  valewrs  de  tt  de  y\  et 


3g2  SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 

de  jKo)  cessait  d'etre  d^veloppable  suivant  les  puissances  de  &i — #°,  et 
de  yi —  ntt — y^.  Or  il  est  manifeste  qu'il  n'en  est  pas  ainsi. 

Je  puis  done  toujours  trouver  une  fonction  <£  d^velopp^e  suivant  les  puis- 
sances de  a  el  des  &,,  mais  dont  les  coefficients  sont  des  constantes  au  lieu 
d'fiire  fonctions  de  t  et  de  w  comme  ceux  de  Ut ;  et  de  plus  m'arranger  de  lelle 
sorle  que  le  coefficient  d'un  terme  quelconque  de  $  soit  reel  positif  et  plus 
grand  en  valeur  absolue  que  le  coefficient  correspondant  de  U/(z'=  i  s  a,  3,  4), 
au  moins  pour  les  valeurs  de  t  et  de  tv  que  j'aurai  a  consider. 

J'ajoulerai  que,  d'apres  la  forme  parliculiere  des  fonctions  U[ ,  je  puis 
trouver  deux  nombres  rSels  positifs  M  et  (3  tels  que  la  fonction  <£  satisfasse  &  la 
condition  que  je  viens  d'enoncer  si  je  p rends 


^  ~\~  u«  -f-  u?t  -+-  it', ) 

Si  jeconsidere  les  valeurs  de  tv  positives  et  inferieures  a  une  certaine  limite  W, 
je  devrai  prendre,  pour  satisfaire  a  cette  condition,  des  nombres  M  et  (3  d'autant 
plus  grands  que  W  sera  plus  grand;  mais  tant  queW  sera  fini,  les  nombres  M 
et  (3  seront  eux-mgmes  finis. 

Soit  maintenant  w±  une  valeur  positive  de  w  plus  petite  que  ^0,  D'apr£s  ce 
que  nous  avons  vu  plus  haut,  il  est  possible  d'assigner  pour  w  =  w±  une  limite 
sup^rieure  ^L  wi?  u^  u^  et  u*\  soit  u0  cette  limite,  on  aura  done 

I  «f !  <  KO         ])our     (v  =  i?j . 

Soit  maintenant  uf  une  fonction  d^finie  par  les  conditions  suivantes  : 
du'  da'  a3VI(4tt'-t-i) 


On  aura  manifestement  (*)  pour  toutes  les  valeurs  de  t  et  de  w  : 

\ut\<u'       0'=  i,  2,  3,  4). 
Or  on  trouve  sans  peine  : 

4M  b  1-4-  4 MO ;yp>w~~w<0~  °g  ~ 

et  pour  a™  o,  on  trouve 

i-h  4^  _  /^.V31 

i-h 4^0 "  VW^T/  ' 

ce  qui  montre  que  uf  reste  fini  quand  a  tend  vers  z6ro. 

(»)  Cette  propriety  se    trouve   demontree   dans  Jle^  Methodes  nouvelles  de  la  Mdcanique 
celeste,  t.  I,  §  115,  p.  373  &  378.  [J.  L,j. 


ET   LES  EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  3c>3 

Nous  devons  en  conclure  que  les  quantit^s  ut  reslent  egalement  finies  quand  y. 
tend  vers  z6ro. 

II  r^sulte  de  la  que  la  serie  Q°  +  aO/  +  a- Or  -f-.  .  .  represenle  la  fonction  O/ 
asymptotiquement  (c'est-a-dire  a  la  facon  de  la  serie  de  Stirling)  on  en 


tend  vers  zero 


d'aulres  termes  que  P  expression  — - — J'  -£t — — — — 

avec  a.  En  efifet  cette  expression  est  egale  a  a(8f  +  M/)  et  nous  venons  de  voir 
que  Of -H  m  reste  fini  quand  a  tend  vers  z£ro, 

Mais  ce  n'est  pas  tout;  je  dis  que  f-~-  reste  fini  quand  a  tend  vers  z6ro. 
Nous  avons  en  effet 

d  / du A  <r£    f  diii\  f  dtii\  __     ^  r/UJ  f/fu-          r/UJ 

^  \<"/tP  /  dw  \tltv  /         "  \tfiv  )         JHOJ  din    dw  dw 

k 

—~  et  -y-i  sont  des  fonctions  de  ^,  de  w.  de  a  et  des  ui:  mais  d?apres  ce  que 
a?M£         <rAv  7  7  ?  r  i 

nous  venons  de  voir,  nous  pouvons  assigner  aux  m  des  limites  superieures ;  nous 

pourrons  done  en   assigner  Egalement  aux  ^— '    et  aux  -7-7-   Supposons   par 
exemple  que  Fon  ait 


d 


<  B         pour     w  <  \V, 


A  et  B  £tant  deux  nombres  positifs. 

D'autre  part,  nous  savons  qu'on  peut  assigner  une  limile  a  c~^  pour  (v  =«--<. 
Supposons  par  exemple  que  Pon  ait 


pour     w  =  «P'I 


u'Q  £tant  un  nombre  positif.  Soit  ensuite  uf  une  fonction  d^finie  comrne  £1  suit  : 
'-W)-+-aB3         a'=K'0         pour     «'  =  «»,. 


a 


On  aura  manifestement 


dw 


<uf. 


Or  on  voit  sans  peine  que  u*  ne  depend  que  de  w  et  satisfait  a  liquation 


H.  P.  —  VII. 


5o 


3()4  SUR   L.E  PRQBLEME   DES   TROIS   CORPS 

Done  ur  est   fmi;   done  f~  reste  finie  quand  a  tend  vers  z£ro.  Done  on  a 
asrmptotiquement  (en  entendanl  ce  mot  au  m£me  sens  que  plus  haul)  : 

^  _  ^°/°      .  ^V    .  ,o^" 

r/tr        ^/tr  <r/cp     '     "    dw 

On  d^montrerait  do  merne  que  1'on  a  asymptotiquement  : 

d&t  _  db?          dA}         ,  cftf  d^t  _  d*  8f          d*  O/          ,  d*  0? 

"  " 


Voiei  done  la  conclusion  finale  a  laquelle  nous  parvenons  : 

Les  series 

®i  -+•  tfp&i  •+•  V-^t  -+-  •  •  -        7?/  ^  -^  ,i'i  •+•  V7iu  J'/  •+•  IJ-J^2  -<-••• 

d^finies  dans  ce  paragraphe  sonl  divergentes,  mais  elles  jouissent  de  la  meme 
propriety  que  la  s^rie  de  Stirling;  de  telle  sorte  qu3on  a  asymptotiquement  : 


De  plus,  si  D  est  un  signe  quelconque  de  differentiation,  c'est-a-dire  si  Ton 
pose 


ou  aura  encore  asymplotiquement  : 


I)j-  /  =  D  (  n,  if  -h  yf  )  H-  v  ''  H"  D  yl  «h  ;JL  Djf  H-  .  .  .  . 

En  ce  qui  concerce  I'^tude  das  series  analogues  a  celles  de  Stirling,  jerenverrai 
au  paragraphe  1  d'un  M6  moire  que  jyai  public  dans  les  Acta  Mathematica 
(t.8,p.a95)(*). 


( l )  QEuvres  de  ff.  Poincar^  t.  I,  p.  290, 


ET  LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE. 

DEUXIME  PARTIE. 

EQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE  ET  PROBLEM E  DBS  n  CORPS. 


GHAPITRE  I. 

ETUDE  DU  CIS   OU   IL  N\"  A  QUE  DEUX  DEGRES   DE  LIBERTE. 

15,  —  Representations  geometriques  diverses. 

Reprenons  les  Equations  (r)  du  paragraphe  11  ; 

dx{  __  dF  dx*  __  dF 

dt  ~~  dv\*  dt  ~~~  (!)'•>* 

( i ) 

dy\  __        dF  fly*  __        f/F 

dt  fix  i  dt  dx*± 

Nous  nous  bornerons  au  cas  le  plus  simple  qui  est  celui  ou  il  n'y  a  que  deux 
degr^s  de  liberte;  je  n'ai  pas  a  m'occuper  en  etfet  de  celui  ou  il  n'y  a  qu'un 
degre  de  liberty  car  les  equations  de  la  Dynamique  s'integrenl  alors  aisement 
par  de  simples  quadratures. 

Nous  supposerons  done  que  la  fonction  F  ne  depend  que  de  quatre  variables 
&i}  %>2,  y^  jK2-  Nous  supposerons  de  plus  que  cette  fonction  est  uniforme  par 
rapport  a  ces  quatre  variables  et  periodique  de  p^riode  271  par  rapport  a  y± 
eta  j2. 

La  situation  du  systeme  est  done  definie  par  les  quatre  quantit^s  ^r1?  j?s,  yil 
y%,  mais  cette  situation  ne  change  pas  quandj^t  ou  y%  augmente  de  27:  ou  d'un 
multiple  de  271.  En  d'autres  termes,  etpour  reprendrele  langage»du  Chapitre  I, 
%i  et  x-2  sont  des  variables  lin^aires?  pendant  que  yi  ett}\>  sont  des  variables 
angulaires. 

Nous  connaissons  une  integrate  des,  Equations  (2)  qui  est  la  suivaate  : 

G  d4signant  la  constante  des  forces  vives.  Si  cette  constanteest  regard^e  comme 
une  des  donn^es  de  la  question,  les  quatre  quantit^s  x  ety  ne  sont  plus  ind6- 
pendantes  ;  elles  sont  liees  par  la  relation  (2).  II  suffira  done,  pour  determiner 
la  situation  du  systeme,  de  se  donner  arbitrairement  trois  de  ces  quatre  quan- 


896  SUR  LE  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS 

tites.  II  devieut  possible,  par  consequent,  de  representer  la  situation  du  systeme 
par  la  position  d'un  point  P  dansPespace. 

II  pourra  arriver  en  outre  pour  des  raisons  diverses  quo  les  qualre  variables 
x  el  y  soient  soumises,  non  seulement  a  l'egalit(^  (2),  mais  a  une  ou  plusieurs 
megaliths  : 
(3)  *        ?iOi>  #*»  jTi,  ya)>  °3 


Supposons  par  exemple  pour  fixer  les  id£es  que  les  megaliths  (3)  s'<5erivent 


et  que  Fegalite  (2)  soit  telle  que  lorsque  x\  satisfait  a  ces  iiiegaliles,  on  puisse 
tirer  de  la  relation  (2)  la  quatrieme  variable  x*  en  fonction  uni  forme  des  trois 
autres  x\  ,  y\  et  yz. 

Nous  pouvons  alors  representer  la  situation  du  systeme  par  un  point  dont 
les  coordonn^es  rectangulaires  seront 

X  =  cosj'i[i  •+-  cosr«(c.t.\-+-  d\\,        Y  =  sinjn  [i  -h 
Z  =  <in 


c  et  d  6tant  deux  nouvelles  constanles  positives  telles  que 

ca  -T-  d  <^  i  ,         cb  -+•  cl  >•  o. 

II  est  clair  en  effet  qu;a  toute  situation  du  systeme,  c'est-a-dire  a  tout  systeme 
de  valeurs  de  ^?i,  y±  et  y%  satisfaisanlaux  conditions 


correspond  un  point  de  1'espace  et  un  seul,  compris  entre  les  deux  tores 

( 


Et  r<5ciproquement;  a  tout  point  de  Pespace  compris  entre  ces  deux  tores 
correspond  un  systeme  de  valeurs  de  #?i,  y\  ety2  et  un  seul,  satisfaisant  aux 
in^galites  pr^cedentes. 

II  peut  se  faire  que  les  inegalites  (3)ne  s?ecriventplus  a^>  x\  >  b]  mais  que 
cependant  ces  inegalit6s,  jointes  a  la  relation  (a)  entrainent  comme  consequence 


Si  de  plus  5:0  est  encore  fonction  uniforme  des  trois  autres  variables,  le  m£me 
mode  de  representation  geometrique  est  encore  applicable. 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA  DYNAMIQUE.  897 

Nous  pouvons  noas  placer  dans  un  cas  plus  general  encore  : 

Supposons  que  Ton  puisse  trouver  une  variable  auxiliaire  *,  jouissant  de  la 
propriety  suivante.  Si  #1}  %^y\  et  r$  satisfont  a  la  fois  a  Fegalit£  (a)  et  aux 
in^galites  (3),  on  pourra  exprimer  x^  et  x%  en  fonctions  uniformes  de  2,  de  y\. 
et  de  jvv  De  plus,  en  verLu  des  inegalites  (3),  £  ne  peut  devenir  Infinie  el  resle 
comprise  entre  certaines  liinites  de  lelle  fagon  que  Fon  a  comme  consequence 
de  (2)  et  de(3)  : 

a>£>&. 

Nous  pourrons  alors  d^fiiiir  completernent  la  situation  du  systeme  en  nous 
donnanl  les  trois  variables  £3  y±  et  y<^  el  la  representer  par  un  point  P  dontles 
coordonnees  reclangulaires  seront 


X  =  cosji  [i  H-  cosy-2(c|  -+-  d)],        Y  =  sinj'i  [i  -4™  cosj'2(c|  -$-  £/)], 

Z  =  smj3(c|H-  d) 
avec  les  conditions 

c  ^  o,        ca  -+•  d  <  i  ,        cb  -h  d  >  o. 

On  voit  alors,  comme  dans  le  cas  precedent,  quja  toute  situation  du  systeme 
correspond  un  point  de  Fespace  et  un  seul  compris  entre  les  deux  tores  (4);  et 
r6ciproquement,  qu'a  lout  point  compris  entre  ces  deux  tores  ne  peut  corres- 
pondre  plus  d'une  situation  du  systeme. 

II  peut  se  faire  que  pour  x±  =  a,  (ou  plus  generalement  pour£=  a),  la  situa- 
tion du  systeme  reste  la  m£me  quelle  que  soil  la  valeur  attribute  a  j*2*  Nous  en 
verrons  dans  la  suite  des  exeinpies.  G7est  ainsi  qu'en  coordonnees  polaires,  il 
faut  en  g^n^ral  pour  d^finir  la  position  d'un  point  se  donner  les  deux  coordon- 
n.6es  p  et  o>,  mais  que  si  Fon  suppose  p  =  o,  onretrouve  toujours  le  m^me  point, 
a  savoir  le  pdle,  quel  que  soit  &>. 

Dans  ce  cas  on  ckoisira  les  constantes  c  et  d  de  telle  fagon  que 

ca  -H  d  =  o. 
Le  second  des  deux  tores  (4)  se  r^duit  alors  a  un  cercle 

Z=o? 


En  chacun  des  pointsjjde  ce  cercle  y%  est  ind6lermin6;  mais  nianmoins,  comme 
pour  ^==  a  la  situation  du  systeme  ne  depend  pas  de  JK2,  a  chaque  point  du 
cercle  correspond  une  situation  du  systeme  et  une  seule, 

On.  peut  dire  alors  qu'a  toute  situation  du  systeme  correspond  un  point  de 
Fespace  intdrieur  au  premier  des  deux  tores  (4)  et  que,  r^ciproquement,  a  un 


398  SUR   LE   PROBLEME  DES   TROIS   CORPS 

point  interieur   de   ce  tore  ne  peut   corresponds   qu'une  seule  situation  du 
systeme. 

J'envisagerai  encore  un  autre  cas. 

Imaginons  qu'en  vertu  des  in^galilds  (3),  £  puisse  prendre  toutes  les  valeurs 
positives,  de  telle  sorte  que 

(i  =,  o,         b  =  -f-j30' 

Supposons  que  pour  £  =  o  la  situation  du  systeme  ne  depende  pas  de  y*  et 
que  pour  >=  oo ,  cette  situation  ne  depende  pas  dejv 

Nous  pourrons  alors  representer  la  situation  par  un  point  dont  les  coordon- 
nees  rectangulaires  seront 

J\   i— -  COS  )>   i  €**         •  s,  I    —    Sill  T*  I  6'       *"  «  -j  Li   — -"  i 

Pour  4  =  o  il  vient  (quel  que  soitjr.j) 


Le  point  repr6senlatif  se  trouve  sur  le  cercle 


et  sa  position  ne  depend  pas  de  j'2;  celu  n?a  pas  d'inconv&nient  puisque  par 
hypothese  la  situation  du  systeme  pour  £~  o  ne  depend  pas  non  plus  dejv 
Pour  ^  =  00,  on  trouve  pourvu  que  cos^2  soitnegatif  : 

X  =  Y  =  o,         Z  =  sinj*2. 

Le  point  repr^sentatif  se  trouve  alors  sur  Paxe  des  Z  et  sa  position  ne  depend 
pas  deyi,  ma  is  pour  H  —  OO,  la  situation  du  systeme  ne  depend  pas  non  plus 
de  JL 

Le  mode  de  representation  adopte  est  done  l^gitime. 

Ce  qui  precede  a  besoin  d'etre  appuye"  de  quelques  exemples.  Je  n'en  traite- 
rai  ici  que  trois. 

Le  premier  de  ces  exemples  est  le  plus  important  parce  que  cjest  un  cas  par- 
ticulier  du  probleme  des  trois  corps.  Imaginons  deux  corps,  le  premier  de 
grande  masse,  le  second  de  masse  finie,  mais  tres  petite,  et  supposons  que  ces 
deux  corps  d^crivent  autour  de  leur  centre  de  gravit^  commun  une  circonf^- 
rence  d'un  mouvement  uniforme.  Consid^rons  ensuite  un  troisieme  corps  de 
masse  infiniment  petite,  de  tacon  que  son  mouvement  soit  trouble  par  Patirac- 
tion  des  deux  premiers  corps,  mais  qu'il  ne  puisse  pas  troubler  Forbite  de  ces 
deux  premiers  corps*  Bornons-nous  de  plus  an  cas  ou  ce  troisieme  corps  se 


ET   LES  AQUATIONS  DE   LA  DYNAM1QUE.  399 

meut  dans  le  plan  des  deux  circonferences  decrites  par  les  deux  premieres 
masses. 

Tel  est  le  cas  d'une  petite  planete  se  mouvanl  sous  F influence  du  Soleil  etde 

Jupiter  quand  on  neglige  Pexcentricite  de  Jupiier  et  Pinclinaison  des  orbiles. 

Tel  est  encore  le  cas  de  la  Lune  se  mouvant  sous  Pinfluence  du  Soleil  et  de 

la  Terre  quand  on  neglige  Pexcentricite  de  Forbite  icrrestre  et  Pinclinaison  de 

Porbite  lunaire  sur  1'ecliptique. 

Nous  defmirons  la  position  du  troisieme  corps  par  ses  elements  osculateurs 
a  un  instant  donn4  et  nous  ecrirons  les  equations  du  mouvement  en  adoptant 
les  notations  de  M.  Tisserand  dans  sa  Note  des  Comptes  rendus  du  3i  Jan- 
vier 1887  : 

dL  _  dR  d< I  __      dtt 

~di  ~~  'dl'          ~dt  ~~~~  dL7 
dG  _  </R  dg  ___  dR 

Je  ddsigne  par  a,  Q  et  n  le  grand  axe  osculateur,  Pexcentricite  et  Ie  rnojen 
mouvement  de  la  troisieme  masse  ;  j'appelle  I  Panomalie  mo}renne  de  cetto 
troisieme  masse  et  g  la  longitude  de  son  perih&lie. 

Je  pose  ensuite 

L  =  \ja,          G  =  v  a(i  —  e- ). 

Je  choisis  les  unites  de  telle  fa^on  que  la  cons  tan  tede  Gauss  soit<^gale£  i,  que  le 
mcjen  mouvement  de  la  seconde  masse  soit  6gal£  i  etque  la  longitude  de  cette 
secon.de  masse  soit  £gale  k  t. 

Dans  ces  conditions,  Panglesous  lequella  distance  des  deux  dernieres masses 
estvue  de  la  premiere  ne  diflere  de  l-{-g  —  t  que  par  une  fonction  p^riodique 
de  I  de  p6riode  air. 

La  fonction  R  est  la  fonction  perturbatrice  ordinaire  augment£e  de  —  =  ^|-2 ; 

Cette  fonction  ne  depend  que  de  L,  de  G5  de  I  et  de  l+g—  t]  car  la  distance 
de  la  seconde  masse  a  la  premiere  est  consiante  et  la  distance  de  la  troisieme  a 
la  premiere  ne  depend  que  de  L,  G  et  /.  Cette  fonction  est  d'ailleurs  p^riodique 
de  p<5riode  STT  tant  par  rapport  a  I  que  par  rapport  a 
On  conclut  de  la  que  Pon  a 


et  que  les  ^quatioas  (5)  admettent  comme  iat6grale 

R  -t-  G  =  const* 


400  SUR   LE  PROBLEMS   DES   TROIS   CORPS 

Nous  allons  ehercher  a  ramener  les  equations  (5)  a  la  forme  des  Equations 
(i  ).  Pour  cela  nous  n'avons  qu'a  poser 

3?j  =  G,          x*  =  L,         y\  =  g  —  f  ,          y2  =  £, 


et  les  equations  (5)  reprennent  la  forme 

dxi  __  ^F  dy^  ___       dF 

^  *  '  ~df~~~  dyt'          ~dt  "~~~"7xi* 

La  fonction  F  depend  d'un  parametre  tres  petit  /j.  qui  est  la  masse  du  second 

corps  et  nous  pouvons  ecrire 

F  =  F0-t-|J.Fl. 

F  est  p^riodique  par  rapport  aj>%  ely^  quisont  des  variables  angulaires,  tandis 
que  #1  et  x%  sont  des  variables  lineaires.  Si  Ton  fait  p  =  o,  F  se  r^duit  a  F0  et 


— 

2  a 


ne  depend  plus  que  des  variables  lineaires. 

II  r^sulte  de  la  definition  m£me  de  L  et  de  ^G  en  fonctions  dc  a  et  <?  que  Ton 

doit  avoir 

L^>  G2        ou        x\  >#?, 

ce  qui  montre  que  &i  peut  varier  depuis  —  x%  jusqu'a  +  x^. 

Si  1'on  suppose  &i  =  +  a;2  Fexcentricite  est  nulle;  il  en  resulte  que  la  fonc- 
tion perturbalrice  et  la  situation  du  sjsteme  ne  dependent  plus  que  de  la  di 
rence  de  longitude  des  deux  petites  masses,  cjest»a-dire  de 


On  en  d^duit 

^F        dF 


d'ou 

(6) 


djou  Ton  conclurait  (puisque  la  valeur  initiale  de  X{.  —  x%  est  supposee  'nulle) 
que  Xi  doit  rester  constarnment  6galaa?2;  mais  cen'est  la  pour  les  Equations  (i) 
qu'une  solution  singuliere  qui  doit  etre  rejet^e.  En  ce  qui  concerne  les  solu- 
tions «  particulieres  »  que  nous  devons  conserver,  liquation  (6)  signifie  sim- 
plement  que  quand  x^  —  x%  atteint  la  valeur  zero,  cette  valeur  est  un  maximum, 
ce  qui  est  d'ailleurs  une  consdquence  de  I'inegalit6  x\  >  x\. 


ET  LES  EQUATIONS   DE   LA  DYNAMIQUE.  &O1 

Si  nous  supposons  maintenant  ^2  =  —  Xi,  Pexcentricite  sera  encore  nulle, 
mais  le  mouvement  sera  retrograde  (il  Pest  toutes  les  fois  que  x\  et  x*  ne  sont 
pas  de  m£me  signe);  alors  F  el  la  situation  du  systeme  ne  dependent  plus  que 
de  Pangle 

ce  qui  donne 

dF_       dF  __ 
dy\        dy* 

Je  vais  maintenant  trailer  la  question  suivante  : 

Trouver  une  variable  ?  telle  que  si  ^i?  ^3,^,^3  satisfont  aux  egalit^s  et 
inegalites  (2)  et  (3)  (qui  dans  le  cas  qui  nous  [occupe  se  reduisent  a  F=C," 
?i)7  ces  quatre  quantit^s  peuvent  s^exprimer  en  fonctions  uniform es  de 


Je  traiterai  d'abord  la  question  dans  le  cas  ou  /JL  =  o  et  011 


Envisageons  un  plan  et  dans  ce  plan  un  point  dont  les  coordonnees  sont 

X  =  x\  —  c,        Y  =  jro  . 

Alors  les  6galit6s  et  megaliths  (2)  el  (3)  s'^criveni 


Construisons  la  courbe 


et  les  deux  droites 

X4-c=±:Y. 

Ces  droites  et  cette  courbe  peuvent  ^tre  dans  deux  situations  differentes, 
representees  par  les  figures  3  et  4- 

Chacune  des  deun  figures  devrait  se  composer  de  deux  moities  sym^triques 
par  rapport  a  Paxe  des  a?,  mais  nous  n'avons  repr4sent4  que  la  moiti£  qui  est 
au-dessus  de  cet  axe.  Dans  le  cas  de  la  figure  3  la  courbe  nous  offre  dens  arcs 
utiles  BC  et  DE  pendant  que  les  arcs  AB  et  CD  doivent  £tre  rejet^s  a  cause  de 
I'in6galit£  Y3  >(X-f-c)2.  Dans  le  cas  de  la  figure  4*  il  n'y  a  qu'un  arc  utileBC 
et  Fare  AB  doit  &tre  rejet^. 

H.  p.  -  vn.  5i 


4o2  SUR   LE   PROBLfcME   DES  TROIS   CORPS 

Le  passage  de  la  figure  3  a  la  figure  4  se  fait  quand  la  droite  CD  devenant 
tangente  a  la  courbe.  les  deux  points  G  et  D  se  confondent.  Gela  a  lieu  pour 


Nous  nous  supposerons  dans  ce  qui  va  suivre  places  dans  le  cas  de  la  figure  3 
et  nous  envisagerons  seulement  Tare  utile  BC  ;  c'est  en  effet  le  cas  le  plus 
interessant  au  point  de  vue  des  applications. 

Posons 

+  =  'A"~ri  =  L~°- 

on  voit  que  H  s'annule  au  point  C  et  devient  infini  au  point  B  et  qae  quand  on 


OX 


Fig.  3. 


Fig.  4- 


parcourt  Fare  BG  depuis  G  jtisqu'en  B,  on  voit  £  croitre  constamment  depuis 
z6ro  jusqu'a  +  00.  Si  done  on  se  donne  £,  le  point  correspondant  de  Fare  BC 
sera  entierement  d6iermin6,  ce  qui  revient  a  dire  que  x^  et  x%  sont  fonctions 
uniformes  de  E- 

Qa'arrivera-t-il  mamtenant  si  ^n'estplus  nul,  mais  seulement  tres  petit? 

Faisons  encore 


et  voyons  si  en  tenant  compte  des  relations 

(7)  F  =  C?         £>o,         J 

Xi  et  x»  seroni  encore  foactions  uniformes  de  E,  de  y\  et  dejK2.  Pour  qu?il 


(l)  On.  voit  aisement  pourquoi  j'ecris  cette  derniere  relation;  1'arc  BC  comme  on  le  voit  sur 
la  figure  est  tout  entier  au-dessus  de  1'axe  des  X,  ce  qui  entraine  Fin^galit6  ^2>  oj  il  est  clair 
que  cette  inegalite  subsistera  encore  pour  les  valeurs  suffisamment  petites  de  [x. 


ET   LES   EQUATIONS  DE  LA   DYNAMIQUE.  4o3 

cessat  d'en  etre  ainsi,  il  faudrait  que  le  determinant  fonctionnel  ?,^*  F\  s'an- 

^  d(xi,JCi) 

pour  un  systeme  de   valeurs  satisfaisant  aus   conditions  (7).    Or  cela 


n'arrivera  pas  si  p  est  assez  petit  et  si  C  est  assez  different  de  -• 

Dans  la  plupart  des  applications,  ces  conditions  seront  remplies;  nous  pour- 
rons  done  prendre  £  comme  variable  ind^pendante;  cette  variable  sera  essen- 
tiellement  positive  el  ^  et  x*  seront  fonclions  uniformes  de  £,  v{  et  jv 

Toutefois  pour  trouver  lemode  de  representation  g^om^trique  le  plus  conve- 
nable.  il  faut  encore  faire  un  changement  de  variables.  Posons 


Apres  ce  changement  de  variables,  les  equations  conserveront  la  forme 
canonique 

dd±^d$_  fyj_  =  ___dF_  dx^_d$_  dy\  dF 

dt   ""  dy*!  '  dt   ~       dx\  '  dt   ~  dy'*  ?  dt   ~~       dx^  ' 

On  voit  que  y\  et  y'^  sont  encore  des  variables  angulaires  ;  quand  en  eflfet 
y\  ou  yz  augmente  d'un  multiple  de  211,  y±  et  j'2  augmented  aussi  d'un  mul- 
tiple de  2?r  et  par  cons6quent  la  situation  du  systeme  n-e  change  pas. 

Mais  il  y  a  plus;  quand  on  change  simultan^ment  y\  et  y\  en  y\+^  et 
y'o  +  Tr,  y$  ne  change  pas  et  y<  augmente  de  271.  La  situation  du  systeme  ne 
change  done  pas. 

Cela  pos6  nous  repr^senterons  la  situation  du  systeme  par  le  point  de  Fespace 
qui  a  pour  coordonn^es  rectangulaires  : 

X  =  cosy\  «5coiyt>         y  =  sm/j  «£««"'»,        Z  = 


Pour  ^=  o  la  situation  du  systeme  ne  depend  pas  deys  et  il  en  est  de  n>£medu 
point  repr^sentatif  qui  est  alors  sur  le  cercle 


Pour  Z  —  oo,  la  situation  du  systeme  ne  depend  pas  dey^  etil  en  est  de  m&ne 
du  point  repr^sentatif  qui  est  alors  sur  Faxe  des  Z  si  cosjK'2  est  n^gatif  et  a 
Finfini  si  cosy2  est  positif. 

A  chaque  point  de  1'espace  correspond  done  une  situation  du  systeme  et  une 
seule;  r^ciproqueraent,  a  chaque  situation  du  systeme  correspondent,  non  pas 
un,  mais  deux  points  de  Pespace  et  en  eflet  aux  deux  systemes  de  valeurs  (o/1? 
^,yi5y2)  et(^'15  af^y\  +^,ys  4-  TC)  correspondent  deux  points  diflferents  de 
Fespace,  mais  une  seule  situation  du  systeme. 


4o4  SUR  LE   PROBLEME   DES  TROIS  CORPS 

Les  Equations  ( i )  adraelient  les  invariants  int^graux 

l  dy,  +  dx*  dy»}-=(dx\  dy\  -+-  dx\  dy', ) 


el 


/  dx\  dyi  dx*  dy*  =  dx\  dy\ 


Si  nous  transforaions  eel  invariant  par  les  regies  exposes  dans  lo  paragraphe  7 
nous  verrons  que 

x\  g  d&  cN  dl 


r  x\*~d^dy\  dy'*    _ 

J  *$+«£i~ 

est  encore  un  invariant  integral. 

Gomme  |  est  essenliellement  positif,  la  quantite  sous  le  signe    f  est  de 


sgne  que 

,  dF 


Or  pour  ft  =  o,  on  irouve 

dF  d¥ 


Si  nous  nous  supposons  places  dans  le  cas  de  la  figure  3  et  sur  Pare  BC,  nous 
devons  supposer 

C>-?  ^?f<^2;  0 

d'ou  Ton  tire 


A  *       •  ^F  <^F 

1  ^j  ^ST  ^~  ^-"SrT  est  louJours  n^gatif  quand  JJL  est  nul.  II  en  sera  encore 
de  in^me  quand  y.  cessera  nul,  pourvu  que  C  soit  assez  different  de  -• 
Dans  ces  conditions  Fint^grale 

r  _  y?  d&  dY  dZ  _ 

J    g(X.^Y«)(-^^.-^^i) 

V  dx\  ~  dx'*,  / 

est  un  invariant  positif. 

Pour  ^.  =  0,  les  equations  (5)  s'integrent  aisement  comme  on  le  sait  et  Ton 
trouve 

L  =  const.,         G  =  const.,        ^  =  const.,         /=  nt  H-  const., 

Les  solutions  ainsi  obtenues  sont  repr^senties  dans  le  mode  de  repr<5sen- 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  4o5 

tation  gek>m6trique  adopl6  par  cerlaines  trajectoires.  Ces  trajectoires  sont 
fermees  toutes  les  fois  que  le  moyen  mouvement  n  est  un  noinbre  commen- 
surable.  Elles  sont  tracees  sur  des  surfaces  trajectoires  qui  ont  pour  Equation 
g6n6rale  £  =  const,  et  qui  sont  par  consequent  des  surfaces  de  revolution 
fermees  analogues  a  des  tores. 

Nous  verrons  dans  la  suite  comment  ces  resultats  sont  modifies  quand  JUL  n'est 
plus  nul. 

Comme  second  exemple,  je  reprends  liquation  dont  j'ai  deja  parle  a  la  fin 
du  paragraphe  1 1  : 

d>o 

-j-~  -i-  n  -  p  -+•  m  p  :  =  u  I ! , 

R  etant  une  fonclion  de  p  et  de  £,  holomorphe  par  rapport  a  p  et  s'annulant 
avec  p  et  p^riodique  par  rapport  a  t.  Cetle  Equation  peut  s'^crire  en  reprenanl 
les  notations  du  paragraphe 


avec 


dp       f£F  d?  d¥  d%  dF  df\  d¥ 


4  _  F==    ^      ,       «2p*       f      m?1 


s        '         dt       J'  2          2  4 

Posons 


p  =  —  ~ 
^ 


Les  Equations  conserveront  la  forme  canonique  des  Equations  de  la  Djnamique 
et  la  fonction  F  dependra  de  deux  variables  lineaires  x±  et  n  et  de  deux 
variables  angulaires  y{  et  £. 

On  voit  aisement  que  quand  on  se  donne  la  constante  des  forces  vives  C,  ^r^ 
yi  et  £,  la  quatrieme  variable  v]  est  cntierement  d6terminee;  on  a  en  effet 


C—  /ia?i— 


4a  J 


Pour  ^1  =  0,  la  situation  du  systeme  ne  depend  pas  dejri.  Nous  pouvons 
done  adopter  pour  representer  cette  situation  le  point  dont  les  coordonn£es 
sont 

X  =  cosg<£?'T'cos-vi,         Y  =  singc-^*"8^,        Z  =  ^ 


A  chaque  situation  du  systeme  correspond  ainsi  un  point  de  1'espace  et 
inversement.  II  faut  excepter  les  points  a  Finfiniet  les  points  de  Faxe  des  Z  qui 
nous  donneraient  x{  =  oo  et  par  consequent  un  r6sultat  illusoire* 


4o6  SUR  LE  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS 

Comme  troisieme  exemple,  eavisageons  un  point  mobile  pesant  se  mouvant 
sur  une  surface  parfaiteinenl  polie  et  dans  le  voisinagc  d'une  position  d'^qui- 
libre  stable. 

Prenons  pour  origine  le  point  le  plus  bas  de  la  surface;  pour  plan  des  xy  le 
plan  tangent  qui  sera  horizontal;  pour  axes  des  x  et  des  y  les  axes  de  Pindi- 
catrice  de  fagon  que  liquation  de  la  surface  s'^crive 


ax- 

— 


by* 

-~- 


<p(#,  y)  elant  un  ensemble  des  tertnes  du  troisieme  degr£  au  moins  en  x  et 
eny  et  /JL  un  coefficient  tres  petit. 

Nous  aurons  alors  en  appelant  x?  et  yf  les  projections  de  la  vitesse  sur  les 
axes  des  x  et  des  }'  : 


dt,        dxT '  dt        dy' ' 

Changeons  de  variables  en  posant 

/ale 

X  =   - 

(8) 


dt 


!  cosji, 


Les  equations  dififerentielles  conserveront  la  forme  canonique  des  equations 
de  la  Dynamique.  Liquation  des  forces  vives  s'^crit 

9  d^signant  la  mSine  fonction  que  plus  haut,  mais  transformee  par  le  chan- 
gement  de  variables.  Comme  x\.  et  j?2  sont  essentiellement  positifs  (ainsi 
d'ailleurs  que  les  coefficients  a  et  &),  liquation  des  forces  vives  montre  que 
ces  deux  quantitis  restent  to uj ours  inferieures  a  une  certaine  limite.  D'apres 
la  definition  de  la  fonction  9  cette  fonction  s'annule  avec  x±  et  o?2,  et  il  en 
est  encore  de  m£me  de  ses  d^rivdes  partielles  du  premier  ordre.  Nous  en 
conclurons  que  fx  6tant  tres  petit,  la  fonction  jxcp  et  ses  ddriv^es  du  premier 
ordre  ne  pourront  jamais  d^passer  une  certaine  limite  sup^rieure  tres  petite. 
Nous  pouvons  done  ^crire 

d* 


'  dx\ 


•vi> 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  4o; 

Faisons    maintenant   j?2  =  ga?,  ;    le    rapport  ?  sera   essentiellement   posilif. 
Liquation  des  forces  vives  devient 


(9)  a?i(  v/i^-f-  v'i^S)  •+•  ;^9<>b  £#i,  Vi,  JTs)  =  G. 

La  derivee  du  premier  membre  de  (9)  par  rapport  a  x\  s'6crit 


En  vertu  des  megaliths  (8),  cette  expression  est  toujours  positive,  ce  qui 
montre  que  Ton  peut  tirer  de  I'dquation  (9)  x\  en  fonction  uniforme  de  £,  y* 
el  y^  et  par  consequent  que  la  situation  du  systeme  est  completement  definie 
par  les  trois  variables  yi}  y^  et  ^. 

Pour  ^=no  la  situation  ne  depend  pas  de  j'i,  pour  £  —  00  elle  ne  depend 
pas  dejKa- 

Nous  repr^senterons  done  cette  situation  par  le  point 

X  =  cosja  ^c««ri,         Y  =s  smj'a  e*cos.vs         Z  =  g  sin  rt. 


A  chaque  point  de  1'espace  correspondra  ainsi  une  situation  du  systeme  et 
r^ciproquement. 

Les  exemples  qui  precedent  suffiront,  je  pense,  pour  faire  comprendre 
Pimportance  du  probleme  qui  va  nous  occuper  dans  ce  Ghapitre.  et  la  facoii 
dont  on  peut  varier  les  modes  de  representation  geom^trique. 

CHAPITRE  II. 

ETUDE    DES    SURFACES    AS1TMPTOTIQUES. 

16.  —  Expose  du  probleme. 

Reprenons  les  equations  de  la  Dynamique  en  supposant  deux  degr^s  de 
libert^  seulementj  et  par  consequent  quatre  variables  x^%  &^y*  ety2.  D'apres 
ce  que  nous  avons  vu  au  paragraphe  14  ces  Equations  admettent  certaines 
solutions  particulieres  remarquables  que  nous  avons  appel^es  asymptotiques. 
Cbacune  de  ces  solutions  asymptotiques  est  represent^,  dans  le  systeme  de 
representation  georn^trique  expose  au  paragraphe  precedent,  par  cerlaines 
courbes  trajectoires.  L'ensemble  de  ces  courbes  engendre  certaines  surfaces 
que  nous  pouvons  appeler  surfaces  asymptotiques  et  que  nous  nous  proposons 
d'etudier, 


4o8  SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 

Ces  solutions  asymptotiques  peuvent  se  meltre  sous  la  forme  suivantc  : 

(1)  #1=  «PI(*,  w),         #2=92(£,w),        }'t  =  nit  H-  <p8(*,  w),         JK2=  *2*  -H  <P*(*,  «0j 

PP  etant  egal  a  Aea*,  et  A  etant  une  constante  arbitraire.  De  plus  cp<,  92,  93  et  ?* 
sonl  (par  rapport  &  £,  PP  etant  regard^  un  instant  comme  une  constante)  des 
fonctions  p^riodiques  de  periode  T,  et  n±r£  et  ?i2T  sont  des  multiples  de  271. 
Si  entre  les  Equations  (i)  on  elimine  t  et  «>,  il  viendra 

(2)  ^i=/i(7i»70>         ^s  =  /2(ri»ra) 

et  ces  equations  peuvent  etre  regardees  comme  definissant  nos  surfaces  asymp- 
totiques. Nous  avons  vu  ensuite  que  si  Ton  cherche  a  d^velopper  91,  92?  9:1 
et  94  suivanl  les  puissances  de  \7fz,  on  arrive  a  des  series  qui  sont  divergentes, 
mais  que  ces  series  repr^senlent  neanmoins  asymptotiquement  ces  fonctions 
lorsque  fx  est  tres  petit. 

Je  rappelle  que  je  conviens  de  dire  que  la  serie 

A0H-  Ai^Z?  -H.  .  .H-  \p3CP-\-.  *  . 

repr^sente  asymptotiquement  la  fonction  F(a?)  pour  x  tres  petit,  quand  on  a 

r     F(»  —  A0-—  Ai^r—  .  .  .—  Ap#/> 

hm—  i  -  -  -  -  -  =o         pour    x  =  o. 

JCf 

J'ai  ^tudi<5  dans  les  Ada  Mathematica  (t.  8)  ({)  les  propridt£s  des  series 
divergentes  qui  representent  asymptotiquement  certaines  fonctions  et  j'ai 
reconnu  que  les  regies  ordinaires  du  calcul  sont  applicables  a  ces  series.  Une 
6galite  asymptotique,  c'est-a-dire  une  egalit4  entre  une  s4rie  divergente  et  une 
fonction  qu'elle  repr6sente  asymptotiquement,  peut  subir  toutes  les  operations 
ordinaires  du  calcul,  a  Texception  de  la  differentiation. 
Soient  done 


les  series  divergentes  ordonnees  suivant  les  puissances  de  y/f*  qui  representent 
asymptotiquement  9^,  92,  o3,  9.,,. 

Nous  aurons  alors  les  quatre  ^galites  asymptotiques 


(3)  , 

OT-  (  Jf ,    «',     ^/JJL  } ,  J'o  =  /1 2  if  H-  CTi  (  ^    CF,     y/JJL  ) . 


QEuvres  de  H.  Potncare,  t.  I,  p.  290. 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  4<>9 

Nous  pourrons  £liminer  t  et  w  entre  ces  egalites  d'apres  les  regies  ordinaires 
du  calcul  et  nous  obtiendrons  ainsi  deux  nouvelles  egalites  asymplotiques 

(4)  a?,  =  s,(jKi,tva,  y/^),       3?3  =  *2(vi,,V2,  v':-1)' 

ou  Si  et  So  sont  des  series  divergentes  ordonn^es  suivantles  puissances  de  \  f-t 
et  dont  les  coefficients  sont  des  fonctions  de  n  et  de  v2. 

En  g£n6ral,  il  n'est  pas  permis  de  differentier  une  egalil£  asymptotique; 
mais  nous  avons  d£montr6  directemenl  a  la  fin  du  paragraphe  14  que  dans  le 
cas  particulier  qtii  nous  occupe,  ou  pent  diff6rentier  autant  de  fois  que  Ton 
veut  les  £galit6s  (3),  tant  par  rapport  a  t  que  par  rapport  a  w. 

Nous  pouvons  en  conclure  qu'il  est  permis  ^galemenl  de  differenlier  les 
egalites  (4)  autant  de  fois  qu'on  veut  par  rapport  a  yi  et  a  y*. 

Nous  nous  proposons  d'etudier  les  surfaces  asymplotiques  definies  par  les 
Equations  (2).  Les  fonctions  xi=f±*  x*>  =  f%  qui  entrent  dans  ces  equations 
devront  satisfaire  aux  Equations 

^F   dx{         dF   dx^         dF  ___  rf¥    dx*.        dF    dx*  _^_  d¥   _ 

dxi  dyi        dx*  'drl  ^~  d}  i  ~~  °'          dx\  dy\  ~^~  dx»  dy*        dr» 

Nous  allons  proceder  par  approximations  successives;  dans  une  premiere 
approximation  nous  prendrons  pour  Equations  des  surfaces  asymptotiques  les 
Equations  (4)  en  nous  arretant  au  second  terme  des  series  (c?est-a-dire  au 
terme  en  \//JL)  inclusivement.  L'erreur  comrnise  sera  alors  du  meme  ordre  de 
grandeur  que  ju. 

Dans  une  seconde  approximation,  nous  prendrons  encore  pour  Equations  des 
surfaces  asymptotiques  les  Equations  (4)>  mais  en  prenant  un  plus  grand 
nombre  de  termes  dans  les  series.  Nous  pourrons  en  prendre  un  assez  grand 
nombre  pour  que  1'erreur  comniise  soit  du  ni£me  ordre  de  grandeur  que  p*7, 
quelque  grand  que  soit  p. 

Enfin  dans  une  troisieme  approximation,  nous  chercherons  a  mettre  en 
evidence  les  propriet^s  des  Equations  exactes  des  surfaces  asymptotiques, 
c?est~a-dire  des  Equations  (2). 

Nous  devons  done  d'abord  chercher  a  former  directement  les  series  $*,  et  $*> 
des  Equations  (4).  Ces  series,  substitutes  a  la  place  de  x4  et  de  x«,  doivent 
satisfaire  formellement  aux  Aquations  (5). 

Nous  sommes  done  conduits  a  chercher  des  series  ordonntes  suivant  les 
puissances  de  /p,  qui  satisfassent  formellement  aux  Equations  (5).  Les 
H.  P.  —  vii.  5a 


4lO       *  SUR  LE  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS 

coefficients  de  ces  series  seront  des  fonctions  de  y\  et  de  y$  qui  ne  devront 
pas  changer  quand  ji  et  y2  augmenteront  respectivement  de  ^iT  et  /z2T. 

Mais  nous  trouverons  une  infinite  de  series  qui  satisfont  a  ces  conditions. 
Comment  distinguer,  parmi  celles-Ia,  celles  qui  doivent  entrer  dans  les 
egalit^s  (4)?  Nous  avons  vu  plus  haut  que  clans  notre  mode  de  representation 
g^om^trique,  la  solution  periodique  consid6r£e  est  represent^  par  une  courbe 
fermde  et  que,  par  cette  courbe  ferm6e,  passent  deux  surfaces  asymptotiques. 
On  passe  de  Pune  a  Pautre  en  changeant  yp.  en  —  \J  \L. 

Si  done  dans  les  Equations  (2)  on  change  \/p  en  —  \/p,  on  obtient  une 
seconde  surface  asymptotique  qui  doit  couper  la  premiere. 

En  d'autres  termes,  si  1'on  considere  les  deux  surfaces  asymptotiques  ainsi 
obtenues  comme  deux  nappes  d'une  m£me  surface,  on  peut  dire  que  cette 
surface  a  une  courbe  double. 

Soit  s^  et  s?  la  somme  des  p  premiers  termes  des  series  s{  et  52,  les  Equations 

fR^ 

(6) 


repr^senteront  deux  surfaces  qui  diflfereront  peu  des  deux  nappes  dont  je  viens 
de  parler  et  qui  par  consequent  devront  se  couper. 

Si  1'on  considere  ces  deux  surfaces  comme  deux  nappes  d'une  surface 
unique,  on  peut  dire  que  cette  surface  unique  pr^sente  une  courbe  double. 

Nous  verrons  dans  la  suite  que  cette  condition  suffit  pour  faire  distinguer  les 
scries  s\  et$2  parmi  toutes  les  series  de  meme  forme  qui  satisfont  formellement 
aux  Equations  (5). 

17.  —  Premiere  approximation. 

Reprenons  nos  hypotheses  ordinaires,  a  savoir  :  que  quatre  variables,  deux 
lin^aires  Xi  et  x^  deux  angulaires  y{  ety2  sont  Ii6es  par  les  Equations 


-. 
_.___.,      _.__-,        _,____5      _.____. 

Que  la  constante  C  des  forces  vives  etant  regard^e  comme  une  des  donnees 
de  la  question,  ces  quatre  variables  satisfont  a  Pequation 

(2)  F(a?!,  a7S)ri,  J2)=C5 

de  telle  fagon  qu'il  n'y  en  a  que  trois  d'independantes. 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  4!! 

Que  Pon  a  adopts  un  mode  de  representation  geometrique  tel  qu'a  toute 
situation  du  systeme  correspond  un  point  repr^sentatif  et  r^ciproquement. 

Que  F  depend  d'un  parametre  tres  petit  p.,  de  lelle  facon  qu'on  puisse 
developper  F  suivant  les  puissances  de  f*  et  ecrire 

F  a=  Fo-h  JJtFi-f-(JL2F2  ____ 

Que  F0  ne  depend  que  de  x±  et  x»  et  est  independent  de  y\  et  de  j*2. 
Ces  conditions  sont  remplies  dans  le  cas  particulier  du  probleme  des  trois 
corps  qui  nous  a  servi  d'exemple  au  paragraphe  precedent. 

Supposons  que  pour  certaines  valeurs  de  Xi  et  de  #2>  par  exemple  pour 


/yp  //F1 

ies  deux  nombres  —  -r-^  et  —  -^-2  (que  j'appellerai  pour  abreger  n^  el  n2)  soul 

commensurables  entre  eux. 
D'apres  ce  que  nous  avons   vu   dans   le  paragraphe   11,    a   chaque  valeur 

commensurable  du  rapport  —  correspond  une  Equation  -—-  —  o,  qui  portait 

le  n°  7  dans  le  paragraphe  cite,  et  a  chaque  racine  de  cette  Equation  (7)  corres- 
pond une  solution  p&riodique  des  equations  (i). 

Nous  avons  vu  ensuite  dans  le  paragraphe  12  que  le  nombre  des  racines  de 
1'equation  (7)  est  toujours  pair,  que  la  moiti6  de  ces  racines  correspond  a  des 
solutions  pdriodiques  stables  et  Fautre  moiti6  a  des  solutions  instables. 

Les  equations  (i)  ont  done  si  fx  est  asses  petit  des  solutions  periodiques 
instables. 

Chacune  de  ces  solutions  periodiques  sera  repr^sentde  dans  le  mode  de 
representation  adopte  par  une  courbe  trajectoire  ferm^e. 

Nous  avons  vu  au  paragraphe  13  que  par  chacune  des  courbes  ferm6es  qui 
representent  une  solution  pdriodique  instable,  passent  deux  surfaces  trajec- 
toires  dites  asymptotiques  stir  lesquelles  sont  trac^es  en  nombre  infini  des 
trajectoires  qui  vont  en  se  rapprochant  asymptotiquement  de  la  courbe  trajec- 
toire ferm^e. 

Les  equations  (i)  nous  conduisent  done  a  une  infinite  de  surfaces  trajectoires 
asymptotiques  dont  je  me  propose  de  trouver  Pequation. 

Voyons  d'abord  sous  quelle  forme  se  presente  en  general  Inequation  d'une 
surface  trajectoire.  Cette  equation  pourra  s?ecrire 


4  12  SUR   LE   PROBLEME   DES  TROIS   CORPS 

<&4  et  $2  etant  deux  fonctions  de  y{  et  de  y%  qui  doivent  £tre  choisies  de  ielle 
sorte  que  1'on  ait  identiquement 


Ces  deux  fonctions  <Di  et  3>2  devront  d'ailleurs  satisfaire  a  deux  equations 
aux  d^riv^es  partielles 


_o?F   dx±        d¥_  dx^        dF  __  dF^  dx^        d¥_  dxj.        r/F   =  ^ 

^      ^  tffo!    Of)/i  0^0    dJ/2  ffyl    ~~       '  <tf#I    ^)"l  ^"2    ^>"'2  <^J2 

[1  pourrait  d'ailleurs  nous  suffire  d'envisager  la  premiere  de  ces  Equations, 
car  on  peut  en  faire  disparaitre  «2?2,  en  remplacant  cette  variable  par  sa  valeur 
que  1'on  peut  tirer  de  (2)  en  fonction  de  <rl5  de  Yi  et  de  y^- 

Voici    comment   nous    procederons    pour    inl^gror    les    equations    (3)    en 

supposant  que  x{  et  #2  sont  tres  voisins  de  x\  et  de  j?J,  et  que  le  rapport  ~  est 
commensurable  . 

Nous  supposerons  que  #1  et  x%  sont  developp^s  selon  les  puissances  de  yi^ 
et  nous  ^crirons 

x\-=>  x\  -+•  x  [  y  IJL  -4-  d?f  JJL  -4-  x  I  [x  y/fi  -4-  ...  3 


(4)  ._ 

=  x\  -+-  xl  y\j.  -H  ^1  JJL 

et  nous  chercherons  a  d6teroiiner  les  fonctions  j?f  de  telle  fagon  qu'en 
substituant  dans  les  Equations  (3)  a  la  place  de  xi  et  de  x*  leurs  valeurs  (4), 
ces  equations  soient  satisfaites  formellement  (1). 

Si  dans  F  nous  substituons  a  la  place  de  x^   et  de  x+  leurs  valeurs  (4), 
F  deviendra  d^veloppable  suivant  les  puissances  de  \/p  et  Ton  pourra  £crire 

F  =  Ho  •+-  s/ia  H  i  -4-  fx  HS  •+•  {A 
On  voit  d'ailleurs  sans  peine  que 


(:)  Si  jp?  et  ^?2  etaient  choisis  de  telle  sorte  que  le  rapport  —  soil  incommensurable,    on 

nz  _ 

pourrait  se  contenter  de  developper  xl  et  j;2  suivant  les  puissances  de  JJL  (et  non  de  V/fO-  On 
arriverait  ainsi  a  des  series,  qui  a  la  verite  ne  seraient  pas  convergentes  au  seas  geometrique 
du  mot,  mais  qui  comme  celles  de  M.  Lindstedt  pourraient  rendre  des  services  dans  certains 
cas. 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  4l3 

et  plus  gen^ralement 


6/t  ne  dependant  que  de  y{,  j-2,  x\,  x\,   .  .  .,  #f~%  x\,  a?i.   .  .  .,  j;i~%  et  en 
posant  pour  abr6ger 


La  premiere  des  Equations  (3)  nous  donne  alors,  en  4galant  les  puissances 
semblables  de  \7j*,  une  suite  donations  qui  nous  permettront  de  determiner 
successi  vement  #J,  oc\,  x\,  .  .  ..  x\. 

Nous  pouvons  toujours  supposer  que  rc2=o.   Car  si  cela  n'avait  pas  lieu 

nous  poserions 

~bx^        y  J  =       <Ki—  cj2, 


a,  6,  o,  6?£lant  quatre  nombres  entiers  tels  que 

ad  —  be  =  i  . 

Apres  ce  changement  de  variables  les  equations  conservent  la  forme 
canonique. 

La  fonclion  F  qui  est  periodique  de  periode  271  pur  rapport  a  j'i  et  a  y2,  est 
encore  periodique  de  p6riode  271  par  rapport  a  >*'J  et  a  j%.  Le  changement  de 
variables  n'a  done  pas  alt^re  la  forme  des  equations  (i). 

Les  nombres  tt4  et  /i2  sonl  remplacds  par  deux  nouveaux  nombres  n\  et  n' 
qui  jouent  par  rapport  aux  Equations  transform^es  le  m^me  role  que  n±  et  n* 
par  rapport  aux  equations  primitives  et  Pon  a 

n'(  =  dn  i  —  c/2>,         nl  =  —  6/ij  -4-  a/Zf>. 

Mais  le  rapport  de  HI  a  n2  6tant  commensurable  par  hypothese,  il  est  toujours 
possible  de  choisir  les  quatre  entiers  a,  6,  c,  rf  de  telle  sorte  que 

n'(  =  —  brii-+-  an»=  o. 


Nous  pouvons  done,  sans  restreindre  la  g6n^ralit^?  supposer  que  7Z2  soit  mil; 
c'est  ce  que  nous  ferons  jusqu'a  nouvel  ordre. 

Nous  supposerons  en  m£me  temps  n\  T  =  STT. 

Si  apres  cette  simplification,  nous  dgalons  les  coefficients  de  \/p.  dans  les 
deux  membres  des  deux  Equations  (3),  il  viendra 


f    , 

(5)  ^—.-- 

ce  qui  montre  que  x\  et  x\  ne  dependent  que  de  y$ 


4l4  SUR  LE  PROBLEMS  DBS  TROIS  CORPS 

Egalons  maintenant  les  coefficients  de  p.  dans  les  deux  membres  de  la 
premiere  des  Equations  (3);  il  viendra,  en  tenant  compte  des  equations  (5)  : 

d>x\       ,  „,    A      „-    ,    dx\        clF  i 

(6)  —^—L  —(Ma?   -f-  Nari)—  I  -+-  —  i  =  o. 

>    '  rtj/i         v  dfra          ttyi 

Nous  nous  proposerons  dans  ce  qui  va  suivre  de  determiner  les  fonctions  x'l 
de  telle  facon  que  ce  soient  des  fonctions  p^riodiques  de^-i,  qui  ne  doivent  pas 
dtre  alt^rees  quand,  y%  conservant  la  meme  valeur,  y\  augmentera  de  271. 

Nos  fonctions  pourront  alors  etre  d^veloppees  en  series  trigonom^triques 
suivant  les  sinus  et  cosinus  des  multiples  de  y^.  Nous  conviendrons  de  reprd- 
senter  par  la  notation  [U]  le  terme  tout  connu  dans  le  d6veloppement  de  la 
fonction  p^riodique  U  suivant  les.  lignes  trigonometriques  de  r±  et  de  ses 
multiples.  Dans  ces  conditions  on  aura 

rfU 
et  je  puis  6crire 


Comme  x\  et^i  ne  dependent  pas  de  j'i5  je  puis  £crire  pins  simplement 


La  premiere  de  ces  equations  montre  que  x\  se  r^duit  a  une  constante.  Quant 
a  la  seconde,  elle  est  facile  a  integrer.  On  a  en  effet 


dy->  ' 
ce  qui  nous  donne  pour  Fint^grale  de  liquation  (7) 

TV 

(») 


Ci  ddsignant  une  constante  djint^gration. 

Mais  si  nous  regardons  la  constante  des  forces  vives  G  comme  une  des 
donnees  de  la  question,  nous  ne  pouvons  plus  consid^rer  les  deux  constantes  x\ 
et  Ci  comme  arbitraires.  On  doit  avoir  en  effet  identiquement 

F  =  H0  4- v/?H1-h-{jLH2H-^v/?H3 -+-...  =  G 
ou 


ET   LES   EQUATIONS  DE   LA   DYNAMIQUE.  4l5 

OU 

FU  (  d?J  ,  tfih  =  C,         —  n  ;  .r  1  =  o,         .... 

Ainsi  la  constante  a?[  est  nulle,  ce  qui  apporte  de  nonvelles  simplifications 
dans  nos  equations. 

Liquation  (8)  devient  en  eftet 


Nous  nous  contenterons  dans  ce  paragraphe  d'dcrire  et  de  discuter  les  equa- 
tions de  nos  surfaces  trajectoires  en  ndgligeanl  les  termes  en  tu  el  ne  tenant 
compte  que  des  termes  en  y'4u. 

Nous  supposerons  done  que  x\  et  a?2  sont  d£finis  en  fonction  de  y\  et  de  y.> 
par  les  Equations  suivantes  : 


D'apres  cela,  x±  serait  une  constante  et  x*  une  fonction  de  y»  seulement,  inde- 
pendante  dey±. 

Revenons  a  notre  premier  exemple  du  paragraphe  IS.  Ce  que  nous  dirons 
s'appliquerait  ^galement  aux  deux  autres  exemples,  mais  c'est  sur  le  premier 
que  je  veux  insister  parce  que  c'est  un  cas  particulier  du  probleme  dos  trois 
corps. 

Nous  avons  vu  que  Fon  pouvait  repr^senter  la  situation  du  systeme  par  le 
pointP  qui  a  pour  coordonn^es  rectangulaires  cosj^e*008-^,  smy\e*VM-*i 

oii 

.       i  .  .  .       i  .  .          .,       ^2—^1       L  —  G       —  a?  * 

j-i  -  -tn-Kv,  »,      j,  =  -f^i-^),      5  =  ;?r^~7l  =  J^TG  =  — 

yl  =  g  —  t,  }'i=sl. 

Nous  avions  observe  de  plus  que  les  variables 


forment  avec  ^  ety;2  un  systeme  de  variables  canoniques. 

Nous  pouvons  done  regarder  £,  ^y',  et  j^'s  com  me  un  systeme  particulier  de 
coordonnfes  definissant  la  position  du  point  P  dans  Fespace,  de  sorte  que  toute 
relation  entre  £?  y\  .y'^  est  liquation  d?une  surface. 

Mais  ensuite,  nous  avons  du  faire  un  autre  changement  de  variables. 

Nous  avons  pos6 


4l6  SUR  LE  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS 

en  choisissanl  les  nombres  enliers  a,  £,  c,  d  de  facon  a  annuler  le  nombre  que 
nous  avons  appe!6  n%  . 

Apres  ce  changement  de  variables,  nous  avons  supprime  les  accents  devenus 
inuliles  et  nous  avons  restitue  le  nom  de  x{  ,  x^  yi<,y$  a  nos  nouvelles  variables 
independantes  #",  x\,  r]  Qlyl. 

En  consequence,  les  variables  que  nous  avons  appel^es  #1}  #2,  y+  etjKa  dans 
tout  le  calcul  qui  precede,  el  auxquelles  nous  conserverons  desor  metis  ce 
nom,  ne  sont  pas  les  memes  que  celles  que  nons  avions  d^sign^es  par  les 
m£mes  lettres  dans  le  premier  exemple  du  paragraphe  15,  cjest-a-dire  G;  L, 
g  —  tetl. 

II  est  clair  que  notre  nouvel  y*  et  notre  nouvel  y*  sont  des  fonctions 
lineaires  de 


el  que  le  rapport  du  nouvel  j?2   au  nouvel  x±   est  une  fonction  lin^aire  et 
fractionnaire  de  \. 

Nous  devons  conclure  de  la  :  que  1'on  peut  d^finir  completement  la  position 
du  point  P  dans  1'espace  par  le  nouvel  r1?  le  nouvel  y*  el  le  rapport  du 

nouvel  x±  au  nouvel  3?1?  de  telle  facon  que  toute  relation  entre  j'i?  y»,  et  —  est 

^?i 

liquation  d'une  surface;  que  ce  systeme  parliculier  de  coordonnees  est  tel  que 
Ton  peut  augm  enter  y4  ou  y%  d'un  multiple  de  271  sans  que  le  point  P  change. 
Liquation   approximative   de   nos   surfaces    trajectoires,   en  negligeant  les 
termes  en  JUL  sera 

^^^H-^V^^^^^    A  c 

r  r(l_U'r1    Ju  -y<>  ,roi/     NVL       J  7 

a  i          JL  i  —  {—  Jj  ]    y  \J          v6  j  JC  |    r 

Nous  nous  proposons  tout  d'abord  de  construire  les  surfaces  represeiit<§es 
par  cette  Equation  approximative  (9). 

Observons  d'abord  que  j'i  =  o  est  1'^quation  d'une  certaine  surface  S  et  que 
ia  portion  de  cette  surface  qui  nous  sera  utile  est  une  portion  de  surface  sans 
contact. 

En  effet  il  suffit  de  montrer  que  Ton  a 


Or  il  en  est  ^videmment  ainsi.,  car  si  1'on  pose 

F  =  F0H-}iF|-l-(x*F.-f-  ... 


ET  LES   EQUATIONS   DE   LA  DYNAMIQUE.  4/7 

il  vient 

dyi  ctPi        0^F2 

si  =  m  —  p-j-i  —  ij.*—-^-*-  — 

dt  r  d&i      (     dxi 

Le  parametre  ju.  £tant  tres  petit,  c-—±  est  de  meme  signe  que  n±  et  n\  est  une 
constante  qui  est  toujours  de  meme  signe. 

Done  -^r'est  toujours  de  meme  signe  et  ne  peut  s'annuler.  c.  Q  F.  D, 

La  position  d'un  point  P  sur  la  surface  S  sera  d^finie  par  les  deux  autres 

coordonn^es  y^  et  ~;  ce  systeme  de  coordonn^es  est  tout  a  fait  analogue  aux 
x\ 

coordonn^es  polaires,  c'est-a-dire  que  les  courbes  —  =  const,  sonl  des  courbes 

ferm^es  concentriques  et  que  le  point  P  ne  change  pas  quand  1'autre  coordon- 
n4ey2  augmente  de  27T. 

Reprenons  les  surfaces  d^finies  par  liquation  (9)  et  ^tudions  leurs  intersec- 
tions avec  la  portion  de  surface  S  qui  a  pour  Equation  y^  =  o. 

Je  remarque  d'abord  que  ^/pT^tant  tres  petit,  ces  intersections  diflfereront 

fort  peu  des  courbes  —  =  const. 
r  ^i 

Mais  pour  etudier  plus  cornpleteinent  la  forme  de  ces  courbes  d'intersection, 
il  faut  d'abord  rechercher  quelles  sont  les  propri^tes  de  la  fonction  [F4]. 

Revenons  aux  notations  du  paragraphe  11.  Dans  ce  paragraphe  nous  avons 

Ft  =  2  A  sin(  m^'i  •+-  m*}'*  ~H  m3j3-h  h  ), 


A  et  h  6tant  des  fonctions  de  x\,  x\,  x\\  comme  nous  n'avons  plus  ici  que 
deux  degres  de  libert^,  j?^crirai  simplement 


En  faisant  ensuite 

^^  =  711^5  }fZ  =  n*  t  "*~  ^2?  05  =  (^iTTlj  -i-7l2/7Z2)i-i-  m»CJ2-4-  A, 

nous  trouvions 

Fi 

Je  posais  ensuite 


la  sommation  W  sJ4tendant  a  tous  les  termes  tels  que  Tn^n^+  rn^n^=^  o;  d^ou 

o>  =  m*wi'+-  h. 
H.  P.  —  VII.  53 


4i8 


SUR    LE   PROBLEMS   DES   TROIS   CORPS 


Dans  le  cas  qui  nous  occupe,  n%  estnul;  la  condition 
r6duit  a  m\  —  o  et  Ton  a  y2  =  sj2  ;  il  vient  done 


=  o  se 


=s  V  A  sin  (7712^2  -H  A)  = 


D'apres   la   definition   de   [F4J,    il   suffit   pour   obtenir   cette    quantit^    de 
supprimer  dans  I'expression  de  F1  tous  les  termes  ou  m±  n'est  pas  nul;  il  ^i 
done 


Ainsi  la  fonction  que  nous  appelons  ici  [F4]  est  la  meme  que  nous  d^signions 
par  d>  dans  la  premiere  Partle. 


_ 


est  par  consequent  une  fonction  p^riodique  de  y2  et  cette  fonction  est 
finie;  elle  doit  done  passer  au  moiiis  par  un  maximum  et  par  un  minimum. 

Nous  supposerons  pour  fixer  les  id6es  que  [FA]  varie  de  la  fa^on  suivanle 
quand  jKa  varie  depuis  z6ro  jusqu'a  27:. 

Pour  y%  =  o    [J\]  passe  par  un  maximum  6gal  &  <pi? 

Pourj>'2  =  "yJi  [F.,]  passe  par  un  minimum  6gal  a  cp2. 

Pour  y2  =  r?2  [F-i]  passe  par  un  maximum  egal  ^  93. 

Pour  j^  —  yj3  [F,,]  passe  par  un  minimum  £gal  a  94. 

Pour  j*2  =  27i [F^]  reprend  la  valeur  cp^. 


Ces  hypotheses  peuvent  £tre  represents  par  la  courbe  pr6c£dente  dont 
Pabscisse  est  y%  et  Pordonnee  [F4], 

Ayant  ainsi  fix6  les  id^es,  je  puis  construire  les  courbes 


ET  LES  EQUATIONS  DE  LA   DYNAMIQUE.  4ig 

Nous  verrons  que  selon  la  valour  de  la  constante  d'integration  Ci,  ces  courbes 
affecteront  des  formes  diflerentes. 

Dans  la  figure  6,  j'ai  represent^  par  un  trait  plein  -  les  deux 
courbes  Gt  =  —  9*  et  G*  =  —  o2  ;  ces  deux  courbes  ont  chacune  un  point 
double  dont  les  coordonnees  sont  respectivement  : 


J'ai  repr^sente  par  un  trait  pointille  -------  les  deux  branches  d'une  courbe 

correspondant  a    une  valeur  de  Ci  >  —  <p4. 


Fig.  6. 

J'ai  repr^sent^  par  le  trait  mixte  — . .—  une  courbe  correspondant  a 

une  valeur  de  Ci  comprise  entre  —  o2  et  —  <p4. 

J7ai  represent  par  le  trait  ponctu6 les  deux  branches  d'une  courbe 

correspondant  a  une  valeur  de  CM  comprise  entre  —  cp2  et  —  <p3. 

Pour  Ci=  —  o3  Tune  de  ces  deux  branches  se  r^duit  a  un  point  repr^sent£ 

sur  la  figure  en  A,  ~  =  ~?  y2  =  r72;  I'aulre  branche  est  repr6sent6e  sur  la 
Xi        x  i 

figure  par  le  trait  xxxxxxx. 

Pour  C\  compris  entre  — <p3  et  — <p4,  cette  seconde  branche  subsiste  seule; 
pour  Ci  =  —  9^  elle  se  r6duit  a  son  tour  a  un  point  repr6sent£  en  B  sur  la 
figure  et  ayant  pour  coordonnees  : 

^2  X\ 

_=-,,        rj=o. 

Enfin  pour  C1  <  —  94,  la  courbe  devient  tout  entiere  imagmaire. 

Les  surfaces  d^finies  par  liquation  (  i )  ont  une  forme  g£n£rale  qu'il  est  ai 
de  d^duire  de  celle  des  courbes  que  nous  venons  de  construire. 


420  SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 

Consid4rons  en  efiet  une  quelconque  de  ces  courbes  et  par  tous  ses  points 
faisons  passer  une  des  lign.es  dont  liquation  g£n6rale  est 


2 

z  z=  const. ;         —  =  const. 


L'ensemble  des  lignes  ainsi  construites  conslituera  une  surface  ferm6e  qui 
sera  pr6cis6meut  1'une  des  surfaces  denies  par  liquation  (9). 

On  voit  par  la  que  ces  surfaces  seront  en  general  des  surfaces  ferm^es  triple- 
ment  connexes  (c'est-a-dire  ayant  monies  connexions  que  le  tore). 

Pour  d> — ?4  ou  pour  C*  compris  entre  —  <pa  et  — cp3  on  trouve  deux 
pareillies  surfaces,  int^rieures  Tune  a  Fautre  dans  le  premier  cas,  ext^rieures 
Fune  a  Fautre  dans  le  second. 

Pour  Ci  compris  entre  —  <p3  et  —  tp^  on  entre  —  <p2  et  —  <?*,  on  n'a  plus 
qu'ime  seule  surface  triplement  connexe ;  enfin  pour  G<  < — cp^  la  surface 
cesse  completement  d'exister* 

Passons  aux  quatre  surfaces  remarquables  : 

G  = — *cpi5    —92,    — 93     et    — 94. 

Les  surfaces  C4  =  —  92  et  G1  =  —  cp4  pr6sentent  une  courbe  double  et  ont 
memes  connexions  que  la  surface  engendr£e  par  la  revolution  d'un  lima^on  de 
Pascal  a  point  double  ou  d'une  lemniscate,  autour  d7un  axe  qui  ne  rencontr.e 
pas  la  courbe. 

La  surface  C<  =  — -  <p3  se  r^duit  a  une  seule  surface  fermie  triplement 
connexe  et  a  une  courbe  fertn^e  isol<§e;  enfin  la  surface  d  —  —  o\  se  r^duit  a 
une  courbe  fermee  isol^e. 

Dans  le  paragraphe  11  nous  avons  envisage  liquation  ^~  =  o  qui  portait  le 
n°  7  dans  ce  paragraphe;  nous  avons  vu  qu'a  chacune  des  racines  de  cette 
Equation  correspond  une  solution  p^riodique.  Mais  dans  le  cas  qui  nous 
occupe,  et  d'apres  une  remarque  que  nous  venons  de  faire,  cette  Equation  peut 


de  telle  sorte  queles  solutions  p^riodiques  correspondront  aux  maxima  et  aux 
minima  de  [Fi].  Dans  le  cas  actue!3  ces  maxima,  de  m£me  que  les  minima, 
seront  au  norabre  de  deux. 

Nous  auroas  done  deux  solutions  p6riodiques  instables  correspondant  aux 
deux  courbes  doubles  des  surfaces  Ci  =  —  92  et  — <f*  et  deux  solutions  p^rio- 


ET  LES   EQUATIONS   DE  LA   DYNAMIQUE.  421 

diques   stables,    correspondent  aux   deux   courbes   fermees    isol^es    des   sur- 
taces  Ci  =  —  93  et  —  cf±. 

Quelles  sont  parmi  ces  surfaces,  celles  qui  different  pen  des  surfaces  asymp- 
totiques  et  les  repr&sentent  en  premiere  approximation  ?  D'apres  ce  que 
nous  avons  vu  au  paragraphe  16,  ce  seront  celles  d^cntre  elles  qui  pr^sentent 
une  courbe  double,  c'est-a-dire  les  surfaces  C{  =  —  o4  et  C\  =  —  93. 

18.  —  Detixieme  approximation. 

Reprenons  les  equations  (  i  )  du  paragraphe  pr6c6dent  et  les  hypotheses 
faites  au'd^but  de  ce  paragraphe;  6crivons 


x\  \j}3.  -f-  x\  |x  -4-  x\ 


572  =  3C\  -4-  5?2  V 

imaginons  que  les  coefficients  de  ces  deux  d^veloppements  soient  des  fonctions 
de  yi  et  de  y2  et  cherchons  a  determiner  ces  coefficients  de  fagon  que  ces 
Equations  soient  compatibles  avec  les  Equations  diflferentielles  (i),  du  para- 
graphe pr^c^dent,  c'est-a-dire  que  1'on  ait 

d^dx^      £F^^£i       dF  __  dY^d^^d^dx^.       d¥  __ 

^  dsc\  dy\      dx*  dy*      dy\  ~~*    '         dxi  d\\  ' 


G*est  la  le  probleme  que  nous  nous  sommes  propos^  plus  haut. 

Ce  probleme  peut  etre  pr^sent^  sous  une  autre  forme  (en  se  pla^ant  au  point 
de  vue  des  Vorlesungen  uber  Dynamik)* 

Si  Xi  et  x%  sont  deux  fonctions  deyi  et  dej^2  satisfaisant  aux  Equations  (i), 
1'expression  x^dy^  +  x^dy^  devra  etre  une  diff6rentielle  exacte.  Si  done  nous 
posons 


S  sera  une  fonction  de  y{  et  de  y%  qui  sera  d^finie  par  Tequation  aux  d^rivees 
partielles  : 


S  pourra  se  d^velopper  suivant  les  puissances  de  y?  et  Ton  aura 

(3)  S  =  S0H-Si  V^^S^  +  Ssfxv^-*-  ---- 

S0,  Si,  .  .  .,  Sjt,  -  •  -  seront  des  fonctions  de  y±  et  Aey^  et  Ton  aura 


422  SUR  LE  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS 

Je  rappelle  maintenant  quelles  conditions  nous  avons  imposes  dans  le  para- 
graphe pr^c^dent  auz  fonctions  x\  eta?*!  nous  avons  suppos6  d'abord  que  x\ 
et  x\  devaient  etre  des  constantes.  On  a  alors 

S0  =  x\y\- 


»rji 

Si  nous  appelons  ensuite^  etn2  les  valeurs  de  —  -~  et  — 
Xi  —  x\,  ces  quantise  7i4  et  n^  seront  encore  des  constantes.  L'analyse  qui  va 
suivre  s'applique  au  cas  ou  le  rapport  —  est  commensurable.  Dans  ce  cas  on 

peut  toujourSj  comme  nous  Favons  vu,  supposer  7^2r=o;  c'est  ce  que  nous 
ferons  d^sormais,  comme  nous  Favons  fait  dans  Ie  paragraphe  pr4c4dent. 

Nous  avons  suppose  en  outre  dans  ce  paragraphe  que  x\  et  x\  sont  des  fonc- 
tions p^riodiques  de  y±  qui  ne  changent  pas  de  valeur  quand  on  change  y± 

en  yA  +  2 


II  r6sulte  de  la  que  -T—  "  et  —£  sont  des  fonctions  p^riodiques  par  rapport 


et  que  Ton  peut 

(4) 

>,jt  ^tant  une  constante  et  S/.  une  fonction  p^riodique  de  j/v 

/  x/Q          sJQ 

Supposons  que   dans  le  premier  membre  de  liquation  (2)  :  Ff-p-j  -y—  ? 

yi>  y*}i  OI1  rem  place  S  par  son  d^veloppement  (3);  on  verra  que  F  deviendra 
d6veloppable  suivant  les  puissances  de  \7JT  et  qu'on  aura,  ainsi  que  Ton  a  vu 
dans  le  paragraphe  pr£c£dent  : 

Fas  Ho-HHi  V/jT-H  HaJJt  -4-  Hsp-^H-  .  .  ., 

les  H  6tant  des  fonctions  de  y^  de  y25  et  des  d6riv6es  partielles  de  S0?  Si? 
Sa,  etc. 

On  voit  d'ailleurs  que  H0  d^pendra  seulement  de  S0,  H^  de  S0  et  S4, 
H2  de  S0,  S1  et  S2,  H3  de  S0,  S1?  S2?  S33  etc. 

On  trouve  d'ailleurs  : 


H8  s=- 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  423 

ou  Ton  a  pos£  pour  abreger  : 

if  ^F0    .   .,      flf-Fo  , 

bn=  -        .  ......   •  ......  -  x  \  xi{  Hh  '  •>   ..    .  A 

2         * 


et  ou  Kp  ne  depend  que  de  S0,  Si,  .  .  .  ,  jusqu'a  Sp^«. 

Gela  pose,  pour  determiner  par  recurrence  les  fonctions  Sp,  nous  aurons  les 
Equations  suivantes  : 

HO=G,  Hl=0,  H2=0,  ...,  11;,=   O. 

Si  Ton  supposait  que  les  fonclions  S0,  Si,    ...,  Sp_i  fussent  entierement 
connues,  Pequation  H^  =  o  ou 


d^termineralt  la  fonction  Sp  a  une  fonction  arbitraire  pres  de  j'a. 

Mais  ce  n'est  pas  lout  a  fait  ainsi  que  la  question  se  pr^sente* 

Supposons  que  Ton  connaisse  completement  S0,  Si,  .  .  .,  Sp__2  et  que  Ton 
connaisse  S^i  a  une  fonction  arbitraire  pres  dey2- 

Par  hypothese  les  d^rivees  de  S0,  Si,  ...,  S^^.^?  Sp_j  sont  des  fonctions 
p^riodiques  de  y^  ;  done  K^  et  ASp_i  seront  des  fonctions  p^riodiques  dej<. 

D^signons  par  [U]  comme  nous  1'avons  fait  dans  le  paragraphe  precedent  la 
valeur  mojenne  de  U  qui  est  une  fonction  periodique  de  j'f  . 

[/C      ~1 
--r£-     doit  £tre  une 

constante  -^-  ind^pendante  de  jr2j  de  sorle  que  liquation  (5)  nous  donne 


(6) 

et  cette  Equation  d^terminera  completement  Sp^  (si  Ton  suppose  que  Ton  se 
donne,  soit  arbitrairement,  soit  suivant  une  loi  quelconque,  la  constante  ^). 

Nous  trouvons  d'abord  liquation 

tr  rfSi 

HI  =  O  OU  -j  —  ==  0, 

dyi        ' 

qui  nous  montre  que  S^  est  une  fonction  arbitraire 
Nous  en  d^duirons 


[nous  posons  pour  abreger  : 


comme  nous  Pavons  fait  dans  le  paragraphe  cit$]. 


424  SUR  LE   PROBLEMS   DES  TROIS   CORPS 

Liquation  que  nous  trouvons  ensuite  en  ^galant  a  z6ro  la  valeur  moyenne 

de  H2  est  la  suivante  : 

[ASi]-f-[K2]  =  X2. 

Or 


D'autre  part, 

Ki^YiWtVlyi,?*). 

A2  est  une  constante  qui,  ainsi  qu'il  est  aise  de  le  voir,  estpr^cisementcelleque 
nous  avons  appe!6e  —  C4  dans  le  paragraphe  cit6. 
II  vient  done 


Si  est  ainsi  entierement  d£termin&  a  une  constante  pres  ;  mais  nous  pouvons 
laisser  cette  constante  de  c6td,  elle  ne  joue  en  effet  aucun  role,  puisque  les 
fonctions  S  n'entrent  que  par  leurs  derives. 
Liquation  (6)  devient  ensuite 


(7) 
W; 


Dans  le  second  membre  tout  est  connu;  Kp  ne  depend  que  de  S0,  84,  .  .  ., 

/7^( 

Sp_a?     J)~~"1  ©st  connn  puisque  S^_i    est  suppos^   determine   a   une  fonction 
&yi 

arbitraire  pres 


D'autre  part  -^   est  ind^pendant  de  y^  ;  le   premier  membre  peut  done 

s'^crire  N~-    —  r—^   >    de  sortekque  liquation  (7)  nous   donnera      —  f-^ 
dyi  L  fy*  J  ^  n  w  /  L  dyi  j 

en  fonction  de  y%.  Nous  connaitrons  done  [S^^i]  a  une  constante  pres  et  cette 
constante  qui  ne  joue  aucun  rdle  peut  etre  laiss^e  de  cot^. 

Nous  connaissons  d'une  part  S^_i  a  une  fonction  arbitraire  pres  de  y%] 
d'autre  part  nous  connaissons  [S/;^]  en  fonction  de^^J  done  S^i  est  entie- 
rement determine. 

La  constante  Cn  joue  un  role  preponderant.  Supposons  d'abord  qu'elle  soit 
sup(§rieure  a  la  valeur  que  nous  avons  appelee  —  <p4  dans  les  paragraphes  cit^s 

//^ 
et  par  consequent  que  [Fi  ]  +  d  soit  toujours  positif  et  -^  toujours  r^el  et  je 

j  — 

pourrai  ajouter  toujours  positif,  parce  que  je  suis  libre  de  prendre  le  signe  -f- 
devant  le  radical. 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE,  425 

Je  dis  que  dans  ce  cas:  on  peut  choisir  arbitrairement  les  constantes  X  et 
—  £  et  -^  sont  des  fonctions  p^riodiques  non  seulement  de  y^  ,  mais  encore 


dey2.  (Sp  est  encore  de  la  forme  Apj'i-j-  fVJ's  +  S^,  /^et/jt^etanldes  conslantes 
pendant  que  S^  est  periodique  de  p6riode  27:  tant  par  rapport  a  y\  que  par 
rapport  a  y%)> 

En  effet,  supposons  que  cela  soit  vrai  pour 


T  7  *  n  —  i        .  n 

ie  dis  que  cela  sera  vrai  encore  pour  —  ~  —  et  -j-^- 
J          ^  ^  «rj-2        4}'i 

En  effet,  nous  avons  par  hypo  these  : 

1  -r,     A  f  V 

'  '        a), 


.. 

les  A  et  les  a  4tant  des  constantes,  m{  et  m2  4tant  des  entiers. 
On  aura  ensuite  par  definition 

=  M 

L"^rJ= 
Mais  on  doit  avoir 

et  par  consequent 


rvs^-i     Xp,, 
L  <TI  J      11 


_{  4tant  une  constante;  on  en  conclut  que 

v? 


pour    /TCS^OJ         AQ.O= 


II  vient  ainsi 


la 


et  m,2  prenant  toujours  sous  le  signe  2  toutes  les  valeurs  entires  telles  que 


i. 

[»Q  -1 

y^"1     soit 

[rQ«  ni 

,P"'4-     est  d^fini  par  liquation 


une 


-J.- 

^       rfr»  L  ^i  J 

lie  dependant  que  de  S1?  Sa,  .  .  .  ,  S^_2  sera  periodique 
H.  P.  —  VII.  54 


426  SUR   LE   PROBLEME   DES   TROIS   CORPS 

-f^l  estuneconstante  ^^;  de  plus -^  est  une  fonction  periodique  dey2 


qui  ne  s1  annule  j  amais  . 

11  en  r^sulte  que     -—  T—  ^    P^ut  etre  d^velopp^  suivant  les  sinus  et  les  cosinus 
des  multiples  dejv  On  a  ensuite 


ce  qui  montre  que  -r-^  est  p6riodique 

^vi 

Ainsi  en  choisissant  pour  C,  une  valeur  superieure  a  —  <p4  eL  en  choisissanl 
ensuite  les  autres  constantes  X3,  X/0  .  .  .  d'une  facon  arbitraire,  on  trouve  pour 

-7—  et  -r-  des  series  ordonnees  suivant  les  sinus  et  les  cosinus  des  multiples 
dyi  dyt  r 

de  yA  et  deyz.  Ces  series,  quoique  divergentes,  peuvent  rendre  des  services  dans 
certains  cas. 

Passons  maintenant  au  cas  de  C\=  —  9^,  qui  ainsi  que  nous  Favons  vu  au 
paragraphe  17  est  celui  qui  correspond  aux  series  qui  repr^senLent  asjmptoti- 
quementles  surfaces  asymptotiques, 

L'expression  [F1]-|-Ci  n'est  jamais  negative,  mais  elle  devient  nulle  pour 
une  certaine  valeur  de  y2  q^e  nous  avons  appel^e  V23  dans  le  paragraphe  cit£. 
Je  supposerai  dans  ce  paragrapke  que  cette  valeur  est  nulle;  j'ai  le  droit  de  le 
faire,  puisque  cela  n'implique  qu'un  choix  particulier  de  Porigine 

Ecrivons  done  [F^]  -f-  Ci  sous  forme  de  s^rie  trigonom^trique  : 


Pour  ^2  =  Oj  cette  fonction  sjannule  ainsi  que  sa  d^riv^e,  puisque  la  fonction 
etant  toujours  positive,  z^ro   est  pour  elle  un  minimum.  II  en  resulte  que 

1'expression  suivante  :    •  i      f   1  est  d^veloppable  suivant  les  sinus  et  cosinus  des 


2 

multiples  de  y*\  c'est  une  fonction  p£riodique  dey2  qui  ne  s'annule  jamais  et 
ne  devient  jamais  inflnie. 

II  suit  de  14  que  1'on  peut  £crire 


et  par  consequent 


S  &m  cos  mjKS  -h  S  B  m  sin  m y* 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE. 

Nous  pourrons  ecrire  maintenaut  liquation  (7)  sous  la  forme  suivanle  : 

—  ^T        .  V* 

V  2i\  sin  —  _    „        __ 

x     ,v  _  _  _  2  _  f^V'-!  1    __          ,  <f>     /          N 

17  ;  ~  ~~    *"*"     *   J    ' 


<&p  6tant  une  fonction  connue  de  jr2. 

Gela  pos£,  je  me  propose  de  d6monlrer  que  -?-£  et  -r-£  sont  des  fonctions 

p^riodiques  de  y±  et  de  y*,  dont  la  periode  est  27:  par  rapport  a  y^  et  4?r  par 
rapport  a  j'2. 

Supposons  en  effet  que  cela  soit  d6monir6  pour 


p—  3       c     ^  —  i 

J  r 

' 


l"   est  une  fonction  pdriodique   de  y+  eL  de  j'2;  d'autre  part  sa  valeur 


moyenne 


est  une  constante  ind^pendante  dey2-  Nous  pourrons  done  6crire 


^-<(yi?J^)  ^tant  une  fonction  periodique  de  y\  et  j2,  et  ^i  une  fonction 
arbitrairede^a  seulement.  II  vient  ensuite 


_ 

d'oii 


^C  yr  c  "] 

ce  qui  montre  que      /"*    --    ^-u  est  une  fonction  p6riodiquede  j^  etde  j"2- 

r  //^      i 

Liquation  (7^)  montre  que  cela  est  vrai  6galement  de     •    ,p~^     et  par  cons6~ 

L    ^v  s   J 

ro 

quent  de      ,p~l  (quelle  que  soit  d'ailleurs  la  conslante  ^)  et  liquation  (5) 
montre  que  cela  est  vrai  de  -r-^- 

»C  -7C 

Cela  sera  done  vrai  des  fonctions  -=-£  et  -*-£-  quel  que  soit  Pindice  D. 

O^i          Ofs     xi 

II  importe  toutefois  de  remarquer  que  si  ces  fonctions  sont  p^riodiques,  ce 
n'est  pas  une  raison  suffisante  pour  qujelles  puissent  dtre  d^veloppees  suivant 

les  sinus  et  cosinus  des  multiples  de  y\  et  de  —  •  En  effet,  ces  fonctions  ne  sont 


428  SUR  LE  PROBLEMS  DBS  TROIS  CORPS 

pas  toujours  finies,  sauf  pour  un  choix  particulier  des  constantes  Xpj  il  est 

de   s'en  rendre   compte,    car  Inequation   (7'),    d'oii   Ton  doit  tirer  la  valeur 

de    _£z*    ,  a  en  facteur  dans  son  premier  membre  sin  —  -  Done  1'expression 

de     —  .fill     contiendra  sin^lr  au  denominateur. 
L    dy»   J  2 

Les  d^rivdes  des  fonctions  Sp  pourront  done  devenir  infinies,  mais  seulement 
pour 


sin  —  =  o        ou 


Si  y%  a  une  valeur  diflferente  de  a^jr,  ces  deriv^esne  deviennentinfinies  pour 
aucune  valeur  dejKiJ  elles  peuvent  done  se  d6velopper  suivant  les  sinus  et 
cosinus  des  multiples  de  y±. 

Nous  pouvons  done  6crire  par  exemple  : 

J~~l  =  —  X^-i  +  S  Am  cos  myi  -4-  S  Bm  sin  mjl5 

Am  et  Bm  ^tant  des  fonctions  p^riodiques  de  y3  qui  peuvent  devenir  infinies. 
Imaginons  maintenant  que  les  constantes  ~kp  d'indice  impair  soient  toutes 

>O  TO 

nulles;  je  dis  que  -^  et  -v-2-  ne  changeront  pas  quand  on  changera  y%  en 

y^+  27T  toutes  les  fois  que  Findice  JD  sera  pair  etqu'au  contraire  ces  deux  fonc- 
tions changeront  de  signe,  sans  changer  de  valeur  absolue?  quand  on  chan- 
gera  j^  en  ^3+  271,  toutes  les  fois  que  1'indice  p  sera  impair. 
Je  suppose  que  le  th^oreme  soit  vrai  pour 


et  je  me  propose  de  d^montrer  qu'il  est  vrai  6galement  pour  — £-1  et  —£ 
gi  dSp-t  c 

de  m^me  de 


i      p~l  est  mulipli6  par  (  —  iV~~!  quand  0/2  se  change  enj^2  -f-  271,  il  en  sera 


Nous  avons  trouve  en  effet 

d$P-i  =  -1  A  _!  -+.  S  A 
^Ki          ^i  ^ 

m  et  Bm  6tant  des  fonctions  p^riodiques 
Si    .  *"Tl  est  multipli^  par  ( — i)^"1  quand  y%  augmente  de  27rt  il  en  sera  de 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  4^9 

m£uie  de  Am  et  Bm  et  des  d^rivces  de  ces  fonctions  par  rapport  ajyv  II  en  sera 
done  encore  de  m&me  de 


—i       rdSp^i~\  _ 
2         L    ^"2   J  ~~ 


cosmrt 


dy«         m 

[x/Q          T 
'     ,/?~3      * 

Pour  cela  il  est  necessalre  d'etudier  de  quelle  maniere  Kp  depend  des  fonc- 
lions  So,  Si,  S2,  .  .  .  ,  S^-i.  Je  me  propose  d'etablir  que  Fordre  de  tous  les 
termes  de  Kp  par  rapport  aux  d^riv^es  des  fonctions  djindice  impair  Si,  Sa> 
S5,  ...  sera  de  m^me  parit4  que  p. 

En  efFet,  en  faisant  dans  F  (  ~-r-^  5  -—  ->  y{  ,  y2  \  7 

S  =  SO-H  Si  v/fJt-f-S±;i-H..., 
nous  avons  trouvd 


Si  je  change  y^p.  en  —  yp.  et  qu'en  meme  temps  je  change  S^,  S3?  S5,  ...  en 
—  Si?  —  S3?  —  Sr,,  .  .  -  sans  toucher  aux  fonctions  d'indice  pair?  Fexpression 
de  F  ne  devra  pas  changer. 

Done  Hp  devra  se  changer  en  (  —  i)^Hp. 

Gela  montre  que  Fordre  de  tous  les  termes  de  Hp  par  rapport  aux  derives 
de  S*,  S3,  S5,  .  .  .  ,  devra  ^tre  de  raeme  parit6  que/?,  II  devra  done,  comme  je 
Fai  annonc^,  en  £tre  de  m^me  des  termes  de  Kp,  puisqu'on  obtient  K^  en 
supprimant  dans  JHP  les  termes  qui  dependent  de  Sp_4  ou  de  Sp. 

Cela  pose,  changeons  y2  en  y*  +  2K;  les  d&riv£es  de  S^  ne  changeront  pas 
si  q  est  pair  et  au  plus  6gal  a/>  —  2;  elles  changeront  de  signe  si  q  est  impair 
et  au  plus  egal  ajt?  —  2.  Done  K^  se  changera  en  (  —  i^K^. 

Reprenons  maintenant  liquation 


[//Si         "1 
_£il 
i  /      \n  r^Sw  —  r  i    .  <^Si      *  £$Si 

change  en  (—  i)^   --»  ^        s^  change  en  — 


Nous  pouvons  meme  dire  que  \p  se  change  en  (  —  *)^/>- 

En  efFet  cela  estvrai  pour  JP  pair,  parcequeJ,^  est  uneconstanleind&pendante 
de  y%]  cela  est  vrai  encore  pour  />  impair,  parce  que  nous  avons  suppos6  que 
les  Ap  d^indice  impair  sont  tous  nuls. 


43o  SUR   LE   PROBLEMS   DBS   TROIS   CORPS 

[»o  -.  p  /-7Q  ~f 

J""     se  change  en  (  —  i)^1      J^     et  par  consequent 

^tlen(-iX-*^i.  c.  Q.  F.  D. 

<fys  v         '          dyz 

Je  dis  mainlenant  que  -r-^  so  changera  en  (  —  i  }/>—£. 
Ecrivons  en  effel  Pequation  (5) 

(5)  /i1^  =  2AS^_1  +  K>0; 

Kp  et  ASp-i  et  par  cons6quent  le  second  me'mbre  de  liquation  (5)  seront  mul- 
lipli^s  par  (  —  i)^  quandy3  augmentera  de  STT.  II  devra  done  en  etre  de  meme 

du  premier  membre  et  de  -—••  c.  Q.  F.  D. 

Je  vais  maintenant  demontrer  que  Ton  peut  choisir  les  constantes  A^de  fagon 
que  les  d^riv^es  des  fonctions  $>p  ne  deviennent  pas  infinies  pour^2=  zkn. 
Supposons  que  Ton  ait  choisi  les  constanles  X2,  A;J;  .  .  .  ,  ~kp~\  de  fagon  que 


restent  finies  et  que  les  constantes  ^  d'indice  impair  soient  nulles;  je  me  pro- 

70         ^  »n 

pose  de  choisir  ^  de  fagon  que      /?~i  et  -j-^  ^e  deviennent  pas  non  plus  infinies. 
Nous  verrons  en  meme  temps  que  ^p  devra  etre  nulle  si  p  est  impair. 
II  est  clair  d'abord  que  si      p~l  reste  finie,  il  en  sera  de  meme  de 


et 


a?j/2    J  P\J-J      L    PI  dyi\_    dy±   J 

Reprenons  maintenant  liquation  (7').  Le  coefficient  de  laquantite  inconnue 

[j'C  "I 

,p~l     s'annule  pour  ^0=2^71;  pour  que  cette  quantite  inconnue  demeure 

finie,  il  faut  que  le  second  membre  s'annule  egalement  et  que  1'on  ait 


Comme  &p  ne  change  pas  quand  y2  augmente  de  4^;  il  suffira  de  prendro 
k  =  Q  el  k  =  i  et  d'^crire 
(8)  *,(o)  =  *,(**)  =  V 

Sip  est  pair,  il  n'y  a  pas  de  difficult^,  on  a 

et  par  consequent 


ET   LES  EQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.  43  1 

de  sorte  qu'il  suffil  de  prendre 

}h/?=^(o). 

Si  au  contraire/>  est  impair,  on  a 


et 


de  sorle  que  les  equations  (8)  ne  peuvent  £tre  satisfaites  que  si  Ton  a 


Nous  avons  done  a  demontrer  que  pour/?  impair,  $/>(o)  est  nul. 

Soit  en  efFet 

$Xo)-* 
et  par  consequent 


Nous  allons  nous   appuyer  sur  un  lemme  qui  est  presque  Evident.  Voici 
de  ce  lemme  : 


Solent  q>j  et  <p2  deux  fonctions  per  iodiques  et  de  periods  271  par  rapport 
a  y±  et  a  y2.   On  salt  que  si  9  est  une  f  auction,  periodique  de  y^  par 

exemple,  la  valeur  moyenne  de  ~j^-  est  nulle.  On  aura  done 


les  integrates  &lant  etendues  a  toutes  les  valeurs  de  y\  et  de  y^  depuis  zero 
jusqu'a  27T. 

II  est  necessaire  pour  que  le  leimxxe  soit  vrai  que  les  fonctions  y\  et  o2  soient 
continues,  mais  leurs  d^riv^es  peuvent  etre  discontinues.  Ces  deri\?6es  doivent 
settlement  rester  finies. 

Gela  pose,  nous  acheverons  de  determiner  la  fonction  S^^.^  non  plus  par 
liquation  (7'),  mais  par  liquation  suivante  : 


Elle  ne  differe  de  liquation  (7')  que  parce  que  lkp  a  &t&  remplac6  par  a  cos  —  - 

[»Q  -j 
,/>"1-     est  une  fonction  periodique  dejKs 

et  de  p^riode  arc  (je  rappelleque  JP  est  suppos6  impair).  De  plus,  cette  fonction 
ne  devient  pas  infinie  pour  j/3=  a^rir,  parce  que  le  second  membre  de  liqua- 
tion (9)  s'annule  pour  j*s  =  o  et  pour  y2  =  air. 


2  SUR  LE   PROBLEME  DES   TROIS  CORPS 

Posons  ensuite 


JL 

•?*2*b 


7}  sera  une  fonction  de  y<,  de  jr2  et  de  JJL  d6fmie  par  liquation 

(10)  F(^2,ri,rO  =  C' 

II  est  ais£  de  voir  que£2  est  enticement  determine,  puisquenous  connaissons 
maintenant  complement  S0  ,  S,  ,  .  .  .  ,  S^-,  .  On  pourra  done  tirer  75  de  Pequa- 

tion  (10)  sous  la  forme  suivante  : 

i. 

7)  =  'f\Q  -j-  JX-  TQi  -i-  |J.TJ2  •+-..., 

les  »£  6tant  des  fonctions  periodiques  de  y±  et  deya,  de  periode  STT  par  rapport 
a  j^i  et  4^r  par  rapport  a  y<>* 
De  plus  on  aura 


Nous  n'avons  besoin  que  de  n0  ;  or  on  voit  tout  de  suite  que  13  0  est  donn^e  par 
Fequation  suivante  : 

(ll)  /Il7)o=  2  AS^-i-r-  K^, 

qui  ne  differe  de  liquation  (5.)  que  parce  que  Finconnue  y  est  d6signee  par  Y)O. 

Cette  Equation  montre  que  YJO  est  une  fonction  p6riodique  de  y\  ;  il  faut 

chercher  la  valeur  moyenne  de  cette  fonction.  Si  Ton  se  reporte  a  la  signifi- 

cation de  liquation  (9),  on  verra  qu'elle  exprime  que  la  partie  moyenne  du 

second  membre  de  (  1  1)  est  a  cos  ^-  On  a  done 

_     _       a         r2 
.        ^1=^COST' 

^  est  susceptible  de  deux  valeurs  difftrentes  qui  se  permutent  Tune  dans 
1'autre,  soit  quand  on  change  fa  en  —  fa,  soit  quand  on  change  y$  en  y2+  271. 

Pappellerai  <?3  la  plus  grande  des  deux  valeurs  de  £2  et  ^  la  plus  petite. 

De  meme  £,  est  susceptible  de  deux  valeurs;  j'appellerai  91  celle  qui  corres- 
pond a  <p3  et  <\>4  celle  qui  correspond  a  d/2, 

Enfin  f]  est  susceptible  de  deux  valeurs;  j'appellerai  nr  celle  qui  correspond 
a  <pa  et  y]f/  celle  qui  correspond  a  ^2;  YJJ  est  susceptible  de  deux  valeurs  que 
j'appellerai  de  ni&me  73^  et  n"  * 


£T   LES  EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  433 

La  fonction  9^  est  periodique  de  periode  277  par  rapport  a  y>2]  en  effet,  quand 
on  augmented  de  2?:,  les  deux  valeurs  de  ?2  se  permutent  entre  elles;  done  o2 
qui  est  toujours  £gale  a  la  plus  grande  de  ces  deux  valeurs  ne  change  pas. 

Pour  la  m£me  raison,  QI,  d^,  d>2,  r/,  r/',  r^-  3  rj'  seront  des  fonctions  de 
periode  27:  par  rapport  a  jv 

Des  definitions  preccdentes,  il  r^sulte  que  QH,  Q25  '^  et  'l^  sont  des  fonctions 
continues,  quoique  les  derivies  de  ces  fonctions,  de  meme  que  r/etr/',  puissent 
etre  discontinues. 

Nous  sommes  done  dans  les  conditions  ou  notrelemme  est  applicable  et  nous 
pourrons  ecrire 


^  frdr? 


ou  encore 


ou  enfin 


/ 


Cette  relation  devra  avoir  lieu  quel  que  soit  JJE.. 

Mais  quand  p.  tend  vers  zero,  ^  —  Y/O  et  r/  —  ri\  tendent  vers  zero. 

Done  on  aura 

d  pour     fi  =  o. 


(12)  3im  (T  d^^  ^  ^  dy\  dy*>  =  o 


Transformons  le  premier  membre  de  P^galit^  (12).  Je  remarque  d'abord 
que/?  6tant  impair,  V30  est  une  fonction  qui  doit  se  changer  en  —  73  0  quand  j/2 
se  change  en  y2+27r.  II  suffit  pour  s'en  convaincre  de  se  reporter  a 
liquation  (i  i).  Nous  avons  done 


/ 


II  reste  a  voir  pour  quelles  valeurs  des  y  nous  devons  faire  Y}'O  =  -f-rjo  etpour 
quelles  valeurs  desj^  nous  devons  faire  r/0=  —  Y30. 
Si  nous  avons 


H.  P.  —  VII.  55 


434  SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS   CORPS 

nous  devrons  prendre,  d'apres  notre  convention  : 


rfSft        /-rfS,          d»  r, 

?ft  =  __ll  H-  i/U  —  --  h  U,  -;  --  r  W  l/W  -y  --  r  .  .  - 

r-      rfja        v  l   dy*       r  rf/2       '   v      fl^s 


et 


rfS* 
a  -p-^  —  u. 


Si  au  contraire  le  premier  membre  de  I'in^galiuS  (r3)  est  n^galif,   nous 
devrons  prendre 


et 


Tout  depend  done  du  signe  de  premier  membre  de  l'm€galite  (i3).  Egalons 
ce  premier  membre  a  z6ro,  nous  obtiendrons  une  Equation 


dy^          dy^ 

Cette  Equation  peut  etre  regard^e  comme  d^finissant  y^  en  fonction  de  y\  et 
de  p.. 

On  pourra  r6soudre  cette  liquation  et  dcrire 

Observons  settlement  que  0  est  une  fonction  p^riodique  de  p^riode  2:1  par  rap- 
port a  jKi  et  que  cette  fonction  0  s'annule  identiquement  quand  on  j  fait  jjt  =  o. 
Par  consequent  quand  y%  variera  de  0  a  6  +  zn,  on  aura 

"^o  =  4-  'Oo 

et  quand y%  variera  de  0  -j-  2?r  a  0  H-  S\K<  on  aura 

Nos  integrales  doivent  etre  6tendues  a  toutes  les  valeurs  de  y%  comprises 
entre  z^ro  et  27t.  Mais  comme  y/0  est  une  fonction  do  pdriode  271,  on  aura 


ou 

,  an  /,  O-j-271 


/^o 
2^ 


ET   LES  EQUATIONS   DE  LA  DYNAMIQUE.  435 

Quand  p.  lendra  vers  z£ro?  le  premier  membre  devra  tendre  vers  zero  et 
d'ailleurs  9  tendra  vers  z6ro,  on  aura  done 


d'ou 

On  a  done 

a  =  o.  c.  Q.  F.  D. 

II  r^sulte  de  la  que  si  Pon  annule  les  constantes  /.^  d'indice  impair  et  si  Pon 
donne  des  valeurs  convenables  aux  conslantes  >^  d'indice  pair,  les  fonctions 

-T-£  et  -r-^  resteront  finies. 
dyi        cty* 

On  pourra  done  les  d^velopper  suivant  les  sinus  et  cosinus  des  multiples  de 
y±  et  de  — ;  les  multiples  pairs  de  —  entreront  seuls  dans  le  d^veloppement  si  p 

2  2 

est  pair;  si  au  contraire  p  est  impair,  les  multiples  impairs  de  ~  entreront 
seuls. 

Nous  aurons  alors  pour  les  equations  approximatives  de  la  surface  asymp- 
totique 


Ces  series  ainsi  que  nous  1'avons  vu  sont  divergentes,  mais  si  Ton  arrete 
comme  nous  le  faisons  dans  les  Equations  (i5)  au  ni6mQ  terme,  Perreur  commise 
peut  etre  tres  petite  si  /JL  est  tres  petit,  ainsi  que  je  Pai  expose  plus  haul. 

Nous  avons  vu  que  la  quantity  appel^e  plus  haut  a  est  toujours  nulle.  On 
peut  donner  de  ce  fait  essentiel  une  autre  demonstration. 

Posons 


5  =  r,0  •+-  jiTls  -+-  ^2riv  -H  ---- 

Je  dis  d'abord  que  T  est  une  fonction  periodique  de  y} 

En  efFet  ses  d^riv6es  -=-^  et  -^  —  sont  des  fonctions  periodiques;  on  a  done 


(3  et  y  6tant  des  constantes  et  T;  6tant  une  fonction  periodique  de  j* 


436  SUE  LE  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS 

On  en  conclut  que 

//T  _  s       dT  dT  _  ^       dT 

5>~7  ""        5Fi  '       ^j'2  ""  '      <r2  ' 

jrp/         /-7T' 

T—  et  -7—  etant  des  series  trieronom<§triques  dont  le  terme  toul  connu  est  mil. 

dyi        dy*  °  ^ 

Mais  les  fonctions  Si,  S3,  .  ..,S^_2   £tant  d'indice  impair,   leurs  d6riv6es 
changent  de  signe  quand  on  change  y$  en  jKaH-  ^TT.  Done  ^—  et  ^r-  changent 

de  signe  quand  ya  augniente  de  271.  Done  les  termes  tout  connus  (3  et  y  sont 
nuls.  Done  T  =  T'  est  une  fonction  p^riodique  qui  ne  change  pas  quand  y± 
augmente  de  STT  et  qui  change  de  signe  quand  y*  augmente  de  2?r. 
Cela  pos6,  nous  savons  que  Ci  et  £2  sont  li^es  par  liquation 


II  en  r^sulle  que,  si  les  deux  valeurs  de  ?3  se  confondent,  les  deux  valeurs 
de  £i  se  confondent  £g-alement. 

Ecrivons  que  les  deux  valeurs  de  £2  se  confondent,  il  vient 

(16)  £.  =  o. 

O£KS 

Getle  Equation  (16)   est  djailleurs  identique  a  liquation   (i4)«  Ecrivons 
maintenant  que  les  deux  valeurs  de  £1  se  confondent,  il  viendra 


07) 


Les  Equations  (  r6)  et  (  17)  devront  £ire  6quivalentes.  De  plus  elles  devront 
^qulvalentes  a  la  suivante  : 


0  ayant  le  mdme  sens  que  plus  haut.  Supposes  qu^on  d^veloppe  9  suivant  les 
puissances  croissantes  de  fz,  il  viendra 

(18)  j-2=  jJL01-h^Os 


Oi?  62»  Q.ij  -  •  •  ^Lant  des  fonctions  p^riodiques 

Supposons  y%  li^  a  y±  par  liquation  (18);  quand  y±  augmentera  de  2?r,  y* 
ne  changera  pas  et  T  qui  est  p^riodique  ne  changera  pas  non  plus;  on  aura 
done 


r-~/dT,       dT  ,   \ 

=  -y—  d\  i  -h  -y—  ^7/2     =  o. 

-/o     \^i  -       4r*      / 


ET  LES   EQUATIONS  DE   LA  DYNAMIQUE. 


ou  en  rernpla^ant  -j  —  et  -^-  par  leurs  valeurs  tirees  des  equations  (  16)  et  (  17) 

*ii   r^- 
—  ;-L  -      /       5  dy\  =  o. 

*/,, 

Si  dans 

£  =  rtu  -f-  ;jtri2  -+-  ;ji'2  r,v  -4-  .  .  .  , 

on  remplace  j>'2  par  sa  valeur  (  18),  ii  viendra 


£o5  ;i,  £3,  etc.  £tant  des  fonctions  periodiques  de y±. 
On  devra  avoir  quel  que  soit  JJL  : 

JQ 
et  par  consequent 

«;: 

II  est  clair  que  pour  obtenir  40?  *1  suflit  de  faire y*  =  o  dans  yjo,  or  on  a 
II  vient  done 

—  =  O  OU  a=Oj  C.    Q.    F,    D. 

HI 

19.  —  Troisieme  approximation, 

Nous  nous  proposons  maintenant  de  construire  exactement  nos  surfaces 
asymptotiques  ou  plutot  leur  intersection  avec  la  surface^!  =  o,  qui  est  comme 
nous  Favons  vu  plus  haut  une  surface  sans  contact. 

Dans  notre  mode  de  representation  geom6trique,  la  solution  p6riodique  que 
nous  envisageons  est  repr£sent6e  par  une  certaine  courbe  trajectoire  fermde. 
Cette  courbe  ferm^e  vient  couper  la  surface  yt  =  o  en  un  point  que  j?ai  repre- 
sent6  sur  la  figure  en  0'. 

Par  cette  courbe  ferm6e  passent  deux  surfaces  asymptotiques;  ces  deux 
surfaces  coupent  la  surface  JK*  =  o  suivant  deux  courbes  que  j'ai  represent^es 
sur  la  figure  en  trait  plain  en  AQ'B'  et  A! O7B. 

J?ai  represent^  en  trait  pointill^ la  courbe y±=y^=  o, 

Reprenons  les  notations  du  paragraphe  16:  consid^rons  les  series  Si  et  s%  qui 


438  SUR  LE   PROBLfcME  DES  TROIS  CORPS 

entrenl  dans  les  equations  (4)  de  ce  paragraphe;  soient  comme  dans  le  para- 
graphe  16,  s?  eL  ^  la  somme  des  p  premiers  termes  des  series  si  et  sa.  Nous 
avons  vu  que  les  equations 


representent  des  surfaces  qui  different  tres  pen  des  surfaces  asymptotiques. 
Ges  surfaces  couperont  la  surface  y\  =  o  suivant  des  courbes  qui  ont  pour 
Equation 


et  qui  sont  represents  sur  la  figure  en  trait  mixte  -. 


Fig.  7. 


Nous  avons  appris  dans  le  paragraphe  pr6c6dent  a  former  les  series  $i  et  52 ; 
nous  avons  vu  que  ^(yi,  j^)  et  ^(jKij  J'a)  sorit  ^es  fonctions  periodiques  de 
p^riode  271  par  rapport  a  y±  et  de  periode  4^  par  rapporl  a  y*. 

II  en  rdsulte  que  la  courbe  en  trait  miste  doit  etre  comme  1'indique  la  figure 
une  courbe  ferrn^e  admettant  un  point  double  O, 

La  premiere  question  a  traiter  est  la  suivante  :  les  courbes  en  trait  plein. 
intersections  des  surfaces  asymptotiques  avec  j/A=o,  sont-elles  aussi  des 
courbes  ferm^es  ?  11  est  clair  qu'il  en  serait  ainsi  si  les  series  s±  et  52  ^taient 
convergentes.  Gar  les  courbes  en  trait  pointing  differeraient  alors  aussi  peu 
qu'on  voudrait  des  courbes  en  trait  plein;  la  distance  d'un  point  de  la  courbe 
pleine  &  la  courbe  pointill6e  tendrait  vers  z6ro  quand  p  croitrait  ind^finiment. 

Je  vais  montrer  sur  un  exemple  simple  qu'il  n'en  est  pas  ainsi.  Soit 


—  F 


Y 
--~  "2\i  sin2  ~  — 


ET  LES   EQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.  430 

ou  <f(y)  reprusenle  une  fonction  periodique  de  y  de  periode  277,  et  ou  /x  et  s 
sont  deux  constaates  que  je  suppose  tres  petites.  Je  forme  les  equations 


rtp        dF 
-f-  =  -T-  =  —  ;JL£ 
l 


=  —  -  =  a  sin  r 


On  voit  que  p  et  q  joueront  le  meme  role  que  j'attribuais  jusqu'ici  a  Xi  et  a  x$* 
pendant  que  x  et  jr  joueront  le  r6le  que  j'attribuais  a  y\  et  a  j\>,  je  n'ai  change 
les  notations  que  pour  supprimer  les  indices. 

Supposons    d'abord    £  =  o.    Les   equations  admettent    alors    une    solution 
periodique  qui  s'ecrit 

.r  ==  t,        p  =  o,        q  =  o,        y  =  o. 

Les  exposants  caracteristiques  (en  laissant  de  cote  les  deux  qui  sont  nuls,  ainsi 
qu'il  arrive  toujours  avec  les  equations  de  la  Dynamique)  sont  egaux  a  ±  < 
11  existe  alors  deux  surfaces  asymptotique^  qui  ont  pour  equations 

'/•So  ^/So 


Les  exposants  caracteristiques  n'^tant  pas  nuls,  mais  ^gaux  a  zh  y/2fl  quand  on 
fait  s  =  o,  il  existera  encore  une  solution  periodique  pour  les  petites  valeurs 
de  E;  a  cette  solution  periodique  correspondent  deux  surfaces  asymptotiques 
dont  liquation  pourra  se  mettre  sous  la  forme 


S  etant  une  fonction  de  x  et  dc  y  satisfaisant  a  1'equation 


Les  exposants  caracteristiques  ne  s'annulant  pas  pour  e  =  o?  il  resulte  de  ce 
que  nous  avons  dit  a  la  fin  du  paragraphe  13  que/?  et^et  par  consequents  sont 
developpables  suivant  les  puissances  croissantes  de  e,  Posons  done 

Nous  avons  trouv6  plus  haut  : 

/  y 

S0==  —  2  V2JJL  COS-- 


440  SUR  LE  PROBLEME  DES  TROlS  CORPS 

Quant  a  Si7  il  devra  satisfaire  a  liquation 


—  -- 

Si  Ton  d^signe  par  I*  une  fonction  qui  satisfasse  a  P6quation 


—    -  sin'-  ^-  = 


Si  sera  la  partie  reelle  de  2.  Or  on  peut  satisfaire  a  celte  equation  en  faisant 

S  =  ete<K7); 
il  suffit  pour  cela  que 

.  .  /  —    .     y  M  .     . 

z'l>  -h  1/2JJ.  sin  —  —r-  =  ?JL®(y). 

vi  r  '  Vl/  ; 


Liquation  en  fy  ainsi  obtenue  et  qu'il  s'agit  d'int^grer  estlineaire.  Son  integrale 
:  si  «p=  o  : 


et  si  cp(r)  est  quelconque  : 


Comnae  d>  doit  £tre  d^veloppable  suivant  les  puissances  entieres  de  y  pour  les 
petites  valeurs  de  j',  il  est  facile  de  voir  quelle  valeur  il  faudra  donner  a  la 
constante  d'int^gralion.  Si,  pour  y  =  o,  <p(jK)  s'annule,  1'integrale  devra 
s'annuler  aussi,  de  sorte  qu'il  faudra  la  prendre  entre  les  limites  z£ro  et^. 

Que  faudrait-il  maintenant  pour  que  les  courbes  B07B;  et  AO'A;  fussent 
fermdes  ?  II  faudrait  que  la  fonction  S  restat  finie  ainsi  que  ses  ddriv^es  pour 
toutes  les  valeurs  de  y  et  fut  p^riodique  de  p^riode  4^  par  rapport  ay  (c'est  ce 
qui  arrivait,  rappelons-le?  pour  les  fonctions  s?  et  s?  dont  nous  avons  parl6  un 
peu  plus  haul).  Comme  cela  devrait  avoir  lieu  pour  toutes  les  valeurs  de  £,  cela 
devrait  avoir  lieu  de  S1?  et  comme  S4  est  £gal  a  cosx  multiple  par  la  partie 
reelle  de  ^,  plus  sin#  multiple  par  la  partie  imaginaire  de  i}/;  cela  devrait  avoir 
lieu  de  fy. 

Done  pour  les  valeurs  de  y  voisines   de  27:,^  devrait  £tre  d^veloppable 

suivant  les  puissances  entieres  dey  —  2^1.  Mais  il  n7en  est  pas  ainsi  de  (  tg-  )  • 
Done  Pintegrale 


ET   LES   EQUATIONS  DE   LA   DYNAMIQUE.  44* 

devrait  etre  nulle.  Calculons  cetle  inte*grale  en  supposant  ®(r]  =  siny.  Posons 


tg  7  =  t,  il  viendra 


Int^grons   par  parties    en  remarquant  que  -  -  —  est  la   deriv^e   de  -  -p 

il  viendra 

t-*  dt 


Faisons  t-  =  u,  on  aura 

—  ^±! 
T  /  —    r  *  w       2    flfo        2^a  v/2u  —  8^/ 

J  =  03  V/2U    /         -  =   -  -  -  i-  =:   —  -  -- 

/,  i-f-w  a^r  _"_         __  ±_ 

*^    0  />AC   _  -  -  — 

a  e^+e    v2^ 

Done  J  n'est  pas  nul;  done  les  courbes  BO'B'  et  AO'A'  ne  sont  pas  ferm£es: 
done  les  series  $i  et  s%  ne  sont  pas  convergentes,  non  plus  que  les  series  d^finies 
dans  les  paragraphes  14  et  18  ainsi  que  je  Tavais  annonc^  dans  cesparagraphes. 
La  distance  des  deux  points  B  et  B'  n'est  done  pas  nulle,  mais  elle  jouil  de  la 
propri£t£  suivante.  Non  seulement  BBA  tend  vers  z6ro,  quand  JJL  tend  vers  z^ro, 

T>T>r 

mais  le  rapport  -  tend  ^galement  vers  z^ro  quelque  grand  que  soitjo. 

C  ! 

H-2 
En  effet  la  courbe  pointill^e  a  pour  equation 

JKi=0,  ^1=^(0,7-2);  ^2=^f(03^o) 

et  la  courbe  en  trait  plein  a  pour  Equation 

ji  =  b,         Xi  —  fi(o,y*),         ara=/a(o,  ys). 

D'apres  ce  que  nous  avons  vu  plus  haul,  les  series  s±  et^  repr^sentent  asyinpto- 
tiquement  les  fonetions/i  ety*2,  ce  qui  veut  dire  que  Ton  a 


r 

=  Jim 


=o          pour     4u  =  o. 


P_ 
Done  le  rapport  a  |J.2  de  la  distance  de  B  £  la  courbe  pointill^e  tendra  vers  z6ro 

E, 
et  il  en  sera  de  meme  du  rapport  a  /JLS  de  la  distance  de  B;  a  cette  courbe  poin- 

till^e.  On  a  done 

,.     BB' 

hna  —  ^-  =  o.  c.  Q.  F.  D. 

^ 

H.  P.  —  VII.  56 


442  SUR   LE   PROBLEMS   DES   TROIS  CORPS 

En  d'autres  termes,  si  Ton  regarde  fx  cornme  un  infiniment  petit  du  premier 

ordre,  la  distance  BB',  sans  etre  nulle,  est  un  infiniment  petit  d'ordre  infini. 

1 
C'est  ainsi  que  la  fonction  e   ^  est  un  infiniment  petit  d'ordre  infini  sans  etre 

nulle. 

Dans  1'exemple  particulier  que  nous  avons  trait6  plus  Laut,  la  distance  BB; 

«_  JL. 
est  du  meme  ordre  de  grandeur  quo  Pint^grale  J,  c'est-a-dire  que  e  ^. 

Une  seconde  question  a  traiter  est  celle  de  savoir  si  les  deux  courbes  O'B  et 
O'B'  prolongees  se  coupent.  S'il  en  est  ainsi  en  effet,  la  trajectoire  qui  passera 
par  le  point  d'intersection  appartiendra  a  la  fois  aux  deux  nappes  de  la  surface 
asymptotique.  Ge  sera  une  trajectoire  doublement  asymptotique.  Soit  C  la 
trajectoire  ferm6e  qui  passe  par  le  point  O7  et  qui  represente  la  solution  p^rio- 
dique.  La  trajectoire  doublement  asymptotique  differe  tres  peu  de  C,  lorsque  t 
est  n^gatif  et  tres  grand,  elle  s'en  eloigne  asymptotiquement,  s'en  £carte  beau- 
coup  d'abord,  puis  s7en  rapproche  de  nouveau  asjmptotiquement,  de  facon  a 
difl6rer  tres  peu  de  C,  lorsque  t  est  positif  et  tres  grand. 

Je  me  propose  d'^tablir  qu'il  existe  une  infinite  de  trajectoires  doublement 
asymptotiques. 

Je  commence  par  observer  que  lacourbeO'B,  quelqueloinqu'onlaprolonge, 
ne  pourra  jamais  se  recouper  elle-m^me,  c'est-a-dire  que  cette  courbe  O7B  pro- 
longee  n?a  pas  de  point  double.  En  effet  dyapres  la  definition  de  cette  courbe 
les  antec6dents  des  divers  points  de  O'B  sont  eux-memes  sur  cette  courbe  0;B, 
de  sorte  que  I:ant£c6dente  de  la  courbe  O;B  est  une  portion  de  cette  courbe. 
De  m£me  la  seconde,  la  troisieme,  etc.,  la  nlKmc  ant6c£dente  de  O'B  sont  des 
portions  de  plus  en  plus  petites  de  cette  courbe,  limit^es  par  le  point  0'  d'une 
part  et  un  point  D  de  plus  en  plus  rapproche  de  O;  d'autre  part. 

Si  la  courbe  O'B  avait  un  point  double,  il  en  devrait  etre  de  meme  de  toutes 
ses  ant£c£dentes,  et  par  consequent  de  tout  arc  O'D  si  petit  qu'il  soit,  faisant 
partie  de  O'B.  Or  les  principes  du  paragraphc  13  nous  permettent  de  construire 
la  portion  de  O'B  voisine  de  O'  et  de  constater  que  cette  portion  de  courbe  n'a 
pas  de  point  double,  II  en  est  done  de  m£me  de  la  courbe  entiere  quelque  loin 
qu'on  la  prolonge. 

D'apres  la  definition  des  deux  nappes  de  la  surface  asymptotique  et  des 
courbes  BO'A;,  B;O'A.,  Tune  de  ces  courbes  (par  exemple  la  courbe  B'Q'A7) 
est  telle  que  le  7iI6me  ant^c^dent  d'un  point  de  cette  courbe  se  rapproche  ind4fi- 
niment  de  0',  quand  n  augmente;  pour  Tautre  courbe  B'O^A,  c'est  le  nl*mc 


ET  LES  EQUATIONS  DE  LA   DYNAMIQUE.  443 

consequent  qui  se  rapproche  indefmiment  de  O'.  Ce  que  nous  venons  de  dire 
s'applique  done  tigalement  a  la  courbe  O'B',  pourvu  qu'on  remplace  partout  le 
mot  antecedent  par  le  mot  consequent.  Done  la  courbe  O'B'  quelque  loinqu'on 
la  prolonge  ne  se  recoupera  pas  elle-meme  et  il  est  clair  qu'il  en  sera  de  meme 
des  courbes  O'A  el  O'A'. 

Je  dis  xnaintenant  que  la  courbure  des  courbes  O'B  et  O'B'  est  finie,  je  veux 
dire  qu'elle  ne  croit  pas  indefiniment  quand  p  tend  vers  zero. 

En  effet  nous  avons  vu  que  non  seulement  les  series  s±   el  s$  repr£sentent 

asymptotiquement  les  deux  fonctions  fi  et/2,  rnais  que  les  series  -T-T  el  -y^| 
representent  asymptotiquement  ~~  et  •—  • 

On  en  conclut  que  si  p.  est  regard^  comrne  un  infiniment  petit,  la  courbure 
de  la  courbe  en  trait  plein  au  point  B  diffdrera  infiniment  peu  de  la  courbure 
de  la  courbe  pointill^e  au  point  le  plus  rapproche;  or  cette  derniere  courbure 
est  finie,  done  il  en  est  de  meme  de  la  courbure  de  la  courbe  en  trait  plein. 

Soit  maintenant  B^  le  consequent  du  point  B  et  B^  celui  du  point  B',  La 
distance  BBi  est  du  meme  ordre  de  grandeur  que  yjjt  et  il  en  est  de  m^me  de 
la  distance  B'B'n  les  arcs  BBi  et  B'B^  sont  done  ires  peiits  si  /JE.  est  tres  petit  el 
leur  courbure  est  finie;  d'autre  part  les  distances  BB;,  BtB^  de  m^me  que  les 

prw         RPi' 

rapports  ^-?  ^TTTT  tendent  vers  z6ro  quand  tu  tend  vers  zt^ro;  enfin  il  existc  un 

invariant  integral  positif. 

Nous  nous  trouvons  done  dans  les  conditions  du  th6oreme  III  du  para- 
graphe  8.  Nous  en  conclurons  que  les  arcs  BB4  et  B'B^  se  coupent,  c'est-a-dire 
que  la  courbe  O'B'  coupe  la  courbe  0;B  prolong^e  et  par  consequent  qu'il 
existe  au  moins  une  trajectoire  doublementasymptotique. 

Je  dis  maintenant  qu'il  en  existe  au  moins  deux. 

En  eflfet  la  figure  a  6t£  construite  de  fagon  que  les  points  B  et  B(  soient  sur  la 
courbe 


Mais  Torigine  des  y^  est  rest^e  arbitraire;  je  puis  supposer  qu'on  la  choisisse 
de  telle  sorte  qu'au  point  d'intersection  des  deux  courbes  O'B  et  O'B^  on  ait 
JA,=  o.  En  ce  cas  les  points  B  et  B'  coincident.  II  doit  done  en  etre  de  meme 
de  leurs  consequents  B4  et  B'j.  Les  deux  arcs  BBi  et  B'B^  ont  alors  m£mes 
extr^mites,  mais  cela  ne  suffit  pas  pour  satisfaire  au  th^oreme  III  que  je  vieas 
d'appliquer  (il  faut  en  effet  pour  satisfaire  £  ce  th^oreme  que  Paire  limit^e  par 


444  SUE   LE   PROBLfcME   DES   TROIS   CORPS 

ces  deux  arcs  ne  soit  pas  convexe),  il  faut  encore  qu'ils  se  coupent  en  tin  autre 
point  N. 

Par  ce  point  passera  une  trajectoire  doublemenl  asymptotique  qui  ne  se 
confondra  pas  avec  celle  qui  passe  en  B.  II  j  a  done  au  moins  deux  trajectoires 
doubleraent  asymptotiques. 

Je  suppose  toujours  que  les  points  B  et  B'  se  confondent.  SoitBMN  la  portion 
de  la  courbe  O'B  comprise  entre  les  points  B  et  N;  soit  de  m£me  BPN  la 
portion  de  la  courbe  O'B7  comprise  entre  le  point  B  =  B'  et  le  point  N.  Ces 
deux  arcs  BMN  et  BPN  limiteront  une  certaine  aire  que  j'appelle  a. 

Nous  avons  vu  que,  dans  le  cas  particulier  du  probleme  des  trois  corps  qui 
nous  occupe,  on  peut  appliquer  le  theoreme  I  du  paragraphe  8.  II  existera  done 
des  trajectoires  qui  traverseront  une  infinite  de  fois  Faire  a* 

Done  parmi  les  consdquentes  de  Faire  a,  il  y  en  aura  une  infinite  qui  auront 
une  partie  commune  avec  a. 

Si  done  on  considere  la  courbe  fermde  BMNPB  qui  limite  Faire  a,  et  les 
consequents  de  cetle  courbe,  il  y  aura  une  infinite  de  ces  consequentes  qui 
couperont  la  courbe  BMNPB  elle-m£me. 

Comment  cela  peut-il  se  fa  ire  ? 

L'arc  BMN  ne  peut  couper  aucun  de  ses  consequents;  car  Fare  BMN  et  ses 
consequents  appartiennent  £  la  courbe  O'B  et  la  courbe  O'B  ne  peut  se  recouper 
elle-m^me. 

Pour  la  meme  raison  Tare  BPN  ne  peut  couper  aucun  de  ses  consequents. 

II  faut  done,  ou  bien  que  Fare  BMN  coupe  un  des  consequents  de  BPN,  ou 
que  Fare  BPN  coupe  un  des  consequents  de  BMN  (dans  les  hypotheses  ou  nous 
nous  sommes  places,  c'est  le  second  cas  qui  se  presentera).  Dans  Fun  comme 
dans  Fautre  cas  la  courbe  O'B  ou  son  prolongement  coupera  la  courbe  O'B7  ou 
son  prolongement. 

Ces  deux  courbes  se  coupent  done  en  une  infinite  de  points  et  une  infinite  de 
ces  points  d'intersection  se  trouveront  sur  les  arcs  BMN  ou  BPN.  Par  ces  points 
d'intersection  passeront  une  infinite  de  trajecloires  doublement  asymptotiques. 

On  demontrerait  de  la  merne  maniere  que  la  surface  asymptotique  qui  coupe 
la  surface  j^  —  o  suivant  la  courbe  O'A  contient  une  infinite  de  trajectoires 
doublement  asymptotiques. 


ET  LES  EQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.  445 

CHAPITRE  III. 

RESULTATS    DIVERS. 

20.  —  Solutions  periodlques  du  deuxieme  genre. 

Dans  le  Chapitre  precedent  et  ea  particulicr  dans  les  paragraphes  17  el  18 
nous  avons  construil  nos  series  en  supposant  quc  Pon  donne  a  Ci  unc  valeur 
.tantot  sup6rieure  tanldt  egale  a  — o/,. 

Supposons  maintcnant  qu'on  ait  donne  a  Ci  unc  valeur  <C —  OA.  Alors 


n'est  pas  toujours  reel.  Supposons  par  exemple  que,  pour  la  valeur  choisie  de 
C-i,  x\  reste  reel  quand  y*  varie  depuis  yj5  jusqu'a  YJG.  Je  vais  consid6rer  une 
valeur  v]7  de  y*  comprise  enlre  y};}  et  r^  : 


et  je  vais  chercher  a  d6finir  les  x^  pour  Louies  les  valeurs  dey2  comprises  entre 
73  b  el  Y3r. 

J'observe  d'abord  que  iz?.l  est  susceptible  de  deux  valeurs  egales  et  de  signe 
contraire,  a  cause  du  double  signe  du  radical;  donuons  d'abord  par  exemple  a 
ce  radical  le  signe  4-  • 

Imaginons  que  Ton  ait  calculi  successivemenl  x\^  x\,    ....  xk~",  xl}  x\* 

^k-* 

.  *  .  i  Ju  ^       * 

L'equation  (7)  du  paragraphe  18  nous  donne 

^N"-1]  =  o(/2)-c^IJ 

0  (jAj)  ^tant  une  fonction  entierement  connue  de  y%  et  Gt-t  une  constante. 
Nous  determinerons  cette  constante  par  la  condition 


Alors  bien  que  x1^  sjannule  pour  vr3  =  n:^  la  fonction 


-^ 

I  Mf  •>  j   —  - 

L  - 


. 

y,  1 

*     ^ 

reste  finie  pour  j^a  rr:  v]5. 

Nous  avons  done  completement  determine  les  fonctions  x\ 
et  nous  appellorons  x\A  les  fonctions  de  y%  ainsi  determine  es^ 


446  SUR  LE  PROBLEMS   DES  TROIS   CORPS 

Supposons  que  1'on  recommence  le  calcul  en  dormant  au  radical  le  signe  — . 
On  trouvera  pour  les  fonctfons  xl*  de  nouvelles  valeurs  que  j'appelle  x\  t  et  qui 
seront  d'ailleurs  la  continuation  analytique  des  premieres. 

Imaginons  ensuite  que  Ton  remplace  Ci  par  une  constants  nouvelle  C^  tres 
voisine  de  d. 

Alors  le  radical  I/ ^ ([Fi]  -j-  C', )  sera  reel  toutes  les  fois  quej's sera  compris 

entre  •n^  et  une  certaine  valeur  ~n8  tres  voisine  de  TOC* 

Cela  pos£,  nous  allons  par  le  procede  expose  ci-dessus  calculer  les  fonctions 
xkt  pour  les  valeurs  de  yz  comprises  entre  Yj7  et  YJS,  d'abord  en  faisant 


(nous  appellerons  xl  t  les  fonctions  ainsi  calcul^es),  puis  en  faisant 


(nous  appellerons  x*i  >z  les  fonctions  ainsi  calculees). 

Nous  allons  ensuite  construire  les  quatre  branches  de  courbes 

I":  ri  =  o,         x±=  Yo.tfjKi),         ^8==?oa(X2) 

que  nous  prolongerons  depuis  j:>—  rio  jusqu'a  y%=  r}7. 


que  nous  prolongerons  ^galenient  depuis  j'u=  vj0  jusqu'a  j-'a=  'Or- 

3°:  Ji=o,         -ri  —  =J2i(ya),         -*2=  ?*  sO'a) 

que  nous  prolongerons  depuis  j2r=737  jusqu'a  ^2=  ^s- 


que  nous  prolongerons  egalement  depuis  y*  =  r)7  jusqu'a  j'2=^=  YJS. 
Dans  ces  formules  nous  avons 


La  premiere  et  la  deuxieme  de  ces  courbes  seraccorderontet  seront  tangenles 
en  tin  meme  point  a  la  courbe  y$=  r?s- 

La  troisieme  et  la  quatrieme  courbe  se  raccorderont  Egalement  et  seront 
tangentes  en  un  meme  point  a  la  courbe  y%=  rj8. 

C^est  ce  qu'indique  la  figure  8  ou  les  trois  arcs  pointings  repr^sentent  les 


ET  LES   EQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.,  447 

trois  courbes  j'2=r/0,  Y}7,  */]«,  ou  Tare  AB  reprcsente  la  premiere  de  nos  quatre 
branches  de  courbe,  1'arc  AD;  la  deuxieme,  Tare  B'C  la  troisieme  et  Tare  DC  la 
quatrieme. 

Nous  regarderons  C|  commc  une  donnec,  mais  Gi  est  reste  jusqu'ici  arbi- 
traire.  Nous  determinerons  C\  par  la  condition  que  la  premiere  etla  troisieme 
courbe  se  raccordent  et  que  les  points  B  et  B;  se  confondent,  ce  qui  s'exprime 
analytiquement  par  les  conditions 

(l)  s0  i('O  =  92  i(rn)j          90.2^^7)  =  9s  2'  rn)- 

Ges  deux  Equations  ne  sont  d'ailleurs  pas  distinctes  et  se  ramenent  a  une 
seule. 


Fig.  ti. 


En  nous  appuyant  sur  le  th^oreme  III  du  paragraphe  8,  nous  pourrions 
d6montrer  que  si  C^  est  determine  par  les  Equations  (i ),  les  Equations 

seront  aussi  satisfaites  aux  quantit^s  pres  de  I'ordre  de  ^  "  ;  c'esl-a-dire  que  la 
deuxieme  et  la  quatrieme  courbe  se  raccorderont  aux  quantit^s  pres  de  cet 

ordre,  ou  qae  la  distance  DD'  est  un  infiniment  petit  de  m£me  ordre  que  /i  2  . 

Mais  je  dois  faire  ici  la  meme  observation  que  plus  baut;  les  series  auxquelles 
on  parvient  de  la  sorte  ne  sont  pas  convergentes  bien  qu*elles  puissent  rendre 
des  services  si  on  les  manie  avec  precaution. 

II  existe  done  des  regions,  ou3  au  moins  pendant  un  certain  temps,  }'2  (dans 
le  cas  ou  Ton  suppose  7i2=  o)  ou  n^y\  —  niy*  (dans  le  casg^n^ral)  conservent 
des  valeurs  finies.  G'est  ce  fait  que  les  astronomes  exprimenl  d'ordinaire  en 
disant  qu'il  y  a  libration.  On  peut  se  demander  si  ccs  regions  de  libration  sont 
sillonn£es  de  solutions  p^riodiques. 

On  peut  s'en  rendre  compte  par  les  considerations  suivantes. 


448  SUR  LE  PROBLfcME  DES  TROIS  CORPS. 

Ecrivons  les  Equations 


(2)  x,  =  x]  -h  ;jLj?3f,          a?2  =  J?S  -4-        ^~T  ([Fj]  -4-  d)  -h  y.  u\. 

Ces  equations  sont  a  des  quantitEs  pres  de  1'ordre  4u  celles  de  surfaces  que 
nous  avons  construites  (voir  fig.  8);  elles  satisfont  done  approximativement 
aux  Equations  (3)  du  paragraphe  17.  Quant  a  u\  c'est  une  fonction  de  y^  et  de 
j'2  qui  ne  differe  de  x\  que  par  une  fonction  de  y2  de  telle  sorte 


Cetle  fonction  ul  doit  d?ailleurs  resler  toujours  finie. 

Je  me  propose  de  modifier  la  forme  de  la  fonction  F  qui  entre  dans  nos  Equa- 
tions differ  entielles  de  facon  que  ces  Equations  (2)  satisfassent  exactement  aux 
Equations  (3)  du  paragraphe  17. 

Je  cnerche  done  une  fonclion  F*  telle  que  les  Aquations 


-  2_  -___  - 

(    }  dt    ~  dyS  dt    —  dy*  dt    "~       dxC          dt    ~~~       dx, 

admettent  des  surfaces  trajectoires  represent6es  pr^cisement  par  ces  Equa- 
tions (2). 

Voici  comment  nous  deterrainerons  cette  fonction  F*. 

Observons  d'abord  que  &\  et  x\  sont  determines  par  les  deux  equations 
simultanEes 

rp 
° 


On  peut  tirer  de  ces  deux  Equations  x\  et  x\  en  fonction  de  C.  Nous  regar- 
derons  done  desormais  x\  et  x\  comme  des  fonctions  connues  de  C. 

D'autre  part  [F<]  est  une  fonction  de^*  de  x\  et  de  #J,  ce  qui  nous  permet 
de  le  regarder  comme  une  fonction  connue  dey%  et  de  C. 

Les  equations  (2)  nous  donneront  par  consequent  x\  et  x»  en  fonction 
de  j2,  de  C  el  de  G*. 

Remarquons  que  si  x\  et  3?2  sont  dEfinie  par  ces  equations,  Fexpression 


est  une  diffErentielle  exacte,  de  sorte  que 


ET   LES   EQUATIONS   DE    LA   DYNAMIQUE.  449 

Resolvons  maintenanl  les  Equations  (2)  par  rapport  a  C  el  Ci,  il  viendra 
C  =  F*(a?,,  a?2,  jrl3  y*\        Ct  =  $*Ot,  *a,  ri,  r2). 

La  foaction  F*  est  ainsi  d^finie  el  Ton  aura  en  emplojant  la  notation  de 
Jacobi  : 

[F*,  crj  =  o, 

ce  qui  signifie  que 

<I>*  =  const. 

est  une  integrale  des  equations  (3). 

La  solution  la  plus  generale  de  ces  Equations  (3)  s'ecrit  alors 

f    ,  dS  dS  dS       n,      f  dS        r, 

(a)  ^-*»        d^=^        2c  -c^*'        351  "^ 

G  et  Cj  4tant  deux  nouvelles  constantes  d'int^gration. 

Cherchons  a  former  effectivement  F*  ou  du  moms  a  nous  rendre  compte  de 
1'ordre  de  grandeur  de  la  difference  F  —  F*. 

Or  x\  est  d^fini  par  la  condition  suivante  : 


doit  etre  une  quantite  de  m^me  ordre  que  p.  yf**  (Cjf*  § 

7T7 

Done  comme  ~r-£  est  nul,  la  fonction 


sera  encore  de  mdme  ordre  que  i^\fp-,  quelle  que  soil  la  fonction  u\. 
D*ailleurs  on  a  identiquement 

F*(^?H-^^|,  ^S-H  v/^^ln-^^i)  =  G. 

Done  la  difference  F  —  F*  regard^e  comme  fonction  de  p.,  de  C,  de  GI,  de  y± 
et  de  j'2  est  de  Fordre  de  \L  \l  \L. 

Posons  maintenant 

^^  =  x^—x\. 

Des  deux  Aquations  (  i  )  on  tirera  facilement  Ci  et  C  en  fonction  de  3^,  |23 
y*i  y^  et  P)  on  vo^t  a^ors  sans  peine  que  G  et  C*  peuvent  £tre  d^velopp^s  sui- 
vant  les  puissances  positives  de  \/F-3  ^es  coefficients  ^tant  des  fonctions  finies 
de  ^i,  de  £2?  deyl  et  de  j/v 

Nous  venons  de  voir  que  F  —  F*  est  une  fonction  de  jx,  de^,  dej^2,  de  G  et 
de  d  dont  le  d^veloppement  suivant  les  puissances  de  p.  commence  par  un 
H.  F.  —  vil.  57 


^Cyo  SUR  LE   PROBLEME   DES  TROIS   CORPS 

terme  en  fJ^/V;  si  nous  y  remplagons  G  el  Gi  par  leurs  valeurs  en  fonction  de 
l^5  de  #i,  de  £2j  de  yi  et  de  y*>,  nous  verrons  que  cette  difference  F  —  F*  est 
une  fonction   developpee  suivant  les  puissances  de  /JL,  dont  les   coefficients 
dependent  de  #1,  £a,  y*  ety*  et  qui  commence  par  un  terme  en  p.  yp. 
Par  consequent  la  fonction 

p F* 

' 


ne  devient  pas  infinie  pour  p.  =  o. 

Par  le  changement  de  variable  que  nous  venons  de  faire,  les  equations  (3) 
deviennent 

dxi  _  dF*  dy±  _____  dF^  d&  _     dF*  dy^  __       '/F* 

( ^  )         "T/7"  —  7717"  '  ~T77~  tJ.^   '  rJt  ,—          ?  ,          — 


De  mejnie  les  equations  proposees 

dxt  __  dF  dfi  __       dF 

dt        dyri  dt   ~       dxi 

doivent  se  reduire  a 

^£i  —  —          ^PL  —  _  —  ^-2  __      -™ 

v4j                 >.             ^       >                ^TJ                    -j       '  »r 


dt 
Nous  formerons  en  outre  les  Equations  suivantes  : 


'*+eF'),        ^=-~7^r(F*+£r), 


qui  se  reduisent  a  (3f)  pour  e  =  o  et  a  (4)  pour  £  =  j 

D'apres  ce  que  nous  avons  vu  plus  haut,  les  equations  (3)  et  par  consequent 
les  equations  (3')  peuvent  s'integrer  exaclement;  nous  en  avons  donne  paries 
equations  (a)  la  solution  gendrale. 

Si  Ton  discute  cette  solution  generale  et  si  Ton,  cherche  a  la  construire  en 
conservant  le  m£me  mode  de  representation  geometrique  que  dans  les  para- 
graphes  precedents,  on  verra  qu'il  existe  une  infinite  de  surfaces  trajectoires 
fermees. 

Ces  surfaces  qui  ont  pour  equation 


ic(4 

(6)  £»  =  _: 


ET   LES   EQUATIONS   DE  LA  DYNAMIQUE.  45l 

different  peu  des  surfaces  que  nous  avons  construites  dans  le  paragraphe  17  et 
dont  Pequation  s'^crivait 

(7)  !^V|^i^. 

JL  i  *Z-  j 

Elles  ont  meme  forme  generale  que  les  surfaces  defmies  par  Pequation  ("7).  Si 
done  nous  faisons  les  mernes  hypotheses  que  dans  le  paragraphe  17  au  sujeldes 
maxima  et  des  minima  de  [F4],  deux  de  nos  surfaces  (6)  seront  des  surfaces 
fermees  a  courbe  double;  ce  seront  celles  qui  correspondent  aux  valeurs  —  90 
et —  o-,  dela  constanteCj.  Lesautres  secomposentde  une  ou  deux  nappes  fermees. 

La  surface  ferm^e  a  courbe  double  sera  pour  nos  Equations  (3')  une  surface 
asyniptotique  et  elle  parlagera  Pespace  en  trois  regions  comme  nous  Pavons  dit 
plus  haul, 

Parnai  ces  regions,  je  distingue  la  region  R«j  comprise  entre  les  deux  nappes 
qui  est  une  region  dite  de  libra  lion  et  je  me  propose  de  montrer  que  dans  cette 
region,  on  peut  tracer  une  infinite  de  trajectoires  fermees  correspondanl  a  des 
solutions  p^riodiques. 

Revenons  en  eiFet  aux  equations  (a)  qui  nous  font  connaitre  la  solution 
generale  des  Equations  (3)  et  (3;).  D'apres  la  forme  des  Equations  (2).  nous 
pouvons  dcrire 


a  et  b  etant  des  fonctions  de  G  et  de  C4  seulement  et  0(j^3  y^)  une  fonction 
reelle  et  p^riodique  de  y\  et  > 
On  en  deduit 

n/        d$>         da  db  clft  /  V-      C          ^v- 


r/0  /  ^.      r 

dci^  V  ~^  J 


Nous  donnerons  a  Ci  une  valeur  d^termin^e  qui  devra  £tre  plus  petite  quo 
—  o4  puisque  nous  nous  supposons  places  dans  la  region  R2* 

La  surface  ferin^e  qui  correspond  a  cetle  valeur  de  Ci  pr^sentant  les  memes 
connexions  que  le  tore,  nous  pouvons  en  faire  le  tour  de  deux  manieres  diff6- 
rentes  :  i°  en  regardant  j'2  comme  constant;  2°  en  regardant  y±  comme 
constant. 

Quand  on  aura  fait  le  tour  de  la  surface  en  regardant  jKa  comme  constant, 

i  wo  f    i  da 

y±  aura  augmente  de  2  TT  et  -^r  aura  augmente  de  2  TT  -^-  • 


452  SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 

Quand  on  aura  fait  le  tour  de  la  surface  en  regardant  JKJ  comme  constant,  y» 

/cLy*! 
.       =  aura  augment^ 
V/([FiJ  -4-  GI) 

d'une  certaine  p^riode  9  d^finie  comme  il  suit  : 

Supposons  que  les  valeurs  de  y2  pour  lesquelles  le  radical  \/(JFt]  4-  GI)  est 
reel  soient  les  valeurs  comprises  entre  YJS  et  Yj6j  on  aura 


/»«j  r* 

.„    v/aJP.J  +  u,}' 

70  /  - 

Quand  notre  integrate  augmenlera  dc  v,  ^—-  augmentera  de  ^\/~TJ  * 

Pour  que  la  solution  qui  correspond  a  cette  valenr  de  C^  soit  periodique,  il 

faut  done  et  il  suffit  que  ces  deux  quantit^s  2  TT  -Tp-  et  9  i/  -^  soient  commensu- 
rabies  entre  elles. 

GetLe  condition  sera  evidemment  satisfaite  pour  une  infinite  de  valeurs  de 
C-i;  notre  region  R2  contient  done  une  infinite  de  trajectoires  ferm^es,  repre- 
sentant  des  solutions  p^riodiques. 

Ainsi  si  K  est  un  nombre  commensurable  quelconque?  1'equation 


/qui  contient  d  parce  que  -^-  et  9  sont  des  fonctions  de  d  j  nous  donncra  une 

valeur  de  Ci  correspondant  a  une  solution  periodique. 

Pour  discuter  cette  equation,  il  me  faut  chercher  ce  que  c'est  que  -^r  - 
II  me  suffit  pour  cela  de  rappeler  que 

a  =s  a  " 


et  que 

doit  se  reduire  a  C  aux  quantit^s  pres  de  Tordre  de  \t-\j p*  On  en  conclut 

d'ou 

^g-  est  done  une  constante,  ind^pendante  de  Ci,  de  sorte  que  liquation  (8) 
peut  s'^crire 
(S'}  -— :  =  const. 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  453 

Pour  discuter  cette  equation  nouvelle,  il  convient  de  chercher  comment 
varie  9  quand  on  fait  varier  Ci  depuis  — cp4  jusqu'a  —  <p4. 

Pour  Ci™ —  94,  9  est  infini;  d  variant  depuis  — <p/f  jusqu'a  — o2,  9  decroit 
d'abord  jusqu'a  un  certain  minimum,  pour  croitre  ensuite  de  nouveau  jusqu'a 
Finfini. 

Pour  Ci-< — 92,  9  peut  admettre  deux  valeurs  correspondant  aux.  deux 
nappes  de  la  surface  et  que  Ton  peut  envisager  s^parement.  (Cf.  fig*  6.) 

La  premiere  nappe  de  la  surface  reste  r^elle  quand  d  est  compris  entre 
—  <p2  et  —  QS;  la  valeur  correspondante  de  9  decroit  depuis  Finfini  jusqu'a  un 
certain  minimum  quand  Ci  decroit  depuis  —  cp2  jusqu'a  — o3. 

La  seconde  nappe  de  la  surface  reste  reelle  quand  Ci  est  compris  entre  —  o2 
et  —  (fiy  la  valeur  correspondante  de  9  decroit  depuis  Pinfini  jusqu'a  un  certain 
minimum  quand  d  d6croit  depuis  —  o2  jusqu'a  —  <p, . 

Ainsi  9  admet  trois  minima  au  moins  et  reste  toujours  sup^rieur  a  une 
certaine  limite  positive. 

Si  done  nous  regardons  Fequation  (8;)  comme  definissant  G*  en  fonclion  dc 
jj.,  d  sera  fonction  continue  de  u,  mais  nous  pourrons  prendre  \j.  assez  petit 
pour  que  cette  equation  n'admette  aucune  racine. 

Ainsi  il  est  certain  qu'il  existe  toujours  une  infinite  de  solutions  p£riodiques; 
mais  quand  on  fera  d^croitre  jm,  toutes  ces  solutions  disparaitront  Fune  apres 
Fautre. 

II  resulte  de  ce  qui  precede  que  les  Equations  (5)  admettent  pour  s  =  o  une 
infinite  de  solutions  p^riodiques;  les  principes  du  Chapitre  III  (I™  Par  tie)  nous 
permettent  d'affirmer  qu'il  y  en  a  encore  une  infinit^  pour  les  valeurs  suffisam- 
ment  petites  de  B.  Comme  p.  est  tres  petit,  Jl  semble  tres  probable  qu'il  existera 
une  infinite  de  solutions  p^riodiques  pour  s  —  p.  ^//JL,  c^est-a-dire  pour  les  equa- 
tions (4)  qui  sont  d^duites  par  un  changement  de  variable  tres  simple  des 
Equations  propos6es. 

Par  consequent,  si  nous  revenons  a  ces  Equations  proposdes,  nous  voyons 
que  dans  la  region  de  hbration,  R2  il  y  a  une  infinite  de  trajectoires  fermees 
representant  des  solutions  p&riodiques.  Nous  allons  d'ailleurs  F6tablir  rigou- 
reusement  par  une  voie  toute  diflerenle. 

Mais  si  faisant  d^croitre  p.  dyune  maniere  continue,  on  suit  une  de  ces  trajec- 
toires  ferm6es,  on  la  verra  se  d^former  aussi  djune  facon  continue  eldisparattre 
ensuite  pour  une  certaine  valeur  de  ju..  Ainsi  pour  p.=  o  toules  les  solutions 


454  SUR   LE  PROBLEME  DES   TROIS   CORPS 

p^riodiques  de  la  region  R2  auront  disparu  Tune  apres  Pautre.  Ce  n'est  pas 
ainsi  que  se  coinportalent  les  solutions  p^riodiques  (kudities  dans  le 
Chapitre  III  (Irc  Partie)  et  qui  subsistaient  encore  ponr  p.  =  o. 

On  pent  d^montrer  que  dans  le  voisinage  d'une  irajectoire  ferm^e  repr^sen- 
tant  une  solulion  periodique,  soit  stable,  soit  instable,  il  passe  une  infinite 
d'autres  trajectoires  ferm^es.Cela  ne  suffit  pas,  en  touterigueur,  pour  conciure 
que  toute  region  de  Pespace,  si  petite  qu'elle  soit,  est  traversee  par  une  infinites 
de  trajectoires  ferm^es  (4),  mais  cela  suffit  pour  donner  a  cette  lijpothese  un 
haut  caractere  de  vraisemblance. 

Ainsi  que  je  viens  de  le  dire,  Papergu  qui  precede  ne  suffirait  pas  pour 
6tablir  rigoureusement  Pexistence  des  solutions  p£riodiques  du  deuxieme  genre. 
Voici  comment  nous  y  parviendrons. 

Reprenons  nos  equations  diffdrentielles 

^i  —  ^L       ^i  —  —  — 

dt   ~~  dy'i  dt   ~~       dxt 

et  envisageons  une  solution  p^riodique  du  premier  genre  de  p^riode  T;  quand  t 
augmentera  de  T,  y\  et  y<$  augmenteront  de  ^iT  et  de  /i^T;  je  supposerai 
comme  plus  haut  : 


Cela  pos^?  de  Pequation  F  =  C  nous  pouvons  tirer  x*  en  fonction  de  x\:  y\  el 
jKa;  GDI  remplagant  x*  par  la  valeur  ainsi  obtenue,  on  trouve 

dx\  __  r/F  dy^  _       dF  dy»  _        dF 

dt         dyi  '  dt  dxi  '  dt  d&*  ' 

les  seconds  membres  pouvant  etre  regard4s  comme  des  fonctions  connues  de 
#!  ,  }fi  et  y*.  Enfm  en  ^liminant  dt,  il  viendra 


X  et  Y  etant  des  fonctions  connues  de  #1,  y\  et  y*,  p^riodiques  de  p^riode  271 
par  rapport 
Soit 


la  solution  p^riodique  consid^r^e  qui  sera  de  p£riode  271  par  rapport  a  y^  je 
suppose  que  cette  solution  p^riodique  soit  celle  que  nous  avons  d^fmie  plus 

(*)  Les  travaux  recents  de  M.  Cantor  nous  ont  appris  en  effet  (pour  employer  le  langage  de 
ce  savant  geometre)  qu'un  ensemble  pent  etre  parfait,  sans  £tre  continu. 


ET   LES  EQUATIONS  "DE   LA  DYNAMIQUE.  455 

haul  et  qui  etait  repr4sent£e  approximativement  sur  la  figure  du  paragraphe  17 
par  la  courbe  fermee  Isolde  de  la  surface  GI  =  —  93.  Ce  sera  done  une  solution 
periodique  stable,  elle  admettra  deux  exposants  caracteristiques  a  et  —  a  £gaux 
et  de  signe  contraire  et  dont  le  carre  sera  r£el  n6gatif. 
Soil  maintenant 

#1  =  ?lOri)-+-Sl>  r2=?2(jl)-t-?2 

une  solution  peu  diff^rente  de  la  premiere.  Soient  conform  ^ment  aux  notations 
du  Ghapitre  III  (Fc  Partie)  $4  et  (32  les  valeurs  initiales  de  Hi  et  de  H2  pour 
yi  =  o,  et  (3i-f-  d/1?  {32-+-  <J;2  les  valeurs  de  £1  et  de  £2  pour  j*i  —  2  kfi  (k  entier), 
La  solution  sera  periodique  de  p^riode  2  A*TT  si  1'on  a 

(10)  <J/1=:<[,2=o. 

On  sait  que  &i*et  ^a  pourront  se  d^velopper  suivant  les  puissances  de  (3t  et  (32 
et  que  ces  fonctions  dependront  en  outre  de  /JL. 

Si  Fon  regarde  un  instant  (31?  j3a  et  fi  comnie  les  coordonn^es  d'un  point 
dans  Pespace,  les  Equations  (  10)  representent  une  certaine  courbe  gauche  et  a 
chaque  point  de  cette  courbe  gauche  correspond  une  solution  p6riodique.  II  est 
clair  que  vpi  et  ^2  s'annulent  avec  j34  et  |32;  en  eflfet  si  Ton  fait  Ei  =  o,  £2=  o,  on 
obtient,  djapres  la  definition  de  ^4  et  de  Ea?  une  solution  periodique  de  p^riode 
2  TT  qui  peut  aussi  etre  regardee  comme  p6riodique  de  p^riode  2  kit. 

La  courbe  (  10)  comprend  done  d'abord  1'axe  des  p.  tout  entier.  Je  me  propose 
de  d^montrer  que  si,  pour  p.  ==  JJLO?  ka.  est  multiple  de  2  /IT,  il  existera  une  autre 
branche  de  la  courbe  (  ro)  qui  passera  par  le  point 


et  par  consequent  que  pour  les  valeurs  de  fj.  voisines  de  p.(n  il  existe  d'autres 
solutions  p^riodiques  que  ^  =  ^  =  0 

Posons  /JL.  —  fjt0  =  X  et  cherchons  a  d^velopper  6t  et  ^  suivant  les  puissances 
de  pi,  de  (32  et  de  A, 

Calculons  d^abord  ies  termes  du  premier  degr^  par  rapport  a  j34  et  a  (3.j. 

Je  dis  d'abord  que  pour  X  =  o,  c'est-a-dire  pour  p.  =  /JLO,  tous  ces  ternies  sont 
nuls. 

En  eflet  supposons  que  Ies  ^  soi§nt  assez  petits  pour  qu'on  en  puisse  n^gliger 
les  carr^s.  Nous  avons  vu  dans  la  premiere  Partie  que  dans  ce  cas?  les  £  satis- 
font  a  un  systeme  de  deux  equations  differentielles  lin^aires  que  nous  avons 
appel6es  Equations  aux  variations  des  Equations  (9).  Nous  avons  vu  egalement 


456  SUR  LE  PROBLlME   DES  TROIS  CORPS 

que  ces  equations  lineaires  admetteat  deux  solutions  remarquables;  que  la 
premiere  de  ces  solutions  esl  muliipli£e  pare20c<3r  quand  jr4  augmente  de  2  TU,  et 
que  Taulre  est  multipli^e  par  e^*20"1. 

Pour  A  =  o,  ka  est  un  multiple  de  2  ITT,  de  sorte  que  £2a7C  et  e~2a7L  sont  deux 
racines  A4tttlcs  de  I'unit6.  Done  nos  deux  solutions  se  reproduisent  quand  JKI 
augmente  de  2.  kit.  Comme  liquation  est  lin^aire,  la  solution  g6nerale  est  une 
combinaison  lin^aire  de  ces  deux  solutions  remarquables,  et  elle  ne  change  pas 
non  plus  quand  yA  augmente  de  2  kn.  v 

Comme  ^t  et  ^2  sont  pr^cisement  les  accroissements  que  subissent  £t  et  £2 
quand  y±  passe  de  la  valeur  zero  a  la  valeur  2,  A*TT,  ^i  et  ^2  doivent  etre  nuls; 
mais  cela  n'est  vrai  que  quand  £t  et  £2  (ou  (34  et  (32)  sont  assez  petils  pour  qu'on 
puisse  en  n^gliger  les  carrds;  ce  seront  done  seulement  les  termes  de  ^1  et  ^2 
qui  sont  du  premier  degr£  en  fi±  et  (32  qui  seront  nuls.  c.  Q.  F.  D. 

Soient  a$\  +  6j3;>  les  termes  du  premier  degr6  de  tf>i,  cpi+e|32  les  termes  du 
premier  degr^  de  4*2-  Nous  venons  de  voir  que  pour  ~k  —  o  : 

a=zb  =  c  =  e  —  o. 
Soit  encore  pour  X  =  o  : 

da  _    ,  r/6  __  .,  r/c  _    ,  «r/e  __    , 

—  •=—    —  w  .  "~~     ——•  •  J  *  ~y^~     —  —  C  j  j^~    —  Q  * 

<YX  r/>,  '  cTh  '  rf>. 

Je  dis  que 

#'-{-  €'=  O. 

En  effet  liquation  en  S  : 

(a  —  S)(fi  —  S)  —  Z^c  =  o 

admel  pour  racines  (cf.  §  12) 

S  =i  —  e*x**,          S  =j  —  e-2*^rs 

pour  A  =  o,  ces  deux  racines  sont  nulles;  si  A  est  assez  petit  pour  qu'on  puisse 
en  n^gliger  le  carr6,  elles  seront  dgales  a  ±  2  A~TT  ~  X.  Liquation  en  S  : 

(a'—  SXe'—  S)  —  6'c'=o 
aura  done  pour  racines 


et  comme  ces  deux  racines  sont  6gales  et  de  signe  contraire  on  aura 

a'-}-  e'=  o. 

De  plus  a;,  ef,  bf  et  c7  ne  seront  pas  nuls  a  la  fois  en  ggndral.  En  effet  cela  ne 


ET   LES   EQUATIONS   DE  LA  DYNAMIQUE.  467 

pourrait  avoir  lieu  que  si  ~  =  ~  £tait  nul.  Or  p.0  est  une  quantite  choisie  de 
telle  sorle  que  a  (qui  est  une  fonction  de  p.)  soil  commensurable  avec  2  ir».  Or 
^-  ne  pourrait  s'annuler  pour  loutes  les  valeurs  commensurables  de  ^-r^  qu'en 

s'annulant  identiquement;  alors  a  serait  une  constante  (qui  devrait  d'ailleurs 
£tre  nulle  puisque  a  =  o  pour  /JL  =  o)  ce  qui  n'a  pas  lieu  en  general. 

Nous  avons  vu  que  pour  A  =  o  les  termes  du  premier  degr<§  de  'I/i  et  de  fy* 
s'annulent  identiquement.  Supposons  qu'il  en  soil  de  meme  des  termes  du 
deuxieme  degre,  du  troisieme  degr6?  etc.;  du  (m  —  iy6me  degre,,  mais  que  les 
termes  du  mibme  degr6  ne  s'annulent  pas  idenliquement  dans  &i  6t  dans  d/2  pour 
A  =  o.  Soit  6i  Fensemble  des  lermes  du  mlkme  degrd  de  61  pour  A  =  o;  soit  82 
Tensemble  des  termes  du  mibmc  degre  de  tK  pour  A  =  o.  Ainsi  6±  et  Go  sontdeux 
poljnomes  homogenes  du  mu'mc  degr6  en  ^1  et  |32  et  de  ces  deux  polynomes  Fun 
au  moms  ne  s'annule  pas  identiquement. 

Posons 

•I^j  =  a'  A43i  •+•  Z>'  AJO  +  0  1  -h  a)  j  3         »Ii2  =  c'  //jj  —  ^'  A^a  -f-  02  -f-  0)3. 

Alors  coi  et  co2"  seront  un  ensemble  de  termes  qui  seroiit  :  ou  bien  du 
(m  +  i  )if!mc  degr^  au  moins  par  rapport  aux  j3,  on  bien  du  deuxieme  degr6  an 
moins  par  rapport  aux  j3  et  du  premier  degre  au  moins  par  rapport  a  A,  ou  bien 
du  premier  degr6  au  moins  par  rapport  aux  (3  et  du  deuxieme  degr6  au  moins 
par  rapport  a  A. 

Je  me  propose  de  d6monlrer  que  Ton  peut  tirer  des  Equations  (  10)  pt  et  j32 

i 
en  series  ordonnees  suivant  les  puissances  de  J/7^1  et  dont  tons  les  termes  ne 

sonl  pas  mils. 

Mais  il  faut  d'abord  que  je  d^montre  que  Fon  a  identiquement 


En  efFet  il  existe  un  invariant  integral  positif.  Nous  en  concluons  qu'il  existe 
une  integrate    //*(£i»  £2)  d£id£a  qui  a  la  m<§me  valeur  pour  une  aire  quel- 

conque  appartenant  a  la  portion  de  surface  sans  contact  y^=  o  et  pour  toutes 
ses  cons^quentes. 

De  plus  la  fonction  *  est  positive.  Done  <I>  (o,  o)  n'est  pas  nui;  en  multipliant 
la  fonction  4>  par  un  facteur  convenable,  nous  pourrons  done  toujotirssupposer 

cl»(o;  o)  =  l. 
H.  P.  —  VIL  58 


458  SUR   LE  PROBLEMS   DES  TROIS   CORPS 

Mais  le  point 

El=  fr+'J'l,  es=p2-l-<h}  J'j  =  2 

est  le  k[*mQ  consequent  du  point 

?i  =  fr,        E9=Ps,       71  =  0. 

On  aura  done  pour  une  aire  quelconque  : 


d'ou  1'identite 


Nous  supposerons  Ji  —  o,  nous  aurons  done 


2=    o-h  to 


Les  0  ne  conliennent  alors  que  des  termes  du  mitrae  degr4  et  les  co  que  des 
lermes  du  (m  +  i  )i6mc  degr£  ou  de  degr6  sup^rieur. 
II  resulte  de  la  que  la  difference 


ne  contient  que  des  termes  du  m!fime  degr^  au  moiiis  par  rapport  a  (34  et  a  (32. 
Si  Ton  convient  de  n6gliger  les  termes  du  mlfrmc  degr£  et  de  degresupdrieur,  on 
pourra  ecrire 


On  aura,  en  n^gligeant  toujours  les  termes  du  /ni6me  degre  . 


et 


de  sorte  qu'en  identifiant  dans  Tidentit6  (i  i)  tous  les  termes  de  degr6  inferieur 
a  m,  on  arrive  a  la  relation 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  469 

Dans  le  premier  membre  de  cette  relation,  nous  ne  devons  conserver  .que  les 
termes  de  degr£  m  —  i  au  plus,  de  sorte  qu'il  resle 

r/e,      dv* 

-^-+—=0.  C.    0.    F.    D. 

Posons 


on  voit  que  0A  et  02  deviennent  divisibles  par  yjm  et  co,  et  o)2  par  Y)m+i,  de  sorte 
que  Ton  pent  poser 

Oj  ==  rj^O;,          62=  V«GV2,          t^  =  TJW-^WI,          wo=  r,'»+ico25 

d'ou 

d/,  =  ib  ^(^'yi-f-  ^'72)  H-'^imB'j  H-Y«-Hti>'t, 
4/2  =  ±  r,'»(e'Yi  —  «'  YS)  -t-  T,™  6'2  -+-  T|'«-*-I  a>'2, 

de  sorte  que  nos  Equations  (  10)  peuvent  etre  remplac^es  par  les  suivantes  : 

(12)  zhC^Yi-h^'v,)-}-  fj'j-j-Tiw'i  =  o,          ±(C'YI—  «'  72)  4-63-1-  rXa  ==  o. 


Je  dis  que  Ton  peut  tirer  de  ces  Equations  Y£  et  70  en  series  ordonnees  suivant 
les  puissances  de  -ci  et  sans  que  ces  series  soient  identiquement  nulles. 
En  vertu  du  tneoreme  IV  (§  2),  il  nous  suffit  pour  cela  d'^tablir  : 

i°  Que  les  equations  (12),  quand  on  j  fait  r;  =  o,  admettent  au  moms  un 
systeme  de  solutions  reelles  : 

„,    vn  „,    .0 


2°  Que  si  Pon  fait 


72=72 


le  determinant  fonctionnel  des  premiers  membres  des  deux  Equations  (12)  par 
rapport  a  yi  et  7^  n'est  pas  mil. 

Cela  revient  a  dire  que,  pour  les  Equations  (12)  riduites  par  la  supposition 
de  TI  =  o,  la  solution 


doit  etre  une  solution  simple. 

Mais  en  vertu  des  th<§oremes  V  et  VI  du  paragraphe  2  et  de  leurs  corollaires, 
on  peut  encore  developper  7^  et  72  suivant  les  puissances  de  r??  quand  meme 
cette  solution  serait  multiple,  pourvu  que  1'ordre  de  multiplicitd  soit  impair. 

Nous  sommes  done  conduits  a  envisager  les  Equations 


46o  •       SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 

et  nous  devons  chercher  a  dernontrer  que  ces  equations  admeltent  au  moins 
one  solution  d'ordre  impair. 

De  ces  Equations  nous  pouvons  tirer  la  suivante  : 

(14)  (a'yi-K&'rs)0*  —  (e'Ti— a'7*)°i  =  0 

qui  est  homogene  et  dont  on  pourra  par  consequent  tirer  le  rapport  —  • 

II  est  clair  que  (^  et9'2  sont  formes  avec  YI  et  ya  comme  8|  et  62  avec  {34  et(32; 
on  aura  done 


Cela  prouve  qu'il  existe  un  polynome/  homogene  et  de  degre  m  -f~  i  en  y*  et 
y2  et  qui  est  tel  que 

De  meme  si  nous  posons 

f    „.   T  //',,2          0      '„    ,,    __      ',   2\ 
2          *  "  *     I  -  •  * 

il  vient 


de  sorte  que  liquation  (i4)  peut  s'dcrire 
Gonsid^rons  1' expression 

yw+l 

Elle  est  homogene  et  de  degr£  ze"ro  par  rapport  a  y4  et  y2;  elle  ne  depend  done 
que  du  rapport  -^  -  Je  dis  que  le  de"nominateur/i  ne  peut  jamais  s*annuler. 
En  effet  1'dquation 

doit  avoir  ses  deux  racines  imaginaires,  d'oii 

a?  ef -~  b' cr  *=.  —  af~-—brc'<i  o 

d'oii 

a's-H&'c'>o, 

ce  qui  prouve  que  la  forme  quadratique  /4  est  d6finie.  L'expression  H  ne  peut 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  46l 

done  jamais  devenir  infiiiie.  Elle  adnieltra  done  au  moins  un  maximum.  Pour 
ce  maximum  on  devra  avoir 


Ainsi  Fequation  (i4)  admet  au  moins  une  racine  r^elle.  Elle  sera  en  general 
simple.  En  lout  cas,  elle  sera  loujours  d'ordre  impair,  car  un  maximum  nepeut 
correspondre  qu'a  une  racine  d'ordre  impair. 

Nous  avons  tire  de  Fequation  (i4)  1®  raPPor*-  ~>  nous  pouvons  done  poser 

y1=51W,  72=8^, 

8i  et  <52  6tant  des  quantites  connues. 

II  nous  reste  maintenant  a  determiner  u.  Pour  cela  dans  la  premiere  des 
equations  (  i3)  je  remplace  yd  el  y2  par  QI  u  et  o2w,  il  vient 

e'i  =  z^mo;;,      o72  =  K'«O;, 

Oj  ^tant  forme  avec  o±  et  o2  comme  6^  avec  y£  el  y2;  d'oii 

(  16)  ±(a'  Si  H-  &'32)  -f-  er;  M«-I  =  o. 


Celte  equation  doit  determiner  u]  si  m  est  pair  elle  aura  une  racine  r^elle;  si  m 
est  impair  (et  c'est  d'ailleurs  ce  qui  arrivera  en  general)  elle  aura  deux  racines 
r^elles,  ou  pas  de  racine  r6elle,*'  elle  aura  deux  racines  reelles  si  6*  et 
±  (a'5i-|-  6;d2)  sont  de  signe  contraire;  mais  on  peut  toujours,  grace  au  double 
signe  zh,  s'arranger  pour  qu'il  en  soit  ainsi. 

Liquation  (ID)  admel  done  au  moins  une  racine  r^elle,  De  plus  celte  racine 
est  simple.  11  n'y  aurait  d'exception  que  si 

a'oi  -f-  b'  o2  =  o        ou         6^  =  o. 

Mais  dans  ce  cas  on  remplacerait  liquation  (  i5)  par  la  suivante  : 

±(c'3i_^/S2)-4-  8;2WOT-1=  o, 

II  n'y  aurait  done  plus  de  difficult^  que  si  Ton  avait  a  la  fois 

a'oi-h  bro*—  e'Si—  ^'02  =  0 
ou  bien 

61  =  00S  =  o. 

La  premiere  circonstance  ne  peut  pas  se  produire  a  cause  de  Finegalite 

a'*+b'ef>o. 
La  seconde  circonstance  pourrait  au  conlraire  se  presenter,  II  peut  se  faire  que 


462  *  SUE  LE   PROBLEME   DES  TROIS   CORPS 

liquation  (i4)  admette  une  racine  telle  que  0^=  O'a  =  o.  Mais  je  dis  que  dans 
ce  cas  Fequation  (if)  admeltra  encore  au  moins  une  racine  pour  laquelle  celte 
circonstance  ne  se  produira  pas. 
En  effet  on  a  identiquemenl 

/»/=V*0'i-YiG'a- 

Si  done 

O'j  =  V.  =  o 

on  aura/  —  o  et  puisque/i  n'est  jamais  nul 


=  o. 


II  peut  se  faire  en  efFet  que  1'expression  H  admette  zero  comme  maximum  ou 
comme  minimum.  Mais  celte  expression  n'est  pas  identiquement  nulle  puisque 
O't  el  8'0  ne  sont  pas  tous  deux  identiquement  nuls;  de  plus  elle  reste  toujours 
finie;  elle  devient  done  soil  positive,  soit  negative;  si  clle  devienl  positive,  elle 
aura  tin  maximum  positif  el  different  de  zero;  si  elle  devient  negative  elle  aura 
un  minimum  n^gatif  et  different  de  z^ro. 

Ainsi  P  equation  (i4)  admel  toujours  au  moins  une  racine  reelle  d'ordre 
impair  telle  que  0"  et  Og  ne  s'annulent  pas  a  la  fois. 

Done  les  dquations  (  i3)  ont  au  moins  une  solution  reelle  d'ordre  impair. 

Done  on  peut  trouver  des  s6ries  qui  ne  sont  pas  identiqaement  nulles,  qui 
sont  d^veloppables  suivanl  les  puissances  fractionnaires  positives  de  p.  —  /JLO  et 
qui  satisfont  aux  Aquations  (10)  quand  on  les  substitue  a  (3^  et  (32, 

Done  il  existe  un  systeme  de  solutions  p^riodiques  de  p^riode  2  #71  qui  pour 
p.  =  JJLO  se  confondent  avec  la  solution 

*i  =  9itXi)>        ^a=  ?s(yi)- 
Ge  sont  les  solutions  p^riodiques  du  deuxieme  genre. 

21.  —  Divergence  des  series  de  M.  Lindstedt, 

Je  voudrais  terminer  FexposS  des  r<$sultatsgen£raux  de  ce  M6moire  en  appe- 
lant  particuli^rement  Fattentionsur  les  conclusions  negatives  qui  en  d^coulent. 
Gas  conclusions  sontpleines  d'inl6r£t,  non  seulement  parce  qu'elles  font  mieux 
ressoriir  Tdtranget^  des  rdsultats  obtenus,  mais  parce  qu'elles  peuvent,  en  vertu 
pr£cis6ment  de  leur  nature  negative,  s'£tendre  iinm6diatement  aux  cas  plus 
g^n^raux,  tandis  que  les  conclusions  positives  ne  peuvenl  se  g<5neraliser  sans 
une  demonstration  sp^ciale. 


ET  LES  EQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE,  463 

Je  me  propose  d'abord  de  demontrer  que  les  series  proposes  par  M.  Lindstedt 
ne  soul  pas  convergentes  ;  mais  je  veux  auparavant  rappeler  en  quoi  consiste  la 
m^thode  de  M.  Lindstedt.  Je  Pexposerai,  il  est  vrai,  avec  des  notations  diffe- 
rentes  de  celles  qu'avait  adoptdes  ce  savant  astronome,  car  je  desire,  pour 
plus  de  clarti,  conserver  celles  dont  j'ai  fait  usage  plus  haul. 

Meltons  les  equations  de  la  Dyna  unique  sous  la  m£me  forme  que  dans  la 
seconde  partie  du  present  M^moire  et  6crivons 

dXi  __   dF  dx*  _  dF  dyi  __        dF  dy«  ___        dF 

____,          ___,          _^_==__,          _-=___. 

F  sera  une  fonction  donn£e  des  quatre  variables  #4,  %<>>  v±  et^2  et  nous  aurons 


F0  sera  une  fonction  de  XL  et  de  #a,  ind^pendante  de  y+  et  de  jf% ;  p.  sera  un 
coefficient  tres  petit,  de  sorte  que  /utFj  sera  \&  /auction  perturb  atr  ice. 

C'est  en  eflet  sous  cette  forme  que  se  pr6sentent  les  problemes  de  la  Dyna- 
mique  et  en  particulier  les  problemes  de  la  M^canique  celeste. 

Si  p.  6tait  nulj  x\  et  x%  seraient  des  constantes.  Si  jx  n'est  pas  nul  mais  tres 
petit,  et  qu'on  appelle  £1  et  £2  les  valeurs  initiales  de  x^  et  de  x$i  les  differences 
x\ — |i  et  x%  —  ^2  seront  du  meme  ordre  de  grandeur  que  p.. 

Si  done  nous  appelons  n\  et  TI«>  les  valeurs  de 7-^  et  de y-^  pour 

rr  a^j  Gta?2  r 

^7,  =?l}  a?2==?aj  les  differences  —  -7—° — n{  et  —  -j— °  — 7i2  seront  du  m£me 

ct&i  dx<i 

ordre  de  grandeur  que  jx,  ce  qui  nous  permettra  de  poser 

dFo  ,  <^Fo  _ _ 

cpt  et  <pa  etant  des  fonctions  de  #1  et  de  ^2  qui  &e  sont  pas  tres  grandes. 
Les  Equations  da  mouvement  s'^crivent  alors 

G^1  —     fl?Fl          ^2  —     ^' 

dt  ~     dvi '          e/^  ~"1    cfrs 


Supposons  maintenant  que  ^t,  ^2>yij  y*  au  lieu  d'etre  regard^s  directement 
comme  des  fonctions  de  £soient  regardes  comme  des  fonctions  de  deux  variables 
Wi  et  w2  et  que  Fon  pose 


464 


SUR   LE   PROBLEME   DES   TROIS   CORPS 


coi   et  wa  seront  dos  constantes  d'intcgralion  arbitraires ;  A4  et  X2  scront  des 
constantes  quo  la  suite  du  calcul  determinera  completement. 
Les  Equations  du  rnouvement  deviennent  alors 


(0 


clx* 


1 '  v 2      dx«  ) 


Posons  maintenant 


-,  <y*Q         '       M   <y»  1        i 


Je  suppose  que  les  coefficients  Af  sont  des  constantes  et  que  les  coefficients 
yl  et  #f  sont  des  series  trigonom^triques  ordonn^es  suivant  les  sinus  et  les 
cosinus  des  multiples  de  WL  et  de  cv2. 

Je  supposerai  d'ailleurs  comme  je  1'ai  toujours  fait  jusqu'ici  que  F4  est  une 
s£rie  trigonom^trique  dependant  des  sinus  et  cosinus  des  multiples  de^  et  de 
y%  et  que  les  coefficients  de  cette  s^rie  sont  des  fonctions  holomorphes  de  x^  et 
de  #3. 

Dans  ces  conditions,  si  dans  les  premiers  membres  des  Equations  (i)  je 
substitue  a  la  place  de  Xi5  A2,  y^  y^  #d  et  x^  leurs  valeurs  (2),  j'aurai  quatre 
fonctions  d^velopp^es  suivant  les  puissances  croissantes  de  jz,  et  il  est  clair  que 
les  coefficients  des  diverses  puissances  de  fz  seront  des  series  ordonnees  suivant 
les  lignes  trigonom6triques  des  multiples  de  w4  et  wa. 

J'appelle  *0  O2,  <D'A  et  *'2  ces  quatre  fonctions. 

Cela  pos6,  le  theoreme  de  M.  Lindstedt  consiste  en  ceci  : 

II  est  possible,  quelque  grand  que  soit  q,  de  determiner  les  2^  +  2  cons- 
tantes 

\9  -  ">°        11  *i^7 

i         •  *  •  j        AJ  ,  A2j        Ag,        .  .  .  y        A§, 


*1> 


et  les  4?  series  trigonom^triques  : 


ET   LES  EQUATIONS  DE   LA   DYNAMIQUE.  "   465 

de  fagon  a  annuler  dans  <Dl5  <I>2,  4Xt  et<3>'2  les  termes  independants  de  p.  et  les 
coefficients  des  q  premieres  puissances  de  /JL,  de  facon,  en  d'autres  termes,  a 
satisfaire  aux  equations  du  mouvement  aux  quantites  pres  de  Pordre  de  fx^1. 
On  trouve  d'abord 

X}=rtt,  A8s=rtSj          tf|=*5iH-Wi,          #8  =  52H-u)2, 

coi  et  a>2  etant  des  constantes  d'integration  que  nous  supposerons  de  1'ordre 
defi. 

Supposons  que  1'on  ait  determine  par  un  calcul  prealable  : 


et  que  Ton  se  propose  de  determiner  1J,  Af  ,  ^.  ^f,  y^,  rf  .  Pour  cela, 
que  le  coefficient  de  \tf  est  nul  dans  €>4,  <l>2  et  <^'17  <&>',. 
II  vient 


daft  dxl 


Xt ,  X2,  Yd  et  Y2  etant  des  fonctions  connues. 

X^  X2,  Y!  et  Y2  sont  des  series  trigonometriques  en  ppi  et  w2. 
Pour  que  Fintegration  des  equations  (3)  soit  possible,  il  faut  : 

i°  que  le  rapport—  soit  incommensurable,  ce  qu'il  est  to uj ours  permis  de 

supposer ; 

2°  que  dans  les  series  trigonometriques  X*.  et  Xa,  les  termes  tout  connus 
soient  nuls.  II  en  est  eflectivement  ainsi,  mais  la  demonstration  de  ce  fait 
important  est  delicate  et  ne  saurait  trouver  place  ici;  je  me  borne  a  dire  qu'elle 
doit  etre  fondee  sur  Pemploi  des  invariants  integrant; 

3°  que  dans  les  series  trigonometriques  Yt  et  Y3,  les  termes  tout  connus  se 
reduisent  ^  Af  et  Af ;  comme  Af  et  Af  sont  deux  inconnues,  nous  determinerons 
ces  inconnues  par  cette  condition. 

L?integration  des  equations  (3)  est  alors  possible.  Leur  integration  introduira 
quatre  constantes  arbitraires.  A  chaque  approximation  nouvelle,  nous  aurons 
H.  P.  —  VII.  % 


466  SUR   LE  PROBLEMS  DES  TROIS   CORPS 

ainsi  quatre  constantes  d'int^gration  de  plus;  nous  leur  donnerons  des  valeurs 
quelconques  et  nous  ne  conserverons  d'autres  constantes  arbitraires  quewi,  6>2, 
c»} j[  et  00*2  • 

Ainsi  les  series  de  M.  Lindstedt  sont  des  series  trigonom^triques  en  w±  et 
<#>2;  elles  sont  d4velopp£es  suivant  les  puissances  de  ft-  et  aussi  suivant  les 
puissances  des  deux  constantes  c^  et  co2. 

Ces  series,  d'apres  le  th^oreme  de  M.  Lindstedt,  sathhnt  forme  llement  aux 
Equations  du  mouvement.  Si  done  elles  etaient  uniform^ment  convergentes, 
elles  nous  donneraient  1'int^grale  g6n6rale  de  ces  Equations. 

Je  dis  que  cela  n* est  pas  possible. 

En  effet,  supposons  qu'il  en  soit  ainsi  et  que  nos  series  convergent  uniform^- 
ment  pour  toutes  les  valeurs  du  temps  et  pour  les  valeurs  suffisamment  petites 
de  fx,  de  001  et  oo2. 

II  est  clair  que  X1  et  X2  sont  aussi  des  series  ordonn^es  suivant  les  puissances 

de  ft.,  coi  et  co3.  Pour  certaines  valeurs  de  &)A  et  co2  le  rapport  •—  est  commensu- 
rable. Les  solutions  particulieres  qui  r^pondent  a  ces  valeurs  des  constantes 
d'int6gration  sont  alors  des  solutions  p^riodiques. 

Nous  avons  vu  plus  haut  que  toute  solution  pe^riodique  admet  un  certain 
nombre  d *  exposants  caracteristiques .  Voyons  comment  on  peut  calculer  ces 
exposants  quand  on  possede  1'int^grale  g6n4rale  des  Equations  donnees. 

Soit 

cette  int^grale  g^n6rale. 

Supposons  qu'en  dormant  ^.  MI,  oo2?  ^i  et  w2  des  valeurs  d4termin6es  coj,  wj, 
wj,  GoJ,  les  fonctions  ^17  ^23  ^15  ^a  deviennent  periodiques  en  t*  Pour  avoir  les 
exposants  caract6risliques  de  la  solution  p^riodique  ainsi  obtenue,  nous  for- 
merons  les  seize  d£riv£es  partielles : 

(3?COj  di&i  ^CO-j  dl£$  ' 

dx»       dy<i        dy*  > 


dsc\ 

y    "  -  J 


ET   LES   AQUATIONS  DE   LA   DYNAMIQUE.  £67 

et  nous  y  ferons  ensuile 

COi^sCO?,  032=0)5,  0>i==oJ?,  OJ2=COo. 

Alors  ~  par  exemple  prendra  la  forme  suivante  : 


les  a  6tant  des  constantes  et  les  G  des  fonctions  periodiques. 
Les  a  sont  alors  les  exposants  caracterisliques  cherch^s. 
Appliquoas  cette  regie  au  eas  qui  nous  occupe.  Nous  avons 


<pi  ^tant  periodique  en   pp4  et  en  w%. 
II  vient  alors 

dx\  __  ^91  <f^i   _  d®i         (  cT^\   d^i        d\z  <^?i  \ 

d<&\        dwi  du>\        du>i        \d&i  dw^        d^\  dw%J 

Les  trois  fonctions 

d^i        dyi  d\i   d®i         d\*   d®i 

dw\        du>\  d&i  dw\        d&\  dw* 

sont  periodiques  en  w±  et  w2  et  par  consequent  en  t. 

f^  .  dx\        dx\  j  .  T 

On  trouverait  pour  -r=r  et  ^—  des  expressions  analogues. 

Gela  prouve  que  les  exposants  caract6rist£ques  sont  nuls. 

Done,  si  les  series  de  M.  Lindstedt  ^talent  conver  'gentes,  tous  les  e&posants 
caract&ristiques  seraient  mils. 

Dans  quel  cas  en  est-il  ainsi  ? 

Nous  avons  vu  plus  haut  la  maniere  de  calculer  les  exposants  caractthis- 
tiques  (§  10  et!2). 

Dans  ce  dernier  paragraphe  nous  avons  vu  que  les  exposants  caract^ristiques 
relatifs  aux  Equations 

^i  —  ^F°      ^Ei       ^li  —  „  ^F°  __  ^Ei 

~dt   ~~  dy~t  "*"  ^  dyt  J  dt   ~~       ldxt       ^  dxt 

pouvaient  se  d^velopper  suivant  les  puissances  de  \/p.my  nous  avons  appris  a 
former  liquation  qui  donne  le  coefficient  a*  de  \/fi. 

Rappelons  comment  se  forme  cette  Equation  : 

Nous  avions  pos6  dans  le  paragraphe 


468  SUR  LE  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS 

Dans  ces  d&riv6es  secondes  on  suppose  x\  et  #2  remplac^es  par  x\  et  x\,  pen- 
dant quejd  et^2  sont  remplac^es  par  n^t  -+-  coi}  7i2£-h  £>a  (d)»  Cf*  est  done  une 
constante  et  B^une  fonction  periodique  de  t.  J'appelle  bikle  terme  tout  connu 
de  cette  fonction  periodique. 
Posons  ensuite 

eii  =  &MC?1H-&iaCg1,         *«i  =  bzl  GJj  H-  ^aaCJx, 


Liquation  qui  nous  donne  a4  s'^crira  alors 


en—  otf 


Pour  que  cette  Equation  ait  loutes  ses  racines  nulles,  il  faudrait  que  Pon  eut 

€u  H-  eo2r=  O 

et 

(4)  ftiiG?!  -H2^12G?2-i-  &o2Cg2  =  o. 

Or  on  a7  comme  je  Vai  d6montr6  dans  le  paragraphe  cil^  : 

Wi  &11  H-  'Z.o  &ia  =  /It  &ai  4~  Tig  ^22  :=s  0. 

II  faul  done  pour  que  Pidenlil£  (4)  ^  Heu  ou  bien  que 

(5)  611  =  0 

ou  bien  que 

(6)  aiCJi—  -2711/12  C?2  -4-  n?  C|2  =0. 


Occupons-nous  d'abord  de  la  relation  (5).  Si  nous  faisons  dans  la  fonction 
perturbatrice  F4 


F4  deviendra  une  fonction  periodique  de  ^.  Supposons  cetle  fonction  periodi 
d^veloppde  en  serie  trigonom^trique,  et  soit  ^  le  terme  tout  connu;  ^  sera  une 
fonction  periodique  de  5*  et  S2  el  il  viendra 


_ 


(J)  Inutile  de  rappeler  ici  que  ces  valeurs  de  a?Jj  ^2?  ^i?  ns  sont  celles  qui  correspondent  k  la 
solution  periodique  6tudiee;  ce  ne  sout  pas  celles  dont  nous  avons  fait  usage  plus  haut  dans 

1'expose  de  la  metbode  de  M*  Lindstedt.  Le  rapport  —  est  done  commensurable. 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  469 

Nous  devrons  done  avoir 


Nous  pourrons  toujours  supposer  que  Porigine  du  temps  a  ete  choisie  de 
telle  sorte  que  w2  soit  nul  et  que  fy  soil  fonction  p^riodique  de  «i  seulement. 

De  plus  la  relation  (7)  devrait  etre  (si  les  series  de  M.  Lindstedt  conver- 
geaient)  satisfaite  identiquement.  Et  en  effel,  si  Ton  admettaitla  convergence 
de  ces  series,  il  y  aurait  une  infinite  de  solutions  periodiques  coi^respondant  a 

chaque  valeur  commensurable  du  rapport  —  • 

fiv 

Si  la  relation  (7)  est  une  identit6  et  si  4*  est  une  fonction  p^riodique,  cette 
fonction  devra  se  r^duire  a  une  constante. 
Voyons  ce  que  cela  veut  dire  : 

La  fonction  perturba  trice  FI  6taiit  p^riodique  par  rapport  a  j'i  et  a  y^  pourra 
s'^crire 


les  m±  et  les  ma  6tant  des  entiers,  pendant  que  ATOl/Wg  etBOTl^a  sont  des  fonctions 
donn6es  de  a?4  et  de  o?a. 
On  aura  alors 


mxm2  COS(  MI&I  -4-  Ws  WS  )  H-  ft  ^mtm^  Sin(  WtSi  -f- 

la  sommation  repr^sent^e  par  le  signe  X  s'^tendant  a  tous  les  terxnes  tels  que 


et  A^lOTf  et  B^ims  repr^sentant  ce  que  deviennent  AmiWf  et  BWlW>  quand  on  y 
remplace  a*  et  572  par  a?J  et  j?J. 

Corame  les  termes  periodiques  doivent  disparaitre  de  ^,  011  aura 

AO  T>  0  _     _ 

J7it  W2j[  ==  ^mtm^  —  °- 

Ainsi  les  coefficients  ATOimjt  et  BOTl,,ls  du  ddveloppement  de  la  fonction  pertur- 
batrice  doivent  s'annuler  quand  on  y  donne  a  x^  et  a  a?2  des  valours  telles  que 


Ou  bien  encore  on  doit  pouvoir  donner  au  rapport  ~  des  valeurs  commensu- 


rables  sans  introduire  dans  la  fonction  perturbatrice  Fj'des  termes  s^culaires. 
II  est  clair  qu'il  n'en  esl  pas  ainsi  dans  le  cas  particulier  du  probleme  des 


470  SUR   LE   PROBLEMS   DES   TROIS   CORPS 

trois  corps  que  nous  avons  examine,  et  qu'on  n?y  peut  donner  au  rapport  des 
moyens  mouvements  une  valeur  commensurable  sans  introduire  dans  la  fonc- 
tion  perturha  trice  des  termes  seculaires. 

Passons  maintenant  a  la  condition  (6),  qui  peut  s'6crire 

aft 
dx\ 

EUe  exprime  que  la  courbe  F0(^5  #2  )  =  const,  a  un  point  d'inflexion  au 
point  3d  =  a?J  ,  #2  =  #3  • 

Comine  cette  condition  doit  etre  remplie  pour  toutes  les  valeurs  de  x\  et 

de    x\    qui    correspondent    i    un    rapport  ™-  commensurable,     la     courbe 

FO(#M,  J72)=  const,   devra  se  reduire  a  un  systeme  de  droites. 

C'est  un  cas  particulier  que  nous  laisserons  de  cdl£,  car  il  est  Evident  que 
rien  de  pareil  n'arrive  dans  le  probleme  des  trois  corps. 

Ainsi,  dans  le  cas  particulier  da  probleme  des  trois  corps  que  nous  avons 
&tudi£et  par  consequent  aussi  dans  le  cas  general,  les  series  de  M.  Lindstedt 
ne  convergent  pas  unif  or  moment  pour  toutes  les  valeurs  des  constantes 
arbitraires  d'  integration  qu^elles  contiennent. 


22.  —  Non-existeiice  des  integrates  uniformes  (x)  . 

Reprenons  nos  Equations  de  la  Dynamique  avec  deux  degr6s  de  libert^ 

dxt  __  d¥  dyi  _       d¥ 

dt    ~~  dyj         ~dt   ~~~"d^i         ^"I'2> 

Ges  Equations  admetteut  une  integrate  F  =  const.  Cette  integrale  F  est  une 
fonction  analytique  etuniforme  de  x±}x%,  y±^  y$  et  /JL;  p^riodique  de  p^riode  271 
par  rapport  a  y^  et  a  j^- 

Je  me  propose  de  d^montrer  qu'il  n'existe  pas  4'autre  integrale  jouissant  des 
memes  propridtds. 

Soit  en  effet  ®  =  const,  une  autre  inl^grale  analytique  uniforme  par  rapport 
aux  ^?,  aux  y  et  a  p.  et  p^riodique  par  rapport  aux  y. 

Soit 

^1=91(0,      «2=?a(<),     ri=?3(0:      72=94(0 

une  solution  p^riodique  (de  p^riode  T)  de  nos  Equations  difl^rentielles. 
(  l  )  Voir  aux  Notes,  Integrates  uniformes. 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE. 


471 


Soit 


Soit  p/  la  valeur  de  £/  pour  £  =  o;  soil  fy-f-  ^  la  valeur  de  £,  pour  £  =  T;  nous 
savons  quo  les  fy  soul  developpables  suivant  les  puissances  croissantes  des  |3. 
Consid^rons  1'equation  en  S  : 


dfa 


Les  racines  de  cette  Equation  sont  egales  a  eaT — i,  les  a  £tant  les  exposants 
caractertstiques;  deux  de  ces  racines  sont  done  nulles,  el  dansle  cas  particulier 
du  probl&me  des  trois  corps  que  nous  traitons,  les  deux  aulres  racines  dorvent 
£tre  difl'erentes  de  z4ro, 

Je  remarque  d'abord  que  nous  avons  : 

_  ___  _____  — 1_       '  '      -^—  — —         ~~  o 

Q,JC*>  d$  i        d'Y \   £t|j/        cL'Y^  d$r 

(t  =  i3  2,  3j  4)- 

Dans  les  d4riv6ee  de  F  et  de  <&,  x^  x%^  y±  et  y2  doivent  ^tre  remplac^es  par 


On  peut  eu  conclure  ou  bien  que  Ton  a 


dF 
dx\ 

"55" 


dF 


dF 

d_Y*_ 

w* 


ou  biea  que  le  determinant  fonctionnel  des  41  par  rapport  aux  (3  est  nul  ainsi 
que  tous  ses  mineurs  du  premier  ordre. 

D'autre  part  on  a,  en  designant  par  cpj(«)  la  deYivee  de  cpi(«), 


(3) 


(4) 


z  =  i,  2,  3}  4); 


472  SUR  LE   PROBLEMS   DES   TROIS   CORPS 

Do  cos  Equations  on  peut  coiiclure,  par  un  calcul  tres  simple  dont  on  trouvera 
plus  loin  le  detail,  que  si  les  equations  (2)  ne  sont  pas  satisfaiies,  ou  bien  on 
aura 

(5)  9'j(o)  ==  9i(o)  =  9'3(o)  «  9't(o)  =  °; 

ou  bien  liquation  en  S  aura  trois  racines  nulles  (les  quatre  racines  devraient 
meme  etre  nulles,  puisque  les  exposants  caract6ristiqu.es  sont  deux  a  deux  4gaux 
el  de  signe  contraire). 

Or  nous  savons  que  1'equalion  en  S  n'a  que  deux  racines  nulles;  d'autre 
part  les  Equations  (5)  ne  peuvent  £tre  satisfaites  que  pour  certaines  solutions 
p^riodiques  tres  particulieres  (  je  veux  dire  pour  celles  qui  sont  £tudi£es  dans 
la  Mecanique  celeste  de  Laplace,  Livre  X,  Chap*  VI)  et  ou  le  troisieme  corps 
d^crit  comme  les  deux  premiers  une  circonference. 

Les  Equations  (2)  devront  done  3tre  salisfaites.  Elles  devront  Tetre  pour 


Mais  comme  1'origine  du  temps  est  reside  arbitraire,  elles  devront  l^tre  6gale- 
ment  quel  que  soil  t  pour 


En  d?autrcs  termes,  elles  le  seront  pour  tous  les  points  de  toutes  les  solutions 
p&riodiques.  Je  dis  maintenant  que  ces  Equations  sont  satisfaites  identiquement. 
Posons  par  exemple  : 

d$   d?        d$>   d¥ 

""  dx*  dx±       dxi  dx*  ' 

II  est  clair  que  f  sera  encore  une  fonction  analytique  el  uniforme;  on  aura 
/=  o  pour  tous  les  points  de  toutes  les  solutions  p^riodiques.  Je  veux  etablir 
que/est  identiquement  nul;  pour  cela  je  vais  montrerque  Pon  a  identiquement 
pour  p  =  o  : 


En  effet,  consid^rons  une  solution  ptoiodique  quelconque  du  premier  genre; 
soit 


cette  solution;  les  fonctions  9  seront  d^veloppables  suivant  les  puissances  de 
et  quand  /ji  tendra  vers  zero,  elles  tendront  respectivement  vers 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  4j3 

l  et  xl  £lant  des  constantes  telles  que  —  soit  commensurable  et  GJ,  et  w2  les 
quantit6s  d^finies  dans  le  paragraphe  11  J.  Tanl  que  p.  n'est  pas  nul  on  aura 


Mais  la  fonction/"  £tant  analytique  et  par  consequent  continue,  on  aura  encore 
pour  fx  =  o  (bien  que  pour  p.  =  o  les  exposants  caract6ristiques  s'annulent)  : 

/(#?>  %\->  /M-f-  wj,  /a2Z-f-  wa)  =  o. 

Mais  si  1'on  considere  un  systeme  quelconque  de  valeurs  de  x±  et  de  o;2  on 
pourra  toujours  trouver  un  systeme  x\  et  x\  qui  en  diflferera  aussi  peu  que  Ton 

voudra  et  qui  correspondra  a  ane  valenr  commensurable  de  —  •  Soit  alors 


= 

/l2  A  2 

Xi  et  "Xi  4tant  deux  entiers  premiers  entre  eux.  Nous  choisirons  t  de  fagon  que 

rii  t  -4-  cJ3i  s^j/i-f-  2  Ar^r         (Rentier). 
On  aura  alors 

712^  -J-  OM  =  ^  (  Vi-i-  2  A*oc  —  o>i)  -4-  to2. 
AI 

Si  nous  posons 

7i2  ^  -4-  co2  =  y\  •+•  2  ^'  re        (Rentier), 
on  devra  avoir 


Etant  donn^e  une  valeur  quelconque  dey2j  &&  peul  choisir  les  entiers  k  et  k! 
de  telle  fa^on  que  la  difference  y2  —  y\  soit  plus  petite  en  valeur  absolue  que  y-- 
Mais  nous  pouvons  toujonrs  choisir  x\  et  x\  de  fagon  que  ce  systeme  de  valeurs 


differe  aussi  peu  que  Ton  veut  de  x*.  et  de  #2,  et  que  le  rapport  ~  tout  en  £tant 


commensurable  soit  tel  que  le  nombre  enlier  Ai  soit  aussi  grand  que  Ton  veut. 
Par  consequent,  6tant  donn^  un  systeme  quelconque  de  valeurs  de  a?<7  x^  y± 
et  y*n,  on  pourra  trouver  un  systeme  de  valeurs  qui  en  diff^rera  aussi  peu  qu'on 
voudra  et  pour  lequel/sera  nul.  Comme  la  fonction  /est  analytique,  elle  devra 
done  £tre  identiquement  nulle  pour  pt-  =  o. 

Cela  pos£,  comme  /[<PI(*,  P-)]  =  o  quels  que  soient  t  et  /*,  il  vient,  pour 
tous  les  points  de  la  solution  p^riodique,, 

dj        df  d  df  dv*        df  d^z        df  dv^  __ 


H.  P.  —  VII.  6o 


474  SUR    LE   PROBLEMS   DES   TROIS   CORPS 

Cette  relation  sera  vraie  en  particulier  pour 


Mais,  qnand  p.  est  nul,  f  est  identiquement  nul,  par  consequent  ses  d^rivees 
par  rapport  aux  x  el  aux  y  sont  nulles.  On  a  done 

^  .  =  o         pour     a  =  o,         d?2=#?,°,        yt  =  /ij£  H-  c5f ; 
<Yta 

et  Ton  en  conclurait  comme  plus  baut  que  -~  est  identiquement  nul  pour  p.  =  o. 

On  d6montrerail  de  la  m£me  maniere  que  -7-^3  e^  les  autres  deriv^es  de  f 
par  rapport  a  p.  sont  nulles  pour  p.  =  o. 

Done  la  fonction  f  est  identiquement  nulle  et  les  Equations  (2)  sont  des 
identit^s, 

Mais,  s'il  en  est  ainsi,  cela  veut  dire  que  <D  est  une  fonction  de  F,  et  que  les 
deux,  integrates  ^  et  F  ne  sont  pas  distinctes. 

Nos  equations  ne  comportent  done  pas  d'autre  intdgrale  analjtique  et  uni- 
forme que  F  =  const. 

Quand  je  dis  que  ces  Equations  n'admettent  pas  d'int£grale  uniforme,  je  ne 
veux  pas  dire  seulement  qu'elles  n'ont  pas  d'int6grale  qui  reste  analytique  et 
uniforme  pour  toutes  les  valeurs  de  x,  de  y  et  de  p.. 

Je  veux  dire  qu'en  dehors  de  1'integrale  F,  ces  Equations  n'admettent  pas 
d'int6grale  qui  reste  analjtique,  uniforme  (et  periodique  de  y{  et  y2)  pour 
toutes  les  valeurs  de  y±  et  de  y2  et  pour  les  valeurs  suffisamment  petites  de  /ut, 
quand  ^i  et  x%  parcourent  un  domaine  quelconque,  si  petit  d'ailleurs  que  soit 
ce  domaine. 

On  sait  que  Bruns  a  demontre  qu'en  dehors  des  int^grales  connues,  le  pro- 
bUme  des  trois  corps  n'admet  pas  d'int^grale  alg^brique.  Ce  resultat  se  trouve 
done  confirm^  par  une  voie  entiereraent  diff^rente. 

J'ai  annonc^  plus  haut  que  les  equations  (i),  (3)  et  (4)  entrainent  forc£- 
ment  une  des  trois  consequences  suivantes  :  ou  bien  les  Equations  (2)  sont 
satisfaites,  ou  bien  ce  sont  les  Equations  (5),  ou  bien  liquation  en  S  a  au 
moins  trois  racines  nulles. 

En  effet,  fortnons  la  matri^ce  suivante  ^  quatre  lignes  et  cinq  colonnes  : 


Si  les  Equations  (i)  et  (4)  sont  satisfaites  sans  que  les  Equations  (2)  le  soient, 


ET   LES  EQUATIONS  DE   LA  DYNAMIQUE.  475 

nous  devons  conclure  que  tous  les  determinants  obtenus  en  supprimant  dans 
cette  matrice  deux  colonnes  et  une  ligne  sont  nuls. 

Si  maintenant  Ton  fait  subir  a  #1,  x»,  y±  et  ya  un  changement  lineaire  de 
variables,  les  fy  et  les  (3  subiront  ce  m£me  changement  lineaire  et  la  matrice  (6) 
pourra  £tre  simplifi<§e. 

On  peut  toujours  supposer  qu'on  a  choisi  ce  changement  Undaire  de  telle 
sorte  que 

fi  =  o    p°ur  *<*• 

Alors  les  produits  trois  a  trois  des  quatre  quantit^s  -^5  -rrr  ?  -T?T?  -~  sont  tous 

1  xi  flfp1      ^p2      ^j^     ftfa 

nuls,  d'ou  il  suit  que  deux  au  moins  de  ces  quantit^s  sont  irulles.  On  peut 
toujours  supposer  que  le  changement  lineaire  a  ^t^  choisi  de  telle  sorte  que 

dfy-i       db'L.        .       •  i 

ce  soient  -^  et  -~-  qui  soient  nuls. 
dfa        dfa^ 

Si  en  outre  une  des  deux  qua.ntit6s  ~  et  -~2  est  encore  nulle,  Fequation 
en  S  aura  trois  racines  nulles. 

Si,  au  contraire,  aucune  de  ces  deux  quantit^s  n'est  nulle,  les  Equations  (3) 
permeltent  de  conclure  que 


En  supprimant  dans  la  matrice  (6)  la  troisieme  et  la  quatrieme  colonne  et  la 
troisieme  ligne,  on  bien  la  troisieme  et  la  quatrieme  colonne  et  la  quatrieme 
ligne,  il  vient 


ce  qui  ne  peut  avoir  lieu  que  si 


c'est-£-dire  si  les  Equations  (5)  sont  satisfaites;  ou  bien  si 


OU 


c'est-a-dire  si  liquation  en  S  a  trois  racines  nulles.  c.  Q.  F» 


476  SUR  LE   PROBLEMS   DES  TROIS   CORPS 

GHAPITRE  IV. 

TENTATIVES  DE  GENERALISATION. 

23.  — Probleme  des  n  corps. 

Est-il  permis  d'esperer  qu'on  puisse  etendre  les  r^sultats  precedents  aux  cas 
oil  les  Equations  de  la  Dynamique  comporlent  plus  de  deux  degres  de  libert^ 
et  par  consequent  au  cas  general  du  probleme  des  n  corps? 

C'est  possible,  mais  ce  ne  sera  pas  sans  un  nouvel  effort. 

Je  croyais,  en  commengant  ce  travail,  que  la  solution  du  probleme,  une  fois 
trouvee  pour  le  cas  parliculier  que  jjai  trait6,  se  g6n6raliserait  imm6diatement 
sans  qu'on  ait  a  vaincre  aucune  difficulte  nouvelle  en  dehors  de  celles  qui  sont 
dues  au  nombre  plus  grand  des  variables  et  a  Pimpossibilite  d'une  repr^sen- 
tation  geometrique.  Je  me  trompais. 

Aussi  crois-je  devoir  insisler  un  peu  ici  sur  la  nature  des  obstacles  qui 
s'opposent  a  cette  generalisation. 

S'il  y  a  p  degre5  de  liberte,  la  situation  du  systeme  peut  £tre  repr6sent6e 
par  la  position  d'un  point  dans  Fespace  a  zp  —  i  dimensions.  La  plupart  des 
conclusions  de  la  premiere  Partie  sont  encore  vraies  et  n'ont  a  subir  aucun 
chahgement.  II  existe  done  une  infinite  de  solutions  p^riodiques  repr^sent^es 
par  des  trajectoires  ferm^es  ct  se  classant  en  stables  et  en  instables,  ou  m£me 
en  categories  plus  nombreuses,  d^apres  la  nature  de  leurs  exposants  caracteris- 
tiques.  II  existe  aussi  une  infinite  de  solutions  asymptotiques. 

J'ai  cherche  ^galement  a  6tendre  au  cas  general  le  calcul  du  paragraphs  17 
en  laissant  de  cot^  la  question  de  convergence.  Les  series  qu'on  obtient  de  la 
sorte  peuvent  en  effet,  meme  lorsqu^elles  divergent,  etre  utiles  dans  certains 
cas  aux  astronomes  et  peut-^tre  guider  lesg^ometres  vers  la  solution  definitive. 

Supposons  trois  degres  de  liberte  et  reprenons  les  Equations  (i)  du  para- 
graphe  11  en  faisant  les  memes  hypotheses  que  dans  ce  paragraphs. 

Gherchons  ensuite  trois  fonctions  de if         ys  : 


ET  LES  EQUATIONS  DE   LA   DYNAMIQUE.  -         477 

satisfaisant  aux  equations 

rfai    d¥  dx±   d^  ^  dx±  ^F         dF_  _ 

dy\  dx\  dy  *  dx*    '    dy-^  dx%       dy\         ' 


dxn   dF        dx*   dF        dx^  dF_       dF_  _ 

dyi  dec  i        dy*  dx*        dy^  dj$        dy%  ~~    * 

ou?  ce  qui  revient  au  m£me,  aux  Equations 

p  _  «  dxi  _  di£*i  dxt  _  djc*  d&i  _^  dx% 

3          dy«        dy^  '          dy*  ~  dy^          dyz  ""  dyi 

Nous  supposerons  que  x^  ^2,  x%  peuvent  se  d^velopper  suivant  les  puis- 
sances de  /JL  ou  de  \7fJL  et  que  pour  JJL  =  O?  elles  se  rfiduisent  a  des  cons- 
tantes^J,  n?J,  x\. 

Nous  poserons  ensuite  comme  plus  haul  : 


Si  entre  /IA,  /z2,  w3,  il  n'y  a  aucune  relation  lm£aire  a  coefficients  entiers,  on 
peut  d^velopper  #1?  x%  et  o?3  suivant  les  puissances  de  fjt;  chaque  terine  est 
p^riodique  a  la  fois  par  rapport  a  yl7  a  y2  et  a  y3.  Mais  il  s'introduit  de  petits 
diviseurs. 

Si  entre  7^lJ  ;i2  et  7i3,  il  y  a  une  relation  lin^aire  et  une  seule  a  coefficients 

entiers 

m\  n\  -4-  m%  n^^r  m%  713  =  o, 


les  calculs  peuvent  se  poursuivre  absolument  comme  dans  le  paragraphe  18. 
Les  trois  fonclions  x\,  x$  et  x$  se  d^veloppent  suivant  les  puissances  de  \fp.  et 
elles  sont  au  moins  doublement  pdriodiques.  je  veux  dire  qu*  elles  ne  changent 
pas  quand  y^  y^  et  y%  augmentent  d'un  multiple  de  271  de  telle  fa^on  que 
tf^JKi-h  T^ajKa-f-  m^y-A  ne  change  pasj  il  y  a  encore  de  petits  diviseurs. 

II  reste  un  troisieme  cas,  le  plus  int^ressant  de  tous,  qui  est  celui  oii  il  y  a 
entre  n4,  n^  nz  deux  relations  lin^aires  a  coefficients  entiers  : 


3  =  o. 


On  peut  alors  d6velopper  ^i,  5?3  et  #3  suivant  les  puissances  de  fa  et  de  fa$on 
que  ces  fonctions  soient  p6riodiques,  je  veux  dire  qu'elles  ne  changent  pas 
quand  yi7  y%  et  y^  augmenlent  d'un  multiple  de  271,  et  de  telle  sorle  que 


478  SUR   LE   PROBLEMS  DBS   TROIS   CORPS 

miyt^m^y^+m^y^et  m\  yi  -+-  m\ y$-\-  m^y*  ne  changent  pas.  II  n'y  a 
plus  de  petits  diviseurs,  mais  le  calcul  de  ces  fonctions  n'est  pas  sans  certaines 
difficult^. 

En  premiere  approximation,  la  determination  de  ces  fonctions  depend  de 
rint£gration  d'un  systeme  d'6quations  diff^rentielles  qui  onl  la  forme  cano- 
nique  des  Equations  de  la  Dynamique,  mais  avec  deux  degres  de  liberte  seu- 
lement*  Dans  presque  toutes  les  applications,  ces  Equations  d^pendront  d'un 
parametre  tres  petit  par  rapport  auquel  on  pourra  d^velopper,  de  maniere 
qu'on  pourra  leur  appliquer  les  conclusions  des  Ghapitres  1  et  II  (Ire  Partie). 

Dans  les  approximations  suivantes,  on  n'aura  plus  a  efFectuer  que  des  qua- 
dratures. 

Ce  n'est  pas  tout;  le  probleme  des  n  corps  presente  des  difficultds  sp^ciales 
qu'on  ne  rencontre  pas  dans  le  cas  general.  Sans  doute  ces  difficult^  ne  sont 
pas  aussi  essentielles  que  celles  donl  j'ai  signale  plus  haut  Fexistence,  et  un 
peu  d'atteniion  doit  permettre  d'en  triompher. 

Mais  j'en  dois  dire  ici  quelques  mots. 

Dans  le  probleme  des  n  corps,  F0  ne  depend  pas  de  toutes  les  variables 
Iin6aires  #/;  par  consequent,  non  seulement  le  hessien  de  F0  par  rapport  aux 
variables  xi  est  nul,  mais  le  hessien  d'une  fonclion  arbitrairo  de  F0  est  encore 
nul  (Cf.  p.  SSg).  Cela  vient  du  fait  suivant  :  si  ju  =  o,  c'est-^-dire  dans  le 
mouvement  k^plerien,  les  perih^lies  sont  fixes. 

Gctte  difficult^  n'existait  pas  dans  le  cas  que  nous  avons  trait6  (pre- 
mier exemple,  §  15),  parce  que  nous  avions  pris  pour  variable  non  pas  ^longi- 
tude du  p6rih6lie5  mais  g  —  t.  Elle  n?existerait  pas  non  plus  avec  une  loi 
d*at traction  autre  que  la  newtonienne. 

Voici  quelles  en  sont  les  etranges  consequences  : 

Nous  avons  vu  qu'ily  a  deux  sortes  de  solutions  periodiques  :  les  solutions 
du  premier  genre,  donl  nous  avons  parle  dans  le  Ghapitre  III  (lre  Partie)  et 
qui  subsistent  quelque  petit  que  soit  /*,  et  les  solutions  du  deuxieme  genre 
dont  nous  avons  parie  dans  le  paragraphe  20  et  qui  disparaissent  1'une  apr^s 
Fautre  quand  on  fait  d^croitre  /jt, 

Dans  le  cas  du  probleme  des  trois  corps,  si  Ton  fait  JJL  =  o,  les  orbites  des 
deux  petits  corps  se  r^duisent  &  deux  ellipses  k^pleriennes.  Que  deviennent 
alors  les  solutions  p^riodiques  du  premier  genre  quand  on  fait  JUL  =  o  ?  En 
d'aulres  termes  quelles  sont  les  solutions  p^riodiques  des  Equations  du  mouve- 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA    DYNAMIQUE.  479 

ment  k^plerien?  Les  un.es  correspondent  au  cas  ou  les  deux  moyens  monve- 
ments  sont  commensurables.  Mais  il  en  est  d'autres  qu'il  est  plus  malais^ 
d'apercevoir  et  sur  lesquelles  je  dois  insisler. 

Si  p.  :=  o,  c'est  que  les  masses  des.  deux  planetes  sont  infiniment  petites  et 
qu'eiles  ne  peuvent  agir  Pune  sur  Pautre  d'une  maniere  sensible,  a  moins 
d^etre  a  une  distance  infiniment  petite  Vune  de  Vautre*  Mais  si  ces  planetes 
passent  infiniment  pres  Fune  de  Fautre,  leurs  orbites  vont  etre  brusquement 
modifiees  comme  si  elles  s'^taient  choquees.  On  peut  disposer  des  conditions 
initiales  de  telle  fagon  que  ces  chocs  se  produisent  periodiquement  et  Pon 
obtient  ainsi  des  solutions  discontinues  ( f  )  qui  sont  de  v^ritables  solutions 
p^riodiques  du  probleme  du  mouvement  k^plerien  et  que  nous  rfavons  pas  le 
droit  de  laisser  de  cote. 

Telles  sont  les  raisons  pour  lesquelles  j?ai  renonce,  au  moins  momentane'- 
ment,  a  6tendre  au  cas  gen6ral  les  r^sultats  obtenus.  Non  seulement  le  temps 
me  fait  d6faut,  niais  je  crois  qu'une  pareille  tentative  serait  pr^maturee. 

En  effet,  je  n'ai  pu  faire  encore  du  cas  particulier  m£me  auquel  je  me  suis 
restreint  une  £tude  suffisamment  approfondie.  Ce  n'est  qu'apres  bien  des 
recherches  et  des  efforts  que  les  g^ometres  connaitrorit  compietemeiit  ce 
domaine,  ou  je  n'ai  pu  faire  qu'une  simple  reconnaissance,  et  qu'ils  y  trou- 
veront  un  terrain  solide  d'ou  ils  puissent  s'elancer  a  de  nouvelles  conqu^tes. 

(!)  Ce  sont  Jes  solutions  que  H.  Poincare  a  appelees  de  deuxieme  espece  et  a  ettidiees  au 
Ckapitre  XXXII  des  M&thodes  Nouvelles.  Voir  k  ce  sujet,  aux  Notes,  Solutions  periodiques. 


SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 


Bulletin  Astronojnique^  t.  S,  p.  12-2$  (janvier  1891 ). 


J'ai  publi^  dans  le  Tome  13  des  A  eta  Mathematica  (*)  un  M^moire  ou 
j'obtiens  quelques  r^sultats  relatifs  a  un  cas  particulier  du  probleme  des  trois 
corps  et  a  divers  problemes  de  Dynaaiique;  je  crois  qu'il  ne  sera  pas  inutile  de 
reproduire  ici  sans  demonstration  quelques-uns  de  ces  r^sultats  pour  les 
lecteurs  du  Bulletin  astronomique  qui  u'auraient  pas  le  temps  de  lire  in 
extenso  le  M6moire  original,  qui  est  assez  volumineux. 

Jc  ne  parlerai  ici  que  de  ce  cas  particulier  du  probleme  des  trois  corps  que 
je  viens  de  tnentionner  el  qui  est  le  suivant. 

Supposons  trois  masses  A,  B  et  C  se  mouvani  dans  un  m&me  plan.  Je 
suppose  que  la  masse  A  soit  tres  grande,  la  masse  B  tres  petite;  la  masse  C 
infiniment  petite  et  incapable,  par  consequent,  de  troubler  les  deux  autres. 
Alors  A  et  B  se  mouvront  suivant  les  lois  de  Kapler.  Je  suppose  de  plus  que  les 
excentricit&s  de  A  et  de  B  sont  nulles,  de  telle  sorte  que  ces  deux  masses  A 
et  B  d£crivent  des  circonf&rences  concentriques,  et  je  me  propose  d'6tudier  le 
mouvement  de  C  sous  1'attraction  de  A  el  de  B  dans  le  plan  de  ces  deux 
circonf^rences.  Tel  serait  le  cas  du  Soleil,  de  Jupiter  et  d'une  petite  planete, 
st  Fon  n6gligeait  Texcentricit^  de  Japiter  et  1'inclinaison  des  orbites. 

Tous  les  r^sultats  que  je  vais  ^noncer  se  rapportent  a  ce  cas  particulier. 
Depuis  j'ai  cherche  a  les  etendre  au  cas  general  du  probleme  des  trois  corps; 
tel  a  ^t6  le  principal  objet  des  logons  que  j'ai  profess^es  a  la  Sorbonne  de 
novembre  1889  a  mars  1890  et  qui  seront  publi^es  prochainement  chez 
MM.  Gauthier-Villars  et  fils;  mais  je  ne  m'occuperai  pas  pour  le  moment  de 
cette  extension. 

(*)  CS&uvres  de  JZ,  Poincare,  ce  Tome,  p,  262. 


SUR  LE  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS.  48 1 

Voici  d'abord  les  notations  que  je  compte  employer. 

Je  d&Snirai  la  position  du  point  G  par  ses  elements  osculateurs.  Je  designerai 
par  a,  e  et  n  le  grand  axe,  Fexcentrieite  et  le  moyen  mouvement,  par  y%  Fano- 
malie  moyenne  et  par  g-  la  longitude  du  p^rihelie. 

Je  designerai  par  r  la  masse  de  A  et  par  p.  celle  de  B;  jj.  sera  done  une 
quantit^  tres  petite.  Je  choisirai  les  unites  et  1'origine  du  temps  de  fagon  que  la 
constante  de  Gauss  soit  egale  a  i ;  que  le  moyen  mouvement  de  B  soit  cgal  a  i , 
et  la  longitude  de  B  egale  a  t. 

Je  poserai 


F  sera  la  fonction  perturbatrice  augmentee  de#M  H g-;  les  Equations  prendront 

alors  la  forme  sym^trique 

La  fonction  F  sera  susceptible  d'etre  d^veloppee  suivant  les  puissances  de  p, 
et  nous  ecrirons 

F  =  FO  -h  i^Fi  -H  tJL2  F2  -+- . . . ; 
on  aura  d'ailleurs 


Enfin  F  sera  fonction  de  #4,  x^  y±  et  y$  seulement  et  sera  p^riodique  de 
p^riode  271  par  rapport  a  y±  et  y%t 

Les  Equations  (i)  admettent,  comme  integrale,  F  =  C;  cette  integrate, 
connue  sous  le  nom  d'int^grale  de  Jacobi,  peut  £tre  obtenue  en  combinant  celle 
des  forces  vives  avec  celle  des  aires. 

On  peut  aussi  la  regarder  comme  1'integrale  des  forces  vives  dans  le 
dans  le  mouvement  relatif  du  point  G  par  rapport  a  deux  axes  mobiles  tournant 
d'un  mouvement  uniforme;  a  savoir  la  droite  AB  et  une  perpendiculaire  a  AB 
men^e  par  le  centre  de  gravit^  du  systeme  suppos^  fixe. 

G'est  pourquoi  je  conserverai  a  la  constante  G  le  nom  de  constante  des 
forces  vives. 

Solutions  period! cpies. 

Les  premiers  r^sultats  sur  lesquels  je  veux  appeler  Fatten ti on  sont  relatifs  a 
certaines   solutions   particulieres  remarquables  des  Equations  (i).  Je  citerai 
.     H.  P.  —  vil.  6l 


482  SUR  LE  PROBLEMS  DES  TROIS   CORPS. 

d'abord  les  solutions  de  la  forme  suivante,  que  j'appellerai  solutions  periodiques  : 


Les  fonctions  <p<,  <p2;  cp3  et  <p4  sont  des  fonclions  periodiques  de  p^riode  T  et 
sonlj  par  consequent,  d^veloppables  suivant  les  sinus  et  cosinus  des  multiples 

de  ^-    De  plus,  n\  T  et  /i2T  sont  des  multiples  de  271. 

Je  distingue  les  solutions  p^riodiques  du  premier  genre,  pour  lesquelles  les 
fonctions  cpi,  92,  <p3  et  <ps  sont  d£veloppables  suivant  les  puissances  de  p. 

A  chaque  systeme  de  valeurs  de  n{  et  de  ;z2,  commensurables  enlre  elles, 
correspondent  au  moms  deux  solutions  periodiques  du  premier  genre. 

J'enseigne  a  former  les  coefficients  des  series  9,  qui  sont  absolument 
convergentes. 

Solutions  periodiques  du  deuxieme  genre. 

II  existe  ^galement  des  solutions  periodiques  pour  lesquelles  les  series  cp  ne 
sont  pas  d^veloppables  suivant  les  puissances  de  /JL  et  que  j^appellerai  solutions 
du  deuxieme  genre.  Voici  sous  quelle  forme  elles  se  pr^sentent  d'ordinaire  : 

Soit 

72=  n^t  -h  ?*(^), 


une  solution  p^riodique  du  premier  genre,  c'est-a-dire  d^veloppable  suivant  les 
puissances  de  p,;  soit  T  la  p6riode.  Soit 


ce  que  devient  cette  solution  quand  on  y  donne  a  p.  une  cerlaine  valeur  p0- 
Alors  les  fonctions  ^°  sont  d^veloppables  suivant  les  sinus  et  cosinus  des 

multiples  de  -~  • 

II  existera  dans  certains  cas  une  solution  p^riodique  de  la  forme  suivante  : 

(^ 

Les  fonctions  ^!U(^))  ^!al(*)»  443)(0  sont  periodiques  par  rapport  a  ^;  mais  la 
p^riode  n?est  pas  ^gale  a  T  comme  pour  les  fonctions  4>z°  (0?  ma^s  *  ^T,  /t  etant 
un  nombre  entier.  Par  consequent,  xi}  x^y^  —  rtitety2  —  n%t  sont  develop- 


SUR  LE   PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS.  483 

pables  suivant  les  puissances  de  vV  —  j^o  et  suivant  les  sinus  et  cosinus  des 
multiples  de  ^p  • 

A    i 

Pour  ft>ft0,  °n  a  deux  solutions  periodiques  du  deuxieme  genre  rcelles  et 
distinctes;  pour  fx  =  ^0,  elles  se  confondent  entre  elles  et  avec  la  solution  du 
premier  genre 

*<="W(0,      .r«=*z*  +  MU(0, 
pour  p.  •<  JULO,  elles  deviennenl  imaginaires. 

Dans  certains  cas  le  contraire  peut  avoir  lieu,  et  il  peut  arriver  que  les  deux 
solutions.  soient  r^elles  pour  p.  <  p,0  et  imaginaires  pour  p.  >  ,u0. 

Exposants  caracteristiques. 

Les  solutions  periodiques  semblent  d'abord  sans  aucun  interel  pour  la 
pratique.  La  probability  pour  que  les  circonstances  initiales  du  niouveinent 
soient  pr6cis£ment  celles  qui  correspondent  a  une  pareille  solution  est  e  vi- 
de mment  nuile.  Mais  il  peut  tres  bien  arriver  qu'elles  en  different  fort  peu  :  la 
solution  p^riodique  pourra  jouer  alors  le  role  de  premiere  approximation 
d'  «  orbite  intermediate  ».  II  peut  done  j  avoir  interet  a  etudier  les  solutions 
qui  different  peu  d'une  solution  p^riodique.  Voici  comment  on  operera  : 

Soit 

ft—  ^i^-H  9w-a(0>         (^  =  1,2) 


une  solution  p^riodique  quelconque. 

Considerons  une  solution  peu  diJQKrente  et  posons 


Si  les  £,  et  les  YH  sont  des  quantit^s  assez  petites  pour  qu'on  puisse  en  n^gliger 
les  carr^s,  les  Equations  deviendront 


dt 

~dt 


Dans  les  d^riv^es  secondes  de  F  qui  figurent  dans  les  equations  (2),  on  doit 
remplacer  xi  etyt  par  <pt(f )  et  nit  +  cp/+2(£);  les  coefficients  de  !•*  et  de  TJA  dans 
les  seconds  membres  de  ces  Equations  (2)  sont  done  des  fonctions  periodiques 
donnees  de  t. 


484  SUR   LE   PROBLEME   DES  TROIS   CORPS. 

L'int^grale  generale  des  Equations  (2)  s'ecrit 

;'-H  DSf 


A.,  B,   C,   D  sont  qualre  constantes  d'int£gration;    a  est   ime    constante   non 
arbitrage.  S,-,  SJ  ,  S;,  S'",  T\,  TJ  ,  TJ,  17  sont  des  fonctions  periodiques  de  * 

ty  j-  £ 

d^veloppables  suivant  les  sinus  et  les  cosinus  des  multiples  de  ::rp- 

La  constante  a  et  les  coefficients  de  Sj,  SJ  ,  T*  et  T^  sont  developpables 
suivani  les  puissances  de  \/^,  ceux  de  SJ,  S-",  TJ  et  TJ'  suivanL  les  puissances 
de  /JL.  J'enseigne  a  former  toules  ces  series  qui  sont  absolument  convergentes. 

L'exposant  a  s'appelle  exposant  caracteristiqite.  11  est  r£el  ou  purement 
imaginaire.  Dans  le  premier  cas,  la  solution  pcriodique  sera  dite  instable,  dans 
le  second  cas  elle  sera  dite  stable.  Cetle  denomination  se  justifie  ais&ment,  bien 
qu'elle  ne  doive  pas  ^tre  prise  dans  tin  sens  absolu,  puisque  nous  avons  neglige" 
les  carr^s  des  ^  et  des  -o. 

Nous  avons  vu  qu'il  y  aura  au  moins  deux  solutions  periodiques  du  premier 
genre  correspondant  a  chaque  systeme  de  valeurs  de  n\  et  de  7i2,  commen- 
surables  entre  elles.  J'ajouterai  qu'il  y  en  aura  toujours  un  nombre  pair  et 
autant  de  stables  que  d'instables. 


Solutions  asymptotiques. 

Soit 


(i  ==i,  2) 

une  solution  periodique  quelconqne  instable.  11  existe  deux  sdries  dc  solutions 
particulieres  remarquables  que  j'appellerai  solutions  asymptotiques, 

Les  solutions  asymptotiques  de  la  premiere  serie  seront  de  la  forme  suivante  : 

A  est  une  constante  arbilraire  d'int4gration,  a  est  Fexposant  caract^ristique 
(que  je  suppose  positif),  les  fonctions  S^^i),  6|.2)(£),  ...,  (1  =  1,2,  3,  4)  sont 
p^riodiques  de  p^riode  T  et  d^veloppables  par  consequent  comme  les  yt(t)  par 

rapport  aux  sinus  et  cosinus  des  multiples  de  2±f  .  Les  coefficients  du  d^velop- 
pement  sont  eux-m£mes  des  series  dont  les  termes  sont  rationnels  en  ^/p.. 


SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS.  485 

Inutile  de  faire  remarquer  que,  si  Ton  reprend  les  notations  du  paragraphe 
precedent,  on  a 

Les  series  (3)  sont  convergentes  pour  les  valeurs  de  t  suffisamment  grandes. 
On  voit  que,  quand  t  croit  indefiniment,  les  solutions  repr^sentees  par  les 
Equations  (3)  se  rapprochent  asymptotiquement  cle  la  solution  p^riodique. 

Les  solutions  asymptotiques  de  la  seconde  s£rie  seront  de  la  forme  suivante  : 


B  est  une  nouvelle  constante  d'inldgration,  a  est  encore  Fexposant  caractd- 
ristique;  les  fonctions  00  sont  de  meme  forme  que  les  fonctions  9  qui  entrent 
dans  les  Equations  (3).  On  obtient  d'ailleurs  les  fonclions  co  si  dans  les 
fonctions  0  on  change  y//.  en  —  \'p.. 

Les  series  (3  bis]  convergent  pour  les  valeurs  de  t  n&galives  et  suffisamment 
grandes.  Quand  t  tend  vers  — 00,  les  solutions  qu'elles  repr^sentent  se 
rapprochent  asymptotiquement  de  la  solution  p^riodique. 

Solutions  doublement  asymptotiques. 

II  existe  une  infinite  de  solutions  qui  appartiennent  a  la  fois  aux  deux  series 
et  qui  sont,  par  consequent,  repr^sentees  par  les  Equations  (3  bis}  pour  les 
valeurs  de  t  negatives  et  tr&s  grandes,  et  par  les  Equations  (3)  pour  les  valeurs 
de  t  positives  et  tres  grandes. 

L'orbite,  d'abord  tres  peu  diff^rente  de  celle  qui  correspond  a  une  solution 
p^riodique,  s'en  ^loigne  peu  a  peu,  et  apres  s'en  ^tre  ecarL^e  beaucoup  fmitpar 
s7en  rapprocher  asymptotiquement. 

L'existence  des  solutions  doublement  asymptotiqucs  est  un  point  d'une 
demonstration  tr&s  delicate  et  qui  m'a  donn£  beaucoup  de  peine.  En  effet,  les 
series  (3  bis)  ne  convergent  que  pour  les  valeurs  de  t  negatives  et  tres  grandes, 
les  series  (3)  pour  les  valeurs  de  t  positives  et  tres  grandes.  II  y  a  g6n&ralement 
un  intervalle  ou  aucune  des  deux  series  ne  converge. 

Divergence  des  series. 

Les  considerations  qui  precedent  peuvent  permettre  d'dlablir  que  les  series 
habituclles  de  la  M^canique  celeste  sont  divergenles;  ce  n'est  pas  qu'elles  ne 


486  SUR   LE   PROBLfcME   DBS   TROIS   CORPS. 

puissent  n£anmoins  £tre  utilement  employees;  en  efiet,  il  pent  arriver  que  les 
termes  d'une  s^rie  d^croissent  d'abord  ires  rapidement  pour  croitre  ensuite 
md^fmiment,  et  par  consequent  que  cette  s£rie,  quoique  divergente,  puisse 
servir  a  representer  une  fonction  avec  une  approximation  Ires  grande,  mais  non 
ind^finie,  Tel  est  le  cas  de  la  s£rie  c&ebre  de  Stirling  et  de  quelques  d^velop- 
pements  usit6s  en  Physique  math4matique,  Tel  esl  aussi  celui  des  series  de  la 
M6canique  celeste,  et  Tapproximation  qu'elles  fournissent  est  tres  suffisante 
pour  les  besoms  de  la  pratique.  Ce  que  je  veux  dire  de  leur  divergence  n'est 
done  pas  une  raison  pour  en  proscrire  1'usage. 

Les  series  de  M.  Lindstedt  ne  peuvent  pas  converger  unifornuSmenl  pour 
toutes  les  valeurs  de  la  constante  d'intdgration  qui  y  entre;  on  d^montre,  en 
effet,  que,  s'il  en  £tait  ainsi,  il  n'y  aurail  pas  de  solutions  asymptotiques. 

Je  prendrai  cornme  second  exemple  certuines  series  ddriv^es  des  series  (3) 
et  (3  bis).  La  s^rie  (3)  converge;  mais  nous  avons  vu  que  ses  coefficients 
peuvent  eux~m£mes  se  d^velopper  en  series  convergentes  dont  les  terrnes  sont 
rationnels  en  \/p.;  quand  on  a  fait  ce  d^veloppement,  la  serie  (3)  reste  encore 


convergente. 


Supposons  maintenant  que  1'on  d^veloppe  ces  fonctions  rationnelles  de  \/(x 
suivant  les  puissances  de  \/fx,  ce  d^veloppement  est  possible  pour  chacune 
d'elles,  Mais  si  Ton  ordonne  ensuite  la  s4rie  (3)  suivant  les  puissances 
croissantes  de  ^/JJL,  la  serie  ainsi  obtenue  devient  divergente;  on  d^montre,  en 
efTet,  que  si  elle  convergeait^  toute  solution  asymptotique  serail  doublement 
asymptotique,  ce  qui  n'a  pas  lieu, 

f  ^e  d^veloppement  auquel  on  parvient  de  la  sorte  et  qu!,  bien  que  divergent, 
peut  rendre  des  services  au  m6me  titre  que  ceux  de  M.  Lindstedt,  se  met  sous 
forme  6l£gante  si  Ton  ilimine  t  et  A  entre  les  quatre  Equations  (3)  par  les 
regies  ordinaires  du  calcul.  On  Lrouve,  en  effet,  que  a^\  et  x±  s'expriment  en 
series  ordonn^es  suivant  les  puissances  de  \J\L  et  suivant  les  sinus  et  cosinus 

des  -multiples  de  —  et  ™  • 
r  xx 

Non-existence  des  integrates  uniformes. 

Les  Equations  (i)  admettent  une  integrate  qui  s*6crit 


c^est  1'integrale  des  forces  vives;  le  premier  membre  F  est  uniforme  par  rapport 


SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS   CORPS.  487 

a    #1,    x^}    y±    et   y2?    p^riodique   de   p^riode   2?r  par   rapport  a  j^i    et  JKa? 
d6veloppable  suivant  les  puissances  de  p.. 

Je  dis  qu'il  n'y  a  pas  d'autre  int6grale  de  la  meme  forme;  c'est-a-dire  que  les 
Equations  (i)  ne  peuvent  admettre  une  int^grale 


distincte  de  la  premiere  et  ou  $  soit  p6riodique  en  ji  et  y2?  developpable 
suivani  les  puissances  de  JJL,  et  uniforme  pour  toutes  les  valeurs  r6elles  de  y± 
et  y2,  pour  les  valeurs  suffisamment  petites  de  p.  et  pour  les  vaieurs  de  x±  et 
de  #2  comprises  dans  un  certain  domaine. 

On  demontre,  en  effet,  que,  s'il  en  etait  ainsi,  les  series  de  M.  Lindstedt 
convergeraient.  Ge  resultat  est  d'ailleurs  susceptible  d'etre  g&ieralisci  de 
diverses  manures. 

Formes  des  orbites. 

On  pent  se  proposer  de  dessiner  les  orbites  correspondant  aux  diverses 
solutions  particulieres  dont  je  viens  de  parler,  et  j'ai  rintention  de  rev^nir  sur 

ce  point  dans  un  autre  article.  Pour  cela,  le  mieui  est  de  consid^rer  deux  axes 

e~ 

mobiles,  a  savoir  :  la  droite  AB  et  une  perpendiculaire  a  AB  mende  par  le 
centre  de  gravity  du  systeme,  et  de  chercher  a  dessiner  la  trajectoire  relative 
du  corps  C  par  rapport  a  ces  axes  mobiles. 

Dans  le  cas  des  solutions  p^riodiques,  cette  orbite  relative  est  une  courbe 
feznnee;  dans  le  cas  des  solutions  asymptotiques,  e'est  une  courbe  en  spirale 
se  rapprochant  asymptotiquement  d'une  courbe  ferm^e.  II  convient  d'ajouter 
que  les  diverses  spires  se  recoupent  mutuellement. 

Considerons  une  orbite  ferm^e  correspondant  ^  une  solution  p^riodiq'ue  et 
les  deux  series  d'orbites  asymptotiques  aff^rentes  £  cette  m£me  solution.  Par 
un  point  M  du  plan  passeront,  en  g6n<3ral,  une  ou  plusieurs  orbites  asympto- 
tiques de  la  premiere  s£rie,  ainsi  qu'une  ou  plusieurs  orbites  de  la  deuxieme 
serie.  Soit  T4  une  orbite  de  la  premiere  serie  passant  par  M;  soit  [3  Tangle  sous 
lequel  elle  coupe  une  orbite  T2  de  la  deuxieme  serie  passant  par  M.  Si  (3  est 
nul,  les  deux  orbites  se  confondent  en  une  seule  et  deviennent  ainsi  doublement 
asymptotiques;  il  y  a  une  infinite  de  points  pour  lesquels  il  en  est  ainsi, 

Mais,  en  g6n£ral,  (3  n'est  pas  nul;  cependant,  si  la  masse  p,  est  regard^e 
comme  un  infiniment  petit  du  premier  ordre,  on  demontre  quer  parmi  les 
angles  (3  (sous  lesquels  Tj  coupe  les  diverses  orbites  asymptotiques  de  la 


488  SUR   LE  PROBLEME   DES   TROIS   CORPS. 

deuxieme   serie   qui  passent  par   M),    ii  y  en  a  un  qui  est  infmiment  petit 
d'ordre   infini;    je   veux   dire    qu'il   est   du    m£me   ordre   de   grandeur   que 

a 

Pexponentielle  e  ^,  a  6tant  une  constante  positive. 

II  est  encore  un  autre  point  surlequei  je  desire  attirer  Pattention. 

Les  series  (3)  ne  changent  pas,  si  j'y  change  A  en  Ae06"1"7  et  t  en  £  +  T;  si 
done  on  change  A  en  AeaT,  Forbite  asymptoiique  correspondante  ne  change 
pas;  la  seule  difference  est  que  le  mobile  G  passe  en  un  m£me  point  de  cette 
orbile  a  des  6poques  diff^rentes. 

Ainsi  les  valeurs  suivantes  de  la  consiante  d'integration  A,  Ae^1,  Ae±5aT, 
Aed=3aT3  .  . .  correspondent  a  une  seule  et  m£me  orbite  asymptotique. 

II  est  done  toujours  permis,  s'il  ne  s'agit  que  de  definir  cette  orbite,  de 
choisir  la  constante  A  entre  i  et  £aT. 

Cela  pos£,  consid^rons  n  orbites  doublement  asymptotiques  quelconqucs; 
pour  des  valeurs  suffisarnment  grandes  de  £,  les  equations  de  ces  orbites 
pourront  se  mettre  sous  la  forme  (3).  A  ces  n  orbites  correspondent  n  valeurs 
de  la  constante  A  que  j'appelle  A,t,  Ai>,  ...,  A/t  et  que  je  puis  toujours 
supposer  comprises  entre  i  et  ear. 

Pour  des  valeurs  de  t  negatives  et  tres  grandes,  les  Equations  de  ces  monies 
orbites  (en  changeant  au  besoin  Torigine  du  temps)  pourront  se  mettre  sous  la 
forme  (3  bis).  A  ces  n  orbites  correspondent  alors  n  valeurs  de  la  constante  B 
que  j'appellerai  B4,  B2i  .  . . ,  B/t  el  que  je  pourrai  toujours  supposer  comprises 
entre  i  et  eax. 

Et  bien,  ce  qu'il  importe  de  remarqucr  et  ce  qui  met  bien  en  Evidence  la 
complication  du  probleme  des  trois  corps,  c'esl  que  si  A.if  A2;  . .  . ,  An  sont 
ranges  par  ordre  de  grandeur  croissante,  les  constantes,  B<|,  B^,  . . .,  Bn  seront, 
en  g£n6ral,  rangees  dans  un  ordre  tout  different. 


Invariants  integraux. 

Une  notion  nouvelle,  celle  des  invariants  intdgraux,  m'a  6te  tres  utile  pour 
d^monlrer.  les  r^sultats  qui  precedent.  Je  me  bornerai  ici  4  cinoncer  quelqnes 
propositions  saillantes  relatives  a  cette  theorie. 

Considerons  le  probleme  des  trois  corps;  pour  definir  la  situation  du 
systeme,  nous  nous  donnerons  dix-huit  variables  :  ce  seront  d'abord  les  irois 
coordonndes  j?4,  &%}  #»  du  premier  corps,  les  projections  y±,  y<>:  y%  de  la 


SUR  LE   PROBLEM E   DES   TROIS   CORPS.  489 

quantity  de  mouvement  de  ce  premier  corps  sur  les  trois  axes.  Ensuite#4,  #5. 
^6>  y*i  J^s,  ye  seront  les  quantites  analogues  pour  le  deuxieme  corps,  #7,  #8, 
&Q>  y^  y*t  y$  ^es  quantites  analogues  pour  le  troisieme  corps. 

Nous  envisagerons  alors  neuf  points  dans  un  plan  que  j'appellerai  M1? 
M2,  ...,  M9  et  dont  les  coordonnees  seront  respectivement  (#1,^1),  (a?2,y2)>  •••? 
(XQ,  yg).  Cela  pose,  consid£rons  une  solution  des  Equations  differentielles  du 
mouvement  dependant  de  deux  constantes  arbitraires  a  et  (3.  Alors  les  xi  et 
les  yi  seront  des  fonctions  du  temps  £,  de  a  et  de  (3.  Soit  p.  le  point  dont  les 
coordonnees  sont  a  et  (3;  si  le  point  p.  reste  int^rieur  a  une  certaine  aire  cr, 
les  points  MI,  M2?  .  . . ,  M0  resteront  interieurs  a  certaines  aires  S±,  S2}  ...,  S9, 
Ges  neuf  aires  se  deforrneront  et  se  d^placeront,  puisque  les  coordonnees  du 
point  Mt  dependent  non  seulement  de  a  et  [3,  mais  encore  du  temps  t\  mais 
la  somme  algebrique  de  ces  neuf  aires  demeurera  constants.  II  est  a  peine 
utile  de  faire  observer  que  certaines  de  ces  aires  pourront  avoir  des  parties 
positives  et  des  parties  negatives;  c'est  ainsi  que,  au  point  de  vue  analytique. 
1'aire  totale  de  la  lemniscate  est  nulle  parce  qu'une  des  boucles  doit  etre 
regard^e  comme  positive  et  1'autre  comme  negative. 

Supposons  maintenant  que  Ton  envisage  une  solution  ne  contenant  plus 
qu'une  seule  constante  arbitraire  a.  Si  cette  constante  a  varie  depuis  a^ 
jusqu'a  a^  les  neuf  points  MI,  Mo,  ...?  M9  vont  d^crire  certains  arcs  7,i; 
X2,  .  ..,  A9  qui  se  deplaceront  et  se  deformeront  avec  le  temps,  puisque  les 
coordonn^es  de  M,  dependent  non  seulement  de  a,  mais  encore  de  t.  Soit  Ut- 

1'integrale    ]  (2X1  dyL-\-yi  doc;}  prise  le  long  de  Fare  1£-.  Ui  sera  une  fonction 

du  temps  puisque  Fare  A/  se  deplace.  Soit  c0  la  valeur  de  la  constante  des 
forces  vives  correspondant  a  a^=a0?  et  c{  la  valeur  de  la  constante  corres- 
pondant  a  a  —  a1}  on  aura 

UiH-UsH-.-.-H  U9H-3(Ci-^C0)^  =  K? 

K  etant  une  constante  independante  du  temps. 

Stability. 

Revenons  au  cas  particulier  dont  nous  nous  sommes  occup^s  presque  exclu- 

sivement  dans  ce  travail.  Dans  ce  cas?  MM.  Hill  et  Bohlin  ont  demontr^  que  le 

rayon  vccteur  GA.  ne  peut  croilre  au  dela  de  toute  limite;  mais  il  reste  pour 

etablir  completement  la  stability  un  dernier  point  a  demontrer.  II  faut  faire 

H.  P.  —  VII.  62 


4g<>  SUR   LE    PROBLfcME   DES    TROIS  CORPS. 

voir  que  les  trois  corps  se  retrouveront  une  infinite  de  fois  aussi  pres  qu'on 
voudra  de  leur  position  initiale. 

L'existence  meme  des  solutions  asymptotiques  montre  suffisamrnent  qu'il 
existe  une  infinite  de  solutions  particuli&res  qui  ne  satisfonl  pas  a  cette 
condition.  Mais,  d'autre  part,  j'ai  d6montr£,  par  la  m^thode  des  invariants 
int^graux,  qu'il  y  en  a  aussi  une  infinite  qai  y  satisfont.  On  peut  done,  a  ce 
point  de  vue,  dire  qu'il  y  a  une  infinite  de  solutions  particulieres  instables,  et 
une  infinite  de  solutions  particulieres  stables. 

Mais  il  y  a  plus,  on  peut  dire  que  les  premieres  sont  Texception  et  que  les 
secondes  sont  la  regie,  au  m£me  titre  que  les  nombres  rationnels  sont  Fexcep- 
tion  et  que  les  nombres  incommensurables  sont  la  regie.  Je  d^montre,  en  effet, 
que  la  probability  pour  que  les  circonstances  initiales  du  mouvement  soient 
celles  qui  correspondent  a  une  solution  instable,  que  cette  probability  dis-je, 
est  nulle.  Ce  mot  n'a  par  lui-m^me  aucun  sens  :  j'en  donne  dans  mon  M^moire 
une  d^jfinition  precise  que  je  ne  crois  pas  utile  de  reproduire  ici;  mais  je  dois 
ajouter  que  le  m£me  resultat  subsisterait,  quelle  que  soit  la  definition  adopt6e, 
pourvu  qu'il  Centre  dans  cette  definition  que  des  fonctions  continues. 


SUR  L'APPLICATION  DE  LA  MfiTHODE 

DE  M.  LINDSTEDT 
AU  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS 


Comptes  rendus  de  VAcademie  des  Sciences,  t.  114,  p«  r3o5-i3og  (7  juin.  1892). 


Dans  une  Communication  que  j?ai  eu  1'honneur  de  faire  §.  TAcad^mie,  il  y  a 
quelques  ann^es  (C.  H.  Acad*  Sc.>  t.  108,  p.  21)  (i),  j'ai  expos6  la  m^thode 
de  M.  Lindsledt  sous  une  forme  nouvelle,  fondle  sur  les  principes  des  Vorle- 
sungen  ilber  Dynamlk. 

Le  but  de  la  presente  Note  est  de  montrer  d'abord  que  cetle  mtUhode  peut 
etre  appliquee  a  T^tude  des  variations  seculaires  des  ^l^ments  des  plauetes, 
mais  qu'elle  ne  peut^  sans  modification,  s'^tendre  au  probleme  des  trois  corps, 
et  quelles  sont  les  modifications  a  faire  pour  que  cela  devienne  possible. 

Voici  les  notations  qiie  j'adopterai;  je  rapporterai  la  premiere  planete  au 
Soleil,  et  la  second  e  au  centre  de  gravit6  du  systeme  form^  par  le  Soleil  et  la 
premiere  planele.  Je  designe  par  p.,  (3  et  ft1  trois  coefficients  dependant  des 
masses  :  le  premier  tres  petit,  les  deux  autres  finis. 

Pappelle  a  le  demi-grand  axe  de  la  premiere  planete,  sin  9  Fexcentrieit6, 
i  Finclinaison,  X  la  longitude  moyenne,  0  la  longitude  du  nceud,  w  celle  du 
lie,  et  je  pose  A  =  [3  \Ja  ; 

g  =  2  y/A  sin  2  cos  m,  -r\  =  —  2  \/A  sin  -?  sin  TH, 


p  =;  2  ^/A  cos  c  sin  -  cos  63         q  —  —  2  y  A  cos  9  sin  -  sin  6. 


OEuvres  de  H,  Poincare,  ce  Tome,  p. 


492  L'APPLICATION  DE  LA  M£THODE  DE  M.  LINDSTEDT. 

Je  d^signerai  les  6l6ments  correspondants  de  la  seconde  planete  par  les 
m£mes  lettres  accentu^es,  de  sorte  que  nos  douze  variables  seront  les  sui- 
vantes  : 

(A,    A',     £,     ?',    p,    X, 

(°  /    X,      V,     TI,      TJ',      ?,      q'. 

J'appelle  jxF  Penergie  totale  du  systeme.  F  sera  d4veloppable  suivant  les 
puissances  de  /JE.,  de  sorte  que  j'^crirai 

F  = 


F0  ne  d£pendra  que  de  A  et  A';  F<,  Fa,  ...  seront  d^veloppables  suivant  les 
puissances  des  variables  £,  73,  p  et  q  et  suivant  les  cosinus  et  sinus  des  mul- 
tiples de  \  et  de  V.  Je  designe  par  R  la  valeur  moyenne  de  F1  consid6r6e 
comme  fonction  periodique  de  X  et  )/. 

Si  alors  je  designe  par  ^  une  quelconque  des  variables  de  la  premiere  ligne 
du  tableau  (  i  ),  etpary^la  variable  correspondante  de  la  deuxieme  ligne,  les 
equations  du  mouvement  pourront  s?6crire 

f^  ^£__^F  dyL__dF_ 

^   }  dt  —  dy?  dt    ~~       dast 

Les  fondateurs  de  la  M^canique  cdleste  ont  &t&  conduits  a  envisager  les 
Equations  suivanles  : 

dxi  _      dE.  dyt  _  ^^ 

()  'di-PfyS        ~3t  "~~IJ-^' 

Dans  ces  equations,  nous  ne  d^signons  par  x-t  et  yi  que  les  variables  des 
quatre  dernieres  colonnes  du  tableau  (  i  ).  R  ne  d6pend  ni  de  A,  ni  de  7J  et  nous 
regardons  momentan&nent  A  et  A'  comme  des  constantes.  L'importance  des 
Equations  (3)  provient  de  ce  qu'elles  nous  font  connaitre  les  plus  considerables 
des  variations  que  peuvent  subir  £,  73,  p,  q,  .  .  .,  de  ce  qu'elles  peuvent,  en 
d'autres  termes,  nous  fournir  une  premiere  approximation  pour  le  calcul  des 
variations  s^culaires  de  ces  quantites. 

Pour  rendre  la  m^thode  de  la  Communication  cit^e  applicable  aux  Equa- 
tions (3),  il  faut  profiler  de  la  petitesse  des  quantites  £,  yj,  .  .  .  ;  soit  £  un  coef- 
ficient tres  petit  et  posons 

g  =  e£i,        -O  =  s*/)i5        Jf>  =  s/>i,        ^  =  £^1,        ?/==£?'i5 
R  devient  d^veloppable  suivant  les  puissances  croissantes  de  s2  etnouspouvoni 

R  = 


L'APPUCATION   DE   LA   M^THODE   DE   M.    LINDSTEDT.  4<)3 

et  poser 


Prenons  ensuite  de  nouvelles  variables  p/,  CD/  (i  =  i  ,  2,  3,  4)  d^finies  de  la 
fagon  suivanle  :  £,  YJ,  JP,  #,  ,  .  .  sont  des  fonctions  lin^aires  convenablement 
choisies  dcs  \/p/cosav  ct  des  v/p/sinco/;  le  choix  doit  elre  fail  de  telle  faron 
que  R2  ne  depende  plus  qae  des  p/  et  non  des  &>/.  Les  equations  (3)  deviennent 
alors 

rfpz       rfR'          rfcoi  rfR' 


et  la  m^thode  de  la  Communication  citee  leur  est  directement  applicable, 
puisque  R'  est  developpable  suivant  les  puissances  de  £2  et  que  R2  ne  depend 
pas  des  oo/.  D'ou  cette  consequence  :  les  variations  s^culaires  des  excentricit^s 
et  des  inclinaisons  calcul^es  par  les  Equations  (3)  peuvent  se  mettre  sous  la 
forme  d'une  somme  de  termes  p^riodiques.  Lagrange  et  Laplace  avaient 
demontre  ce  resultat  en  n^gligeant  les  cubes  des  excentricit^s;  Le  Vrerrier  et 
Cell^rier  en  en  negligcant  les  cinquiemes  puissances.  On  voit  qujil  est  vrai, 
quelque  loin  que  Ton  pousse  Fapproximation. 

L'int<igration  des  Equations  (3)  mises  sous  la  forme  (3  bis)  revient  a  Finte- 
gration  de  liquation  aux  deriv6es  partielles  suivante  : 


=  const* 
Je  suppose  que  R  ait  4t4  exprim6  en  fonction  de  p/  et  de  wz-  et  que  p/  y  ait  el6 

Tnp 

ensuite  remplace  par  la  d^riv^e  correspondante  -^ —  de  la  fonction  inconnue  T. 

La  m^thode  de  la  Communication  cit£e  nous  fournit  une  integrate  de  liqua- 
tion (4)  dependant  de  quatre  constantes  arbitrages  V,.  Si  Ton  pose  alors 

-    dT  dT 


on  peut  considerer  les  Equations  (5)  comrne  definissant  un  changement  de 
variables,  les  variables  nouvelles  £tant  les  V/  et  les  p/  et  les  anciennes  les  p/  et 
les  &)j.  Le  th^oremc  de  Jacobi  nous  apprend  alors  qu'on  obtiendra  les  integrates 

des  Equations  (3)  en  egalant  les  V;  et  les  -~  It  des  constantes. 

Passons  maintenant  au  probleme  des  trois  corps  proprement  dit,  c?est-a-dire 
aux  Equations  (2).  Pour  que  la  m^thode  de  M.  Lindstedt  telle  que  je  Pai 


4g4  L'APPUCATION  DE  LA  METHODE  DE  M.  LINDSTEDT. 

exposee  fut  applicable  a  ces  Equations,  il  faudrait  que  F0  d^pendit  a  la  fois  de 
tous  les  Xi]  elle  le  serai t  encore  sans  modification  sensible  bien  que  F0  ne 
d^pende  que  de  A  et  A'  et  non  de  tous  les  #,-,  si  F  Slait  periodique  par  rapport 
aux  yi  et  si  R  ne  dependait  pas  des  yi. 

Ces  conditions  ne  sontpas  rernplies  d'elles-mSmes,  mais  on  pent  arriver  a  j 
satisfaire  par  un  changement  de  variables  convenablc. 

Reprenons   les   variables  V,  et  vt  d6finies    par  les  Equations  (5).    Soient 
ensuite  X2  et  X'2  deux  variables  nouvelles  telles  que 

^  et  fyr  6tant  deux  fonctions  convenablement  choisies  de  A,  A',  V/s  ^/.  Prenons 

alors  pour  variables  nouvelles 

A,     A',     V/, 


Les  Equations  conserveront  la  forme  (2),  a  la  condition  que  xi  d^signe  une 
variable  quelconque  de  la  premiere  lignedu  tableau  (6)  el  yi  la  variable  corres- 
pondanie  de  la  seconde  ligae.  F0  ne  depend  encore  que  de  A  et  A',  mais  F  est 
periodique  par  rapport  aux  yi  et  R  ne  depend  pas  des  y^  La  m^thode  est  done 
applicable. 

Une  difficult^  subsiste  encore  cependant.  CeLte  rnethode  nous  permet  de 
d6velopper  nos  inconnues  suivant  les  puissances  cle  \i\  mais  les  coefficients  de 
ce  d^veloppement  contiennent  des  termes  qui  ont  au  d(5nominateur  certaines 
puissances  des  excentricite's;  la  ixi6thode  pourrait  done  devenir  illusoire  si  les 
excentricit^s  6taient  tres  petites,  comparables  par  exemple  aux  masses  ou  a 
leurs  racines  carries. 

L'origine  de  cette  difficult^  est  la  suivante.  J'ai  dit  que  F  est  developpable 
suivant  les  puissances  des  £,  73,  /?,  q,  .  .  .  ;  de  plus  F  contient  des  termes  du 
premier  degr^  par  rapport  £  ces  variables.  Si  ces  termes  du  premier  degre 
n'existaient  pas,  on  n'aurait  pas  a  craindre  de  voir  apparattre  des  puissances 
negatives  des  excentricit^s  . 

J'ai  done  ^t^  conduit  a  faire  dans  certains  cas  un  changement  de  variables 
pr^alable.  Mes  variables  nouvelles  s'appelleront 


i,     X'l3     TQl3     Tfj'^     q^ 
et  je  choisirai  ces  variables  de  telle  sorte  : 

j°  que  les  equations  conservent  la  forme  (2)  ; 


L'APPLICATIQN    DE    LA    METHODE   DE   M.    LINDSTEDT.  4§5 

2°  que  pour  les  solutions  p6riodiques  que  j'appelle  de  la  premiere  sorte,  et 
que  j'ai  e'ludie'es  dans  mon  Ouvrage  intitule  Les  methodes  nouvelles  de  la 
Mecanique  cgleste,  on  ait 

Si  =  S'i  =  *ni  =  'i  i  =  °- 

Alors  Pexpression  de  F  avec  les  variables  (7)  a  la  merne  forme  qu'avec  les 
variables  ( i ).  mais  avec  cetle  difference  que  F  ne  contient  plus  de  termes  du 
premier  degre*  par  rapport  au&£i,  731,  jo,  g,  ....  La  difficult^  a  done  disparu. 

Inutile  d'ajouter  que,  comme  dans  la  me'thode  ordinaire  de  M.  Lindstedt,  les 
series  ne  soiit  pas  convergentes,  niais  seulement  semi-convergentes  au  sens  de 
Stirling,  ce  qui  limite  les  conditions  dans  lesquelles  on  peut  s'en  servir.  Je 
n'insisterai  pas  sur  certains  proc^d^s  de  detail  qui  permettent  d'dviter  quelques- 
uns  de  ces  changements  de  variables,  ni  sur  les  avantages  que  pre"sente  la 
methode  expos^e  dans  cette  Note  sur  celle  que  M.  Lindstedt  avait  proposee,  il 
y  a  long  temps  deja,  pour  uii  probleme  analogue,  dans  le  tome  97  des  Comptes 
rendus-  J'avais  deja,  ily  a  quelques  amiees,  developp6  quelques-unes  des  consi- 
d^rations  qui  precedent  dans  mon  enseignement  a  ]a  Sorbonne. 


SUR 

UNE  FORME  NOUVELLE  DES  EQUATIONS 
DU  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS 


Comptes  rend,as  de  VAcademie  des  Sciences,  t.  123,  p.  io3j-io35   (i4  deccmbre  i8«j6). 


Soient  irois  corps  A,  B,  C  s'atlirant  d'apr£s  la  Joi  do  New  ton;  soient#l5  a?2, 
#3  les  coordonn^es  de  A;  #/0  a?3,  x&  cclles  de  B;  #7?  #78,  XQ  celles  de  C;  s.oit 
nii  =  m2  =  m%  la  masse  de  A,  m/t=m^  =  mc>  celle  de  B,  mn  =  ms  =  m^  celle 
de  C  ;  soit 


TT  _      i      i  ^-i  ,     ~t  __          y 

u  -        ~~~  " 


On  sail  que  les  equations  du  mouvement  peuvent  s'ecrire 


ou  encore  sous  la  forme  canonique 


_  ctF 


On  ne  restreint  pas  la  g&aeralite"  en  supposant  le  centre  de  gravite  fixe,  et 
Ton  peut  profiler  de  cette  circonstance  pour  abaisser  le  nombre  des  degr^s  de 
liberl^.  Gette  reduction  peut  s'op^rer  de  plusieurs  manieres.  Voici  les  deux 
manieres  qui  ont  ^te  propos6es  : 

i°  On  peut  faire  le  changement  de  variables  que  j?appellerai  (y)  et  qui  est  le 
plus  usuel.  II  consiste  a  poser 

X\  —  Xi  —  #7}  a/2  =  X*  —  #8}  X'«  ==  Xs  —  279? 

^'4  =  ^—^75  ^3  =  ^5—^8,  a?e  =  ^6—  ^Oj 


SUR   UNE   FORME   NOUVELLE   DES    AQUATIONS   DU   PROBLEMS    DES   TROIS    CORPS.  497 

Les  Equations  ne  conservent  plus    alors   la   forme  canonique;    mais    elles 


deviennent 


dt   ~~  dy'S  dt 

dx'L        dF.  dy\ 


ou 


AB 

2y'iA         m-i  m\ 
— .— — —       — 
2  /n/  A  B 


BC 


2°  Oa  peut  faire  le  changement  de  variables  que  j'appellerai  (P),  eL  qui 
consiste  a  poser  (en  appelant  gl3  £3,  ^3  les  coordonnees  du  centre  de  gravit^  des 
deux  corps  A  et  C), 


/?^l-^-77^7 

Les  Equations  conservent  alors  leur  forme  canonique  et  s'^crivent 


La  forme  des  int6grales  des  aires  n'est  pas  non  plus  alt^ree. 

Le  changement  ((3)  parait  done  tres  avantageuz,  mais  cependant  il  n'a  pas 
6t6  adopt6  jusqujici  dans  la  pratique,  sans  doute  parce  que  la  forme  de  la  fonc- 
tion  perturbalrice  y  est  plus  compliqu^e. 

3°  C'est  pourquoi  je  crois  devoir  appelerTattention  surun  Lroisieme  change- 
ment de  variables  que  j'appellerai  (a).  Posons 


Avec  ce  changement  de  variables  : 

i°  la  forme  canonique  des  Equations  ne  sera  pas  alt6r£e; 

2°  la  forme  des  integrates  des  aires  ne  sera  pas  non  plus  alt£r£e  ; 

H.  P.  —  VII,  G3 


B  SUR  UNE  FORME  NOUVELLE  DES  AQUATIONS  DU  PROBLEMS  DES   TROIS  CORPS. 

3°  la  fonction  F  deviendra 


en  posant,  pour  abr^ger, 


,  __ 

*  ~~ 


La  forme  de  la  fonction  perturbalrice  est  done  tout  aussi  simple  que  dans  le 
cas  du  changement  de  variables  (y). 

Pour  mieux  nous  en  rendre  compte,  exprimons  tout  en  fonction 
osculateurs.  Solent 


#i=9i(L,  G5  8,  I,  g,  6),        a:s=?s(L}G,e,  l>  g,  6),        a?3=93(L,  G,  0,  /,  ^,  0) 

les  Equations  du  mouvement  elliptique,  ou5?l5  ^27  ^?y  d^signent  les  coordonn^es 
rectangulaires  du  point  mobile,  1  1'ano.malie  moyenne,  0  la  longitude  du  noeud, 
^4-0  celle  du  p6rih61ie,  et  ou,  a,  ^,  ?  d^signant  le  grand  axe,  1'excentricit^  el 
1'inclinaison,  on  a 

L  =5  \J~a^         G  =  /a(i  —  <52),         6  =  G  cos  t. 

Posons  alors  (en  appelant  |3  et  p7  deux  coefficients) 


,  . 

J  A      L'-{  ^'  '         ^  5  —  L'3  <#'  '         ^  6  ~  L/3  ^' 

Dans  les  Equations  de  la  premiere  Hgne,  les  fonctions  cp  dependent  des  six 
variables  L,  G,  ®,  ^  g^^\  dans  celles  delasecondeligne,  elles  dependent  de  six 
variables  analogues  L',  G7,  6',  Z',  ^,  9f.  Ges  Equations  d^finissent  ces  douze 
variables  que  Ton  peut  appeler  les  Elements  osculateurs  et  qui  sont  tres  pen 
diff^rents  sans  £lre  exactement  les  memes  avec  les  trois  changements  de 
variables  (a),  ((3)  et  (y). 

La  forme  canonique  des  Equations  n'est  pas  alt4r<5e  par  ce  nouveau  chan- 
gement de  variables.  On  a  d'abord 

dl  __  _^F_  dl  _       dF 

dt~~  $dL*          dt  "        i^Z5 


ainsi  que  deux  Equations  analogues  que  Pon  obtisnt  en  changeant  L  el  I  en  G 
et  g9  et  deux  autres  qu?on  obtient  en  changeant  L  et  I  en  8  et  9. 


SUR   UNE   FORME   NOUVELLE   DES   AQUATIONS  DU   PROBLEMS   DES   TROIS  CORPS.  49$ 

Avec  le  changement  de  variables  (y),  ilfaut,  dans  ces  six  equations,  changer 
enFi. 

On  a  ensuite 

dlr  _         dF  dLr  _        dF 

dt  ""       pJ'^L''          dt  ~"       $'  dl'' 

ainsi  que  deux  Equations  analogues  que  Ton  obtient  en  changeant  U  et  lf 
en  G7  et  g^  et  deux  autres  que  Ton  obtient  en  changeant  U  et  f  en  &  et  0;. 

Dans  le  cas  ou  Ton  adople  le  changement  de  variables  (y),  il  faut  dans  ces 
six  equations  remplacer  F  par  F2. 

Tl  convient  de  prendre  :  avec  le  changement  (a) : 


ymi  -4-  7717 
avec  le  changement  ((3) : 

J3  = 


avec  le  changement  (y)  : 


II  est  aise  alors  de  comparer  la  forme  des  diflferentes  fonctionsperturbatrices* 
Pour  cela,  je  poserai;  pour  abr6ger, 


et  je  supposerai  vj;  exprim^  en  fonction  des  douze  elements  osculaleurs. 

La  fonction  perturbatrice  se  composera  alors  d'une  partie  principale 
qui  sera  la  meme  avec  les  deux  changements  (a)  et  (y),  et  d?un  terme 


raentaire  qui  sera  m      Jy3  ^avecle  changement  (a),  ^~  -~^  pOUrFi  avec 

le  changement  (y),  ^^  -^  pour  F2  avec  le  changement  (y). 

On  voit  que  ces  trois  termes  compUmentaires  peuvent  se  d^duire  facilement 


de  Tun  d'entre  eux* 


RUR 

UNE  FORME  NOUVELLE  DES  EQUATIONS 
DU  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS  (') 


Bulletin  Astronomique^  t.  11,  p.  53-67  (fevrier  1897). 


Solent  A,  B3  C  les  trois  corps;  soient  o?4,  #2,  x^  les  coordonn^es  du  point  A; 
#4,  #5,  #o  celles  du  point  B;  #7  o?a,  #9  celles  du  point  C. 

Pour  plus  de  symetrie  dans  les  notations,  je  d^signerai  indiff6remment  la 
masse  du  corps  A  par  m^  m<>,  m^\  et  de  m£me  la  masse  du  corps  B  par 
ou  7nG;  et  celle  du  corps  C  par  m7,  m$  ou  mQ. 

Je  poserai 


de  lelle  fa^on  que  par  exemple  j"i,  y»  et  y*  soienL  les  composantes  de  Ja  quan- 
tit4  de  mouvement  du  corps  A, 
La  force  vive  T  sera  alors 


2       dt 


D'autre  part,  si  Ton  choisit  les  unites  de  lelle  fagou  que  la  conslante  de 
Gauss  soit  £gale  a  i ,  la  fonclion  des  forces  U  s'^crira 


m\  m\        m\  m-t        m\  m- 

AB     "HTG~"h~lG"' 


(l)  Ce  Meraoire  est  reproduit  dans  le  Tome  21  des  Ada  MaUiematica,  p.  88-^7. 


SUR   UNE   FORME    NOUVELLE   DES   AQUATIONS   DU    PROBLEMS   DES   TROIS   CORPS.  OOI 

Si  nous  posons  F  =  T  —  U?  la  fonction  F  d^pendra  des  x  et  des  y  et  les 
Equations  du  mouvement  pourront  se  mettre  sous  la  forme  canonique 


Supposons  maintenaixt  que  Ton  change  de  variables  et  soient  x\  ,  y\  (i  =  i, 
2,  .  .  .  ,  9)  les  dix-huit  variables  nouvelles.  Quelle  est  la  condition  pour  qu'apres 
ce  changement  de  variables  les  Equations  conservent  la  forme  canonique  ? 

La  condition  necessaire  et  suffisante  est  que  ^x\  dy\  —  ^Xidyt  soit  line 
differentielle  exacte  (  '  ). 

Si  cette  condition  est  remplie,  les  Equations  deviendronl 

dx't 

-= 


Examinons  en  particulier  le  cas  ou  les  x\  sont  des  fonctions  lineaires  des  xt 
et  les  y[  des  fonctions  lineaires  des  yi. 

La  condition  prec^dente  peut  alors  s'^noncer  d'une  aulre  maniere  :  la  condi- 
tion necessaire  et  suffisante  pour  que  la  forme  canonique  des  Equations  ne  soit 
pas  alt£r^e  est  qu'on  ait  identiquement 

(2)  syx  = 


Faisons  une  hypothese  plus  particuliere  encore  et  supposons  : 

i°  Que 

x\>     sc\3     x'-,     dependent  seulement  de    ac\^    x^     #7 


,73  »  y«»  Xo  5>  ^'-b  j-'o,  ,VD 

2°  Que  les  relations  lingaires  qui  lient  ^'2}  x'^  %i  a  ^?2l  a?5,  a?8,  et  celles  qui 
lient  #3,  a?'a,  a?'9  a  ^J:  ^0,  ^9  soient  les  ineines  que  celles  qui  lient  x\,  x\,  x\  a 

X*)  Xk>  Xi\ 

3°  Que  de  mdme  les  relations  lineaires  qui  lient  ys,  ys,  yg  a  J2,  Js,  Js  et 
celles  qui  lient  7',,  /0,  /,  ay,J?  ^«,  JK9  soient  les  memes  que  celles  qui  lient  y\, 


l  )  Voir  aux  Notes,  Principes  de  M&canique  analytique. 


502  SUR  UNE  FORME  NOUVELLE   DES  EQUATIONS  DU  PROBLEMS   DES   TROIS  CORPS. 

Cette  troisieme  hypoth&se  est  cTailleurs  une  consequence  n^cessaire  des  deux 
premieres  et  de  Pidentit^  (2). 

Dans  ces  conditions,  Fidentit^  (2)  peut  etre  remplac£e  par  la  suivanle  : 


(  2  b  is  )  y\  x\  -4-  yi  x'k  ^-y!!<z'7=ytxl-+-  j/,  a?*  ~4~  7?  &i  - 

Si  en  effet  Tidenlite  (2,  bis)  a  lieu,  on  en  d^duira  une  seconde  en  augmentant 
tous  les  indices  d'une  unite  et  une  troisieme  en  augmentant  encore  une  fois 
tous  les  indices  d'une  unit6.  La  somme  de  ces  trois  identitds  ne  sera  autre 
chose  quo  1'identit^  (2), 

Mais  ce  n'est  pas  tout  :  nous  avons  suppos£  que  #'3,  a?'c,  x\  sont  li£s  a  ^3,  #6, 
Xv^  par  les  m&mes  relations  que  x\,  x\,  x\  a^?i,  xk,  x^  et  j/-'3,  y\.,  y&  li^s  a  y2, 
8,  paries  m^mes  relations  que/13  y\,  y\  a  y^  yA,  y7. 

L'identite  (2  bis)  subsistera  done  quand  on  j  changera 


en 


On  aura  done 

ya  ^3  H-  7'3  a?'c  H-  ys  ^i  =  r  a  ^ 
el  de  m^me 

rt  tf*  •+•  7c  ^3  •+•  .7y  ^s  ==  73  ^2  -+-  Jo 
et  en  retranchant 


Or  le  second  membre  n'est  autre  chose  que  le  premier  moment  de  rotation 
du.syst&me,  qui  doit  £tre  constant  en  vertu  de  liquation  des  aires.  On  voit  que 
1'expression  de  ce  moment  de  rotation  en  fonction  des  x'  et  des  y*  a  la  meme 
forme  que  son  expression  en  fonction  des  x  et  des  y. 

La  forme  de  U  equation  des  aires  rtest  done  pas  altgree  par  notre  c/ian- 
gement  de  variables. 

Premier  exemple.  —  Nous  satisferons  a  Fidentite  (2  bis)  en  faisant 

7i  =  7t>        7*  =  7^    '     a?7=^7»        a?i  —  a?7««i}         «?*  —  a?7  =  «i, 

77  =71-^7^  ~H  77- 

Ce  changement  de  variables,  dont  nous  ferons  un  frequent  usage  dans  la 
suite  et  que  nous  appellerons  le  changement  (a),  a  une  signification 
trique,  tres  simple. 


SUR  UNE  FORME  NOUVELLE  DES  EQUATIONS  DU  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS.     5o3 

Les  variables  iiouvelles  x\,  #'2,  .  .  .,  x\  sont  les  coordonn^es  relatives  des 
points  A  et  B  par  rapport  a  des  axes  mobiles  passanl  par  le  point  C. 

Les  variables  -L,  £L,  •••>--  sont  les  composantes  des  vitesses  absolues  de 
ces  deux  points  A  et  B. 

Deuxi&me  exemple.  —  -  Un  deuxieme  exemple  qui  ne  difFere  pas  essentielle- 
ment  du  premier  est  le  suivant  : 


m\x\ 


J'ai  dit  que  ce  second  changement  de  variables  ne  difFere  pas  essentiellement 
du  premier,  voici  pourquoi  : 

On  ne  restreint  pas  la  g£n^ralit£  en  supposant  que  le  centre  de  gravity  du 
systeme  est  fixe,  c'est-a-dire  que 


Si  Pon  fait  cette  hypothese,  les  valeurs  de  x\,  x\,  y'^  y'^,  jr'7  sont  les 
memes  dans  les  deux  systemes;  les  valeurs  de  #'7  seules  different;  mais  cette 
difference  n'a  rien  d'essentiel.  La  fonction  F  depend  en  efFet  des  differences 
des  coordonnSes  des  trois  points  A,  B,  C.  Elle  depend  done  de  x\  =  x\  —  #7  et 
de  x\  =  x-t  —  #7 ;  mais  elle  ne  depend  pas  de  xls 

Troisi&me  exemple.  —  Avec  le  troisieme  exemple  je  retombe  sur  un  chan- 
gement  de  variables  connu  et  que  j'appellerai  le  changement($). 
Soient 

m\  =  m'%  =  77i  3  ?         m!k  =  m  's  =  m'& ,         7717  =  mr$  =  m'9 , 

trois  coefficients  constants  analogues  aux  masses.  On  voit  que,  pour  conserver 
la  sym^trie  des  notations,  je  represents  indifFereniment  le  premier  de  ces  coef- 
ficients par  m'1}  m'^  ou  m'3  de  meme  que  j'avais  represente  indifferemment  la 
masse  du  corps  A  par  m\j  m%  ou  m3. 
Soit 

_     *dx'i 

Dans  ces  conditions;  les  yt  sont  lies  aux  yt  par  les  monies  relations  que  les 


504  SUR   UNE   FORME  NOUVELLE   DES  EQUATIONS  DU   PROBLEMS   DES   TROIS   CORPS. 

mt  x\  aux  miXi  et  les  identites  (2)  et  (2  bis)  peuvent  £tre  remplac^es  par  les 

suivantes  : 

(3)  5X<2=  S/n/a??, 

(3  bis)  m\  x'f  -h  m\x'?  -h  flittf,2  =  mi#?  ~h  »?<„#,?  -4-  w7#7« 

L'identit^  (3)  nous  montre  en  outre  que  la  force  viveT,  exprim^e  enfonction 
des  nouvelles  variables,  s'^crira 


rp    

1  -  x  ~~l  ~3*~ 

Ainsi,  non  seulement  avec  le  changement  de  variables  ((3)  la  forme  canonique 
des  equations  n'est  pas  ake^e  de  meme  que  la  forme  des  integrates  des  aires, 
mais  il  en  est  de  meme  de  la  forme  de  Fequation  des  forces  vives. 

II  reste  a  voir  comment  on  pourra  satisfaire  a  Fidentite  (3  bis),  Gela  peut  se 
faire  d'une  infinite  de  manieres.  Voici  celle  qui  est  ordinairement  usitee  et  que 
nous  adopterons. 

Soit  G  le  centre  de  gravite  des  trois  corps;  D  celui  des  deux  corps  A  et  C. 

Nous  appellerons  #7,  #'8,  #'0  les  coordonnees  du  point  G;  £,  YJ,  ?  celles  du 
point  D  et  nous  poserons 

de  telle  sorte  que  x\,  x\,  x'..  soient  les  coordonnees  du  point  A  par  rapport^, 
des  axes  mobiles  passant  par  le  point  G;  et  x\,  x'.,  x'f>  celles  du  point  B  par 
rapport  a  des  axes  mobiles  passant  par  le  point  D. 
Nous  poserons  d'ailleurs 


. 
m-,  =  m  i  •+-  m .,  -h  m7 . 

Les  propri^t^s  du  changement  de  variables  ({3)  ainsi  d^fini  ont  ^t6  etudi^es  par 
M.  Radau  (Annales  de  VEcole  Normale,  irc  s6rie,  t.  V). 

Les  deux  changements  de  variables  (a)  et  ((3)  ont  d'ailleurs  en  commun  la 
propri^t^  de  ne  pas  alterer  la  forme  canonique  des  Equations,  ni  la  forme  des 
integrates  des  aires;  de  plus,  ils  permettent  d'abaisser  de  9  a  6  le  nombre  des 
degr^s  de  liberty. 

En  effet,  dans  Fun  et  Fautre  cas,  la  fonction  F  ne  depend  que  des  yr  et  des 
six  premieres  variables  x\  ;  mais  elle  est  ind^pendante  de  ^'7,  a?'8,  et  x'^.  D'autre 
part,  on  ne  restreint  pas  la  g^n^ralit^  en  supposant  le  centre  de  gravit^  fixe,  ce 
qui  entraine  les 


SUR  UNE  FORME  NOUVELLE  DES  EQUATIONS  DU  PROBLEMS  DES  TROIS  CORPS.     5o5 

Si  Ton  annule  doncy?,  ys,  y\^  F  ne  depend  plus  que  des  douze  variables  x\ 
(i  =  i,  2,  .  .  . ,  6)  et  les  equations  (i  bis)  peuvent  s'ecrire 


avec  six  degr^s  de  liberte  seulement. 

Methode  usuelle. 

Malgr^  les  avantages  que  presente  le  changement  ((3)  et  bien  qu'il  soit  connu 
depuis  longtemps,  on  sail  qu'il  n*est  pas  le  plus  usil6  dans  la  pratique.  On  iui 
prefere  d'ordinaire  un  changement  de  variables  que  j'appellerai  le  change- 
merit  (y)  et  dont  les  propri^t^s  sont  loin  d'etre  aussi  elegantes.  On  pose 


—jr~ 


m(  =  ntf     (i  =  i,  2,  .  . . ,  6),         y'.  =  m't  — ; —     (i  =  i,  2,  ....  q). 

i  *•          \  J          '  *  3  /3  «. '   i  i-          .J  M.  \  5         3  >     %J  / 

Oa  voit  que  xl:  x'&,  oc\  sont  les  coordonn^es  du  centre  de  gravit^  G;  que  x\, 
x'.y ,  x'z,  x\i  ^'n  x't  sont7  comme  dans  le  changement  (a),  les  coordonn&es 
relatives  des  points  A-  et  B  par  rapport  a  des  axes  mobiles  passant  par  le 

point  C.  Mais  les  variables  ~  (1=1,2,  .  .  .,  6),  an  lieu  de  repr6senter,  comme 

dans  le  changement  (a),  les  composantes  des  vitesses  absolues  des  points  A 
et  B,  repr^sentent  les  composantes  des  vitesses  relatives  de  ces  deux  points  par 
rapport  aux  axes  mobiles. 

II  est  ais6  de  voir  que  le  changement  (y)  ne  satisfait  pas  aux  identit6s  (2), 
(2  bis},  (3)  et  (3  bis}]  il  ne  conservera  done  ni  la  forme  canonique  des  6qua- 
tions3  ni  la  forme  des  in l6g rales  des  aires. 

Supposons  cependant  que  le  centre  de  gravit^  soit  fixe;  de  telle  sorte  que 
y'r]=y'&=yf^  =  oi  on  sail  que  les  Aquations  pourront  se  mettre  sous  la  forme 
suivante.  que  Ton  pourrait  appeler  semi-canonique  : 
7'3c'i        dFi  dy'  dFt 


(4) 


_. 7  (i  =  i.  2,  3), 

dt         dvf,  dt  dx't 


«-    *,,     (-^5'6>' 


ii.  P.  —  vn. 


5o6  SUR  UNE   FORME   NOUVELLE   DES   EQUATIONS   DU   PROBLEMS    DES   TROIS   CORPS. 

OU 


On  voit  en  quoi  les  douze  Equations  (4)  different  des  dquations  canoniques. 

La  fonction  qai  joue  le  role  de  la  fonction  F  n'est  pas  la  m£me  dans  ces 
douze  Equations;  elle  est  £gale  a  F4  dans  six  d'entre  elles  el  a  F2  dans  les  six 
autres.  G'est  ce  que  Ton  exprime  quelquefois  en  disant  que  la  fonction  pertur- 
batrice  n'est  pas  la  mesme  pour  les  deux  planetes. 

Elimination  des  noeuds. 

Ce  qu'on  doil  appeler  Vorbite  osculatrice  du  point  A  ou  du  point  B  n'est  pas 
la  mSme  chose  suivant  que  Ton  adopte  le  changement  (a)  ou  Tun  des  change- 
ments  ((3)  ou  (y). 

Dans  Phypothese  (a),  le  plan  de  Porbite  A  passe  par  la  droitc  AC  el  par  ]a 
vitesse  absolue  du  point  A  et  le  plan  de  Porbite  de  B  passe  par  la  droile  BC  et 
par  la  vitesse  absolue  du  point  B  (je  suppose  to uj ours  le  centre  de  gravite 
fixe). 

Dans  Phypothese  ((3),  le  plan  de  Porbite  de  A  passe  par  la  droite  AC  et  par  la 
vitesse  relative  du  point  A  par  rapport  a  C;  le  plan  de  Porbite  de  B  passe  par 
la  droite  BD  et  par  la  vitesse  relative  du  point  B  par  rapport  a  D. 

Dans  Phypothese  (y),  le  plan  de  Porbite  de  A  passe  par  la  droite  AC  et  par  la 
vitesse  relative  du  point  A  par  rapport  a  G;  le  plan  de  Porbite  de  B  passe  par 
la  droite  BC  et  par  la  vitesse  relative  du  point  B  par  rapport  a  C. 

Nous  avons  vu  que  les  changements  (a)  et  ((3)  conservent  la  forme  des  inte- 
grales  des  aires;  mais  il  n'en  est  pas  de  meme  du  changement  (y).  II  en  r6sulte 
une  importante  propri^t^  des  orbites. 

Dans  Phypothese  (a)  comme  dans  Phypothese  ((3),  Pintersection  des  plans 
des  deux  orbites  est  dans  le  plan  invariable,  mais  il  n'en  est  plus  de  m£me 
dans  Phypothese  (y). 

II  semble  que  tous  ces  avantages  auraient  du  faire  substituer  le  changement 
((3)  au  changemenl  (y).  Si  Pon  ne  Pa  pas  fait,  c'estsans  douteparce  quele  d6ve- 
loppement  de  la  fonction  perturbatrice  est  un  peu  plus  compliqu^  dans  Phypo- 
these ((3).  C'est  pour  cette  raison  que  je  crois  devoir  attirer  Pattention  sur  le 


SUK  UNE  FORME  NOUVELLE  DES  EQUATIONS  DU  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS.     607 

changement  (a)  qui  n'a  pas  encore  616  propos£,  qui  rtaltere  ni  la  forme 
canonique  des  equations,  ni  la  forme  des  integrates  des  aires  etquiconduit 
a  un  developpement  de  la  fonction  perturbatrice  tout  aussi  simple  que  le 
changement  ((3).  G'esl  ce  dont  nous  nous  rendrons  inieux  comple  en  com- 
parant  dans  les  trois  cas  la  forme  du  developpement. 

Mouvement  elliptique. 

Soil  une  masse  mobile  m  altiree  par  une  masse  fixe  M  situ^e  a  Forigine,  son 
mouvement  sera  k^plerien. 

Solent  a,  e,  i,  /,  g*  +  9,  etQ  le  demi-grand  axe,  Fexcenlricit^j  Finclinaison, 
Fanomalie  moyeniie,  la  longitude  du  p6rih£lie  et  celle  du  nceud.  Soit 

L  =  \/a,         G  ==  \Ja(\  —  e»),        0  =  G  cos  i. 

Nous  pouvons  exprimer  les  trois  coordonn^es  o?i,  x^  XA  de  la  masse  mobile 
m  en  fonclion  des  six  variables,  L,  G,  ®7  /,  g,  0;  ecrivons  done 

^  =  cp,(G7  0,0,  I,  ff,  8)        (1=1,  2,3). 
Posons  d'aulre  part,  en  appelant  n  le  moyen  mouvement  , 

d&i       m  V/M  dot 


Les  fonctions  9^  jouissent  de  deux  propri^t^s  qui  nous  seront  utiles  dans  la 
suite;  elles  satisfont  d'abord  a  Pinl^grale  des  forces  vives 


__  _  __ 

~^™>        v'S^  ~"        2  L2 
D'autre  part,  Texpression 

Sj  dx  —  m  v/M  (  L  dl+  Gftg 
est  une  difF6rentie!le  exacte. 


Emploi  des  variables  k^pleriennes. 

Gonsid^rons  les  variables  x\  el  y\  (i=i9  2.  .  .  .,  6)  d^finies  par  Fun  des 
trois  changements  (a),  ((3)  on  (y);  nous  aliens  faire  unnouveau  changement  de 
variables  en  remplagant  ces  douze  variables  par  douze  variables  nouvelles 

L,      G3      8,     /,     g,      8, 
L',     G',     6',     V,    #',     0'. 


5o8  SUR  UNE   FORME  NOUVELLE  DES  EQUATIONS  DU  PROBLEMS   DES  TROIS   CORPS. 

Ces  douze  variables  nouvelles  seront  definies  de  la   maniere  suivonte;  nous 

poserons 

X'L  =  S£(L,  G,  0,  /,  £,  0), 


A  =4,  5,  (5). 


Les  douze  variables  difmies  par  ces  Equations  (5)  pourront  s'appeler 
variables  kepleriennes,  ou  bien  elements  osculateurs  des  deux  corps  A  et  B. 

II  importe  de  remarquer  que  ces  elements  osculateurs  ne  sont  pas  les  m£mes 
selon  qu'on  adopte  le  changement  (a)  ou  Fun  des  changements  ((3)  ou  (y). 
J'ajouterai  meme  que,  si  Ton  adopte  Fun  de  ces  changements,  le  changement 
(a)  par  exemple,  la  definition  des  6l6ments  osculateurs  depend  encore  du 
choix  des  deux  constantes  (3  et  (3';  choix  que  nous  ferons  dans  la  suite  de  facon 
a  simplifier  les  Equations  aulant  que  possible. 

Dans  tous  les  cas?  les  expressions 


\  dx\  - 


+  —  ^-(L  dl  •+-  G  dg 


-  6 
8' 


sont  des  differentielles  exactes,  de  sorte  qu'apres  ce  nouveau  changement  de 
variables,  les  Equations  du  mouvernent  conserveront  la  forme  canonique  dans 
les  hypotheses  (a)  et  ((3)  et  la  forme  semi-canonique  dans  Fhypothese  (y). 
Dans  les  hypotheses  (a)  et  ((3)  les  Equations  s'^criront 

dF  dL  dF  dl'          dF  dL'  dF 

dt        y  dL' ' 


dl 

dt 


Dans  Thypothese  (y)  elles  s?6criroat 


dl 


dL 

dt 


dF* 


dt 


dt 


dt 


Aux  quatre  Equations  (6),  comme  aux  quatre  Equations  (6  bt$)9  il  faut 
adjoindre  celles  qu'on  en  d^duirait  en  changeant  L,  /,  L',  I1  en  G,  g,  G',  g*  et 
celles  qu'on  en  deduirait  en  changeant  L,  I,  L/?  t  en  0;  9,  ®,  O7. 

DJautre  part,  on  aura 


(7) 


SUR   UNE   FORME   NOUVELLE   DES  EQUATIONS   DU   PROBLEMS   DES   TROIS   CORPS.  609 

Forme  de  la  fonction  perturbatrice. 
Nous  distinguerons  dans  la  fonction  F  cjuatre  parties  et  nous  poserons 

F  =/,+/,  +  /,-!-/,. 

Dans  le  cas  (y),  ou  au  lieu  d'une  seulc  fonclion  F  on  a  a  considerer  les  deux 
fonctions  F^  cl  F2,  nous  poserons 

*,         F2  =/l  H-/2  4-  A  •+-./  1  - 


Le  premier  terme  f\  (ou/j)  sera  le  premier  terme  kepl^rien;  /2  sera  le 
second  terme  k^pl^rien,  /3  sera  la  partie  principale  de  la  fonction  perturbatrice, 
f>,  sera  la  parlie  complementaire  de  la  fonction  perturbatrice. 

i°  Dans  1'hypotKese  (a),  nous  aurons 

F  =  T-U,        T  =  s 
' 


Le  signe  S  represente  une  somiuatioii  s'dtendant  aux  trois  axes  de  coordon- 
n^es,  et  je  puts  ^crire  egalement 


en  posant,  pour  abreger, 

. 

m'  = 

1 
Je  poserai 


Si  nous  prenons 


Hii/Hi  rjr  __      m^m7 

p  =     ,          .     ••:  >          !-»  =     '." » 


les  Equations  (7)  donneront 


2°  Dans  Thypothese  ((3),  nous  avqns 


et  nous  poserons 

T'?         /ninii  /"  —  S  y'*         m\m^ 

/1  =  S^~~AC~^         ^         27%  ~~~BD~: 

___       mi  /nt  ,  _  7?i^  m1  __  m/.  /n7 

^3-         AB~5  /4~"     BD  BG 

En  prenant 

p  ==   — __1       7      ,,  p'  =    y/7?^'4.  Wl4  77Z7  =   7?li  i  /  • 

il  viendra 


3°  Dans  1'hjpothese  (y),  nous  poserons 


AC 


BG 


En  prenant 

^ 

il  viendra 


mi  (  jni  -4-  m-,  )  771*  (  /?u  H- 

—  '      *==  -- 


Premiere  approximation.  —  Nous  regarderons  la  masse  m7  comme  finie  et 
les  masses  m^  el  mA  comme  Ires  petiles  du  premier  ordre.  Dans  ces  conditions 
(3  et  (3r  sont  du  premier  ordre,  /<  et  /a  sont  du  premier  ordre;  /3  et  //, 
(  comme  /'4)  sont  du  second  ordre.  On  remarquera  d'abord  qu'aux  quantil^s 

pres  du  second  ordre,  les  valeurs  de  ^3  §7'  y»  3^'  sont  ^es  ^e^nes  dans  los  trois 

hypotheses  (a),  ((3)  et  (y);  a  ce  degr£  d'approximation,  les  Equations  diff^Sren- 
tielles  auxquelles  conduisent  les  trots   hypotheses   ne  different  que  par   les 
termes  qui  dependent  des  d<§riv£es  de/4, 
Soit 

fy  =  S  ^3?;=  X\ 


La  fonction  d»  sera  une  foaction  des  douze  variables  kep!6riennes  dont  le  d^ve- 
loppement  est  connu  et  d'ailleurs  relativement  ais6  a  obtenir. 
Si  Ton  observe  d'autre  part  que 


dl 


dans  Phypothese  (a),/,  = $F      ^j^  esa clement; 

7?2-7  JU<}  JL3    «t  at 

dans  L'hjpothese  (f3),/4  =  _  £^L*  ^l|  auxquanlitespres  du  troisieme  ordre; 
dans  1'hypolhese  (T),  /,  =  -  M  *J  ei  /<  =-  ^  g ,  exaclement. 

Tous  ces  doveloppemenls  de/4  et  de/i  se  deduisent  immediatement  les  uns 
des  autres.  A  ce  degre  d'approximalion,  les  trois  m^thodes  sont  ^quivalentes 
au  point  de  vue  de  la  facility  du  developpement  de  la  fonction  perturbatrice. 

D'autre  part,  si  Ton  ne  tient  compte  que  des  perturbations  du  premier  ordre, 
on  n'est  pas  gen6  par  le  fait  que  les  Equations  (4)  ne  sont  pas  canoniques. 
Done,  a  ce  premier  degre  cK approximation,  les  trois  methodes  se  vale?it. 

Deuxieme  approximation.  —  Mais  il  n'en  est  plus  de  m£me  si  Ton  veut 
lenir  compte  des  perturbations  du  second  ordre;  la  forme  non  canonique  des 
Equations  (4)  devient  alors  un  grave  inconvenient;  d'un  aulre  coU,  le  d^velop- 
pement  de  la  fonction  perturbatrice  auquel  il  n'y  a  rien  a  changer  dans  les 
hypotheses  (a)  et  (y)  devient  tres  compliqu^  dans  1'hypothese  ((3).  Le  change- 
ment  de  variables  (a)  que  jo  propose  prend  alors  un  avantage  marqu6. 

II  a  toulefois  son  inconvenient  propre,  plus  apparent  que  r^el,  au  point  de 
vue  de  Fosculation,  Supposons  que  1'on  veuille  calculer  la  position  de  la 
planete  A.,  par  exemple,  a  1'aide  des  (il^ments  osculateurs,  a  l^poque  t.  Si  Ton 
d^finit  ces  £l6ments  osculaleurs  comme  on  le  fait  dans  les  hypotheses  (S) 
et  (y),  les  coordonnees  ainsi  calcul<5es  sont  exactes  a  T^poque  £,  et  pour 
F^poque  ^  +  6,  Perreur  est  de  1'ordre  de  e2.  Si  on  les  d^finit  comme  dans 
Fhypoth£se  (a),  les  coordonnees  sont  encore  exactes  pour  I'^poque  t\  mais 
pour  r^poque  i  +  e,  Perreur  est  de  Pordre  de  e.  II  ne  faut  pas  s'exag^rer 
cependanl  Pimportance  de  cet  inconvenient.  Si  e  est  comparable  a  la  duree  de 
revolution,  Perreur  est  du  m&ne  ordre  de  grandeur  que  celle  qui  est  due  aux 
perturbations;  elle  est  du  meme  ordre  dans  tous  les  cas.  Si  £  est  tres  petit  par 
rapport  a  la  dur^e  de  revolution,  la  correction  est  extr£mementfaibleet  deplus 
tres  facile. 


SUR  LA  METHODE  DE  BRUNS 


Comptes  rendus  de  V Academic,  des  Sciences,  t.  123,  p.  1224-1228  (aS  decembre  1896). 


On  sail  que  Bruns  a  dchnonlre  que  le  probleme  des  trois  corps  n'admet  pas 
d'autre  integrate  alg^brique  que  les  integrates  connues  (Acta  Mathe- 
matica,  t.  11).  L'importance  de  cette  m^thode,  qui  est  certainement  applicable 
a  d'autres  Equations  analogues,  m'engage  a  signaler  certains  cas  d'exception 
au  th^orenae  de  Bruns  et  a  rectifier  certaines  d^fectuosit^s  de  sa  demonstration 
quij  heureusemenl,  ne  lui  enlevent  pas  sa  valeur. 

Bruns  considere  des  Equations  de  la  forme  suivante  : 

(0  fr=-n'     f$r  =  Ai     ^  =  I'2'  •••'»)• 

Les  A/  sont  des  fonctions  rationnelles  des  XL  et  de  ,y,  et  s  est  li^e  aux  xi 
par  une  Equation  algdbrique 

(2)  F(.9,^)  =  0. 

Bruns  montre  d'abord  que  la  recherche  des  intcgrales  algebriques  du 
systeme  (i)  se  ramene  a  celle  des  intcgrales  de  la  forme  ^  ou  ty  et  ^  sont 

deux  poljnomes  entiers  par  rapport  aux  y  dont  les  coefficients  sont  rationnels 
par  rapport  aux  x  et  a  s.  On  peut  toujours  supposer  (et  cela  bien  que  nous  ne 
supposions  pas  les  fonctions  At  homogenes)  que  ^  ne  contient  que  des  termes 
d'ordre  pair  par  rapport  auxy,  ou  seulement  des  termes  d'ordre  impair. 

Cela  pos^,  Bruns  montre  que,  si  ^0  est  Pensemble  des  termes  de  ^  dont 
le  degr6  est  le  plus  61ev6  par  rapport  aux  y>  on  a  identiquement 


ou  co  =  2o>/j'j  est  un  polynome  homogene  du  premier  degre  par  rapport  aux  y 
dont  les  coefficients  sont  rationnels  en  x  et  s. 
M.  Brims  cherche  a  d^monlrer  que 

(4) 


est  une  difKrentielle  exacte. 

Dans  le  cas  ou  les  coefficients  de  ^0  sont  rationnels  en  x  el  independanls 
de  s,  la  demonstration  lie  laisse  rien  a  d^sirer, 

Mais  il  n'en  est  pas  de  m£me  s'ils  dependent  de  s.  Le  raisonnement 
de  Brans  (loc.  cit.,  p.  87  et  suiv.)  souleve  des  objections.  II  fait  d'abord 

Jr,^jK4==...  =  7,i=0; 

le  polynome  ^o  se  reduit  a  un  polynome  ^02?  &e  dependant  que  de  y^  ety2; 
<§cartant  par  un  artifice  parfaitement  legitime  le  cas  ou  d>02  serait  identi- 
quement  mil,  il  6crit 

fa  =  6'o  /[  4-  CL^r^aH-  •  •  -H-  Cq?l  - 

II  pose 

^02==C0^, 

d6signe  par  W  le  produit  des  diverses  valeurs  de  <\>!  correspondant  aux  diverses 
racines  de  liquation  (2)  en  s.  par  H  le  d^nominateur  commun  des  coefficients 
de  W,  de  telle  fagon  que  HW  soil  un  polynome  entier  en  x  et  enj'.  II  montre 
que 


De  cette  equation  il  veut  conclure  (p.  38)  que 

H  ¥  =  (  JKI  a?2 


C'est  la  que  la  demonstration  est  en  defaut.  Cela  serait  vrai  si  ^02?  el  par 
consequent  HW,  6tait  homogene  en  x{  et  en  #2;  mais  il  n'en  est  pas  ainsi. 
Bruns  suppose,  il  est  vrai,  que  les  A?:  et  F  sont  homogenes  en  x  et  s\  cela  lui 
permet  de  supposer  que  ^o  est  homogene  en  ^?i,  #2,  ...,  xn-  Mais  alors, 
d»02  est  homogene  en  x^^  x^  .  .  .  ,  xn  et  non  pas  en  x±  et  x%  seulement.  Pour 
le  rendre  homogene  en  XL  el  #2,  il  faudrait  non  seulement  annuler  y^ 
j/(,  .  .  .,  y/0  mais  encore  x<^  xin  .  .  .,  xn\  mais  alors  la  relation  d'int^gra- 

=  ^~  ne  serait  plus  d6montr£e  qu'en  supposant  ces  n  —  2,  variables 


nulles* 

H.  p.  —  VII.  65 


5l4  SUR  LA  METHODE  DE  BRUNS. 

Au  reste,  il  est  aise  de  former  un  exemple  ou  le  th^oreme  de  Bruns  esl 
en  d^faut.  Supposons  que  Pequation  (2)  s'ecrive 

A'2  =  OC\  •+-  X\  —  X*. 

Gonsid^rons  le  polynome 

Oi  y-2  —  #271  )-  —  (as  i  y*  —  &v}'±  )-  —  Oar.-,  —  #372  )2, 

qui  satisfait  a  i'identite  (3)  ;  il  se  d^composera  en  deux  facteurs, 


01 


it'  J 


Cliacun  de  ces  factours  satisfera  a  Fidentite  (3)  sans  que  1'expression  (4) 
soil  une  differenlielle  exacte. 

II  importe  done  de  rechereher  les  cas  d'exception.  Supposons  d'abord 
72.  =  2  et  regardons  x±  et  x^  comme  les  coordonn6cs  d'un  point  mobile  dans 
un  plan,  y±  el  y^  comme  les  composanles  de  sa  vitesse.  Alors  Pequation  ^^=0 
repr^sentera  un  sysieme  de  droites  dans  un  plan.  Ces  droites  auront  une 
enveloppe  que  j'appellerai  E. 

D'un  point  du  plan,  on  pourra  mener  a  ceUe  enveloppe  plusieurs  tangentes 

et   le    rapport  yr=2~   repr^sentera    le    coefficient    angulaire    d'une  de   ces 

tangentes.  Consid^rons  maintenant  le  poljnome  ^0  ;  s'il  ne  depend  pas  de  ^, 
on  retombera  sur  le  cas  oii  le  th6oreme  de  Bruns  s'applique;  s'il  depend  de  s? 
on  pourra  trouver  une  quantit6  &  telle  que  :  i°  cr  est  rationnel  en  x  et  s\ 
2°  a  est  rationnel  en.  x^,  ^r2  et  yr,  yf  representant  le  coefficient  angulaire 
d'une  des  tangentes  menees  a  E  par  le  point  x\,  x*]  3°  les  coefficients  de  ^° 
sont  rationnels  en  x  et  cr;  4°  aux  diverses  valeurs  de  a  correspondent  autant 
de  polynomes  ^o  difKrents. 

Faisons  ddcrire  au  point  x^  x»  un  contour  ferin^  imaginaire  tres  petit, 
quelconque;  il  pourra  arriver  que  deux  ou  plusieurs  valeurs  de  cr,  ou  que 
deux  ou  plusieurs  valeurs  de  y*  s'^changent  entre  elles;  c'est  la  fagon  dont 
se  fait  cet  ^change  qu'il  s'agit  de  discuter. 

Pour  que  des  valeurs  de  a  s^changent,  il  faut  que  des  valeurs  de  y* 
s'6changent  et  pour  que  des  valeurs  de  yf  s'echangent,  il  faut  que  le  point 
#1;  x^  tourne  autour  de  la  courbe  E  ou  autour  d'une  tangente  singuliere  a  E; 


SUR  LA  METHODE  DE  BRUNS.  5l5 

je  veux.  dire  une  tangente  d'inflexion  ou  une  tangente  en  un  point  singulier. 
Nous  restons  done  en  presence  de  deux  hypotheses  : 

i°  Le  lieu  des  points  ou  liquation  en  o-  (et  par  consequent  1'equation  en  s) 
a  des  racines  £gales  comprend  E; 

2°  Le  lieu  ne  comprend  pas  E,  mais  comprend  une  tangente  singuliere  a  E. 

Cette  deuxieme  hypothese  doit  etre  rejetee;  c'est  ce  que  montre  la 
discussion  de  la  facon  dont  s'£changent  les  diverses  valeurs  dey',  de  a  et  de  s 
quand  le  point  x^,  x%  lourne,  dans  le  voisinage  du  point  de  contact,  amour 
d'une  tangente  singuliere  a  E;  ou  d'une  des  branches  decourbequi  la  touchent. 

Aiiisi  E  devra  faire  partie  du  lieu  des  points  ou  1'equation  (2)  a  des  racines 
multiples, 

Soit  maintenant  n  =  3  et  supposons  que  x\^  a?2,  x?>  soientles  coordonn^es 
d'un  point  mobile  dans  Fespace,  y^  y$  et  y%  les  composanles  de  sa  vitesse. 
Liquation  4*0  ~  o  est  alors  celle  d'un  complexe  de  droites. 

Si  le  polynome  ^0  est  exceptionnel,  c'esl-a-dire  si  ses  coefficients  nesoatpas 
rationnels  en  x  et  s'il  fait  exception  au  th£oreme  de  Bruns,  toutes  les  droites 
du  complexe  devront  <Hre  tangentes  a  la  surface,  lieu  des  points  ou 
liquation  (2)  a  des  racines  6gales. 

Supposons  enfin  n  quelconque.  Ecrivons  que  liquation  en  s  (2)  a  des 
racines  £gales;  nous  obtiendrons  une  Equation 


qui  pourra  n'^trc  pas  irreductible,  mais  se  decomposer  en  plusieurs  autres 

<T>i(a;I)  =  09        $200*=  °5         ---j        <|>A-(^)  =  O- 
Considt^rons  1'une  de  ces  Equations 

*A(j7i,  a?a,  .-.,  •r/1)  =  o, 

et  formons  liquation  en  l} 


Exprimons  que  cette  Equation  en  t  a  deux  racines  ^gales,  nous  obtiendrons 

une  relation 

®/*(^3jO  =  °- 

II  pourra  se  faire  que  0/^  se  decompose  en  plusieurs  facteurs  entiers  enj>'C) 
rationnels  en  xi  et  en  s.  S'il  en  est  ainsi,  chacim  de  ces  facteurs  sera  un  poly- 
nome ^o  exceptionnel. 


5lG  SUR  LA  METHODE  DE  BRUNS. 

A  chaque  equation  en  s  ne  pourra  done  correspondre  qu'un  nombre  fini 
de  polynomes  ^o  exceptionnels  et  irreductibles. 

Ges  polynomes  exceptionnels  n'existent  pas  toujours,  car  ®h  pent  ne  pas  etre 
decomposable  en  facteurs. 

Qu'arrire-t-il  en  particulier  dans  le  cas  du  probleme  des  Lrois  corps  ? 
On  peut  former  trois  polynomes  ®  ;  Fun  d'eux  esl 

[Oi  —  a?.0  (72  —  j;>)  —  (a?a—  a?s)  (yi  —  JK/,)]- 
4-  [(a?2—  a?3)  (t>"a  —  J'fl)  —  (#3 


Chacun  d'eux  se  decompose  en  deux  facteurs;  il  y  a  done  des  polynomes  <J/0 
exceptionnels,  mais  c^j?  polynomes  sont  imaginaires.  Or  on  peut  toujours 

supposer,  sans  restreindre  la  gen6ralit(5j  que  Fini^grale  ~-f  est  r^elle. 

Le  r6sultat  de  M.  Bruns  se  trouve  done  confirm^;  je  suis  heureux  d'avoir  pu 
computer  son  ^gante  analyse  sur  un  point  de  detail. 


SUR 

L'INTEGRATION  DBS  EQUATIONS 

DO  PROBLtME  DES  TROIS  CORPS 


Bulletin  astronomigue,  t.  14,  p.  241-270  (juillet  1897). 


Je  desire  altirer  1J attention  sur  quelques  process  d'int^gration  par  approxi- 
mations successives  applicables  aux  Equations  du  probleme  des  trois  corps. 
Le  but  que  je  me  suis  propos6,  c'est  d'exprimer  les  coordonn^es  des  astres 
par  des  series  dont  chaque  terme  est  une  fonction  p6riodique  du  temps  et, 
par  consequent,  d'6viter  que  le  temps  sorte  des  signes  trigonom&triques. 

Un  mot  d'abord  d'une  notation  que  j'emploierai  dans  la  suite.  Consid^rons 
une  fonclion  9  de  plusieurs  arguments  w,j,  ppo,  .  ..,  wq,  p^riodique  de 
p6riode  2?r  par  rapport  a  chacun  de  ces  arguments.  Elle  pourra  etre  developp^e 
par  la  s<^rie  de  Fourier  de  telle  facon  que  Ton  aura 

( i  )  o  =  S  A  cos (  mi  w±  -+-  m*  w*  -4- . .  .  -f-  m(1  wq-+-  C ). 

Dans  le  lerme  g^n^ral  de  la  serie  ( i ),  A  et  G  sont  des  constantes  quelconques 
et  les  m  sont  des  coefficients  entiers  positifs,  n6gatifs  ou  nuls. 

Parmi  les  termes  de  la  s6rie  (i),  je  distinguerai  celui  ou  tous  les  coef- 
ficients m  sont  nuls;  c'est  un  terme  constant,  c'est  la  valeur  moyenne  de  la 
fonction  p&riodique  cp;  je  la  d^signerai  par  la  notation  [9]. 

Pr  eliminaires . 

Je  vais  maintenant,  pour  diviser  la  difficult^,  trailer  successivement 
une  serie  de  probiemes,  de  plus  en  plus  compliques,  de  facon  a  m'elever 
jusqu'au  probleme  des  trois  corps. 


5l8  SUR   L'INTEGRATION    DES   AQUATIONS. 

PROBLEMS  A.  —  TWsoudre  IVquation 


r, 


<J>  est  une  fonction  coTinue  p^riodique  par  rapport  aux  (v. 

S  est  une  fonction  inconnue  qui  doil  etre  ptiriodique  par  rapport  aux   w. 

G  est  une  constante  inconnue. 

Les  at  sont  des  coefficients  constants  donnas. 

Soit,  par  la  s6rie  de  Fourier, 

^  (  S  =SB  sin(m,cv,-4-...H-wv(Pv-hE). 

Les  A  et  les  D  sont  donnas,  et  il  s'agit  de  determiner  C,  les  B  et  les  E. 
Pour  cela,  il  suffira  de  prendre  C  =  [*],  el,  pour  chacun  des  termcs  de  <& 
autre  que  [<I>]7  c'est-a-dire  pour  chacune  des  combinaisons  des  coefficients  m, 
oil  tous  ces  coefficients  ne  sont  pas  nuls  a  la  fois, 

E-D,        B=*  A  +  m  Q   . 

Cela  est  possible,  pourvu  qu'aucun  des  diviseurs  w<  «i  H- .  -  . -f-  mqa(]  ne  soit 
mil,  c'est~a-dire  pourvu  qu'il  n'y  ait  entre  les  coefficients  a  aucune  relation 
lineaire  a  coefficients  entiers. 

PROBLEME  B.  —  Soit  F  une  fonction  developpable  suivant  les  a  puissances 
djun  parametre  tres  petit  p.  et  dependant  de  deux  series  de  variables 

On  aura  done 

F0  ne  depend  que  des  x\  les  autres  termes  p.7iF^  dependent  a  la  fois  des  # 
et  des  y,  mais  sont  p^riodiques  de  p6riode  271  par  rapport  aux  r« 
II  s'agit  d'int^grer  les  Equations  canoniques 

L'importance  de  ce  probleme  est  6vidente;  a  chaque  instant,  en  M6canique 
celeste,  on  est  amen6  a  des  Equations  de  cette  forme;  je  n:en  citerai  qu'un 
exemple;  supposons  que  1'un  des  trois  corps  ait  une  masse  nulle  et  que  les 
deux  autres  d^crivent  deux  circonferences  concentriques,  supposons  enfin 
que  les  trois  corps  se  meuvent  dans  un  ineme  plan.  On  arrivera  pr^cis^ment  a 


SUR   ^INTEGRATION   DES   EQUATIONS.  5lQ 

des  Equations  de  la  forme  (3),  en  prenant  pour  variables  x±  et  x-±  la  racine 
du  grand  axe  de  la  planete  troublee  et  sa  constante  des  aires;  pour  variables  j'i 
et  j-2,  Panomalie  moyenne  de  la  planete  trouble  et  la  difference  entre  la 
longitude  du  p6rih<$lie  de  la  planete  trouble  et  la  longitude  de  la  planete 
troublante. 

Je  me  propose  de  trouver  des  solutions  de  la  forme  suivante  :  les  x-L  et  ] 
seront  d6velopp6s  suivant  les  puissances  des  JJL,  de  sorte  qu'on  aura 

(4) 

Dans  p",  la  lettre  p  represente  un  exposant;  mais,  dans  #f  et  ypt ,  elle  repr6- 
sente  un  indice. 

Les  fonctions  xpt  et  ypL  devroiit  d^pendre  de  q  constantes  d'int^- 
gration  £1,  G3,  ,  ..,  zq  et  de  q  arguments  w\\}  tt>2,  ...,  tv?,  qui  seront  des 
fonctions  lin^aires  du  temps,  de  telle  fagon  que  1'on  ait 


les    nk  ^tant   des   constantes   d^termin^es    et  les  Wk  de  nouvelles  constantes 

* 
d'int6gration. 

Je  supposerai  que  orz°  se  r^duit  a  la  constante  zi  ctji'"  a  w/;  que  les  autres  5?f 
etyf  sont  des  fonctions  p6riodiques  des  q  arguments  w. 

II  s?agit  djint<^grer  les  Equations  (3)  par  des  series  de  la  forme  (4),  ou,  ce 
qui  revient  au  m(hne;  de  determiner  les  series  (4),  de  telle  fa^on  qu'en 
supposant  les  variables  anciennes  x  el  y  liees  aux  variables  nouvelles  z  et  w 
par  les  relations  (4),  les  equations  (3)  deviennent 


Or,  je  dis  que  pour  cela  il  suffil  : 

i°  Qu'en  substituant  dans  F,  a  la  place  des  x  et  des  JK,  leurs  valeurs  (4) 
en  fonction  des  js  et  des  w,  cette  fonction  F  se  r6duise  a  une  fonction  9 
dependant  seulement  des  r  et  ind6pendante  des  w;  je  supposerai  cette 
fonction  9  d6velopp6e  suivant  les  puissances  de  p.,  de  telle  sorte  que 

cp  =  GO-}- 

nous  devrons  avoir  alors 

(5)  F 


520  SUR   ^INTEGRATION   DES  EQUATIONS. 

2°  Que  F  expression 

dS  =  S(#,— ~  5,)d^H-  %(wi—yi)dsi 

soit  une  differ  en  tie  lie  exacte. 

Si  en  effet  dS  es  t  une  diflferentielle  exacte,  il  en  sera  de  ineme  de  ^x  dy  —2z  dw . 
Done,  en  prenant  pour  variables  nouvelles  les  cvetles  a,  onn'alt^rcra  pas  la  forme 
canonique  des  Equations  (*)  qui  s'6criront 

dt   ~       dwt  """      dwf  ~z 

dw  i  dP  d$ 

dt  dZi  dz-i 

La  d6rivt5e  -r^-  ne  depend  que  des  z  qui  sont  des  constanles.  C'cst  done  une 
constanle.  c.  Q.  F,  n. 

Gela  pos6,  substituons  dans  F,  a  la  place  des  x{  et  desy0  leurs  valeurs  (4). 
Alors  F  se  trouvera  d6velopp6  suivant  les  puissances  de  p.,  des  o?f  et  des  yf  et 
les  coefficients  de  d^veloppement  seront  des  fonctions  des  x\  et  des^'",  c'est- 
a-dire  des  zi  et  des  w>,;  p^riodiques  par  rapport  aux  wt. 

Ordonnons  les  termes  de  ce  nouveau  d^veloppement  de  F  suivant  les 
puissances  de  p.,  nous  trouverons 

F  =  00  -+-  JJ.  61  4-  fJt2  02  -h  .  .  .  • 

LMquation  (5)  se  d6composera  et  nous  donnera 

\ 

®0  n'est  autre  chose  que  F0  ou  les  xi  ont  £te  remplac^s  par  les  constantes  zi\ 
c'est  done   une   constante,    de  sorte   que  liquation  0()=«p0,   ou  cp0  est  une 
fonction  indeterminde  des  5/,  se  trouvera  satisfaile  d'elle-m^rne. 
Nous  poserons 

Les  a{  £tant  des  fonctions  des  st  seront  des  constantes. 
D^veloppons  S  suivant  les  puissances  de  JJL  : 

S  =  SoH-  fJ.Si-4-  |JL^  S  2  -H  ,  ... 

L'expression  de  dS  nous  montre  tout  de  suite  que  S0  est  nul  et  que 

^7Q 


(!)  Voir  aux  Notes,  Principes  de  Mtcanique  analytique. 


SUR   L'lNTiGRATION   DES    AQUATIONS.  521 

D'autre  part,  on  a 

<&  n'est  autre  chose  que  F4  ou  1'on  a  remplace  xt  ely,  par  zl  et  wl ;  c'est  done 
une  fonction  connue  periodique. 

Dans   ce   qui  va  suivre,  je  conviendrai  de  representer  par  une  meme 
notation  &  toute  fonction  connue  p&rodique. 

Gette  meme  lettre  <J>  pourra  done  representer  plusieurs  fonctions  differentes. 
L'equation  61  =  cp<  s'^crit  alors 


S^  est  une  fonction  pdriodique  inconnue;  ®\  est  une  constante  inconnue 
(constante  puisqu'elle  ne  depend  que  des  ^z). 

Nous  pourrons  done  integrer  cette  equation  par  le  proc£d6  A,  je  veux  dire 
par  le  precede  qui  nous  a  permis  de  resoudre  le  probleme  A. 

ConnaissanL  Si  nous  aurons  x\  et^1  par  les  Equations 


II  vient  ensuite 

(6) 
d'ou 


D'aulre  part,  on  aura 

(8)  6a  =  —  SazoJ?H-$, 

la  fonction  $  ne  dependant  que  des  x\*  y?  ,  a?/,  j^/  et  e~tant  par  consequent 
d6sormais  connue. 

La  combinaison  des  Equations  (7)  et  (8)  nous  donnerait,  en  tenant  compte 

de  ©;>  =  92, 

d$> 

(9)  Sfltj  -T-'  =  $  —  ?25 
vy/  ^ptJ2  7 

qui  s'inte'grera  par  le  procede  A. 

Connaissant  S2,  nous  aurons  xf  ely?  par  les  Equations 


Nous  d^terminerions  ensuite  S»,  a?f  et  y*  par  des  equations  analogues  aux 
H.  P.  —  VIE.  66 


522  SUR   ^INTEGRATION   DES   AQUATIONS, 

equations  (7  bis),  (8)  et  (9)  el  qui  n'en  differeraicnl  que  parce  que  1'indice  2 
serait  remplac£  par  Findice  3.  Les  fonclions  <l>,  qui  figureraienl  dans  ces 
nouvelles  Equations,  pourraient  ctre  regard6es  connne  conuues  parce  qu'elles 
ne  d6pendraient  que  des  a?",  y*  ,  #/,  y\  ,#;,  yf. 

Et  ainsi  de  suite. 

Le  probleme  B  peut  done  etre  regard^  comme  r^solu. 

Le  proc£d£  que  je  viens  d'exposer  n'est  pas  idenlique  a  celut  que  j'ai 
d^velopp^  dans  le  Chapitre  XV  des  Methodes  nouvelles  de  la  Mecanique 
celeste-  il  pr^sente  certains  avanlages  que  la  comparaison  des  deux  proc^d^s 
ferait  mieux  ressortir. 


C.   —   F2  ^tant  un  polynome   homogene   du  second   degre  par 
rapport  aux  x  et  aux  y,  integrer  les  Equations  canoniques 

dXi        dFo  dy,  d¥»          f  ,  . 


Ces   Equations  sont  lin^aires  et  a  coefficients  constants.  Elles  admettront 
done  2  q  solutions  de  la  forrne 

Xl  =  «/•  e^i*,        yt  =  (3^  e>^1  ; 

cherchons  a  determiner  les  constantes  af,  |3/5  et  \-  de  fagon  a  satisfaire  aux 
Equations;  il  viendra 


Je  suppose,  bien  entendu,  en  ^crivant  ces  Equations,  que  daris  F2  les 
variables  xi  elyt  out  ^t6  remplac^es  par  «f  et  |3^. 

Entre  ces  zq  Equations  (qui  sont  lineaires  et  homogenes  par  rapport  aux  a 
et  aux  (3)  j'6lirnine  les  zg  quantit6s  a  et  (3.  Pobtiendrai  une  Equation  de 
degr6  %q  en  X/0  dont  les  racines  seront  deux  a  deux  ^gales  et  de  signe  contraire. 

Si  la  forme  quadra  tique  F2  est  d^finie  positive,  les  racines  A/f  sont  purement 
imaginaires,  de  sorte  que  A#  et  —  ^  sont  imaginaires  conjugu^es. 

S0it  mainteaant  ^  une  autre  racine  de  liquation  en  ^-  et 


la  solution  correspondante  des  Equations  (10).  Posons 

7j{  =  8*  eW. 


SUR  L'INTEGRATION  DES  EQUATIONS,  628 

Comme  #-,  =  £,,  y,  =  7]t  d'une  part;  #,=  £  ,  j',  =  -o,    d'autre  "part,   sont  deux 
solutions  des  equations  (10),  il  est  ais£  de  verifier  qu'on  aura 

S(E/^  —  -rit%  )  =  const. 

Comme,  d'autre  part,  le  premier  membre  est  divisible  par  g(>'*~l~W,  la 
constante  du  second  membre  doit  gtre  nulle,  a  moins  quo  IJLA  =  —  ?^. 
Si  p/t  —  —  A/0  nous  ne  restreindrons  pas  la  geiieralite  en  supposani  que  celte 
constante  est  6gale  a  i. 

Soient  alors  af,  &f  les  valeurs  deyf  ,  of  correspondanta  cetteracine  fjL/tm  —  A/,. 
Si  la  forme  F2  est  ddfinie  positive,  nous  pouvons  supposer  que  afA  et  \/  —  iaf^ 
^  et  \J  —  i  ty  sont  imaginaires  conjugu^s, 

Posons  alors 


il  vient 


Cette  equation  expriine  que  ^x  dy  —  Sxf  dyf  est  une  difF^rentielle  exacte, 
et  que,  en  passant  des  variables  #,  y  ^^x  variables  xr  yf,  on  n^altere  pas  la 
forme  canonique  des  Equations. 

Les  Equations  (10)  deviendront  done 


_ 
dt    ""  dy'k  '  dt 

et  comme  elles  doivent  avoir  pour  integrates 


nous  aurons 

(12)  F2 

D'autre  part,  comme  2(xdy  —  #fdy!)  est  une  diff^rentielle  exacte  on  aura 
identiquement 

2/dF*  dR       £/R  ^Fi\  —^n  /dF2_   ^R        JR   ^Fa 
V^i  ^  ""  dxt  dyt)  ~~&  \d*'t   drt       dx't   d^ 

Le  second  membre  se  r6duit  & 


524  SUR  ^INTEGRATION   DES   EQUATIONS. 

Si  R  est  un  polynome  entier  par  rapport  aux  x  et  aux  y,  et  par  consequent 
aussi  par  rapport  aux  xf  et  aux  JK^  si  de  plus  il  n'y  a  enlre  les  A*  aucune 
relation  lin^aire  a  coefficients  entiers,  la  condition  necessaire  et  suffisante 
pour  que  ^expression  (i3)  s'annule  est  que  R  soit  un  polynome  entier 
par  rapport  aux  q  expressions  ^&'ky'k.  Remarquons  que  ces  ^expressions  dont 
la  somme  est  £gale  &  F2  sont  q  polynomes  homogenes  du  second  de  gxe 
par  rapport  aux  x  et  aux  y.  Ges  q  polynomes  sont  r^els  et  toujours  positifs, 
si  la  forme  F2  est  d^finie  positive. 

PKOBLEME  D.  —  R^soudre  liquation 


ou  P  est  un  polynome  connu  homogene  de  degr6  p  par  rapport  aux  iq 
variables  x  et  y. 

S  est  un  polynome  inconnu  homogene  de  degr6  p  par  rapport  oux  x 
et  aux^. 

Q  est  un  polynome  inconnu  homogene  de  degr£  -  par  rapport  aux  q 
produits  xy. 

Soient 

P  = 

S  = 
Q  = 


Nous  rtfsoudrons  liquation  (i4)  en  prenant 

B-S)A(at-^) 

si  1'on  n'a  pas  £  la  fois 
et  C  =  A.  si  Ton  a  &  la  fois 

La  solution  est  possible  pourvu  que  les  ^*  ne  soient  H6s  par  aucune  relation 
lin^aire  a  coefficients  entiers. 

Remarquons  que  Q  est  identiqtiement  nul  si  p  est  impair, 

PROBLEM.E  E.  —  Resoudre  les  Equations 

P2  ^O       sflP,   ^0\ 


SUR   L'lNTiGRATION   DES  EQUATIONS.  626 

ou  F'2  est  un  polynome  homogene  donne  du  deuxieme  degr£  par  rapport 
aux  x  et  aux  y,  P  un  polynome  homogene  connu  de  degr<§  p}  S  et  Q  deux 
polynornes  homogenes  inconnus  de  degrep. 

Faisons  le  changernent  de  variables  (  1  1),  les  Equations  (ID)  deviendront 


La  seconde  de  ces  equations  signiflera  que  Q  est  un  polynome  enlier  par 
rapport  aux  produils  x'ky'k.  Nous  sommes  done  ramenes  au  probleme 
precedent. 

Le  probleme  sera  done  possible  pourvu  qu'il  n'y  ait  entre  les  i/£  aucune 
relation  lineaire  a  coefficients  entiers.  Q  esL  nul,  si  p  est  impair. 

PROBLEME  F.  —  La  fonction  F  est  une  serie  ordonnee  suivant  les  puissances 
croissantes  des  x  et  des  y  et  commenQant  par  des  termes  du  deuxieme  degr£, 

soit 

F  =  F2+F3-hF4-h...J 

F^  d^signant  Tensemble  des  termes  d'ordre  p. 
II  s'agit  d'integrer  les  Equations  canoniques 

,   c.  dxt  _  _^F  dyt  _       d¥ 

(      }  .  'dt   ""  dyS  dt   ""       dxt 

Voici  dans  quelles  circonstances  on  rencontrera  ce  probleme.  On  a  cherch4 
a  ^tudier  les  variations  s^cnlaires  des  6l6ments  des  planetes  de  la  maniere 
suivante.  On  a  6crit  les  Equations  des  perturbations  en  supprimant  dans 
la  fonclion  perturbatrice  tons  les  termes  p&riodiques,  et  Ton  s'est  propos£ 
d'int^grer  les  Equations  ainsi  simplifi^es  que  j'appellerai  equations  aux 
variations  seculaires.  On  sait  que  Lagrange  a  effectu^  cette  integration 
en  ne  conservant  dans  la  fonction  perturbatrice  que  les  termes  du  deuxieme 
degr6  par  rapport  aux  excentricit^s  et  aux  inclinaisons.  Les  Equations  4taient 
alors  lineaires  et  a  coefficients  constants.  Ce  n'6tait  d'aiileurs  autre  chose 
que  notre  probleme  C. 

Plus  tard,  Le  Verrier  a  tenu  compte  des  termes  du  quatrieme  degre^ 
Cell^rier  de  ceux  du  sixi£me  degr^.  Le  proc6d6  que  je  vais  exposer  amene, 
dans  ces  calculs,  une  simplification  importante  et  permet  de  tenir"  compte 
de  toutes  les  puissances  des  excentricit^s  et  des  inclinaisons. 

Et,  en  effet,  si  les  variables  sont  convenablement  choisies,  les  Equations 
aux  variations  seculaires  sont  pr6cis&nent  de  la  forme  (  16). 


526  SUR  L'INTEGRATION  DES  EQUATIONS. 

Je  me  propose  d'exprimer  les  x  el  les  y  en  fonclion  de  q  consianles  p/t 
el  de  q  arguments  co*  qui  seront  des  fonctions  lin^aires  du  lemps.  Je  m'arran- 
gerai  pour  que  les  x  el  les  y  soienl  d^veloppables  suivant  les  puissances 

des  quantil<5s 
Soient 

(17) 


ces  d^veloppemenls  ou  xl\  etj/^  repr^sentent  1'ensemble  des  lermes  de  degre/? 
par  rapport  aux  p*. 

Je  dis  que  le  probleme  equivaul  au  suivant  : 

Determiner  les  series  (17)  de  telle  fagon  : 

i°  qu?en  y  substituant,  a  la  place  des  x  et  desjj'?  ces  developpemenls  (  17), 
F  se  r6duise  a  une  fonclion  9  dopendanl  seulemenl  des  p  et  ind^pendanle  des  w  ; 

2°  que 

rts  =  s(^-—  ^?j  )  rfj^-h  (j;  —  j  o  ^J      et      ^T  ==  ^x\  dy\  • 

soient  des  diff^rendelles  exacles. 


S'il  en  esl  ainsi,  en  effet,  *ix[dyi-\-\j  —  i  ip|  rfo)/c  sera  une  diffcrentielle 
exacie.  La  forme  canonique  des  Equations  ne  sera  done  pas  alltfr^e  quand 
on  passera  des  variables  x  et  y  aux  variables  p£  et  —  y  —  ico^;  elles 
deviendront  done 


=  const,), 


ce  qui  montre  que  les  w  sont  des  fonctions  lin^aires  du  temps. 

Substituons     dans     F    les     d^veloppenients    (17)    et    ordonnons    suivant 
les  puissances  des  p;  nous  aurons 

F  =  62  -H  63  H-  .  .  . 
pour  le  developpement  de  F  et 

9  =  cpa-4-  cp-jH-.  .  . 
pour  celui  de  cp  et,  comme  on  doil  avoir  F  =  <p,  nous  aurons 

®2=  92)  6'{=  9»,  .... 

@s  n'est  autre  chose  que  F2  ou  x-L  et  yi  sont  remplac^s  par  a?1M  jj.  Si  done, 


SUR  L'INT£GRATION  DES  EQUATIONS.  527 

employant    le    proc6d<§    C,    nous    faisons    le    changement   de  variables   (11) 


en  posant 


x    = 


^expression 

%x 

sera  une  diflferentielle  exacte  et 

se    r^duira,    en   vertu    de    liquation   (12),    a    — y/ — i^X^pl,    de  sorte   que 
liquation  @2  —  cpa  se  trouvera  satisfaile.  Soit 

S  =  SQ  H-  Si -t~  82 H-  Ss -f-  S^ -f- . . . 

le  d^veloppement  de  S  suivant  les  puissances  des  p.  Pobserve  d'abord  que  les 
premiers  termes  S0,  St  et  S2  sont  nuls  et  que  Ton  a 

^S3  =  Sa?|  dy\  —  %yl  dx\. 
D'autre  part, 


<&  6tant  une  fonction  connue  puisque  x\  ^y\  sont  desormais  connus.  Comme 
Ton  a 


liquation  ©3  =  cp3  devient 


D'autre  part,  cp3  ne  dependant  que  des  p,  on  aura 


ces  equations,  analogues  aux  equations  (i5),  s'inl^greront  par  le  proc^d6  E, 
ce  qui  donne  S3;  les  Equations  (18)  donneront  ensuite  x\ 
On  trouve  ensuite 


d'ou,  puisque  x\  etyf  sont  desormais  connus, 


On   obtient   ainsi   deux    6quations  analogues   aux  equations   (19)  et  (20) 
et  qui  n'en  different  que  parce  que  1'indice  3  y  est  remplac6  par  Findice  4- 


528  SUR   L'lNT^GRATION  DES  EQUATIONS. 

Ces  Equations  s'int^greront  par  le  precede  E,  ce  qui  donnera  S/(,  et  ensuite, 
par  (18  bis],  x\  el  y*  et  ainsi  de  suite. 

PROBLEMS  G.  —  La  fonction  F  a  la  meme  signification  que  dans  le  probleme 
prudent. 

Trouver  23  fonctions  ^  et  rn  des  oci  el  des  y^  lelles  que  Ton  ait 


et  que 

rfS  =  2(5^^-^^) 

soil  une  differentielle  exacte. 

P  repr^sente  une  fonction  connue,  Q  une  fonction  inconnue;  Louies  deux 
doivent  etre  d^veloppables  suivant  les  puissances  des  x  et  des  r. 

Je  veux  (^galement  que  J,  r\  et  S  soient  ddveloppables  de  la  meme  maniere; 
et  j'ecris  les  d^veloppements  de  ces  cinq  fonctions  sous  la  forme 
(22)  ?i=S5£,         ^.=  2^,         P  =  2P/>3         Q  =  SQ^         S  =  SSX,. 

Je    substitue    dans    les    Equations    (21)  les   d^veloppements   (22);  j'igale 
les  termes  du  premier  degr^,  el  j?ai  les  Equations 


(23) 


2/2f,      ^FS  ^QA  _ 
\  r/af,  fl^,          rfj,-,  <^,  )  ~ 


o  _ 

'-~ 


Equations  qui.  par  le  proc6d6  E,  donnent  S< ,  £°  et  v}°. 

En  £galant  de  inline  les  termes  du  deuxieine  degr^,  j'obtiens 

^F2M       JV* 


(24) 


1^1 


/rfF2  rfSa       ^Fo  ^S»\  _ 
V  dan  dyi  ~  cly,  TteJ  ~ 


qui;  par  le  proc^d^  E,  donnent  S2,  ^J  et  YJ  j ;  et  ainsi  de  suite. 


SUR   I/INTEGRATION   DES   EQUATIONS.  £29 

Remarquons  que,  d'apres  ce  que  nous  avons  dit  a  propos  du  probleme  E5  la 
fonction  Q^  est  nulle  si  Findice  p  est  impair,  de  meme  que  la  fonction  9^  du 
probleme  precedent. 


H.   —  II  n'j  aurait  rien  a  changer  a  Fanalyse  qui  precede  si  les 
equations  (21 )  ^taient  remplac^es  par  les  suivantes  : 


(21  bis] 

^  /  dF2  ^Q         <^F2  <r/Q  \ 

2*  \~d^  dyi~~  7ty~t   dxt)  =  °: 

ct  si  1'expression  a?S,  qui  doit  ^tre  diff^rentielle  exacte,  s'ecrivait 


oii  At,  Bt?  C0  D/  sont  des  fonctions  connues  des  x  et  des  j/,  d^veloppables 
suivanl  les  puissances  de  ces  variables,  le  developpement  commenpant  par 
des  termes  du  deuxieme  degr&. 

En  y  substituant  les  doveloppernenls  (22)  et  6galant  les  termes  du  premier 
degr<5,  on  rutrouverait  les  Equations  (26). 

En  dgalant  ensuite  les  termes  du  deuxieme  degr<5,  on  retrouverait  les  deux 
premieres  6quations  (^4),  car  le  terme  2(Ai^°  +  Bivjj1),  quyil  faudrait  aj  outer 
dans  la  premiere  d'entre  elles,  est  maintenant  connu,  puisque  £?  et  73°  ont  6t^ 
prealablement  determines  par  les  equations  (28).  11  peut  done  rentrer  dans  $. 

La  troisieme  Equation  (24)  deviendrait 


i-  7,,°  < 


d'ou 


On  retrouverait  done  la  quatrieme  equation  (24)  et  le  calcul  continuerait 
comme  dans  le  probleme  G. 

Signification  du  probleme  H. 

Voici  comment  on  peut  etre  conduit  a  se  poser  les  problemes  G  et  H. 

Reprenons  les  Equations  (16)  et  remplagons-y  F  par  F  —  sP4,  oii  e  est  une 
quantity  tres  petite,  dont  on  peut  ndgliger  le  carr6,  et  P4  une  sorte  de  fonction 
perturbatrice. 

Remplagons  de  mdme  dans  ces  Equations  ca 
H.  P.  —  VII. 


53o  SUR  I/INTEGRATION  DES  AQUATIONS. 

Les  Equations  s'^crironl  alors 

nfi&E^          <*(*,+  «£*)  _<*(F-eP)          rf(rt^-»ii)  = 
u         ;  dt  d(yi+tt\tf  dt 

Nous  avions  remplactj  les  Equations  (16)  par  les  suivantes  : 
F  =  cp,         ^S  =  *[(**-.  xl)dyi  +  (yl-yi)  dxl}* 

La  premiere  de  ces  Equations  va  devenir 


Q  etant  une  fonction  qui  comme  9  ne  doit  d^pendre  que  des  p;  de  sorle  que  la 
fonction  cp  —  eQ  pourra  jouer  le  meme  role  que  <p. 

Le  premier  membre  de  cette  Equation  pourra,  en  n^gligeant  les  quantil^s  de 
1'ordre  de  e2,  sJ6crire 


en  supposant  que  dans  P,  F  et  ses  d^riv^es,  #i-f-e£,  elj't+  era  sont  remplac^s 
par  xi  etjKt* 
Nous  aurons  done,  en  ^galant  les  coefficients  de  s, 


ou  Ton  reconnait  la  premiere  Equation  (21). 

En  changeant  maintenant  a?/3  yn   S  en  ^H-s^,  yt+e^l9    S  -f-  el),    nous 
trouvons 

d(S  -4-  sU)  =  S  [(#,+-  eE,  —  j?,1  )  flf  (/!•+•  e-nO  -4-  (yi—yi 

En  n^gligeant  e2  et  en  posant 

U  =  S'-S^(tf/-^); 
il  viendra 


Maintenant  nous  savons  que  xi  et  y-L  sont  d^veloppables  suivant  les  puissances 
des  x\  et  des  y\* 
Prenons  les  x]  et  les  y]t  comme  variables  independantes,  il  viendra 

77TT"          j '  ~ i   "^  -^-zi  "/   "  :— -   "-"'-'""' ''r  "4"  -t*fi 


SUR   I/INTEGRATION   DES   AQUATIONS.  53  x 

ou  les  cteveloppements  des  A£->  B;,  Q,  D,  suivant  les  puissances  des  x\  et 
yl  commenceiit  par  des  termes  du  second  degr£. 
Nous  aurons  done 


et  comme  Q  nc  doit  dependre  que  des  p  : 


Nous  reconnaissons  les  Equations  (21  few).  Ainsi  le  probleme  H  revient  a 
Tint^gration  des  Equations  (16  bis)  en  supposant  £  ires  petit. 

Les  Equations  (16  bis)  6tant  de  meme  forme  que  les  Equations  (16)  (sauf  la 
presence  possible  de  lermes  du  premier  degr^  dans  P),  iln'estpas  6lonnantque 
Ton  puisse  r^soudre  le  probleme  H  el  trou\er  pour  les  inconnues  £,  et  m  des 
d^veloppements  proc6dant  suivant  les  puissances  des  x\  et  des  y\  et  pnr  cons^- 
quent?  des  pxe^'0*^. 

Je  suis  maintenant  en  mesure  d'aborder  le  probleme  des  trois  corps  dans 
toute  sa  g<$neralit£,  et  c'est  ce  que  je  vais  faire  en  combinant  les  divers  precedes 
que  je  viens  d'exposer. 

Ghoix  des  variables. 

Soient  a,  e,  i,  z^5  &  et  I  le  grand  axe,  Fcxcentricile,  Tinclinaison,  la  longi- 
tude du  p6rih6lie,  celle  du  nceud  et  la  longitude  moyenne  pour  la  premiere 
pianete;  designons  les  monies  (5l^menls  pour  la  seconde  plane  te  par  les  memes 
lettres  accentu^es.  Soient  (3  et  (3'  deux  coefficients  num^riques  convenablement 
choisis  (ces  coefficients  ont  6t6  d6fints  dans  le  Bulletin  astronomique, 
fdvrier  1897)  (1)  et  choisissons  pour  variables 


a  (i  —  e2)  (i—  cos?)  cosQ  =^  j?3,         — 


/«  (i  —  e2)  (i  —  nW)  sinQ  = 


y  2(3' 


OEuvres  de  ff.  Poincar&,  ce  Tome,  p.  5oo. 


532  SUR  ^INTEGRATION  DES   EQUATIONS. 

Les  equations  du  mouvement  prenneiit  alors  la  forme  canonique  et  s^crivent 

(2D)  dt    ~  d\i  ~dt    ~~  ~~  d^i '  dt    ~  dyS  dt    ~~       dxL 

La  fonction  F  est  diveloppable  suivant  les  puissances  des  masses;  pour 
rnettre  ce  fail  en  Evidence,  nous  introduirons  un  coefficient  [j.  de  Pordre  des 
masses;  chaque  masse  sera  6gale  a  p.  multiple  par  une  quantity  finie  et  F  sera 
d^veloppable  suivant  les  puissnnces  de  p.  sous  la  forme 

F  =  Fo  -h  H  F  i  H-  fj.2  Fo  H-  .  ... 

F0  dependra  des  X  et  seru  inddpendante  des  Y,  des  x  el  des  y. 

Les  autres  fonctions  FH,  F2  d^pendront  de  toutes  les  variables.  Par  rapport 
aux  Y,  ce  seront  des  fonctions  p^riodiques;  de  plus,  elles  seront  d^veloppables 
suivant  les  puissances  des  x  et  des  y . 

FI  etant  une  fonction  p6riodique  des  Y.  je  puis  consid^rer  sa  valeur  moyenne 
[Ft]  d<5finie  comme  au  d^but  de  ce  travail.  Je  poserai 

R  sera  d^veloppable  suivant  les  puissances  des  x  et  des  y  et  j'aurai 


Rp  £tant  Fensemble  des  termes  d'ordre  p.  II  n'y  a  d'ailleurs  que  des  termes 
d7ordre  pair. 

C'est  R2  qui  jouera  le  rdle  que  jouait  F2  dans  les  problemes  E;  F,  G,  etc., 

Forme  de  la  solution. 

JNous  allons  chercher  a  exprimer  nos  variables  en  fonction  de  six  conslantes 
£\,  -^2^  pi,  PSI  p.??  PA  et  de  six  arguments  fonctions  lin^aires  du  temps  wl3  «'o, 

Wi7   W2J   ^3?   W^. 

Nous  verrons  que  les  w  varient  tres  rapidement  et  les  to  tres  lentement,  et 
meme  que  w.^  se  r6duit  a  une  constante. 

Nos  variables  devront  se  d^velopper  suivant  les  puissances  de  p.  : 

(26)      X;  =  Xf  -h  JJ.X/  -H  .  .  -  =  ^P  Xf ,  \L  =  Spjo  Yf ,  X,  =  S^  x£,           yt  ==  Z^ yP . 

Voici  quelle  sera  la  forme  de  ces  ddveloppements  :  toutes  les  fonctions  Xf , 
Y?>  #?)  y?  (/t>°)  seront  des  fonctions  des  <^,  d^veloppables  d'autre  part 
suivant  les  puissances  des  p^e^17"1,  p;le~coa/:ri. 


SUR   L'INTEGRATION   DES   AQUATIONS.  533 

Elles  d^pendront  en  outre  des  z  d'une  maniere  quelconque. 
On  aura 


Enfm  les  Y,°  —  wt,  les  #z°,  les  yf  seront  ind^pendants  des  w  et  d^veloppables 
suivant  les  puissances  des  p/^^"1,  p/,e"^^~'1  . 

Quand  on  annulera  les  p,  Y?  se  r^duira  a  w^  x°L  ely*  a  z&ro. 

Les  quantit6s  Xf,  etc.  £tant  des  fonctions  p^riodiques  des  HP,  je  pourrai 
envisager  leur  valeur  mojenne,  d^finie  au  d£but  de  ce  travail,  et  la  designer 
par[Xf]. 

Voici  quelle  est  la  signification  de  ces  diverses  quantit^s. 

Les  differences  Xf  —  [Xf],  .  .  .  reprdsentent  les  perturbations  a  courte 
p^riode  d'ordre  p  par  rapport  aux  masses. 

La  valeur  moyenne  [Xf]  repr^sente  les  perturbations  s^culaires  d^ordre 
p  -+-  1.  En  effet  elle  ne  depend  pas  des  w,  mais  seulement  des  co  :  elle  variera 
done  tres  lentement;  la  quantity  elle-m£me  est  d'ordrejo;  mais  ses  variations 
dans  un  temps  fini  seront  de  Pordre  p  +  i  . 

J'observe  enfin  que  les  quantit^s  p  par  rapport  auxquelles  nous  d^velopperons 
sont  de  1'ordre  des  excentricites  et  des  inclinaisons. 

Je  d^signerai  par  w/f  et  c^les  termes  du  premier  degr^  par  rapport  aux  p  dans 
le  d^veloppement  de  x\  et  yl* 

Transformation  du  probleme. 

Je  dis  que  le  probleme  peut  etre  remplac^  par  le  suivant  :  determiner  les 
series  (26)  de  telle  fagon  que  : 

i°  La  fonction  F,  quand  on  y  a  substitue  les  series  (26),  se  reduise  a  une 
fonction  9  ne  dependant  plus  que  des  constantes  z  el  p. 

2°  Les  expressions 


soient  des  diflferentielles  exactes, 

Si,  en  effet,  ces  trois  differentielles  sont  exactes,  il  en  sera  de  meme  de 


534  SUR   ^INTEGRATION   DES   EQUATIONS. 

Si  done  on  prend  comme  variables  les  z,  les  tv,  les  pi  et  les  —  y/ — i  co/0  la 
forme  canonique  des  Equations  (a5)  no  sera  pas  allercc  et  elles  deviendront 

flOJ  —  -_1  —  -_?_  =  o     (c,=  const.),         -777-  = y -?  7 —  =  ()     (p=  const.), 

dws 


\  v  &k  y 

-  i  —  --  ^_  =  const.;         -—7^  =  •  'r__L_-  -  =  const., 
dt  dZl  '          dt 


ce  qui  montre  que  les  s  et  les  p  sont  des  constantes,  les  w  et  les  co  desfonctions 
lin^aires  du  Leraps.  c.   Q.   F,   D. 

Substituons   dans   F   les   d^veloppements    (26),    et  ordonnons   suivanl  les 
puissances  de  /Jt;  nous  aurons 

F  = 


Si  nous  dSveloppons  de  meme  9  suivant  les  puissances  de  /JL  de  telle  sorte 

que  9  =  SfjL^^yj,  liquation  F  =  o  nous  donnera 

Bo  =  9oj         €>i  =  ?ij         02==92>          ••    • 

Com  me  00  n'est  autre  chose  que  F0,  ou  X/estremplac^par^/,  liquation  ®0=  9o 
est  remplie  d'elle-meme. 

Je  d^velopperai  de  meme  S  suivant  les  puissances  de  ^  en  £crivant 

S   =   JJLSl4~(JL2S2H-.  ,  . 

Theoreme  de  Poisson. 

II  vient  d'abord,  en  ^galant  les  termes  du  premier  degr6, 

rfSi  =  S  (X;  rfY?  _  Yi  dz^xi  *1  -  Ylk  ^X)« 
Dyapres  nos  hypotheseSj  Yf  —  (vt;  ^,  JK^,  x\  sontind^pendants  des  tv;  on  a  done 


d'ou 


»o 

Mais  la  valeur  moyenne  de  -3—^5  qui  est  la  d<§riv£e  d'une  fonction  p^riodique,  est 

6videmmenl  nulle;  on  a  done 

[X/J  =  o. 

Mais  [X/  ]  repr^sente,  d'apres  ce  que  nous  avons  vu  plus  ham,  les  perturbations 


SUR  LIINT£GRATION  DES  EQUATIONS.  535 

s^culaires  de  Xf,  c'est-a-dire  du  grand  axe,  quisont  du  second  ordre  par  rapport 
aux  masses. 

C'est  done  le  tJieor&me  de  Poisson  sar  V  invariability  des  grands  axes. 

Perturbations  seculaires  du  premier  ordre. 

Posons 


Les  Si  etant  regard^es  comme  des  constantes,  il  en  sera  de  meme  des  at  et  Ton 
aura 

(28)  e1==  —  s^x/s-Ft. 

11  demeure  bien  enlendu  que,  dans  Fi7  les  variables  Xz,  Y,?  #/,  y-t  doivent 
etre  remplac^es  par  X°,  Y]*,  x*  et  yl*  En  prenant  les  valeurs  moyennes,  on 

trouve  * 

[ei]=-S«l[X/]^[Fi]  =  R. 

Reprenons   liquation  QI—VI  et  prenons  les  valeurs  moyennes  des  deux 
membres,  il  vient 

(29)  R  =  9i. 

Regardons  un  instant  les  zi  comme  des  constantes,  il  viendra 

(30)  ^T  =  2[(^-^)^l+(^-r2)^] 

et  il  faudra  determiner  les  xQk  et  yl  de  fagon  a  satisfaire  a  Tequation  (29)  et  a 
rendre  Texpression  (3o)  ainsi  que  dU  diff^rentielles  exactes. 

C'est  le  probleme  F,  on  R,  T,  U,  x\,  yl  uk,  vk  jouent  le  role  de  F,  S,  T, 

&h  y^  xi  t  yi  * 

Nous  obtiendrons  donc#£  &y\  d^velopp^s  suivantles  puissances  des  p<2±a>v™1. 
La  fonction  T  6tant  ainsi  determin^e  par  le  precede  F,  on  aura 


ce  qui  donne  la  perturbation  s^culaire  de  F^poque. 

Perturbations  periodiques  du  premier  ordre. 

Reprenons  Tequation  ©1=91,  qui  peut  s'<krire,  en  tenant  compte  de  (27) 


536  SUR   L'INTEGRATION   DES   AQUATIONS. 

Le  second  membre  est  une  fonction  pdriodique  des  w  dont  la  valeur  moyenne 
est  nulle  en  vertu  de  (29). 

Liquation  pourra  done  s'int^grer  par  le  proc£d6  A,  ce  qui  donnera  S( —  [Si]. 

On  aura  ensuite 

X*  =Xi1—[X/]  = 


Gomme  les  d^riv^es  sont  prises  ici  par  rapport  aux  variables  ^/,  Y",  ^/%  yl, 
c'estenfonctioa  de  ces  variables  qu'il  conviendra  d'exprimer  Si  eL  F,,  et  non  en 
fonction  des  ^,  des  p,  des  w  et  des  w;  remarquons  : 

i°  Que,  Yz°  etanl  £gal  a  WL  plas  une  quantity  ind^pendanle  des  w: 


de  sorte  que  noire  Equation  peut  dtre  remplac^e  par  la  suivante  : 


2°  Que  toute  fonction  p^riodique  des  pp,  est  aussi  une  fonction  p^riodique 
des  Y^°  et  que  sa  valeur  moyenne  par  rapport  aux  Yz°  est  la  m^me  que  par 
rapport  aux  «v 

Le  calcul  qui  precede  ne  differe  pas  d'ailleurs  du  calcul  habituel;  le  mode 
d^xposition  seul  dijGTere. 

Perturbations  seculaires  du  second  ordre. 

Determinons  maintenant  [Xf],  [Y/],  [&[],  [yl]- 
Nous  avons 


d$z  =  s  (x*  dv*  -f-  x/  orsf  *  — 

d'ou 


La  valeur  mojenne  du  premier  niembre  est  nulle,  celle  du  second  terme  du 
second  membre  est  connue;  car  on  a,  par  exernple, 


SUR  L'INT^GRATION  DES  EQUATIONS.  537 

equation  dans  le  second  membre  de  laquelle  le  premier  terme  est  connu  et  le 
second  nul. 

Done  [X;]  esl  connu. 

Nous  avons  ensuite  liquation  02:=:®2-  Si  nous  prenons  la  valeur  moyenne 
des  deux  membres,  elle  deviendra 

2  — u-1 1- 
d(%^         ^ 

D'un  autre  cole,  on  trouve 


ou,  en  regardant  pour  un  instanl  les  s  commc  des  constantes, 


Pour  pouvoir  appliquer  le  proc^d^  H  a  ces  Equations,  il  convient  de  prendre 
pour  variables  nouvelles,  au  lieu  des  x{  eijr°>  IGS  ^  et  les  ^/t.  Toute  fonction 
d6veioppable  suivant  les  puissances  des  x{  etyl  le  sera  ^galementsuivantcelles 
des  Uk  et  des  ^>  et  inversement. 

On  aura  alors 

X{  =  MjtH-  D/;,  yj  =  P^-h  C/, 

^R  _  ^R   ^A,  ^K   -  ^R 

-dx{  -  351  ^  AA? 

A^7  BA,  CA-?  D/t-  £lanl  des  fonctions  connues  d^veloppables  suivant  les  puissances 
des  u  et  des  9  et  commengant  par  des  termes  du  second  degre.  D'ou 


D'autre  part,  93  devant  etre  fonction  seulement  des  p  satisfera  a  liquation 

dv-2 


_ 

dvk        duk  dvk 

Nous  reconnaissons  les  Equations  (21  bis]  du  probleme  H  ou  [d?J],  [yj],  ^, 

vk}  R,  R2;  ^,  cp2  jouent  respectivement  le  rdle  de  £/,  YJ/,  ^*,  y/,  F,  F3,  P,  Q. 

Nous  pourrons  done  integrer  ces  Equations  par  le  proc6d£  H  et  nous  aurons 

[Si],    [^1J3    [yi]  sous  la  forme  de  series  ordonn6es  suivant  les  puissances 

H.  P.  —  VIT.  68 


538  SUR   ^INTEGRATION  DES  EQUATIONS. 

des  WA  et  des  PA,  ou,  ce  qui  revient  au  m£me,  suivant  celles  des  pA-e-a)a/crT. 
Liquation 


nous  donnora  ensuile  les  [  Y/]. 

Nous  connaissons  done  toutcs  les  perturbations  s^culaires  du  second  ordre. 

Perturbations  periodiques  du  second  ordre. 

Reprenons  liquation  S.2=  cpa?  qui,  les  #£,  .  .  .  elant  d£sormais  connus,  pent 
s'^crire 

Srt,\*  =  a>  —  o2. 

D'autre  part,  liquation  (3i)  peut  d^sormais  s'^crire 


II  vient  done 

-     ^S2 


Le  second  membre  est  une  fonction  p(§riodique  connue  des  w;  eL  la  valeur 
moyenne  en  est  nulle  puisque  nous  venons  precis^ment  de  determiner  les 
perturbations  s^culaires  du  second  ordre  de  fagon  a  annuler  cette  valeur 
moyenne. 

Liquation  s'int^grera  done  par  le  proc^d6  A  et  nous  donnera 

s,-[S,],    x,«,    Y*-[Y«],    *l-[*\],   yl-[yl}. 
Et  ainsi  de  suite. 

Examen  d'une  difficult^. 

Mais  une  grave  difficulte,  que  j'ai,  jusqu'ici,  pass^e  sous  silence,  se  prdsente. 
Pour  que  les  proc^d^s  F,  G,  H  soient  applicables,  il  faut  qu'il  n'y  ait,  entre  les 
quantit^s  que  nous  avons  appel^es  ^.,  aucune  relation  Iin6aire  a  coefficients 
entiers.  Or  il  n'en  est  pas  ainsi  dans  le  Probl&me  des  trots  corps  :  1'un  des  \^ 
est  nul. 

II  est  facile  de  s'en  rendre  compLe. 

En  effet,  les  Equations  canoniques 

dx±  _  o?R2  dyt  __      ^R2 

dt   ~~~d'         ~dt-~"d^ 


SUE   L'lNT^GRATION    DES    EQUATIONS  53g 

admettent  trois  integrates  correspondant  aux  trois  integrates  des  aires  et  qui 
peuvent  s'oblenir  de  la  facon  suivante  :  R2  est  de  la  forme  R'2  +  R;5  ou  R', 
depend  seulement  des  excentricil^s  et  des  inclinaisons,  c'est-a-dire  des  quatre 
variables  #,,  #2,  Ji,  Va  eL  ou  R£  depend  des  quatre  variables  a;3,  x\,  y^  y\  el 
est  proporlionnel  au  carre  de  Tangle  infimment  petit  des  plans  des  deux 
orbilcs. 

On  en  conclut  aisiment  que  les  equations  (82)  admettcnt  pour  integrates 

p  V/tftfj-f-  pV^'i  =  const.,         p  \/ay>-{~  p'  y/<*V*  =  const. 

Ces  deux  inlegrales  sont  lindaires  et  leur  presence  suffit  pour  montrer  que 
Tun  des  A  est  nul;  c?est,  en  effet,  la  fonction  R  qui  joue  le  meme  role  que  la 
fonction  F  dans  le  probleme  F;  el  c'est  R2  qui  joue  le  role  de  Fa  dans  les 
probleines  D  et  F.  Les  quantit6s  que  nous  avons  appel^es  X  sont  done  d^finies  a 
1'aide  des  Equations  (3a). 

On  pourrait  done  craindre  que  la  presence  d'un  coefficient  X  6gal  a  jz^ro 
n'emp^che  Tapplication  des  precedes  F.  G,  H,  II  n'en  est  rien,  et  il  est  ais6  de 
tourner  la  difficult^  de  la  fagon  suivante. 

Considerons  les  integrates  des  aires  et  6crivons-les  sous  la  forme  suivante  : 


U,  V,  W  sont  des  fonctions  donn^es  des  variables  X,  Y,  x^  y\  U0,  V0,  W0 
sont  des  constantes, 

Supposons    qu'on  ait  pris  pour  premier  plan  de   coordonn^es  le  plan   du 
maximum  des  aires,  de  fa^on  que  les  constantes  U0  el  V0  soient  nulles.  Posons 


et  consid^rons  les  Equations  canoniques 

dxi       dF'  dy,  _      d¥' 

^'         ~~~' 


qui  sont  les  Equations  (a5)  ou  F  est  remplac^  par  F'. 

Nous  envisagerons  celles  des  int^grales  des  equations  (26)  qui  sont  telles 
que  U  =  V  =  o  ;  on  voit  imm6diatement  que  ces  integrates  appartiennent 
^galement  aux  Equations  (a5  bis).  Nous  pouvons  done,  au  lieu  des  Aqua- 
tions (20),  envisager  les  equations  (25  bis)  qui  sont  de  m£me  forme,  mais 
telles  qu'aucun  des  coefficients  ^  ne  soil  nul. 

La  difficult^  a  done  disparu  etle  calcul  peul  se  pousser  jusqu'au  bout  sans 


540  SUR   ^INTEGRATION   DES   EQUATIONS. 

obstacle,  II  faut  maintenanl,  parmi  les  integrates  de  (a5  bis),  distinguer  celles 
qui  convieanenL  egalement  aux  equations  (20). 

Pour  cela,  remarquons  que  les  Equations  (20  bis)  donnent 


d'ou  _  _ 

W  =  const;         U+  </—  i  V  =  Ce'-^V-', 

G  etant  une  nouvelle  constante. 

La  fonctioa  U  -f-  \/  —  1  V  est  done  egale,  a  un  facteur  constant  pres,  a  une 
exponentielle  dont  Pexposant  est  une  fonction  lin^aire  du  temps;  de  plus,  elle 
doit  etre  developpable  suivant  les  puissances  des  per^0^"""1;  cela  ne  peut  avoir 
lieu  que  si  elle  est  divisible  par  une  expression  de  la  forme 


ou  les  a,  les  ft  et  les  m  sont  des  enliers. 

Dans  le  d^veloppement  de  U  +  \/  —  iV  suivant  les  puissances  des  u  et 
des  <;,  consid^rons  les  termes  du  premier  degr£;  on  verrait  qu'ils  se  r^duisent 
a  p,^^^""1  (a  un  facteur  constant  pres  qui  n'est  pas  nul). 

Done 

«i  =  cx2  =  a3  =  (3i  =  p2  =  [3  j  =  (34  =  mi  =  /n2  =  o,         a  t  =  i 


et  U  +  v/—  '  V  est  divisible  par 

De  m^me  U  —  \/  —  i  V  est  divisible  par  p^e"""^"1. 

Les  integrales  de  (2  5  &z*5)  qui  conviennent  a  (25)  sont  celles  qui  sont  telles 
que  U  =  V  =  o  ;  c'est-a-dire  telles  que  u*  =  P/,  =:  o  ;  c'est-a-dire  telles  que  p  =  o 
et  quij  par  consequent,  ne  dependent  pas  de  Targument  co4  ;  d'ou  cette  cons^- 
quence  : 

Les  integrales  des  equations  (a5)  ne  dependent  pas  de  six  arguments  lin^aires 
par  rapport  au  temps,  w4,  ^P2;  cot,  o)2,  &)3,  coi:  mais  de  cinq  seulement  fpi5  <va 

GO.,,   0)2,   W8. 

II  n^estpas  n^cessaire,  pour  faire  le  calcul  de  ces  integrates,  de  former  les 
Equations  (26  bis)]  il  suffit  d'operer  sur  les  equations  (a5)  elles-m^mes;  la 
consideration  des  equations  (20  bis)  n'est  qu'un  artifice  dont  je  me  suis  servi 
pour  demontrer  la  possibilite  du  calcul. 

Remarque.  —  Nous  venons  de  voir  que  les  coordonnees  des  trois  corps 
sont  fonctions  de  cinq  arguments  w\,  w<±,  co^  o)2,  o)3. 


SUR  L'INTEGRATION   DES   EQUATIONS.  S/fl 

Leurs  distances  dependront  des  differences  de  ces  cinq  arguments,  c'est- 
a-dire  de  quatre  arguments  seulement. 

Deuxleme  remarque.  —  Les  integrates  (20  bis)  pour  lesquelles  U  et  V  ne 
sont  pas  nuls  a  la  fois  ne  conviennent  pas  au  systeme  (a5);  les  expressions  des 
coordonn^es  en  fonction  du  temps  ne  sont  pas  les  monies  avec  les  equa- 
tions (20  bis)  et  avec  les  Equations  (20);  mais  les  expressions  des  distances 
mutuelles  des  trois  corps  sont  les  memes. 

Galcul  des  periodes. 

Nous  avons  vu  que  les  w  et  les  co  sont  des  fonctions  lin^aires  du  temps.  Les 
quaniit6s 


_„  _ 


sont  done  des  constantes.  Le  calcul  de  ces  constantes  est  facile.  En  effet,  nous 
avons  form6  la  fonction  cp  qui  depend  des  constantes  gt  et  p*,  et  nous  aurons 


La  fonction  cp  etant  d^veloppable  suivant  les  puissances  de  p.  et  des  p|,  il  en 
sera  done  de  m^zne  de  nt  et  de  v/f  ;  les  n  et  les  v  sont  repr^sent^s  par  des  series 
ordonn6es  suivant  les  puissances  de  ^  et  des  pi  et  dont  les  coefficients 
dependent  des  xjf. 

II  est  aiso  de  voir  que  les  n  et  les  v  sont  r6els;  en  eflet,  les  coordonn6es  des 
trois  corps  doivent  £tres  r^elles;  les  termes  de  leurs  ddveloppements  devront 
done  ^tre  r6els  ou  imaginaires  conjugues  deux  a  deux.  Or  chacun  de  ces  termes 
est  6gal  a  une  constante  mutipli^e  par  une  exponentielle  doat  Fexposant  est  de 
la  forme 

\/  —  i(/?2i  Wi  -+-  m<}.w«-\-  aicOiH-  a«ico2-i-  043003), 

les  m  et  les  a  <§tant  entiers.  Ges  exponentielles  devront  done  etre  ou  r^elles,  ou 
imaginaires  conjuguees  deux  4  deux.  Si  deux  exponentielles  sont  imaginaires 
conjugu6es,  elles  devront  le  rester  par  continuity  quand  \L  et  les  p  sont  tres 
petits;  or,  dans  ce  cas,  il  est  ais£  de  voir  que  deux  exponentielles  sont  ima- 
ginaires conjuguees  quand  les  exposants  sont  £gaux  et  de  signe  contraire,  et  ne 
le  sont  que  dans  ce  cas. 


542  SUR   l/INTEGKATION   DES  AQUATIONS. 

Dans  tout  couple  d'exponenlielles  conjugu<$es,  les  exposanls  doivent  etre 
6gaux  et  de  signe  conlraire.  Cela  revient  a  dire  que  les  w  et  les  to  (et  par 
consequent  les  n  et  les  v)  doivent  etres  r^els.  c.  Q.  F.  D. 

D'autre  part,  il  ais£  de  voir  que  Ie  d^veloppemenl  des  n  suivanl  les  puissances 
de  fji  commence  par  un  terme  d'ordre  z<5ro,  tandis  que  le  developpement  des  v 
commence  par  un  terme  d'ordre  i . 

II  en  rSsulte  que  les  tr  varient  tres  rapidement  el  les  o>  tres  lenlemeni;  co 
qui  justifie  le  nom  de  termes  seculaires  que  nous  avons  donne  aux  termes  qui 
ne  dependent  que  des  co. 

Les  quantil^s  HI  et/i2  repr^sentent  ce  que  Ton  pourrait  appeler  les  moyens 
mouvements  moyens. 

Les  quantit6s  v  sont  au  contraire  de  1'ordre  des  moyens  mouvements  des 
p^rih^lies  et  des  noeuds. 

Resume.  —  En  r6sum6,  les  coordonn<ies  des  trois  corps  peuvenf  s^exprimer 
par  des  series  qui  precedent  suivant  les  puissances  d'un  petit  parametre  p.  de 
Tordre  des  masses  et  de  plusieurs  constantes  p  de  Tordre  des  excentricit^s  et 
des  inclinaisons;  ces  series  sont  des  fonctions  p^riodiques  de  cinq  arguments 

WL=  ntt  -4-  TSL:          cozt=  vz^ -4-sJ, 

ou  les  wi  et  les  e^  sont  des  constantes  d'int^gralion.  Les  nl  el  les  v/  sont  des 
fonciions  de  /a,  des  p  et  de  deux  nouvelles  constantes  si  et  £2,  el  peuvent 
se  d^velopper  suivant  les  puissances  de  jut.  et  des  p2. 

Les  coefficients  de  nos  series  dependent  encore  des  constantes  s]  ct  ^M. 

Les  carr^s  de  ces  conslanles  z  peuvent  ^tre  assimilcs  a  des  grands  axes 
moyens. 

La  constante  CTJ  correspond  a  la  longitude  de  1'^poque,  tandis  que  les  p  jouent 
uu  rdle  analogue  a  celui  des  excentricites  et  des  inclinaisons  et  les  GO  un  role 
analogue  a  celui  des  longitudes  des  p^rihdlies  et  des  noouds. 

Inutile  d'ajouter  que  ces  r^sukals  splendent  sans  changerncnl  au  cas  ou 
1'on  a  plus  de  trois  corps. 

Ce  calcul  n'est  pas  sans  analogie  avec  ceux  que  j'ai  exposes  dans  les 
Chapitres  XIV  et  XV  de  mon  Ouvrage  snr  les  Afethodes  nouvelles  de  la 
Mdcanique  celeste.  II  en  differe  cependant  et  j'y  ai  apportd  d'importantes 
simplifications. 


SUR  UNE  EQUATION  DIFFERENTIELLE  0) 


Comptes  rendus  de  I' Academic  des  Sciences,  t.  98,  p.  793-795  (3i  mars 


Dans  Papplication  de  sa  miSlhode  generale  pour  1'etude  des  mouvements 
dcs  corps  celestes,  M.  Gylden  a  etc  conduit  a  une  Equation  de  la  forme 
suivanle  : 


ou  les  9  sont  des  series  trigonomelriques.  MM.  Gylden  et  Lindstedl  ont  donne 
des  proc6d6s  d'imigralion  de  celte  Equation  par  approximations  successives. 
Cette  circonstance  peut  donner  quelque  interet  a  1'dtude  de  cette  6quation 
diff'^rentielle. 

Je  supposerai;  pour  fixer  les  idees,  que  le  terme  tout  connu  90  est  ider- 
liquement  mil,  et  que  les  autres  9  ne  dependent  que  d'un  seul  argument, 
par  exernple  que  ces  fonctions  soient  d^veloppees  suivant  les  cosinus  et 
les  sinus  des  multiples  de  t,  de  fagon  a  admettre  la  p^riode  211. 

Posons 

<^/,2?  dy       d^x 


Soit  maintenant  F  une  fonction  de  x,  de  y  et  de  £, 

F  =  F-2-4- 


ou  Fm  est  un  polynome  homogene  de  degr4  m  en  #  et  y,  ayant  pour  coeffi- 
cients  des  fonctions  p6riodiques  de  t  de  p6node  de  arc.  Soil  ensuite 


(*)  Voir  aux  Notes,  Series. 


544  SUR   UNE   EQUATION    DIFFERENTIELLE. 

ou  *m  est  un  polynoine  homogene  de  degr^  m  en  x  ct  y,  ajanl  pour  coeffi- 
cients des  fonctions  periodiques  de  t.  Nous  aliens  cherchcr  a  determiner 
les  m  premiers  termes  de  la  serie  (2),  de  facon  que  les  m  premiers  termes 
de  la  s&rie  (3)  soient  identiquement  mils.  On  est  conduit  a  liquation 
suivante,  qui  definit  F/n  quand  on  connait  F2,  F:,,  .  .  . ,  F,,^  : 


ou  p  varie  sous  le  signe  2  depuis  2  jusqu'a  m  —  T  , 

II  semble,  au  premier  abord,  que  Pint6gration  de  cello  Equation  intro- 
duira  des  termes  soculaires  dans  Texpression  de  Frn.  II  n'en  est  rien.  Les 
termes  s^culaires  sont  tous  nuls. 

II  en  resulte  qu'il  existe  toujours  une  serie  de  la  forme  (2)  qui  satisfait 

formellement  a  liquation  ^—  =  o;  mais,  comme  ceLte  s^rie  n'est  pas  conver- 

gente,  en  general,  on  pourrail  croire  que  Ton  ne  peut  lirer  aucune  conclusion 
de  I'existence  de  cette  s£rie. 

Ce  serait  une  crreui%  et,  pour  le  faire  comprendre,  je  vais  ajouter  au 
second  raembre  de  liquation  (i)  un  terme  fy<xpyq)  de  facon  que  cette  Equation 
devienne 


/       Z    •     N  «> 

(lifts)  -~  =  ^9i  +  ^292H-.  .  .-4-fl?m<pwH- 


^   £tant  une  fonction  p^riodique  de  t  de  periode  2?r.  Cherchons  ensuite  a 
former  une  s<5rie 

F=  Fa- 


qui  satisfasse  formellement  a  Tequalion  -7-  =  o.  On  vorrail,  dans  Tun  des 

cf  t 

termes  Fm  de  cette  serie,  la  variable  t  sortir  des  signes  trigonom^triques. 
On  en  conclurait  Fexistence  d'une  fonction  /(^7  y,  t)  jouissant  des  pro- 
suivantes  : 


i°  G'est  un  polynome  entier  en  x  et  y,  dont  les  coefficients  sont  des 
fonctions  periodiques  de  t  de  p6riode  271. 

2°  Quand  /"est  tres  petit,  x  ety  sont  tres  petits  et  rdciproquement,  quand  x 
ety  sonl  tres  petits,  /est  tres  petit. 

3°  Quand  /  est  inferieur  a  une  certaine  limite  /0,  sa  d6rivee  totale  -L  est 
toujours  de  meme  signe,  par  exemple  posititive. 


SUR   UNE  AQUATION   DIFF^RENTIELLE.  545 

II  en  r^sulte  que,  si  la  valeur  initiale  de  /  est  inferieure  a  /0,  /  ira  en 
croissant  jusqu'a  ce  qu'il  ait  aUeinl  el  d6pass£  la  valeur /„,  et,  apres  avoir 
franchi  cette  limile,  il  ne  pourra  jamais  redevenir  inferienr  a/0.  En  d'aulres 
lermes,  si  x  ely  sont  originairement  Ires  petits,  non  seulement  ils  ne  resleronl 
pas  tres  petits,  mais  ils  ne  pourront  jamais  le  redevenir  apres  avoir  cess£ 
de  Fetre. 

Tel  est  le  cas  general,  el,  dans  le  cas  particulier  ou  nous  nous  ^tions 
places  d'abord,  la  disparition  des  lermes  sdeulaires  prome  precis^ment 

ritnpossibilite  de  Irouver  une  fonction  /  dont  la  d6riv6e  totale-f  soil  loujours 

(jTj 

de  ineme  signe  quand  x  et  j  sont  suffisamment  pelils. 

II  r^sulle  de  la  et  de  considerations  que  je  ne  puis  d^velopper  ici  que  les 
quantiliis  x  et  y  pourront  cesser  d'etre  tres  petites,  mais  pour  le  redevenir 
ensuite.  11  j  a  excephon,  tontefois,  quand  un  certain  nombre  esl  commen- 
surable. 

Dans  le  cos  ou  la  s£rie  (2)  serait  convergent,  x  Ql y  resteraient  toujours 
tres  petits. 


SUR  UNE  METHODE  DE  M.  LINDSTEDT 


Bulletin  astronoaiique,  L.  j,  p.  57-Ui  (fovrier  i88(J). 


L'equation  suivante  : 

(l)  -~  H-./iSa?  =  a(.tfa»iH-;ca9s«H...-f-.^?/i), 

oii  a  est  tres  'petit  et  ou  cpi,  cp2,  .  .  .  ,  QP  soriL  des  sornmes  de  termes  trigono- 
ra6triques  on  t,  a  et&  1'objet  de  iravaux  noinbreux  et  approfondis,  parmi 
lesquels  je  cilerai  une  m<Hhode  d'intdgration  de  M.  Lindstedt  \Beitrag  zur 
Integration  der  Differentialgleichungen  der  Storungstheorie  (Memoires 
de  VAcad&nie  de  Saint-Pet  ersbourg,  t.  31  ,  n°  4);  analyst  dans  le  "Bulletin 
astronoinique,  t.  I,  p.  3oa].  Je  demanderai  la  permission  de  rappeler 
brieveiiient  cette  m6thode,  en  la  representant  sous  uue  forme  parliculiere. 
Posons 

(  2  )  J?  =  3G$  -f-  a  ,&'i  -4-  ,  .  .  H™  »•/  ,-&y, 

#o,  #1,  ...,#,/  etant  des  somnues  de  Lermes  de  la  forme  suivante  : 

A  cos  (  m  w  -4-  X  t  -]-  h  ). 

Dans    cette    expression,    m  est  un  entier  el   w  est   une   variable   auxiliatre 


a 


oii  or  esl  une  constante  d'integration  et  'ou 

JJL  =  |JL0  -f-  «;JLL  H-  .  .  .  •+-  a'/  tj.y  . 

,Te   dis    qu'il   sera   possible   de   choisir   les   fonctions   trigonometriques 
u?!,    .  ..,   ^  et  les   constantes   jjt0?   F-M    --.5  /^//>   de  telle  sorie  que,   si  Pon 
substitue    dans   liquation   (i)   la   valeur  (2)   de   a?,    la   difference   des   deux 


SUR   UNE  METHODS   DE   M,    LINDSTEDT.  547 

membres  de  cette  equation  contienne  en  facteur  a^1,  ou,  en  d'autres 
termes,  que  cette  Equation  soit  satisfaite  aux  termes  pres  d'ordre  q  H- 1 , 
a  6tant  du  premier  ordre. 

En  eflet,  on  trouve  d'abord  aisement 


,Z'o  =  COS  W,  [J.Q  =  /I. 


Ecrivons    main  tenant  liquation   (i)   sous   la   forme  suivante,  en  meltant  en 
Evidence  les  d£riv6es  parlielles  de  x  par  rapport  a  t  et  a  pp, 


.  ri  .  (I-  x  <Y2  x  dl  x 

(  3  )  -7—  H-  2  fx  -77-7  --  h  UL'-  -7—  -t-  /i2  #  =  a  (js  zl  -H  .x'2  92  -h  .  .  .  -h  xP  z  „  )  =  a  F. 

v    /  y  r  s  2  v     ,  ,  -  4  ^  ) 


Si  dans  F  nous  remplagons  x  par  sa  valeur  (2),  nous  pourrons  d^velopper 
cette  fonction  F  suivant  les  puissances  de  a,  et  il  viendra 


II  est  clair  que  F0  d^pendra  seulement  de  ^0  e^  de  #17  F2  de  ^0?  ^i  et 
Posons 


Tci  encore  vc  d^pendra  de  fx0»  vi  de  ,u()  et  [j.,,  .... 
Posons  encore,  pour  abr6ger; 


d*  u  d:2  u  „  <fr  u 

T—   -H  U  7?  -j—  7  --  h  /2.2  -=—  ; 

<:/#-  dtrtw  fl(v- 


B£  =  A  j  .X;—  i  -H  A2.X>-  2  H-  .  .  .  H-  AA-—  i.i  . 

Nous  aurons  alors,  pour  determiner  successivement  les  x  et  les  /x,  la  suite 

d'dquations  suivantes  : 

A#i  —  Vi  cos  w  =  FO, 


,j.  . —  v/-  COS  W  =  Fjfc— i- 

Si '#•(),  #1,  .  .  .,  %k~-\  sont  connus  ainsi  que  fxc,  pi,  .  * .,  P-A-_I?  on  ~ — * *— A 

et  B/t  qui  sont  des  series  trigonom^triques.  On  determinera  ensuite  p*  et  par 
consequent  VA-,  de  telle  fagon  que  liquation 

kxk  =  F#— i  -f-  vx-  cos  w  —  B  - 

puisse  dtre  satisfaite  par  une  s^rie  trigonometrique  #*. 


548  SUR  UNE  METHODS   DE   M.    LINDSTEDT. 

Telle  est  la  methode  tres  simple  de  M.  Lindsledt.  II  est  ais6  de  voir 
comment  il  faut  determiner  v*;  en  effot,  pour  que  Tequation 

kit  =  W, 

ou  le  second  membre  est  une  serie  trigonometrique  en  t  et  <v  puisse  £tre 
satisfaite  par  une  se>ie  irigonomilrique  u,  il  faut  et  il  suffit  que  W  ne 
contienne  ni  terme  en  cosw,  ni  lerme  en  simv.  Or  nous  pouvons  disposer 
de  v/c,  de  facon  a  d<§truire  les  termes  en  COSPP;  mais  nous  ne  pourrions  pas  de 
m6me  detruire  les  termes  en  siiuv,  s'il  y  en  avait  dans  FA—I  —  B/t. 

On  voit  imm^diatement  qu'on  ne  peut  en  rencontrer  dans  les  premieres 
approximations;  mais  il  n'est  pas  evident  qu'ii  en  serait  de  meme  dans  les 
approximations  suivantes.  Aussi  M.  Lindsledt  crojait-il  que  sa  methode 
a'^tait  applicable  jusqu'au  bout  que  s'il  n'existait  aucune  relation  Hn6aire  a 
coefficients  entiers  entre  les  coefficients  du  temps  dans  les  divers  termes 
de  94,  90,  .  .  .  ,  (fp.  Cette  restriction  qui  serait  Ires  g£nante  est  inutile;  je  vais 
le  de"montrer  en  m'apptiyant  sur  le  th<5oreme  de  Green.  Pour  cela,  je 
supposerai  d'abord  que  cp,,  Q2?  .  .  .  ne  coatiennent  qu'un  seul  argument, 
c?est-a-dire  (en  clioisissant  convenablement  Tunit6  de  temps)  que 

o/c=  S  A  QQ$(mt  -h  h}    (?n  etant  entier),         cp^C^-f-aTc)  ==  9/t(r). 

Posons 

dx 
y=—,          ,Z  =  t, 

et  regardons  ^,  y  et  z   comme  les  coordonne"es  d'uix  point  dans  1'espace. 
Posons  encore 

X=/,         Y=  —  rfioc  -+•  a&i-h.  *  .  -f-  3cP®  Z  =  I. 


Soient  S  une  surface  ferme"e  quelconque,  d<&  Foment  de  cette  surface, 
a,  6,  c  les  cosinus  directeurs  de  la  normale.  Le  theor&me  de  Green  nous 
donnera 


car  on  voit  aisement  qu'on  a 

dX.       ^Y       dl  = 
dx        dy       dz  ~~ 

Revenons   a  |la    methode    de   M.   Lindstedt  et  supposons    qu'apres    avoir 
conduit   avec   succes    les    k    premieres    approximations,    on    soit    arr£l6    a 


SUR   UNE  M^THODE  DE  M.   LINDSTEDT.  549 

la   (A-+i)ifime   par  la    presence    d'un  terme   S  siruv    dans    FA._4  —  B*.    Nous 
rdsoudrons  alors  liquation 


*—  S  sinw, 


en  choisissanl  v/.  de  fagon  a  dilruire  les  lermes  en  COSPP  dans  le  second  membre. 
Alors  x'k  sera  une  s^rie  trigonom^trique  en  t  et  w.  Posons  maintenant 


SI  nous  faisons  parcourir  a  £  et  a  c-v  touies  les  valeurs  comprises  entre 
et  27i,  le  point  #,  /,  z  parcourra  une  certaine  surface  2;  cette  surface  ne  sera 
pas  ferm^e,  mais  elle  sera  limil^e  aux  deux  plans  z~  o,  s  =  27r.  Pour  achever 
d'enclore  un  volume,  il  faudra  adjoindre  a  la  surface  2  une  portion  de  chacun 
de  ces  deux  plans;  nous  aurons  alors  une  sorte  de  cylindre,  avec  sa  surface 
lat<5rale  2,  sa  base  B  dans  le  plan  5  =  0,  el  sa  base  B;  dans  le  plan  ^  =  2-31. 

L'inl^grale    /(Xa-+-  Y6  +  Zc)  rfw,  ^lendue  a  la  surface  totale  de  celle  sorte 

de  cylindre,  devra  elre  nulle.  Mais  les  inlegrales  relatives  aux  deux  bases  se 
d^truisentj  puisque  x  et  y  sont  des  fonctions  p^riodiques  de  t  avec  la 
p^riode  aw;  done  1'int^grale  ^tendue  a  la  surface  2  est  nulle. 

Evaluons  cette  int^grale  d'une  autre  facon. 

Posons,  pour  abr^ger, 


M  ~  \efw)   +  \ff(v)  "*"  \'It  dw        fhv  rft  )  ' 

d'oii 


II  viendra  alors 


avec 

Y  =± 


Si  Ton  d6veloppe  Xa+  Y6  +  Zc  suivant  les  puissances   croissantes  de  a,  il 

viendra 

sin*  w  -H  a**1  61  -H  a*^*et-+-.  .  .  , 


550  SUR   ONE  METHODE  DE  M.   LINDSTEDT, 

oil  6,|,  02,  ...  sont  des  series  trigonom^triques  qu'il  est  inutile  de  determiner 
davantage,  et  ou 

0       sin2  w  -H  n~  cos2  w 

est  le  premier  lerme  du  d^veloppemenl  de  M  suivant  les  puissances  de  a. 

Notre  integrate  devant  etre  nulle,  quel  que  soil  a,  les  coefficients  des 
diverses  puissances  de  a  dans  le  d^veloppement  de  cette  inlegralo  devront  etre 
mils,  et  ce  sera  vrai,.  en  particulier,  du  coefficient  de  &/{  :  on  devra  done  avoir 

MO  S  sin-  w  du>  =  o, 

et,  comme  M()sm2w  est  essentiellemenl  posilif,  cela  ne  pent  avoir  lieu  que 
si  S  est  nuL  Done,  dans  la  m^thode  de  M.  Lindstedi,  aucune  des  approximations 
n'introduira  de  lerme  en  siii^;  done  la  m^thode  n'esl  jamais  en  d£faul. 

Pai  suppos^,  il  esl  vrai,  que  les  series  Irigonomitriques  <p4,  93,  ...  ne 
contenaient  qu'un  seul  argument;  mais  il  est  ais£  d'elendre  le  r^sultat  au  cas 
g6n6ral.  Si,  en  effet,  il  y  en  avail  deux  par  exemple  et  que  les  termes  des  cp  fussent 
de  la  forme  A  cos  (mfit  +  njt  +  A),  m  et/i  elantenliers  et(3  ety  deux  consumes, 
el  s'il  s'introduisail  un  lerme  Ssinwa  la  /clfcmc  approximation,  S  devrail  etre 

une  fonciion  continue  de  [3  et  de  y;  mais  ceile  fonclion  esl  nulle  si  ^  esl 

7 

commensurable,  cjcst-a-dire  si  les  deux  arguments  se  reduiscnt  a  un  seul;  elle 
est  done  toujours  nulle. 

La  rn£rae  analyse  pourrait  s'etendre  aux  Equations  plus  g^n^rales  consi- 
d^r^es  par  M.  Lindstedi,  mais  j'ai  a  peine  besoin  de  dire  que  la  question  de 
convergence  est  toujours  r6serv<5e. 


SUR  LES  SERIES  DE  M.  LINDSTEDT 


Complex  rendus  de  l}  Academic  des  Sciences,  t.  108,  p.  21-24  (?  Janvier  1889). 


il  esl  uiie  Equation  qu'oii  rencontre  souvenL  en  Meeanique  celeste  el  qui  a 
j&,  fait  Tobjet  de  bien  des  recherches  :  c'esi  la  suivante  : 


(i) 


n  esL  un  nombre  incommensurable,  /-cun  parametre  tres  petit.  Quant  u  o(p,  #), 
c'est  une  somrne  de  ternies  de  la  forme  suivante  : 

s  (  p  ,  .27  )  =  2  A.  p  w  cos  (  A  .27  -f-  a  ). 
//2  est  un  en  tier,  A,  \  ct  a  sont  des  constantes  quelconques.  Nous  pourrons 


loujours  poser 

o'^-i-i 

$)  =  S  A  —  -  cos(/.#  -4-  cc), 
y  v  x 


M.  Lindstedt  a  propos£,  pour  Immigration  de  cette  Equation,  des  series  qui 
ne  sont  pas  convergentes  au  sens  rigoureux  du  mot,  -mais  qui  peuvent  rendre 
de  grands  services  dans  la  pratique,  parce  que  les  termes  vont  d'abord  en 
d^croissant  tres  rapidement  et  qu'en  prenanl  un  petit  nombre  de  ces  termes  on 
ne  commet  qu'une  erreur  assez  faible,  comme  dans  la  s&rie  de  Stirling, 

Je  me  propose  de  presenter  la  methode  de  Lindstedt  £  un  point  de  vue 
nouveau,  en  la  rattachant  aux  principes  des  Vorlesungen  uber  Dynamik  de 
Jacobi. 

Nous  pouvons  remplacer  liquation  ( i  )  par  les  suivantes  : 

dp  da  0  dfy  dx 


552  SUR  LES  SERIES  DE  M.    LINDSTEDT. 

En  posant 

H~  ^-H-ra*  ~-  —  V- 

il  vienl 

rf         dH  d<3  afltf 


_  _  __ 

'di=*!te'         7Tt~~        3p"'          dt  ~  dp* 

auxquelles    ont   pent  joindre   (puisque  />   est  une  variable  auxiliaire   com- 
pl^tement  arbitraire) 

^  ==:_£*. 
dt  dx 

Changeons  de  variables  en  posant 


il  viendra 

dt  dx '          dt  dy '          dt        dp  5          dt        dq 

Les  Equations  dififerentielles  se  pr^sentant  sous  la  forme  canonique,  on  voit 
qu'il  suffit  pour  les  int^grer  de  connaitre  I'int6grale  complete  de  liquation  aux 
d^riv^es  partielles  H  =  C,  ou  1'on  regarde  p  et  q  comoie  les  d^rivees  d'une 
m^me  fonction  z  et  ou  C  est  une  constante  arbitraire.  Gette  Equation  s'^crit 
done 

dz          A  dz          ,  /  dz 


Nous    allons    chercher  a   d^velopper  la   fonction   inconnue  z   suivant   les 
puissances  de  JJL,  en  ^crivant 

H-  f^2  -32  H-  •  .  .  j 


Si  dans  ^  nous  remplagons  q  par  ce  d^veloppement,  nous  trouverons 


^0  d^pendra  de  q$  seulement,  ^4  de  qQ  et  de  ^i,  ^2  de  ^0?  <J\  6t  q^  ^3  de  ^Oj 
q\,  q%  et  ^3,  ....  De  plus,  les  ^  seront  de  la  forme  suivante.  Si  qG  est  suppos£ 
donn^,  ^i  pourra  se  d<§velopper  suivant  les  puissances  croissantes  de  gr*, 


SUR    LES   SERIES   DE   M.    LINDSTEDT.  553 

<7a>  .••,#$;  le  coefficient  de  chaque  terme  de  ce  d^veloppement  sera  lui~m£me 
une  somme  de  termes  de  la  forme  suivante  : 


m  <§tant  un  entier,  A,  A,  et  a  des  constantes  quelconques. 

Cela  pose,  on  aura  pour  determiner  successivement  les  fonctions  JSP  la  suite 
d'equations  rdcurrentes 

(3)  po-H  n*qQ=  G, 


Nous  prendrons  pour  ^o  et  ^0  deux  constantes  satisfaisant  a  la  premiere  des 
Equations  (3)  et  nous  aurons,  par  consequent,  £0=jp0a?-i-  q$y\  la  cons- 
tante  #0,  que  nous  supposerons  diflerente  de  z6ro,  sera  notre  constante 
d'integration. 

Quand  on  connailra  ^0?  zi,  ^2!  •  •  •  ?  ^i~i?  on  connaitra  ^i-i  et  liquation 

(4)  ^/-f-  /AS^*=  <h-i 

determiner  a  ^,. 

Gonvcnons  d'appeler,  pour  abr&ger,  fonction  trigonometrique  de  x  et  de  y 
toute  somme  de  termes  de  la  forme  (2). 

Je  dis  quc  pt  et  ql  seront  des  fonclions  trigonometriques  de  x  et  de  y. 
Supposons,  en  efl%et;  que  cela  soil  vrai  des  d6rivees  de  z0,  z^  ^2j  •  -  —,  zi—  \  ? 
je  dis  que  cela  sera  vrai  des  d6riv£es  de  ZL. 

En  effet,  cela  sera  vrai  d'abord  de  ^i-i?  de  sorte  que  liquation  (4)  s'6crira 

Xa?  H-  a). 


Dans  le  second  membre,  j'ai  mis  en  evidence  le  terme  tout  connu  A0  de  la 
fonction  trigonometrique  ^i-i-  Nous  tirerons  de  la 

^ri  A  sin(my-t-  \cc  -f-  a)  __  \"i  A  ^t  cos  (my  •+-  \x  H-  oe) 


On  voit  que  #/,  et  par  consequent  q,  est  une  fonction  trigonometrique 
de  x  et  de  y. 

Nous  possedons  done  s  sous  la  forme  d'une  fonction  trigonometrique 
de  x  et  de  y,  dependant  en  outre  de  deux  conslantes  arbitrages  G  et  q0. 
L'integrale  generate  de  liquation  ( i )  est  alors 

dz  dz          ,  dz 

q~d^      W«~~q*'      d&~x~> 

q'Q  etant  une  nouvelle  constante  arbitraire. 
H.  p.  —  VII. 


554  SUR  LES  SERIES  DE  M.   LINDSTEDT. 

II  esf  ais6  (Ten  d^duire  les  series  de  M.  Lindstedt  sous  la  forme  que  le 
savant  asironome  leur  a  donn^e. 

On  remarqnera  que  cette  m^thode  d'exposition  met  en  Evidence  la  forme 
pui'ement  trigonom6trique  de  la  solution,  sans  qu'on  soil  oblige  cle  recourir 
an  theoreme  de  Green  et  de  Paflifice  que  j'ai  employ^  dans  le  Bulletin 
astronomique  pour  dernontrer  la  legitimite  cle  la  methode  do  M.  Lindsledt. 

Ce  que  je  viens  de  dire  s'^tend  sans  pcine  a  des  cas  beaucoup  plus  generaux, 
et,  en  particulier,  au  probleme  des  trois  corps.  Jo,  dots  toiuefois  faire  une 
remarque. 

Pour  toute  autre  loi  d'attraetion  que  celle  de  Newton,  ^application  de  la 
m6thode  precedente  au  probleme  des  trois  corps  ne  presenterait  aucune 
difficult^;  avec  la  loi  de  Newton,  au  contraire,  elle  ne  reussirait  pas  si  1'on 
prenait  pour  point  de  depart  Forbite  k^plerienne;  on  est  done  oblig6  de 
prendre  comme  premiere  approximation  Fune  des  orbites  interm<5diaires 
de  M.  Gyldehi. 


SUR  UN  PROCfiDE  DE  VERIFICATION, 

APPLICABLE  AU  CALCUL  DES  SERIES 

DE  LA  MECANIQUE  CELESTE 


Compt.es  rendas  de  VAcademie  des  Sciences,  t.  120,  p.  67-59  (i4  Janvier  1896). 


Dans  mon  Ouvrage  intitule  M£thodes  nouvelles  de  la  M&canique 
j'ai  moiitre  comment  on  pouvait  represenier  les  coordonne^es  des  astres  par  des 
series  trigonomdtriques  et  je  me  suis  particulierement  etendu  sur  ce  sujet  dans 
les  Ghapilres  XIV  et  XV. 

Supposons  que  1'on  6tudie  le  mouvement  de  trois  corps,  par  exemple  du 
Soleil  et  de  deux  planetes;  nous  rapporterons  les  deux  planeles  a  une  originc 
mobile  mais  a.  des  axes  de  direction  fixe;  la  premiere  planele  sera  rapporl^e  a 
des  axes  passant  par  le  Soleil  et  la  seconde  a  des  axes  passant  par  le  centre  de 
gravit^  du  Soleil  et  de  la  premiere  pJanete. 

Solent  #1,  2?2>  ^3  l<3s  trois  coordonn^es  de  la  premiere  planete,  xk,  ^3,  XQ 
celles  de  la  seconde;  soient  j'i,  y*2>  y*  les  trois  composantes  de  la  quantity  de 
mouvement  de  la  premiere  planete;  soient  JKA,  jKej  TO  Ics  mdmes  composantes 
pour  la  seconde  planete.  II  s'agit,  bien  entendu,  des  quantitds  de  mouvemeat 
de  ces  planetes  dans  le  mouvement  relatif  par  rapport  aux  axes  mobiles 
auxquels  elles  sont  respectivement  rapportdes  et  en  leur  attribuant  des  masses 
fictives  convenablement  choisies  qui  s'expriment  simplement  en  fonction  des 
masses  r6elles. 

Dans  FOuvrage  que  je  viens  de  citer,  j'ai  montre  que  les  &t  et  les  y?  peuvent 
s^exprimer  de  la  fa^on  suivante  :  Soit  pi  un  parametre  tr^s  petit  de  Tordre  des 


556  SUR   UN   PROCEDE   DE  VERIFICATION. 

masses,  soient  £,  et  w,(i  =  i,  2,  . .  . ,  6)  douzes  constants  d'inUgration  dont 
quatre,  que  j'appelle  S-3,  £4,  £j,  EG?  sont  tres  petites. 

Soient  m(i=i:  2,  .  .  .,  6)  six  quantit6s  s'exprimant  a  Paide  de  ces  cons- 
tantes;  les  m  seront  d6velopp6s  suivanl  les  puissances  de  /J.  et  de£a,  £>,,  £ro  £(}; 
les  coefficients  du  d£veloppement  d^pendront  encore  de£i  et  de  £2;  les^  seront 
done  ainsi  fonctions  de  p.  et  des  £/,  mais  ind^pendants  des  STJ.  Quatre  des  T^  a 
savoir  /i3,  7i4,  /i{),  tt0  seront  tres  petits,  Les  deuxautres,  n±  et  /z2,  correspondent 
aux  moyens  mouvements;  ce  sont  pour  ainsi  dire  les  moyens  movements 
moyens, 

Posons  enfin 

co/  =  nLt  -h  Wf. 

Alors  j'ai  montr6  que  les  #t  et  les  7,  sont  ddveloppables  suivant  les  puissances 
de  /*,  ^i,  ^5  ^  et  E(};  chaque  terme  du  d^veloppement  est  une  fonclion  p^rio- 
dique  des  &>,  de  p^riode  2?r;  et  depend  en  outre  de  £,  et  de  Ha. 

Les  douze  constantes  ainsi  introduites  rappellent  en  quelque  sorte  les 
«  6l6ments  absolus  »  de  M.  Gyldeii;  £j  et  ^2  jouent  un  role  analogue  a  celui  des 
grands  axes;  £3,  g4,  |3,  H«  sont  analogues  aux  excentriciles  et  aux  inclinaisons; 
w1  et  &)2  aux  longitudes  moyennes;  w:!,  o),»  O3t),  cofi  aux  longitudes  des  p6rih61ies 
et  des  noeuds. 

Ces  series  jouissent  de  certaines  propri6t6s  que  la  sym6trie  rend  evidentes. 

Ainsi  les  series  qui  repr^sentenl  x,  et  yi  seront  respectivement  de  la  forme 

3?!4^"5?^  cos(/;?t  to  i  ~h 
* 5*3 gji £*«£*«.  sinfmtwr 

Les  A  et  les  B  sont  des  fonctions  de  ^  et  de  ^2J  l^s  m  et  les  A-  sont  des 
entiers;  mais  ces  entiers  ne  sont  pas  quelconques;  les  k  sont  des  entiers 
positifs,  les  m  peuvent  £tre  positifs,  n^gatifs  on  mils;  on  aura 

m±  -h  m2 -h . .  .  -4-  mr,  =  o. 

Enfin  |  mj  |  (ou  e  =  3,  4,  5  ou  6)  sera  plus  petit  que  Av  et  de  m6me  paritt'; 
que  ki. 

La  constante  des  forces  vives  C  sera  une  fonction  des  £z,  ou  bien  encore 
(puisque  les  TH  sont  six  fonctions  ind<§pendantes  des  ^)  ce  sera  une  fonction 
des  HI,  Je  pr^re  supposer  C  exprim^  en  fonction  des  n/. 

Tl  est  a  peine  n^cessaire  d'ajouter  quo  les  series  obtenues  ainsi  ne  sont  pas 
convergentes,  mais  qu'elles  peuvent  n<§anmoins,  a  la  fagon  de  la  s^rie  de 
Stirling,  rendre  des  services  aux  astronomes. 


SUR  UN  PROCED£  DE  VERIFICATION.  067 

Ellcs  scat  done  importantes  et  comme  les  calculs  qui  y  conduisent  sont 
d61icats  ct  dlfficiles.  II  n'est  pas  sans  int^rel  de  connaitre  des  process  de 
verification, 

Un  premier  proc6de  consisle  a  substitute  ces  series  dans  le  premier  membre 
dc  1'  equation  des  forces  vives,  ou  des  Equations  des  aires.  Ges  premiers 
membres  doivent  se  reduire  a  des  fonctions  des  ^  seulement. 

Mais  il  y  a  un  autrc  proc£d6  de  verification,  qui  ne  s'apercoit  pas  aussi 
immediatement,  cL  c'est  sur  ce  point  quo  je  d^sirerais  attircr  1'attention. 

Les  egalit^s  suivantes  doivent  elre  identiquemenl  verifiees  : 


Los  Hf  sonl  des  fonctions  dos  \  seulement,  independantes  des  co. 

Quant  a  C3  cjest  la  constante  des  forces  vives  suppos^e  exprim6e  enfonction 
des  n(\ 

On  pout  ajouter,  ol  c'est  d?ailleurs  une  consequence  des  ^galites  prece- 
dentes,  quo  r  expression  'StXidyi  cst  une  differ  en  tielle  exacte  quand  on  y 
regarde  les  \  comme  des  constantes  et  les  w  comme  six  variables  ind^pendantes. 


SUR  LA  DIVERGENCE  DES  SERIES 

DE  LA  MECANIQUE  CELESTE 


Comptes  rendus  de  VAcademie  des  Sciences,  t.  122,  P-  4<J7-499  (2  mars  1896). 


M.  Hill  a  public,  dans  Ic  Bulletin  o/  the  American  Mathematical 
Society  (1),  une  Note  intitul6e  :  On  the  convergence  of  the  series  used  in  the 
subject  of  perturbations,  el  dont  les  resullats  scmblent  au  premier  abord  en 
contradiction  avec  ceux  que  j'ai  obtenus.  Je  crois  done  n^C'Cssaire  de  naontror 
que  colte  contradiction  n'est  qu'apparenle;  j'ajouterai  m6me  que  le  principal 
\h£oreme  de  M.  Hill  avail  d6ja  6le  ddmontre  par  moi. 

Je  rappelle  succinctementles  propositions  que  j'ai  6noncees  (Methodes  nou- 
velles  de  la  Mecanique  celeste^  t.  II,  Chap.  XIII)  : 

Meltons  les  equations  de  la  Mdcanique  celeste  sous  la  forme 

(i)  d*i  -  fiZ.  ,      d'Yi  ==  _  dF  t 

dt  -      dyi  '  dt  dxi 

La  fonction  F  est  periodique  par  rapport  aux  yi\  elle  depend  des  xi  d'uno 
maniere  quelconque.  De  plus,  certains  de  ses  terrnes  sont  ires  petits  par 
rapport  aux  autrcs,  et  nous  p.ouvons  mettre  en  Evidence  1'ordre  de  grandeur 
de  ces  dilFerents  termes  en  introduisanl  une  quantity  Ires  petite  p  et  en  d^ve- 
loppant  F  suivant  les  puissances  de  /J.  sous  la  forme 

F  s 
F0  ne  depend  pas 


Vol.  II,  Janvier  1896,  p.  g3. 


SUR   LA   DIVERGENCE   DES  SERIES  DE  LA  MECAWQUE  CELESTE.  55g 

On  trouve  alors  qu'on  peul  satisfaire  formellement  aux  equations  (i)  par  des 
series  do  la  forme 


Yt  =  <*,  -I- 


ou  les  x'f  el  les  jf  sont  des  fonctions  periodiques  des  quantites 


les  w/  sonl  des  consumes  d'integralion;  les  /z/  sont  des  constantes  (diles 
may  ens  mouvements]  qui  sont  d^veloppables  en  series  ordonn^es  suivant  les 
puissances  de  fju 

Les  &£  oa  yf  soul  eax-memes  d^veloppablcs  en  series  de  la  forme 

1.3)  x£(ouy$  )  =  SA  cos(wzj(T-i]-h  771*  w2  -h  ...-+•  mnwn+  h). 

On  peuL  alors  se  demander  : 

i°  Si  les  series  (3)  convergent; 

2°  Si  [en  admettant  que  les  series  (3)  convergent  et  que,  par  consequent,  on 
puisse  former  los  series  (a)]  les  series  (a)  convergent. 

Pour  simpliiier  Fexposition  de  celte  discussion,  je  supposerai  deux  argu- 
ments seulernent  w\  et  w^  et  deux  moyens  mouvements  n\  et  Tin.  Commencons 
par  Fetude  des  series  (3). 

Si  le  rapport  des  moyens  mouvemenls  esl  commensurable,  un  des  termes  de 
la  s6rie  devient  infini  ;  laissons  de  cdti  ce  cas, 

,Pai  montr6  (p.  96,  97)  que  les  valeurs  incommensurables  du  rapport  des 
moyens  mouvements  peuvent  se  rdpartir  en  deux  categories  :  celles  pour 
lesquelles  la  s<5rie  converge,  celles  pour  lesquelles  la  s&rie  diverge,  et  que  dans 
tout  intervalle,  si  petit  quyil  soit,  il  y  a  des  valeurs  de  la  premiere  categorie  et 
des  valeurs  de  la  deuxieme. 

J'ai  d(£montr(3,  en  particulier,  que  la  s^rie  converge  pour  les  valeurs  incom- 
mensurables dont  le  carr6  est  commensurable. 

C'esl  ce  dernier  r^sultat  que  retrouve  ML  Hill  par  une  demonstration  de  tout 
point  semblable  a  la  mienne,  mais  il  le  g^n^ralise  en  montrant  qu'il  en  est  de 
raeme  pour  toutes  les  valeurs  qui  satistont  a  une  Equation  alg^brique  u  coeffi- 
cients en  tiers. 

II  n'y  a  done,  on  le  voit,  aucun  disaccord. 

Le  point  essentiel  n'en  subsiste  pas  moins,  quelle  que  soit  Papproximatton 


560  SUR  LA  DIVERGENCE  DES   SERIES   DE  LA  MECANIQUE   CELESTE. 

avec  laquelle  les  moyens  mouvements  scronl  coiinus;  nous  nepourrons  assigner 
une  limite  sup^rieure  a  1'erreur  commise  en  s'arretant  a  un  lorme  do  la  scrie. 

La  convergence  de  la  serie  ne  peul  £lre  uniform e. 

Passons  maintenant  aii  second  point  :  je  veux  dire  a  la  convergence  des 
series  (2).  Celte  question  n'est  pas  abord6e  par  M.  Hill. 

II  sernble  d'abord  qu'elle  ne  doive  meme  pas  se  poser,  pnisque  la  conver- 
gence des  series  (3),  quand  elle  a  lieu,  n'est  pas  uniforme.  Mais  un  artifice 
tres  simple  permel  de  former  n^anmoins  les  series  (2). 

Si,  en  eflfet,  les  fonctions  t\,  F3,  ...  ne  contiennent  chncnnc  qu'un  nouibre 
fini  de  termes,  chacune  des  scries  (3)  se  reduira  ognlenient  a  un  nombre  fini 
de  termes.  Sa  convergence  sera  done  assuree. 

A  la  v6ril6,  il  n?en  est  pas  ainsi  quand  fz  represente  une  des  masses  perturba- 
trices;  il  en  serait  ainsi,  an  conlraire,  dans  la  thdorie  de  la  Lune,  ou  bien 
encore  si  Ton  d^veloppait  a  la  fois  suivont  les  puissances  des  masses  el  des 
excentricit^s. 

Dans  tous  les  cas,  JLX  ne  joue  d'aulre  role  que  celui  de  quantity  tres  petite,  et 
rien  n'emp^che  de  grouper  ensemble,  sous  la  notation  /VF/,,  tous  les  termes 
dont  les  coefficients  sont  des  quantites  du  7ii6mc  ordre  de  grandeur. 

Grace  a  cet  artifice,  les  series  (3)  deviennent  convergentes  et  il  s'agit  d'envi- 
sager  les  series  (2). 

Malheureusement;  ici;  le  mode  de  demonstration  employe  par  M.  Hill,  et 
dont  je  m'6tais  dgalement  servi  pour  les  series  (3),  cesse  d'etre  applicable;  je 
n'ai  done  rien  &  changer  a  mes  conclusions,  dont  il  importe  de  bien  se  rappeler 
la  port^e  exacte,  que  j'ai  cherch^  a  pr^ciser  autant  que  possible. 


SUR  LA  DIVERGENCE 
DES  SERIES  TRIGONOMETRIQUES 


rendus  de  r Academic  des  Sciences,  t.  122,  p.  557~55g  (9  mars  1896). 


J'at  eu  Poccasion  de  parler  de  cette  question  a  propos  d'un  travail  de 
M.  Hill  ins($r6  dans  le  Bulletin  of  the  American  Mathematical  Society. 
M,  Hill  ayant  public,  dans  le  meme  Recueil  (d),  un  nouvel  article  sur  le  m£me 
sujet,  je  me  vois  forc^  d'y  revenir,  car  le  malentendu  me  semble  s'etre  aggrav£, 
et  je  crois  necessaire  de  donner  quelques  explications  compl^mentaires. 

II  s'agit  des  preuves  que  j'ai  donn^es  de  la  divergence  des  series  de 
M.  Lindstedt  : 

Another  method,  dit  M.  Hill  (p.  i3/})7  is  derived  from  the  principle  that  two  caracte- 
rislic  exponents  vanish  for  every  uniform  integral  that  exists;  but  the  integrals  derivable 
from  the  series  of  Delaunay,  Newcomb  and  Lindstedt  are  valid  only  for  a  limited  range 
in  the  values  of  the  linear  variables.  For  instance,  in  the  problem  of  the  three  bodies, 
if  the  deformation  of  the  triangle  formed  by  these  bodies  is  such  that  we  cannot  find 
any  two  sides,  one  of  which  sustains  to  the  other  an  invariable  relation  of  greater  or 
less,  we  cannot  apply  the  mentioned  series.  (Tel  serait,  par  exemple,  le  cas  d'une  comete 
trouble'e  par  Jupiter,  si  la  distance  aphe'lie  est  superieure  a  celle  de  Jupiter  et  la  distance 
perihelie  inferieure  a  celle  de  la  planete). 

Ainsi,  dans  la  pens^e  de  M.  Hill,  les  series  convergeraient  pourvu  que  les 
variables  satisfassent  a  cerlaines  in^galit^s.  et  mon  argumentation  prouverait 
seulernent  qu'elles  ne  peuvent  pas  converger  pour  toutes  les  valeurs  des 
variables  sans  aucune  exception.  11  est  ais6  de  voir,  au  contraire.  que  Targu- 
ment  conserve  sa  valeur  et  perinet  d'^tablir  que  ces  series  ne  peuvent  pas 

(*)  Vol.  II,  fcvrier  iS,j6,    p.  ia5» 

H.  P.  —  VII.  7r 


562  '       SUR   LA   DIVERGENCE  DES  SERIES   TRIGONOMETRIQUES. 

converger  dans  toute  1'etendue  d'un  domaine  quelconque,  pourvu  qu'il  y  ait, 
dans  ce  domaine,  une  solution  p<3riodique;  or,  il  y  a  des  solutions  p6riodiques 
dans  tous  les  doinaines,  si  petits  qu'ils  soienL  (au  moms  pour  les  valours  Ir&s 
petites  des  masses  et  des  excentricit^s).  Si  done  les  series  convergent,  ce  ne 
peut  <Hre  que  pour  certaines  valeurs  discretes  des  variables  et  non  pour  toutes 
les  valeurs  comprises  entre  certaines  linutes,  quelque  rcsserr^es  que  soient  ces 
limiles. 

In  the  third  place,  continue  M.  Hill,  an  appeal  is  made  to  the  alleged  non  existence 
of  analytic  and  uniform  integrals  beyond  those  already  known.  (M.  Hill  expose  ensuite 
que  deux  hypotheses  soiu  possibles).  Now  in  case  we  are  obliged  to  accept  the  first 
conclusion,  were  it  only  but  once,  M.  Poincare  has  demonstrated  the  non-existence  of 
integrals;  but,  granting  that  it  is  proper  in  every  case  to  accept  the  latter  conclusion, 
the  demonstration  fails.  Now  he  declines  to  consider  the  latter  alternative,  saying  that 
he  does  not  believe  that  any  problem  of  Dynamics,  presenting  itself  naturally,  occurs 
where  the  right  members  of  the  mentioned  equations  would  all  vanish. 

Pai  dit,  en  effet  (Methodes  nouvelles  de  la  M6canique  celeste,  1. 1,  p.  a45)  : 

Ges  considerations  ne  presentent  pas,  d'ailleurs,  d'interdt  pratique  ct  je  ne  les  ai  pre- 
sentees ici  que  pour  etre  complet  et  rigoureux.  On  peut  evideniment  construire  arlifi- 
ciellement  des  problemes  ou  ces  diverses  circonstances  se  rencontreront;  mais,  dans  les 
problemes  de  Dynamique  qui  se  posent  naturellement,  il  arrivera  toujours,  ou  bien  que 
toutes  les  classes  serontsingulieres,  ou  bien  qu'elles  seront  toutes  ordinaires,  a  1'exccptiori 
d'un  nombre  fini  d'entre  elles. 

La  question  demeure  done  r^servee  en  ce  qui  concerne  un  probl£me  de 
Dynamique  quelconque,  mais,  en  ce  qui  concerne  le  probleme  des  trois  corps 
en  particulier,  j'ai  d£monlr£7  dans  le  Chapitre  VI,  nos  102  et  103,  que  toutes 
les  classes  sont  ordinaires. 

La  seconde  alternative  se  trouve  done  6cart^e. 

Enfin}  M.  Hill  ajoute  encore  ce  qui  suit : 

M.  Poincare  appeals  in  another  place  to  the  fact  that  the  Lindstedt  series,  if  convergent, 
would  establish  the  non-existence  of  asymptotic  solutions.  But  this  observation  is  irre- 
levant for  the  reason  that  the  domains  of  the  two  things  are  quite  distinct.  In  any  case 
where  Lindstedt  series  are  applicable,  there  are  no  asymptotic  solutions,  and,  where 
there  are  asymptotic  solutions,  Lindstedt's  series  would  be  illusory. 

M.  Hill  parait  croire  qu'il  ne  peut  y  avoir  de  solutions  asymptotiques  que  si 
les  variables  satisfont  &  certaines  indgalit^s;  et,  en  effet,  il  avait  dit  quelques 
pages  plus  haut  : 

In  all  the  cases  presented  by  astronomy,  where,  on  account  of  the  near  approach  to 
circular  motion,  a  periodic  solution  can  be  taken  as  a  first  approximation,  it  appears  that 
the  squares  of  the  characteristic  exponents  are  real  and  negative.  Thus,  there  is  no  call 
here  to  consider  this  sort  of  solution  (les  solutions  asymptotiques). 


SUR   LA   DIVERGENCE  DES   SERIES   TRIGONOMETRIQUES.  563 

II  y  a  la  une  erreur  mamfeste ;  car,  en  se  bornant,  pour  simplifier,  au  probleme 
dil  restreint  (inclinaison  nulle,  masse  de  la  planete  trouble  nulle,  excentrieite 
de  la  planete  iroublanle  nulle),  on  voit  quo  dans  tout  domaine,  si  petit  qu'il 
soit,  il  y  a  des  solutions  asymptotiques,  au  moins  pour  des  valeurs  suffi- 
sammenl  pelites  des  masses  perturbatrices. 

Si  M.  Hill  a  cru  le  contraire,  c'est  qu'il  n'a  envisag^  que  les  solutions  perio- 
diques  de  la  premiere  sorte;  rnais  1'application  de  la  m^thode  de  Delaunay 
suflirail  pour  inettre  en  Evidence  Fexistence  des  solutions  asymptotiques. 


sim 
LA  FACON  DE  GROUPER  LES  TERMES 

t> 

DES  SERIES  TRIGONOMETRIQUES 

QU'ON  RENCONTRE  EN  MECANIQUE  CELESTE 


Bulletin  asirononuque^  L.  15,  p.  289-310  (aout  1898). 


1.  J'ai  expos6,  dans  le  Bulletin  as -tronomique  (juillel  1897)  (4),  une  me"thode 
qui  permet  de  d6velopper  les  coordonn^es  des  astres  en  series  ne  contenant 
que  des  sinus  et  des  cosinus. 

Je  voudrais  aujourd'hui  reveiiir  sur  ce  sujet  pour  montrer  comment  II  convient 
de  grouper  les  ternies  afin  d'obtenir  une  convergence  aussi  rapide  que  possible 
et  les  diverses  particularity  que  Ton  peut  mettre  en  Evidence  en  de"composant 
et  groupant  les  termes  de  diff^renles  manieres. 

Ce  que  j'ai  a  dire  s'applique  au  cas  g£n6ral  avec  quelques  changements  de 
detail.  N^anmoins,  pour  simplifier  et  abregercet  expos^,  je  me  bornerai  au  cas 
particulier  connu  sous  le  nom  de probleme  restraint. 

Je  supposerai  un  corps  central  S  autour  duquel  circuleiit  une  masse  Lrou- 
blante  J  tres  petite  et  une  masse  troubl&e  P  inflniment  petite.  La  masse  P  ^taiit 
infiniment  petite,  le  mouvement  de  J  doit  ob6ir  aux  lois  de  Kdpler;  je  suppo- 
serai Torbite  de  J  circulaire;  Pinclinaison  nulle  de  fagon  que  P  se  mcuve  dans 
le  plan  de  Porbite  de  J  et  enfm  Fexcentricit^  de  P  tres  petite,  de  fagon  que  P 
se  meuve  dans  le  meme  sens  que  J  dans  une  orbite  sensiblement  circulaire. 

f1)  QEuvres  de  H.  Poincare,  ce  Tome,  p.  617. 


SUR   LA  FA£ON   DE   GROUPER  LES   TERMES   DES   SERIES   TRIGONOM^TRIQUES.  565 

J'appelle  a  et  e  le  derm-grand  axe  et  Pexcentricit6  de  P;  fx  la  masse  de  J, 
I  1'anomalie  moyenue  de  P  et  g  la  longitude  de  son  p6rih.6lie,  I1  la  longitude 
de  J,  et  je  pose 


Je  vois  alors  que  les  Equations  du  mouvement  prennent  la  forme  canonique 

(  2  }  —  =  —  dx-  —  -^  £*5Ii  —  _  —  dfz  ——  f5L 

~'  ""'          "~~~'          ~       ~"^  ~ 


~dt 


F  est  uiie  fonction  ddveloppable  suivant  les  puissances  de  /LA  et  p^riodique  par 
rapport  auxy. 

Pour  fjt.  =  o,  cette  fonction  F  se  r^duit  a 


(a  la  condition  de  choisir  convenablement  les  unites  de  longueur,  de  masse  et 
de  temps)  et  ne  depend  que  des  #. 

Nous  nous  trouvons  done  dans  les  conditions  du  probleme  B  (Bull,  astr.^ 
t.  14,  p.  24^)  (d).  Les  r^sultats  obtenus  a  propos  de  ce  probleme  sont  done 
applicables  ici;  ils  peuvent  s'^noncer  sous  la  forme  suivante. 

Soiont  ^i,  £2?  Wj?  wa  quatre  constantes  d'int6grallon;  soient  Ji±  et  n2  deux 
nouvelles  constantes  dependant  de  ^i,  de  x?2  et  de  JA, 

Wi  =  Til  Jf  H-  Tffi,  «'2=  712^  H-  ^2- 

Les  variables  x  §\.  y  peuvent  se  d^velopper  en  series  proc^dant  suivant  les 
puissances  de  JUL, 


Les  ^  et  les  ykt  (sauf  jrj  et^  qu^  sont  6gaux  ^  ^  et  pp2)  sont  d^veloppables 
en  s6ries  trigonomdtriques  proc6dant  suivant  les  sinus  et  les  cosinus  des 
multiples  de  Wi  et  (V35  le  coefficient  de  chaque  terme  dependant  de  ^  et  de  ^2. 

Enfln  n{  et  /z2  peuvent  se  d^velopper  suivant  les  puissances  de  /*,  chaque 
terme  6tant  une  fonction  de  z\  et  de  £2,  de  sorte  que 


(4)  m=  n,- 

Nous  supposerons  d'ailleurs 

^7?=:^!,  ^S  —  .So, 


'^.,  p.  5  1  8. 


566  SUR   LA   FACON    DE   GROUPER   LES   TERMES   DES   SERIES   TRIGONOM^TRIQUES. 

d'ou 


La  constante  z^  =%l  est  tres  petite  et  de  Pordre  du  carr£  de  Pexcentricite, 
et  il  n'est  pas  inutile  de  remarquer  que  nos  expressions  x\  et  jf  (sauf  y\  et  yT) 
peuvent  se  d^velopper  suivant  les  puissances  de  \Asi  cosfVi,  \/£\  sintt'i,  chaque 
ternie  dependant  encore  de  w>2  el  de  ^2  et  6tant  periodique  par  rapport  a  w2. 


2.  Observons  d'abord  que  de  ces  series  on  en  peut  ddduire  une  infinite 
d'autres  de  m£me  forme. 

Remplacons,  en  effel,  les  constantes  z  et  sj  par  les  d^veloppements  suivants 
proc^dant  suivant  les  puissances  de  p,  : 
(G)  jst=  sf  H-  ps}  -4-  p**f  H-.  .  .,         m/=  TO]'  H-  {^ny;  -h  j^Wf  -h.  .  .  . 

Les  ^f  et  les  syf  sont  des  fonctions  de  quatre  nouvelles  constantes  ^n  z(>,  w\. 
^  ;  on  a 

,_0    _     r-'  T-rO    _    --' 

Xif      —    ^;,  Wt     -    Wj 

et  les  autres  .sf  ,  wf  sont  des  fonctions  quelconques  de  ^7,  et  £'2,  dc  TEF^  et  Ttil. 

II  est  clair  que  si,  dans  les  series  (3),  je  remplace  les  constantes  st  et  GT/  par 
leurs  d^veloppements  (6),  puis  que  j'ordonne  de  nouveau  par  rapport  a  /j., 
j'obtiendrai  pour  les  xi  et  les  y\  de  nouveaux  d6veloppements  qui  seront  de 
mdme  forme  que  les  series  (3),  c'est-a-dire  qui  procederont  d'une  part  suivant 
les  puissances  de  /ut,  d'autre  part  suivanl  les  sinus  et  cosinus  des  multiples  de 

W\  =3,  H]_  t  4~  tff'j  ,  CVo  =  72a  if  -h  TU'2  , 

et  dont  les  coefficients  d^peiidront  des  nouvelles  constantes  zr  et  wr. 

Le  cas  le  plus  remarquable  sera  celui  ou  ces  coefficients  d^pendront  se'ule- 
ment  des  zj  et  seront  ind^pendants  des  w':  ainsi  qu'il  arrivait  pour  les  series  (3) 
elles-m&mes. 

3.  Comment  peut  se  faire  le  choix  si  largement  arbitraire  de  ces  d^veloppe- 
ments  (6)  qui  d^fmissent  les  constantes  zt  et  w^ 

On  peut  d'abord  s'arranger  pour  que  le  rapport  des  deux  moyens  mouve- 
ments  7i4  et  n%  soil  ind^pendant  de  p.  et  que  Ton  ait 


nB         S  — 

Les  Equations  (5)  nous  donnent 


SUR   LA   FA£ON   DE   GROUPER   LES   TERMES   DES  SERIES   TRIGONOMETRIQUES.  667 

Si  nous  ri'avions  pas  ainsi  une  relation  entre  n\  er.  71°,  nous  pourrions  choisir 
les  d^veloppements  (6)  de  telle  fagon  que  les  rooyens  mouvements  n^  et  n<> 
soient  tous  deux  ind^pendants  de  fji;  malheureusement  Texistence  de  celte 
relation  sjy  oppose. 

Soit 

nl  — «i  =  , 

Formons  alors  les  Equations 
4 


[  (^ 


Comme  les  /if  sont  des  fonclions  connues  de  s±  et  £2,  nous  pouvons,  de  ces 
Equations  (8),  tirer  z\  et  z(,  en  fonctions  de  £i,  de  ^2  et  de  p.,  et  il  est  ais6  de 
voir  que  Ton  obtient  ainsi  des  d6veloppemenls  de  la  forme  (6)  (les   z\  et 
les  zuf  dependant  seulement  des  d  et  non  pas  des  w'). 
Les  6qualions  (8)  eutrainent  d'aillewrs  la  relation 


4.  On  peut  aussi  choisir  pour  les  constantes  z[  et  &[  les  valeurs  initiales 
des  xi  et  des  yt  pour  ^  =  o, 

Prenons,  en  effet,  les  Equations  (3)  et  remplagons-y  t  par  zero,  xi  et  yl 
par  zt  et  w);  nous  trouverons  ainsi 

(cj)  Z\  =  ^°  -4-  fJL^1  -f-  ^2^2  •+-.  .  -  ,  ™'i  =  y?  •+-  ^y/  4-  fi»^  -H  .  .  .  . 

Dans  les  expressions  x\  et  yf  ,  les  arguments  w<  et  cv2  doivent  etre  reraplac^s 
par  57,1  cl  w2- 

Les  seconds  membres  des  Equations  (9)  sont  des  fonctions  connues  des  z, 
des  TS  et  de  y.  ;  pour  JJL  =  o,  ces  seconds  membres  se  r^duisent  a 

x?  =  jst,       7z°  =  w,. 

On  tirera  done  facilement  de  ces  Equations  (9)  les  z  el  les  &  en  fonctions 
des  nouvelles  constantes  z!  et  wr  et  de  p.  sous  forme  de  d^veloppements  pro- 
c6dant  suivant  les  puissances  de  p.  et  qui  ne  seront  autre  chose  que  les  d6velop- 
pements  (6)  cherch(is. 

L7inconv6nierit  de  ce  choix,  c'est  que  les  constantes  z  et  les  differences  sy  —  TO' 
dependent  non  seulement  de  z\  et  z'z,  mais  de  w\  et  ov  11  n'en  6tait  pas  ainsi 
quand  nous  proc^dions  comme  au  n°  3, 

11  en  r^sulte  que  les  series  (3)  se  trouvent  remplac^es  par  des's^ries  (3 


568  SUR  LA   FA£ON   DE   GROUPER   LES  TERMES   DES   SERIES   TRIGONOMETRIQUES. 

de  meme  forme,  mais  donl  les  coefficients  dependent,  non  seulement  de  &\ 
et  z(2)  mais  de  w\  et  sy'>  .  Au  coiiLraire,  en  procedanl  comme  au  n°  3,  on  trouve 
des  series  de  m£me  forme  eacore  et  dont  les  coefficients  sont  iudependants  des 
deux  constantes  37'. 

5.  Je  me  propose  d'abord  de  rnontrer  comment  on  pourra  ddduire  des 
series  (3)  les  d^veloppements  auxquels  aurait  conduit  1'application  des  pro- 
c^des  de  1'ancienne  M6canique  celeste. 

Adoptons  les  constantes  s*  et  wr  du  n°  4  et  envisageons  les  series  (3  bis) 
obtenues  a  la  fin  de  ce  num^ro. 

Les  Equations  (4)  nous  donnent  n\  et  11%  en.  fonclions  de  /JL,  de  ~t  et  de  z^. 
En  les  combinant  avec  les  equations  (6),  nous  aurons  7iL  et  n>2  en  fonctions 
de  /JL,  des  d  et  des  s/;  soit  done 
(4  bis}  n/=  nj°-h  [JtX-1  H-  pi2//-2-*-.  .  .. 

Les  n'Lk  seront  donn6s  en  fonction  des  z1  et  des  w  et  Ton  aura 


Consid6rons  alors  les  series 
(3  bis}  xi~  S|jL*a?;'';        j?-==  S[i*yJ*. 

Soit  Asin(?7i1  w\  H-  /7i2tVg)  un  terme  de  a?^  ou  JK'/\  Le  coefficient  A  depend 
des  jsf  et  des  35';  m<  et  m^  sont  deux  entiers;  enfin  le  signe  sin  pourrait  ^tre 
remplace  par  le  signe  cos. 

Ce  terrne  depend  indirectement  de  /JL,  puisque  Ton  a 

?HI  w\  -+-  m$  (v'2  =  (  ;??  j  /Zi  -H  /??2  /i2  )  ^  -+-  (  m-i  TTT^  -h  /?i2  in7.,  ) 

et  que;  d'apres  les  Equations  (4  few),  /ii  et  /i;>  dependent  de  /JL. 

D^veloppons  done  ce  terme  suivant  les  puissances  de  f*,  il  viendra 

(i  o  )  A  sin  (  77i  i  (PI  H-  m2  «('2  )  =  A  sin  to  H-  (JL  A  t  (  m±  n\*  -h  m^  n'f  }  cos  co  H-  .  .  .  , 

ou 

tO  =  (  m  i  TZ^0  -h  /tt-2  ^2°  )  *  H-  (  Ml  ™\  H-  ^2  Wg  ). 

Remplagons  maintenant  chaque  terme  des  series  (3  6/^)  par  son  d<Sveloppc- 
ment  (10)  et  ordonnons  de  nouveau  par  rapport  a  /JL;  nous  obtiendrons  ainsi 
des  series 


(3ter}          xt=  3/;° 

Les  series  (3  ter)  comprennent  comme  les  series  (3)  des  termes  purement 


SUR   LA   FA£ON   DE   GROUPER   LES   TERMES   DES   SERIES   TRIGONOM^TRIQUES.  569 

trigonorn6triques,  mais  elles  comprennent  en  outre  des  lermes  ou  le  temps  sort 
dcs  signes  trigonometriques,  tels  que  le  second  terme  et  les  termes  suivants 
du  d<iveloppement  (10). 

Chaque  terme  est  d'ailleurs  tout  a  fait  ind^pendant  de  ^. 

Les  series  (3  ter)  sont  celles  auxquelles  auraient  conduit  les  anciens 
precedes. 

6.  Nous  observerons  d'abord  que  ce  rapprochement  nous  fournit  imm^dia- 
lement  un  th<ioreme  applicable  aux  s6ries  obtenues  par  les  anciens  proc£d£s. 

Ces  series  contiennent  des  termes  non  s^culaires,  ne  contenant  qu'une  ligne 
trigonom<$trique  de  mtW\-\-m$wl9  ou  les  w\  sont  des  fonctions  lin^aires  du 
temps 

w"i==  n'iQ  t  -+-  wj. 

Elles  contiennent  en  outre  des  termes  ou  une  pareille  ligne  trigonom^trique 
est  multipli<ie  par  t,  ou  par  t2  ou  par  une  puissance  sup^rieure  de  t.  Sdparons 
ces  diverses  sorles  de  termes  et  ^crivons  par  exemple  le  developpement  de  #1, 


x\  =  S  A  sin  to  -+-  #SB  cost*)  -f-  t-I>  C  sin  co  -h.  .  .: 

ou 

oj  =  m\  w'[  -f-  m^  w'j  -I-  h  , 

h  6tant  une  constante. 

Le  tWor^rne  en  question,  c'est  que  les  coefficients  B,  G,  etc.  peuvent  se 
ddduire  des  coefficients  A  a  1'aide  des  formules  suivantes  : 

A  A 

B  =  —  (miai-t-  m2as),          G  =  --  - 


ou  «i  et  aL>  sont  les  constantes  7i4  —  ri?  et  ?z2  —  ri.?. 

ALnsi  la  connaissance  de  ces  deux  constantes  ai  et  a2et  des  termes  non  secu- 
laires  sufflt  pour  donner  imm^diatement  celle  de  tous  les  termes  seculaires. 
On  voit  de  plus  que  les  termes  «.  purement  seculaires  »  contenant  une  puissance 
de  t  et  pas  de  ligne  trigonom6trJque  doivent  toujours  se  d6truire  quelque  loin 
qu'on  pousse  FapproxiniaLion. 

7.   Si  nous  cherchons  a  comparer  les  series  (3  ter)  donn^es  par  les  anciens 
precedes  avec  les  series  (3)  donn^es  par  les  precedes  nouveaux,  nous  remar- 
querons  d'abord  que  les  series  (3  ter],  ordonn^es  suivant  les  puissances  de  [*, 
H.  p.  —  VII.  1* 


670  SUR   LA   FAgON   DE   GROUPER   LES   TERMES  DES   SERIES   TRIGONOMETRIQUES. 

convergent  pourvu  que  le  lemps  soil  suffisamment  petit;  la  convergence  cesse 
si  le  temps  d^passe  ime  cerlaine  valeur. 

En  ce  qui  concerne  les  series  (3),  nous  sommes  certains  que  les  premiers 
termes  convergent  assez  vite  pour  les  besoms  de  la  pratique;  mais  nousn'avons 
pas  le  mojen  de  d^montrer  que  la  s^rie  converge,  m£me  pour  les  petites  valeurs 
du  temps,  au  sens  que  les  analjstes  attaclient  a  ce  mot.  Nous  pouvons  affirmer 
au  contraire  que  la  convergence,  si  elle  a  lieu,  ne  saurait  tHre  uniforme  pour 
toutes  les  valeurs  du  temps  d'une  part,  et  d'autre  part  pour  Louies  les  valeurs 
des  constantes  comprises  entre  certaines  limites* 

Dans  ces  conditions,  on  est  tent£  de  se  demander  si  les  m6thodes  nouvelles 
ou  Fon  evite  les  d^veloppements  proc6dant  suivant  les  puissances  du  temps 
presentent  des  avantages  bien  r^els. 

On  se  rendra  miens,  compte  des  cas  o\\  les  avantages  sont  reels  el  de  ceux  ou 
ils  sont  illusoires  si  Ton  prend  garde  aux  reflexions  suivantes  : 

On  peut  se  proposer  deux  buts  diiKrenis,  ou  bien  repr^senter  les  positions 
des  astres  pendant  un  temps  tres  long  avec  ime  approximation  mediocre,  ou 
bien  les  repr^senter  pendant  un  temps  assez  court  avec  ime  grand e  approxi- 
mation. 

Supposoas  que  Tune  des  series  (3)  contienne  deux  termes  AsinaZ,  Bsin(3£ 

et  que 

A>B,        Aa<B(3. 

II  pourra  tres  bien  se  faire  que,  si  Ton  se  propose  le  premier  but,  on  doive 
tenir  compte  du  premier  de  ces  termes  et  n6gliger  le  second  qui  est  plus  petit 
si  t  est  assez  grand;  et  qu'au  contraire,  si  Ton  se  propose  le  second  but,  on 
doive  tenir  compte  du  second  de  ces  termes  et  n6gliger  le  premier  qui  est  plus 
petit  si  1'on  ne  donne  a  t  que  de  petites  valeurs. 

On  voit  done  que  le  clioix  des  termes  que  I5 on  doit  conserver  ou  n^gliger  ne 
peut  se  faire  sans  qu'on  se  soit  bien  rendu  compte  du  but  que  1'on  cherche  £ 
atteindre. 

Supposons  done  qu'on  veuille  repr^senter  les  mouvements  pendant  un 
lemps  T  et  avec  une  approximation  H;  nous  devons  n^gliger  le  terme  Asinatf, 
si  A  est  plus  petit  que  H.  ou  encore  si  AaT  est  plus  petit  que  II. 

11  pourra  se  faire  que  aT  soit  tres  petit,  pas  assez  cependant  pour  que  le 
terme  doive  <§tre  neglige.  Dans  ce  cas;  ce  terme  AsinaJ  diff^rera  tres  peu 
de  A,a£.  On  ne  voit  pas  bien  alors  quel  avantage  il  peut  y  avoir  a  lui  conserver 
la  forme  trigonom^trique  et  s'il  ne  vaut  pas  mieux  le  developper  suivant  les 


SUR   LA   FACON   DE   GROUPER   LES   TERMES   DES   SERIES   TRIGONOMETRIQUES.  671 

puissances  de  t,  en  bornant  le  developpement  a  un  ou  deux  termes.  Un  tres 
grand  nombre  de  termes,  se  reduisant  a  une  constante  multipliie  par  £,  t'2  ou  £•*, 
peuvent  alors  £tre  r^unis  en  un  seul. 

Supposons  encore  que  Pon  ait  un  certain  nombre  de  termes 

A  sm  a  t  -;-  A ,  sin  aj  t  -+-  Ao  sin  «o  t  •+- . . ,  -\~  A.n  sin  aw  t 

dont  les  pdriodes  soient  tres  peu  differenles.  Si  les  expressions  (aA  —  a)T  sont 
assez  petites  pour  qu'on  puisse  en  n6gliger  le  carre,  on  pourra  remplacer  ces 
n  +  i  termes  par  deux  termes  seulemeni 

ce  qui  sera  une  simplification  evidente.  L'approximation  plus  grande  que 
semble  donner  la  formule  complete  serait  d'ailleurs  le  plus  souvent  illusoire 
parce  que  les  p6riodes  ne  seraient  pas  exactement  connues, 

On  voit  que  dans  certains  cas  on  peut  avoir  int^ret  a  revenir  aux  d6veloppe- 
ments  qui  precedent  suivant  les  puissances  du  temps,  et  a  adopter,  pour  ainsi 
dire,  une  mcHhode  mixte  entre  les  anciens  proced6s  et  les  nouveaux.  Certains 
tonnes  conservent  la  forme  trigonometrique,  d'autres  se  developpent  de  maniere 
a.  fairc  sorlir  le  temps  des  signos  sinus  el  cosinus.  Le  choix  des  termes  auxquels 
la  forme  trigonom6lriquc  doit  etro  conservee  depend  du  but  que  Pon  se  propose. 

Au  point  de  vue  de  la  convergence,  ces  d^veloppements  mixtes  seraient 
equivalents  aux  series  (3  ter]  des  anciens  proced^s,  le  temps  pendant  lequel 
ils  resteraient  convergents  etant  en  general  plus  grand. 

8.  Laissons  maintenant  de  c6t6  les  anciens  procdd^s  et  revenons  aux  d6ve- 
loppements  (3).  Nous  devrons  observer  que  ces  d^veloppements  contiennent 
cortains  termes  qui  peuvent  etre  tres  grands,  mais  que  le  plus  souvent  on  peut 
obtenir  une  sortc  de  compensation  en  groupant  les  termes  d'une  maniere 
convenable. 

Tl  arrivera  frdquemment  qu'un  groupe  contiendra  des  termes  tres  grands  et 
que  la  sommc  des  termes  d'un  m6me  groupe  sera  n£anmoins  tres  petite. 

Rappelons,  en  cffct,  que  les  divers  termes  des  series  (3)  ont  4t£  obtenus  par 
une  s^rie  depurations,  comprenant  des  integrations,  des  additions,  des  multi- 
plications, des  differentiations. 

Supposons  done  que  Pon  ait  a  int^grer  un  lerme  de  la  forme  A  cos  a  t,  on 

A  sin  a  t 
trouvera • 


672  SUR  LA  FAgON  DE  GROUPER   LES   TERMES   DES   SERIES  TRIGONOM&TRIQUES. 

Si  a  est  tres  petit,  ce  terme  sera  susceptible  de  devenir  tr£s  grand;  il  nc  le 
deviendra  pas  cependant  pour  les  valeurs  finics  de  £,  car  il  sera  toujours  plus 

petit  que  A.t. 

0.                              ,    .      ,                                 i                                             .                 A  cosa£ 
Si  nous  avions  a  mt^grer  un  terme  Asmat,  nous  trouvenons 

A         A  cos  a/ 
on,  en  ajoulant  une  constante, 

Ghacun  de  ces  deux  lermes  est  tres  grand,  ma  is  Pensemble  des  deux  termes 
est  fini  et  plus  petit  que 

On  voil  quel  inl£r£t  il  y  a  a  grouper  les  lermes  d'uno  maniere  convenable. 
Parlons  maintenant  du  terme  A.  cos  a  £  eL  supposons  qu'uno  premiere  inte- 

.     i         ,  A  sin  at 
exation  ait  donne 

&  a  / 

Supposons  qu'on  ait  ensuite  a  multiplier  ce  terme  par  sin  (3i,  ce  qui  donne 

A  sin  a  t  sin  S  t        A          -         s          A  0 

L_  ~  _COS(B  — a)^ cos(B  H-  a)t: 

a.  ft  a  ft  a 

puis  a  int^grer  de  nouveau  ce  qui  donne 

Ashi(|3  — a)£        Asin((3~ha)i 


Si  (3  est  fini  et  a  tres  petit,  chacun  dc  ces  deux  termes  est  tres  grand;  ils  ont 
tons  deux  a  peu  pres  memo  p^riode,  et  si  on  les  reduit  ils  so  compensent  presque 

exactement,  car  leur  ensemble  est  de  Pordre  de  -rr- 

C'esl  ce  qui  explique  une  circonstance  qui  se  presente  bien  souvent  dans  le 
calcul  des  perturbations  du  second  ordre.  On  trouve  des  termes  qui,  indivi- 
dueilement,  ont  une  valeur  considerable,  mais  qui  se  d<Hruisent  presque  com- 
pletement  deux  a  deux. 

Ces  exemples  suffisent  pour  montrer  Pinfluence  du  groupement  cles  termes 
sur  la  rapidil6  de  la  convergence. 

9.  Gonsid^rons  maintenant  les  diff6rents  termes  des  developpements  (3)  el 
voyons  quelle  est  leur  forme. 
Soit 

.   sin  , 
\J.P  A        ( nil  w  i  •+•  w?  •>  (Vo ) 

t        cosv  "    "' 

Tun  de  ces  termes,  A  (Slant  une  fonction  de  z*  et  so. 


SUR   LA   FAQON   DE   GROUPER    LES   TERMES   DES  SERIES  TRIGONOMETRIQUES.  678 

Nous  pouvons  toujours  supposer  que  les  developpements  (4)  se  reduisent  a 
leurs  deux  premiers  termes  de  lelle  fagon  que 

et  que 

/i  i  =  n(\  __  8 -+-(£t -f-^>):i 

soit  ind6pendanl  de  p.  et  ne  d^pende  que  de  z^  4-  z*. 

Si,  en  eflfet,  il  n'en  $tait  pas  ainsi,  nous  n'aurions  qu'a  passer  des  constantes  z 
aux  conslantes  z'  d^fmies  au  n°  3. 

Cola  pose,  voyons  quelie  sera  la  forme  de  la  fonction  A.  On  sait  que  les 
int6grations  successives  »introduisent  dans  cette  fonction  des  diviseurs  de  la 
forme  q\.n\-{-q$n\,  qi  et  q%  6tant  des  entiers;  c'est  ce  que  nous  appellerons 
les  petits  diviseurs, 

Nous  6crirons  done  A=^=  ->  II  etant  le  produit  des  petits  diviseurs  et  B  une 

fonction  de  ^i  ct  x?o.  La  fonction  B  reste  finie  pour  toutes  les  valeurs  envisagees 
des  constantes  z\  et  z**  Au  contraire,  comme  certains  petits  diviseurs  peuvent 

s'annuler  quand  ~  est  commensurable,  la  fonction  A  pourrait  devenir  infinie. 

Je  puis  considtker  B  comme  fonction  de  z±  et  ^4-  ^a5  ou,  ce  qui  revienl  au 
indme,  de  Si  et  de  nj.  Quant  a  II,  c'est  un  polynome  entier  en  nj,  car  le  petit 
diviseur 


Si  done  je  regarde  un  instant  z±  comme  une  conslante,  A  sera  egal  a  une 
fonction  de  /ij,  holomorphe  dans  le  domaine  consider6,  divisee  par  un  poly- 
nome en  raj. 

Je  puis  poser 

B  =  Cfi  -4-  D, 

ou  C  est  une  an tre, fonction  holomorphe  en  n\  et  D  un  polynome  d'ordre 
moindre  que  II.  II  vient  done 

A, C.J 

et  si  Ton   decompose  la  fraction  rationnelle  en  £l6ments   simples,    on  aura 
d6compos6  le  terme  envisaged  en  plusieurs  autres 

oi  n  E 

(n)  ^C" 


574  SUR   LA   FACON   DE   GROUPER   LES   TERMES   DES   SERIES   TRIGONOMETRIQUES. 

oil  C  est  une  fonction  holomorphe  de  '  z±  et  n\  et  ou  les  autres  termes  con- 
tiennent au  num^raleur  une  fonclion  E,  holomorphe  en  £i  seulement  et  tvu 
d^nominateur  une  puissance  entiere  It  d'un  seul  petit  diviseur. 

Si  Ton  se  rappelle  la  maniere  dont  les  diflfcrents  termes  des  developpe- 
ments  (3)  ont  et6  obtenus,  on  verra  que  le  polynome  II  sera  le  produil  d'au 
plus  2p  —  i  petits  diviseurs,  en  ce  qui  concerne  le  developpement  de  x\  et  ^?3, 
et  d'au  plus  zp  petits  diviseurs,  en  ce  qui  concerne  le  developpement  de  y± 
etjXa-  Ce  polynome  est  done  au  plus  de  degr6  sp  —  i  (ou  2/>),  p  6tant  1'expo- 
sant  de  ^  dans  le  terme  consid6r£. 

Dans  chaque  terme  de  (i  i)  Pexposant  h  est  au  plus  £gal  a  2/>  —  i  (ou  2/7)  ; 
j'ajoule  que  s'il  atteint  sa  limite  zp  —  i  (ou  2jo),  on  doit  avoir 


10.  Supposons  maintenant  que,  partant  des  series  (3),  nous  d^composions 
chaque  terme  en  plusieurs  autres  par  la  formule  (ri).  Nous  pourrons  repartir 
les  termes  de  la  s^rie  ainsi  obtenue  de  la  maniere  suivante  : 

Un  premier  groupe  comprendra  tous  les  termes  qui  ne  contiennent  au  d£no- 
minateur  aucun  petit  diviseur  [tels  que  le  premier  terme  de  Pexpression  (i  i)]. 

Ghacun  des  autres  groupes  sera  form6  des  divers  termes  qui  contiennent  au 
d&aominaleur  une  puissance  d'un  rn£me  petit  diviseur. 

Consid^rons,  par  exemple,  le  groupe  des  termes  qui  contiennent  au  d^nomi- 
nateur  une  puissance  de 


et  qu'on  pent  appeler  le  groupe  (q± 

Chacun  des  termes  du  groupe  (grl3  q%)  contiendra  en  facteur  ™?  ou  la 

rence  zp  —  \  —  A,  en  ce  qui  concerne  x±  et  ^2  (ou  2/>  —  k  en  ce  qui  con- 
cerne JKI  et  j*a),  est  positive  ou  nulle. 

Rangeons  dans  un  meme  sous-groupe  les  termes  ou  cetie  difference  a  la 
m£me  valeur;  nous  appellerons  sous-groupe  principal  celui  oii  cette  dilF<£- 
rence  est  nulle. 

Voici  ce  qui  justifie  ce  groupement.  Si  5  est  tres  petit  et  par  oxemple  de 
Fordre  de  \/p.,  certains  termes  d'ordre  ^levd  par  rapport  a  /JL  pouvront  devenir 
scnsibles  par  suite  de  la  presence  d'une  puissance  de  §  au  dt'mominatcur. 

L'importance  du  terme  se  trouve  alors  mesur6e  par  la  valeur  de  la  difife- 


SUR   LA  FAgON   DE  GROUPER   LES   TERMES  DES  SERIES  TRIGONOMETRIQUES.  670 

rence  %p  —  i  —  h.  Les  termes  pour  lesquels  ceite  difference  est  nulle  sont 
evidemment  les  plus  importants;  ce  sont  meme,  le  plus  souvent,  les  seuls  dont 
on  ait  a  Lenir  comple. 

Les  deux  nombres  q^  et  q%  peuvent  toujours  etre  supposes  premiers  enlre 
eux,  de  sorte  qu'on  peut  toujours  trouver  deux  entiers  r±  et  r2  tels  que 


et  poser 


a  et  (3  etant  deux  nouveaux  entiers.  Nous  pourrons  classer  dans  une  meme 
serie  partielle  tous  les  termes  d'un  meme  sous-groupe  qui  correspondent  a  une 
meme  valeur  de  (3. 

Le  diviseur  8  <§tant  en  effet  tres  petit,  q^  n^  +  q^n*  est  aussi  tres  petit,  de 
sorte  que  tous  les  termes  d'une  des  series  partielles  ainsi  form^es  auront  a  peu 

pres  m£me  p^riode,  je  veux  dire  une  periode  voisine  de  7^  —  :-^—  ;  —  -  *  Le  sous- 

groupc  principal  ne  contiendra  qu'une  seule  s6rie  partielle,  car  pour  ce  sous- 
groupe  on  a 

;n.j        /7ia  ,.   ,          _ 

_L  —  ,  —  ,         d'ou         6  =  0. 

?i      q* 

At  part  les  termes  du  premier  groupe  qui,  ne  contenant  pas  de  petits  divi- 
•seurs,  sont  g6n6ralement  tres  petits;  tous  nos  termes  vont  se  trouver  ainsi 
r^partis  en  series  partielles. 

Or,  il  arrive  cette  circoristance  singuliere  que  chacune  de  ces  series  par- 
tielles  peut  etre  facilement  sommge,  je  veux  dire  que  sa  sommation  se  ramene 
a  un  nombre  fini  de  quadratures. 

G^n^ralement  on  n'aura  a  tenir  compte  que  d'un  petit  nombre  de  termes 
isol6s  et  en  outre  d'un  petit  nombre  de  series  partielles.  On  peut  dire  que  dans 
les  cas  les  plus  difficiles  trails  jusqu'ici  on  n'a  jamais  eu  a  consid^rer  qu'une 
seuie  sdrie  partielle  provenant  d'un  seul  sous-groupe  principal. 

C'est  la,  sous  une  forme  nouvelle,  la  m^thode  de  M.  Bohlin  qui  se  trouve 
ainsi  rattachee  a  la  m^thode  qui  nous  a  donn£  les  series  (3)  et  par  elle  aux 
anciens  proced&s. 

Si  Ton  se  borne  a  sommer  la  serie  partielle  qui  correspond  au  sous-groupe 
principal,  et  que  Ton  a  seule  a  envisageren  g6n<§ral,  on  retombesur  lam^thode 

de  Delaunay. 

Si  les  moyens  mouvements  sont  presque  commensurables,  il  peut  arriver 


5;6  SUR  LA   FAgON   DE   GROUPER   LES  TERMES   DES  SERIES  TRIGONOM^TRIQUES. 

que  les  series  parlielles  divergent.  L'expression  analytique  a  laquclle  conduit 
leur  sommation  n'en  conserve  pas  moins  un  sens.  C'est  ainsi  que  1'expres- 

sion  —  !_  conserve  un  sens  alors  meme  que,  x  dtant  plus  grand  que  i,  la 

I  —  JC 

s6rie  i  -j-  x  +  x*1  +  .  .  .  a  cessd  d'etre  convergente. 

Lors  meme  qu'une  s^rie  parlielle  diverge,  on  pout  encore  legilimemenl  la 
remplacer  par  cette  expression  analytique.  C'est  ce  qui  permel  aux  meihodes 
de  Delaunay  et  de  Bohlin  d'etre  applicables  a  des  cas  ou  Pemploi  direct  des 
series  (3)  deviendrait  illusoire  el  meme  au  cas  de  la  libration  ou  la  forme  des 
orbites  est  si  differente  de  la  forme  ordinaire. 

C'est  ainsi  que,  malgre  ces  differences,  ce  cas  de  libration  pent  encore  se 
rattacher  a  la  methode  qui  nous  a  fourni  les  series  (3). 

11.  Voyons  maintenant  comment  les  solutions  p^riodiques  et  asymptotiques 
peuvent  se  d6duire  des  series  (3).  Nous  avons  vu  que  nos  series  sont  ddvelop- 
pables  suivant  les   puissances    de  \/^iCos(\^,  y/51sinvvi,    les   coefficients  du 
d^veloppement  dependant  d'ailleurs  de  z2  et  ppa. 

Si  nous  donnons  alors  a  la  constante  s±  la  valeur  z<Jro,  nos  s6ries  ne  contien- 
dront  plus  que  1'argument  w2;  elles  seront  p^riodiques.  On  relombe  ainsi 
sur  les  solutions  p^riodiques  de  la  premiere  sorte, 

12.  Cherchons  maintenant  a  obtenir  les  solutions  pciriodiques  de  la  deuxieme 
sorte.  Pour  cela  reprenons  nos  series  (3)  en  supposant  com  me  au  n°  9 


Si  nous  donnons  au  rapport  ~  une  valeur  commensurable,  un  des  pelils 

712 

diviseurs  q\n\  +  q*n\  s'annulera,  de  sorte  que  certains  termes  du  d^veloppe- 
mcnt  pourraient  devenir  infinis. 

Supposons  WI  =  Q  et  remplagons  la  constante  TtT^  par  un  developpement  pro- 
c^dant  suivant  les  puissances  de  p. 

(12)  Tffi 


et  dont  les   coefficients   sont  de  nouvelles  constanles  que  je  me  reserve  de 
determiner  plus  loin. 

Gonsid^rons  un  terme  quelconque  des  series  (3)  el  remplacons-y  la  cons- 
tante rzi  par  son  developpement  (12).  Ce  terme  deviendra  d6veloppable  sui- 
vant les  puissances  de  p.  D6veloppons  de  m£me  tous  les  termes  des  series  (3) 


SUR  LA  FA£ON  DE  GROUPER   LES   TERMES  DES    SERIES  TRIGONOMETRIQUES.  677 

et  ordomions  de  nouveau  suivant  les  puissances  de  /JL.  Nous  obliendrons  ainsi 
de  nouvelles  series  que  j'appellerai  (3  a). 
Soil 


/ 

(  7?li  (Pi  -f-  HI* 

^ 


mi  terine  de  ccs  nouvelles  s6ries,  le  coefficient  A  ne  contenant  plus  le  petit 
diviseur  qiii\  +  q*n\. 

Pour  plus  de  brievete  dans  1'expositioH,  introduisons  quelques  denomi- 
nations nouvelles  et  d'abord  d&missons  ce  que  nous  appellermis  V  ordre  de  ce 
lerme.  Pour  les  termes  du  developpement  de  #1  et  a?3?  ce  sera  le  nombre 


Pour  les  termes  da  d6veloppement  deji  et  j2,  ce  sera  le  nombre 


Cette  classification  laisse  de  cot£  les  termes  ou  A  =  o,  qui  ne  contiennent 
pas  de  petits  diviseurs  et  dont  nous  n'avons  pas  a  nous  occuper. 

J'appellerai  termes  principaux  de  chaque  ordre  les  termes  du  d^velop- 
pement  de  a?,  et  de  #2  qui  sont  de  cet  ordre  et  qui  de  plus  sont  tels  que 


11  n'y  aura,  d'apres  cette  definition,  de  termes  principaux  que  dans  les  ordres 


impars 


Les  termes  du  premier  et  du  second  ordre  ne  dependent  que  de  roj;  ceux  du 
troisieme  et  du  quatrieme  ordre  dependent  de  ^  et  ©J;  ceux  dil  cinquieme  et 
du  sixi^me  ordre  de  zzrj,  w\  et  crj,  et  ainsi  de  suite, 

L'ensemble  des  termes  principaux  du  premier  ordre  dans^  se  pr^sente  sous 
la  forme  d'un  certain  num^rateur  divis^  par  q,n\  +  q^n\.  Comme  pour  tous 
ces  termes  on  a 


il  vient 


Le  coefficient  de  «  disparait  done  dans  tous  ces  termes. 

Notre  numerateur  est  done  une  constante  qui  depend  de  WJ;  je  disposers 

73 
H.  P.  —  VII. 


678  SUR   LA   FAgON   DE   GROUPER   LE3   TERMES   DES   SERIES   TRIGONOMETRIQUES. 

de  w\  de  fa$on  a  annuler  ce  numerateur,  ce  qui  determine  ^?.  Ges  tonne* 
principaux,  que  nous  pouvions  craindre  de  voir  devenir  infinis,  disparaissenl 
done. 

Les  lermes  principaux  da  premier  ordre  dans  x*  disparaissent  ipso  facto, 
en  vertu  de  Inequation  des  forces  vives. 

Mais  ce  n'est  pas  tout  :  tous  les  termes  du  premier  et  du  second  ordre  dis- 
paraissent ipso  faclo  dans  les  quatre  developpements. 

Gonsiderons  maintenant  les  lermes  principaux  du  Iroisieme  ordre  dans  #4; 
leur  ensemble  est  encore  ogal  a  un  num(Sraieur  divi«6  par  q\,n\  +  #2^.  Ce 
nurnerateur  se  r^duit  a  une  constanto  dependant  de  cr*  el  w\ ;  nous  dcHermi- 
nerons  w[  de  facon  a  le  faire  disparaitre  el.  avec  Itii,  les  termes  principaux 
consid^r^s. 

Du  m£me  coup,  disparaitronL  les  termes  principaux  du  troisieme  ordre 
dans  x^  et,  dans  les  quatre  developpemenls,  tous  les  termes  du  troisicme  et  du 
qualrieme  ordre. 

On  d^terminerait  de  memo  w\  de  farou  a  annuler  les  termes  principaux  du 
cinquieme  ordre  dans  ^1?  co  qui  annule  du  meme  coup  tous  les  termes  du 
cinquieme  et  du  sixieme  ordre;  et  aiasi  de  suite. 

Ainsi  disparaitront  tousles  lermes  qui  auraient  pu  devenir infmis;  d'ailleurs, 
le  rapport  des  moyens  mouvements  etant  commensurable ;  nos  series  ne 
dependent  plus  que  d'un  argument  unique  et  les  solutions  soul  periodiques.  11 
est  a  noter  que  les  series  ainsi  obtenues  sont  convergentes,  landis  que  les 
series  (3)  ne  l'4taient  pas,  au  sens  rigoureux  du  mot* 

13.  Soit  C  la  coiistanle  des  forces  vives;  la  valeur  de  C  dependra  des  deux 
coiisiantes  z\  el  z±  ou,  ce  qui  revient  au  m£me,  de  ?ii  et  n^  Elle  se  presentera 
sous  la  forme  d'uue  serie  ordonn^e  suivanl  les  puissances  de  ^  et  dont  les 
lermes  seronl  des  fonclions  de  ZL  el  ^o  ou  de  n±  et  /i2. 

Dans  cerlains  cas,  on  peut  considerer  C  comnie  une  des  donnees  de  la  ques- 
tion. Alors  la  relation  F  —  C,  ou  le  second  membre  C  est  regard^  comme 
donne,  sera  une  relation  eutre  z^  et  -s2,  ou  entre  n±  et  ji*> 

On  pourra  en  tirer  par  exemple  ?i2  en  fonction  de  n\  sous  la  forme  d'unc 
serie  proc^dant  suivant  les  puissances  de  p.  et  dont  les  coefficients  seronl  des 
fonctions  de  ?ii. 

14.  Nous  venous  de  voir  la  maniere  de  reiruuver  les  solutions  periodiques  en 


SUR  LA  FAgON   DE  GROUPER   LES  TERMES   DES   SERIES  TRIGONOMETRIQUES.  079 

partant  des  series  (3);  on  pourrait  se  proposer  de  retrouver  de  la  m£me 
facon  les  solutions  asymptoliques. 

Nous  savons  en  effet  qu?en  dehors  des  developpements  (3)  qui  precedent 
suivant  les  sinus  et  les  cosinus  des  multiples  de  deux  arguments  w,  nous  pou- 
vons  representer  les  coordonnees  du  corps  trouble  par  des  developpements 
d'une  forme  toute  differente. 

A  chaque  solution  p6riodique  correspond  un  de  ces  developpements. 

Soient,  en  elfet, 

.*.-/  =  :p!'-()  (  \V  ),         COS.T/  =  'W)>0  (  W ),         sin  j,  =  0 ?•*> ( W) 

les  Equations  d'une  solution  p&riodique,  ou  c^"0,  tj;"0,  Q?°  sont  des  fonctions 
periodiques  de  p^riode  air  d^un  argument  unique 

NO  et  li  sont  deux  constantes;  la  premiere  doit  £tre  regardee  comme  donnee,  la 
seconde  est  une  constante  arbitraire  d'int6gration. 

Nous  appellerons  C0  la  valeur  correspondante  de  la  constante  G  des  forces 


vives. 


. 

Nous  pouvons  aiors  representer  la  solution  g^n^rale  sous  la  forme  de  d6ve~ 
loppemeiits 

(  A'  e~^]'/  spf  •'/(  W), 


k'e-*'y/W'  '/(W), 

ou  les  fonctions  cpf'</r;  4/f'r/,  Of*'7  sont  des  fonctions  p^riodiques  de 

W  =  N*-H-//. 

Dans  ces  d^veloppemeiits  A,  A;  et  h  sont  des  constantes  d'int^gration,  a  et  N 
sont  des  constantes  donn6es  qui  peuvent  se  developper  suivant  les  puissances 
du  produit  AA'  et  de  la  difference  G  —  C0. 

Si  Ton  d6veloppe  les  cpf^,  W,  ^  en  s6ries  de  Fourier,  les  coefficients  de 
ces  s6ries  seront  egalement  d^veloppabies  suivant  les  puissances  de  G  —  G0. 

Si  I' on  fait  G  =  C0  et  qu?on  annule  1'une  des  constantes  A  ou  A;,  N  se  reduit 
a  la  constante  N0  defime  plus  haut  et  a  a  une  constante  <x«. 

II  ne  reste  dans  les  sdries  (i3)  que  les  termes  ou  p  =  o  (ou  les  termes 
ou  q  =  o).  On  obtient  ainsi  les  solutions  diles  asymptotiques ;  les  series  sont 
alors  convergentes. 


58o  SUR  LA   FA£ON   DE  GROUPER   LES   TERMES  DES  SERIES   TRIGONOM^TRIQUES. 

Si  les  deux  constantes  A  et  A'  s'annulent  a  la  fois,  il  reste  settlement 


et  Fon  retombe  sur  la  solution  pfiriodique. 

lo.  On  peut  alors  se  proposer  de  voir  comment  on  pourrait  passer  des  d6ve~ 
loppements  (3)  aux  developpements  (i3). 

On  remarquera  d'abord  que  ces  series  ( i3)  sent  ordonnees  suivant  les  puis- 
sances des  deux  constantes  A  et  A'.  On  pourrait  done  £tre  tenl^  d'op^rer  de  la 
maniere  suivaute  :  introduire  les  deux  conslantes  d'integration  A  et  A';  d^ve- 
lopper  chaque  terme  des  series  (3)  suivant  les  puissances  de  A  et  A';  r^unir  les 
termes  semblables  et  ordonner  suivant  les  puissances  de  ces  constanles. 

On  ne  peut  pas  arriver  au  risultat  par  celte  vote.  On  renconlrerait  des  difii- 
cult^s  analogues  a  celle  qui  se  pr^seaterait  dans  1'exernple  simple  suivanl. 

Envisageons  la  s6rie 


i  —  2  e~~a  cos  a  t  H-  e"~2a 

La  somme  de  la  serie  est  d^veloppable  suivant  les  puissances  de  a  et  de  t. 
11  en  est  de  tu£nie  de  chacun  des  termos  de  la  serie, 

Cependant  si  Ton  d^veloppe  chaque  terme  de  la  serie,  qu'on  rthmisse  les 
termes  semblables,  puis  qu'on  ordonne  suivant  les  puissances  de  a  et  de  £,  on 
n'obtiendra  pas  du  toutle  m£me  developpement  qu'en  ddveloppant  directemcnt 
la  somme  de  la  s^rie. 

16.  Pour  bien  faire  comprendre  la  fa^on  de  passer  d'un  d<Sveloppemcnt  a 
1'aulro,  je  prendrai  d'abord  un  exemple  simple;  je  supposerai 

F  =  d72-f-  %l  H-  (JL  COS/i. 

On  voit  tout  de  suite  que  x$  doit  etre  unc  constante  puisque  4^-  est  mil.  On 

a  done 

*!  =  c-, 
et  1'on  en  tiro 


t 

2\/G  —  [JL  COS/i 


On  voit  ainsi  que  #,,,  cos^  ^et  siny^  sont  des  fonctions  doublement  p6rio- 
diques  de  t  +  h.  L'uno  des  p^riodes  que  j'appellerai  w  est  r^ello,  Pautre  quo 
j'appellerai  id  cst  purement  imaginaire. 


SUR  LA   FAgON   DE   GROUPER   LES   TERMES  DES  SERIES  TRIGONOMETRIQUES.  58l 

La  ibnction  x^  par  oxemple,  £tanl  p6riodique  do  periodc  co  sera  develop- 
pable  par  la  tormulo  do  Fourier  suivant  les  sinus  ol  cosinus  dos  multiples 

<ji>  ill..  \M  developpeinent  sera  valable  pour  loulcks  les  valours  r^elles  do  t. 

D'aulre  part,  cette  fonclion  x\  admellant  la  periodc  id  sera  developpable 
par  cello  memo,  formula  de  Fourier  suivant  les  sinus  el  cosinus  des  multiples 

de  -7^7  on,  ce   cjni   rovient  au   m£me,   suivant  les   puissances   des   exponen- 

aj:  /  an/ 

tielles  e  "J'  el.  e    w  .  Ge  developpement  nouveau  ne  sera  plus  valable  pour  ton  tes 

les  valours  reolles  de  /,  mais  settlement  pour  les  valeurs  comprises  enlre  t() 
el  /0~f-co;  entre  les  valours  £<,-}-«  et  ^(,-|-a&),  ou  en  ire  les  valeurs  ^04-^w 
ot  £,,  +  SM  .....  il  faudrait  lo  remplacor  par  d'autres  developpements  de  m^me 
formci. 

Et  bion,  la  premier  de  c.es  developpements  correspond  aux  series  (,'i)  et  le 
second  <nt&  ntfritfs  (  iM). 


ha  iheorio  dos  functions  doublemcnl  periodiques  nous  enseigne  plusieurs 
inojoixs  de  passer  d(*  Tun  ;\  1'autro. 

La  molhode  do  Delauuay  conduit  a  des  Equations  analogues  a  cello  que  nous 
venous  de  trailer,  quand  on  no  conserve  dans  la  fonclion  perturbatrice  qu'im 
soul  lerme  p^riodiquo. 

17.  Dans  lo  ca«  g^ndral,  on  pout  donner  des  qua  ire  variables  #/  et  }'i  des 
developpomonls  d'ou  Ton  pout  tirer  faeilomont  d'uno  parties  series  (3),  d'autro 
part  los  series  (  i,'>). 

Les  (fuantitos  a?4,  ,ra,  cosj^,  sinji,  cosj-aj  sin^'a  seronl  d^velopp^es  suivant 
los  puissances  do  p.,  clu  produit  AA;  ta  de  la  difference  C  —  C0  qui  joueront  le 
role  do  constanlcss  rf'int6gration.  Chaque  coefficient  do  ce  d<5vcloppement  sera 
lut-mfinin^  dth'olopp^  on  sirie  dont  los  dillerents  lermes  seront  le  produit  de 
deux  facieurs. 

L<».  premier  do  cos  facteurs  sera  le  cosinus  ou  le  sinus  d'un  multiple  d'un 
C(*rtain  argument  W. 

L(^  second  facUnir  stkra  une  fonction  doublement  p^riodique  d'un  second 
argument  W;. 

Les  deux  argumenls  VV  et  W  seront  des  foiictions  lin^aires  du  temps* 

On  aura 


582  SUR   LA   FA£ON   DE  GROUPER   LES   TERMES   DES   SERIES   TRIGONOM^TRIQUES. 

II  et  II'  seront  des  constantos  d'inldgralion.  Nous  pourrons  dormer  a  N'  une 
valeur  arbitrairo, 

J'appellerai  o>  el  zVles  pdriodos  de  la  fonclion  p^riodique  consid<iree  eornme 

fonction  de  W;  de  sorlequc  sospdriodes  seronl  ~  el  l-^r  quand  on  la  regardcra 

comme  fonction  de  t>  Ccs  pdriodes  seronl  d'nillcurs  les  mdmes  pour  tons  les 
termes. 

Les  quantity  N,  ^77  ^  seronl  developpables  suivant  les  puissances 
de  fx,  A  A',  C  —  C0. 

De  ce  d^veloppement,  on  pourra  facileinenl  passer  aux  series  (3).  II  sufiira 
pour  cela  de  ddvelopper  chaqne  fonclion  doublement  periodique  suivani  les 

cosiaus  el  sinus  des  multiples  de.  —  --  On  aura  alors  des  series  proc^dant, 


su 
suivani  les  oosinus  el  sinus  des  multiples  des  deux  arguments  W  et  -  -?  on, 

ce  qui  revient  au  meme,  des  multiples  des  deux  arguments 

fV'|  =  fl\  t  ~\-  7iT|,  <t'2=  /2«>£-H  *7y2, 

si  Ton  suppose 

W  =  TI  a*  i  H-  r>>\r->,          W=  q\  «»,  -4-  </s  (r^, 

fl\i  ^i  ;  Ti,  ra  (Hani  les  qualre  (»ntiurs  d6finis  au  n°  10-  On  a  alors 

N  =  r\  n\  -f-  7*3  //a,          It  =  /'i  TTTj  H-  raws, 

»  n^  \\'  =  (/]  TTTt- 


On  relrouve  ainsi  les  series  (3)  eh  regardant  AA;  et  C  —  G()  comme  des 
fonclions  des  conslantes  z{  el  ^2. 

De  ce  m£me  d6velo])pemenl,  on  pout  passer  tout  aussi  facilement  aux 
series  (i3).  Ddvcloppons,  en  eflfet,  chaque  fonction  doublement  p^riodiquo 

suivant  les  sinus  et  cosinus  des  multiples  de  ^  t    ou  suivani  les  puissances 

•4-12EJ51 
des  exponontiolles  e~  OJ'  . 

On  retrouvera  los  sdries  (  t3)  en  posanl 


A  = 


On  me  pardonnera  la  longueur  de  eel  expose.  Bien  qu/il  ne  nous  apprenne 
rien  d'essentiellement  nouveau,  jjai  pens6  qu'il  ne  serait  pas  inutile  de  monlrer 
comment  se  rattachent  les  lines  aux  aulres  les  divorscs  series  auxquelles  nous 
conduisent  d'une  facon  qui  parait  d'abord  toul  a  fail  ind^pendante  1(3S  diffe- 
rentes  theories  propos^es, 


SI  IK  LA  METHODS  HORISTIQUE 
l)E  GYLDEN 


fdftrnifc  dt\t  .SVvr// /•<•*•,  t.   |;)S,  p.  <(3.!-<pI  (nS  a\ril  iguj). 


Dans  un  Ouvrngo  intitule  Noiwclles  rccherches  sur  l<w  .scries  employees 
tin/is  les  theorft*!*  dc$  platiett's  (Stockholm,  imprimerio  contralo,  1892), 
(rylden  a  expose  <limx  m^lhodes  (ju'il  appelle  hnristiques;  la  premiere  do  ces 
m^thodes  sonieve  d'assex  graves  objeciions  ;  M.  Baeklund  ot  moi,  nous  avons 
nionlre  qu'olle  conduisail,  dans  eerlains  ens,  a  de.s  resultnls  inadmissibles  el 
(]u'on  ne  d(ivait  Pe,mplcner  qu'avec  circouspection  (Cf.  C.  /I.  A  cad.  Sc.,  1.  132, 
p.  ,*><>  el  t>,<)i;  It  ul  L  (istr.)  I.  h),  p.  /!<>.'>)  (*).  J'ai  piuise,  <i,nconscSqncnce,  cju'il  y 
avail  lieu  d'exauiiner  de  plus  [>res  la  sccondo  de  res  in6lhodes  et  de  la  sou- 
iu<»Unt  a  hi  discussion.  Rappelons  d'ahord  (kn  rju<>lques  mols  on  cjuoi  elle 
cons  is  te.. 

Gyld4n  consi<l^ro  (lor,,  vit,,  p.  227  elsuiv.)  liquation  suivante  : 

(0 

Lo  coefficient  de  sque  Gyld^n  appelle  Z  est  une  constante,  du  moins  dans  la 
partic  de  POuvrage  qiu*  jo  cite  (p.  ^27  f\  ^^4);  je  P"^s  done  prondre  les  unites 
de  fa^on  ^  le  r^duiro  a  i. 

iNous  avons 

X  =s—  SA7l  cosG/n 


les  A.n?  Bn,  An  ont  dcs  valours  ooiistanles  donno.os  et  2^  est  voisin  de  i  . 


(l)  jLe  premier   <Je    ros   artichis  H^urc    »u  Tome  Vfll  dcs  (MuwWi  les  deux  autres  sont  de 
Kacklund. 


584  SUR   LA   METHODE   HORISTIQUE   DE   GYLDEN 

Gylden  pose 


vp  et  9'  etant  d^finis  par  les  equations 


O) 


Nous  appelons  v*  une  constante  choisio  de  lello  sorle  que  ^  soil  ime  s^rie 
trigonom^trique;  el  nous  devons  inl6grer  (a)  et  (3)  on  faisant  d'abord  fy  =  o 
dans  les  seconds  mcmbres,  puis  i\  la  douxiemci  approximation,  eii  rcmplaganl, 
dans  ces  seconds  membres,  ^  par  la  valour  LrouvcJc  cnpremion*  approximation, 
et  ainsi  de  suite. 

On  trouve  ainsi  : 

A 

(4)  y  =  S 

et  ensuite 

(„       ^_.t 


La  soconde  Equation  (4)  et  la  premiere  Equation  (5)  pormcltout  de  calculer 
les  x  et  p2  et  donnent  pour  ccs  quantites  des  valeurs  limit^es. 

II  est  Evident  qu'on  n'a  le  droit  d'opdrer  ainsi  qu'a  la  condition  que  les 
termes  n^glig^s  dans  les  seconds  membres  de  (a)  <»i  (o)  soienl  plus  petits  que 
ceux  donl  on  tient  compte,  Or,  nous  avons,  dans  le  second  meinbre  de,  (a),  un 
terme  pour  lequel  il  peut  y  avoir  doule  et  qu'il  convituit  de  disculer;  c'est  L> 

d<b  dy 

terme  a~~  -~:  on  trouve 
>J 


Nous  ne  retiendrons  que  Ics  termes  critiques,  c'est-a-dire  ceux  oii  le  coeffi- 
cient de  p  est  voisin  de  i.  Jl  suffit  pour  cela  de  prenclre 

Gf  +  G;—  Gn        on        G/—  Gy  -+-  G*. 

Soient  a  unequantite  del'ordre  de  A/l?  etcrune  quanlite  del'ordredea^  —  i. 
Deux  cas  sontadistinguer  :  ou  bien  cr;i  est  grand  par  rapport  &  (3a2,  et  alorsa? 

est  de  Fordre  -  et  P3  de  celui  de  •*—-  ?  et  le  terme  g^n^ral  de  (6)  est?  au  plus,  de 

1'ordre  de 

pa?3        [3a3  p«s 

-7"  =  ^-=^  —  ' 


SUR   LA   METHODE   HORISTIQUE   DE  GYLDEN.  585 

gdneralomeiH  petit  par  rapport  a  x  et  meme,  dans  certains  cas,  par  rapport 
a  a;  dans  cos  cas,  la  mckhodo  horistique  est  applicable,  mais  alors  elle  est  inu- 
tile, puisque  le  terme  (lit  horistique  p-  est  tres  petit  par  rapport  a  4^  —  !• 
Ou  bi<*n  a-'1  est  petit  par  rapport  a  |3oc2,  on  est  du  meme  ordre;  alors  x  est  de 

Fordredei/g;  le  lcrmeg6n<Jralde(6)eslalors  (sil'onprend  Al-+X/,Gz-h-G/— G/z) 
de  Ford  re  de  fix*  =  a. 

II  est  done  de  ineine  ordre  que  X,  c'est-a-dire  que  les  termes  dont  on  tient 
compte. 

Si  nous  supposons  (pie  X  se  roduit  a  1111  seul  terme  — AcosG,  et  que  nous 
supposions  y  n^gligeablo  devant  t>3;  il  vient 

a  A  B 

i'  =  ^;cos(i5         *'r  ==  73 — «'          P-=—  a;-, 

|j  <^™  2t 

<l>  s-  LL»  COR  2  G,         -~-  =  —  ,/*  sin  fi.         — -i-  =  —  1^ —  sin  2  G, 
4  J  rA»  //P  2 

2  _i-  „.!  —  w  <p3  sjn  ;>  (1  sin  G  =  A  ( cos 3  G  —  cos  G ). 
r/v  r/r       l  v  ' 

II  n'j  a  pas  a  retenir  le  terme  en  cos.HG  qui  n'est  pas  critique;  mais  le 
lerme  -»  \  cosli  est  critique  et  Fon  n?a  pas  le  droit  de  le  negliger,  puisqu'il  est 
juste  6gal  an  terme  conserv^  X. 

Dans  le  cas  ou  X  se  r<5duit  a  un  seul  terme,  la  methode  horistique  convena- 
bhmwti  modifier  est  legitimo,  nan  pas  pour  la  recherche  de  la  solution 
generate  do  ['Equation  (i),  mais  pour  celle  d'une  solution  particuliere  qui  est 
celle  que  j'appelle  solution  prrlodiquc.  Gette  methode  correctement  appli- 
</uee  donne 


tandis  que  la  formule  de  Gyld^n  donne 

2A 


L'erreur  de  GyldAn  est  d'autant  plus  singuliere  qu?il  a  lui-m£me  trait^  le  cas 
ou  X  se  r6duit  ^  un  seul  terme,  par  des  formulas  qui  deviennent  exactes  quand 
on  veut  se  borner  &,  la  solution  p^riodique. 

Ce  n'est  pas  m6connaitre  les  services  6minents  que  Gyld^n  a  rendus  a  la 
Science,  que  de  signaler  les  erreurs  qu'il  a  pu  cornmettre  et  qui  pourraient 
H.  p.  _  vn.  rt 


586  SUR  LA   M&THODE  HORISTIQUE   DE   GYLD^N. 

tromper  ses  successeurs;  je  crois  que  c'est,  au  conlraire,  rendre  service  a  sa 
m^moire;  aussi  ne  crains-je  pas  de  formuler  nettement  ma  conclusion. 

Ceux  qui  voudront  appliquer  la  m^lhode  horistique  risquent  d'arrivcr  a  des 
r^sultats  fantastiques;  il  y  a  des  cos  oi\  elle  peut  <^tre  inoffensive;  il  n?y  en  a 
pas  ou  elle  peui  Sire  utile. 

On  voit,  a  fortiori,  combien  est  vaine  1'illusion  des  personues  qui  osperenl 
tirer  de  la  methode  horistique  des  d(5voloppements  imiform^ment  convergent 
au  sens  g^om^lrique  du  mol. 

Quant  21  la  conclusion  finale  de  POuvrage,  a.  savoir  que  les  termes  d'ordre 
6lev6  de  la  fonction  perturbatrice  ne  peuvent  jaraais  produire  de  libration,  pile 
est  manifeslement  fausso. 


SUR  LA  MfiTHODE  HOR1STIQUE 
DE  GYLDfiN 


Acta  Mathematics  t.  29,  p.  a ,S 5-371  (18  mars  1906). 


L         Introduction. 

Giidc'w  a  renclu  de  tres  grands  services  a  la  Science;  il  a  cr66  un  certain 
uonibre  de  iwM bodes  nouvelles  qui  ont  pu  etre  appliquees  avec  succes  et  dans 
certains  oas  substitutes  avec  avautage  aux  anciens  precedes.  La  plupart  des 
mrtlhodes  qu'il  a  proposes  dans  scs  premiers  Merits  (Haient  correctes ;  Harzer 
ot  Br^ndei  en  out  tird  tine  thiorio  des  pelites  planetes.  Ces  m6lhodes7  a  la 
vdrilt'*,  u'tUaiont  pas  saris  iuoonv^niontj  elles  donnaient  lieu  a  une  foulc  de  com- 
plications inuiilo.s  5  au  lieu  do  prondre  le  temps  pour  variable  irxd^pendante, 
elles  prcmient  In  longilude  vraio,  on  des  variables  auxiliaires  peu  diff6renies 
de  cette  longitude,  elles  introduisent  une  foule  de  variables  parasites  et  eacom- 
brantes.  II  en  r&wlte  que  les  Equations  perdent  leur  forme  canonique,  et  que, 
si  I'on  veut  sinipIemcnL  6crire  par  exemple  liquation  des  forces  vives,  il  faut  se 
livrer  ?\  des  calculs  inienninables.  J'cstime  done  que  ces  m Rhodes,  quelque 
intdrossantes  qu'elles  aient  £l&  autrefois,  n'ont  plus  aujourd'hui  qujun  int^r^t 
historique,  et  qu'on  ne  saurait  plus  en  recommander  Femploi,  parce  que  main- 
tenant  il  y  en  a  d'aulres,  comrae  par  cxemple  celles  de  Hill  et  de  Brown  qui 
out  les  m&mes  avantages  sans  avoir  les  m£mes  inconv^nients. 

Plus  tard  Gyld6n  est  entr6  dans  une  voie  nouvelle  et  a  abouti  a  des  rdsultats 
qu'il  a  rasscrahl^s  dans  son  Ouvrage  Nouvelles  recherches  sur  les  series 
employees  dans  les  theories  des  plan&tes,  Stockholm,  1892.  Moins  heureux 
que  dans  ses  premiers  travaux,  il  s'est  cette  fois  completement  trornp^. 


588  SUR   LA   METHODS   HORISTIQUE   DE   GYLDEN. 

Considorous  une  equation  differenlielle  quelconquc,  fnisons  passer  certains 
termesdansie  premier  mombre,  d'aulres  dansledeuxieme.  En  premiere  approxi- 
mation, nous  remplacerons  dans  le  deuxieme  membre  les  fonclions  iiiconnu.es 
par  zero  et  nous  int6grerons  les  equations  ninsi  oblcnnes;  endenxieme  approxi- 
mation nous  reinplacerons  dans  le  deuxieme  membre  les  fonctions  inconnues 
par  leurs  valeurs  de  premiere  approximation,  et  ainsi  de  suite.  Tel  est  le  principe 
fondamental  des  nouvelles  m6thodes  d'approximation  de  Gyld^u,  comme  des 
anciennes,  et  nous  le  reirouverons  parlout. 

Ce  principe  esL  I^gitime,  mais  a  une  condition,  c'cst  quc  les  tonnes  re!6gu<5s 
dans  le  deuxieme  membre  et  ndgligds  en  premiere  approximation  soient  nola- 
blement  plus  petits  ou  moiiis  importants  que  les  termes  conserves  dans  le 
premier  membre.  Sans  cela,  il  est  clair  que  le  ddveloppemenl  ne  sera  pas 
convergent.  Nous  aurons  done  a  examiner  si  1'analyse  de  Gyld('in  satisfail  a 
cette  condition. 

On  sait  que  dans  les  methodes  ordinaires  de  la  M^canique  celeste,  on  voit 
s'introduire  ce  qu'on  appelle  de  petits  diviseurs,  de  sorte  que  le  coefficient  de 

certains  termes  prend  la  forme  -D />  etanllrcs  petit,  et  deviennentinfinis  quand 
p  s'annule.  Gyldein  s'effbrce  de  prouver  qn'un  calcul  plus  exact  doit  donner 
— 23  9  6tant  une  quantity  qui  ne  s'annule  pas,  de  sorte  que  le  coefficient  no 

devient  pas  infini  et  res  to  m^me  ires  pelit.  C'est  ce  qu'il  appelle  la  nuHhode 
horistique,  aiusi  nominee  d'un  mot  grec  d'ou  vient  6galemenl  horizon. 
[1  cherche  a  tirer  de  la  diverscs  consequences  : 

i°  Que  les  series  obtenues  en  M^canique  celeste  sont  convergenl.es  si  1'on 
tient  compte  des  termes  lioristiques. 

2°  Que  les  termes  d'ordre  c^leve  de  la  fonclion  periurbalrico  ne  sauraient 
donner  lieu  au  phenomena  connu  sous  le  nom  de  libration, 

Ges  consequences  sont  manifestemenl  fuusses;  mais  j'ai  cru  longtemps  que 
Perreur  provenait  simplement  de  ce  que  Gyldthi  ne  se  doutait  pas  dc  ce  que  les 
g^ornetres  appellent  une  sdric  convergent  et  des  precautions  minutieuses  qujil 
faut  prendre  dans  une  demonstration  de  convergence. 

Je  croyais  que,  si  Gylden  est  proL#g<5  contre  la  critique  par  son  obscurit6 
mdme,  cette  obscuritd  emp^cherait  egalement  qu'on  cherchat  a  appliquer  ses 
methodes  qui  dcviendraient  ainsi  inoffensives  el  tomberaient  dans  1'oubli 
apres  sa  mort. 


SUR    LA   METHODE   HORISTIQUE   DE   GYLDEN.  689 

Jo  me  troinpais  ;  d'abord  ses  errcurs  commencent,  comme  nous  le  verrons 
bientol.  tlos  le  d^but  do  son  analjsc;  on  ne  pent  done  le  prendre  pour  guide, 
non  seulemenl  pour  demontrer  la  convergence  des  d6veloppements,  mais  m£me 
pour  en  calculer  approximativement  les  premiers  icrmes.  De  plus,  cerlaines 
persounes  ont  voulu  appliquerccs  miihodcs  a  des  problemes  pratiques,  el  elles 
out  eu'i  naturellement  conduites  a  1'erreur.  D'aulros  out  repris  les  affirmations 
de  (Jylden  Mir  la  convergence  des  series  et  les  ont  presentees  comme  des  v6rit<5s 
elnblies. 

II  devenuit  done  u^cessaire  d'anuljser  dans  ses  d6tails  1'Ouvrage  cite  Nou- 
*v//«'.v  rcchcrches...  et  d'on  disculer  les  conclusions.  C'est  la  Tobjet  du  present 
iravail,  nous  suivrons  pas  a  Ipas  rOuvrage  de  Gulden  et  nous  en  examinerons 
Micressivetnent  chacjue  Cliapilre. 

J'aurais  voulu  conservor  Uis  notations  de  Gyldon;  mais  elles  sonl  tellement 
compliquces  et  tellement  changeantes  que  je  n'en  ai  pas  eule  courage.  Jedonne 
oepondant  des  indications  suffisantes  pour  que  Fon  puisse  passer  facilement 
d'uue  notation  a  1'autre. 

Dans  les  citations,  quand  je  renvolc  a  uiio  page  ou  a  un  paragraphe  d^signe 
par  le  signo  ^}  ou  n°  suivi  d'un  numcro,  il  faut  entendre  la  page  ou  le  paragraphe 
<hi  1'Ouvrage  de  Gyldon,  Nouvelles  recherches...  Quand  je  renvoie  a  un  para- 
graphe en  t^crivant  le  mot  paragrapUe  cntoutes  lettres,  ils'agitd'un  paragraphe 
du  present  travail.  Enfin  quand  je  renvoie  a  mon  Ouvrage,  Les  M^t/iodes  nou- 
iv//<?.v  d<t  la  M6c*ani<iue  ctHestt^  Paris,  Gauthier-Villars,  j't^cris  simplemeni 
M&thodes  nouwlles. 

IL  —  Analyse  du  Ghapitre  premier. 
L(\  Chapitrc  preinier  est  consacrd  k  liquation 


Gylden  applique  &  cetfce  Equation  quatre  m6thodes  difFdsrentes  donl  une  fondle 
sur  1'emploi  des  coefficients  ind^termin^s  et  trois  sur  Temploi  des  fonctions 
ollipliques, 

Mais  avant  d'aller  plus  loin,  disons  quels  sontles  r^sultats  qui  sont  d^montris 
au  sujet  de  cette  Equation  et  que  Gyld<§n  aurait  du  relrouver.  Si  Ton  applique  & 
liquation  (  i)  la  m6thode  de  la  variation  des  constantes  arbitrages  deLagrange 


690  SUR   LA  M&THODE   HORISTIQUE   DE   GYLDEN. 

en  regardant  (3  el  y  eomme  des  quantites  tres  petites,  on  obtient  une  serie  pro- 
c6dant  suivanL  les  sinus  el  les  cosinus  des  multiples  do  deux  arguments 


el          <r  =  r  y'  i  —  a  -I-  const. 


et  suivanl  les  puissances  de  P;  cette  serie  ou.  f>  figure  en  debors  des  signos 
trigonorn6triques  est  convorgenle  pourvu  que  9  soil  suffisamment  petit,  Jc 
Pappellerai  la  s6rie  S. 

Le  terme  general  de  la  s6rie  S  est  done  de  la  forme  Ar"'  cos(j)v  •+•  qw-}-  /*)• 
Si  nous  reunissons  tous  les  termes  de  la  serie  S  qui  contiennenl  en  facteur  une 
des  lignes  trigonom^triqucs  d'un  m£inenrc/K'  -+-  qw,  on  pent  en  fa  ire  la  somnie, 
et  cette  somme  apourvaleur  A  cos  (/><'•+•  #/'-f-  A),  oi'i/est  un  nouvel  argument 
de  la  forme 

/=Grp-t-5, 

cr  ekant  une  nouvelle  constante  donnce  et  s  une  constante  arbitraire  d'integra- 
don.  En  groupant  les  termes  de  celle  maniere,  on  obtient  une  nouvelle  s6rie  Si 
proc6dant  suivant  les  sinus  et  les  cosinus  des  multiples  des  deux  arguments  r 
et/,  et  ne  conienant  pas  p  en  dehors  des  signes  trigonom^triques.  Getle  nouvelle 
s6rie  Si  est  divergente,  au  sens  que  les  maih^nmlicions  attaclient  JA  cc  mot  ; 
elle  peutn^anmoins  etre  employee  dans  un  but  pratique  pourvu  quece  soitavec 
circonspection.  Elle  peutdonner  une  valeurapprochde  de  la  fonction  inconnue, 
si  Ton  s'arrete  a  un  certain  terme. 

Cette  s6ric  Si  depend  de  deux  constantes  arbitraires  ;  la  |)remiere  est  e,  et 
figure  dans/;  la  deuxieme  peut  ^tre  choisie  de  bien  des  manieres  ;  a  Pexemplo 
de  Gylden  nous  prendrons  le  coefficient  clu  terme  en  cos/  el  nous  Tappelle- 
rons  -/..  Si  Fon  fait  x=o,  tous  les  termes  dependant  de  /  disparaissent;  la 
s^rie  Si  ne  contientplus  que  1'arguraent^,  elle  no  depend  plus  dela  conslanle  s; 
grace  a  cette  reduction,  la  serie  Sf  devient  co?i^ergente,  Cyest  la  solution 
periodique. 

Supposons  que  la  constante  x  ne  soil  pas  nulle,  mais  tres  petite  et  negligeons 
les  termes  en  x2,  nous  ti'ouvons  ainsi 

p  =s  H  -h  xHj  sin/-h  xH*  si"/: 

ou  H  independant  de  x  represente  la  solution  p6riodique  que  nous  venons  de 
ddfinir  et  ou  H,  H1?  H2  sont  d6veloppables  suivant  les  sinus  et  cosinus  des  mul- 
tiples de  Targument  unique  p.  Cette  serie  reprtSsente  les  solutions  tres  voisines 
de  la  solution  p^riodique  (cf.  Methodes  nouvelles,  Chap.  IV)  ;  elle  est  conver- 
gente;  je  1'appellerai  S*2. 


SUR    LA   MtfTHODE   HORISTIQUE   DE   GYLDEN.  5gi 

Daus  Ies  diilereuts  lermes  de  S  et  de  Si  Kgurent  ce  que  Ton  appeile  de  petits 
rjt  iulroduils  par  Piutegration.  Parml  eux  nous  distinguerons  le  petit 
diviseur  y.  qui  s'iulroduit  dans  la  serie  S  qunnd  on  integre  un  terme  en. 
iv  4-  n  (iv  —  i')  et  qu'oii  retrouve  dans  la  sdrie  Si  d^duile  de  S.  Parmi  Ies  termes 
do  S4,  couservous  seuleiueut  ceux  qui  contiennerH  a  au  d^nominateur  a  la 
meme  puissance  que  p  ou  y  au  uum6rateur.  L'ensemble  de  ces  Lermes  formera 
une  nouveile  serie  S:{;  celle  stirie  sera  convergente.  C'est  celle  alaquelle  con- 
duit la  ni'tthode  de  Delaanay.  Comment  se  fait-il  que  la  s6rie  S3  6tant  conver- 
g«mte,  la  sorie  Sj  soil  neanraoins  divergente;  c'est  a  cause  de  la  presence  des 
pelits  diviseurs  autres  que  ex;  inais  comme  ces  pelits  diviseurs  ne  se  renconlrent 
que  dans  des  lermes  d'ordre  <Slev6,  la  s6rie  convergente  S;}  nous  donnera  une 
valeur  approchee  de  la  fouction  inconnue  pourvu  qu'on  ne  veuille  pas  Fappli- 
<[utjr  pendant  uu  intervalle  de  teuips  trop  long;  c'est  la  ce  qui  fait  la  l£gitimii£ 
de  la  m^thode  de  Delaunu>  , 

Tels  sont  Ies  resultats  qui  sont  vrais  de  Tciquation  (  i  )  comme  des  equations 
gcnerales  du  probleme  des  trois  corps  et  des  Equations  analogues. 

Vojous  mainteuant  ce  qu'a  fait  Gylden;  il  clierche  a  satisfaire  <a  Fequation 

eu  posant 

f-  =  7.  cosy'  H-  /i  cos  r  H-  H 

et  de  far.ou  que  11  soit  petit  par  rapport  aux  deux  a  u  Ires  termes.  11  d6signe 
par  :-(ll2)  la  partie  conslazxte  de  Rat  d'oi\  il  rtjsulte  que  (Ru)  est  petit  et  positif 
e!  il  arrive  aux  equations  suivantes  [Equations  (4)  de  la  page  to]  : 

-  9»-h  (i  —  a)  -4-  ^  X—  -  f5[  x2-l-  x?  H-  (R*)J  «  o, 


Kemarquons  pour  comparer  ces  Equations  a  celles  de  Gjldtin,  que  a,  (3,  cr  et  i 
represented!  ici  Ies  (34,  (33,  i  —  5  el  I  —  ^  de  Gylddn. 

Ces  Equations  sont-elles  exactes  ;  il  suffit  pour  le  voir  de  Ies  comparer  a  la 
s6rie  convergente  S2  d6(inie  plus  haul  et  que  nous  savons  former. 

Soit  d'abord  x  =  o;  dans  cc  cas  la  s6rie  Sj  ou  Sa  se  r^duit  a  celle  qui  definit 
la  solution  prtriodique;  le  terme  le  plus  gros  est  le  terme 

p  =  Xi  COSf1. 

Alors  Ies  conclusions  de  (ijld^n  sont  exactes  et  Pon  trouve  bien 


692  SUR  LA   MtfTHODE  HORISTIQUE   DE  GYLD&SL 

ce  qui  est  conforme  £  liquation  (2),  puisque  x  est  mil  et  R  tres  petit.  Gette 
equation  (3)  limite  bien  la  valeur  de  x£  coumie  Gylddn  Fa  remarqud,  et  c'est 
cette  remarque  qui  a  6i6  Forigine  de  tout  son  travail,  ou  il  a  vainement  cherchd 
a  la  g£n6raliser.  On  voit  Finfluence  du  terme  en  )3p;i,  et  une  comparaison  phy- 
sique la  fera  mieux  comprendre.  Si  ce  terme  n'exisiait  pas,  liquation  (i )  ctefi- 
nirait  le  mouvement  d'un  pendule  rigoureusement  isochrone  qui  oscillerait  sous 
Finfluence  d'une  force  p^riodique  y  cose.  Si  cette  force  se  Irouve  en  resonance 
avec  la  periode  propre  du  pendule,  les  oscillations  pourront  devenir  tres 
grandes.  Grace  a  Faddition  de  ce  terme,  le  pendule  n'est  plus  rigoureusement 
isochrone;  s'il  y  a  resonance  ponr  les  oscillations  infinimonl  petites,  Fampli- 
tude  croitra  d'abord,  mais  quand  elle  sera  plus  grande,  la  periode  propre  du 
pendule  ne  sera  plus  la  meme,  la  resonance  disparaltra  et  Famplitude  cessera 
de  croltre.  Les  constructeurs  de  naviros  out  souvent  employ^  un  artifice 
analogue. 

Si  nous  supposons  au  contraire  y  el  x*  nuls,  Fequation  (r)  s'integre  tres 
ais6ment  par  les  foiictions  elliptiques,  on  pourrait  alors  former  ais6ment  la 
premiere  Equation  (2)  en  y  faisant  x,  =  o  et  nigligeant  R,  qui  esl  en  effctn6gli- 
geable  si  x  est  petit.  On  reconnaitrait  ici  encore  que  la  formule  de  Gyld^n  est 
exacte.  Observons  que  dans  ces  deux  cos,  il  n'y  a  dans  p  qu'un  seul  argument, 
9  dans  le  premier  cas,  /dans  le  deuxieme. 

Supposons  maintenant  que  x  ne  soit  pas  nul,  mais  tres  petit.  Quelle  devrail 
etre  d'apr^s  Gyld^n  la  valeur  de  <r?Si  x  est  tres  petit,  il  en  sera  de  m£me  de  R. 
On  aura  done 


Cherchons  maintenant  la  vraie  valeur  de  cr.  Soit  Po  la  solution  p6riodique ;  et 
P  =  p04-s;  dans  ce  cas  p0  est  ind^pendant  de  x  et  e  est  de  Fordre  de  x;  nous 
pouvons  done  ndgliger  e2,  ce  qui  donne 


et  comme  p0  est  sensiblement  6gal  k  XL  COSP,  cela  fait 

d*B      /  3  3 

^5-l-^-a--pxJ_-p 

ou 


SUR   LA  METHODE   HORISTIQUE  DE  GYLDEN.  698 

en  posant 


ITest  la  uue  equation  qui  a  fail  Pobjet  de  travaux  tres  nombreux  que  j'ai  rdisu- 
m$s  dans  le  Chapitre  XVII  des  Methodes  nouvelles. 

Soil  £  :  -  F(p)  la  solution  del'equation  (4)  qui  se  r^duit  a  i  et  dont  la  d&riv^e 
se  rcMuit  a  z#,ro  pour  p  =  o;  on  aura 


cos  arc  = 


DtVveloppons  F(p)  suivant  les  puissances  croissantes  de  q^  et  de  i  —  q-=r,  il 
viendra 

F  (  v  )  =  cos  P  -4-  (  -  H-  -  ;-  j  P  sin  P  •+•  ~  (  cos  P  —  cos  3  P  )  -h  R  j  , 

ou  llj  contieudra  les  termes  dependant  des  puissances  plus  elevees  de  r  et 
de  </t  ;  parmi  ces  termes,  nous  no  conserverons  que  ceux  qui  dependent  des 
secondcs  puissances,  et  qui  ne  s'annulent  pas  pour  P  =  TC.  Or  nous  aurons  des 
lornios  en  psinr,  en  (cosr  —  cosSp),  en  (COSP  —  cos  OP),  en  P2cos^;  nous 
n'avous  a  nous  occuper  que  des  derniers  qui  sont  les  seuls  qui  ne  s'annulent 
pas  pour  £:=7r.  Or  RI  est  donn^  par  liquation 

1—  i  H-  Kt  =  (t  -4-  g'i  cosap)     f   -  H-  y-  j  P  sinp  H-  ^(COSP  —  cos3p)    • 

Nous  pouvons  n6glig*er  le  terme  en  COSP  —  cosSp  qui  ne  peut  nous  donner 
un  terme  on  <>acosp.  D'autre  part 

(-c  «t-  <7j  cost>-p)  P  sin  P  =  (  "  —  -  -  )  ^  sin  P  -i-  -  ,-  p  sm3p, 
x         J  \  2  /  4 

ou  le  premier  terme  seul  peut  nous  donner  un  terme  en  p2  COSP;  il  nous  suffira 
done  dMcrire 


j  -..—  ItS—  f°-COSPH-.. 


en  n'exprimant  que  le  terme  en  p2  COSP.  II  vient  done 


Or 

COS  CTTC  =  —  I  H 

H,  p.  —  VII- 


5p4  SUR  LA  M^THODE   HORISTIQUE  DE  GYLD^N. 

II  reste  done 


La  formule  de  Gyld^n  donnerait 


Avec  la  formule  de  Gylden,  cr  est  toujours  reel;  avec  la  vraie  formule,  a  peut 
devenir  imaginaire,  et  c'est  ce  qui  arrive  par  exemple  si  a  est  positif,  (3  ndgatif 
et  assez  grand.  Les  differences  peuventetre  Lout  a  fail^normes;  ellcs  ne  peuveni 
s'expliquer  par  F  influence  du  terme  en  (R2)  qui  non  seulernent  dcvrait  elre 
tres  petit,  niais  serait  toujours  de  m£me  signe  et,  £tant  toujours  reel,  donnerail 
toujours  pour  t  —  <r  une  valeur  rtfelle. 

Cherchons  d'ailleurs  le  terme  principal  de  R,  Un  calcul  simple  nous  donne 
en  n^gligeant  les  carr6s  de  T  et  de  g±  et  en  posant  cr  =  i  —  s  : 


p  =  Xi  COS  P  -f-  "/-  COS/  H~  X,  COS  (/  —  2  P)  -   "  "  ^~ 


V/2-u  —  qi  H-  v/2 

ce  qui  nous  donne  la  valeur  de  R;  le  terme  le  plus  important  de  R;  c'est  en  effet 
le  terme  en  cos  (f —  2  p).  Le  rapport  du  terme  en  cos  (f —  2  p)  au  terme  en  cos/* 

est —===== —  ••  Or  le  num^rateur  et  le  d^nominateur  sont  du  metric 

/2T  —  qi  •+•  yw  -4-  ^i 

ordre  de  grandeur;  done  R  n'esl  pas  n^gligeable  devant  p(). 

Le  seul  cas  ou  R  serait  n^gligeable  devant  p0,  serait  celui  ou  q±  serait  n6gli- 
geable  devant  r,  c'est-a-dire  ^xj  devant  a;  c'est-a-dire  celui  ou  la  consideration 
du  terme  en  (3p'a  est  inutile,  ou  les  methodes  ordinaires  suffisent,  ou  celle  de 
Gylden  est  sans  olyjet. 

Gylden  dit  page  17  que  R  reste  m£me  dans  les  cas  exceptionnels  de  Tordre 
de  p0  (c'est-^-dire  de  x  cos/+^i  cosp),  mais  qu'elle  devient  tr6s  petite  dans  les 
cas  ordinaires,  &  savoir  lorsque  la  valeur  absolue  de  w  est  sensiblement  plus 
grande  quel'unit6  [c'est~a-dire  lorsque  les  trois  racines  de  liquation  (3)  dif- 
ferent sensiblement  1'une  de  Pautre].  On  peut  se  demander  ce  qu'il  entend  par 
sensiblement.  Quand  il  dit  que  |&>|  est  sensiblement  >>i,  veut-il  dire  que 
|  co  |  —  T  par  example  n'est  pas  tres  petit,  ou  que  |  co  est  trcs  grand  ? 

Dans  le  premier  cas,  il  se  Irompe,  nous  venons  de  voir  que  R  est  du  meme 

ordre  de  grandeur  que  p0  pour  toutes  les  valeurs  de  ™>  c'est-a-dire  pour  toutos 
les  valeurs  de  GO,  sauf  pour  les  tres petites  valeurs  de  ~  * 


SUR   LA   METHODE   HORISTIQUE  DE   GYLDEN.  696 

Dans  le  deuxieme  cas,  ce  qu'il  dit  esl  exact,  car  si  &>  esL  tres  grand,  ^  est 
ires  petit,  mais  si.  ^-  est  ires  petit,  I'emploi  de  la  methode  n'a  plus,  commenous 
Favons  dit,  aucune  raison  d'etre. 

II  semhle  bien  d'ailleurs  que  sa  pens^e  doit  £tre  interpr^l^e  de  la  premiere 
maniere.  II  sail,  trop  bien  le  francais  pour  avoir  employ^  une  expression 
impropre  et  le  contexte  senible  plutot  favorable  a  cette  interpretation. 

Est-il  vrai  du  inoins  que  R  ne  peut  jamais  etre  tres  grand  par  rapport  atix 
termcs  conserves  de  p?  Oui,  si  Fon  suppose  x  tres  petit,  car  alors  nous  avons 

p  =  X|  cos  r  -h  x  cos/  H--  x'cos(/  —  a  9 ) 

t»t  nous  avons  doime  Fexpression  du  coefficient  •//;  c'est  le  dernier  terme  qni 
repnf\sente  R.  Si  nous  posons 

2  i' -/  =  ./" 
cette  Equation  devient 

fj  =  X|  COSP  -4-  x'  COSt/V -4-  X  COS(/' —  ?tP). 

On  rctombc  done  sur  une  expression  de  ineme  forme,  mais  oii  le  role  des  coef- 
ficients x  et  x;  est  interverti.  On  peut  done  indiff&remment  prendre  x  ou  x' 
pour  le  coefficient  du  terme  principal,  ou  pour  celui  de  R;  si  Fon  comment  de 
rc}»'  irdor  loujours  le  plus  grand  des  deux  comma  repr^sentantle  terme  principal, 
ou  sera  certain  que  R  ne  pourra  devenir  tres  grand, 

A.urail-on  la  mdme  liberty  si  x  n76tant  plus  tres  petit,  on  devait  tenir  compte 
des  puissances  supcirieures  dex?  On  aurait  alors  des  termes  en2/ —  3r,  2/ — r, 
etc*,  et  si  le  coefficient  de  Fun  de  ces  termes  devenait  tres  grand  on  ne  pourrait 
plus  employer  le  meme  artifice.  Nous  verrons  plus  loin  que  cela  pent  fort  bien 
arrivcr. 

III.  —  Cause  de  1'erreur  de  Gyld&n. 

Las  conclusions  de  Gyld^u,  du  Ghapilre  premier,  §  1,  n°  2,  pages  10  a  17 
sont  done  fausses.  Quelle  est  Forigine  de  son  erreur  ? 

11  envisage  liquation  (i)  et  <5gale  dans  les  deux  membres  les  coefficients  de 
cos/  et  cos  9.  Six  est  tr6s  petit,  nous  pouvons  6crire 

p  as  Xi  COS  ('  4-  X  COS/  -4-  x'  COS  C/— •  2  V  ). 

fl  vient  alors  dans  p3  des  termes  en 

( A )  cos2 « cos/,        cos3/,        cos*2(/  —  2  P)  cos/ 


5g6  SUR   LA  M^THODE  HORISTIQUE   DE  GYLD^N. 

et  cn 

( B )  cos2  p  cos  (/-—?.<')? 

qui  peuvent  donner  un  terme  en  cos/. 
Nous  avons  aussi  dans  p3  des  termes  en 

(A')  COS3?,  COS2/ COS  P,  COS-(/— 2P)  COSP 

et  en 

(B')  COS  9  COS/  COS  (/ — 2^), 

qui  peuvent  donner  un  terme  en  cos  p.  Gyld6n  tient  compte  des  termes  (A.)  et 
(A!),  mais  ne  tient  pas  compte  des  termes  (B)  el  (B')  qui  sont  du  meme  ordre. 

Si  K  n'6tant  plus  tres  petit,  on  ne  pouvait  plus  n^gliger  x<J,  il  y  a  bien  d'autres 
termes  dont  il  faudrait  tenir  compte. 

L'mtroduction  des  termes  n<5glig£s  ferait  perdre  aux  equations  leur  forme 
«  horistique  ». 

Dans  le  n°  3,  Gyld^n  fait  une  tentative  pour  pousser  Papproximation  plus 
loin.  II  arrive  ainsi  a  des  formules  tres  compliqudes  d'oii  il  ne  tire  rien;  elles 
ne  lui  servent  m£me  pas  a  lui  faire  d6couvrir  Perreur  commise  dans  le  nimi^ro 
pr6c6dent.  II  se  borne  a  montrer  que  les  r4sultats  du  n°  3  concordent  approxi- 
mativement  avec  ceux  du  n°  2,  pourvu  que  la  quantity  qu'ilappelle/pageaS  soit 
tres  grande*  Mais  le  cas  oti/  est  tres  grand  est  pr6cis6ment  celui  ou  les  vieilles 
m^thodes  classiques  s'appliquent  sans  difficult^  et  ou  tout  cct  appareil  est  inutile. 

Je  n'ai  pu  arriver  a  determiner  quel  est  le  but  poursuivi  dans  le  n°  4,  (M 
comme  il  n'est  fait  dans  la  suite  aucune  application  des  rtSsuhats  qui  y  sont 
contenus,  je  m'abstiendrai  d'en  analyser  ici  le  contenu. 

IV.  —  Emploi  des  fonctions  elliptiques. 

Dans  le  §  2,  Gyld^n  applique  une  seconde  m^thode,  fondle  sur  Temploi  des 
fonctions  elliptiques;  nous  allons  voir  qu'elle  ne  differe  pas  de  la  m^thode 
de  Delaunay  et  qu'elie  permet  par  consequent  djobtenir  correctement  une 
premiere  approximation.  Nous  verrons  ensuite  Pusage  que  Gyld&n  cherche  a 
en  faire  pour  les  approximations  suivantes. 

Posons 

T 
p  =  geiv~±-  he-*1',        Y  cos  P  =  i  (<2^'-h  e~~itJ). 

Substituons  dans  liquation  (i)  et  <§galons  dans  les  deux,  rnembres  les 
coefficients  de  eiv  et  e~~~^.  Nous  aurions  aussi  des  termes  en  e±;u<',  mais  nous  ne 


SUR  LA   M^THODE  HORISTIQUE  DE  GYLDEN.  597 

nous  eu  occupons  pas  paroe  qu'ils  ne  sauraient  dormer  naissance  a  de  petits 
diviscurs.  Nous  obtenons  ainsi  les  deux  Equations 


( '» )  A'  •+•  :>  iff  =  y.g  n~  '}  ^  /*  —  ^. ,          /,"-_  2  j/i'  =  a  A  - 

ou  £"'»  £""  <l<;tfignenl  les  d<5riv6es  successives  de  g  par  rapport  sk  P, 

Dans  4«-  et  A  nous  ne  conserverons  que  les  termes  a  longue  p^riode  qui  seuls 
peuveut  donnor  lieu  a  de  pelits  diviseurs;  mais  alors  nous  pouvons  n^gliger  g" 

ct  h'r  devant  i>'  et  //,  (it  il  reste 

* 

(<»>  ^ry^a^H-^f^-A  —  V»          —  2iA'=  aA  4- 3(3^/1*—  I. 

2  2 

jVf  ulliplions  par  //,  el  ^r7  ajoutons  et  int^grons,  il  viendra 
(7  >  a#A  -h  [~  p^2A2 (//  -t-  £•)  =  const, 


Oa  pent  ensuite  achever  Pint^gralion  par  les  fonctions  elliptiques.  Telle  est, 
aux  notations  pr6s,  la  deuxi^me  m^thode  de  Gyld6n. 
Comparons  avec  la  mdthode  de  Delauaay.  Posons 


F==       (P'-^P-)—       P"— 


p'  d6signant  la  d^riv6e  de  p  par  rapport  a  P,  et  u  une  variable  auxiliaire. 
L?tfkquaiion  (i)  peut  dtre  remplacde  paries  Equations  canoniques 


^        J/w         '  r/^  •'A' 

Posons  p  =  ^/a^cosw,  p;^=  ^/ft^sinw;  d^ou 

F  =  5  -4-  w— •  a£cossco—  J352cos*co  -1-7  1/2?  cos  p  cosio, 

les  Equations  conserveront  avec  les  variables  £,  co  (t  P,  w  la  forme  canonique. 
Si,  conform^ment  ^  la  m^thode  de  Delaunay,  nous  ne  conservons  que  les 
termes  &  longue  p^riode;  si  par  consequent  nous  laissons  de  c6t6  les  termes 
en  cos 2 co,  cos4co?  COS(P  —  co),  il  restera 


a  3  *          it—, 

.  u g__        GC2.+.  _v  \/2?COS(PH-  0)). 

2*  8  r  2 


Soil 

il  viendra 

(9) 


5gS  SUR   LA  METHODE   HORISTIQUE   DE  GYLD^N. 

et  les  Equations,  devant  rester  canoniques,  deviendront 

d$  _  dP  _     „  *   /TF  i-   ,         (J£  -s  —  —  =  _h  a  ~H  3  S£  —  7  (>os£  • 
^  —  ^  —  —  T  ~  V  ^  MIU'          ^  "-*        ^  2        -1  vs  v/i>.  £  ' 

'/p  —  ^£  —  ^  -  —  - H'  =  o 

"eft    "~   S?    "~  l  '  ^    ""         ^ 

Si  nous  posons 


on  retombera  sur  les  Equations  (6),  d'ou  il  suit  que  la  deuxieme  m<Hhode  de 
Gyld6n,  etant  identique  a  celle  de  Delaunay,  nous  donneune  premiere  approxi- 
mation correcte. 

On  voit  sans  peine  que  g  et  h  sonl  des  fonctions  doublemenl  p^riodiqucs 
de  P.  On  peut  alors  construiro  les  Equations  correctes  cjui  lient  les  quantil<$s 
appelcSes  plus  haul  x,  ^  el  a-;  ces  Equations  sonl  iranscendanlos  el  elles  n'ont 
par  consdquent  aucun  rapport  avec  les  Equations  (2).  A  ce  point  de  vue  les 
conclusions  du  §2  sont  en  contradiction  direcle  avec  celles  du  §  1. 

Dira-t-on  au  moins  qne  les  formules  concordenl  quand  x  est  tres  petit  non 
seulement  d'une  fagon  absolue,  mais  par  rapport  &  x4  ?  Nous  allonsvoir  que  non  , 
et  Fanalysc  que  nous  venons  de  donner  dans  le  paragraphe  II  suffisait  d?ailleurs 
pour  que  nous  en  fussions  surs  d'avance. 

Nous  allons  d^velopper  g  et  h  suivani  les  puissances  de  x,  et  6crire 


g  =  ^o  -+-  g\ 

ou  Art  repr&ente  Fensemble  des  tcrmes  de  Tordre  de  x/'.  Nous  trouvons  d'abord 

Y 

g^  =  7?0  =  const.  3         cc^'o-4-  3  p#jj  **  ± 
et  ensuite 
(10)       2*Vi^(«-i-Op^)^4-3^j/it,         -\rA'1  =  («-i-(l)p^i!)/M-l-3p/*a^i. 

Ce  sont  des  Equations  lin^aires  ^  coefficients  constants;  nous  pourrons  y 

satisfaire  en  posant 

g{  =  xe~<(',        7/1  =  "/<2~-^''} 

ou  bien 

g{  =;  x'^'^j  /^  =  X^^<'. 

Ou  bien  encore  en  faisant  la  demi-somme  de  ces  deux  solutions  particulieres; 
on  obtient  ainsi 

p  =  2£-0  COS  r  -4-  X  COS/H-  "/  COS  (/—  2  t>), 

•avec 


SUR   LA   METHODE    HORISTIQUE   DE   GYLD^N.  699 

el  en  substituant  dans  les  equations  (10),  on  trouve, 


Mais  y.  -\-ti3ffl  esl  ce  que  nous  avons  appel<$  plus  haul  T,  et  SjS^j;  Gst  ce 
que  nous  avons  appelo    //4  >  &  vient  ainsi 


d'ou 


Ces  formules  sont  en  concordance  avec  les  rdsukats  du  paragraphe  II  et  en 
disaccord  avec  les  Equations  (2),  c'esl-a-dire  avec  les  equations  de  Gyld^n. 
(  Iberchous  encore  los  lernies  constants  de  ff%  et  /io.  Nous  avons 


Nous  cherchons  seuiement  les  parties  constanles  de  g*  et  A2;  nous  devons 
done  faire  ^  --=  A'*  —  °^  Ara  =  '*ai  ^l  remplacer  ^Ai,  g\  et  A*  par  leurs  parties 
cons  tan  tes.  Or  nous  avons 


.  .  „ 

partie  constante  ^'f  =  partie  constantc  lt$  =   ^  > 

x2  -+-  x'2 
partie  constante  g\h\  =  —  -f  -  ; 


Or  )aous  aliens  avoir,  nou  plus  xtrs  a^0  comme  dans  Tapproximaiion 
donte,  mais 


xi  =5  2  £-0-1- 

Comparons  avec  la  soconde  Equation  (a)  qui  peul  s^crire 

-axi-?px?--px1(x»-f-x'a)=sa-r 
4  2 

en  remarquant  que  x/a  n'est  pas  autre  chose  que  ce  que  Gyld6n  appelle  (R2). 
En  premiere  approximation,  nous  avons 


Goo  SUR   LA   METHODE   HORIST1QUE   DE   GYLDEN. 

Soil  x4:=2£'o-+-2<5,  de  sorte  que  8  devrait  elre  egal  a  #a.   Cola   fera   en 
n<5gligeant  <S2,  3xa,  &t'2  : 


on  reconnait  d^ja  que  la  formula  est  crronee. 

V.  —  Discussion  de  la  methode  precedente. 

Jusqu'ici  les  conclusions  du  §  2,  d'ailleurs  conlradicLoires  avec  celles  du  §  1, 
sont  correctes,  mais  Gyld^n  veut  pousser  plus  loin  1'approximation  et  lenir 
compte  des  termes  n<*glig6s.  II  6crit  done  les  Equations  (avec  d'autres  notations) 


(n)  2&i£/  — a#-— 6p£-2A-h  -  =  M',        —  2&A'~  aA  —  GpA2^  -h  ~  =  IS', 

ou  M7  et  N7  repr^sentent  1' ensemble  des  termes  d'abord  n6glig6s,  etilles  integrc 
par  approximations  successives. 

J'aurais  a  faire  au  sujet  de  ses  conclusions  la  remarque  suivante.  Ay  ant 
r^solu  correctement  les  Equations  (6),  il  constate  qu'clles  conduisent  dans 
certains  cas  a  des  solutions  asymptotiques. 

cc  Mais,  ajoute-t-il  page  67,  nous  verrous  dans  ce  qui  suit  que  la  solution 
asymptotique  n'appartient  pas  a  notre  probleme;  elle  est  due  uniquement  a  la 
maniere  d'aborder  les  approximations.  .  .  ». 

II  est  Evident  qu'ici  Gyld&n  se  trompe.  Les  Equations  approximatives  (6) 
admettent  un  systeme  de  solutions  asymptotiques  et  par  consequent  une 
solution  p^riodique  pour  laquelle  les  exposants  caract£ristiques  sont  rtfels  et 
diff^rents  de  z6ro.  Si  les  Equations  approximatives  admettent  une  solution 
p^riodique,  il  en  sera  de  m£me  des  Equations  exacles,  qui  en  different  fort  pen; 
car  si  Ton  fait  varier  un  systeme  d'^quations  diff^rentielles  d'une  maniere 
continue,  une  solution  p^riodique  ne  peut  disparoitre  que  quaiid  Fun  des 
exposants  caract^ristiques  est  nul?  ce  qui  n?est  pas  le  cas;  de  plus  cetle  solution 
p^riodique  aura  encore  des  exposants  caract6risliques  r^els,  puisqu'ils  dtff6» 
reront  tres  peu  de  ceux  qui  correspondent  aux  Equations  (6);  et  Fexistence  des 
exposants  caract^ristiques  r6els  entraine  celle  des  solutions  asymptotiques. 
Tous  cos  points  sont  hors  de  doute  et  je  les  ai  6tablis  d'une  facon  tres  simple  et 
rigoureuse  dans  mes  M&thode$  nouvelles. 

Gyld&n  cherche  a  nous  donner  la  demonstration  promise  d'abord  page  71, 
puis  page  7$;  il  cherche  d?abord  a  montrer  qu?on  peut  diriger  les  approxi- 


SUR   LA   METHODE   HORISTIQUE   DE   GYLDEN.  6oi 

millions  de  lar.on  a  nc  plus  renconlrer  de  solution  asymptotique.  Pour  cela  il 
eorit  les  Equations  (i  i)  sous  la  forme  suivanle  : 


?'-(»• 

(  1 1  bis) 


(it  il  inlegre  par  approximations  successives  en  faisant  d'abord  les  deuxiemes 
membres  6gaux  a  zero,  remplagant  ensuite  les  inconnues  dans  les  deuxiemes 
membres  par  les  valours  trouv6es  en  premiere  approximation  et  ainsi  de  suite. 

II  choisil  £  de  fa$on  a  6viter  la  solution  asymptotique  et  il  se  flatte  de 
pouvoir  comluirc  les  approximations  suivanLes  en  4vitant  Pinlroductionde  cette 
solution  et  en  ahoutissanl  a  une  sdrie  convergenle. 

Pour  juger  cello  preHention,  il  suffit  de  comparer  a  un  exemple  simple. 

Soil 

— L  H-  pp  =  cos  r. 

Nous  voyons  quo  si  (3  =  i,  1'equation  ne  comporle  plus  de  solution  p6rio- 
dique  el  que  r  sort  des  signes  trigonom<Jtriques.  Groira-t-on  que  Ton  peut 
ochapper  a  cello  consequence  par  1'artifice  qui  consists,  (3  <^tant  6gala  i ,  a  (^crire 
I'dquation  sous  la  forme 

_£  ^(l-j-gjp-a  COS  P  -4-  £  p  '? 
AT  .  ,  -  CQSP 

Nous    trouvons    en   premiere    approximation   p==o,    puis    p  =1 ?   puis 


ps=  .". — ^,  suite  manifestement  divergente. 

Eh  bien,  Gyld6n  fail  absolurnent  la  meme  chose,  II  y  a  page  72  quelques 
lignes  sur  1'orclre  de  grandeur  des  quantities  introduites.  Ces  lignes,  trop 
concises  pour  $lre  claires,  tendent  6videmment  a  prouver  que  la  s&rie  obtenue 
sera  convergente,  ou  du  moins  que  les  termes  iront  en  diminuant. 

Or  cela  n'est  pas  exact;  car  si  nous  supposons  Mr=N'=:o,  les  Equations 
(i  i  bis)  se  r6duisent  aux  Equations  (6)  et  nous  savons,  Gyld^n  Fa  d6montr£ 
lui-m^me,  que  cos  dquations  adrnettent  des  solutions  asymptotiques.  Las^rie  en 
question  est  done  divergente,  puisque  si  elle  (5tait  convergente,  ces  solutions 
n'existeraient  pas. 

La  scSrie  converge-t-elle  dans  d'autres  cas?  Les  deuxiemes  membres  de 
(i  i  bis}  peuvent-ils  6tre  assez  petits  pour  qu'il  en  soit  ainsi?  Cela  n'a  pas  lieu, 
H.  P.  —  VII.  76 


Go2  SUR   LA   MJ2THODE   HORISTIQUE   DE   GYLDEN. 

nous  venons  de  le  voir  quand  M;  el  N'  sonl  nuls;  cela  ne  pourraitdonc  6tre  vrai 
que  si  M'  et  N'  d6truisaienl  les  termes  les  plus  importanls  de  e^  el  de  eh.  Or  il 
est  Evident  qu'il  ne  peut  pas  en  £tre  ainsi  quels  que  soie/it  1VF  et  ]Y.  Eh  bien, 
dans  le  raisoimemeiil  de  Gylden,  il  n'est  fait  aucune  hypothese  sur  MA  el  JN; 
(ou  ce  qui  revient  au  memo  sur  ce  qu'il  appelle  M  el  N).  Son  raisonneinenl  est 
done  inexact. 

Gyid^n  cherclxe  ensuile  a  monlrer  quo  la  solulion  asymptolique  ne  pent  pas 
servir  de  poinl  de  depart  a  une  veritable  approximation  (p.  70,  199)  parce  que 
le  deuxieme  terme  du  dcjveloppernenl  est  susceptible  de  devenir  infini. 

C'esl  comme  si  Ton  disnii  que  quand  a  est  petit,  yK  n'est  pas  une  valour 
approch^e  de  y^-f-a,  sous  prdtexte  que  si  I'on  dc^veloppo  suivant  les  puissances 

de  a,  le  deuxieme  terme  du  d6veloppement  esl  — —  et  devienl  infini  pour  x  ~~~  o. 

14  ^ 

Dans  le  §  3,  Gylden  applique  une  nouvelle  methode  qui  ne  dill  ore  de  la 
pr&c^dente  que  par  quelques  complications  nouvelles.  11  n6glige  les  termes  M; 
et  N;  de  sorte  quo  les  equations  (n)  se  rc5duisent  aux  equations  (6);  nous 
venons  de  voir  que  ces  Equations  s'lntegrent  ires  aisdment  par  les  fonetions 
elliptiques.  Je  n'ai  pu  arriver  a  coraprendre  pourquoi  il  aborde  ainsi  par  uno 
methode  approximative  et  compliqu^e  im  probleme  qu^il  a  lui-meme  rtfsolu  par 
une  m^thode  rigoureuse  et  simple. 

II  n?y  a  qu'un  passage  oii  il  ne  dit  pas  explicitement  qu'il  neglige  M'  et  N', 
c'est  celui  de  la  page  93 ;  mais  on  doit  remarquer  qu'il  y  regarde  W  comme 
une  fonction  periodique  de  1'argument  unique  w,  ce  qui  ne  pent  s'expliquer 
que  de  deux  manieres;  ou  bien  s'il  neglige  M;  et  N'  comme  dans  le  reste  du  §, 
ou  bien  s'il  r(5duit  M;  et  N'  aux  termes  —  g'r  et  —  lin  qui  sent  ntigligds  dans  les 
equations  (6).  Dans  ce  dernier  cas,  on  relomberait  sur  les  Equations  (12)  du 
paragraphe  suivant,  sur  lesquelles  nous  reviendrons. 

VI.  —  Nouvelle  methode  de  Gylden. 

Dans  le  §  4,  Gylden  emploie  encore  une  nouvelle  methode,  fondle  (Sgalement 
sur  1'emploi  des  fonctions  elliptiques.  Elle  consiste  £  d^velopper  la  solution  de 
liquation  (i)  suivar^t  les  puissances  de  y. 

Si  Fon  appliquait  cette  methode  dans  toute  sa  rigueur,  on  trouverait  en 
premiere  approximation,  c'est-a-dire  pour  y  =  o,  que  p  est  une  fonction  dou- 
blement  periodique  de  p,  developpable  suivant  les  sinus  et  les  costnus  des 
multiples  d^un  argument  unique  /=  P  4-  w,  fonction  Hn^aire  de  P.  Dans  les 


SUR   LA  METHODS   HORISTIQUE   DE  GYLDEN,  6o3 

approximations  suivantes  oa  Irouverait  des  termes  en  WP  +  mv,  m  et  n  etant 
des  eutiers  quelconquos. 

II  s'introduirait  aussi  dcs  tonnes  seculaires  ou  ^  sortirait  dcs  signes  trigono- 
melriques,  mais  Gyldtin  6vite  {'introduction  do  ces  termes  siculaires  par 
Tartillce  suivant  : 

11  <k*ril  liquation  (i  )  sous  la  forme 


xf  i'*iant  uae  indiHenuimSe.  Dans  le  deuxieme  membre,  il  subslitue  a  la  place 
do  o,  d'abord  zdro,  puis  a  la  deuxieme  approximation  la  valeur  de  p  irouv^e  en 
premiere  npproximalion  el  plus  g<^n6ralement  a  la  /ill'ine  approximation  la 
valour  trouvtV  eu  (n-  —  i)l('mt'  approximation.  II  dispose  ensuite  de  I?ind6- 
t^rxxiinue  d  \  chaque  approximation,  de  fagon  o  faire  disparaitre  les  tonnes  en 
cos/  qui  lui  donneraient  apres  integration  des  termes  s^culaii^es.  Get  artifice 
v$t  Itigitune. 

Be  plus,  il  laisso  de  col6  a  chaque  approximation  les  termes  en  w  +  nw  ou 
Fenlier  m  n'a  pas  la  valour  ±:  i  .  Ce  qui  justifie  dans  une  certaine  mesure  cette 
manure  de  faire,  c'est  que  les  termes  de  la  forme  v  +  nw  sont  ceux  ou 
s'introduit  le  plus  important  de  lous  les  petits  diviseurs;  mais  on  ne  doit  pas 
oublier  que  d'autros  termes  (qu'on  ne  rencontre  pas  il  est  vrai  dans  les 
premieres  approximations,  mais  seulement  dans  les  suivantes),  introduisent  de 
uouveaux  petits  diviseurs  encore  plus  petits,  et  que  c'est  pr<5cis(}ment  a  ces 
petits  diviseurs  qu'ost  due  la  divergence  des  series. 

Opdrer  de  la  sorte,  cela  revient  a  determiner  g  et  h  par  les  Equations 


Oette  mdthode  se  rapproche  de  celle  de  Delaunay;  elle  n7est  pas  plus  precise 
car  les  termes  par  lesquels  les  Equations  (xa)  different  des  Equations  (6)  ne 
sont  pas  plus  grands  et  plus  importants  que  les  autres  termes  n6glig<^. 

II  ixe  faudrait  pas  croire  non.  plus  que  Ton,  obtient  par  ce  proc6d£  tous  les 
tonnes  en  t>  +  rw  avec  leurs  coefficients  exacts.  En  effet,  il  peut  s'introduire 
4  la  AI6mo  approximation  des  termes  do  la  forme  WP-HTMV  (;w>i)  dont  la 
combinaison  produira  &  la  (A-+-/?)16Dio  approximation  un  terra  e  v-\-nw\  si  Ton 
udglige  ces  ^ermes  ^  la  A-i&me  approximation,  le  coefficient  du  terme  en  9  -i-  nw 
ne  sera  plus  exact  a  la 


6o4  SUR  LA  METHODS  HORISTIQUE  DE  GYLDEN. 

Quoi  qu'il  en  soit  les  Equations  (12)  admettent  1'inlegrale 
g'h'—zgh  --  p^s-i-  L(h  4.  £•)  -=  const. 

On  ne  peut  pas  en  trouver  Tmt^grale  g&a$rale;  niais  pour  Pobjet  poursuivi 
par  Gyld^n,  il  suffit  d'en  connaitre  une  solution  periodique.  Celtc  solution 
periodique  existe  et  le  df^veloppement  correspondant  converge,  com  me  il  arrive 
toujours  pour  une  solution  p6riodique. 

Les  d^veloppements  trouv^s  par  Gyld£n  dans  ce  §  4  sont  done  bien 
convergents,  ainsi  qu'il  Tannonce.  Us  pourraient  £lre  tres  facilemenl  obtenus 
par  la  th.6orie  des  solutions  p6riodiques,  Mais  des  qu'il  voudrait  tenir  compte 
des  termes  en  mv  -+-  TW,  la  convergence  cesserait. 

L'analyse  de  Gyld&o.  ne  nous  apprend  d'ailleurs  rien  de  plus  que  la  m£thode 
de  Delaunay.  Elle  n'est  pas  plus  precise;  elle  n'est  pas  plus  proprc  a  nous 
renseigner  sur  la  convergence  des  d<5veloppements  complete. 

VII.  —  Analyse  du  deuxienie  Ghapitre. 

Passons  au  Chapitre  II  et  au  §  5;  Gyld&n  y  envisage  des  Equations  plus 
compliqu^es  oti  figure  dans  le  premier  membre  outre  la  d<5riv6e  seconde  ~^  ? 
un  polynome  entier  en  y  et  -~-  dont  les  coefficients  sont  des  fonctions  connues 

de  c^»  Quant  au  deuxteme  membre,  c'est  une  fonction  connue  de  c.  Toutes  ccs 
fonctions  connues  de  9  sont  supposes  d6veloppables  en  series  trigono- 
metriques. 

Gyld^n  commence  par  ^tudier  des  transformations,  permeltant  de  simplifier 
cette  Equation.  Je  n'expliquerai  pas  ici  le  detail  de  ces  transformations.  II  arrive 
page  187  a  liquation  suivante  : 

d~  v 

^L  +  i\y  ^  l\r«-f-  IV3  =  09 

ou  FI,  r2,  F3,  Q  sont  des  fonctions  connues  de  c,  toutes  tr&s  petites]  mais  il 
n'^nonce  pas  de  r^sultats  assez  nets  pour  qu'on  puisse  les  discuter. 

A  la  page  i4%>  ^  envisage  une  equation  analogue,  mais  ou  T±  est  tres  voisin 
de  i.  La  discussion  des  transformations  qu'il  lui  applique  nous  entrainerait 
trop  loin,  j'ai  hate  d'arriver  a  ce  qu'il  dit  page  i58  d'une  Equation  plus  simple 
qui  est  sou  6quation  (3g), 


-   +  (n-  p^  pa-n*)*H-  poXy=  ®>    V-=  (i—  PX--H         (Q  et  x  donn6s). 


SUR   LA   METHODE   HORISTIQUE   DE  GYLDEN.  6o5 

11  cherchc  a  satislaire  a  ceLte  equation  en  posant 

Z  =  >  o   1-  V|  -!-  V«4-.  -  - 

el  en  dcUermmani  ie;>  V  par  une  s&rie  donations  qu'il  appelle  (47)  page  170 
ct  cjui  sonl  de  la  forme 


12,!  etanl  conuu  et  II  6tant  la  partie  constante  de  v)-, 

Laissant  de  c6t<$,  pour  simplitter,  (3  et  %,  ainsi  que  (3<  el  faisant  j33--=^  — 
pour  fixer  les  iddes,  nous  voyons  que  liquation  peut  s'6crire 

dz^ 


IH-  -U- 


(ijldeu  ^imagine  qu'il  obtiendra  une  premiere  approximation  en  n^gligeant 
dans  le  coefficient  de  z  les  termes  periodiques,  de  sorte  que  ce  coefficient  se 
r6dui.se  a  une  constante  H  el  que  liquation  (i3)  devienne 


II  ost  important  d'examiner  si  cela  est  l<igitime,  parce  que  c'est  le  principe 
mdino  de  la  m^thode  horistique. 
Soit 

11  aa  Y  COS  U  -i-  Y  COS  (  U  -H  CO  ), 

on  co    •:  cri»,  C7  6tant  petit. 

r/<5quation  (i3  bis]  nous  conduirait  alors  &.  une  solution  de  la  forme 

S  =s  K  COS  2£  -h  X'  COS  (  W  H-  0)  ) 

et  alors  on  aurait  sensiblement  (4  cause  de  la  pedlesse  de  or) 

•n«=  3-  -4-  (  —  )=  ^4-  3t'24-2>t%/coso),         II  =  X2H-  y./a. 
\rf«/ 

Substituons  dans  les  Equations  (i3)  et  (i3  bis).  Liquation  (i3  bis)  donne 


djou  GyldcSn  conclut  que  K  et  x;  sont  limit(Ss.  Mais  on  neglige  ainsi  la  ditlerence 
entre  les  premiers  membres  de  (i3)  et  (i3  bis),  c'est-a-dire 

Xttx'«OSM4-  (»)4-X3X/COS(M  —  U))  -h  Xv'2K  COS  W  4-  x'2XCOs( 


Si  cr  est  tr6s  petit,  si  y  et  y7  sont  comparables  entre  cux,  x  et  x'  sont  du  meme 
ordre  de  grandeur,  x**7,  xa,  etc.  sont  comparables  4  y  et  les  termes  n^glig^s 
sont  de  Tordre  de  i2,  c'est-4-dire  des  termes  conserves. 


6o6  SUR   LA   METHODE   HORISTIQUE  DE   GYLD^N. 

Du  reste  on  montre  cela  d'une  fagon  plus  frappante  en  raisonnant  comme  il 
suit  : 

Faisons  er  =  o,  y  =  r';  les  deux  Equations  (i4)  ajouties  donnent 

2X3=V  =  2x':t=Y'>  (xH-x')a=4r- 

Mais  si  <r=o,  les  deux  tennes  de  &  se  confoudenl  en  un  seul  el  Ton  a 
Q_  2ycosw,  d'ou  par  la  premiere  Equation  (i4)  (qui  esl  alors  exacle)  : 

(x  +  x')n  =  27, 

r^sultat  contradictoire  avec  le  precedent. 

L'analyse  de  GyldtSn  no  ressemble  done  en  ricii  a  une  approximation.  Mais  il 
faut  se  poser  la  question  d'une  fagon  plus  large  et  se  demander  :  Supposons 
que  Gylden  n'ait  pas  commis  cette  erreur  et  qu'il  ait  calculi  exaciement  ces 
coefficients  x,  ces  coefficients  auraient-ils  (He  lirnitds  ? 

Soil  plus  g^a^ralement 

0  =  2;  >  cosy;,      /„  =  w(i  •+•  ow  ),      ^  =  £  ^'i  5 

s  =  2  x,,  cos/,,,         H^  =  aX/i-t-  eXJ. 

[Nous  supposons  les  cr;i  tres  petits,  s  tres  petit,  A,*  et  fx/4  finis. 

Nous  voyons  d'abord  que  &  est  une  fonction  paire  de  u,  de  telle  fa<;on  que 
pour  u  =  o  ses  d^riv^es  d'ordre  impair  s'annulenl*  INous  designerons  pary,y;/, 
jiv,  etc.,  les  valetirs  de^  et  de  ses  d^rivdes  successives  d'ordre  pair  pourw  =  o; 
et  de  m^me  par  ^0?  ^1;  elc->  les  valeurs  de  ^  ei  fle  ses  d^rivees  pour  u  =  o. 
On  trouve  ainsi 


/y  H-  y  ) 
Or 


djou 

—  eSxjJt  -h  (2 

ou  si  e  est  tres  petit 
ou  enfin 


Or  si  2y  =  o.  cette  expression  devient  infinie  ;  il  faut  done  que  Tun  des  x  au 


SUR  LA  M£THODE  HORISTIQUE  DE  GYLD£N.  607 

moina  tlcvioime  infini  (on  plulol  deux  au  inoins,  puisque  ix  =  o).  Les  coeffi- 
cients 7,  n**  snnt  done  pti.s  limits. 

Ici  encore  la  m<Hhode  horisiique  est  en  d6faul. 

• 

VIII.  —  Equations  de  la  longitude. 

Jusqu'ioi  Gyld<r>n  a  envisage  surloul  les  Equations  donl  il  se  serl  pour  la 
dtHcrminuUon  du  rayon  vecleur.  Dans  le  $  6,  il  envisage  plus  parli- 
oulieremenl  colics  qui  lui  servenl  a  determiner  la  longitude.  L/examen  de  la 
methods  lioristique  dans  ce  dernier  cas  osL  d'autant  plus  important  qu'on  a  fait 
des  lentativcs  pour  Tnppliquer,  ce  qu'on  n'a  jamais  cherch6  a  faire  pour  le 
rayon  vccteur. 

I  in  astronomy  tout  u  fail  ernincnl,  M.  Backlunil,  Irop  confiant  dans  les 
rosullats  ti<»  ("5yld(hx7  s'est  memo  un  instant  laiss(5  entrainer  a  des  conclusions 
Jnexnotos  <ju'il  a  rcctifi6es  depuis.  M.  Stockwcll  avail  d^lerniin^  par  les 
nxeU  bodes  ordianiros  certaines  iii^galilos  de  la  precession;  M.  Harzor  avail 
calculi  par  les  nuHhodes  d(^  Gjlden  une  im^alil6  de  la  longitude  d'H6cube  ; 
j'entends  par  h^s  preiniores  inolhodes  de  Gylden  et  non  par  la  methode 
horihtiquc.  M.  Backlund  appliqua  a  cos  deux  cas  les  formules  horisliques  de 
Gyld(iu,  ct  cos  formules  lui  donnercnt  des  coefficients  trois  ou  quatre  fois  plus 
pctits  quo  cnux  qu'avaienl  oblonus  ses  devancicrs.  (bulletin,  de  VAcaddmie 
df>  tfniftt-Wttenibourfr)  rnai  1900.) 

Les  Equations  de  la  longitude,  de  mfimo  que  celles  de  la  precession,  peuvent 
^tre  ramen^es  a  la  fornu^ 

-^7  =:  £  a  sin  (  /?/  -h  P  j  -4-  21  b  siti/^, 

on  sin(»/:  l-i»)  cst  Fun  dcs  tonnes  a  courte  p6riode  et  oft  s'mpt  est  Tun  des 
lormos  Jk  league  p^riodo.  Pour  plus  de  simplicity,  jc  n'envisagerai  qu'un  terme 
do  clmquo  so  Ho  et  j'^crirai 


Jo  supposerai  quo  a  el  n  sonl  petits,  mais  b  el  p  beauconp  plus  petits,  de 
sortc  que  ^  soil  beaucoup  plus  grand  quo  ~p  el  quc^2  soil  comparable  a  -r 
Posons  alors 


(16) 


608  SUR   LA   METHODS   HORISTIQUE   DE   GYLD^N. 

et 

»,' 

Ea  n^gligeant  le  carr6  de  e,  on  trouve 


Dans  les  anciennes  m^thodes  (Stockwell  el  Harzer)  on  neglige  le  premier 
terme  qui  est  a  courte  p^riode  et  Ton  ecrit 

&    •      , 

£  =  ---  -  sin  />/. 
^s       ^ 

Voici  maintenant  ce  que  donne  la  m<§thode  horistique  appliqu^e  par  M.  Back- 
lund.  On  trouve  sensiblement 

&•  <t> 

PO  =  --  „  sin  jit^         d^iii        GQ$(nt  ~h  PO  )  =  cos  nt  -I  —  -  sin-  nt. 

U  equation  (17)  devient  ainsi 

—  t  =  £  (  a  cos  fit  -l  --  -  sin  a/uf  )  -4-  b  sinpt 
dt-         \  ri*  J 

ou,  si  Von  conserve  seulement  la  valeur  moyenne  du  coefficient  de  B  : 

,.   ,  b  shipf 

d  ou        s  =  --  ;  —  -  —  • 


Telles  sont  les  deux  analyses  entre  lesquelles  il  s'agil  de  decider;  cola  est 
facile,  puisqne  les  Equations  (16)  et  (17)  peuvent  s'inl^grer  exaclemcnt  et  que 
Gyld^n  lui-m^me  a  souvent  int6gr6  des  6quations  de  mejme  forme  dans  lo  conrs 
de  ses  recherches. 

Gette  integration  montre  que  le  terme  en  sinjo^  qui  est  le  seui  sensible  est 

r4duit  a 

b  s' 


ce    qui    est    conforme    aux    r^sultats    obtenus    par    les    anciennes    methodcs 
(Cf.  C.  R.  Acad.  Sc.,  t.  132,  p.  5o)  (<). 

Backlund  revenant  sur  la  question  (C.  Jl.  Acad.  Sc,,  t.  132,  p.  sgt) 
d^couvrit  le  point  faible  de  Fanalyse  qu'il  avail  d'abord  suivie  ;  raais  il  voulut 
g^n^reusement  prendre  la  faute  tout  entiere  sur  lui  et  disculpcr  Gyld^n,  sa 

f1)  GEuvres  de  Henri  Potncare,  t.  VIII. 


SUR  LA  M£THODE  HORISTIQUE  DE  GYLD£N.  609 

conduite  daus  celte  circonstance  montre  que  sou  caractere  est  digne  de  son 
talent. 

«   <«yldon,  tlit-il,  cousidere  des  le  debut  des  approximations  liquation 


(c'est-a-dire  qn'il  neglige  e'1  et  non  s'2)  et  il  arrive  pour  le  terme  eu  sinpt  a 

r  •  ^  sin;//1         ,     ,.  ,  ,  .  .  a2 

i  expression  —  —  —  ^7,  on  y-  cst  sans  doute  beaucoup  plus  pctil  que  —  -j  mais 

n'est  <>ependant  pas  uul.  ^> 

Backluud  roconnut  ensuilo  (Hull.  Ast.j\^  t.  19,  p.  433)  que  la  meme  objection 
s^nppltque  non  settlement  au  cas  de  la  precession,  mais  aussi  an  cas  d'H^cube, 
tH  il  ajoiUa  qu'il  sorait  tres  desirable  qu^une  analyse  plus  approfondie  conduisit 
a  la  detennmalion  d(s  v-. 

Ce  qui  rt^ulle  <lc  Tanalyse  pr6c6dente,  c'est-a-dire  de  Fintegration  exacie  de 
Fcqualion  (17),  c'esl  que  v-  s'annule  avec  6.  Voyons  comment  Gyldto  traite 
noire  equation  (18),  qui  joue  un  role  analogue  a  celui  de  son  Equation  (12)  de 
la  page  189  (voir  p.  189  a  199). 

Par  une  sdrie  de  transformations  assez  compliqu^es,  ilia  ramene  a  la  forme 


Y  repr^sentant  un  ensemble  de  termes  connus;  c'est  son  Equation  (16)  de  la 
page  H)8.  Gyld(5n  r<5duit  (^)    ^  sa  valeur  moyenne,  qui  est  une  constante 

positive,  quitle  a  faire  passer  les  termes  n6glig6s  dans  le  deuxieme  membre  et 
^  les  confondre  avec  Y.  Son  Equation  prend  alors  la  forme 

—  Z—  $y  =  —  Q          [equation  (17)  de  la  page  198], 

ou  (3  est  une  constante  positive  et  ou  Q  est  connu.  C'est  ce  terme  en  fiy  qui 

permet  d'dviier  les  petits  diviseurs  et  qui  jouc  le  rdle  de  «  terme  horistique)>. 

C'est  toujours  le  m^me  proc^d^  qui  consiste  a  renxplacer  une  des  fonctions 

qui  figure  dans  nos  Equations  par  sa  valeur  moyenne,  et  dont  nous  avons  a 

(dy  \2 
—  J    ne  joue 

qn'un  r6le  secondaire,  car  (^)2  est  beaucoup  plus  petit  que  A2-  C'est  done  le 
terme  en  h^y  qui  est  le  principal  terme  horistique  ;  comment  s'est-il  introduit 
dans  les  Equations  de  Gyld^n?  Nous  le  voyons  apparaitre  ^  la  page  189. 
H.  P.  —  VII.  77 


6io  SUR   LA  METHODE   HORISTIQUE   DE   GYLDEN. 

cc  D'abord,  dit  Gyldin,  nous  en  retranchons  le  terme  dependant  de  la  partie 
constante  de  VJ,  terme  qui  se  reunit  immediatemcn!  avec  In  foncliou  Z0.  » 

Voici  ce  que  cela  veul  dire;  reprenona*  noire  Equation  (i5);  en  posaiil, 
couime  nous  Tavons  fait  v  =  PO  H-  e,  (3l  n^gligeant  £'',  elle  peul  s'6crire 


_ 

Ctt>" 


Nous  avons  vu  comment  cette  equation  peufe  se  scinder  en  deux  pour  donner 
les  Equations  (16)  et  (18);  rnais  Gjlden  110  fait  pas  tout  a  fait  la  meme  chose; 
il  scinde  l'6quation  de  la  fa  con  suivantc  : 


(18  bis)  -T^T  — 

" 


--  TT-  cos  (  /^  H-  ro  )  H-  b  si 


la  constante  /i  qui  joue  le  >role  de  /i3  (Hant  la  valeur  mojenne  do  la  fonction 
p6riodique  £-. 

L'  Equation  (iSbis)  ne  differe  que  par  les  notations  de  J^quation  (12)  de  la 
page  189  de  Gylden.  Dans  cette  Equation  (12)  UOUK  voyons  la  constante  Aa 
figurer  deux  fois;  u  savoir  dans  le  dcuxieme  et  le  troisiemc  terme.  Get  Aa  qui 
figure  dans  le  troisi^me  terme,  finit  dans  la  suite  des  transformations  par  allor 
se  perdre  dans  les  termes  connus  Y  ;  le  terme  «  horislique  »  de  liquation  (16) 
do  Gyld<§n  provient  done  uniquement  du  second  terme  de  1'equation  (12), 
c'est-&-dire  du  terme  en  Vi.  Les  termes  en  s3  —  h  et  en  sa,  dans  la  suite  de 
1'analyse  de  Gylden,  finissent  par  se  confondre  dans  l<js  termes  connus  "\  * 

Voici  done,  en  derniere  analyse,  en  quoi  consiste  la  methode  de  Gylden. 
En  premiere  approximation  on  remplacera  s2  —  k  et  s;}  par  z&ro  dans  le 
deuxieme  membre  de  (iQbis)  et  Ton  int(5grera  (idbis)  et  (i86w).  Dans  (\6bzs) 
on  donnera  a  h  une  valeur  positive  quelconque  dc  1'ordre  de  £a.  Eu  deuxieme 
approximation,  on  remplacera  dans  le  deuxieme  membro  de  (iBbis),  e2  —  h 
et  e3  par  leur  premidre  valeur  approchde;  quant  ^  h  on  le  remplacera 
dans  (iQbis)  par  la  valeur  moyeime  de  la  fonction  ]>6riodique  e-  obtenue  en 
premiere  approximation;  et  ainsi  de  suite. 


SUR  LA  M£THODE  HORISTIQUE  DE  GYU>£N.  611 

Cette  infthode  serait  Ugitime  si  le  terme 


donl  on  tient  compte  (Stall  plus  important  quo  le  terme 


~ 


que  Ton  neglige.  Or  le  terme  le  plus  important  de  a  est  un  terme  en  sinpt,  soil 

done 

s  =  X;  shijt>£. 

Le  trrme  (i<))  doul  on  tieiit  compte  est 

a/c*    .    ,    / 
--  r-sm(/^  -i-  <«<>). 
4 

Le  terme  (20)  que  1'on  neglige  est 

r/A'u    .    ,  r    .       ak- 

H  —  r-  sni(/U  -h  a/>Jf  -H  PO)  H  —  —  sln(/iif  —  zpt-+-  PO)- 

o  '  o 

Les  coefficients  sont  du  tudme  ordre,  les  arguments  sont  a  peu  pres  les 
monies  puisqne  p  est  benucoup  plus  petit  que  n;  1'inL^gralion  ne  peut  intro- 
duiro  de  petit  divisour  ni  en  ce  qui  concerne  (19),  ni  en  ce  qui  concerne  (so). 
II  n'y  a  aucune  raison  pour  tenir  eompte  de  Fun  des  termes  plutdt  que  de 
1'aulre. 

I/analyso  de  Gjld6n  ne  permct  done  pas  de  trancber  la  question.  II  s'agit 
de  determiner  le  coefficient  de  sinjt)^.  D'apres  les  anciennes  theories  il  serait 


sensiblomont  --*    D'apres  Gjldcin  il  serait  —  -  -  ou  v  serait  lui-m^me  de 

1'ordrc  de  ~w  •   II  faut  done  faire  le  calcul  en  consid6rant  b  et  p  comme  tr&s 

P  b  . 

pctits  et  de  telle  fa^on  que  —  soit  fini  ;   c?est-^i-dire  d^velopper  suivant  les 

puissances  de  b  et  conserver  seulement  parnxi  les  termes  en  bn  ceux  qui 
eoutieiment  p^(t  au  dtoominateur,  c'est  pr^cis6ment  ce  que  Ton  fait  dans  la 

m^thode  do  Delaunay  ;  si  nous  trouvons  —  pour  le  coefficient,  Gylden  aura 

tort,  si  nous  trouvons  une  fonction  de  -5  qui  ne  devient  pas  infinie  a^ec  -j> 
Gylden  aura  raison, 

Appliquons  done  la  m&thode  de  Delaunay  ;  posons  %  =  nt-\->  v,  de  sorte  que 
notre  Equation  devient 

as  a  sin^  -h  b 


Gl2  SUR  LA  METHODS   HORISTIQUE  DE  GYLD&N. 

Nous  pouvons  alors  <3crire,  en  introduisant  une  variable  auxiliaire  %  : 

^ 

~A-  —  a  Sr 


clt 
Posons  (en  introduisant  deux  nouvelles  variables  auxiliaires  z  et  a) 

F  s=  -  x'2 X'  cos's  "^  #  COSX.  *+"  J}U> 

2  ^9 

nos  Equations  prendront  la  forme  canonique  : 

dt  d^  *  dt  ~~  dyf '  ^  —  c/?*      ^  J  r^  ^/^ 

Appliquons  la  m^thode  de  Jacobi. 

Soit  une  fonction  S  de  la  variable  %  et  du  parametre  W  dc'ifinie  par  1'^quation 


Posons  ensuite 

'_  ^S  ^S   _       _   T        ?'(W)<: 

•Nous  voyons  : 
i°  que 

•2L  — aoosx==<p(W);i 

2°  que  x^X —  Wrfflp  est  une  difFerentielle  exacte  ; 

3°  que  ^f,  cos^  et  sin^  sont  des  fonctions  doublement  p(5riodiques  de  (v; 
nous  pouvons  choisir  la  fonction  cp(W)  de  fagon  que  la  ptiriode  r6clle 
soit  2TT,  et  que^>  cos^  et  sin%  soient  d^veloppables  suivant  les  sinus  et  cosinus 
des  multiples  de  qp.f 

II  vient  alors 

—    /\xn  b    ' 

P 

et  les  Equations  conservant  la  forme  canonique  s'^crivent 


dt 


La  fonction  F  est  d^veloppable  suivant  les  cosinus  et  les  sinus  des  multiples 
de  w  et  de  z.  Pour  appliquer  la  mdthode  de  Delaunay,  il  faut  ne  conserver 
dans  F  que  les  termes  «  a  longue  p^riode  »  c'est-a-dire  ici  ceux  qui  ne 
dependent  pas  de  w>  mais  seulement  de  js.  Pour  cela  nous  n'avons  qu'a 


SUR  LA  METHODE  HOR1STIQUE  DE  GYLDEN.  6l3 

rt'duire  •/  A  sa  vnleur  inoyonno  qui  est  une  fouction  de  W  que  j'appelle  ^'0,  de 
.sorte  quo 


d'ou 

<t\\     ^  dw 

a\ni 

W  =  const. }        c  =  p^j        ?i»  =  —  £[j)V\y)-+-, — , 

'  n^ 


On  voil  quo  tr  contienl  un  terme  en  —  smpt  qui  devient  Lres  grand  si  —^  est 

tr6.s  grand  ;  or  x>  d'aprcs  uos  hypotheses,  est  une  fonction  de  w  qui  augmente 
de  2K  quancl  iv  angmenle  de  a?r.  S'il  y  a  dans  w  un  terme  p&riodique  d'am- 
pliludc  Ir6s  grande,  il  y  en  aura  (Sgalemenl  un  dans  ^. 

Lu  ph6nomenc  «  horistiquo  »  ne  pout  done  se  produire  comme  Tavait  cru 
(iyld^n. 

IX.   —  Examen  d'une  Equation  particuliere. 
Passoas  maintenant  ^  la  page  208  ;  nous  y  trouverons  liquation 

/    v 

(9.1) 
(Jyld^n  dherche  une  solution  ptiriodique  de  cette  ^fjiiation  de  la  forme 


n  4tant  entierpositif  ;  on  prend  plaisir  4  se  trouver  en  presence  d?un  probleme 
aussi  simple  et  aussi  neltement  pos<5. 

Gyld^n  cherche  ^  determiner  les  coefficients  xrt  et  il  arrive  &  la  fin  de  la 
pngo  209  &  une  Equation  qu'il  cherche  ^  discuter. 

«  Maintenant,  dit-il,  en  supposant  que  les  coefficients  x3,  x4,  .  .  .  ,  ou  connus, 
ou  nigligeables,  il  so  comprend  que  la  quantity  x4?  qui  s'obtient  par  la  reisolu- 
tion  de  liquation  pr^c^dente  du  troisieme  degr6,  ne  surpasse  jamais  une 

certaine  Hmite  qui  s'approche  d'autant  plus  de  z&ro,  que  la  valeur  de  ~  est 

plus  petite. 

«  On  aura  facilement  des  r^sultats  semblablesrelativementauxcoefficientsx2j 


6l4  SUR  LA  METHODE   HORISTIQUE   DE   GYLD&N. 

Pour  juger  ce  r^sultat,  developpons  les  deux  membres  de  (21)  suivant  les 
puissances  de  u}  et  ^galons  les  coefficients  de  ?//,  il  viendra 


d'ou 


Si  ff  est  ires  petit,  le  second  membre  de  cette  in<igalil4  est  tres  grand,  d'oti  il 
suit  que  les  x  ne  peuvent  pas  £tre  tous  limites. 

Dira-t-on  que  la  s^rie  2x  est  convergente,  inais  que  la  s6rie  2x/i-  diverge,  de 
sorte  quo  le  premier  membre  de  Pin6galit6  pent  £tre  tres  grand,  bien  que  tons 
les  x  soient  limits? 

Non,  car  tant  que  la  solution  p«5riodique  existe,  y  est  une  fonction  analy- 
tique  de  w,  ses  d6riv^es  d'ordre  quelconque  sont  des  fonctions  p($riodiques 
de  u  et  sont  comme  elles  developpables  en  s^rie  de  Fourier.  La  sdrie  S  |  x  |  rtf  est 
done  convergente  quelque  grand  que  soit  p.  Soil  y  la  plus  grande  des  valeurs 


de 


(22)  nous  donnera 

T2  7&  "*"  **' 


ce  qui  montre  que  y  croit  ind^fininaent  avec 


«! 


D'ailleurs  si,  comme  le  dit  Gylden,  x3,  x,r(,  .  .  .  <Haieut  «  neSgligeables  »,  le 
premier  membre  de  (22)  ne  d^pendrait  plus  que  de  xi  et  x2  et  ne  contiendrait 
plus  qu'un  nombre  fini  de.termes.  11  scrait  done  impossible  que  XA  et  x2  soient 
tous  deux  limits. 

Enfin  montrons  plus  directement  encore  que  y  ne  pent  £tre  limits.  Soit  M  le 
maximum  de  \y\t  Int^grons  Fequation  (21)  sous  la  forme 


dy       u 

^  --- 

dU          2 


~ 
C. 


Egalons  les  coefficients  de  coscrw  dans  les  deux  membres;  dans  —>  le  coefficient 

ClU 

est  plus  petit  que  iro-M,  dansj/2  plus  petit  que  TiM2;  nous  aurons  done 


ce  qui  montre  que  M  croit  ind^finiment  avec—- 


SUR   LA   METHODE   HORISTIQUE   DE   GYLD^N.  6l5 

\.  --  Equations  du  rayon  vecteur. 

JTarrive  an  §  7,  pni»e  :^<-?,  Nous  y  relronvons  Inequation  (i),  avec  cctte 
dHIV»n»net»  quo  lo  deuxieme  membre  au  lieu  de  so  r^duire  a  un  seul  leruic  en 
comprend  plusieurs  de  memo  forme,  dont  je  d6sigr»erai  1'eniemble  par  X. 
Nous  uvnns  done 

(  ->'S  ')  ~|  -h  (  T  —  a)  p  —  fJ?«  =  X, 

(iyld(r»n  ^cril  ici  z  au  lieu  de  p;  j33  au  lieu  de  (3,  el  Z  au  lieu  de  i  —  a;  mais 
dans  louit1  la  prtimiero  parlic  de  son  analyse,  il  suppose  X  constant  et  voisin 
de  i  . 

Nous  aurons  d'ailleurs 

X  =  —  S  A  n  cos  (  j/;,         C*n  =  ">.  \f)  r. 
Gyld^n,  page  i%2C),  introduit  deux  variables  nouvelles  y  el  ^  ^t  pose 


Alors  liquation  (^3)  cst  remplacee  paries  deux  Equations  suivantes  [Aqua- 
tions (3)  et  (4)  de  Gyldte]  : 


ot\  Y  d^signe  un  ensemble  de  Lermes  inutiles  ^  6crire. 

Quant  &  vy,  c'est  une  constante  choisie  de  telle  fagon  que  <1>  soitune  s^rie 
trigonom^trique  dont  la  partie  constante  est  nulle. 

Liquation  (a4)  P^^t  ^tr«  remplacee  par  la  suivante  [Equation  (3')  de 
Gyldto]  : 


U  6tant  un  ensemble  de  termes  inutiles  ^  £crire. 

Void  alors  comment  Gyld6n  conduit  les  approximations.  II  fait  d'abord 
ip  =  o  dans  le^  deuxi^mes  membres  de  (a5)  et  (a4  fe^)  et  il  determine  a  Paide  de 
ces  deux  Equations  y,  ^  et  v2  ;  il  substitue  ensuite  ces  valeurs  des  inconnues 
dans  les  deuxiemes  membres,  ce  qui  lui  fournit  des  valeurs  plus  approch6es  de 
ces  m&mes  inconnues;  et  ainsi  de  suite. 


6l6  SUR  LA  M^THODE  HORISTIQUE  DE  GYLDgN. 

En  premiere  approximation,  il  trouve 


y  =  S*B  cos  GBJ        v>  =     pS  «*,        a;,,  = 


.,.,. 


el  il  a  aussi  page  280  une  expression  de  ip  que  je  no  transcris  pas. 

CommenQons  par  comparer  avec  les  resultats  du  Chapitre  premier.  Dans  ce 
Chapitre,  le  deuxieme  membre  X  se  r6duisait  a  un  seul  terme  — ycosp;  et 
Gyld^n  s'efforgait  d'oblenir  Pintegrale  generate  dependant  d'une  constante 
arbitraire  appel^e  #.  II  obtcnait  ainsi  P6quation  (a)  qui,  nous  Pavons  vu,  est 
fausse  en  general;  mais  quand  il  se  bornait  a  chercber  Pint^grale  particuliere 
qui  correspond  au  cas  de  x  =  o,  son  Equation  se  r^duisait  a 

(3)  -8^?H-a^-Y  =  o 

4 

qui  est  evcacte. 

Dans  le  Chapitre  que  nous  citons  maintenant,  GyldfSn  ne  cherche  plus 
Pint^grale  g^nerale,  mais  seulement  Pint^grale  particuliere  dont  il  vient  d'etre 
question.  Done  quand  X  se  reduit  a  un  seul  terme,  il  devrait  retrouver  liqua- 
tion (3)  ^  la  difference  des  notations  pres. 

Soit  done 

X  =  —  A  i  cos  GI  =  —  Y  cos  v, 
c'est-a-dire 

Les  formules  de  la  page  280  donnent  alors 

•A-i  i  ..j    9         ,         p3?-j 


Observons  que  d'apr^s  Tequation  (3)  si  a  ety  sont  tres  petits  et  (3  fmi,  oc\  est 
de  Fordre  de  v/y'et  par  consequent  petit;  done  x\  ot  par  consequent  ^  sont 
n^gligeables  devant  1'unite.  On  a  done 

et        vaa?i-ha'a?i — AI  —  o 


ou 

—  j3a;J  -h-a^Ci  —  Y  ==  °- 
2 

C'est  bien  une  Equation  de  la  forme  (3);  mais  elle  est  incompatible  avec 
liquation  (3)  puisque  les  coefficients  sont  diff6rents. 

La  m6lhode  de  Gyldte  est  done  non  seulement  ill^gitime,  mais  encore  en 
contradiction  avec  Pun  des  rares  resultats   exacts  qu'il  avait  obtenus 
rieurement. 


SUR   LA  METHODE  HORISTIQUE   DE  GYLDEN.  617 

DVi  provioni  ooiio  divergence?  Pour  que  la  m6thode  d'approximation 
lYit  U'£ittme,  il  faudrait  quo  les  tonnes  u6glig6s  fussent  plus  petits  que  les 
lernu'.s  conserves.  Or  il  n'ea  cst  rien,  il  est  aisd  que  constater  que  dans  le 
douxicme  mumluv,  <lo  (:%•>)  le  terme  2  ^  ^  que  Ton  neglige  est  du  meme 

ordre  que  lo  ierme  X  quo  Ton  conserve.    El  cela  est  vrai,  bien  entendu,  que  X 
so,  nMuise  a  uu  soul  terme,  ou  en  coniieune  plusieurs  (c/,  C.  B.  Acad.  Sc., 


XL   —  Analyse  du  troisieme  Chapitre. 

Knfm,  dans  le  Ghapitre  III,  Ciylden  cherche  a  appliquer  au  probleme  des 
Irois  corps  Ics  principes  6tablis  dans  les  do.ux  premiers  Chapitres;  comme  nous 
avons  vu  *JIHJ  <'fts  principes  sont  faux,  il  parait  superflu  d'en  discuier  les  applica- 
tions. Uu  molsculcniont  sur  la  conclusion  la  plus  importante.  Les  termes  les 
uioins  (Ucv^s  dc  la  fo  act  ion  perturbuirice  peuvent  donner  lieu  au  ph^nomene 
connu  «ous  le  uom  do  libration  ;  mais  il  n'en  est  pas  de  m£me  des  termes 
d'ordrc  Move  ;  pour  ceirx-ci,  en  eflet,  les  termes  horisliques  prennent  une 
indnence  pr^pond^rante  et  s'opposent  u  la  libration. 

La  fausset<i  cle  cette  conclusion  est  munifeste.  J'ai  ^tabli,  en  effet,  par  des 
ddmonslrations  rigourouses  dans  les  M&tkodes  nouvelles  : 

i"  (}u?a  cheque  terme  de  la  fonction  perturbatrice,  quelque  ^lev^  qu'en  soit 
Pordre,  correspond  uu  systeme  do  solutions  pt^riodiques  de  la  deuxieme  ou  de 
la  iroisidme  sorie;  cos  solutions  sont  d^veloppables  suivant  les  puissances  des 
masses  el  les  series  convergent  pourvu  que  les  masses  soient  assez  petites 
(Chap.  III). 

»°  Que  parrni  cos  solutions  p^riodiques  il  y  en  a  autant  de  stables  que 
d?instables;  que  les  solutions  tr&s  voisines  djune  solution  p^riodique  stable 
oscillent  autour  de  cette  solution  p^riodique,  ce  qui  donne  lieu  &  la  libration, 
quo  par  consequent  nn  tonne  quelconque  de  la  fonction  perturbatrice  engen- 
drera  une  libration)  &  moins  que  les  exposants  caract6ristiques  correspondants 
ne  soient  tous  nuls  (Chap.  IV). 

3°  Que  d'autre  part  on  ne  snurait  pr^tendre  que  pour  les  termes  d'ordre 
suffisamment  dlevtS  ces  exposants  sont  nuls.  II  stiffit  pour  s'en  convaincre  de 


(J)  OEuvres  de  Henri  Poincar&y  ce  Tome,  p,  583. 

H.  P.  —  VIT.  78 


6l8  SUR   LA  METHODE  HORISTIQUE   DE   GYLD^N. 

former  les  expressions  approchees  des  termes  d'ordre  6levc  de  la  fonclion  per 
Lurbatrice  par  la  m^tnode  de  Darboux  (Chap.  VI,  en  parliculier  n°102). 

La  conclusion  de  Gyld&i  est  done  fausse;  ou  s'esl-il  tromp£?  Je  ne  pnis  le 
dire  exactement;  il  s'appuie  sur  ce  qu'im  certain  coefficient  a  esl  n^gatif  pour 
les  termes  6lev6s,  page  292;  d'ou  tire-t-il  celte  affirmation,  il  m'a  ('»lo  impos- 
sible de  le  d^couvrir;  il  la  deduit  sans  doute  de  quelque  proposition  ant^rienre 
qu^il  n6glige  de  rappeler.  Quelle  est  celte  proposition,  est-ce  une  de  celles 
dont  nous  avons  reconnu  plus  haul  la  faussel.6 ;  est-ce  une  autre  qui  m'a 
£chapp£  et  qui  serait  alors  6galement  fausse,  puisqu'elle  conduit  a  une 
conclusion  inexacte  ?  Je  ne  puis  le  savoir. 

En  resume,  de  tout  ce  grand  effort,  il  ne  reste  rien. 

Quelques-uns  des  r^sultats  sont  manifestement  exacts,  mais  on  aurail  pu  y 
arriver  par  une  voie  beattcoup  plus  rapide ;  un  plus  grand  nornbre  sont  mani- 
festement faux;  la  plupart  sonl  <5nonces  d'une  fagon  trop  obscure  pour  qu'on 
puisse  decider  s;ils  sont  vrais  ou  faux. 


SUR  LA  METHODE  HORISTIQUE 
OBSERVATIONS   SUR  L' ARTICLE  DE  M.  BACKLUND 


Ihdletui  a&tronQtnique,  t,  21,  p.  292-296  (aotit 


Jo  suis  ires  reconnaissant  £  M.  Backlund  d'avoir  pr£sent6  (*•)  les  theories  de 
Gyl<i6n  sous  une  forme  claire  el  netie,  qui  en  rend  la  discussion  facile. 

M.  Backlund  remarque  d'abord  quo  j'ai  suppose  Z  =  i,  tandis  qu'on  a  en 
gehidral  Z  r—  i  —  p,  (3  (Hani  de  Pordro  d<^s  masses.  On  peut  n^anmoins  supposer 
Z  =  i  sans  reslreinte  la  g(^a6raliL^,  car  l'6qualion  conserve  la  m£me  forme  quand 
on  pose 


et  &  Paide  de  cette  Lransformation  on  peuL  Lotijours  ramener  le  coefficient  de  z 


M.  Backlund  restreint  le  second  mombre  aux  tennes  critiques^  cjest-a-dire 
4  ceux  oi\  les  (3  —  ;>,  a  -)-  cra  sonl  Ir^s  petit  s  par  rapport  ^  (3.  11  ajoule  en  note,  et 
c'est  l&  le  point  cssentiel,  que  dans  ces  conditions  les  termes  en  GI  —  262, 
2  d  —  Ga  ne  sont  pas  critiques. 

II  est  clair  qu'il  ne  peut  y  avoir  1&  qu'un  lapsus,  car  si 


sont  tr6s  petits,  il  en  sera  de  m£me  de 

[2(l_ari)_(I_a2)]2~(l-(3)23 

puisque,  it  cause  de  la  petitesse  de  (3  et  de  «r,  ces  trois  quantit^s  sont  sensible- 
ment  en  progression  arithm^tique. 

(*)  Bulletin,  astronomique^  t.  21,  190/1,  p* 


620  SUR  LA  METHODE   HORISTIQUE, 

Je  ne  relcverai  pas  ce  qui  chez  M.  Backhmd  n'est  qu'une  inadvertance,  si  ce 
n'^tait  la  pr6cisement  Ferreur  fondamentale  de  Gylcl6n.  II  est  impossible  quc 
Ci  et  G2  soieat  critiques,  sans  que  a  GI  —  Ga  le  soil. 

Du  moment  que  les  termes  en  2  G4  —  Ga  sonl  critiques,  M.  Backlund  n'a  pas 

plus  le  droit  de  n^gliger  fas  (z-  —  ~HJ  que  Gyld6n  de  ndgliger  fa  -£  ^~. 

M.  Backlund  arrive  ensuite  a  liquation  qui  donne  les  coefficients  >c;  si  je  la 
rapproche  de  celle  qu'a  obtenue  Gyld^n  a  la  page  228,  j'y  vois  figurer  un 

terme^(33H,  ou  Gyld6n  ecrivail  ^(3:5H.  C'est  la  formule  de  M.  Backlund  qui 

est  correcte,  du  moins  dans  le  seul  cas  ou  la  m<^thode  est  I6gilime. 

Dans  le  cas  g6n6ral,  les  deux  formules  sont  inexactes,  et  Fon  pent  s'en 
rendre  compte  d'une  fa^on  el^mentaire. 

Additionnons  les  deux  ^qxiations  (3)  do  M.  Backlund.  Si  nous  supposons 

AL=At>,        o-i  =  Qp2, 

d'oa 

Oj  =  0-2  ,  Xi  =  X»>3 

il  vient  (en  supprimant  les  indices  devenus  inutiles) 

8  A 

()  x3  -h  2  xO  =  7;    r  :  • 
•'    r 

Mais  si 

A  |  =ss  Aa,  T|  =  T'2, 

les  deux  termes  en  G\  et  G^  se  confondenl  en  un  seul;  tout  doit  done  se  passer 
comme  si  Ton  avail 

A  i  =  :>.  A  ,        A  2  =  <>j        *2  =  o,        x-i  =  iv/t3 
d'ou 

.  8  A 

x?H-x,0,=  -? 

et  enfin 


Equation  incompatible  avec  la 

La  m^lhode  horistique  n'est  done  pas  Mgitime  dans  le  cas  qui  nous  occupe. 

Quelques  mots  maintenant  sur  les  deux  remarques  qui  terminent  Particle  de 
M.  Backlund. 

II  est  vrai  que  Gyld^n  a  dans  son  premier  Chapitre  trail<§  le  cas  des  termes 
dependant  des  coristantes  denigration  et  d'un  terme  connu  AiCOsGi.  II  Fa 


SUR  LA  METHODS  HORISTIQUE,  621 

merino  fait  par  plusieurs  raethodes,  mais,  parmi  ces  mcithodes,  les  unes  sont 
fausses,  les  aul.res  no  se  preterit  pas  a  la  generalisation  en  question.  Gala  est 
tirailleurs  sans  int6r<H,  puisqae  nous  venons  de  voir  que  la  m&thode  est  fausse, 
memo  en  laissant  de  c<H6  les  termes  qui  contiennent  des  constanles  d'int^gra- 
liou. 

Ku  ce  tjui  eoncerne  i'application  de  la  m^thode  horistique  a  la  longitude,  j'ai 
n*eomm  <|u4l  n'y  avait  pas  de  coefficient  horisiique,  meme  quand  on  tient 
cnnipte  dds  ttirmes  du  troisierne  ordre.  C'est  ce  que  j'exposerai  dans  un 
M6iuoireplus6tendu(I).  L'erreur,  dontM.  Backlund  veutg6n6reusements'attri- 
buer  U)iitc  la  responsabilit^,  ne  lui  appartient  done  pas.  II  s'est  conform^  aux 
principes  g^n6raux  de  la  m^thodo  et  s?est  servi  du  mode  de  raisonnement 
pr6conis<5  par  Gyldthi,  et  dont  ce  savant  avait  fait  d'aulres  applications.  Ce 
mode  de  raisonncmcut  consiste  A  remplacer  certains  coefficients  p^riodiques 
par  leur  valour  nioyenne  :  c'est  ce  qu'a  fait  M.  Backlund,  c'est  ce  qu'avait  fait 
Gyld6n;  .si  Fastronome  russe  s'est  tromp6,  ce  n'est  pas  qu'il  en  a  mal  appliqu^ 
les  rdgles,  c'est  que  ces  regies  ne  valaient  rien. 

(')  (Wiwrea  de  Henri  Poinc.nre^  ce  Tome,  p.  ^87. 


NOJES 


Les  nomhres  figurant  ontre  parentheses  renvoient  aux  Memo-ires  publics  dans  ce 
Volume,  conformement  aux  numeros  qui  leur  sont  aflectes  dans  la  Table  des 
Mali  eras. 

Les  different  is  Memoires  ont  ete  groupes  pour  la  publication  selon  leur  objet 
principal.  Plusieurs  traitant  de  divers  sujets,  il  n'a  pas  ete  possible  d'adopter  le 
ineme  groupement  duns  ces  Notes,  qui  ont  ete  reparties  sous  les  titres  suivants  : 

fi&sultats  generative ; 

Masses  fl uides  en  rotation; 

Principes  de  Meaanique  analytique; 

Series ; 

Solutions  per iodiques  et  asymptotiques; 

Integrates  uniformes; 

In  variants  integrau&. 

II  y  a  lieu  pour  chaquc  sujel  d«  se  referer  a  la  rubrique  correspoudante,  quelle 
que  soit  par  ailleurs  dans  le  present  Volume  la  place  du  Memoire  ou  il  est  traite. 

K^sultats  g^neraux. 

H.  I'oincare  a  reproduit  une  grande  partie  des  travaux,  recueillis  ici,  sur  les 
musses  fluides  en  rotation,  dans  ses  Ouvrages  :  Figures  d^quilibre  tfune  masse 
ftutde,'PAri*  (190:1),  ot  Lemons  sur  les  hypotheses  cosmogoniqu.es,  Paris  (1911), 
sans  y  introduire  d'importantes -modifications.  F.  TISSERANB  en  fait  etat  dans  le 
Tome  II  de  son  TraiU  de  Mecanique  celeste,  Paris  (1891).  Portantsur  un  domaine 
Men  d^iimite,  iis  n'ont  suscite  qu'un  nombre  restreint  de  recherches.  On  retrouvera 
la  plupatt  des  r<§fe>ences  que  nous  indiquons  plus  loin,  et  des  details  a  leur  sujel, 
dans  le  c^l^bre  Trait&  de  IL  LAMB,  Hydrodynamics,  &  edition,  Cambridge  (I932) 
et  New-York  (1945),  dont  la  bibliographic  tres  complete  hornet  que  les  propres 
publications  d©  son  auteur. 

Des  Mtaoires  de  H,  Poincar^  relatifs  au  Probleme  des  trois  corps,  1  essentiel  se 
trouve  concentre  dans  (21),  qui  constitue  1'ossature  des  Methodes  nouvelles.  A 
Pencontre  de  ses  autres  travaux,  disperses  dans  des  publications  variees,  celm-ci, 


624  NOTES. 

destine  au  coucours  ouvert  par  le  roi  de  Suede,  groupe  des  eludes  exhaustives 
sur  des  sujets  inedits.  F.  TISSEIUND  a  consacre  a  ce  Memoire  ie  Chapilre  XXVII  du 
Tome  IV  de  son  Traite  de  Mecanique  celeste,  Paris  (i8;)G).  L'Ouvragc  de 
C.  V.  GHARLIBR,  Die  Mechanik  des  Ifimmels,  fait  une  large  place  aux  resultats 
obtenus  par  H.  Poincare.  On  trouvera  fans  Dynamical  Systems,  New- York  (1927), 
de  G.  BIRKHOFF;  Treatise  on  the  Analytical  Dynamics,  4°  edition,  Cambridge 
(1986),  de  E.  T.  WHITTAKER;  The  analytical  Foundations  of  Celestial  Mechanics, 
Princeton  (ig4i),  de  A.  WINTNEII,  Pexpose  des  iravaux  modernes  relalifs  an  pro- 
bleme des  trois  corps,  auquel  ces  auteurs  ont  apporlc  des  contributions  esseuiielles. 
Le  dernier  Ouvrage  cite  contient  une  interessante  bibliographic  historique. 

On  sait  que  les  methodes  iraaginees  par  II.  Poincare  pour  la  Mcicaniquc  celeste 
n'ont  pas  jusqu'ici  servi  de  base  a  de  nouvelles  eludes  des  mouvemenls  des  planetcs. 
(7est  la  difficulte  que  presente  la  comparaison  de  developpements  fails  avcc  des 
variables  tres  diflerentes  qui  semble  principalcmont  s'opposer  a  Tabandon  des 
variables  tradilionnelles.  II  y  a  done  lieu  de  signaler  parliculiercmenl  a  raltonlion 
cles  calculatcurs  les  Me  moires  (24),  (25),  (27),  (34),  qui,  posleriours  a  la  publication 
des  Methodes  nouvelles,  n'ont  pas  etc  Tobjet  d'une  large  diil'usion  [qnoi<jue(24)  soil 
utilise  par  WIHTTAKER,  loc.  cit.,  §  157).  On  y  trouvera  :  d'une  part  un  proctkle  de 
reduction  du  systeme  diflerentiel  au  douzieine  ordre  qui  lui  conserve  la  forme  oano* 
nique  sans  corapliquer  Texpression  de  la  fonction  perturbatrice;  d'autre  part  un 
expose  syntheCique  de  tous  les  precedes  de  resolution  utilises,  permeilant  dechoisir 
celui  qui  se  trouve  Ie  mieux  adapte  a  cbaque  probleme  ctderealisereventuellement 
le  passage  de  Pun  a  Fautre. 

Masses  fluid.es  en  rotation. 

Figures  annulaircs.  —  On  remarque,  au  debut  de  (2),  Fabsence  du  terme 
(S^coscp  dans  Tequation  polaire  de  la  section  meridienne  de  la  figure.  Ce  n'est  pas  la 
une  traduction  rigoureuse  de  la  condition  d'apres  laquelle  le  pdle  est  le  centre  de 

gravite  de  la  section.  L'hypothese,  faite  plus  loin,  que  les  termes  en  —  sont  negliges 
devant  les  termes  en—justifie  cependant  cette  equation  :  le  calcul  montrerait  en 

efiet  que  (34  s'exprime  par  une  somme  de  termes  de  la  forme  £-—  (z,/  >i),  lorsque 

le  p6Ie  des  coordonnees  est  au  centre  de  gravite.  Toutefois,  il  est  probable  que  la 
presente  approximation  ne  puisse  pas  suffire  pour  l^tude  eventuelle  de  la  stabilite 
de  la  figure  anxmlaire. 

L'expression  du  potentiel  V  qu^on  trouve  dans  (2)  y  est  donnee  sans  justification, 
Le  detail  des  calculs  figure  dans  (S)  et  conduit  a  une  valeur  legerement  differente 
de  Texpression  primitive.  II  y  a  done  lieu  de  modifier  dans  (2)  toutes  les  formulas 
qui  suivent  celles  de  Fexpression  du  potentiel  (jusqu'a  ce  que  soil  abordee  F6tude 
du  probleme  suivant?  relatif  a  I'&juilibre  de  plusieurs  anneaux),  conformementaux 
indications  donnees  dans  le  Memoire  rectificatif.  En  particulier,  a  la  valeur  donn6e 

dans  (2)  pour  oo2,  il  faut  substituer  1'expression  2  TT  ^  log  ( ~  J  - 


NOTES.  625 

LYuude  de  la  figure  annulaire  qui  est  faite  au  paragraphe  5  de  (6)  n'est  pas  iden- 
ti<|uc  a  celle  que  Ton  trouve  dans  (2);  rnais  on  peul  confronter  les  formules  (5)  et 

suivantes  donnees  dans  ((>)  avec  la  formule  U  = — log h.  . .  -1-  U'  figurant 

2  A*Q 

dans  (2);  on  constate  qu'elles  sont  en  leger  disaccord,  cette  divergence  ne  pouvant 
<PailIeur&  ailecler  les  conclusions  de  (6)  qui  sont  de  nature  qualitative. 

On  verra  dans  un  Memoire  insere  au  Tome  VIII  des  O&uvres  qu'en  presence  d'une 
masse  centrale  et  dans  les  conditions  physiques  qu'ofl're  Tanneau  de  Saturne,  la 
figure  annulaire  (qui  n'est  evidemment  pas  identique  a  celles  qu'on  a  considerees 
ici)  est  instable.  Ge  resultat  est  reproduit  dans  (13),  avec  le  schema  d^un  raisonne- 
ment  qui  doit  permettre  de  le  retrouver,  et  qui  s'appliquerait  aussi  aux  figures 
annul  a  ires  de  Mm(V  Kowalewski ;  (il  s'agit  probablement  des  figures  annulaires  sans 
masse  centrale;  Mn)0  Kowalewski  a  considere  les  deux  cas).  Parailleurs,  II.  Poincar6 
ecrit  a  plusieurs  reprises,  dans  ses  Memoires  et  ses  Ouvrages,  que  les  figures  annu- 
laires sont  inslables,  sans  nouvelle  justification.  Cette  affirmation  est  sujette  a 
caution.  L'instabilite  se  deduil  en  eflet  de  la  consideration  de  deux  limites  pour  la 
valeur  relative  de  la  densite  de  Tanneau  par  rapport  a  celle  de  la  masse  centrale  : 
tine  limite  inferieure,  obtenue  par  Poincar6,  qui  n'est  pas  douteuse  (et  qui  peut 
meme  tHre  amtilioree);  une  limite  superieure,  etablie  par  J.  G.  MAXWELL  (On  the 
Stability  of  the  Motion  of  Saturn's  Rings>  Cambridge,  1869)  a  Taide  de  raisonne- 
ments  peu  rigoureux  (l)  et  qui  semblent  supposer  pour  le  tluide  des  proprietes 
d'ailleurs  non  pr^cisees.  On  ne  peut  done  considerer  comme  certain  que  les  figures 
annulaires,  avec  ou  sans  masse  centrale,  soient  instables  dans  toutes  les  conditions; 
un  nouvel  examen  en  serait  utile.  L'^tude  des  figures  terminales  d'une  suite  de 
figures  annulaires  serait  6galement  souhaitable. 

Figures  pirt'formes,  —  ICn  suivant  une  s6rie  d'ellipsoi'des  de  Jacobi  jusqu'au 
premier  point  de  bifurcation,  II.  Poincare  avait  d^bord  cru  [voir  dans  (6)  la  fin  du 
paragraphe  14*1  a  la  stability  de  la  figure  piriforme  obtenue.  Mais  le  principe  de 
I'tfchange  des  stabilites,  qui  avait  conduit  a  ce  resultat,  n^tait  pas  valable  ici, 
comme  Ta  montr(^  K.  SCHWARZSCHILD  (Inaug.  Dissert.,  Miinich,  1896).  Reprenant 
alors  le  probl^me,  G.  II.  DARWIN  (Phil.  Trans.,  t.  198A,  1901,  p.  3oi)  calcule  les 
axes  du  jacobien  critique  pendant  que  Poincar6  (12)  ^tablit  les  formules  devant 
permeltre  de  decider  de  la  stabilit^,  calculs  qu'effectue  DARWIN  (Phil.  Trans., 
t.  ^00  A,  1902,  p.  $5i)  et  qui  font  croire  a  nouveau  a  la  stabilite,  Cependant,  par 
un  proc^dd  different,  A.LIAPOUNOFF  (Mtmoires deVAcad4miedeSaint-P6tersbourg, 
t.  17,  1906,  p.  3)  concluait  a  Tinstabilite.  C'est  a  J.  H,  JEANS  que  revient  le  merite 
devoir  tranch^  le  d^bat  :  reprenant  le  calcul  du  moment  d'inertie  de  la  figure  (Phil. 
Trans.,  t.  215  A,  igr5,  p.  27),  il  constata  que  Darwin  avait  nefgligS  des  termes  de 
Pordre  de  ceux  qu'il  avait  conserves,  reprit  les  d^veloppements,  des  plus  laborieux, 

(')  En  particulier,  on  d^duit  cette  limite  d'une  certaine  inigalit^  dont  on  n6glige  un  terme 
en  vertu  d'une  in6galit6  ant6rieure;  or  cette  derniere  a  6t6  obtenue  dans  un  problerae  tout 
diffdrent  de  celui  de  I'anneau  fluide,  et  n'a  a  .priori  aucune  raison  d'etre  maintenue  ici. 
H,  Foit»car6  reproduit  dans  ses  ffypoth&ses  cosmogonlques  (a-  Wit.,  p,  35-48)  une  partie  de 
Tanalyse  <*e  Maxwell. 

H.  P.  -  VII.  79 


626  NOTES. 

et  retrouva  le  resultat  obtenu  par  Liapounoil'.  (  Voir  aussi  JEANS,  Problems  of  Cosmo- 
gony, Cambridge,  1919,  ou  les  autres  figures  cTequilibre  sont  egalement  etudiees, 
ainsi  que  leur  evolution). 

La  figure  piriforme,  instable,  evolue  par  une  scission,  en  deux  masses  distinctes 
au  moins.  E.  CARTAN  a  demontre  (Proc.  Int.  Math.  Congr.,  Toronto,  t.  2,  1924, 
p.  9)  que  la  figure  devient  seculairement  et  ordinairement  instableen  me  me  temps. 
Le  phenomene  a  par  suite  Failure  du  «  cataclysme  »  qu'avait  prevu  Poincare,  et 
il  n'y  a  aucune  raison  pour  que  revolution  conduise,  commeon  Favait  primitivement 
pense,  a  un  systeme  d'eioile  double  a  faible  excentricite.  Aucontraire,  on  peut  voir 
que  Torbite  relative  est  hyperbolique  (cf.  II.  JEFFREYS,  Monthley  Notices  l\.  A.  5., 
t,  101,  19/47,  p.  3^9  eL  t.  108,  i948,  p.  g/J). 

Petits  nwuvements  des  figures  d'equilibre.  —  Le  precede  employe  au  para- 
graphe  13  de  (6),  qui  consiste  a  «  solidifier  »  le  fluide,  a  en  considerer  une  defor- 
mation homogene,  et  a  chercher  dans  le  petit  volume  balaye  au  cours  de  la  defor- 
mation une  fonction  harrnonique  satisfaisant  a  certaines  conditions  aux  limites,  a 
recu  de  nombreuses  applications.  Nous  ne  pouvons  qu'en  mentionner  quelques-unes  : 
stabilite  du  spheroi'de  de  Mac  Laurin  (Bryan,  Darwin);  cylindre  eiliptique  (Love); 
ellipso'ide  de  revolution  elastique  (Vilerbi);  (luide  dans  une  sphere  creuse  elastique 
(Love);  couche  mince  sur  un  noyau  spherique  (Hough). 

R&sultats  divers*  —  Les  resultats  relatifs  a  la  limitation  de  la mlesse  de  rotation 
d'une  masse  fluide,  (2),  (6),  (10),  ont  donne  lieu  a  plusieurs  extensions.  II.  LAMB 
(Hydrodynamics,  §  372)  a  montre  que  la  vitesse  limite  y/2  Tip  est  valable  (indepen- 
damment  de  toute  question  de  stabilite)  que  la  masse  rencontre  1'axe  de  revolution 
ou  non,  U.  CRUDELT  (AceacL  d.  Lincet,  t.  19,  1910,  p.  666)  a  ramene  cette  limite 
a  \Arp  pour  les  volumes  convexes.  II.  LAMB  (loc.  cif.}  a  leve  cette  restriction  de 
convexite. 

Poincare  a  demontre  d'unefacon  originaledans  (8)  et  (10)  que  la  sphere  estlaseule 
figure  d'equilibre  stable  absolu,  propriete  que  Liapounofl' avait  etablie  anterieure- 
ment.  L.  LICHTENSTEIN  (BerL  Ber.,  1918,  p.  1120)  a  prouve  (jue  toute  masse  fluide 
en  rotation  uniforrne  admet  un  plan  de  syme trie  perpendiculaire  a  Taxe  de  rotation. 
II  en  resulte  qu^une  masse  iluide  au  repos  est  necessairement  spherique  (cf.  T, 
CARLEMAN,  Math.  ZeUschrift,  t.  3,  1918,  p.  i). 

Dans  (13),  les  resultats  de  la  theorie  sont  e'tudies  au  stijet  de  leurs  rapports  avec 
les  donne'es  de  1'observation.  Celles-ci  ont  subi  quelque  evolution  depuis  1892  : 

Torigine  de  la  variation  d^clat  des  etoiles  a  ete  Tobjet  de  theories  satisfaisantes 
pour  toutes  les  classes  de  variables,  sauf  cependant  les  variables  irr&gulieres. 
L'interpretation  de  la  variabilite  a  Taide  des  formes  jacobiennes  est  done  perimee; 
elle  ne  saurait  en  eflfet  convenir  aux  variables  irregulieres.,  Notons  toutefois  que  la 
courbe  de  lumiere  de  certaines  variables  a  eclipses  est  affectee  par  la  non-sphericite 
accentu^e  qu^entrainent  les  forces  de  marees  pour  les  masses  rapproohe"es; 

les  observations  photometriques  (Barnard,  von  Seeliger),  photographiques 
(Wood)  ont  definitivement  confirm^  la  structure  corpusculaire  des  anneaux  de 


NOTES.  627 

Saturne,  que  la   W«canique  celeste  faisait  prevoir.  II  s'agirait  de  gouttes  de  glace 
tros  disperses; 
pour  raplaiisstiiiient  <le  la  Terre,  on  admet  depuis  les  travauxde  Hayford  (1909), 

la  valeur  ^ — *  Les  mesures  gravlmetriques  modernes  sont  en  parfait  accord  avec  ce 

noiubre,  issn  do  mesures  geodesiques.  La  divergence  d'avec  la  valeur  de*duite  par 
Poincare  de  la  procession  observee  a  ainsi  disparu. 


Principes  de  mScanique  analytique. 


Les  resultats  exposes  dans  (17)  sont  justifies  eldeveloppes  dans  leChapitre  XXIX 
des  Methodes  noiwvlles.  Une  restriction  a  la  validity  des  equations  obtenues  pour 
le  mouvement  relatif  a  ete  faite  par  A.  WINTNER  (Sachs.  Sitzber.,  t.  82,  1980, 
p.  3/,5). 

La  condition  ndcessaire  et  suffisante  pour  quCun  changement  de  variables 
conserve  hi  forme  harnitlonienn€<\'>u&  systeme  est  que  Fexpression  ^yidxt —  ^y\dx\ 
soil  une  dilFerentielle  totale,  Gette  propriete  lient  a  ce  que  la  relation  diilerentielle 
exprim^e  caracterise  les  transformations  de  contact,  qu'un  systeme  hamiltonien 
pent  4tre  consider^  comme  traduisant  une  transformation  de  contact  infinite'simale 
(voir  par  exemple  WIHTTAKEU,  lor.  cit.,  §  125),  etque  les  transformations  de  contact 
constituent  un  groupe.  L'enonc^  apparait  pour  la  premiere  fois  sous  sa  forme  precise 
en  1897,  dans  (25),  Le  caractere  suffisant  de  la  condition  a  ete  justifie  et  utilise 
bien  anterieurement,  par  Poincare  lui-m^me  et  d'autres  auteurs;  il  peut  d^ailleurs 
se  d&luire  d'une  m^thode  imaginee  par  JACOBI  (C*  /?.  Acad.  Sc.,i*  5,  1887,  p.  61) 
en  vue  de  la  constitution  de  divers  changements  de  variables  canoniques.  La  n^cessite 
d^une  lelle  relation  differenlielle  nna  ete  d^montr^e  que  re'cenanaent,  par  J.  CHAZY 
(C,  IL  Acmt*  -SV1.,  t.  225,  1947,  p»  io4i  et  t,  226,  ig48,  p.  19),  pour  des  variables 
dependant  ou  non  du  temps. 

L^expos^  sur  la  M&canique  de  Hertz  (18)  a  trait  a  FOuvrage  posthume  Die 
Prinzipien  der  Mechanik,  Leipzig,  1894.  II  s'agit  dans  cet  Ouvrage  d'un  examen 
d'ensemble  des  fondements  de  la  Mecanique,  premiere  etude  critique  approfondie 
qu'on  ait  faite  sur  le  sujet.  La  consideration  de  «  masses  cachees  »  n'a  certespas^te 
feconde,  mais  cet  dchec  n'enl6ve  rien  a  Tint^ret  de  TOuvrage;  cette  bypothese  n'en 
est  pas  1'objet  essentiel,  k  rencontre  de  ce  qu^on  pourrait  croire  d^pres  (18).  La 
disparition  pr^maturee  de  Hertz  l*a  emp&ch^  de  parfaire  ses  raisonnements ;  on 
note  en  particulier  la  faibiesse,  non  de  ^objection  de  la  bottle,  mais  de  son 
expos6,  fait  par  Tinterm^diaire  dVne  d6fmition  des  syst^mes  holononaes  qui  n'est 
ni  suffisante  (le  defacement  de  la  boule  de  A  en  Bpeut  sefaire  parun  mouvement 
complete,  mais  d'amplitude  y/s^  done  infiniment  petit),  ni  necessaire  (on  imagine 
facilemeat  des  syst&mes  simples,  k  liaisons  solides, ,  dont  certains  defacements 
infiniment  petits  exigent  un  deplacement  fini  des  Elements)  pour  que  le  principe  de 
molndre  action  soit  applicable. 

79. 


628  NOTES, 

Series. 

Les  precedents  Volumes  des  GEuvres  contiennenl  diilerents  Memoire.s  sur  les 
series  rencontrees  en  Mecanique  celeste;  en  particulicr,  sur  les  series  frigonome- 
iriques,  voir  le  Tome  IV. 

Les  travaux  recueillis  ici  sur  les  series  de  Lindstedt-Gylden  sont  en  general 
anterieurs  au  Tome  II  des  Methodes  nou^elles  et,  se  retrouvent,  remanies,  dans 
difFerents  Chapitres  de  cet  Ouvrage  :  les  Chapitres  XI  pour  (23),  XVII  pour  (28), 
IX  pour  (29)  et  (30),  XIII  pour  le  paragraphe  21  de  (21).  De  meme,  sur  la  verifi- 
cation des  series  de  la  Mecanique  celeste  (31),  voir  le  Chapitre  XXIV  du  Tome  III. 

Les  vigou  reuses  critiques  [(35),  (36),  (37)]  que  If.  Poincare  a  eniises  en  190/1 
et  igo5  contre  la  methode  horistfque  de  Gylden  ne  conoerncnt  que  les  Nouvelles 
recherches  .,.,  (1892).  II  s'e'tait  borne  dans  ses  etudes  anterieures,  mention- 
nees  plus  haut,  a  preciser  ou  completer  certains  points  des  theories  de  Gylden. 
Cependant,  des  1889,  il  avait  acquis  une  certaine  mefiance  a  leur  egard  :  les  astro- 
notnes  ayant  ete  alertes  [depuis  (28),  cntre  autres]  au  sujet  de  la  divergence  possible 
de  leurs  series,  Gylden  s'est  attache  a  justifier  la  convergence  de  cellos  qu'il  obtient 
dans  son  Me'moire  du  Tome  IX  des  Acta  Mathematics  (1887);  Poincare,  assur6 
qu'elles  divergeaient  (en  g&a&ral)  par  la  facon  dont  elles  e'taicnt  obtenues,  s'est 
astreint,  non  sans  mauvaise  humeur,  a  1'examen  d^taille  de  ce  travail.  On  trouvera 
dans  les  curieuses  lettres  qu'il  adressea  Mittag-Leffler  les  5  fevrier,  r  et  3  mars  1889, 
lettres  publiees  dans  le  Tome  38  des  Acta  Mathematica,  le  reck  de  ces  penibles 
investigations. 

L'idee  que  PeliminatioD  des  lermes  seculaires  ne  pent  conduire  a  des  series  uni- 
fornaement  convergentes  aura  done  mis  vingt  annees  a  s'imposer,  non  sans  diffi- 
cultes  [t)0£>(32),  (33),  entre  autres].  Les  series  divergentes  eflrayent  les  calculateurs; 
on  s'est  en  general  borne,  depuis  lors,  u  utiliser  celles  qui  avaienl  fait  leurs 
preuves,  et  que  leurs  auteurs  (Newcomb,  Lindstedt,  Gylden,  Hill)  n'avaient  pas 
h6site  a  introduire  puisqu'ils  ignoraient  celle  divergence.  Ainsi,  la  lumiere  que 
Poincare  a  projet^e  sur  ce  terrain  difficile  en  a  paradoxalemeub  retarde  Fexploration ; 
ne  s'y  hasardent  plus  guere  que  les  chercheurs  les  moins  avertis,  sans  succes  ^vi» 
demment. 

Liquation  de  Gylden-Lindstedt  [etudiee  dans  (28)  et  dans  le  Chapitra  XVII  des 
Methodes  nouvelles;  voir  aussi  TISSERAKD,  toe.  cit,,  t.  Ill,  Chap.  I]  est  bien  connue 
en  Physique  mathematique  sous  le  nom  & Equation  de,  Math  feu  ou  du  cylindre 
eiliptique.  Renvoyons  a  N.  W.  MAC  LACHLA-N,  Theory  of  Mathieu  functions, 
Oxford,  1947*  et  au  Chapitre  XIX  de  Modern  Analysis  de  WHITTAKER  et  WATSON. 

Le  Theordme  II  du  deuxieme  paragraphe  de  (21),  (voir  aussi  Mithodes  nott~ 
velles,  t.  I,  Chap.  II),  est  devenu  classique  dans  T<§tude  des  syst&mes  diff^rentiels 
avec  param^tre,  qu'il  permet  d'effectuer  i\  partir  du  plus  simple  d'entre  eux. 
Differentes  demonstrations  nouvelles  et  extensions  en  ont  &t&  donn^es.  Voir  notam- 
ment  E.  PICARD,  C.  /?»  Acad.  Scn  t.  118,  1894,  p.  760,  et  Traiti  d> Analyse,  t.  2, 
Chap.  XI;  et  aussi  K.  POPOFF,  Memorial  de  VArtilleriefrangaise,  192$.  M.  MENP£:S 
(Annal.  Obs.  Besangon,  t,  2,  1986,  p.  69)  envisage  le  cas  ou  le  parametre  est  une 
fonction  donne'e  du  temps.  Le  th^oreme  a  permis  de  valider  des  proc^d6s  de  calcul 


NOTES.  629 

mm  justifies  pur  leurs  auteurs,  role  analogue  a  celui  des  travaux  de  Cauchy  a  Tegard 
des  developpernents  en  serie  de  ses  predecesseurs;  voir  par  exemple  H.  BATEMAN, 
Partial dijferential  equations  . . .,  New-York,  19^4,  p.  497,  ausujetd'une  equation  de 
Paoooustiquo  dont  la  resolution  par  HelnrihoU/  a  et6  ainsi  le'gitimee  par  C.  Schaefer, 


Solutions  p6riodiques  et  asymptotiques. 

(Jest  en  1878  que  parail  Je  celebro  Memoire  ou  Hill  considere  pour  la  premiere 
fois  une  solution  periodique  du  Probleme  des  trois  corps.  Mais  il  s'agit  d'un  cas 
trt»s  pariiculier  (systeme  Terrc-Lune),  et  Ton  doit  considerer  que  c'est  en  i883, 
dans  ( 19),  que  la  theorie  en  prend  naissance.  Leur  existence  est  etablie  dans  (20), 
leur  elude  fahe  dans  (21)  ou  est  introduite  la  notion  d'exposant  caracte'ristique. 
Ces  travaux  sont  d^veloppes  dans  le  Tome  I  des  Methodes  nouvelles. 

Les  complements  theoriques  aux  recherches  de  Poincare  ont  ete  apportes  essen- 
tiellement  pnr  A.  LUPOUNOFF,  dont  le  Memoire,  datant  de  1892,  a  et^  traduit  en 
frangais  par  E.  DAVAUX  en  1907  [Annales  de  la  Faculty  des  Sciences  de  Toulouse, 
(a),  u  9,  p.  203-469];  J,  HADAMARD  (J.Matfi^  t,  3,  1897,  p.  33i);  E.  PICARD  (TraM 
d** Analyse,  vol.  3);  et  par  Poincare  lui-m£me  (voir  le  Tome  VIII  de  ses  GEuvres 
au  sujet  du  TMorerne  de  Poinrure-Birkhoff"). 

C*  CfUftURR,  toe-  cit.r  a  discut^  les  orbites  poriodiques  dans  les  cas  les  plus  acces- 
sibles.  J*  GHAZY  (Bull,  astron.,  t.  14^  19^9^  P-  i53),  a  mis  en  evidence  les  pro- 
pri4tes  de  sym6trie  presentees  par  les  solutions  periodiques  de  la  premiere  sorte. 
WHITTAKBR  a  form£  un  crhere  applicable  a  la  decouverte  de  solutions  periodiques 
du  probl&me  restreint  (Monthly  Notices,  t.  62,  1902,  p.  186  et  346). 

Les  solutions  asymptotiques  ont  et<*  e'tudiees  par  D.  BUCHANAN  (Trans,  of  the 
Cambr*  Phil,  Soc*,  t.  22,  p,  809)  pour  les  mouvements  de  Lagrange  (triangle 
ekjuilate'ral),  par  L,  A,  WARREN  (Am.  J.  of  Math.,  t.  37,  1916,  p.  221)  pour  les 
points  de  libraiion  colin^aires.  K.  POPOFP  (Bull,  astron.,  t.  9,  1984,  p.  177)  a 
examin^  le  cas  du  probUme  restreint*  Le  principe  dynamique  de  prolongement 
que  Strdmgrcn  avait  utilis^  pour  ses  recherches  numeriques  (voir  plus  bas)  a  ete. 
justing  par  A»  WINTNER  (Math.  Zeitschrift,  t.  34,  1981,  p.  821  et  BulL  astron., 
t.  9,  1936,  p.  *5i). 

Les  orbites  periodiques  de  deuxidme  espece  [paragraphe  23  de  (21); 
Chapitre  XXXII  des  Mtthodes  nouvelles]  ont  et6  construiles  par  Poincare  k  partir 
dWbites  i  chocs,  relatives  au  mouvement  de  trois  corps  dont  deux  sont  de  masse 
nulle.  Une  sphere  d'activite*  limitant  Finfluence  relative  des  deux  satellites  joue  un 
rdle  discutable  dans  le  raisonnement.  P.  S&MIROT  (Chocs  et  solutions  periodiques 
dans  leprobUme  des  trois  corps,  TMses,  Paris,  1948)  a  montrd  sur  un  exemple 
simple  auquel  le  proc^d6  de  Poincar^  aurait  du  s'appliquer  (attraction  par  deux 
centres  fixes)  qu'on  n1y  pouvait  d^duire  de  solutions  periodiques  d&rivant  de  celle 
qu'on  obtient  lorsqpi'unc  des  masses  attractives  est  nulle.  L'existence  des  solutions 
pdriodiques  de  deuxi^me  espece  du  problfcme  des  trois  corps  n'est  pas  impossible, 
mais  ne  doit  pas  ^tre  coasiddr^e  comme  Etablie  par  Tanalyse  qu'enafaite  Poincar^. 
orbites  piriodiques  et  asymptotiques  auxquelles  conduisenl  la  th^orie  de  la 


63o  NOTES. 

relativite  ge'neralisee  ont  ete  etudiees  par  Y,  HAGIHARA  (Jap,  Journ.  of  Ast.  and 
Geoph.,  t.  8,  1981,  p.  67);  WHITTAKER  (loc.  cit.,  §  170)  en  cite  quelques  resultats. 

Les  travaux  de  G.  BIRKHOFF  (loc.  cit.;  voir  aussi  Bull.  Soc.  Math.  France, 
vol.  40,  1912;  Trans.  Amer.  Math.  Soc.,  vol.  18,  1917)  ont  generalise  les 
recherches  de  Poincare  pour  des  systemes  djnamiques  plus  generaux,  et  principa- 
lement  pour  les  systemes  de  Pfaff.  Les  exposants  caraclerisliques  [§  10  de  (21)]  en 
particulier,  ou  multiplicateurs  hamiltoniens,  se  presentent  comrae  un  cas  particulier 
des  multiplicateurs  pfaffiens  (loc.  cit.,  p.  89).  Mais  PcBuvre  puissante  de 
G.  Birkhofif  n'a  pas  encore  fourni  d'apport  sensible  a  la  Mecanique  celeste  pro- 
prement  dite. 

Differentes  etudes  numeriques  ont  ete  faites  dans  le  cas  du  probleme  restraint. 
Citons  celles  qui  sont  contemporaines  des  travaux  de  Poincare,  dues  a  G.  BUREAU 
(Astr.  Nachr.,  t.  135,  1894,  p.  a33;  voir  aussi  T.  THIBLE,  Astr,  Nwhr.,  t.  138, 
i8g5,  p.  i);  et  a  G.  DARWIN  (Ada  math.,  t.  21,  1897).  Farmi  les  autres,  nous 
mentionnerons  ies  plus  importantes  :  un  ensemble  de  recberches  faites  par 
F.  R.  MOULTON  et  ses  collaborateurs  (Periodic  Orbits,  publication  n°  161  de 
rinstitul  Carnegie,  Washington,  1920)  a  permis  de  me  lire  en  evidence  les  trajec- 
toires  de  nature  speciale  qui  separent  les  difTerentes  classes  de  solutions  perio- 
diques;  dans  un  cas  particulier  du  probleme  restreint  (/7z0=/?ii),  un  examen 
complet  des  orbites  periodiques  et  asymptotiques  a  ete  realise  de  1924  a  i$33  par 
E.  STROMGREN  et  ses  collaborateurs  (a  ce  sujet,  voir  dans  Bull,  astron.,  t,  97  ig33, 
p.  87,  un  expose  de  ces  travaux  et  leurs  references  bibliographiques). 

Int6grales  unifortnes, . 

La  non-existence  de  nouvelles  integrales  analytiques  uniformes  du  probleme 
restreint  des  trois  corps  est  etablie  au  paragraphe  22  de  (21).  L'extension  de  la 
propriete  au  probleme  general  est  faite  dans  les  Methodes  nouvelles  (t.  I,  §  85), 
II  est  a  noter  que  le  theoreme  de  Bruns  (1887)  sur  la  non-existence  de  nouvelles 
integrales  algebriques,  theoreme  dont  Poincare  a  complete  la  demonstration  en  1896 
dans  (26),  etait  au  contraire  relatif  au  probleme  general;  sa  validite  pour  le 
probleme  restreint  n'a  ete  reconnue  que  beaucoup  plus  tard,  par  C.  L.  SIEGED 
(Trans.  Amer.  Math.  Soc.,  t.  39,  1986,  p.  225).  P.  PAINLEV&  a  <§tendu  la  propo- 
sition de  Poincare  en  montrant  (C.  R.  Acad.  Sc.,  1. 130^  1900,  p.  1699)  qu1!!  suffisait 
d^imposer  la  condition  de  regularity  par  rapport  aux  vitesses  pour  entrainer  la  non- 
existence  des  integrales  analytiques. 

Le  domaine  duplication  du  theorerae  est  bien  plus  r6duit  que  ne  pourrait  le 
faire  supposer  Fenonce  qu'on  en  donne  habituellement.  La  demonstration  repose 
ea  efFet  sur  la  consideration  d^un  systeme  d'equations  dont  les  secoods  membres 
sont  periodiques  par  rapport  aux  variables  angulaires.  Ces  variables  sont  fonctions 
des  elements  osculateurs  des  mouvements  relatifs,  lesquels,  pour  qu'il  y  ait  perio- 
dicite,  doivent  etre  essentiellement  supposes  elliptiques.  Or  il  n^y  a-  en  general 
aucun  moyen  de  savoir  si  un  mouvement  possedant  initialement  cette  propri6t6  la 
conserve  indefiniment.  Dans  Tespace  ^  douze  dimensions  des  coordonn^es  et  des 
vitesses,  il  n'y  a  aucun  volume  en  tous  les  points  duquel  le  theoreme  puisse 


NOTES  63! 

.  T.  Lfcvi-CrviTA  Fa  note  pour  le  probleme  restreint  (Ada  math,,  I.  30, 
ic)<>(>7  p.  3^7).  J,  CHAZY  a  mis  en  evidence  un  grand  nombre  de  families  dMntegrales 
analytiques  du  probleme  general  des  trois  corps  (Bull,  astron.,  t.  8,  ig38,  p.  4o3), 
et  a  fait  rcssonir  la  dittercnce  qu'ofire  a  ce  sujet  Ic  theoreme  de  Poincare  et  celui 
de  Bnins. 

Invariants  int6graux. 

La  notion  d'invariant  integral  apparaft  dans  le  Ghapilre  II  de  (21)  en  meme 
lemps  quo  sa  theorie.  On  sait  que  J.  LIOUVILLTS  (J.  Math.,  t.  3,  i838,  p.  348)  puis 
L.  Boi,TfcMANN  (Journal  de  Crelle,  t.  73,  1871,  p,  in)  avaient  utilise  pour  des 
problemes  d'hydrocini'itique  une  inte"grale  multiple  qui  n'est  autre  que  le  plus 
simple  des  invariants  de  Pomcare^  Pinvariant  integral  de  volume.  Bien  que  ce  soil 
celui  doni  Pusage  esl  le  plus  couranl,  le  champ  de  ses  applications  ne  s^est  cons- 
titue  qifapres  que  Poincare  PeiU  redecouvert  (21)  en  le  g6neralisant. 

La  thitorie  des  invariants  integraux,  que  Poincare  lui-meme  a  approfondie  dans 
If*  Tome  III  des  Methodes  nouvelleS)  est  aujourd'hui  classique.  Citons  en  deux 
Traites  (leurs  auteurs  lui  ont  apporte  par  aiileurs  une  contribution  essentielle  au 
cours  de  nombreuses  recherches):  E.  CAKTAN;  Legons  surles  invariants  integnmx, 
Paris,  19:?'^ ;  TH,  DK  DONDBK,  Tk&orie  des  invariants  integraux,  Paris,  1927.  Nous 
nous  bornerons  ici  a  mentionner  une  propriete  qui  peut  jouer  dans  1'etude  quanti- 
tative des  systenies  d'equations  did'erentielles  un  r61e  pratique  quVlle  ne  semble 
pas  avoir  tenu  jusqu'ici  :  E.  GOURSAT  a  montre  (/.  Math.}  6°  serie,  t.  4,  1908, 
p.  33 1)  que  la  connaissance  d'un  invariant  integral  permet  d'extraire  d^n  systeme 
donn^  un  syst^rne  d^equations  plus  simple  dont  toutes  les  integrates  appartiennent 
au  sysl^me  initial, 

La  premiere  consequence  que  Poincare  deduit  de  sa  theorie  est  exprimee  par  le 
theoreme  I  [§  8  de  (21)]  ou  theoreme  de  recurrence.  Les  trajectoires  qui  y  sont 
appeltSes  e^ceptionnelles^  et  qui  forment  un  ensemble  de  mesure  nulle  dans  la 
region  de  Pespace  a  an  dimensions  ou  le  theoreme  s'applique,  ne  peuvent  remplir 
aucun  continuum  fini  et  ferme  quel  que  soit  le  nombre  de  ses  dimensions  (J.  LEVY, 
Les  (ijpprorhes  dans  le  problems  des  trois  corps,  Theses,  Paris,  19^).  Le  theoreme 
de  recurrence  est  a  Porigine  des  recherches  qui  ont  conduit  G.  BIKKHOFF,  au 
thtoreme  ergodique^  dont  Texpos6  definitif  a  paru  en  1982  (Bull.  Afner.  Math. 
Soc.,  i.  38,  p.  36i).  Le  theoreme  ergodique  ayant  ete  rattach^  directement  a  la 
theorie  des  ensembles  a  partir  de  la  notion  de  mesure  de  Lebesgue,  il  n*y  a  lieu 
ici  que  de  le  mentionner.  Son  utilisation  pour  Te"tude  des  systemes  differentiels  est 
subordonn6  a  Texistence  d'une  propriete  de  transitivite  dont  il  est  dans  le  cas 
ge'neral  extr^memetit  difficile  de  s'assurer,  Une  application  en  a  ete  faite  a  divers 
syst^mes  de  Me*canique  celeste,  a  trois  degres  de  libert^,  pouvant  se  ramener  au 
mouvemenl  d'une  masse  dans  un  champ  de  forces  de  revolution,  par  IL  FABRE 
(Bui.  astron.,  t,  10,  1987,  p.  *97>  et  t.  11,  1938,  p.  17). 

L'emploi  des  invariants  inte'graux  avait  conduit  Poincare  a  des  r^sultats  positifs 
principaiement  en  ce  qui  concerne  les  solutions  du  probleme  restreint;  il  leur  avait 
reconnu  la  stability  a  la  Poisson.  Le  probleme  general  des  trois  corps  a  lui  aussi 
te  de  cette  theorie,  dans  les  travaux  de  J.  CHAZY  :  Tensemble  des  trajectoires 


632  NOTES- 

issues  des  points  d'un  certain  volume  de  Pespace  a  douze  dimensions  des  coordou- 
nees  et  des  vitesses  presente  la  stabilite  d  la  Poisson;  toutes  les  autres  trajectoires 
possedent  la  propriete  de  rtoersibilM,  c'est-a-dire  que  le  mouvement  relatif  de 
deux  quelconques  des  corps  est  de  la  meme  nature  (elliptique,  parabolique  ou 
hyperbolique)  pour  les  valeurs  du  temps  infiniment  grandes  positives  et  negatives 
(7.  Math.,  9°  serie,  t.  8,  1929,  p.  353;  Bull,  astron.,  t.  8,  ig3/i,  p.  /io3).  Ces  pro- 
prietes,  jointes  a  Peiude  des  points  singuliers  du  systeme,  ont  permis  a  J.  Chazy 
(voirles  references  dans  la  bibliographic  donn^e  par  WINTNBR,  loc.  eft.}  une  classi- 
fication et  une  localisation  relative  de  toutes  les  trajectoires  possibles  dans  le  pro- 
bleme  des  trois  corps.  Cette  analyse  n'a  pas  d'equivalent  parmi  celles  qu'on  a  pu 
faire  au  sujet  d'autres  systemes  diflerentiels  d'ordre  eleve;  elle  doit  etre  consideree 
comme  le  developpement  des  resultats  et  des  methodes  du  Memoire  (21), 

Differentes  branches  de  la  Physique  mathematique,  notammenl  la  Mecanique. 
statistique,  la  Theorie  cinetique  des  gaz,  la  Mecanique  atomique,  THydrodynamique, 
PElectromagnetisme,  font  appel  aux  proprietes  des  invariants  integraux.  La  M^ca- 
nique  analytique,  grace  a  eux,  a  etc  dotee  par  A.  LIGHN£ROWIGZ  (C.  ft.  Acad*  Sc., 
t.  i217T  19^3,  p*  660)  du  principe  suivant  :  queltes  que  soient  les  forces  mixes  en 
jeu,  Vintegrale  qui  s^ecrit,  avec  les  notations  habituelles, 


(I 


dpt  dqi  -  dH  dt  -f-  S  Q/  dqi  dt, 


etendue  a  la  surface  balayee  au  cours  d^un  deplacement  arbitraire  des  etats  le  long 
de  leurs  trajectoires  respectives,  est  nulle.  Ce  principe  pourra  dans  Favenir  jouer 
un  role  fondamental,  comparable  a  celui  qu1a  tenu  jusqu'ici  le  principe  demoindre 
action. 

JACQUES  Lftvv. 


TABLE  DES  MATIERES 

I)U  TOME  V1T. 


MICCANIQUK  AISALYTIQIJK  KT  MJllCAiVlQUK  CELESTE. 

I'nges 
AVANT-PBOPOS, 

\nnlyso  dc  seb  tru\aux  scientiliques,  par  Henri  Poincard  (A eta  Math.,  t.  38,   1921, 

p.  104-114) T 

Masses  fluides  en  rotation. 

\.    Sur  I'equilihre  d'unc  masse  iluide  animee  d'un  mouvement  dc  lotation  (6Y.  R. 

ArmL  Sc.,  t.  100,  i885,  p.  346-348) i.\ 

4.  Sur  Pequilibrc  d'une  masse  iluide  animee  d'un  mouvement  de  rotation  (Bull. 

astron,,,  t.  2,  i885,  p.  109-118) 17 

,*L  Sur  IV.quilibre  d'une  masse  fluicle  animee.d'un  mouvement  de  rotation  (JButl. 

tistron.)  t.  2,  i«85,  p,  /fo5-/jr,'*) v,6 

i.  Sur  IMquilibre  d'une  masse  iluide  anim6e  d*un  mouvement  de  rotation  (C.  fi. 

Acatt.  Sc.9  t.  100,  i88r>,  p.  1068-1070) 34 

ti.  Sur  I'dquilibre  d\me  masse  fluide  animee  d'un  mouvement  de  rotation  (C.  R. 

Acad.  6V.,  t,  101,  i885,  p.  ^07-^09) 37 

6.  Sur  1'gquilibre  d'une  masse  fluide  animee  d'un  mouvement  de  rotation  (Acta 

Math.^  t.  7,  i885,  p.  25c>-38o) 4o 

7.  Sur  Tdquilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation  (C,  R.  Acad.  #c.,  t.  -102,  1886, 

p.  970-972) 141 

8.  Sur  un  tlidoreme   de   M.   LiapounofT,   relatif  ^t  l'6quilibre  d'une   masse  fluide 

(C.  X.  Acad.  Sc.t  t.  104,  1887,  P-  622-626).. 143 

9.  Sur  1'e'quilibre  d'une  masse  he"te>ogene  en  rotation  (C.  JR.  Acad.  Sc.,  t.  '106, 

1888,  p.  1671-1574) 147 

10.  Sur  IV.quilibre  d'un  fluide  en  rotation  (BulL  astron,,  t.  16,  1899,  IK  161-169)..  i5i 
It.  Sur  la  stability  de  I'^quilibre  des  figures  piriformes  affectees  par  une  masse 

rtuide  en  rotation  (Proc.  Roy.  Soc.  London,  vol.  69,  1901,  p.  148-149) 169 

1^.  Sur  la  stability  de  IMquilibre  des  figures  piriformes  aflecte'es  par  une  masse 

fluide  en  rotation  (Phil.  Trans.,  A,  t.  198,  1901,  p.  333-373) 161 

13.  Les  formes   d'^quiJibre  d'une  masse  fluide  en   rotation   (Revue  gendrale  des 

Sciences,  t.  3,  1892,  p.  809-816) 208 

Princijpes  de  Mdcanique  analytique. 

14.  Sur  une   forme  nouvelle  des  Equations  de   la   M^canique  (C.  ./?.  Acad.  Sc.: 

t.  13^,   1901,  p.  369-371) 218 

15.  Sur  une  generalisation  de  la  me*thode  de  Jacobi(C.  JR.  Acad.  Sc.,  t.  149,  1905, 

p.     II05-IIO8) 220 


634  TABLE   DES   MATURES. 

I»,ig«s. 

16.  Sur  les  solutions  periodiques  et  ie  principe  de  moindre  action  (C.  It*  Acad. 

Sc.,  t.  153,  1896,  p.  915-918)  ........................  .............  '  ........     2*4 

17.  Les  solutions  periodiques  et  Ie  principe  de  moindre  action  (C.  R.  Acad.  Sc., 

t.  124,   1897,  p.  7i3~7i6)  ................................................  ;     «'>7 

18.  Les  idees  de  Hertz  sur  la  Mecanique  (Revue  generate  des  Sciences,   t.  8, 

1897,  p.  731-743)  ........................................................     '.tfi 

Problems  des  trois  corps. 

19.  Sur  certaines  solutions  particulieres  du  probleme  des  trois  corps  (C.  R>  Acad. 

Sc.,  t.  97,  i883,  p.  261-252)  ..............................................     »'3i 

SO.   Sur  certaines  solutions  particulieres  du  probleme  des  trois  corps  (Bull,  astron., 

t.  1,  1884,  p.  65-74)  ......................................................     °-'^ 

21.  Sur  Ie  probleme  des  trois  corps  et  les  equations  dc  la  Dynamique  (Memoire 

couronne  du  Prix  de  S.  M.  Ie  roi  Oscar  II  de  Suede),  (Acta  Math.,  t.  13, 

1  890;  p.  1-270  )  ..........................................................     '.'-Gtt 

22.  Sur  Ie  probleme  des  trois  corps  (Bull,  astron.,  t.  8,  1891,  p,.  12-24)  ...........     48o 

23.  Sur  Tapplication  de  la  methode  cle  M.  Liudstedt  an  probleme  des  trois  corps 

(C.  JR.  Acad.  Sc.,  t.  114,  1892,  p.  i3o5-i3o9)  ...............................  19* 

2i.   Sur  une  forme  nouvelle  des  equations  du  probleme  des  trois  corps  (C.  R.  Acad. 

Sc.,  t.  123,  1896,  p.  io3i-io35)  ...........................................  {96 

20.  Sur  une  forme  nouvelle  des  equations  du  probleme  cles  trois  corps  (Bull,  astron., 

t.  14,  1897,  p.  53-G7  et  Acta  Math.,  t.  21,  1897,  p.  83-97)  ..................     5oo 

26.  Sur  la  methode  de  Bruns  (C.  R.  Acad.  Sc.,  t.  123,  1896,  p.  1224-1228)  .......     ,'m 

27.  Sur  {'integration,  des  equations  du  probleme  des  trois  corps  (Bull,  astron., 

t.  li,  1897,  p.  241-270)  ..................................................      617 


.Series  de  la  Mecanique  celeste. 

28.  Sur  une  equation  diflerentielle  (C,  R.  Acad.  Sc.,  t.  98,  1884,  p.  793-795).....  543 

29.  Sur  une  methode  de  M.  Lindstedt  (Bull,  astron.,  t.  3,  1886,  p.  67-61)  ........  546 

30.  Sur  les  series  de  M.  Lindstedt  (C-  /?•  Acad.  Sc.,  t.  108,  1889,  p.  21-24)  .......  55i 

31.  Sur  un  procede  cle  verification,  applicable  au  calcul  des  series  de  la  Mdcanique 

celeste  (C.  JR.  Acad.  Sc.,  t.   120,  1895,  p.  67-69)  ..........................  55f> 

32.  Sur  la  divergence  des  series  de  la  Me'canique  celeste  (C.  li.  Acttd.  Sc.,  t.  122, 

1896,  p.  497-499)  ........................................................  558 

33.  Sur  la  divergence  des  series  trigonome'triques  (C.  R.  Acad.  Sc.,  t.  122,  1896, 

p.  557-559)  ....................................................  ...  ......  56i 

34.  Sur  la  facon  de  grouper  les  termes  des  series  trigonometriques  qu'on  rencontre 

en  Me'canique  celeste  (Bull,  astr.,  t,  15,  1898,  p.  289-310)  .................  564 

35.  Sur  la  methode  horistique  de  GyJd&i  (C.  R.  Acad.  Sc.,  t.  138,  1904,  p.  933-936).  583 
3G.   Snr  la  methode  horistique  de  Gylden  (Acta  Math.,  t.  29,  1905,  p.  235-271)  ____  687 
37.   Sur  la  me'thode  horistique  :  Observations  sur  un  Article  de  M.  Backlund  (Bull. 

astron,,  t.  21,  1904,  p.  292-296).  ..........................................  619 

NOTES  .........................  ...............................................  624 

TABLE  DES  MATJKRES  ............................................................  633 


PARIS    -  IMiMUMKKIE  GAUTHIER-VILLAKS. 


Ic^ul,  hnprinicur,  it)oi,  n°7li 
lfgj»l,      Htliteur,     ry5i,  u«  395 

t,  !,K  I.")  Dl'-iCKMltBE   I|)5t 


Date  Due 


Demco  293-5 


cur e 


Carnegie  Institute  of  Technology 
Library 

Pittsburgh,  Pa. 


CD 


30  116